17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton"

Átírás

1 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu f(x ). Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) iniu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ). A függvény (bszolút) iniu f(x ). A cíben szeeplő elei egoldás zt jelenti, hogy feldtok egoldás közben ne hsználjuk z nlízis eszközeit. A egoldás soán felhsználhtó ódszeek, ötletek:. ) Figyelebe vesszük vizsgálndó függvények ételezési ttoányát, étékkészletét és függvény enetét. b) Zát intevlluon ételezett függvényeknél egvizsgáljuk z ételezési ttoány végpontjibn felvett függvényétékeket is. c) Egy függvény szélsőétékhelye és típus ne változik, h függvényt egszoozzuk egy pozitív szál. d) Egy pozitív étékeket felvevő függvénynek és négyzetének szélsőéték helye és típus zonos.. Másodfokú függvények H vizsgált kifejezés felíhtó egy x iseetlen ásodfokú függvényeként, hol x tetszőleges vlós szá, kko f x) x u v ( lk hozás után egállpíthtó függvény szélsőétéke. A függvénynek iniu vn, h > 0, iniu étéke v, helye u, xiu vn, h < 0, xiu étéke v, helye u. H f ételezési ttoány ne teljes vlós száhlz, hne például egy intevllu, kko szélsőéték vizsgálthoz célszeű ábázolni függvényt.

2 . Tigonoetikus függvények Édees egvizsgálni, ne kpunk-e egyszeűbb kifejezést, h tigonoetikus zonosságokt lklzunk.. Az f függvény étékkészlete zon p száok hlz, elyeke z f(x) = p egyenletnek vn egoldás z f függvény ételezési ttoányán. Ezzel függvény szélsőétékének, illetve étékkészletének vizsgáltát, pétees egyenlet egoldásá vezethetjük vissz. 5. Szélsőéték-feldtok gykn egoldhtók nevezetes közepek közti egyenlőtlenségek lklzásávl is. Definíciók: Az,...,, n pozitív vlós száok szátni (it etiki)közepe: A(,,..., n ) =... n n, étni (geoetii) közepe: G(,,..., n ) = n... n honikus közepe: H(,,..., n ) = négyzetes (kvdtikus) közepe: Q(,,..., n ) = n n n... n Tétel: H,...,, n G(,,..., n ) A(,,..., n ) Q(,,..., n ). Egyenlőség kko és csk kko áll fenn, h... n teljesül. Következény: H n pozitív szá szozt állndó, kko z összegük kko iniális, h száok egyenlők. H n pozitív szá összege állndó, kko szoztuk kko xiális, h száok egyenlők. 6. Cuchy-Bunykovszkij-féle egyenlőtlenség (n = -) b b b b b b. Az egyenlőtlenség vektook skláis szoztánk definíciój, vlint skláis szozt koodinátákkl vló kifejezése lpján igzolhtó. Egyenlőség kko áll fenn, h ; ; és b b ; b b vektook páhuzosk, zz h vn olyn k szá, elye b ; k b k,, b k fennáll. (Az egyenlőtlenség áltlános lkj:

3 b b n bn n b b bn n dienziós vektook skláis szoztávl igzolhtó.) II. Kidolgozott feldtok. Adott keületű tégllpok közül elyiknek teülete xiális? I. A feldt szövege szeint tégllpok keülete k = ( + b) dott. Ebből k b. Keessük t k k ; 0 függvény xiuát. k k k t ; xiu helye k xiu étéke: 6 k (itt ételezve vn függvény; ekko b is. k ), Tehát z dott keületű tégllpok közül négyzet keülete xiális. II. Alklzzuk szátni és étni közép közötti összefüggést! k b b t, tehát t k állndó. t xiális, h t xiális. Ez kko áll fenn, h = b, tégllp egy oldlú négyzet, elynek teülete: t x k k. 6. Egy ptk ptján egy 00 ngyságú, tégllp lkú ketet szeetnénk elkeíteni vízi szánysink észée. Mekkoánk válsszuk tégllp éeteit, hogy legövidebb keítése legyen szükség? ( A ptkpton ne állítunk keítést.)

4 Jelöljük tégllp oldlit z áb szeint x-szel, ill. y-nl! ( x 0, y 0 ) A tégllp teülete xy = 00, keítés hossz k = x + y. Alklzzuk x-e és y- szátni és étni közép közötti összefüggést! x y xy A keítés iniális, h egyenlőség áll fenn zz, h x y. Ezt visszhelyettesítve teületképletbe, x 0 és y 80 dódik. Tehát iniális hosszúságú keítést igénylő tégllp oldli 0, ill. 80, és k in =60.. Az R sugú göbbe íhtó köhengeek közül elyiknek plástj legngyobb? I. Tekintsük henge és göb közös tengelyetszetét! Íjuk fel Pitgosz-tételt z ABC deékszögű háoszöge: R () A henge plástj: P, ez pont kko xiális, iko négyzete xiális.

5 Fejezzük ki z () összefüggésből et és helyettesítsük P képletébe: P (R ), (0<< R ). A kpott függvény -ben ásodfokú, elynek zéushelyei 0 és R, szélsőétékét zéushelyek szátni közepén veszi fel. Az -ben ásodfokú tg előjele negtív, ezét függvénynek xiu vn z R helyen. A xiális plástú henge gsság xiális plástú henge plástj II. R, sug R P R. x. Az R sugú göbbe ít A henge plástj kko xiális, iko xiális. Alklzzuk szátni és étni közép közötti összefüggést, vlint z () egyenlőséget: R, i állndó. A plást pontosn kko xiális, h zz, h. Így () szeint R, R, R, z R sugú göbbe ít xiális plástú henge plástj P R. x. Adott R sugú göbbe ít egyenes kökúpok közül elyiknek legngyobb téfogt? 5

6 Adott R sugú göbbe ít sugú kúpok közül nnk ngyobb téfogt, elyiknek gsság göb sugánál ne kisebb, ezét elég ezzel fogllkozni. Tekintsük göb és beít kúp közös tengelyetszetét! Thlész tétele szeint z ADC háoszög deékszögű, ezét lklzhtó á gsságtétel: x R (Ugynezt z összefüggést egkpjuk z AEO háoszöge felít Pitgosz- tételből is. ) A beít kúp téfogt R V. A szátni és étni közép közti összefüggést lklzhtjuk z, R száok ( 0 R ).., pozitív 6V R R, i állndó. A beít kúp téfogt xiális, h egyenlőség áll fenn, i R esetén teljesül. A xiális téfogtú kúp gsság: R téfogt: V. 8 R, z lpkö sug: R, 5. Adjuk eg z dott b oldlélű szbályos négyoldlú gúlák közül xiális téfogtút! 6

7 I. H gúl oldléle szöget zá be z lpsíkkl, kko gsság M bsin, lpéle b cos, téfogt: V b sin cos. Mivel b dott állndó, következő függvény xiuát keessük: sin cos f, hol 0 < <90. Ez ott xiális, hol négyzete : f sin cos cos xiális. A szátni és étni közép közötti összefüggés kko lklzhtó, h szoztbn szeeplő (pozitív) tényezők összege állndó. Ez könnyen egvlósíthtó, h z első tényezőt, s így szoztot -vel egszoozzuk. sin cos cos f. sin cos f. f kko xiális, h egyenlőség áll fenn. Ez pedig kko teljesül, h tényezők egyenlők, zz sin cos. Mivel hegyesszög, ebből ctg, sin, cos, így xiális téfogtú gúl lpéle b, 7

8 gsság M b b, téfogt V. 7 II. (Szögfüggvények nélkül) Íjuk fel pios háoszöge Pitgosz-tételt! M V xiális, h 9V xiális. b = állndó; V M 9V M M ne állndó, de M b étni közép közötti összefüggés. 6V állndó; lklzhtó szátni és b M. Így 6V, s ezzel V is kko xiális, h M zz, h M, it visszhelyettesítve M b, és b b, xiális téfogt pedig Vx dódik Htáozzuk eg x 7 x kifejezés legkisebb és legngyobb étékét! A kifejezés [; 7] intevlluon ételezett. A szátni és négyzetes közép közti egyenlőtlenség szeint: x 7 x x 7 x. Egyenlőség kko áll fenn, h x 7 x, zz h x = 5. Az f ( x) x 7 x nenegtív étékeket felvevő függvény helyett vizsgálhtjuk négyzetét: f ( x) x 7 x. Egyenlőség kko áll fenn, h x = vgy x = 7. Összefogllv: A vizsgált kifejezés legngyobb étéke, ezt z x = 5 helyen veszi fel, legkisebb étéke, it z x = és z x = 7 helyeken vesz fel. 8

9 7. ) Egy iskolábn két, szélességű folyosó eőlegesen keesztezi egyást. Mekko z leghosszbb lét, elyet vízszintes helyzetben - létát függőleges síkbn ttv - z egyik folyosóól ásik át lehet vinni? b)* Hogy ódosul válsz, h két folyosó szélessége 8 illetve 7 hosszúságegységű? ) A endelkezése álló helyet kko hsználjuk ki legjobbn, h lét éinti folyosó sokélét, felülnézetben létát szeléltető AC (A C ) szksz illeszkedik B pont. Az AC = x + y szksz hosszánk iniuát keessük (A lét ne lehet ennél hosszbb.) α = β egyállású szögek segítségével kifejezhető x és y: x =, cos α y =, sinα Alklzzuk honikus és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget = pozitív száok, és hsználjuk fel, hogy cos α + sin α =, és = sin, =, cos, sin cosα,, =, ezét, x + y,. Egyenlőség pontosn kko áll fenn, h cosα = sinα, zz, h α = 5. (Tehát legövidebb hosszúság 5 -os szögnél jön léte.) A leghosszbb lét, ellyel ezen folyosón be lehet fodulni ( lét vízszintes helyzetében), 6, hosszú. b) Ebben z esetben két szksz x =, y =. H isét fenti közepek közötti egyenlőtlenséget, vlint cos α + sin α = zonosságot szeetnénk lklzni, kko x-et illetve y-t nnyi egyenlő tg kell bontni, hogy négyzetes közép képletében szeeplő cos α és sin α együtthtój egegyezzen. 9

10 tg 8 cosα = cosα + cosα + + cosα tg 7 sin α = sin α + sin α + + sin α Ee 78 tg lklzzuk honikus és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget: 9 cos α cos α 78 cos sin 78 cosα cosα sin α + + sin α + sin α + + sin α = 6cos α + sin α 78 = 6 kifejezés xiális, h egyenlőség áll fenn. Ez kko teljesül, h cos α = sin α, zz, h tg α =,5, α 56,. x+y= cos + iniális, h tg α =,5 (α 56, ). sin A lét tehát ne lehet hosszbb = egységnél. Megjegyzés: A feldt fentihez hsonló ódon oldhtó eg, h két egyás eőleges folyosó szélességének ány két egész szá hánydosánk köbével egyenlő. x 8. Htáozzuk eg z f ( x), x x R függvény legkisebb és legngyobb étékét! Egy f függvény étékkészlete indzon p vlós száok hlz, elyeke z f(x) = p egyenletnek vn egoldás. H eghtáozzuk kifejezés étékkészletét, kko nnk legkisebb, ill. legngyobb elee (h vn) egyben vizsgált kifejezés iniu, ill. xiu is. Ezzel kifejezés szélsőétékének eghtáozását visszvezetjük egy pétees egyenlet egoldásá. x p x px x p 0 0

11 p 0 esetén, x p 0 esetén, ásodfokú egyenletnek kko vn vlós egoldás, h D 0. D p p p 8p p 8p 0, h 7 7 p ( p 0 ) 6 6 Összegezve két esetet, kpott egyenletnek kko vn vlós egoldás, h 7 7 p fennáll. 6 6 Így vizsgált függvény legkisebb étéke 6 7, legngyobb étéke 6 7. (A függvény szélsőétékhelyeit egkpjuk, h egoldjuk ásodfokú egyenletet p legngyobb és legkisebb étékée. Ezeke ásodfokú egyenlet diszkiináns 0, z egyenlet gyökei: x, =. A függvény iniuhelye: = 7, xiuhelye: = + 7.) 9. Adott sugú göb köé íhtó fogáskúpok közül elyiknek legkisebb téfogt? Tekintsük kúp és göb közös tengelyetszetét!

12 Az AFC és OEC deékszögű háoszögek hsonlók, et ACF = FCB, egfelelő oldlik ány egyenlő: R R ( > ). A nevezőkkel szozás és négyzete eelés után kpjuk: + R = R R + R. Ebből R. Ezt behelyettesítjük kúp téfogtképletébe: R V. (*) Az első két tényező konstns, elég hdik tényezőt vizsgálni. Végezzük el következő átlkítást:. Az összeg hdik tgj konstns. = állndó. Ezét szátni és étni közép közötti egyenlőtlenség lklzhtó.

13 A vizsgált összeg iniális, h, zz, h, R. 8 Az sugú göb köé íhtó iniális téfogtú kúp téfogt V. A (*) egyenlettől ásként: Vizsgáljuk, hogy z ilyen étékeket vehet fel. Adjuk eg, hogy z feltéve, hogy >. p pétees egyenletnek, ely p száok vn egoldás, Az egyenlet ekvivlens z pp 0egyenlettel. Ennek kko vn egoldás, h diszkiináns nenegtív. D p 8p. A feltétel szeint p > 0, így p 8. Ezzel egkptuk kifejezés iniuát, i 8. 8 Így z sugú göb köé íhtó iniális téfogtú kúp téfogt V. 0. Htáozzuk eg következő függvény étékkészletét, h xεr! f ( x) 5sin x cos x 5 f ( x) sin x cos x sinx, hol 67,8. cos 5, és sin, ez fennáll, h Mivel sin inden -e, ezét f ( x). (Az f függvény -, illetve étékeket felveszi, például α, illetve α helyeken; vlint közbenső étékeket is, et folytonos. ) A vizsgált függvény étékkészlete [-; ].

14 . ) Adjuk eg log sin x cos x kifejezés H ételezési ttoányát! log sin x cos x b) Htáozzuk eg H hlzon ételezett szélsőétékeit! / Felvételi 00. ájus / f x függvény ) A kifejezés zok z x vlós száok ételezett, elyeke: sin cos x sin x 0 x sin x. Ebből sin x, zz x k, hol k Z; H = R \ k b) A fentiek szeint z ételezési ttoány x eleeie 0 sin x. (**) Felhsználv, hogy z -nél kisebb lpú logitusfüggvény szigoún onoton csökken, log sin log x. A egdott függvénynek iniuétéke, it sinx = lpján, x k ; (k Z) helyeken vesz fel. A függvénynek nincs xiu, et z + sin x kifejezés tetszőlegesen kis pozitív szá lehet, h sin x egközelíti -et. Egy ilyen szá lpú logitus tetszőlegesen ngy pozitív étéket vehet fel. Másként: Adjuk eg, hogy p péte ely étékei esetén vn egoldás z lábbi egyenletnek log sin x cos x p. Definíció szeint sin x cos x p. A (**) egyenlőtlenség lpján 0, iből p p, és lpú exponenciális függvény szigoún onoton növekedése lpján p, z f függvény iniu..

15 (Mivel sin x 0-tól vló távolság tetszőlegesen kicsi lehet, ezét étéket felvehet, így z f függvény felülől ne kolátos, nincs xiu.) p tetszőlegesen ngy. Htáozzuk eg z lábbi függvény szélsőétékeit! f: [0; 5] R; x f ( x) x 9x 5x 6 / Felvételi 000. ájus / I. x 9x x 5x 6 x átlkítás lpján x f ( x). x 6x x 6 (A egdott ételezési ttoány inden eleée fennáll z egyenlőség.) Ábázoljuk függvényt! Mivel x szigoún onoton csökken z dott intevllubn, ezét f-e is ez teljesül. 5

16 f függvény xiu f ( 0), iniu f ( 5). 6 II. Megoldás Htáozzuk eg ilyen p péte esetén vn egoldás következő egyenletnek x x 9x p 5x 6 0 ;5 intevlluon! A feltétel szeint x és x 6 következővel: x 9x p( x 5x 6). A kijelölt szozást elvégezve és endezve kpjuk:, ezét egyenletünk vizsgált intevlluon ekvivlens x 9 5px 6p 0 p. p esetén x = 0 egyenletet kpjuk, elynek egoldás x =, i nincs z ételezési ttoánybn, ezét p. nenegtív. p esetén kko vn ásodfokú egyenletnek vlós gyöke, h diszkiináns 9 5p p 6p 9p 8p 69 7 p D, tehát D 0 inden p pétee teljesül. (Minden p ásodfokú egyenletnek.) vlós szá esetén vn egoldás Vegyük figyelebe, hogy olyn p vlós száokt keesünk, elyeke z egyenlet gyökei [0 ; 5] intevllub esnek! Ehhez htáozzuk eg ásodfokú egyenlet gyökeit! A egoldóképletből 6p x, x dódik. p Mivel nincs egdott intevllubn, ezét olyn p száokt keesünk, elyeke 6p 0 5 p fennáll. 6p 6 p, így p p 6 ; p ( innen látszik, hogy p<). 6

17 p 6 Felhsználv, hogy z csökken, x x függvény negtív száok hlzán szigoún onoton p dódik. 6 (Megjegyzés: Ennél feldtnál ez z utóbbi egoldás több bukttóvl ját, és hosszdlsbb is volt.). Legyenek, b és c -nél ngyobb száok és +b+c=. Adjuk eg + + b + + c + kifejezés xiuát! Tekintsük z x(; ; ) és z y egdott kifejezés. ; b ; c vektookt. Ezek skláis szozt éppen Másészt skláis szozt definíciój és cosinus függvény étékkészlete lpján: x y x y cos x y. A két vekto bszolútétéke: x, illetve y b c 5. Így vizsgált összeg xiális étéke 5, it kko vesz fel, h két vekto egyiányú ( cos, 0 ), i pontosn kko teljesül, h b c.. Igzoljuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenség felhsználásávl, hogy z n n soozt szigoún onoton nő: n Bizonyítndó, hogy n n n n. 7

18 A bl oldlon álló szoztot -gyel szoozv, lklzhtjuk z n+ szá szátni és étni középe közötti egyenlőtlenséget : n n n n. n n n n n n Ennek n+-edik htvány bizonyítndó egyenlőtlenség. (Egyenlőség ne áll fenn, et tényezők ne (ind) egyenlők.) III. Ajánlott feldtok:. Bizonyítsuk be, hogy báely negtív szánk és ecipokánk összege legfeljebb ( )!. Az A, B és C váosok egyástól vló távolság AB= 600 k, BC=800 k, AC=800 k. A-ból B- be és B-ből C-be egy időben indul egy-egy epülőgép. A gépek ugynkko sebességgel, zonos gsságbn, egyenes vonlbn kitéő nélkül epülnek. Hány k-es út egtétele után lesz epülők közötti távolság legkisebb? / Felvételi 000. áj./ 8. Adjuk eg z f ( x) sin x cos x függvény szélsőétékeit!. Adott teületű tégllpok közül elyiknek keülete iniális? 8 5. Htáozzuk eg z b szozt xiuát, h 0, b 0 és 5 7b! 6. Htáozzuk eg z jelölnek! bb cc bc kifejezés iniuát, h, b és c pozitív száokt 7. Oldjuk eg -es (kidolgozott) feldtot nevezetes közepek felhsználásávl! Legyenek, b és c -nél ngyobb száok és +b+c =. Htáozzuk eg b c kifejezés xiuát! 8. Azok közül tégltestek közül, elyek téfogt felszínük kétszeese, elyiknek legkisebb téfogt? /OKTV 000./ x y 9. Bizonyítsuk be, hogy 8, feltéve, hogy x, y! (OKTV 99-9) y x 0. Htáozzuk eg z f: R R, f x x x függvény iniuát!. Egy 0 c oldlú négyzet négy skából vágjunk le egybevágó négyzetet úgy, hogy lp négy szélének felhjtásávl lehető legngyobb téfogtú dobozt kpjuk. Adjuk eg ennek téfogtát!. Adott felszínű fedetlen hengeek közül htáozzuk eg legngyobb téfogtút! 8

19 . Egy hútpéz keesztetszetű vályú övidebbik lpj és szái d hosszúk. Htáozzuk eg ezek közül nnk tpéznk szögeit, elynek teülete legngyobb!. Htáozzuk eg z x ; x x f x R függvény szélsőétékeit! x 5. Htáozzuk eg x x 8x 6x 0 kifejezés iniuát! 6. Htáozzuk eg következő függvény szélsőétékét! f ( x) sin x sin xcosx cos x, x R 7. Htáozzuk eg következő kifejezés iniuát, h sinx 0 és cosx 0 K= sin x sin x cos x cos 8. Mutssuk eg, hogy K = 5x x log y + log y kifejezés étéke ngyobb -nél! x--x / Felvételi 996. ájus/ 9. Igzoljuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenség felhsználásávl, hogy z n n soozt felülől kolátos! n Megjegyzés: x Ebből és. kidolgozott feldtból következik, hogy z n n soozt konvegens. n A soozt htáétékét e-vel jelöljük Eule svájci tetikusól. e,788) Az jánlott feldtok egoldási. Bizonyítsuk be, hogy báely negtív szánk és ecipokánk összege legfeljebb ( ). Legyen < 0 vlós szá. Az állítás:. 9

20 Legyen b = > 0. Alklzzuk b-e és egyenlőtlenséget: -e szátni és étni közép közti b b b. b b Visszhelyettesítve b helyée ( )-t, bizonyítndó egyenlőtlenséget kpjuk. Egyenlőség kko és csk kko áll fenn, h b =, zz =. (Megjegyzés: H ekvivlens átlkításokkl egy igz állítást kpunk, kko ez z eedeti állítás is teljesül. H z egyenlőtlenséget z < 0 szál szoozzuk, jd endezzük, kko z egyenlőtlenséget kpjuk, i inden szá fennáll.). Az A, B és C váosok egyástól vló távolság AB= 600 k, BC=800 k, AC=800 k. A-ból B- be és B-ből C-be egy időben indul egy-egy epülőgép. A gépek ugynkko sebességgel, zonos gsságbn, egyenes vonlbn kitéő nélkül epülnek. Hány k-es út egtétele után lesz epülők közötti távolság legkisebb? / Felvételi 000. áj./ Tegyük fel, hogy gépek y k-t epültek. A két gép közötti d távolság négyzete z EBD háoszöge felít koszinusztétellel kiszáolhtó: d y 600 y y600 y 8, ivel cos. 8 Ebből endezés után két gép távolságánk négyzetée következő ásodfokú függvényt kpjuk: f y y 650y , hol 0 y

21 Teljes négyzetté kiegészítés után leolvshtó z f függvény szélsőétékhelye és étéke. f y y f iniuhelye y = 00. A két gép közti távolság 00 k egtételeko iniális. Ekko távolságuk 500 k 5, k. 8. Adjuk eg z f ( x) sin x cos x függvény szélsőétékeit! Végezzük el z lábbi átlkításokt: sin x cos x sin x cos x f ( x) sin x cos x Alklzzuk következő zonosságot: sin x cos x sin x cos x sin x x cos. Így f ( x) sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin 8 x sin Jelöljük sin x -et -vl és vizsgáljuk z lábbi ásodfokú függvényt: g() = + ; (0 ). x Teljes négyzetté kiegészítéssel g() = ( ) dódik.

22 Ez függvény ( [0; ] intevlluon) szigoún onoton csökken, xiu g(0) =, iniu g() =. Az f függvény xiuhelyét sin x=0, iniuhelyét sin x = egyenletek egoldási dják. Az f függvény xiuhelyei: n ; n Z, étéke:, iniuhelyei: + n ; n Z, étéke:.. Adott teületű tégllpok közül elyiknek keülete iniális? Útuttó: t b dott. k b Az. kidolgozott feldt II. egoldásábn felít b t kpjuk, hogy z dott teületű tégllpok közül négyzet keülete legkisebb: összefüggésből zt k in t. Megjegyzés: Feleülhet, hogy h fent elített feldtbn sikeült ásodfokú függvény szélsőétékének eghtáozásávl egoldni feldtot, kko tlán ez poblé is egoldhtó így. t Itt zonbn k, 0 függvény szélsőétéke dj egoldást. Ez pedig ne ásodfokú függvény.

23 5. Htáozzuk eg z b szozt xiuát, h 0, b 0 és 5 7b! Útuttó: Alklzzuk szátni és étni közép közti összefüggést z 5 és 7 b száok! Az b kifejezés xiális, h és 0 b, xiu étéke: Htáozzuk eg z jelölnek! Útuttó: bb cc bc kifejezés iniuát, h, b és c pozitív száokt Szoozzuk össze z (; b), (b; c) és (c; ) szápáok felít szátni és étni közepeke vontkozó egyenlőtlenségeket! A kifejezés iniu 8, it = b = c esetén vesz fel. 7. Legyenek, b és c -nél ngyobb száok és +b+c =. Htáozzuk eg b c kifejezés xiuát! Alklzzuk szátni és négyzetes közép közti egyenlőtlenséget! b c b c Ezt -l szoozv kpjuk: b c A kifejezés xiu 5 és ezt = b = c = esetén veszi fel. 8. Azok közül tégltestek közül, elyek téfogt felszínük kétszeese, elyiknek legkisebb téfogt? /OKTV 000./ A feltétel szeint V bc b bc c. Alklzzuk szátni és étni közép közötti egyenlőtlenséget z b, bc, c szoztok!

24 V b bc c b bc c egyenlő, zz, h b c. V, hol egyenlőség kko áll fenn, h háo szozt Tehát V V V V, iből V dódik. Egyenlőség pontosn kko teljesül, h = b = c, ezét feltételnek egfelelő tégltestek közül egység élű kockánk legkisebb téfogt. x y 9. Bizonyítsuk be, hogy 8, feltéve, hogy x, y! (OKTV 99-9) y x Vezessük be következő jelöléseket: x, b y. Bizonyítndó: b b 8. Alklzzuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenséget z pozitív száok. b és b b b b b b b b b b A z > 0 szá z z lpján, jobb oldlon álló szozt étéke leglább z z, így vizsgált kifejezés étéke leglább 8. Ezt z étéket = b = esetén veszi fel. (Ekko inden helyett = áll.) Az eedeti egyenlőtlenség inden x, y -nél ngyobb szá teljesül. x y 8, h x = y =. y x

25 0. Htáozzuk eg z f: R R, f x x x függvény iniuát! Útuttó: Alklzzuk x, x x, pozitív száok szátni és étni közép közti egyenlőtlenséget. A függvény iniu étéke:, helye:.. Egy 0 c oldlú négyzet négy skából vágjunk le négy egybevágó négyzetet úgy, hogy lp négy szélének felhjtásávl lehető legngyobb téfogtú dobozt kpjuk. Adjuk eg ennek téfogtát! Az áb jelöléseit hsználv doboz téfogt: V V 0 x x; 0 x 0 x0 x x 5 Mivel 0 x 0 x x 60 konstns, ezét lklzhtó szátni és étni közép közötti összefüggés: 60 0 x 0 x x 0 V V xiális, h 0 x = x, zz, h x = 5. A doboz xiális téfogtú, h 5x5 c -es négyzeteket vágunk le, és V x = 0 0 5c = 000 c. 5

26 . Adott felszínű fedetlen hengeek közül htáozz eg legngyobb téfogtút! A dott, V Elég xiuát eghtáozni. Ez pontosn kko lesz xiális, iko négyzete xiális. H szátni és étni közép közötti összefüggést szeetnénk lklzni, kko kell töekedni, hogy tényezők összege állndó legyen. Itt ne állndó, de szozt következő átlkításávl: á tényezők összege konstns lesz: A szátni és étni közép közti összefüggés szeint: A. V A = állndó. A felül nyitott henge téfogt xiális, h egyenlőség áll fenn. Ez kko teljesül, h zz =, henge gsság z lpkö sugávl egyenlő.,. Egy hútpéz keesztetszetű vályú övidebbik lpj és szái egység hosszúk. Htáozz eg ezek közül nnk tpéznk szögeit, elynek teülete legngyobb! 6

27 Az hegyesszögű tpéz gsság sin, hosszbbik lpj cos, teülete sin cos. Elég sin cos Alklzzuk sin cos cos közötti egyenlőtlenséget z cos, cos, cos, cos szozt négyzetének xiuát eghtáozni. cos cos cos cos összefüggést, jd szátni és étni közép 6 kifejezéseke. A tpéz teülete xiális, h tpéz szögei 60, 60, 0, 0. cos cos, iből cos, 60 dódik,. Htáozz eg z x ; x x f x R függvény szélsőétékeit! x Egy f függvény étékkészlete indzon vlós száok hlz, elye z f(x) = p egyenletnek vn egoldás. Vizsgáljuk eg ilyen p vlós száok vn egoldás z x x p x egyenletnek. A nevezővel ( 0) szoozv, és endezve kpjuk: p x x p 0. H p =, kko x = p = 0, vn egoldás z egyenletnek; H p, kko egyenletünk ásodfokú, elynek pontosn kko vn vlós gyöke, h diszkiináns nenegtív. Megoldndó z 0 Innen p 8p 0. p egyenlőtlenség. 7

28 A p 8p =0 egyenlet gyökei: egyenletnek kko vn vlós gyöke, h Összegezve:, és. A feltételt is figyelebe véve ásodfokú p ; \. Az eedeti egyenletnek kko vn egoldás ( vlós száok hlzábn), h p ;. Ebből következik, hogy vizsgált függvény iniu, xiu. (A függvény iniuhelye x =, xiuhelye x =.) 5. Htáozz eg x x 8x 6x 0 kifejezés iniuát! Útuttó: Htáozzuk eg zokt p vlós száokt, elyeke egyenletnek vn vlós egoldás! p ; kifejezés iniu. x 8x x 6x 0 p 6. Htáozzuk eg következő függvény szélsőétékeit! f ( x) sin x sin x cos x cos x, x R I. Alklzzuk z ddíciós tételeket: cos x cos x f ( x) sin x sin x cos x. sin cos x x sin x. Felhsználv, hogy sin x, kpjuk f ( x), tehát függvény iniu, xiu pedig. 8

29 (A függvény iniuhelyei sin x egyenlet gyökei: xiuhelyei sin x egyenlet gyökei: + kπ, k Z.) + nπ, n Z, II. Htáozzuk eg zokt p péteeket, elyeke z lábbi egyenletnek vn egoldás! sin x sin xcos x cos x p! p pcos x psin x felhsználásávl kpjuk: p x sin xcosx pcos x 0 sin. p esetén z egyenlet cos xsin x cos x 0 lk hozhtó, elynek egoldási cos x 0 és tg x egyenlet gyökei. Ezét p = elee függvény étékkészletének. p esetén cosx 0 ne egoldás, (et ez esetben sinx=0 is fennálln, i lehetetlen sin x + cos x = zonosság itt,) így cos x-szel oszthtunk és egyenletünk következő lesz: p x tg x p 0 tg. Ez feltétel szeint (tgx)-ben ásodfokú, s kko vn egoldás, h p p 0 D. A p-e kpott ásodfokú egyenlőtlenség egoldás ; + intevllu. Mivel fenti intevllunk p= elee, ezét ez egyben függvény étékkészlete, és így függvény iniu, xiu pedig,. 7. Htáozzuk eg következő kifejezés iniuát, h sinx 0 és cosx 0 K= sin x cos x! sin x cos x Az első ötlet z lehetne, hogy lklzzuk tetszőleges pozitív szá vontkozó egyenlőtlenséget: sin x cos x 8. sin x cos x Kédés, hogy K-nk iniu-e 8, vgyis vn-e olyn x vlós szá, elye kifejezés étéke 8. Egyenlőség kko álln fenn, h sin x cos x, i ne lehetséges. Ezét bá vizsgált kifejezés étéke leglább 8, ne 8 iniu. 9

30 Ennek ok z, hogy ne vettünk figyelebe egy fontos feltételt: sin x cos x. Alklzzuk négyzetes és szátni közép közötti összefüggést b b, hol sin x sin, és x cos x! () cos x b sin x cos x K sin cos sin cos x x x x sin x A () egyenlőtlenséget 0 sin x egyenlőtlenségből kptuk. Négyzete eelés után K 5 dódik. 5. A 5 kko iniu kifejezésnek, h vn olyn x vlós szá, elye egyenlőség áll fenn. A () egyenlőtlenség kko válik egyenlőséggé, h sin x, zz h sin x =, k x (k Z). Ebben z esetben ()-nél is egyenlőség áll fenn, ugynis ezeke z 5 x-eke sin x = cos x = s így ezeke z x vlós száok sin x cos x K=, 5. Tehát K kifejezés iniu,5. 8. Mutssuk eg, hogy K = 5x x log y + log y x--x kifejezés étéke ngyobb -nél! Állpítsuk eg, hogy kifejezés változók ely étékeie ételezett! x: Meghtáozzuk x + 5x 0 és x + x > 0 egyenlőtlenségek közös egoldásit. < x < ; y: y > 0 ; y (ezeke log y > 0 és log > 0). 0

31 Mivel fenti hlzon indkét tg pozitív étékű, lklzhtó szátni és étni közép közötti egyenlőtlenség: log K = 5x x y log y + x--x 5x x x--x (Figyelebe vettük z log = zonosságot.) A száláló és nevező szozttá lkításávl kpjuk: (x ) ( x) K (x ) ( x) = x. Vizsgáljuk z f(x) = ; xε]; [ függvényt. Az f függvény szigoún onoton nő, x > itt > + =, így K > =, it bizonyítni ktunk. 9. Igzoljuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenség felhsználásávl, hogy z n n soozt felülől kolátos! n

32 Útuttó: Igzoljuk, hogy soozt egyik felső kolátj. Ehhez fenti n tényezős szoztot szoozzuk -del, jd lklzzuk z így kpott n+ szá szátni és étni közép közötti egyenlőtlenséget. IV. Ellenőző feldtok:. Mekkoák z oldlú szbályos háoszögbe ít xiális teületű tégllp oldli?. Adjuk eg z x 5 tgx + 0 ctgx függvény étékkészletét!. Htáozz eg z f: ]0; ] R; f(x) = x(6 x) függvény xiuát!. Vn-e xiális, ill. iniális téfogtú d lkotójú fogáskúpok között? H vn, ekko sug, gsság és téfogt? 5. Az 5 c felszínű hengeek közül elyiknek téfogt xiális? Adj eg xiális téfogtú henge sugát, gsságát és téfogtát! 6. Adott fogáskúpb íhtó fogáshengeek közül elyiknek legngyobb téfogt? 7. Állpítsuk eg z x x 6x 6 f függvény szélsőétékeit. x x 5 Az ellenőző feldtok egoldási. Mekkoák z oldlú szbályos háoszögbe ít xiális teületű tégllp oldli?,. Adjuk eg z x 5 tgx + 0 ctgx függvény étékkészletét! ]- ; -0] [0; [. Htáozz eg z f: ]0; ] R; f(x) = x(6 x) függvény xiuát! A xiu étéke, helye :.. Vn-e xiális, ill. iniális téfogtú d lkotójú fogáskúpok között? H vn, ekko sug, gsság és téfogt? Miniális nincs, xiális téfogtú fogáskúp gsság d, sug 6 d,

33 téfogt d. 5. Az 5 c felszínű hengeek közül elyiknek téfogt xiális? Adj eg xiális téfogtú henge sugát, gsságát és téfogtát! A xiális téfogtú henge sug c, gsság 6c, téfogt 5π c. 6. Adott fogáskúpb íhtó fogáshengeek közül elyiknek legngyobb téfogt? Az R sugú, M gsságú kúpb íhtó xiális téfogtú henge lpköének R sug:, gsság: M, Vx R M Állpítsuk eg z x x 6x 6 f függvény szélsőétékeit. x x 5 Miniu:, xiu:

Összetettebb feladatok

Összetettebb feladatok A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás Összetettebb feldtok 055..,7 m háom kö közötti síkidom teülete. Kössük össze köök középpontjit, így kpunk egy háomszöget. Legyen m, b m, 5 m. Számítsuk ki koszinusztétellel

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

V.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek

V.fejezet. A hatványközepekre vonatkozó egyenlőtlenségek V.fejezet Készítette: Pokolá Tás A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek V.fejezet A htváyközepeke votkozó egyelőtleségek Vlószíűleg ez z tékö. elye legtö feldtot tlálták ki középiskolások száá, hisze ezek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍÉS Száos odell gondoljunk potenciálo! F eltérés z ideális gáz odelljétl: éret és kölcsönhtás Moszkópikus következény: száos állpotegyenlet (ld. RM-jegyzet

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2010. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2007. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 15:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

Mindig csak a kitevő?

Mindig csak a kitevő? MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

Megjegyzések a mesterséges holdak háromfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzéséhez

Megjegyzések a mesterséges holdak háromfrekvenciás Doppler-mérésének hibaelemzéséhez H E L L E R MÁRTA DR. FERENCZ CSABA Megjegyzések esteséges holdk háofekvencás Dopple-éésének hbelezéséhez ETO 62.396.962.33.8.46: 629.783: 88.3.6 Mnt z á előző ckkünkből [] s set, kuttás bn és esteséges

Részletesebben

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu / KÜLÖNBÖZİ SZÁMHALMAZOK ) Kkukktojást keresünk! ) b) 60 0 0 8 6 8 0 c) d) π 8 0,000. 0,666. 0 0.) (nincs értelmezve 0-vl vló osztás) kidobjuk! 0 A megmrdt számhlmzbn 8 irrcionális szám: : dobjuk ki! nem

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 17. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

SCHWARTZ 2009 Emlékverseny A TRIÓDA díj-ért kitűzött feladat megoldása ADY Endre Líceum Nagyvárad, Románia 2009. november 7.

SCHWARTZ 2009 Emlékverseny A TRIÓDA díj-ért kitűzött feladat megoldása ADY Endre Líceum Nagyvárad, Románia 2009. november 7. SCHWARTZ 009 Emlékveseny A TRIÓA díj-ét kitűzött feldt megoldás AY Ende Líceum Ngyvád, Románi 009. novembe 7. Az elekton fjlgos töltésének meghtáozás mgneton módszeel A szező áltl jánlott teljes megoldás,

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben