17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton"

Átírás

1 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu f(x ). Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) iniu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ). A függvény (bszolút) iniu f(x ). A cíben szeeplő elei egoldás zt jelenti, hogy feldtok egoldás közben ne hsználjuk z nlízis eszközeit. A egoldás soán felhsználhtó ódszeek, ötletek:. ) Figyelebe vesszük vizsgálndó függvények ételezési ttoányát, étékkészletét és függvény enetét. b) Zát intevlluon ételezett függvényeknél egvizsgáljuk z ételezési ttoány végpontjibn felvett függvényétékeket is. c) Egy függvény szélsőétékhelye és típus ne változik, h függvényt egszoozzuk egy pozitív szál. d) Egy pozitív étékeket felvevő függvénynek és négyzetének szélsőéték helye és típus zonos.. Másodfokú függvények H vizsgált kifejezés felíhtó egy x iseetlen ásodfokú függvényeként, hol x tetszőleges vlós szá, kko f x) x u v ( lk hozás után egállpíthtó függvény szélsőétéke. A függvénynek iniu vn, h > 0, iniu étéke v, helye u, xiu vn, h < 0, xiu étéke v, helye u. H f ételezési ttoány ne teljes vlós száhlz, hne például egy intevllu, kko szélsőéték vizsgálthoz célszeű ábázolni függvényt.

2 . Tigonoetikus függvények Édees egvizsgálni, ne kpunk-e egyszeűbb kifejezést, h tigonoetikus zonosságokt lklzunk.. Az f függvény étékkészlete zon p száok hlz, elyeke z f(x) = p egyenletnek vn egoldás z f függvény ételezési ttoányán. Ezzel függvény szélsőétékének, illetve étékkészletének vizsgáltát, pétees egyenlet egoldásá vezethetjük vissz. 5. Szélsőéték-feldtok gykn egoldhtók nevezetes közepek közti egyenlőtlenségek lklzásávl is. Definíciók: Az,...,, n pozitív vlós száok szátni (it etiki)közepe: A(,,..., n ) =... n n, étni (geoetii) közepe: G(,,..., n ) = n... n honikus közepe: H(,,..., n ) = négyzetes (kvdtikus) közepe: Q(,,..., n ) = n n n... n Tétel: H,...,, n G(,,..., n ) A(,,..., n ) Q(,,..., n ). Egyenlőség kko és csk kko áll fenn, h... n teljesül. Következény: H n pozitív szá szozt állndó, kko z összegük kko iniális, h száok egyenlők. H n pozitív szá összege állndó, kko szoztuk kko xiális, h száok egyenlők. 6. Cuchy-Bunykovszkij-féle egyenlőtlenség (n = -) b b b b b b. Az egyenlőtlenség vektook skláis szoztánk definíciój, vlint skláis szozt koodinátákkl vló kifejezése lpján igzolhtó. Egyenlőség kko áll fenn, h ; ; és b b ; b b vektook páhuzosk, zz h vn olyn k szá, elye b ; k b k,, b k fennáll. (Az egyenlőtlenség áltlános lkj:

3 b b n bn n b b bn n dienziós vektook skláis szoztávl igzolhtó.) II. Kidolgozott feldtok. Adott keületű tégllpok közül elyiknek teülete xiális? I. A feldt szövege szeint tégllpok keülete k = ( + b) dott. Ebből k b. Keessük t k k ; 0 függvény xiuát. k k k t ; xiu helye k xiu étéke: 6 k (itt ételezve vn függvény; ekko b is. k ), Tehát z dott keületű tégllpok közül négyzet keülete xiális. II. Alklzzuk szátni és étni közép közötti összefüggést! k b b t, tehát t k állndó. t xiális, h t xiális. Ez kko áll fenn, h = b, tégllp egy oldlú négyzet, elynek teülete: t x k k. 6. Egy ptk ptján egy 00 ngyságú, tégllp lkú ketet szeetnénk elkeíteni vízi szánysink észée. Mekkoánk válsszuk tégllp éeteit, hogy legövidebb keítése legyen szükség? ( A ptkpton ne állítunk keítést.)

4 Jelöljük tégllp oldlit z áb szeint x-szel, ill. y-nl! ( x 0, y 0 ) A tégllp teülete xy = 00, keítés hossz k = x + y. Alklzzuk x-e és y- szátni és étni közép közötti összefüggést! x y xy A keítés iniális, h egyenlőség áll fenn zz, h x y. Ezt visszhelyettesítve teületképletbe, x 0 és y 80 dódik. Tehát iniális hosszúságú keítést igénylő tégllp oldli 0, ill. 80, és k in =60.. Az R sugú göbbe íhtó köhengeek közül elyiknek plástj legngyobb? I. Tekintsük henge és göb közös tengelyetszetét! Íjuk fel Pitgosz-tételt z ABC deékszögű háoszöge: R () A henge plástj: P, ez pont kko xiális, iko négyzete xiális.

5 Fejezzük ki z () összefüggésből et és helyettesítsük P képletébe: P (R ), (0<< R ). A kpott függvény -ben ásodfokú, elynek zéushelyei 0 és R, szélsőétékét zéushelyek szátni közepén veszi fel. Az -ben ásodfokú tg előjele negtív, ezét függvénynek xiu vn z R helyen. A xiális plástú henge gsság xiális plástú henge plástj II. R, sug R P R. x. Az R sugú göbbe ít A henge plástj kko xiális, iko xiális. Alklzzuk szátni és étni közép közötti összefüggést, vlint z () egyenlőséget: R, i állndó. A plást pontosn kko xiális, h zz, h. Így () szeint R, R, R, z R sugú göbbe ít xiális plástú henge plástj P R. x. Adott R sugú göbbe ít egyenes kökúpok közül elyiknek legngyobb téfogt? 5

6 Adott R sugú göbbe ít sugú kúpok közül nnk ngyobb téfogt, elyiknek gsság göb sugánál ne kisebb, ezét elég ezzel fogllkozni. Tekintsük göb és beít kúp közös tengelyetszetét! Thlész tétele szeint z ADC háoszög deékszögű, ezét lklzhtó á gsságtétel: x R (Ugynezt z összefüggést egkpjuk z AEO háoszöge felít Pitgosz- tételből is. ) A beít kúp téfogt R V. A szátni és étni közép közti összefüggést lklzhtjuk z, R száok ( 0 R ).., pozitív 6V R R, i állndó. A beít kúp téfogt xiális, h egyenlőség áll fenn, i R esetén teljesül. A xiális téfogtú kúp gsság: R téfogt: V. 8 R, z lpkö sug: R, 5. Adjuk eg z dott b oldlélű szbályos négyoldlú gúlák közül xiális téfogtút! 6

7 I. H gúl oldléle szöget zá be z lpsíkkl, kko gsság M bsin, lpéle b cos, téfogt: V b sin cos. Mivel b dott állndó, következő függvény xiuát keessük: sin cos f, hol 0 < <90. Ez ott xiális, hol négyzete : f sin cos cos xiális. A szátni és étni közép közötti összefüggés kko lklzhtó, h szoztbn szeeplő (pozitív) tényezők összege állndó. Ez könnyen egvlósíthtó, h z első tényezőt, s így szoztot -vel egszoozzuk. sin cos cos f. sin cos f. f kko xiális, h egyenlőség áll fenn. Ez pedig kko teljesül, h tényezők egyenlők, zz sin cos. Mivel hegyesszög, ebből ctg, sin, cos, így xiális téfogtú gúl lpéle b, 7

8 gsság M b b, téfogt V. 7 II. (Szögfüggvények nélkül) Íjuk fel pios háoszöge Pitgosz-tételt! M V xiális, h 9V xiális. b = állndó; V M 9V M M ne állndó, de M b étni közép közötti összefüggés. 6V állndó; lklzhtó szátni és b M. Így 6V, s ezzel V is kko xiális, h M zz, h M, it visszhelyettesítve M b, és b b, xiális téfogt pedig Vx dódik Htáozzuk eg x 7 x kifejezés legkisebb és legngyobb étékét! A kifejezés [; 7] intevlluon ételezett. A szátni és négyzetes közép közti egyenlőtlenség szeint: x 7 x x 7 x. Egyenlőség kko áll fenn, h x 7 x, zz h x = 5. Az f ( x) x 7 x nenegtív étékeket felvevő függvény helyett vizsgálhtjuk négyzetét: f ( x) x 7 x. Egyenlőség kko áll fenn, h x = vgy x = 7. Összefogllv: A vizsgált kifejezés legngyobb étéke, ezt z x = 5 helyen veszi fel, legkisebb étéke, it z x = és z x = 7 helyeken vesz fel. 8

9 7. ) Egy iskolábn két, szélességű folyosó eőlegesen keesztezi egyást. Mekko z leghosszbb lét, elyet vízszintes helyzetben - létát függőleges síkbn ttv - z egyik folyosóól ásik át lehet vinni? b)* Hogy ódosul válsz, h két folyosó szélessége 8 illetve 7 hosszúságegységű? ) A endelkezése álló helyet kko hsználjuk ki legjobbn, h lét éinti folyosó sokélét, felülnézetben létát szeléltető AC (A C ) szksz illeszkedik B pont. Az AC = x + y szksz hosszánk iniuát keessük (A lét ne lehet ennél hosszbb.) α = β egyállású szögek segítségével kifejezhető x és y: x =, cos α y =, sinα Alklzzuk honikus és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget = pozitív száok, és hsználjuk fel, hogy cos α + sin α =, és = sin, =, cos, sin cosα,, =, ezét, x + y,. Egyenlőség pontosn kko áll fenn, h cosα = sinα, zz, h α = 5. (Tehát legövidebb hosszúság 5 -os szögnél jön léte.) A leghosszbb lét, ellyel ezen folyosón be lehet fodulni ( lét vízszintes helyzetében), 6, hosszú. b) Ebben z esetben két szksz x =, y =. H isét fenti közepek közötti egyenlőtlenséget, vlint cos α + sin α = zonosságot szeetnénk lklzni, kko x-et illetve y-t nnyi egyenlő tg kell bontni, hogy négyzetes közép képletében szeeplő cos α és sin α együtthtój egegyezzen. 9

