2229. Egy r sugarú gömb köré írt kocka éle 2r, az r sugarú gömbbe írt kocka éle r.

Átírás

1 Egymás ít testek 7 Egy sugú göm köé ít kock éle, z sugú göme ít kock éle 8- l K O V- V ( ) - K O 0 Egy sugú göm köé ít kock éle, z sugú göme ít kock éle K O A- A 6 ( ) K O Legyen külsô kock éle, elsô kock éle, göm sug R Tekintsük négy él felezôpontjá illeszkedô síkmetszetet és z átlós síkmetszetet A 8/I á és 8/ á jelöléseit hsználjuk: R és R A feldt lpján két kock téfo- 8- l gtánk különsége: V V - V R & R V 8- l V + l ; 6 V + l V + l + lv ; Legyen göm sug R, eít kock éle, köülít kock éle k Tekintsük z átlós metszetet, mi és oldlú, R átlójú tégllp, vlmint négy él felezôpontjá illeszkedô síkmetszetet, mi k R oldlú négyzet A eít kock testátlój z dott göm egyik átméôje: R R R & & A eít kock 6 $ 8R A köülít kock éle egyenlô z dott göm átméôjével: R k & A köülít kock 6 $ R R A feltétel szeint A köülít kock - A eít kock F F & 6R F & R & F F és k 6 Legyen kock éle, eít göm sug, köülít göm sug R A eít göm sug kock élének fele: A köülít göm sug kock testátlójánk fele: /I R A feltétel szeint: R - d & + l d A kock felszíne: A 6 $ + l d A kock téfogt: V + 5l d Legyen félgöme ít kock éle Az átlós metszetet tekintve félgöm sug z EAO deékszögû háomszög átfogój Pitgosz-tétel szeint: + K O & K O

2 8 Összetett tégeometii lkztok / & téfogt: V & $ V 6 $ 6 A eít kock felszíne: A 6 6 $ A eít kock téfogt: V $ 6$ /I és / á jelöléseivel: A félgöm sug z ááól kiemelt deékszögû háomszög átfogój Pitgosz-tétel fenti háomszöge: + & & A kock 6 A tégltest élei: x, x, c x A tégltest testátlój köé ít göm átméôje: + + c x + x + x & x $ $ A tégltest élei:,, c 7 7 A tégltest élei:,, c Az oldllpok teületei: t, t c, t c A feltételek szeint: c és c & c & Atégltest testátlój köé ít göm átméôje: () + + c & + + & 6 & ; ; c s 8 8 Legyen négyzetes oszlop lpéle, oldléle s 8 + & - A négyzetes oszlop testátlój köé ít göm átméôje: ( s - 8 ) & 6 & 6-6s + s A másodfokú egyenlet diszkimináns: D 6 $ (8 - s ) eset: nincs megoldás, h 8 - s < 0, zz 8$ $ < s s eset: egy megoldás vn, h s 8$, ekko, négyzetes oszlop egy kock 6s! 8 $ 8 - s eset: két megoldás lehet, h s < 8$ $ Ekko, s 8 s! - s" 8 - s és, Legyenek tégltest egy csúcs futó élei, és c A feltétel szeint + + c s A tégltest testátlój köé ít göm átméôje: + + c ( + + c) - - ( + c + c) s K O - ( + c + c) & ( + c + c) s K - O Atégltest felszíne: A + c + c s s Nincs ilyen tégltest, h s # 8 6 6

3 Egymás ít testek 0 Legyenek tégltest egy csúcs futó élei, és c; köé ít göm sug pedig R s A feltétel szeint + + c ( + + c) s és + c + c F ( + + c) c + + c + c + + c + F A göm átméôje tégltest testátlój: (R) s s - 6F + + c A fentieket egyevetve ( R) - F& R Nincs ilyen tégltest, h s # F 6 8 Az 87 feldtn, vlmint z 88 feldtn izonyítottuk: Az élû szályos tetéde köé íhtó göm sug ; z l élû szályos tetédee ít 6 göm sug l 6 A fentieket felhsználv: z R sugú göm köé ít szályos tetéde éle R R l Az R sugú göme ít szályos tetéde éle l Bámely két szályos 6 6 tetéde hsonló, téfogtány kiszámíthtó V : Vl ( : l) ány lpján V : Vl J N l: l K ( : ) O Egy göme és göm köé ít szályos tetédeek téfogtánk ány : 7 Legyen göm sug R, z oktéde éle, tetéde éle A szályos oktéde két átellenes csúcsánk távolság köé ít göm átméôje Tekintsük z oktéde négy oldlélée illeszkedô síkmetszetét, mi négyzet: (R) & R Az oktéde téfogt két egyevágó szályos négyoldlú gúl téfogtánk összege: V $ R & R R V A élû szályos tetéde köé ít göm sug z 87 feldt lpján: R 6 & 6 & R tetéde éle A élû szályos tetéde mgsság, téfogt: V K O Vt $ $ $ R R & Vt $ V K O 7 7 Felhsználjuk z 87 feldt és z 88 feldt eedményeit: z R sugú göme ít szályos tetéde éle R Az élû szályos tetédee ít göm sug 6 6 R Bámely két göm hsonló, ezét: A R : A (R : ) : Legyen z sugú göme ít kock éle, ee kocká ít göm sug u, u sugú göme ít szályos tetéde éle pedig Az sugú göme ít kock testátlój göm átméôje & Az élû kocká ít göm sug kock élének fele & u

4 0 Összetett tégeometii lkztok 6 A u sugú göme ít szályos tetéde éle (l 87 feldt) u A élû szályos tetéde felszíne és téfogt: A $ & A és V & V 8 5 Legyen z élû kock köé ít göm sug, e köé göm köé ít szályos tetéde éle, tetéde köé ít göm sug R, végül z R sugú göm köé ít szályos oktéde éle c Az sugú göme ít kock testátlój göm átméôje & Az élû kock köé ít göm sug felekko, mint kock testátlój & Az sugú göm köé ít szályos tetéde éle (l 88 feldt): A élû szályos tetéde 6 6 köé ít göm sug (l 87 feldt): R Az R sugú göm köé ít szályos oktéde éle (l 7 feldt): c 6R A c élû szályos oktéde téfogt (l feldt): V c & V 6 Felhsználjuk z 6 feldt, z 65 feldt és z 6 feldt eedményeit Az á jelöléseivel: I; J; K; L; M és N élfelezô pontok egy síkn vnnk Síkjuk meôlegesen felezi testátlót; IJKLMN szályos htszög; GI GJ GN AI AJ AN Az IJKLMNG test olyn szályos htszög lpú szályos gúl, minek mgsság GO, lpéle 5 IJ, oldléle GI és oldllpjink mgsság A keesett göm, mely éinti kock háom lpját és metszô síkot, éppen szályos htszög lpú gúlá eíhtó (u sugú) göm, hiszen gúl lplpját és háom oldllpját éinti Agu l$ u Vgu l V gúl & u V T m 6 gul $ $ $ $ TIJO$ GO Agu l T 6TIJG A 8 + 7/I gul + & u - 7 Legyen gúl lpéle, mgsság m, köé ít gömjének sug R, eít gömjének sug, z oldllp és z lplp hjlásszöge f Tekintsük gúlánk z lpél felezômeôleges síkjávl vett metszetét (7/ á) tg f m Pitgosz-tétel z MTU deékszögû háomszögen: J N MU m + K O MOE + MUT, met szögeik páonként

5 Egymás ít testek 7/ 7/I m MU egyenlôk & - m + m & Tekintsük z oldlélt ttlmzó tengelymetszetet (7/I á) Pitgosz-tétel KTC deékszögû háomszögen: m + + K O KT R - és m K O R + KT& m R R R m - - & + A feldt feltételei m m szeint: R & m m m m & + Eôl tg f x m m + + m + (hol x > 0, met 0 < f <0, hiszen két sík hjlásszöge) jelölést felhsználv: 5x - x + & 0 x 6 0x 8x x x 0x - + ` j Az egyenlet pozitív megoldási: x 0+ 6 tg f és x 0-6 tg f & f 76,, illetve f 50, x + R 8 Felhsználjuk, hogy z R sugú göme ít egyenlô oldlú henge átméôje: ; z R sugú göme ít egyenlô oldlú kúp lkotój: R J N J N ) Ahenge K + R O K O A göm R Aku p R + K O K O Ahenge R R $ R Agq m$ Aku p& A henge felszíne métni közepe göm J N és kúp felszínének ) Vhenge K R O Vgq m J N R Vku p $ K O $ K O K O

6 Összetett tégeometii lkztok R Vhenge R R $ R Vgq m$ Vku p& A henge téfogt 8 8 métni közepe göm és kúp téfogtánk Felhsználjuk, hogy z R sugú göm köé ít egyenlô oldlú henge átméôje: R; z R sugú göm köé ít egyenlô oldlú kúp lkotój: $ R J N J N ) Ahenge K + 6R O K O A göm R Aku p R + K O K O A 6R R $ R A $ A & A henge felszíne métni közepe göm és henge gqm kup kúp felszínének J N ) Vhenge K R O Vgq m J N R Vku p $ $ R K O Vhenge R R $ R Vgq m$ Vku p& A henge téfogt métni közepe göm és kúp téfogtánk 50 Legyen metszô sík d távolság z O középponttól Legyen göm sug R, ekko henge átméôje R Tekintsük henge egyik tengelymetszetét OT TB R, met ABO egyenlô száú deékszögû háomszög OUP + OTB & OU UP d, zz kúp síkmetszet köének sug d Pitgosz-tétel z OUQ deékszögû háomszögen: UQ + d R & A göm síkmetszet köének sug R - d A henge síkmetszet köének sug R A síkmetszetek teülete: T kúp d, T göm c R - d m `R -d j, T henge R Tehát fennáll T kúp + + T göm T henge egyenlôség 5 A göm köé ít poliéde minden lpjá olyn gúlát állítunk, melynek z lplppl szemközti csúcs göm középpontj Ezek gúlák egyszeesen és hézgmentesen kitöltik poliédet, így téfogtösszegük egyenlô poliéde téfogtávl Legyen gúlák lpteülete t i, mgsság Vpolie de t+ t+ f+ tn $ _ t+ t+ f+ tni $ Apolie de, hiszen 50

7 Egymás ít testek 5/I 5/ 5/I gúlák lplpjink teületösszege éppen poliéde felszíne V poliéde $ Apoliéde & A felszín és téfogt ány dott sugú göm esetén állndó: V Apolie de poliede 5 Adott R sugú göm köé egyféle egyenes köhenge íhtó: A henge R + R $ R 6R V henge R $ R R Ahenge: Vhenge 6R :R : R Adott R sugú göm MO MU köé ít egyenes kökúpok esetén: MOE ~ MUT, met szögeik egyenlôk & & OE TU MT - R MU m- R + & & + Akúp + V kup $ m R R m R J N J A kúp : V kúp ( + ) : N K m O ( + ) : m K O : R Adott R sugú göm köé ít egyenes csonkkúpok esetén: csonkkúp lkotój +, mgsság m R 5 Acsonkk up 8 + _ + i + B ` + + j Vcsonkk up m ` + + j R ` + + j A csonkku ` + + j p : R Vcsonkk up R ` + + j Mindegyik eseten A : V : R 5 5 ) V t h & h 0, cm ) dm átméôjû hengeen 8 dm mgsságig víz vn & Belefé göm 5 $ 6 $ víze, ezét V víz $ $ h Vgöm & h 0,56 A vízszint 056, dm-t 6 6 emelkedik és 8, 56dm mgsn fog állni 5 Egyenlô oldlú kúp: R & R m Hsonlóság mitt: R (m + h) A göm téfogt egyenlô két kúp téfogtánk

8 Összetett tégeometii lkztok különségével: R $ ( m+ h) - R m& ( m+ h) - m & + m _ m+ hi h + m -m & R h& R h& & 5, cm 56 Egyenlô oldlú kúp: R & m R AKC + ABD & KC : AC DB : DA & & m - & m, zz $ R & R A szükséges víz téfogt: V V k - V g 5 R m - & V, 8 cm 57 A 56 á jelöléseit hsználv z egyenlô oldlú kúp: R & m R AKC + ABD & KC : AC DB : DA & m - & m, zz R & R A eleöntött víz téfogt: V V k - V g R m - 5 Hsonlóság mitt: R : m 5 R : m & R m V R $ m & m $ 5 Síkidomok fogtásávl nyet testek 5 58 A keletkezett test két d m $ sugú, mgsságú kúpól áll V V k A t p 5 m $ A keletkezett testet megkpjuk, h egy hengeôl kiveszünk két kúpot V V h - V k $ & V 6 cm A $ t kp + t hp & A 786 cm

9 Síkidomok fogtásávl nyet testek 5 60 Legyen háomszög lphoz ttozó mgsság m, 6 szához ttozó mgsság m A háomszög hegyesszögû Az lp köül fogtv két egyevágó, közös lpköû kúp keletkezik Suguk m, lkotójuk 5 cm, mgsságuk 5 cm A szá köül fogtv két közös lpköû kúp dódik Suguk m, mgsságuk x cm, illetve (5 - x) cm, lkotójuk 5 cm, illetve 0 cm m m V $ m $ $ m $ $ és V m $ x + V + m $ ( - x) m $ $ m $ & 5 V 6 A 5 A m és A m + m m ( + ) m ( + ) & A ( + ) 6 A háomszög hegyesszögû & keletkezett két kúp z lpkö síkjánk két oldlán vn m $ sin V m $ x + m $ (c - x) $ ( $ sin ) $ c& V á 88, dm A m + m m( + ) és koszinusztételôl -t kiszámolhtjuk: c + - c cos & & A á 8, dm 6 Tekintsük 6 áát A háomszög tompszögû, így leghossz oldl köül fogtv keletkezett két kúp z lpkö síkjánk két oldlán vn Az ABC teülete: mc ss ( -)( s-)( s- c) & m á,7 cm V m $ x + $ m $ (c - x) $ m $ c & & V á, 5 dm A m + m m( + ) & A á 5, 65 dm 6 Tekintsük 6 áát Két fogáskúp keletkezik, közös lpkö síkjánk két oldlán c + & c 5,6 dm c $ m & m á, dm V m $ x + m $ (c - x) $ m $ c & V á 6, 56 dm A m + m m( + ) & A á, 78 dm 6 Két egyevágó, közös lpköû kúp dódik Suguk, mgsságuk, lkotójuk: c + V $ $ és A c + $ 65 Háom eset lehetséges: I, hegyesszög & Vc mc c, 65 hogy zt 6 á lpján 6 feldtn kiszámoltuk tompszög: 65 á & Vc mc( c+ x) - mcx m c c I deékszög Vc mc c t m $ m $ m c $ c & & V m $ m t $ $ és V $ m $ t$ és V c $ mc $ t$ & V : V : Vc m : m : mc

10 6 Összetett tégeometii lkztok m V $ $ m m $ A t 6 p m 67 m V V V m m V, 6 cm k+ h $ $ + & A t kp + t hp m + m & A á 088, cm 68 m V Vh + V csk - V k ( m) + $ $ $ 8( m) + m + m$ mb - - $ $ m $ A t hp + t cskp + t kp (m) + $ m + m 6 R V S J N 6 m V V W 7 m csk $ $ S + + $ K O W S W T X J N J N 7 A t cskp + t f $ + $ + $ K O K O R V R V S J N W SJ N W 70 V $ S( ) + + $ $ m- $ + + $ $ m K O W S K O W S W SL P W T X T X 7 0,5 & + 0,5 AE EB és CF FB & EF ; AC és EF AC & ABC + + EBF és hsonlóság ány & PB QB & PQ QB m AEFC fogtásáól:

11 Síkidomok fogtásávl nyet testek V m + m + m m $ + m $ m EBF fogtásáól: V (m) - V m - m m & V : V : 7 f + e & f 5 cm; t omusz f $ e $ m & m cm A keletkezett test téfogt megegyezik egy m sugú és mgsságú henge téfogtávl: V m & V á 5, dm A t hp + t kp m + m m & A á 75, dm R 7 V ( m) m m m V $ S $ + + $ $ $ - m $ W $ A t S W tcskp + t kp T X $ (m + m) $ + m t 7 V m és V m V m m t$ m m V V & m m t$ m m t V 75 Az dtok egy konkáv deltoidot dnk meg, met < & tompszög me s( s -)( s -)( s - e) & mc 60, cm V m ( e+ x) - m x m e& V 06, dm A m + m m( + ) & A á 80, 8 dm V 76 R V g R és V $ R $ R R $ A V g R és A $ R R & A A g R R g

12 8 Összetett tégeometii lkztok m cm V V h + V k á 8, 6 cm A t hp + t kp á 6, 7 cm 78 A keletkezett test egy fogáshenge és egy fogáskúp közös kölpjuk két oldlán V á, 5 dm A á 5, 7 dm V 7 A köülít kö sug - háomszög mgsságánk g V k V 80 A eít kö sug - háomszög mgsságánk g V 8 ABC 0 & IAH 0 & $ IH AI és AH AI FOI, COI + + AHI (m ) & IO FI és FO FI FO AB AH & IH IO & IH R és IO R& AI R; AH $ R R; FI R; FO R 8 K O VFOI FO $ $ IO $ R $ $ R R és VAIH VFOI R ; K O J N K O + 8 AFOI FO$ ( FO+ FI) $ R$ R+ R $ R ; AAIH AFOI K O L P + R k