fokozatos felépítésűek. minden nagyobb téma előtt a témához kap csolódó elméleti összefoglaló: az emlékeztető. megoldása. Engedélyezés alatt!

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "fokozatos felépítésűek. minden nagyobb téma előtt a témához kap csolódó elméleti összefoglaló: az emlékeztető. megoldása. Engedélyezés alatt!"

Átírás

1

2

3 Korom Pál középiskolák. évfolym számár Eszterházy Károly Egyetem Okttáskuttó és Fejlesztő Intézet

4

5 Bevezető A feldtlp-gyűjtemény elsősorbn középiskoli mtemtik-tnnyg gykorlásánk céljából készült. A temtikus sorrendben felépülő feldtlpok segítik z óri munkát, szkköri, illetve korrepetáló fogllkozást, z önálló gykorlást vgy középszintű mtemtik-érettségire vló felkészülést. A feldtlpok. évfolymos kerettnterv tnnygát követik. A feldtlpok feldolgozását két fontos egység segíti. Az első egységcsoport minden ngyobb tém előtt témához kpcsolódó elméleti emlékeztető. Ezek részek z dott témához trtozó definíciókt, tételeket, illetve fontosbb eljárásokt, módszereket trtlmzzák. A másik lpvető egység pedig feldtlp-gyűjtemény végén tlálhtó megoldások, melyek z eredményeken túl z zokhoz vezető fontosbb lépéseket is mgukbn fogllják. A feldtlp-gyűjtemény készítésekor elsődleges cél volt, hogy lehetőleg minden feldtot feldtlp oldlin oldjon meg tnuló. Trtlom 5

6 Soroztok. feldtlp Soroztok EMLÉKEZTETŐ sorozt: Számsorozton olyn függvényt értünk, melynek értelmezési trtomány pozitív egész számok hlmz, z értékkészlete vlós számok részhlmz. A sorozt jelölése: n, b n, : : : Például 8 =7 jelentése, z jelű sorozt 8. tgjánk értéke 7. sorozt megdás:. Egy rtelm uts t ssl: Kpcsos zárójelpár között szerepel z utsítás. Például n = {Egymást követő, háromml nem oszthtó pozitív egész számok.}. A sorozt első öt tgj: =; =; =4; 4 =5; 5 =7.. K plettel: A sorozt áltlános (n-edik) tgját z n sorszámml fejezzük ki. Például n =n +. A sorozt első öt tgj: n + = ; = ; =7 4 ; 4 =48 5 ; 5 = Rekurz v m don: Megdjuk sorozt néhány kezdő tgját és egy szbályt, mellyel z áltlános tg z előző tgokkl előállíthtó. Például sorozt első három tgj =; =; =; n = n + n + n. A sorozt 4. tgját z 4 = + + =+ + = 4 szbállyl állíthtjuk elő. 5 = =4+ +=7; 6 = = = 6; : : :. n n = n ) Sz megyenesen: A sorozt tgjink értékét számegyenes n = n megfelelő helyein helyezzük el. Fiboncci-sorozt: Nevezetes rekurzív sorozt. Az első két tg 0,, minden további tg pedig z előző két tg összege. =, =, n = n + n.,,,, 5, 8,,, : : :. FELADATOK.. Add meg sorozt első hét elemét! ) {A sorozt első tgj. A második tg z első tg és összege. Minden következő tg egyenlő z előző tg és z előző tgot követő páros szám összegével.} = ; = ; = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 =. b) {A sorozt első tgj. A második tg z első tg és összege. Minden következő tg egyenlő z előző tg és z előző tgot követő pártln szám összegével.} = ; = ; = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 =. sorozt ábrázolás: ) Koordin t-rendszerben: A soroztok elemei pontok koor- dinát-rendszerben, pontok koordinátái sorszámok, y koordinátái sorozt értékei. n n 6 Soroztok

7 c) {A sorozt első tgj. A következő tg z előző tg ellentettje.} = ; = ; = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 =. d) {Egymást követő pozitív páros számok 0,-del csökkentett értéke.} = ; = ; = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 =. e) {Egymást követő pozitív öttel oszthtó számok.}= = ; = ; = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 =... Add meg sorozt első hét elemét! ) n = n 0 = ; = ; = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 =. b) bn = n 0 = ; = ; = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 =. c) cn = n + n + = ; = ; = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 =. d) n =( ) n n = ; = ; = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 =. e) n =( ) n = ; = ; = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 =... Add meg képlettel következő soroztokt! ) {Az egymást követő pozitív számok háromszorosi.}. n = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : b) {Az egymást követő pozitív számok négyzete.}. bn = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : c) {Az egymást követő pozitív számok fktoriális.}. cn = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d) { : : :}. dn = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : e) { : : :}. en = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :. feldtlp 7

8 .4. A következő soroztokb írd be hiányzó tgokt ( sorozt. és 5. elemét)! Írd fel képleteket is! ) ; ; : : : : : : : : : : : : : : : ; 4 ; : : : : : : : : : : : : : : : ; 6 ; : : : n = : : : : : : : : : : : : : : : : : : b) ; ; : : : : : : : : : : : : : : : ;4 ; : : : : : : : : : : : : : : : ;6 ; : : : bn c) ; ; : : : : : : : : : : : : : : : ; 4 ; : : : : : : : : : : : : : : : ; 6 ; : : : cn d) 0; ; : : : : : : : : : : : : : : : ; 4 ; : : : : : : : : : : : : : : : ; 5 6 ; : : : dn.5. Állpítsd meg rekurzív soroztok 8. tgját! ) =, =, n = n + n. 8 = b) =0, =, n =n + n. 8 = c) =, =, n = n + n. 8 =.6. Ábrázold grfikonon következő soroztok első négy elemét! ) n = n y b) bn = + n y = : : : : : : : : : : : : : : : : : : = : : : : : : : : : : : : : : : : : : = : : : : : : : : : : : : : : : : : : Soroztok

9 ( n c) =( ) n d) =4 cn dn ) y y Ábrázold számegyenesen következő soroztokt! ) n = 4+ n b) bn =4 n c) cn =( ) n 4 n d) dn = 6 n (n +).8. Keress grfikonnl ábrázolt soroztokhoz megfelelő képletet! ) n = b) bn = y c) cn = d) dn = y y 0 y feldtlp 9

10 .9. Tgj-e következő soroztoknk 64? H igen, kkor hánydik tgj z dott soroztnk? ) n = n b) bn =+n c) cn =+4(n ) d) dn = 8 n.0. Döntsd el, hogy z sorozt 8. tgj tgj-e soroztnk! n bn ) = n + n 8 n. b) =4n 7; = n 9. n bn n ; bn = 4 n 9. feldtlp Számtni sorozt. EMLÉKEZTETŐ számtni sorozt: A számtni sorozt bármelyik tgjánk ( másodiktól kezdve) és z zt megelőző tgjánk különbsége állndó. Az állndót dierenci nk (d) nevezzük. n n = d. Például,, 0,,,,: : : sorozt számtni sorozt, mivel z egymást követő tgok különbsége: ( ) =, 0 ( ) =, 0 =, =, =: : : állndó. (Az ábrán ez z n sorozt.) De számtni sorozt,,, : : : sorozt is, mert z egymást követő tgok különbsége 0. (Az ábrán ez b n sorozt.) számtni sorozt n. tgj: A számtni sorozt n. tgjánk képlet lkj: n = = +(n )d, hol sorozt első eleme, d sorozt differenciáj. Például sorozt első tgj = 4, különbsége d =. A sorozt áltlános tgj n =4 (n ). A 0. tg 0 =4 (0 ) = 0 5. n. tg mint számtni közép: ) A számtni sorozt bármelyik tgj ( másodiktól kezdve) 0 Soroztok n b n 0 n 0 b n = 4 n = +(n ) = n n n =4 (n ) két szomszédjánk számtni közepe: n = n + n+, hol n, n N +.) A számtni sorozt bármelyik tgj két zonos távolságr (m N + ) lévő szomszédjánk (mennyiben léteznek) számtni közepe: n = n m + n+m, hol n, n N +. n

11 FELADATOK.. Írd fel számtni soroztok áltlános tgját, és számítsd ki megdott tgokt! ) A sorozt első tgj 5, és differenci. b) A sorozt első tgj 6, és differenci 0 7. n = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : bn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : b 7 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : b 6 = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : c) A sorozt első tgj 4, és differenci 0. d) A sorozt első tgj 0, és differenci 0 5. cn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : dn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : c 8 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d 6 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : c 00 = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d 5 = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :.. Döntsd el, hogy z lábbi soroztképletek közül melyek számtni sorozt képletei? Amenynyiben számtni sorozt, htározd meg első tgját és különbségét is! ) =n n; b) =4n; n bn = : : : : : : : : : : : : : : : : : d =: : : : : : : : : : : : : : : : : : b = : : : : : : : : : : : : : : : : : d =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : c) =7 n; d) = n cn dn n + ; c = : : : : : : : : : : : : : : : : : d =: : : : : : : : : : : : : : : : : : d = : : : : : : : : : : : : : : : : : d =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : e) en = n n ; f) fn =4+ n n + ; e = : : : : : : : : : : : : : : : : : d =: : : : : : : : : : : : : : : : : : f = : : : : : : : : : : : : : : : : : d =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : g) gn =5; h) hn = n + ; 5 g = : : : : : : : : : : : : : : : : : d =: : : : : : : : : : : : : : : : : : h = : : : : : : : : : : : : : : : : : d =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : i) in =( ) nn. i = : : : : : : : : : : : : : : : : : d =: : : : : : : : : : : : : : : : : :. feldtlp

12 .. A számtni sorozt két tgjából htározd meg sorozt első tgját és differenciáját! Írd fel z áltlános tgját, mjd htározd meg 0. elemét! ) 5 = 4; 9 = 58. b) b 8 = 4 ; b = 86. =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : b =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : n = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : bn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : b 0 = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : c) c 5 = 87; c =7. d) d = 0 ; d 5 = 9 8. c =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : cn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : dn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : c 0 = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d 0 = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :.4. Egy számtni soroztról tudjuk, hogy hrmdik és z ötödik tgjánk összege 4. A negyedik és htodik tg összege 7. Mekkor sorozt 00. tgj?.5. Egy számtni sorozt első három tgjánk összege 0. A 0. és 0. tg összege 540. Mekkor 0. tg?.6. A Király utcár z 57. számú háznál knyrodott rá egy ti. Hánydik ház lesz keresett 6. számú ház, feltéve, h nincs osztott és üres telek? Soroztok

13 .7. Hány 6-tl oszthtó szám tlálhtó 000 és 000 között?.8. Károly egy bál tombolsorsolásán csk -ml oszthtó szelvényeket volt hjlndó vásárolni. Mennyi zsetont fizetett szelvényekért, h drbj 0 zsetonb került, és z 50-től 750-ig trtó tömbből megvásárolt z összes szelvényt?.9. A számtni sorozt két tgj ismert. Htározd meg z ismeretlen tgját! ) 5 = 5; 7 = ; 6 = b) b =6;b = 6; b = c) c 0 = 7; c 0 = 7; c 5 = d) d =0;d 7 =;d 5 =. feldtlp Számtni sorozt. EMLÉKEZTETŐ számtni sorozt első n tgjánk összegképlete: S n = + n n, hol sorozt első, n sorozt n. tgj. Az összegképlet másik lkj: S n = +(n )d n. Például z n =0 (n ) sorozt első 0 tgjánk összege S 0 = +(n )d n = 0 + (0 )( ) = 0 = 0. FELADATOK.. Egy számtni sorozt első tgj 00, differenciáj 5. ) Mekkor z első 00 tg összege? b) Mekkor következő 00 tg összege?.. Egy számtni sorozt ötödik tgj 0, nyolcdik tgj 54. Mekkor z első 0 tg összege?. feldtlp

14 .. Egy számtni sorozt kezdő tgj 4, differenciáj. ) Hánydik tgj soroztnk 50? b) Hány tgot kell összedni, hogy 646-ot kpjunk?.4. Hány gépkocsi fér el bbn prkolóbn, hol z első sorbn 6 utó és minden további sorbn -ml több utó fér el? Az utolsó sorbn utó prkolht..5. Gyerekek építőkockából z ábrán láthtó várkt építették. Hány építőkockát hsználtk fel, h vár mindkét esetben nyolc emelet mgs? ) b) : : :.6. Mennyi 9-tól 7-ig pozitív egész számok összege?.7. Mennyi háromjegyű pártln számok összege?.8. Mennyi z 000 és 000 közé eső héttel oszthtó számok összege?.9. A horgászegyesületben 8 tg vn. Egyesületi tlálkozókor mindenki kezet fog mindenkivel. ) Mennyivel nő kézfogások szám, h 5-tel nő tgság létszám? : : : 4 Soroztok

15 b) Hányn lesznek kkor z egyesületben, mikor kézfogások szám 6 lesz?.0. Kti egyform méretű fehér és piros korongokt illesztett egymás mellé z ábrán láthtó módon. Először letett egy fehér korongot (.), mjd félkör lkbn 4 piros korongot tett köré (.), és így tovább. A 0. ív letevése után hány piros és hány fehér korongot trtlmz z lkzt? 4. feldtlp Mértni sorozt. EMLÉKEZTETŐ n n = q. Például z,, 4, 8, 6, : : : sorozt mértni sorozt, mivel q = = 4 = 8 4 = 6 8 = = : : : = = állndó. mértni sorozt n. tgj: A mértni sorozt n. tgjánk képlet lkj: n = q n, hol sorozt első eleme, q sorozt hánydos. Például sorozt első tgj = 7, hánydos q = 4. A sorozt áltlános tgj n =7 4 n. A 0. tg 0 =7 4 9 = : n. tg mint mértni közép: ) H hánydos nem negtív, kkor mértni sorozt bármelyik tgj ( másodiktól kezdve) két szomszédjánk mértni közepe: n = n n+, hol n, n N +. ) A mértni sorozt bármelyik tgj két zonos távolságr (m N + )lévő szomszédjánk (mennyiben léteznek) mértni közepe: n = n m n+m, hol n, n N +. FELADATOK ( n b n =9 ) 4.. Írd fel mértni soroztok áltlános tgját, és számítsd ki megdott tgokt! c n n = n 4 5 = ( ) n ) A sorozt első tgj 5, és hánydos. b) A sorozt első tgj 6, és hánydos. n = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : bn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : b =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : mértni sorozt: A mértni sorozt bármelyik tgjánk ( másodiktól kezdve) és z zt meg- előző tgjánk hánydos állndó. Az állndót h nydosnk (kv ciensnek) (q) nevezzük. n 0 = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : b 6 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4. feldtlp 5

16 c) A sorozt első tgj 4, és hánydos 0. d) A sorozt első tgj, és hánydos 0. cn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : dn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : c 8 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d 6 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : c 49 = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.. Döntsd el, hogy z lábbi soroztképletek közül melyek mértni soroztok képletei! Amennyiben lehetséges, htározd meg mértni sorozt kezdeti tgját és hánydosát is! ) n =n 5n; b) bn = n; c) cn = n n; d) dn = n ; ( e) = 5 ; n f) = + ) n ; en fn n g) =5; h) = n ; gn hn i) in =( ) n. n 6 Soroztok

17 4.. A mértni sorozt két tgjából htározd meg sorozt első tgját és hánydosát! Írd fel z áltlános tgját, mjd htározd meg kérdezett elemét! ) 5 = 48; 7 = 9. b) b = 5 7 ; b 5 = 5 4. n = : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : bn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : b 7 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : c) c 5 = ; c 6 =. d) d =6;d 6 = 486. cn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : dn =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : c 8 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : d 5 =: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.4. Egy mértni soroztról tudjuk, hogy hrmdik és z ötödik tgjánk összege 90. A negyedik és htodik tg összege 70. Mekkor sorozt. tgj? 4.5. Egy mértni sorozt első három tgjánk összege. A első és negyedik tg különbsége 4. Mekkor z ötödik tg? Egy mértni sorozt ötödik tgj 0 5. A sorozt hánydos 5. ) Mekkor sorozt htodik tgj? b) Mekkor sorozt első tgj? 4. feldtlp 7

18 4.7. A n = n mértni soroztnk hány tgj esik 50 és 500 közé? 4.8. Kezdetben 5 mőb volt táptljon. Ez z mőbfjt két óránként osztódik. ) Hány ór múlv lesz 560 mőb mintábn? b) Hány ór múlv lesz drb mőb mintábn? 4.9. A mértni sorozt két ismert tgjánk segítségével htározd meg z ismeretlen tgját! ) 5 = 8; 7 = ; 6 = b) b =;b = 49; b = c) c 0 =7;c 0 = 8; c 5 = d) d = 7; d 7 = 8; d 5 = 5. feldtlp Mértni sorozt. EMLÉKEZTETŐ q n mértni sorozt első n tgjánk összegképlete: S n = q, hol sorozt első tgj, q sorozt hánydos. Például z n =0 n mértni sorozt első 0 tgjánk összege S 0 =0 0 = FELADATOK 5.. Egy mértni sorozt első tgj 00, hánydos 5. ) Mekkor z első 5 tg összege? b) Mekkor z első 5 tg összege, h hánydos 5? 8 Soroztok

19 5.. Egy mértni sorozt első öt tgjánk összege 55 64, sorozt hánydos 4. Mekkor sorozt első tgj? 5.. Egy mértni sorozt negyedik tgj 50. A sorozt hánydos 5. ) Mekkor sorozt első tgj? b) Az első tgtól kezdve hány tgot djunk össze, hogy et kpjunk? 5.4. Ngy felületű, 0 mm vstgságú ppírlpot többször egymás után félbehjtunk. ) Mekkor lesz vstgság többszörösen félbehjtott ppírlpnk z 5. hjtogtás után? b) Hány hjtogtás után lesz ppír vstgság ngyobb, mint 0 cm? 5.5. Egy mértni sorozt első két tgjánk összege 6, negyedik és ötödik tgjánk összege 4. Mennyi sorozt első öt tgjánk összege? 5.6. A Világváros egyik divtházábn megfigyelték, hogy sikeres ruhmodellből minden hónpbn z előző hónp elkelt mennyiségének másfélszeresét dták el. Megközelítőleg hány ruhát dtk el fél év ltt, h z első hónpbn drbot dtk el? 5.7. A Világváros egyik üzlete végkiárusítást trt. Minden héten még meglevő árukészletének hrmd fogy el. ) Mekkor volt z árukészlet, h 8 hét után még 56 drb áru mrdt? b) Összesen mennyi árut dtk el nyolc hét során? 5. feldtlp 9

20 5.8. Tmás képregény-gyűjteményét rendezgeti. Amikor z első oszlopb 9 drbot rkott és minden további oszlopb háromszor nnyit, mint z előzőbe, kkor 5 újságoszlopot kpott. Aztán z első oszlopb -et tett és minden további oszlopb z előző oszlop kétszeresét. Ekkor hány újságoszlop született? 6. feldtlp Vegyes feldtok FELADATOK 6.. A 6 és 65 közé iktss be számot úgy, hogy ) számtni, b) mértni sorozt lkossnk! 6.. Egy növekvő számtni sorozt második tgj 9. Az első, htodik és hrmincegyedik tg mértni soroztot lkot. Mekkor számtni sorozt 0. tgj? 6.. Egy mértni sorozt hánydos. H z első tgot -gyel, hrmdikt -ml, negyediket 8-cl csökkentjük, egy számtni sorozt egymást követő tgját kpjuk. Mekkor mértni sorozt első tgj? 6.4. Egy számtni sorozt első három tgjánk összege 9. H z első tgot 5-tel, hrmdik tgot 6-tl csökkentjük, negyedik tgot 5-tel növeljük, kkor z így kpott szám mértni soroztot lkot. Mekkor z eredeti sorozt differenciáj? 0 Soroztok

21 6.5. Egy háromjegyű szám számjegyei mértni soroztot lkotnk. H számot 4-gyel csökkentjük, számjegyek számtni soroztot lkotnk. Az eredeti szám számjegyeinek összege. Melyik ez szám? 6.6. A szórkozott professzor elfelejtette telefonj négyjegyű PIN kódját. Arr emlékszik, hogy z első szám számtni, de z utolsó három mértni soroztot lkot. A középső két szám összege egyenlő z első számml és z utolsó két szám összege felekkor, mint z első számjegy. Mi lehetett professzor PIN kódj? 7. feldtlp Kmtos kmt számítás EMLÉKEZTETŐ kmtos kmt számítás: Az lpfeldt: A bnkb tett t (Ft vgy más pénznem) évi tőkésítéssel, p%-kos kmtlábbl, n év ( elteltével t ke kmtos kmttl n velt rt ke T = t + p ) n (Ft vgy más pénznem) lesz. 00 kmttényező: A+ p kifejezést, hol p kmtláb, kmttényezőnek nevezzük. 00 ( Például Ft 0%-os kmtlábbl 5 év múlv T = t + p ) n ( = ) 5 = 9 6 Ft. A betét tehát = 7 6 Ft-tl növekedett. FELADATOK 7.. Bnkb tett Ft-unk egy év ltt Ft-r növekedett. ) Mennyi z éves kmt? b) Hány forintunk lesz 5 év múlv, h nem nyúlunk betéthez? c) Hány év ltt duplázódn meg pénzünk? 7. feldtlp

22 7.. Egy város lkosság évente átlgosn %-kl növekszik. A jelenleg lkosú városbn hányn éltek 5 évvel ezelőtt? 7.. Egy szrvsmrh tenyésztő telepen z éves szporult 6%. Három évente eldják z állomány 4%-át. Mekkor lesz z álltállomány év múlv, h jelenleg 00 egyedből áll? Ft kölcsönt szeretnénk felvenni. Mennyi lesz hvi törlesztőrészlet, h kölcsönt 6 évre veszünk fel évi,5%-os kmt mellett? 7.5. Mekkor lesz hvi kmt, h z éves kmt 9%? 7.6. Jnuárbn fitl munkvállló kezdő fizetése Ft. A következő lehetőségek közül válsztht. A: A fizetése fél évig nem változik, mjd következő félévben hvont 7000 Ft-tl emelkedik. B: A fizetése z első évben hvont %-kl emelkedik. ) Melyik esetben lesz ngyobb z éves jövedelem? b) Mennyi lesz z október hvi fizetése A, illetve B esetben? Térgeometri 8. feldtlp Területszámítás. EMLÉKEZTETŐ sokszög területe: A sokszög területe sokszöghöz hozzárendelt pozitív szám, melyre teljesül következő két feltétel: ) Az egybevágó sokszögek területe egyenlő; b) H egy sokszög véges sok összetevő-sokszög egyesítéséből áll, kkor területe egyenlő z összetevő-sokszögek területének összegével. A terület jele: T, t. A terület mértékegysége: [T ]=m. területegység: Az egységnyi oldlú négyzet területe. tégllp kerülete, területe: A tégllp két szomszédos oldl és b. A tégllp kerülete: K =( + b), területe: T = b. négyzet kerülete, területe: A négyzet oldl. A négyzet kerülete: K =4, területe: T =. K = + b + c + d Térgeometri síkidom kerülete: A síkidom kerülete egyenlő htárolóvonli hosszánk összegé- vel. A kerület jele: K, k. A kerület mértékegysége: [K ]=m. e d b c b

23 prlelogrmm kerülete, területe: A prlelogrmm két szomszédos oldl és b. A prlelogrmm kerülete: K =( + b), területe: T = m = b sin, hol m prlelogrmm mgsság. háromszög kerülete, területe: A háromszög három oldl, b és c. A háromszög kerülete: K = + b + c, területe: T = m, T = bsin, T = rs, T = bc, hol s kerület fele, r háromszögbe írhtó kör sugr, R háromszög 4R köré írhtó kör sugr. szbályos háromszög kerülete, területe: A háromszög oldl. A háromszög kerülete: K =, területe: T = 4. trpéz kerülete, területe: A trpéz két párhuzmos oldl (lpj) és c, két szár pedig b és d. A trpéz kerülete: K = + b + c + d, területe: T = + c m. szimmetrikus trpéz kerülete, területe: A trpéz két párhuzmos oldl (lpj) és c, szári pedig b. A trpéz kerülete: K = +b + c, területe: T = + c m. konve deltoid kerülete, területe: Az ábr jelöléseivel deltoid kerülete: K =( +b), területe: T = e f. rombusz kerülete, területe: Az ábr jelöléseivel rombusz kerülete: K =4, területe: T = e f. FELADATOK 8.. A tégllp lkú sztl oldli 40 cm és 60 cm hosszúságúk. A házisszony egy négyzet lkú terítőt tett rá z ábrán láthtó módon. (A terítő átlósn pont átéri z sztlt.) A terítő z sztl hány százlékát fedi be? 8.. Az úthenger áthjtott fogkrém tubusán, és következő lkztot kptuk. Leglább mekkor területű fémlpból készült tubus? cm,5 cm 5 cm 40 cm d b {}}{ m m m f b c m c b e f e c b b b b } {{ } 60 cm 5cm,4 cm 8. feldtlp

24 8.. Trpéz lkú kerti medencében ht drb 60 cm széles és 80 cm hosszú gumimtrc fér el z ábrán láthtó módon. ) Mekkor medence lpterülete? b) Mekkor medence lpjánk kerülete, h gumimtrcok pont hrmdoló pontbn érintik egymást? 8.4. Egy prlelogrmm 8 4 cm és 5 cm hosszú oldlir kifelé zonos mgsságú tégllpokt rjzolunk. A prlelogrmm oldli közötti hjlásszög 74. Mekkor z lkzt területe és kerülete, h tégllpok összterülete 0%- prlelogrmm területének? 8.5. Az ábrán láthtó zöld színű útjelző tábl szélére 5 cm széles fehér csíkot festenek. Hány százlék fehér terület zöld területnek? 54 cm 46 cm 54 cm cm 6 cm 4 Térgeometri

25 8.6. Mekkor z ábrán láthtó telek ) területe és b) kerülete? 8,7 m 0, m 0, m 7, m 4,6 m 9. feldtlp 8,5 m 6,4 m Területszámítás. EMLÉKEZTETŐ 0, m kör kerülete, területe: Az r sugrú kör kerülete: K =r, területe: T = r. ( körcikk kerülete, területe: Az szögű, r sugrú körcikk kerülete: K = + ) 80 r, területe: T = 60 r. FELADATOK 5,7 m 9.. ) Mekkor 0 cm oldlú szbályos háromszög köré és háromszögbe írt kör áltl közbezárt körgyűrű területe? b) Oldd meg feldtot áltlános hosszúságú oldl esetén is! 9.. Mekkor 9 6 cmés6 8 cm átlójú rombuszb írhtó kör és rombusz áltl közbezárt lkzt területe? 9. feldtlp 5

26 9.. Az befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszögből kivágjuk beírhtó körét. Mekkor területű rész mrd? 9.4. Mekkor szkszok és körívek áltl htárolt épület ) lpterülete és b) z lpjánk kerülete -szel kifejezve? Ht drb egyform r = 6 cm sugrú konzervet kétféleképpen csomgolunk be. Hány százlékkl igényel ngyobb területet második megoldás z első megoldáshoz képest?. csomgolás. csomgolás 9.6. ) Mekkor kerülete és területe z r = 0 cm sugrú körbe írt szbályos ötszögnek, htszögnek és hétszögnek? 5 6 Térgeometri

27 b) Milyen tendenciát figyelhetünk meg szbályos sokszög csúcsink szám és sokszög kerülete, illetve területe között? 0. feldtlp Test részeinek kiszámítás. EMLÉKEZTETŐ síkmetszet: A test és testet elmetsző sík áltl meghtározott sík lkzt. pont és pont távolság: A pontokt összekötő szksz hossz. H két pont egybeesik, kkor távolságuk 0. pont és egyenes távolság: A pont, és pontból z egyenesre bocsátott merőleges tlppontjánk távolság. pont és sík távolság: A pont, és pontból síkr bocsátott merőleges tlppontjánk távolság. egyenes és egyenes távolság: ) Két metsző egyenes távolság 0. b) Két párhuzmos egyenes távolságát megkpjuk, h z egyik egyenes tetszőleges pontjánk és másik egyenesnek távolságát htározzuk meg. P egyenes és sík távolság: ) A sík és síkot döfő egyenes távolság 0. b) A párhu- zmos egyenes és sík távolság egyenlő z egyenes egy tetszőleges pontjánk és sík távolságávl. P T P T P T P e T P sík és sík távolság: ) Két egymást metsző sík távolság 0. b) Két párhuzmos sík távolság egyenlő z egyik sík egy tetszőleges pontjánk és másik sík távolságávl. e e f S S S Q T S 0. feldtlp 7

28 S P f két kitérő egyenes távolság: Az egyik egyenessel párhuzmost húzunk másik egye- nes egy tetszőleges pontján át. A kitérő egyenesek (e és f ) távolság egyenlő z egyenes és két metsző egyenes áltl kifeszített sík távolságávl. e e FELADATOK 0.. Htározd meg kockák következő síkmetszetének lkját! Az O, P, Q, R, S, T, U és V pontok oldlfelező pontok. (A metsző síkot csk három pontjávl djuk meg, de ez nem feltétlenül jelenti zt, hogy síkmetszet háromszög lkú lesz!) ) A metsző sík: RPT. b) A metsző sík: EFC. c) A metsző sík: H FA. E A V R H D F B T P G C E A H D d) A metsző sík: OPG. e) A metsző sík: OPS. f) A metsző sík: OPU. E A H F G D D C P O B A O B 0.. A tégltest oldli 0 cm, 6 cm és 4 cm. G és F pontok élfelező pontok, H pedig z él hrmdolópontj. Mekkorák következő szkszok hosszi: AB = AC = E H S 8 Térgeometri F B F P G C G C 6cm E A E A V H D H D O C H F AF = AH = FG = B 0 cm F B U F B P G C G C 4cm G A

29 szát! G és F pontok élfelező pontok, H pedig z él hrmdolópontj. AB = AC = AF = FH = FG = nes kock A; C ; D; F ; G; H pontjitól? 0.5. Adott z oldlú kock. Milyen távol vn CE egyenes kock A; B; D; F ; G; H pontjitól? ) A BF és GH egyenes távolság? b) A BF és DH egyenes távolság? c) A BF és AH egyenes távolság? d) A BF és AG egyenes távolság? E 0.4. Adott z 5 cm oldlú kock. Milyen távol vn BE egye A E A E 0.6. Htározd meg z = 0 cm élű kock pontji áltl meg- htározott lábbi egyenesek távolságát! A 0.. Htározd meg z oldlú kock következő szkszink hosz H D H D H D C B H F B F B F B F G A G C G C G C 0. feldtlp 9

30 . feldtlp Test részeinek kiszámítás. EMLÉKEZTETŐ két egyenes hjlásszöge: ) Két metsző egyenes hjlásszöge egyenlő metszéspontjukból kiinduló két félegyenes derékszögnél nem ngyobb hjlásszögével. b) Két kitérő egyenes e hjlásszöge egyenlő z egyik egyenessel párhuzmos, másik egyenest metsző egyenes és másik egyenes hjlásszögével. M egyenes és sík hjlásszöge: ) Egymássl párhuzmos sík és egyenes hjlásszöge 0. b) A síkot döfő egyenes és sík hjlásszöge egyenlő z egyenes és síkon levő merőleges vetületének hjlásszögével. két sík hjlásszöge: ) Két párhuzmos sík hjlásszöge 0. b) A síkok metszésvonlánk egy tetszőleges pontjáb húzott, metszésvonlr merőleges egy-egy egyenesének hjlásszöge. FELADATOK.. Htározd meg z = cm élű kock pontji áltl meghtározott lábbi egyenesek hjlásszögét! Az I pont élfelező pont. E A H D F I B G C E A H D F I B ) A BF és EG egyenes hjlásszöge? m G C S E A e S S H D M f e F I B e T m M f f G C e síkr merőleges egyenes: Egy síkr kkor és csk kkor merőleges egy egye- nes, h sík összes egyenesére merőleges. Tehát, h z egyenes sík két nem párhuzmos egyenesére merőleges, kkor síkr is merőleges. } m e m S m f e S b) A BF és EC egyenes hjlásszöge? 0 Térgeometri

31 c) A BF és BH egyenes hjlásszöge? d) A BF és H I egyenes hjlásszöge? e) Az AG és H B egyenes hjlásszöge?.. Htározd meg tégltest pontji áltl meghtározott lábbi egyenesek hjlásszögét! ) A H F és DF egyenes hjlásszöge? b) A H F és H A egyenes hjlásszöge? c) Az AF és z FG egyenes hjlásszöge? d) Az AF és z FH egyenes hjlásszöge? E 4cm ) Az FH egyenes és BCG sík hjlásszöge? b) A DF egyenes és BCG sík hjlásszöge? c) Az AG egyenes és z ABC sík hjlásszöge? d) Az AB egyenes és z AGE sík hjlásszöge? A H D E.. Htározd meg z = 8 cm élű kock pontji áltl megh- tározott lábbi egyenesek és síkok hjlásszögét! A 0 cm D F G C 6cm B H F B G C. feldtlp

32 .4. Htározd meg tégltest pontji áltl meghtáro- zott lábbi egyenesek és síkok hjlásszögét! ) Az FH egyenes és BCG sík hjlásszöge? b) A DF egyenes és BCG sík hjlásszöge? c) Az AG egyenes és z ABC sík hjlásszöge? d) Az AB egyenes és z AGE sík hjlásszöge? E 4cm ) Az EFGH sík és BDH F sík hjlásszöge? b) Az EFGH sík és z ACF sík hjlásszöge?.6. Htározd meg tégltest pontji áltl meghtározott lábbi síkok hjlásszögét! ) Az ABGH és z ABCD sík hjlásszöge? b) A BFH D és z ABCD sík hjlásszöge? A H D E.5. Htározd meg z = 0 cm élű kock pontji áltl meg- htározott lábbi síkok hjlásszögét! A 0 cm H D F G C 6cm B c) A H FBD és z ACGE sík hjlásszöge? E 5cm A H D cm F B F B G C 8cm G C Térgeometri

33 . feldtlp Hsáb felszíne és térfogt. EMLÉKEZTETŐ fedőlp egyenes poliéder: Kizárólg sokszöglpokkl htárolt test. lkotó hsáb: Húzzunk párhuzmost egy sokszög minden htárolópontjából, sokszög síkjávl nem párhuzmos egyenessel. Ezeket párhuzmos egyeneseket messük el sokszög síkjávl párhuzmos síkkl. Az oldllp lplp így kpott térbeli lkzt hsáb. lplp: A hsáb lplpj kiindulási sokszög. fedőlp: A hsáb lplpjávl párhuzmos síkkl vló metszéssel kpott sokszög. lkotó: Az egyenessel párhuzmos egyenesek z lplp és fedőlp közé eső szksz. oldllp: Az lkotók áltl meghtározott prlelogrmm lkú síklpok. plást: Az oldllpok összessége. egyenes hsáb: Olyn hsáb, hol sokszög síkj és z lkotó merőleges egymásr. hsáb mgsság: Az lplp és fedőlp távolság. Az egyenes hsábnál hsáb mgsság egyenlő z lkotó hosszávl. hálózt: A hsáb egy síkb kiterített oldl-, lp-, és fedőlpji. tégltest: Tégllp lpú egyenes hsáb. kock: Olyn tégltest, melynek minden éle egyenlő. négyzetes hsáb: Négyzet lpú egyenes hsáb. hsáb térfogt: A hsáb lplpterületének és mgsságánk szorzt: V = T m. hsáb felszíne: Az lplp, fedőlp és plást területének z összege: A =T + P. egyenes hsáb térfogt: A hsáb lplpterületének és mgsságánk szorzt: V = T m. egyenes hsáb felszíne: Az lplp, fedőlp és plást z lplp kerületének és mgsság szorzt: A =T + m k. tégltest térfogt: V = bc, hol, b, ésc tégltest éle. tégltest felszíne: A =(b + c + bc), hol, b, ésc tégltest éle. kock térfogt: V =, hol kock éle. kock felszíne: A =6, hol kock éle. FELADATOK m Szbályos ötoldlú hsáb.. A tégltest lkú szob hossz 5 5 méter, szélessége 4 méter és mgsság 8 méter. ) Hány köbméter szob térfogt? b) Mekkor szob felszíne? c) Leglább mekkor felületű tpét szükséges flkr, h nyílászárók összterülete 8 m?.. A kock testátlój cm. Mekkor kock felszíne és térfogt?. feldtlp

34 .. A négyzetes oszlop lplpjánk átlój cm, testátlój cm. Mekkor négyzetes oszlop térfogt és felszíne?.4. Mekkor egy egyenlő szárú háromszög lpú egyenes hsáb felszíne és térfogt, h z lplp lpj 6 cm és szár 8 cm, és test mgsság 5 cm?.5. A tégltest lpjánk élei 5 cm és 5 cm. Mekkor tégltest felszíne, h térfogt 600 cm?.6. A kock felszíne 0%-kl növekedett. Hány százlékos térfogtváltozás?.7. A tégltest éleinek rány : : 4. Hány százlékkl változik tégltest felszíne és térfogt, h legkisebb él 50%-kl, középső él 00%-kl nő, míg hrmdik él változtln mrd? 4 Térgeometri

35 . feldtlp Hsáb felszíne és térfogt. FELADATOK.. A 0 méter hosszú, 5 méter széles és 6 méter mély medence kiásáskor hány köbméter földet mozgttk meg munkások? Hány négyzetméter felületet kell kicsempézni?.. Egy szbályos háromszög lpú hsáb lkú tolltrtó lpéle 8 cm, hossz 0 cm. Mekkor tolltrtó térfogt és felszíne?.. Egy édességet tároló egyenes doboz lplpj 0 cm és 5 cm oldlú prlelogrmm. Az oldlk hjlásszöge 85. A doboz mgsság 8 cm. A doboz áttervezésekor hjlásszöget 75 -osr változttták. Mekkor lett mgsság, h doboz térfogt zonos mrdt?.4. Mekkor szbályos htoldlú hsáb felszíne és térfogt, h lpjánk oldléle 0 cm, mgsság pedig 0 cm?.5. Mekkor szbályos nyolcoldlú hsáb felszíne és térfogt, h lpj köré írhtó kör sugr 5 cm, mgsság pedig 8 cm?. feldtlp 5

36 .6. Mekkor szbályos ötoldlú hsáb felszíne és térfogt, h lpjáb írhtó kör sugr 5 cm, mgsság pedig 5 cm? 4. feldtlp Henger felszíne és térfogt EMLÉKEZTETŐ henger: Húzzunk párhuzmost egy zárt síkgörbe minfedőlp egyenes den htárolópontjából, görbe síkjávl nem párhuzmos egyenessel. Ezeket párhuzmos egyeneseket lkotó messük el görbe síkjávl párhuzmos síkkl. Az így kpott térbeli lkzt henger. plást lplp: A henger lplpj kiindulási zárt síkgörbe. fedőlp: A henger lplpjávl párhuzmos síkkl vló lplp metszéssel kpott síkgörbe. henger lkotój: Az egyenessel párhuzmos egyenesek z lplp és fedőlp közé eső szksz. henger plástj: Az lkotók áltl meghtározott felület. egyenes henger: Olyn henger, hol z lplp síkj és z lkotó merőleges egymásr. henger mgsság: Az lplp és fedőlp távolság. Az egyenes hengernél mgsság egyenlő z lkotó hosszávl. körhenger: Kör lpú egyenes henger. egyenes henger térfogt: A henger lplpjánk területének és mgsságánk szorzt: V = r m. egyenes henger felszíne: Az lplp, fedőlp és plást területének z összege: A =r(r + m). FELADATOK 4.. Krtonlpból jándék számár körhenger lkú dobozt szeretnénk készíteni. Az lpkör sugr 0 cm, henger mgsság 5 cm. Mekkor körhenger térfogt és felszíne? m r 6 Térgeometri

37 4.. Körhenger lkú konzervdoboz térfogt dl, lpkörének átmérője 6 cm. Mekkor konzervdoboz felszíne? 4.. Körhenger lkú kenőcstégely felszíne 4 cm, mgsság 5 cm. Mekkor z lpkörének átmérője? 4.4. Mekkor nnk körhengernek mgsság, melynek lpköre 5 cm sugrú, és felszínének mérőszám egyenlő térfogtánk mérőszámávl? 4.5. Egy 8 cm oldlhosszúságú négyzetet megforgtunk szemközti oldlfelező pontjin áthldó tengely körül. Mekkor z így kpott henger felszíne és térfogt? 4.6. Hány köbméter betonból készült z betoncső, melynek hossz 6 méter, külső átmérője méter, belső átmérője 86 cm? 4. feldtlp 7

38 4.7. Mekkor 0 térfogt és felszíne? középponti szögű, 4 cm sugrú körcikk lpú, 5 cm mgsságú sjt 5. feldtlp Gúl felszíne és térfogt EMLÉKEZTETŐ gúl: Kössük össze egy sokszög minden htárolópontját, egy nem sokszög síkjábn lévő ponttl (cs ccsl). Az így kpott térbeli lkzt gúl. lplp: A gúl lplpj kiindulási sokszög. lkotó: A gúl csúcsát és z lplp sokszögét összekötő szksz. oldllp: A sokszög oldl és csúcs áltl meghtározott háromszög lkú síklp. plást: Az oldllpok összessége. gúl mgsság: A csúcsból z lplpr bocsátott merőleges szksz hossz. tetréder: Háromoldlú gúl. Gúl Szbályos ötoldlú gúl szbályos n-oldlú gúl: A gúl lpj szbályos n-oldlú sokszög és gúl mgsságánk tlppontj sokszög középpontj. gúl térfogt: A gúl lplpterületének és mgsság hrmdánk szorzt: V = T m. gúl felszíne: Az lplp és plást területének z összege: A = T + P. szbályos tetréder felszíne: A =. szbályos tetréder térfogt: V =. FELADATOK 5.. A gizi pirmis közel szbályos, négyzet lpú gúl, melynek lpéle 9 méter, mgsság 45 méter. ) Mekkor pirmis térfogt, és plástjánk területe? 8 Térgeometri

39 b) Mekkor szöget zárnk be z oldllpok z lplppl? 5.. ) Mekkor 0 cm oldlú szbályos tetréder felszíne és térfogt? b) Mekkor szöget zár be két oldllp egymássl? méter és 6 méter oldlú tégllp lpú toronyr 8 méter mgs gúl lkú tető készül. Körülbelül mennyi cserép kell rá, h egy cserép területe 6 dm? b) Rjzold le tetréder hálóját! c) Mekkor felszín? 5.4. Az ábrán láthtó egyenlőszárú derékszögű háromszög l- pú gúl lkú dl-es üdítős ppírdobozt szeretnénk készíteni. ) Mekkor legyen z? 5. feldtlp 9

40 5.5. Egy gúl lpj szbályos htszög. A htszög köré írhtó kör átmérője 0 cm. Mekkor gúl felszíne és térfogt, h mgsság 0 cm? 5.6. Egy egyenlőszárú háromszög lkú sátorlp lpj méter, szár méter. ) Ht sátorlpot összekötve milyen mgs rúddl kell középen megtámsztni, hogy kifeszüljön sátor? b) Mekkor sátor térfogt? c) Mekkor felületet kell vízhtlnító visszl bedörzsölni? 6. feldtlp Kúp felszíne és térfogt EMLÉKEZTETŐ gúl: Kössük össze egy zárt síkgörbe (vez rg rbe) minden htárolópontját, egy nem síkgörbe síkjábn lévő ponttl (cs ccsl). Az így kpott térbeli lkzt kúp. lplp: A kúp lplpj kiindulási görbe. lkotó: A kúp csúcsát és síkgörbét összekötő szksz. plást: Az lkotók áltl leírt felület plást. mgsság: A csúcs és z lplp távolság. Körkúp Egyenes körkúp 40 Térgeometri

41 körkúp: Olyn kúp, hol z lplp kör. egyenes körkúp: Olyn körkúp, melynek mgsságánk tlppontj egybeesik z lpkör középpontjávl. egyenes körkúp térfogt: A henger lplpjánk területének és mgsság szorzt: V = r m. egyenes körkúp felszíne:. Az lplp és plást területének z összege: A = r + r = r(r + ). FELADATOK 6.. Egyenes körkúp lpkörének sugr 0 5 méter, mgsság méter. Mekkor kúp felszíne és térfogt? 6.. Az egyenes körkúp mgsság 0 cm, térfogt pontosn liter. Mekkor kúp felszíne? 6.. Iskoli demonstrációs egyenes körkúp lkotój 6 cm, felszíne 50 cm. Mekkor térfogt? 6.4. Mekkor z egyenes körkúp lkú pohár űrtrtlm, h fedőkörének átmérője 6 cm, és lkotój 4 cm? 6. feldtlp 4

42 cm sugrú félkörből egyenes körkúpot hjtogtunk. Mekkor z így kpott kúp lpkörének területe, és mekkor kúp mgsság? 6.6. Egyenes körkúp mgsság z lpkör r sugránk fele. Mekkor körkúp térfogt és felszíne? 6.7. A 4 cm és 6 cm befogójú derékszögű háromszöget megforgtjuk előbb 4 cm-es mjd 6 cm-es befogój mint tengely körül. Mekkor z így kpott kúpok térfogtánk különbsége? Mekkor kúpplástok területének különbsége? 7. feldtlp Csonkgúl felszíne és térfogt EMLÉKEZTETŐ csonkgúl: A kúpot z lplppl párhuzmos síkkl elmetszve két testet kpunk. Az lplp és síkmetszet közötti test csonkgúl. lplp: Azonos kiindulási gúl lplpjávl. fedőlp: A kiindulási gúlából z lplp síkjávl párhuzmos síkkl kimetszett lkzt. A fedőlp és z lplp hsonló lkzt. lkotó: A kiindulási gúl csúcsát és z lplp sokszögét összekötő egyenes lplp és fedőlp közé eső része. oldllp: A csonkgúl lkotói áltl meghtározott síkidom. Az oldllp trpéz, mivel z lplppl és fedőlppl közös oldli párhuzmosk. 4 Térgeometri

43 plást: Az oldllp-trpézok összessége. csonkgúl mgsság: Az lplp és fedőlp távolság. szbályos n-oldlú csonkgúl: Szbályos n-oldlú gúlából keletkezett csonkgúl. csonkgúl térfogt: V = m t (T ) + T T f + T f, hol m t csonkgúl mgsság, T z lplp területe, T f fedőlp területe. csonkgúl felszíne: Az lplp, fedőlp és plást területének z összege: A = T + T f + P, hol T z lplp területe T f fedőlp területe, P plást területe. FELADATOK 7.. A szbályos négyoldlú csonkgúl lplpjánk z éle 0 cm, fedőlp éle pedig 6 cm. A két lp távolság cm. Mekkor csonkgúl felszíne és térfogt? 7.. A betontuskó formáj szbályos négyszög lpú csonkgúl. A csonkgúl lplpjánk éle 0 cm, fedőlp éle pedig 5 cm. A tuskó mgsság 0 cm. Hány drb betontuskó önthető ki 5 m betonból? 7.. A szbályos háromszög lpú gúl lkú sütemény lpéle 6 cm, mgsság 9 cm. Mekkor lesz sütemény térfogt, miután Kti sütemény tetejét mgsságánk felső hrmdábn vízszintesen levágt? m t T 7. feldtlp 4

44 7.4. A szbályos négyoldlú csonkgúl oldl z ábrán láthtó trpéz. 0 cm cm cm ) Mekkor z oldllp mgsság? b) Mekkor csonkgúl felszíne? c) Mekkor csonkgúl mgsság? d) Mekkor csonkgúl térfogt? 7.5. Szbályos ötszög lpú virágváz méreteit megmértük. Az lplpjánk éle 6 cm, fedőlpjánk éle 4 cm, mgsság 0 cm. Mennyi víz fér vázáb? 7.6. Tmás lépcsős pirmis modellt készített z iskol számár. A pirmis minden lépcsője négyzet lpú szbályos csonkgúl. A pirmis legfelső lépcsőjének lpéle 5 cm, fedőlpjánk oldl 4 cm, mgsság cm. Minden lul lévő pirmis felette lévőnek 5-szoros ngyítottj. Tmás összesen tíz lépcsőt készített. ) Mekkor z így kpott pirmis össztérfogt? b) Leglább mekkor területű ppírt hsznált fel összesen, h sttiki okokból gúlák lját is bevont ppírrl? 5 cm 44 Térgeometri

45 8. feldtlp Csonkkúp felszíne és térfogt EMLÉKEZTETŐ csonkkúp: A kúpot z lplppl párhuzmos síkkl elmetszve két testet kpunk. Az lplp és síkmetszet közötti test csonkkúp. lplp: Azonos kiindulási kúp lplpjávl. fedőlp: A kiindulási kúpból z lppl párhuzmos síkkl kimetszett lkzt. A fedőlp és z lplp hsonló lkzt. lkotó: A kiindulási gúl csúcsát és z lplp sokszögét összekötő egyenes lplp és fedőlp közé eső Körkúp része. plást: A csonkkúp lkotói áltl meghtározott idom. csonkkúp mgsság: Az lplp és z oldllp távolság. körkúp: Olyn kúp, hol z lplp kör. egyenes csonkkörkúp: Olyn csonkkúp, melyet egyenes körkúp elmetszésével kpunk. A továbbikbn csk csonkk p néven említjük. egyenes csonkkúp térfogt: V = m (R + Rr + r ). egyenes csonkkúp felszíne: Az lplp, fedőlp és plást területének z összege: A = [ R + r +(R + r) ]. Ahol R z lplp sugr, r fedőlp sugr, m csonkkúp mgsság és z lkotó hossz. FELADATOK Egyenes körkúp 8.. A csonkkúp lpkörének átmérője 8 5 cm, fedőkörének átmérője 78 cm, mgsság 6 74 cm. Mekkor csonkkúp felszíne és térfogt? 8.. Csonkkúp lkú tál lpkörének sugr 0 cm, fedőkörének sugr cm. Mekkor legyen nnk henger lkú tálnk z átmérője, melynek mgsság is és térfogt is zonos csonkkúp lkú tálévl? m r R 8. feldtlp 45

46 8.. Az ábrán láthtó szimmetrikus trpézt szimmetritengelye körül megpörgetjük. Mekkor z így kpott csonkkúp felszíne és térfogt? 7cm 4cm 7cm 8.4. A kúp lpkörének átmérője 0 cm, mgsság 8 cm. Milyen mgsságú kúpot kell csúcsáról levágni, h zt krjuk, hogy z így kpott csonkkúp térfogt z eredeti térfogt 8%- legyen? 8.5. Egy csonkkúp térfogt 5000 cm, z lpkör sugr 6,5 cm, mgsság 44 cm. Mekkor fedőlp sugr? 8.6. Egy csonkkúp térfogt 450 cm, mgsság 5 cm. Az lp- és fedőkör sugránk különbsége 4 cm. Mekkor két sugár? 4 cm 46 Térgeometri

47 9. feldtlp Gömb felszíne és térfogt EMLÉKEZTETŐ gömb: A tér egy O pontjától r távolságr lévő pontok hlmz. gömb középpontj: Az O pont. gömb sugr: Az r távolság. gömb térfogt: V = 4 R. gömb felszíne: A =4R. FELADATOK 9.. A megközelítőleg gömb lkú Föld közepes sugr R Föld = 67 km. Mekkor Föld térfogt és felszíne? 9.. A ngymm 0 cm átmérőjű, 0 cm mgs henger lkú tálbn keveri ki túrógombóc lpnygát, és tál pont tele vn. Legfeljebb hány drb 4 cm átmérőjű egész gombóc készülhet msszából? 9.. Az 0 liter térfogtú gömbnek mekkor felszíne? R 9. feldtlp 47

48 9.4. A félgömb felszíne m. Mekkor térfogt? 9.5. Az űrállomás súlytlnsági állpotábn egy, cm és egy, cm sugrú gömb lkú vízcsepp egyesült egy ngyobb gömbbé. ) Mekkor lett z új gömb sugr? b) Az új gömb felszíne mennyivel lett kisebb két eredeti gömb összfelszínéhez képest? 9.6. A gömb lkú mezőgzdsági víztározó trtály külső átmérője méter, flánk vstgság 0 5 cm. ) Hány tonn vizet tárol, h trtály 5%- biztonsági okokból levegőt trtlmz? A víz sűrűsége 000 kg m. b) Üresen mekkor tömege, h trtály 800 kg m sűrűségű nygból készült? (m = % V, hol m test tömege, V test térfogt és % test nygánk sűrűsége.) 48 Térgeometri

49 0. feldtlp Testben lévő testek FELADATOK 0.. A kock felszíne 8 5 cm. ) Mekkor köré és beleírhtó gömb térfogtánk különbsége? b) Mekkor köré és beleírhtó gömb felszínének különbsége? 0.. Az 5 cm és 9 cm párhuzmos oldlú szimmetrikus trpéz érintőnégyszög. A trpézt szimmetritengelye körül megforgtjuk. ) Mekkor z így kpott csonkkúp térfogtánk és beírhtó gömb térfogtánk különbsége? b) A gömb eltávolításávl kpott lkztnk mekkor felszíne? 0.. A 56 cm keresztmetszetű, méter hosszú fhengerből minimálisn mennyi nyg eltávolításávl kphtunk lehető legngyobb és legtöbb fgolyót? 0. feldtlp 49

50 0.4. Mekkor gömb felszíne, h gömb belsejébe írt egyenes körkúp lpkörének sugr 0 cm, lkotój 8 cm? 0.5. Egy henger lkú pohár lpkörének sugr cm. A pohárbn 4 cm mgsn áll víz. Mennyivel változik víz mgsság, h pohárb négy drb cm átmérőjű célgömböt dobunk? 0.6. Az ábrán láthtó lkztot z ábrán jelzett szimmetritengelye t körül megforgtjuk. Mekkor lesz kpott test térfogt és felszíne?,4 cm 8,6 cm 50 Térgeometri

51 . feldtlp Testek drbolás és összetevése FELADATOK.. ) A 8 cm oldlú négyzetet megpörgetjük z átlój körül. Mekkor z így kpott test felszíne és térfogt? b) A cm és 6 cm befogójú derékszögű háromszöget megforgtjuk z átfogój körül. Mekkor z így kpott test felszíne és térfogt?.. 0 cm és 6 cm oldlú deltoidot megforgtjuk szimmetritengelye körül. A deltoid nem szimmetriátlój 6 cm hosszú. Mekkor z így kpott test térfogt és felszíne, h deltoid ) konve; b) konkáv?.. 5 cm lpú és 0 cm szárú egyenlő szárú háromszögből kivágjuk beírhtó körét. Az így kpott lkztot megforgtjuk szimmetritengelye körül. Mekkor z így kpott test felszíne és térfogt? t 0 cm 5cm. feldtlp 5

52 .4. A gyerekek építőjátékból állították össze képen láthtó várt. Mekkor vár össztérfogt? egység egység egység egység egység egység egység egység egység 5 Térgeometri

53 .5. 0 cm oldlú kockáról leszeltük z egyik csúcsát z ábrán láthtó módon. Mekkor mrdék kock térfogt? ) b).6. 0 cm sugrú, 6 cm mgs egyenes hengerből kivágunk 6 cm fedőkörű és 4 cm lpkörű cm mgs csonkkúpot z ábrán láthtó módon. Mekkor mrdék test térfogt? Logik. feldtlp Logik EMLÉKEZTETŐ állítás: Olyn kijelentő mondt, melyről egyértelműen eldönthető, hogy igz vgy hmis. Az állítás jele: A, B, : : :. logiki érték: Igz vgy hmis. logiki műveletek: Állításokr vontkozó műveletek. negáció (tgdás): Az A állítás negációján Nem igz, hogy A állítást értjük, mely igz, h A nem igz, és nem igz, h A igz. Jele: A. konjunkció (és): Az A és B konjunkcióján z A és B állítást értjük, mely kkor és cskis kkor igz, h A is és B is igz. Jele: A B. diszjunkció (megengedő vgy): Az A és B diszjunkcióján z A vgy B állítást értjük, mely kkor és cskis kkor hmis, h A is és B is hmis. Jele: A B. implikáció: Az A és B implikációján h A, kkor B állítást értjük, mely kkor és cskis kkor hmis, h A igz de B hmis. Jele: A B. ekvivlenci: Az A és B ekvivlenciáján A kkor és cskis kkor, h B állítást értjük, mely kkor és cskis kkor igz, h A és B egyszerre igz vgy egyszerre hmis. Jele: A B. A B állítás megfordítás: Az A B állítás megfordítás B A. Az állítás megfordítás nem zonos z állítás tgdásávl.. feldtlp 5

54 FELADATOK.. A következő kijelentések közül válszd ki z állításokt, és htározd meg logiki értéküket! ) Spnyolország főváros Mdrid. b) A báln nem hl. c) Az Oscr-díjt igzságosn dják. d) A szerencsétlen szám. e) Egyiptom legngyobb folyój Nílus. f) Mgyrország zászlj háromszínű... Állpítsd meg következő kijelentések logiki értékét! ) Minden prímszám pártln. b) Vn tengelyesen szimmetrikus prlelogrmm. c) Minden rombusz deltoid. d) Vn 7-re végződő négyzetszám. e) H egy szám oszthtó 8-cl, kkor oszthtó 4-gyel is. f) Minden 5-re végződő szám összetett szám. g) A 4-nek több osztój vn, mint -nek... Írd fel következő állítás megfordítását! Döntsd el, hogy z állítás és megfordítás közül melyik hmis! H egy négyszög húrnégyszög, kkor vn derékszöge. Megfordítás:.4. Készítsd el A B, illetve A B értéktábláztát! A B A B A B.5. Logiki táblázt segítségével igzold, hogy ) (A B) = A B; b) (A B) = A B!.6. Foglmzd meg következő állítások tgdását! ) Minden kuty ugt. b) Vn szőke hjú svéd. 54 Logik

55 c) H esik z eső, mozib megyünk. d) Reggelire tojást eszünk és teát iszunk. e) Este színházb megyünk vgy koncertre. Ismétlő feldtok (válogtás középiskoli nygból). feldtlp Hlmzok, sttisztik, logik FELADATOK.. Adottk z A := [ ; 5] és B := [; 7] hlmzok. Add meg és ábrázold számegyenesen z következő hlmzokt! ) A B b) A B c) A \ B d) B \ A.. Hány olyn 800-nál nem ngyobb szám vn, mely reltív prímszám 800-zl?.. Sorold fel három lpszínből (piros, sárg, kék) álló hlmz összes részhlmzát!. feldtlp 55

56 .4. Adott z lábbi három hlmz A := { osztói}; B := {egyjegyű prímek} C := {z ( )( )( +) = 0 egyenlet megoldási} ) Készíts Venn-digrmot! b) Mekkor A B C? c) Írd fel (B C ) A hlmz elemeit!.5. Foglmzd meg következő állítás megfordítását, illetve tgdását! Krikázd be z állítások logiki értékét! Állítás: H egy szám prímszám, kkor pártln. Megfordítás: Tgdás:.6. Egészítsd ki z értéktábláztot! A B A B A B i i i i h i h i h h h.7. Egy dobókockát 0-szor feldobunk. A dobások eredményét tábláztbn rögzítettünk: dobások értéke dobások gykoriság ) Mennyi dobások módusz? b) Mennyi dobások mediánj? c) Mennyi dobások átlg? d) Mennyi dobások reltív gykoriság? I/H I/H e) A dobások hány százlék leglább 5? 56 Ismétlő feldtok (válogtás középiskoli nygból)

57 .8. Egy fős osztálybn testvérek számát vizsgálták. Az lábbi digrm muttj felmérés végeredményét. 0 Diákok szám Testvérek szám ) Az osztály hány százlékánk vn legfeljebb testvére? b) Mennyi z egykék reltív gykoriság? c) Mennyivel tér el medián z átlgtól? d) Véletlenszerűen kiválsztv két gyereket z osztályból, mennyi vlószínűsége, hogy mindkettőnek leglább testvére vn? 4. feldtlp Számok, számelmélet, lgebr FELADATOK 4.. Ábrázold Venn-digrmon z R, Q, Z, N hlmzokt! 4. feldtlp 57

58 4.. Törtek esetében gykorlt dönt rról, hogy normál tört vgy tizedes tört lkbn hsználjuk-e őket. Írd át következő számokt nekik megfelelő másik lkb! Normáltört Tizedestört ) 6 5 b) 8 c) 7 d) 4 e) 8 f) 0 7 g) 0006 h) 5 9 i),8 j) Döntsd el következő állításokról, hogy igzk vgy hmisk-e! ) H egy szám oszthtó -ml, kkor pártln. b) Nincs 0-nél ngyobb páros prím. c) Egy négyzetszám nem végződhet -re. d) H két szám reltív prím, kkor leglább z egyik prím. e) H egy számnk pontosn osztój vn, kkor négyzetszám Írd fel csökkenő sorrendben következő számokt! 7; log 6 ; 5 log 5 ; 00 ; Ismétlő feldtok (válogtás középiskoli nygból)

59 4.5. Tekintsük 67y tízes számrendszerbeli számot! Mit írhtunk és y helyébe, hogy ) szám oszthtó legyen 5-tel? b) szám oszthtó legyen 4-gyel? c) szám oszthtó legyen 8-cl? 4.6. Egyszerűsítsd következő törteket változók megengedett értékei mellett! ) = ( b ) ( 7 b 5 ) b) = ( b) 4 ( 5 b ) 4.7. Hozd egyszerűbb lkr! + y ) y y y + y = 4. feldtlp 59

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Tehetetlenségi nyomatékok

Tehetetlenségi nyomatékok Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2008. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 26. 11:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket, Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2010. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Matematikai feladatlap T9-2013

Matematikai feladatlap T9-2013 Keresztnév: Vezetéknév: TESZTFORM Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. roèník ZŠ ZONOSÍTÓ SZÁM T9-57 Kedves tnulók, mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt feldtot trtlmz.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2007. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 15:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 27. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget!

Részletesebben

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

TE IS LÁTOD, AMIT ÉN LÁTOK?

TE IS LÁTOD, AMIT ÉN LÁTOK? MTEMTIKI KOMPETENITERÜLET TE IS LÁTO, MIT ÉN LÁTOK? TÉRSZEMLÉLET EJLESZTÉS 5 12. ÉVOLYM II. RÉSZ ELTgyűjtemény kidvány z Eductio Kht. Kompetencifejlesztő okttási progrm kerettnterve lpján készült. kidvány

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

2018/2019-es iskolaév, júniusi vizsgaidőszak A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

2018/2019-es iskolaév, júniusi vizsgaidőszak A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 09 árcius 08/09-es iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárgy: MATEMATIKA

Részletesebben

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu / KÜLÖNBÖZİ SZÁMHALMAZOK ) Kkukktojást keresünk! ) b) 60 0 0 8 6 8 0 c) d) π 8 0,000. 0,666. 0 0.) (nincs értelmezve 0-vl vló osztás) kidobjuk! 0 A megmrdt számhlmzbn 8 irrcionális szám: : dobjuk ki! nem

Részletesebben

Térgeometria, térfogatszámítás

Térgeometria, térfogatszámítás Térgeometri, térfogtszámítás 80. ) A tégltest térfogt: 5 cm 6 cm 8 cm = 40 cm, így 40 db kock keletkezett vágásokkl. b) Távolítsuk el tégltestrõl zokt kockákt, melyeknek vlmelyik lpj tégltest felületén

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

Matematika érettségi 2015 május 5

Matematika érettségi 2015 május 5 ( ) A 6-tl vló oszthtóság feltétele, hogy szám oszthtó legyen -vel és -ml. 60 6 64 66 68 X {;8} X {;8} A minden tgdás: vn olyn A brn tgdás: nem brn Vn olyn szekrény, melyik nem brn (A) A D 49 b 4 ( 0)

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

& ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC. A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl. Hasonlóan

& ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC. A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl. Hasonlóan Tetréder 9 788 789 788 Legyenek gömb érintési pontji lpsíkokkl Al, Bl, Cl és Dl ODl9 [ABC] & & ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl Hsonlón beláthtó, hogy AB9 ClDl, AC9

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

2229. Egy r sugarú gömb köré írt kocka éle 2r, az r sugarú gömbbe írt kocka éle r.

2229. Egy r sugarú gömb köré írt kocka éle 2r, az r sugarú gömbbe írt kocka éle r. Egymás ít testek 7 Egy sugú göm köé ít kock éle, z sugú göme ít kock éle 8- l K O V- V ( ) - K O 0 Egy sugú göm köé ít kock éle, z sugú göme ít kock éle K O A- A 6 ( ) - 6 6 K O Legyen külsô kock éle,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Gyakorló feladatsorok 9. évfolyam

Gyakorló feladatsorok 9. évfolyam Gykorló feldtsorok 9. évfolym 1.) Legyen U {1;;;4;5;;7}, A {;4;;7} és B {1;;5;;7}. Készíts Venn-digrmot, mjd dd meg következő hlmzokt!.) A B; b.) B U c.) B \ A d.) A B.) Htározd meg z A és B hlmzokt, h

Részletesebben

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2017. jnuár 21. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Matematikai feladatlap T9-2017

Matematikai feladatlap T9-2017 Keresztnév: Vezetéknév: TESZTFORM Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. ročník ZŠ TESZT KÓJ T9-017 5335 Kedves Tnulók! mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt 0 feldtot trtlmz.

Részletesebben

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal: Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold

Részletesebben

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Az integrálszámítás néhány alkalmazása Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

Részletesebben

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! 1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány

Részletesebben

FELADATOK AZ ÁLTALÁNOS OKTATÁS ÉS NEVELÉS ZÁRÓVIZSGÁJÁRA. a 2013/2014-es tanévben TESZT MATEMATIKÁBÓL UTASÍTÁS A TESZT MEGÍRÁSÁHOZ

FELADATOK AZ ÁLTALÁNOS OKTATÁS ÉS NEVELÉS ZÁRÓVIZSGÁJÁRA. a 2013/2014-es tanévben TESZT MATEMATIKÁBÓL UTASÍTÁS A TESZT MEGÍRÁSÁHOZ FELADATOK AZ ÁLTALÁNOS OKTATÁS ÉS NEVELÉS ZÁRÓVIZSGÁJÁRA 0/04-es tnévben TESZT MATEMATIKÁBÓL UTASÍTÁS A TESZT MEGÍRÁSÁHOZ Egy 0 feldtból álló tesztet kell megoldnod. A munk elvégzésére 0 perc áll rendelkezésedre.

Részletesebben

Kisérettségi feladatsorok matematikából

Kisérettségi feladatsorok matematikából Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat

Többváltozós analízis gyakorlat Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete

Részletesebben

9. évfolyam Hány darab ötjegyű kettes számrendszerbeli szám van?

9. évfolyam Hány darab ötjegyű kettes számrendszerbeli szám van? 9. évfolym 00. Ktink vn egy supsz áj. A ához már kpott kétféle klpot, három különöző lúzt, vlmint három különöző szoknyát. Hányféleképpen öltöztetheti fel előlük áját Kti, h egy szoknyát, egy lúzt és egy

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2013. jnuár 18. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Síkgeometria Megoldások

Síkgeometria Megoldások Síkgeometri Megoldások Síkgeometri - megoldások 1) Döntse el, hogy következő állítások közül melyik igz és melyik hmis! ) A háromszög köré írhtó kör középpontj mindig vlmelyik súlyvonlr esik. b) Egy négyszögnek

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2016. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

& 2r á 296, dm a csô átmérôje.

& 2r á 296, dm a csô átmérôje. 96 Henge 8 cm 5 cm 7 07cm csô 5 5 006 b 80 dm és b 80 b, 8 8 mgsság - - 007 m á 7, m á 96, dm csô átméôje 008 á 77, dm z lpkö sug, m á 8, dm z edény mgsság 009 t p m $ t p, vlmint t p m m m t p t p V m

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont 1. Egyszerűsítse az 3 2 a + a a + 1 törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361 X szám 6-tal osztható? X = 3. Minden szekrény barna. Válassza ki az

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára . évfolym AMt feltlp MATEMATIKA FELADATLAP. évfolymosok számár 0. jnuár. :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg.

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják. 5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:

Részletesebben

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6 Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 17. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

BEVEZETÉS. Térelemek kölcsönös helyzete. Pont-egyenes: Egy pont vagy illeszkedik egy egyenesre, vagy nem eleme az egyenesnek, azaz nem illeszkedő.

BEVEZETÉS. Térelemek kölcsönös helyzete. Pont-egyenes: Egy pont vagy illeszkedik egy egyenesre, vagy nem eleme az egyenesnek, azaz nem illeszkedő. BEVEZETÉS Alpfoglmk: pont, egyenes, sík, illeszkedik. P, Q e, f S, R ε Térelemek kölcsönös helyzete Pont-egyenes: Egy pont vgy illeszkedik egy egyenesre, vgy nem eleme z egyenesnek, zz nem illeszkedő.

Részletesebben