10 tg 8 cosα = cosα + cosα + + cosα tg 7 sin α = sin α + sin α + + sin α Ee 78 tg lklzzuk honikus és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget: 9 cos α cos α 78 cos sin 78 cosα cosα sin α + + sin α + sin α + + sin α = 6cos α + sin α 78 = 6 kifejezés xiális, h egyenlőség áll fenn. Ez kko teljesül, h cos α = sin α, zz, h tg α =,5, α 56,. x+y= cos + iniális, h tg α =,5 (α 56, ). sin A lét tehát ne lehet hosszbb = egységnél. Megjegyzés: A feldt fentihez hsonló ódon oldhtó eg, h két egyás eőleges folyosó szélességének ány két egész szá hánydosánk köbével egyenlő. x 8. Htáozzuk eg z f ( x), x x R függvény legkisebb és legngyobb étékét! Egy f függvény étékkészlete indzon p vlós száok hlz, elyeke z f(x) = p egyenletnek vn egoldás. H eghtáozzuk kifejezés étékkészletét, kko nnk legkisebb, ill. legngyobb elee (h vn) egyben vizsgált kifejezés iniu, ill. xiu is. Ezzel kifejezés szélsőétékének eghtáozását visszvezetjük egy pétees egyenlet egoldásá. x p x px x p 0 0

11 p 0 esetén, x p 0 esetén, ásodfokú egyenletnek kko vn vlós egoldás, h D 0. D p p p 8p p 8p 0, h 7 7 p ( p 0 ) 6 6 Összegezve két esetet, kpott egyenletnek kko vn vlós egoldás, h 7 7 p fennáll. 6 6 Így vizsgált függvény legkisebb étéke 6 7, legngyobb étéke 6 7. (A függvény szélsőétékhelyeit egkpjuk, h egoldjuk ásodfokú egyenletet p legngyobb és legkisebb étékée. Ezeke ásodfokú egyenlet diszkiináns 0, z egyenlet gyökei: x, =. A függvény iniuhelye: = 7, xiuhelye: = + 7.) 9. Adott sugú göb köé íhtó fogáskúpok közül elyiknek legkisebb téfogt? Tekintsük kúp és göb közös tengelyetszetét!

12 Az AFC és OEC deékszögű háoszögek hsonlók, et ACF = FCB, egfelelő oldlik ány egyenlő: R R ( > ). A nevezőkkel szozás és négyzete eelés után kpjuk: + R = R R + R. Ebből R. Ezt behelyettesítjük kúp téfogtképletébe: R V. (*) Az első két tényező konstns, elég hdik tényezőt vizsgálni. Végezzük el következő átlkítást:. Az összeg hdik tgj konstns. = állndó. Ezét szátni és étni közép közötti egyenlőtlenség lklzhtó.

13 A vizsgált összeg iniális, h, zz, h, R. 8 Az sugú göb köé íhtó iniális téfogtú kúp téfogt V. A (*) egyenlettől ásként: Vizsgáljuk, hogy z ilyen étékeket vehet fel. Adjuk eg, hogy z feltéve, hogy >. p pétees egyenletnek, ely p száok vn egoldás, Az egyenlet ekvivlens z pp 0egyenlettel. Ennek kko vn egoldás, h diszkiináns nenegtív. D p 8p. A feltétel szeint p > 0, így p 8. Ezzel egkptuk kifejezés iniuát, i 8. 8 Így z sugú göb köé íhtó iniális téfogtú kúp téfogt V. 0. Htáozzuk eg következő függvény étékkészletét, h xεr! f ( x) 5sin x cos x 5 f ( x) sin x cos x sinx, hol 67,8. cos 5, és sin, ez fennáll, h Mivel sin inden -e, ezét f ( x). (Az f függvény -, illetve étékeket felveszi, például α, illetve α helyeken; vlint közbenső étékeket is, et folytonos. ) A vizsgált függvény étékkészlete [-; ].

14 . ) Adjuk eg log sin x cos x kifejezés H ételezési ttoányát! log sin x cos x b) Htáozzuk eg H hlzon ételezett szélsőétékeit! / Felvételi 00. ájus / f x függvény ) A kifejezés zok z x vlós száok ételezett, elyeke: sin cos x sin x 0 x sin x. Ebből sin x, zz x k, hol k Z; H = R \ k b) A fentiek szeint z ételezési ttoány x eleeie 0 sin x. (**) Felhsználv, hogy z -nél kisebb lpú logitusfüggvény szigoún onoton csökken, log sin log x. A egdott függvénynek iniuétéke, it sinx = lpján, x k ; (k Z) helyeken vesz fel. A függvénynek nincs xiu, et z + sin x kifejezés tetszőlegesen kis pozitív szá lehet, h sin x egközelíti -et. Egy ilyen szá lpú logitus tetszőlegesen ngy pozitív étéket vehet fel. Másként: Adjuk eg, hogy p péte ely étékei esetén vn egoldás z lábbi egyenletnek log sin x cos x p. Definíció szeint sin x cos x p. A (**) egyenlőtlenség lpján 0, iből p p, és lpú exponenciális függvény szigoún onoton növekedése lpján p, z f függvény iniu..

15 (Mivel sin x 0-tól vló távolság tetszőlegesen kicsi lehet, ezét étéket felvehet, így z f függvény felülől ne kolátos, nincs xiu.) p tetszőlegesen ngy. Htáozzuk eg z lábbi függvény szélsőétékeit! f: [0; 5] R; x f ( x) x 9x 5x 6 / Felvételi 000. ájus / I. x 9x x 5x 6 x átlkítás lpján x f ( x). x 6x x 6 (A egdott ételezési ttoány inden eleée fennáll z egyenlőség.) Ábázoljuk függvényt! Mivel x szigoún onoton csökken z dott intevllubn, ezét f-e is ez teljesül. 5

16 f függvény xiu f ( 0), iniu f ( 5). 6 II. Megoldás Htáozzuk eg ilyen p péte esetén vn egoldás következő egyenletnek x x 9x p 5x 6 0 ;5 intevlluon! A feltétel szeint x és x 6 következővel: x 9x p( x 5x 6). A kijelölt szozást elvégezve és endezve kpjuk:, ezét egyenletünk vizsgált intevlluon ekvivlens x 9 5px 6p 0 p. p esetén x = 0 egyenletet kpjuk, elynek egoldás x =, i nincs z ételezési ttoánybn, ezét p. nenegtív. p esetén kko vn ásodfokú egyenletnek vlós gyöke, h diszkiináns 9 5p p 6p 9p 8p 69 7 p D, tehát D 0 inden p pétee teljesül. (Minden p ásodfokú egyenletnek.) vlós szá esetén vn egoldás Vegyük figyelebe, hogy olyn p vlós száokt keesünk, elyeke z egyenlet gyökei [0 ; 5] intevllub esnek! Ehhez htáozzuk eg ásodfokú egyenlet gyökeit! A egoldóképletből 6p x, x dódik. p Mivel nincs egdott intevllubn, ezét olyn p száokt keesünk, elyeke 6p 0 5 p fennáll. 6p 6 p, így p p 6 ; p ( innen látszik, hogy p<). 6

17 p 6 Felhsználv, hogy z csökken, x x függvény negtív száok hlzán szigoún onoton p dódik. 6 (Megjegyzés: Ennél feldtnál ez z utóbbi egoldás több bukttóvl ját, és hosszdlsbb is volt.). Legyenek, b és c -nél ngyobb száok és +b+c=. Adjuk eg + + b + + c + kifejezés xiuát! Tekintsük z x(; ; ) és z y egdott kifejezés. ; b ; c vektookt. Ezek skláis szozt éppen Másészt skláis szozt definíciój és cosinus függvény étékkészlete lpján: x y x y cos x y. A két vekto bszolútétéke: x, illetve y b c 5. Így vizsgált összeg xiális étéke 5, it kko vesz fel, h két vekto egyiányú ( cos, 0 ), i pontosn kko teljesül, h b c.. Igzoljuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenség felhsználásávl, hogy z n n soozt szigoún onoton nő: n Bizonyítndó, hogy n n n n. 7

18 A bl oldlon álló szoztot -gyel szoozv, lklzhtjuk z n+ szá szátni és étni középe közötti egyenlőtlenséget : n n n n. n n n n n n Ennek n+-edik htvány bizonyítndó egyenlőtlenség. (Egyenlőség ne áll fenn, et tényezők ne (ind) egyenlők.) III. Ajánlott feldtok:. Bizonyítsuk be, hogy báely negtív szánk és ecipokánk összege legfeljebb ( )!. Az A, B és C váosok egyástól vló távolság AB= 600 k, BC=800 k, AC=800 k. A-ból B- be és B-ből C-be egy időben indul egy-egy epülőgép. A gépek ugynkko sebességgel, zonos gsságbn, egyenes vonlbn kitéő nélkül epülnek. Hány k-es út egtétele után lesz epülők közötti távolság legkisebb? / Felvételi 000. áj./ 8. Adjuk eg z f ( x) sin x cos x függvény szélsőétékeit!. Adott teületű tégllpok közül elyiknek keülete iniális? 8 5. Htáozzuk eg z b szozt xiuát, h 0, b 0 és 5 7b! 6. Htáozzuk eg z jelölnek! bb cc bc kifejezés iniuát, h, b és c pozitív száokt 7. Oldjuk eg -es (kidolgozott) feldtot nevezetes közepek felhsználásávl! Legyenek, b és c -nél ngyobb száok és +b+c =. Htáozzuk eg b c kifejezés xiuát! 8. Azok közül tégltestek közül, elyek téfogt felszínük kétszeese, elyiknek legkisebb téfogt? /OKTV 000./ x y 9. Bizonyítsuk be, hogy 8, feltéve, hogy x, y! (OKTV 99-9) y x 0. Htáozzuk eg z f: R R, f x x x függvény iniuát!. Egy 0 c oldlú négyzet négy skából vágjunk le egybevágó négyzetet úgy, hogy lp négy szélének felhjtásávl lehető legngyobb téfogtú dobozt kpjuk. Adjuk eg ennek téfogtát!. Adott felszínű fedetlen hengeek közül htáozzuk eg legngyobb téfogtút! 8

19 . Egy hútpéz keesztetszetű vályú övidebbik lpj és szái d hosszúk. Htáozzuk eg ezek közül nnk tpéznk szögeit, elynek teülete legngyobb!. Htáozzuk eg z x ; x x f x R függvény szélsőétékeit! x 5. Htáozzuk eg x x 8x 6x 0 kifejezés iniuát! 6. Htáozzuk eg következő függvény szélsőétékét! f ( x) sin x sin xcosx cos x, x R 7. Htáozzuk eg következő kifejezés iniuát, h sinx 0 és cosx 0 K= sin x sin x cos x cos 8. Mutssuk eg, hogy K = 5x x log y + log y kifejezés étéke ngyobb -nél! x--x / Felvételi 996. ájus/ 9. Igzoljuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenség felhsználásávl, hogy z n n soozt felülől kolátos! n Megjegyzés: x Ebből és. kidolgozott feldtból következik, hogy z n n soozt konvegens. n A soozt htáétékét e-vel jelöljük Eule svájci tetikusól. e,788) Az jánlott feldtok egoldási. Bizonyítsuk be, hogy báely negtív szánk és ecipokánk összege legfeljebb ( ). Legyen < 0 vlós szá. Az állítás:. 9

20 Legyen b = > 0. Alklzzuk b-e és egyenlőtlenséget: -e szátni és étni közép közti b b b. b b Visszhelyettesítve b helyée ( )-t, bizonyítndó egyenlőtlenséget kpjuk. Egyenlőség kko és csk kko áll fenn, h b =, zz =. (Megjegyzés: H ekvivlens átlkításokkl egy igz állítást kpunk, kko ez z eedeti állítás is teljesül. H z egyenlőtlenséget z < 0 szál szoozzuk, jd endezzük, kko z egyenlőtlenséget kpjuk, i inden szá fennáll.). Az A, B és C váosok egyástól vló távolság AB= 600 k, BC=800 k, AC=800 k. A-ból B- be és B-ből C-be egy időben indul egy-egy epülőgép. A gépek ugynkko sebességgel, zonos gsságbn, egyenes vonlbn kitéő nélkül epülnek. Hány k-es út egtétele után lesz epülők közötti távolság legkisebb? / Felvételi 000. áj./ Tegyük fel, hogy gépek y k-t epültek. A két gép közötti d távolság négyzete z EBD háoszöge felít koszinusztétellel kiszáolhtó: d y 600 y y600 y 8, ivel cos. 8 Ebből endezés után két gép távolságánk négyzetée következő ásodfokú függvényt kpjuk: f y y 650y , hol 0 y

21 Teljes négyzetté kiegészítés után leolvshtó z f függvény szélsőétékhelye és étéke. f y y f iniuhelye y = 00. A két gép közti távolság 00 k egtételeko iniális. Ekko távolságuk 500 k 5, k. 8. Adjuk eg z f ( x) sin x cos x függvény szélsőétékeit! Végezzük el z lábbi átlkításokt: sin x cos x sin x cos x f ( x) sin x cos x Alklzzuk következő zonosságot: sin x cos x sin x cos x sin x x cos. Így f ( x) sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin 8 x sin Jelöljük sin x -et -vl és vizsgáljuk z lábbi ásodfokú függvényt: g() = + ; (0 ). x Teljes négyzetté kiegészítéssel g() = ( ) dódik.

22 Ez függvény ( [0; ] intevlluon) szigoún onoton csökken, xiu g(0) =, iniu g() =. Az f függvény xiuhelyét sin x=0, iniuhelyét sin x = egyenletek egoldási dják. Az f függvény xiuhelyei: n ; n Z, étéke:, iniuhelyei: + n ; n Z, étéke:.. Adott teületű tégllpok közül elyiknek keülete iniális? Útuttó: t b dott. k b Az. kidolgozott feldt II. egoldásábn felít b t kpjuk, hogy z dott teületű tégllpok közül négyzet keülete legkisebb: összefüggésből zt k in t. Megjegyzés: Feleülhet, hogy h fent elített feldtbn sikeült ásodfokú függvény szélsőétékének eghtáozásávl egoldni feldtot, kko tlán ez poblé is egoldhtó így. t Itt zonbn k, 0 függvény szélsőétéke dj egoldást. Ez pedig ne ásodfokú függvény.

23 5. Htáozzuk eg z b szozt xiuát, h 0, b 0 és 5 7b! Útuttó: Alklzzuk szátni és étni közép közti összefüggést z 5 és 7 b száok! Az b kifejezés xiális, h és 0 b, xiu étéke: Htáozzuk eg z jelölnek! Útuttó: bb cc bc kifejezés iniuát, h, b és c pozitív száokt Szoozzuk össze z (; b), (b; c) és (c; ) szápáok felít szátni és étni közepeke vontkozó egyenlőtlenségeket! A kifejezés iniu 8, it = b = c esetén vesz fel. 7. Legyenek, b és c -nél ngyobb száok és +b+c =. Htáozzuk eg b c kifejezés xiuát! Alklzzuk szátni és négyzetes közép közti egyenlőtlenséget! b c b c Ezt -l szoozv kpjuk: b c A kifejezés xiu 5 és ezt = b = c = esetén veszi fel. 8. Azok közül tégltestek közül, elyek téfogt felszínük kétszeese, elyiknek legkisebb téfogt? /OKTV 000./ A feltétel szeint V bc b bc c. Alklzzuk szátni és étni közép közötti egyenlőtlenséget z b, bc, c szoztok!

24 V b bc c b bc c egyenlő, zz, h b c. V, hol egyenlőség kko áll fenn, h háo szozt Tehát V V V V, iből V dódik. Egyenlőség pontosn kko teljesül, h = b = c, ezét feltételnek egfelelő tégltestek közül egység élű kockánk legkisebb téfogt. x y 9. Bizonyítsuk be, hogy 8, feltéve, hogy x, y! (OKTV 99-9) y x Vezessük be következő jelöléseket: x, b y. Bizonyítndó: b b 8. Alklzzuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenséget z pozitív száok. b és b b b b b b b b b b A z > 0 szá z z lpján, jobb oldlon álló szozt étéke leglább z z, így vizsgált kifejezés étéke leglább 8. Ezt z étéket = b = esetén veszi fel. (Ekko inden helyett = áll.) Az eedeti egyenlőtlenség inden x, y -nél ngyobb szá teljesül. x y 8, h x = y =. y x

25 0. Htáozzuk eg z f: R R, f x x x függvény iniuát! Útuttó: Alklzzuk x, x x, pozitív száok szátni és étni közép közti egyenlőtlenséget. A függvény iniu étéke:, helye:.. Egy 0 c oldlú négyzet négy skából vágjunk le négy egybevágó négyzetet úgy, hogy lp négy szélének felhjtásávl lehető legngyobb téfogtú dobozt kpjuk. Adjuk eg ennek téfogtát! Az áb jelöléseit hsználv doboz téfogt: V V 0 x x; 0 x 0 x0 x x 5 Mivel 0 x 0 x x 60 konstns, ezét lklzhtó szátni és étni közép közötti összefüggés: 60 0 x 0 x x 0 V V xiális, h 0 x = x, zz, h x = 5. A doboz xiális téfogtú, h 5x5 c -es négyzeteket vágunk le, és V x = 0 0 5c = 000 c. 5

26 . Adott felszínű fedetlen hengeek közül htáozz eg legngyobb téfogtút! A dott, V Elég xiuát eghtáozni. Ez pontosn kko lesz xiális, iko négyzete xiális. H szátni és étni közép közötti összefüggést szeetnénk lklzni, kko kell töekedni, hogy tényezők összege állndó legyen. Itt ne állndó, de szozt következő átlkításávl: á tényezők összege konstns lesz: A szátni és étni közép közti összefüggés szeint: A. V A = állndó. A felül nyitott henge téfogt xiális, h egyenlőség áll fenn. Ez kko teljesül, h zz =, henge gsság z lpkö sugávl egyenlő.,. Egy hútpéz keesztetszetű vályú övidebbik lpj és szái egység hosszúk. Htáozz eg ezek közül nnk tpéznk szögeit, elynek teülete legngyobb! 6

27 Az hegyesszögű tpéz gsság sin, hosszbbik lpj cos, teülete sin cos. Elég sin cos Alklzzuk sin cos cos közötti egyenlőtlenséget z cos, cos, cos, cos szozt négyzetének xiuát eghtáozni. cos cos cos cos összefüggést, jd szátni és étni közép 6 kifejezéseke. A tpéz teülete xiális, h tpéz szögei 60, 60, 0, 0. cos cos, iből cos, 60 dódik,. Htáozz eg z x ; x x f x R függvény szélsőétékeit! x Egy f függvény étékkészlete indzon vlós száok hlz, elye z f(x) = p egyenletnek vn egoldás. Vizsgáljuk eg ilyen p vlós száok vn egoldás z x x p x egyenletnek. A nevezővel ( 0) szoozv, és endezve kpjuk: p x x p 0. H p =, kko x = p = 0, vn egoldás z egyenletnek; H p, kko egyenletünk ásodfokú, elynek pontosn kko vn vlós gyöke, h diszkiináns nenegtív. Megoldndó z 0 Innen p 8p 0. p egyenlőtlenség. 7

28 A p 8p =0 egyenlet gyökei: egyenletnek kko vn vlós gyöke, h Összegezve:, és. A feltételt is figyelebe véve ásodfokú p ; \. Az eedeti egyenletnek kko vn egoldás ( vlós száok hlzábn), h p ;. Ebből következik, hogy vizsgált függvény iniu, xiu. (A függvény iniuhelye x =, xiuhelye x =.) 5. Htáozz eg x x 8x 6x 0 kifejezés iniuát! Útuttó: Htáozzuk eg zokt p vlós száokt, elyeke egyenletnek vn vlós egoldás! p ; kifejezés iniu. x 8x x 6x 0 p 6. Htáozzuk eg következő függvény szélsőétékeit! f ( x) sin x sin x cos x cos x, x R I. Alklzzuk z ddíciós tételeket: cos x cos x f ( x) sin x sin x cos x. sin cos x x sin x. Felhsználv, hogy sin x, kpjuk f ( x), tehát függvény iniu, xiu pedig. 8

29 (A függvény iniuhelyei sin x egyenlet gyökei: xiuhelyei sin x egyenlet gyökei: + kπ, k Z.) + nπ, n Z, II. Htáozzuk eg zokt p péteeket, elyeke z lábbi egyenletnek vn egoldás! sin x sin xcos x cos x p! p pcos x psin x felhsználásávl kpjuk: p x sin xcosx pcos x 0 sin. p esetén z egyenlet cos xsin x cos x 0 lk hozhtó, elynek egoldási cos x 0 és tg x egyenlet gyökei. Ezét p = elee függvény étékkészletének. p esetén cosx 0 ne egoldás, (et ez esetben sinx=0 is fennálln, i lehetetlen sin x + cos x = zonosság itt,) így cos x-szel oszthtunk és egyenletünk következő lesz: p x tg x p 0 tg. Ez feltétel szeint (tgx)-ben ásodfokú, s kko vn egoldás, h p p 0 D. A p-e kpott ásodfokú egyenlőtlenség egoldás ; + intevllu. Mivel fenti intevllunk p= elee, ezét ez egyben függvény étékkészlete, és így függvény iniu, xiu pedig,. 7. Htáozzuk eg következő kifejezés iniuát, h sinx 0 és cosx 0 K= sin x cos x! sin x cos x Az első ötlet z lehetne, hogy lklzzuk tetszőleges pozitív szá vontkozó egyenlőtlenséget: sin x cos x 8. sin x cos x Kédés, hogy K-nk iniu-e 8, vgyis vn-e olyn x vlós szá, elye kifejezés étéke 8. Egyenlőség kko álln fenn, h sin x cos x, i ne lehetséges. Ezét bá vizsgált kifejezés étéke leglább 8, ne 8 iniu. 9

30 Ennek ok z, hogy ne vettünk figyelebe egy fontos feltételt: sin x cos x. Alklzzuk négyzetes és szátni közép közötti összefüggést b b, hol sin x sin, és x cos x! () cos x b sin x cos x K sin cos sin cos x x x x sin x A () egyenlőtlenséget 0 sin x egyenlőtlenségből kptuk. Négyzete eelés után K 5 dódik. 5. A 5 kko iniu kifejezésnek, h vn olyn x vlós szá, elye egyenlőség áll fenn. A () egyenlőtlenség kko válik egyenlőséggé, h sin x, zz h sin x =, k x (k Z). Ebben z esetben ()-nél is egyenlőség áll fenn, ugynis ezeke z 5 x-eke sin x = cos x = s így ezeke z x vlós száok sin x cos x K=, 5. Tehát K kifejezés iniu,5. 8. Mutssuk eg, hogy K = 5x x log y + log y x--x kifejezés étéke ngyobb -nél! Állpítsuk eg, hogy kifejezés változók ely étékeie ételezett! x: Meghtáozzuk x + 5x 0 és x + x > 0 egyenlőtlenségek közös egoldásit. < x < ; y: y > 0 ; y (ezeke log y > 0 és log > 0). 0

31 Mivel fenti hlzon indkét tg pozitív étékű, lklzhtó szátni és étni közép közötti egyenlőtlenség: log K = 5x x y log y + x--x 5x x x--x (Figyelebe vettük z log = zonosságot.) A száláló és nevező szozttá lkításávl kpjuk: (x ) ( x) K (x ) ( x) = x. Vizsgáljuk z f(x) = ; xε]; [ függvényt. Az f függvény szigoún onoton nő, x > itt > + =, így K > =, it bizonyítni ktunk. 9. Igzoljuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenség felhsználásávl, hogy z n n soozt felülől kolátos! n

32 Útuttó: Igzoljuk, hogy soozt egyik felső kolátj. Ehhez fenti n tényezős szoztot szoozzuk -del, jd lklzzuk z így kpott n+ szá szátni és étni közép közötti egyenlőtlenséget. IV. Ellenőző feldtok:. Mekkoák z oldlú szbályos háoszögbe ít xiális teületű tégllp oldli?. Adjuk eg z x 5 tgx + 0 ctgx függvény étékkészletét!. Htáozz eg z f: ]0; ] R; f(x) = x(6 x) függvény xiuát!. Vn-e xiális, ill. iniális téfogtú d lkotójú fogáskúpok között? H vn, ekko sug, gsság és téfogt? 5. Az 5 c felszínű hengeek közül elyiknek téfogt xiális? Adj eg xiális téfogtú henge sugát, gsságát és téfogtát! 6. Adott fogáskúpb íhtó fogáshengeek közül elyiknek legngyobb téfogt? 7. Állpítsuk eg z x x 6x 6 f függvény szélsőétékeit. x x 5 Az ellenőző feldtok egoldási. Mekkoák z oldlú szbályos háoszögbe ít xiális teületű tégllp oldli?,. Adjuk eg z x 5 tgx + 0 ctgx függvény étékkészletét! ]- ; -0] [0; [. Htáozz eg z f: ]0; ] R; f(x) = x(6 x) függvény xiuát! A xiu étéke, helye :.. Vn-e xiális, ill. iniális téfogtú d lkotójú fogáskúpok között? H vn, ekko sug, gsság és téfogt? Miniális nincs, xiális téfogtú fogáskúp gsság d, sug 6 d,

33 téfogt d. 5. Az 5 c felszínű hengeek közül elyiknek téfogt xiális? Adj eg xiális téfogtú henge sugát, gsságát és téfogtát! A xiális téfogtú henge sug c, gsság 6c, téfogt 5π c. 6. Adott fogáskúpb íhtó fogáshengeek közül elyiknek legngyobb téfogt? Az R sugú, M gsságú kúpb íhtó xiális téfogtú henge lpköének R sug:, gsság: M, Vx R M Állpítsuk eg z x x 6x 6 f függvény szélsőétékeit. x x 5 Miniu:, xiu:

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Kereskedelmi szálláshelyek kihasználtságának vizsgálata, különös tekintettel az Észak-magyarországi és a Dél-alföldi régióra

Kereskedelmi szálláshelyek kihasználtságának vizsgálata, különös tekintettel az Észak-magyarországi és a Dél-alföldi régióra Észk-mgyrországi Strtégii Füzetek VII. évf. 2010 1 27-35 Kereskedelmi szálláshelyek kihsználtságánk vizsgált, különös tekintettel z Észk-mgyrországi és Dél-lföldi régiór A turizmusfejlesztés egyik prioritás

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Nagy Ilona 2013.06.01.

Nagy Ilona 2013.06.01. Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN KMPLEX SZÁMK GEMETRIÁBN Mirce Bechenu Ismert, hogy kölcsönösen egyértelmű (ijektív) megfeleltetés létezik sík pontji és komplex számok hlmz közt. Ez megfeleltetés lehetővé teszi zt, hogy komplex számokt

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 40 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3

Részletesebben

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző Előterjesztő: Di. Földc vbocs gyző Tervezett 1 db htározt Véleményező Szociális és [gészségügyi Bizottság Bizottság: Pénzügyi-, Gzdsági Bizottság Készítette: Dr. Fölűcsi Szbolcs jegyző el z lábbi htározti

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Első kötet 0 KÍSÉRLETI TANKÖNYV A tnkönyv megfelel z 5/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

Beregszászi István Programozási példatár

Beregszászi István Programozási példatár Beregszászi István Programozási példatár 2 1. fejezet 1. laboratóriumi munka 1.1. Matematikai kifejezések Írja fel algoritmikus nyelven a megadott kifejezést megfelelő típusú változók segítségével! Figyeljen

Részletesebben

KÉRDŐÍV. (március hó 31. napja, 24 órai állás szerint) Születési idő. nős/férjezett

KÉRDŐÍV. (március hó 31. napja, 24 órai állás szerint) Születési idő. nős/férjezett H O R V Á T K Ö Z T Á R S A S Á G KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÉRDŐÍV (március hó 31. npj, 24 óri állás szerint) P-1 Nyomttvány A jelen nyomttványbn szereplő összes dtok titoknk számítnk és cskis sttisztiki

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI

DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS TÉZISEI KAPOSVÁRI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR Pénzügy és Közgzdságtn Tnszék Doktori Iskol vezetője: DR. KEREKES SÁNDOR egyetemi tnár Témvezető: DR. BÁNFI TAMÁS egyetemi tnár Társ-témvezető:

Részletesebben

Egészsége és jó közérzete

Egészsége és jó közérzete Egészsége és jó közérzete Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Ez kérdőív zt méri fel, hogy Ön hogyn vélekedik z egészségéről. Az így kpott információ segíteni fog nyomon követni, hogy Ön hogy érzi

Részletesebben

Magyar Mérnöki Kamara Beszámoló vizsga. Kérdésbank. Felkészülési segédlet. Mintakérdések. Geotechnika GT, SZÉS8. 2014. szeptember 08.

Magyar Mérnöki Kamara Beszámoló vizsga. Kérdésbank. Felkészülési segédlet. Mintakérdések. Geotechnika GT, SZÉS8. 2014. szeptember 08. Mgyr Mérnöki Kr Beszáoló vizsg Kérdésbnk Felkészülési segédlet Mintkérdések Geotechnik GT, SZÉS8 2014. szepteber 08. Trtlojegyzék I. Kérdésbnk....3 II. Mintkérdések..6 III. Felkészülési segédlet.7 1 I.

Részletesebben

Tanárverseny 2012. Megoldásvázlatok

Tanárverseny 2012. Megoldásvázlatok Tanárverseny 0 középiskolában tanító tanároknak vázlatok Kidolgozta: Csordásné Szécsi Jolán, Csordás Péter A verseny támogatói: Typotex Kiadó Maxim Kiadó MATEGYE Alapítvány . Mennyivel egyenlő a K E D

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 16. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet XI. fejezete szerinti

Részletesebben

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK ISMERET 1. változt KOGNITÍV KÖVETELMÉNYEK ISMERET MEGÉRTÉS ALKALMAZÁS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK TÉNYEK ÉS ELEMI INFORMÁCIÓK ISMERETE FOGALMAK,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A vágás, ill. a forgácsolás célja: anyagi részek egymástól való elválasztása. A vágás, ill. a forgácsolás hagyományos eszköze: a kés. A kés a v haladási irányhoz

Részletesebben

Mérd fel magad könnyedén!

Mérd fel magad könnyedén! Mérd fel magad könnyedén! 1. Töltsük ki arab számokkal a kipontozott helyeket úgy, hogy igaz legyen az alábbi mondat: Ebben a mondatban... db 1-es,... db 2-es,... db 3-as,... db 4-es,... db 5-ös,... db

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor

Részletesebben

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról 9. melléklet 92./2011. (XII.30.) NFM rendelethez Összegezés z jánltok elbírálásáról 1. Az jánltkérő neve és címe: Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzt 7621 Pécs, Széchenyi tér 1. sz. 2. A közbeszerzés tárgy

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

HEFOP/2004/2.3.1. Hátrányos helyzetűemberek alternatív munkaerő-piaci képzése és foglalkoztatása

HEFOP/2004/2.3.1. Hátrányos helyzetűemberek alternatív munkaerő-piaci képzése és foglalkoztatása Hátrányos helyzetű lterntív munkerőpici képze fogllkozttás be bevonni kívánt célcsoportok kiválsztásávl összefüggő szkmi tpsztltok rövid áttekinte. 2005.11. 29. SZIKSZI SÁNDOR progrmot z Európi Szociál

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym MNy1 feltlp MAGYAR NYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2013. jnuár 19. 10:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Ügyelj küllkr! A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. A

Részletesebben

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK 6. Lbortóriumi gykorlt KAPAITÍV SZINTÉRZÉKELŐK. A gykorlt célj A kpcitív szintmérés elvének bemuttás. A (x) jelleggörbe ábrázolás szigetelő és vezető olyékok esetén. Egy stbil multivibrátor elhsználás

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok z S1O1 hivtko- E42-101 Segédletek III. Excel lpok Excel lpok Áttekintés elemzésekre, A Microsoft dtbázis-kezelésre Excel egy tábláztkezelő (korlátozottn!) progrm, és dtok melyet grfikus dtbevitelre, megjelenítésére

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ 2007 Szkmi Irányító: Modláné Görgényi Ildikó Készítették: Kertész Adrienn Munk-és szervezet szkpszichológus,

Részletesebben

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály IV. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az feleakkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödször 10 cm magasra pattant fel? 2. feladat.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben