14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek"

Átírás

1 MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor

2 Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A képességfejlesztés fókuszi A számtni közép ismétlése, számtni és mértni közép összefüggésének ismerete. Feldtok megoldás, hsonlóság nygábn tlálhtó mértni közép tételek lklmzásánk elmélyítése. 4 ór 10. évfolym Hsonlóság, sttisztik, másodfokú kifejezések zonos átlkítási, négyzetgyökvonás zonossági. Függvények, differenciálszámítás. Pontos szövegértés, szövegelemzés, metkogníció fejlesztése. Következtetés speciális, konkrét megfigyelésektől z áltlános esetre, z induktív gondolkodás fejlesztése. A vlós számok és számegyenes pontji közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. A szélsőérték foglmánk elmélyítése számtni és mértni közép közötti összefüggés segítségével, mely z lulról, illetve fölülről történő becslés képességét is fejleszti. A lehetséges lklmzások megkeresése, tnult új ismeret beillesztése korábbi ismeretek rendszerébe, rendszerező szemlélet lkítás. AJÁNLÁS A modul órkerete lehetőséget d következő, tnulócsoport tudásszintjétől függő célok teljesítésére: számtni és mértni közép foglmánk és kpcsoltuknk z ismerete, ábrázolás számegyenesen; lgebri egyenlőtlenségek megoldás számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenség lklmzásávl; szélsőérték feldtok megoldás számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenség lklmzásávl (függvények, geometri); szélsőérték feldtok megoldás függvényvizsgálttl;

3 Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 3 szélsőérték feldtok megoldás másodfokú kifejezés zonos átlkításávl. Mint láthtó, modul feldolgozás során lehetőségünk vn kitekinteni középszint követelményrendszeréből. A középszintű érettséginek nem követelménye szélsőérték feldtok megoldás, ezért nnk számonkérését nem jvsoljuk. A függvényvizsgált előfordul vizsgán, függvényvizsgálttl kpcsoltos mintpéld és feldtok feldolgozását jvsoljuk. TÁMOGATÓ RENDSZER A tnári modulhoz trtozik egy tnórákon hsználhtó, elméletet és mintpéldákt trtlmzó bemuttó. Ez egyrészt Power Point progrmml kivetíthető, másrészt fóliár nyomttv írásvetítővel megjeleníthető. Ezen kívül készíthetünk diákjinknk feldtlpokt tnári nygot felhsználv. ÓRABEOSZTÁS Órszám Órcím 1. Számtni közép, mértni közép. Feldtok mértni középre 3. A számtni és mértni közép közötti összefüggés 4. Feldtok számtni és mértni közép közötti összefüggésre

4 Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 4 ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint: Két pozitív szám számtni és mértni közepének foglm, kpcsoltuk, hsználtuk. Emelt szint: Ismerje n szám számított középértékeit (ritmetiki, geometrii, négyzetes, hrmonikus), vlmint ngyságrendi viszonyikr vontkozó tételeket. Bizonyíts, hogy + b b, h, b + R. Tudjon megoldni feldtokt számtni és mértni közép közötti összefüggés lpján.

5 Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 5 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjtemény I. Közepek 1 Bevezetés, ráhngolódás: középértékek Bemuttó Számtni közép és hibáj Figyelem, rendszerezés, kombintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás. Bemuttó, 1. mintpéld 3 Számolás mértni középpel Frontális munk. Bemuttó, 5. mintpéld 4 Feldtok megoldás (csoportmunk) Kommunikáció, kooperáció, metkogníció, szöveges feldtok feldtok

6 Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 6 II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés 1. Az összefüggés tpsztlti megismerése (csoportmunk) Kombintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás.. A számtni és mértni közép közti összefüggés lklmzás (frontálistív és deduktív következtetés, elvontkozttás. Szöveges feldtok, kombintív gondolkodás, induk- 3. Feldtok megoldás (csoportmunk, differenciáltn) Bemuttó, 6. mintpéld Bemuttó, mintpéld feldtok

7 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 7 I. Közepek Sok dt (számsokság) jellemzői között szerepel legngyobb és legkisebb dt, mint terjedelme ( legngyobb és legkisebb elem különbsége), középmennyiségek (különböző átlgok, közepek) és z dtok középmennyiségek körüli elhelyezkedésére, szétszórtságár jellemző szórás. Eddigi tnulmányink során megismerkedtünk néhány középértékkel sttisztik témkörében: Számtni közép vgy átlg: + b és b vlós számok számtni közepe A =, vgyis két szám átlgát (összegük felét) két szám számtni közepének nevezzük. Módusz: számsokság leggykoribb dt. Medián: pártln számú dt esetén rendezett mint középső eleme, páros számú dt esetén két középső átlg. A számtni közép tehát zonos köznpi értelemben hsznált átlg foglmávl. Több szám esetén két száméhoz hsonlón számoljuk ki számtni közepüket: számok összegét elosztjuk számok drbszámávl: n A =, hol 1,,, n vlós számok. n A számtni közép zonbn nem minden esetben jellemzi megfelelően z dtokt. Vizsgáljuk meg következő példát. Mintpéld 1 Egy cégnél 8 ember 90 ezer, 1 ember 140 ezer, és 1 ember 500 ezer forintot keres hvont. Mennyi z átlgkereset? =

8 8 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Ez ligh vigsztlj zokt, kik csk 90 ezer forintot keresnek. Érdemes lenne kiegészíteni szórás ngyságávl: ( ) + ( ) + ( ) 8 σ = A szórás ngyságrendje is muttj z dtok elhelyezkedését. Kiegészíthetjük zzl megjegyzéssel is, hogy dolgozók 80%-ánk fizetése z átlgkereset ltt vn. Jól szemlélteti problémát keresetekből készített oszlopdigrm is. Tpsztltink szerint z átlgot kiugró dtok elrontják, ezért szükség vn további, z dtsokságot jellemző, átlg jellegű dtokr (közepekre). Ilyen például mértni közép. és b pozitív számok mértni közepe: G = b, vgyis két pozitív szám szorztánk négyzetgyökét két szám mértni közepének nevezzük. A medián, módusz, számtni és mértni közép mellett egyéb középértékeket is ismerünk: Hrmonikus közép (H): = b (,b>0), z lgebri átlkításokt elvégezve H b H =. + b A hrmonikus közép jól hsználhtó például átlgsebesség vgy ármkörökkel kpcsoltos számításoknál. + b Négyzetes közép: N = (,b vlós számok) A négyzetes közepet olyn dtok jellemzésére szoktuk hsználni, melyek átlg null. A mértni közép értelmezhető több szám esetén is, de erre most nem térünk ki. A számtni közepet A-vl jelöljük (ritmetiki közép), mértni közepet G-vel (geometrii közép).

9 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 9 Módszertni megjegyzés: Az rnymetszés előfordult kilencedikes nygbn. Kidhtjuk kiselődás vgy projektek témájánk ennek újbóli feldolgozását, vgy z rnymetszés történetével, lklmzásávl kpcsoltos (például internetes) kuttást. A mértni közép z rnymetszéssel is kpcsoltb hozhtó. Egy szkszt kkor osztunk fel z rnymetszés szbály szerint, h hosszbb és rövidebb szksz hosszánk rány ugynnnyi, mint z egész és ngyobb szksz hosszánk z rány: x + x = = x + x = x( + x). Innen x ( + x) =, zz észrevehetjük, hogy hosszbb szksz éppen rövidebb és z egész szksz hosszánk mértni középrányos. Mintpéld Számítsuk ki két szám, és 8 számtni és mértni közepét, és ábrázoljuk közepeket számegyenesen! + 8 A = = 5 G = 8 = 16 = 4 Mintpéld 3 Adott egy tégllp, melynek oldli 4 és 6 egység. Mekkor vele egyenlő területű négyzet oldl? A tégllp területe: T = 6 4 = 144. A négyzet területe: T = x, = 1 x.

10 10 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Éppen x = 6 4, vgyis négyzet oldl tégllp oldlink mértni közepe. Mintpéld 4 Htározzuk meg zt két pozitív számot, melyek számtni közepe 10, mértni közepe 8. Jelöljük x és y-nl keresett számokt! x + y A számtni közép: = 10, innen x + y = 0. A mértni közép: x y = 8, innen x y = 64. Ebből dódik 0 = x 0 x + 64 másodfokú egyenlet, melyet megoldv x 16 és x = 4. y értékei: y 1 = =, y = 0 4 = 16. Ellenőrzés után feldtot válsz leírásávl zárjuk: keresett számok 4 és = A mértni középpel már többször tlálkoztunk geometrii problémák esetében is, például hsonlóságnál tnultuk következőket: Mgsságtétel: derékszögű háromszögben z átfogóhoz trtozó mgsság z átfogót két olyn szeletre bontj, melyek mértni közepe mgsság. Befogótétel: derékszögű háromszögben befogó megegyezik z átfogónk, és z dott befogó átfogór eső merőleges vetületének mértni közepével. Érintő és szelőszkszok tétele: egy külső pontból körhöz húzott érintőszksz mértni közép pontból húzott szelő és szelőnek ponttól körig terjedő drbj között. m = = e = c c 1 c c 1 s 1 s Módszertni megjegyzés: A következő mintpéld jobb képességű tnulóknk jánlott.

11 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 11 Mintpéld 5 Az ABC háromszög BC oldlánk C-n túli meghosszbbításán levő D pontr igz, hogy z ABC szög egyenlő CAD szöggel. Bizonyítsuk be, hogy AD mértni közepe CD és BD szkszoknk! Először igzoljuk, hogy z ACD háromszög hsonló BAD háromszöghöz. Mindkét háromszög egyik szöge β (ABD vlmint DAC szögek), s mindkét háromszögnek vn egy α + β ngyságú szöge (ACD és BAD szögek). Felírv megfelelő oldlk rányát: AD CD =, mit átrendezve AD = CD BD, vgyis z állítást igzoltuk. BD AD Feldtok 1. Töltsd ki táblázt hiányzó részeit! (A: számtni közép, G: mértni közép.) ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) , 5 b ,75 83, ,8 45 A 11,5 17, , ,67 0 7,5 1 5 G 111,8 17,3 5,9 163, ,6 15 Módszertni megjegyzés: A szürke cellák értéke kiszámolndó.a g) j) feldtok mintpéldábn bemuttott megoldás szerint másodfokú egyenletrendszerre visszvezethetők. Egyes esetekben z eredmény közelítő érték.. Egy busz menetidejének első hrmdát 60 km/h, fennmrdó részét 90 km/h sebességgel tette meg. Mekkor volt z átlgsebessége? t t Az út első hrmdár s1 = 60 = 0 t, fennmrdó részére s = 90 = = 60 t. 3 3 s + s 0t + 60t Az átlgsebesség 1 = = 80 (km/h.) t t

12 1 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 3. Egy utó z út hrmdát 60 km/h, kéthrmdát 90 km/h sebességgel tette meg. Mekkor volt z átlgsebessége? A sebesség--idő koordinát-rendszerben felrjzolt grfikon ltti területek segítségével = 60 t1, honnn s 3 s t 1 =, vlmint 180 s s = 90 ( t t1 ) s = 135 ( t t1 ) = 135 t s 135 Átrendezve: 1,75 s = 135 t. Az átlgsebesség = 77, 1 t 1,75 km/h. 4. Az lábbi feldt Arkhimédész Lemmák c. könyvében tlálhtó: fejezd ki holdkés területét r-rel! (A holdkés z ókorbn hsznált vágóeszköz volt.) A segédvonlk berjzolás után z ábr szerint Thlész tétele mitt derékszögű háromszöget kpunk. r 1 és r segítségével felírv holdkés területét kpjuk: ( r + r ) 1 π r = 1 π r π T + = r 1 r π. A mgsságté- tel szerint r = r1 r = r1 r, vgyis r = r 1 r. Ezt T-be visszhelyettesítve, holdkés területe r π.

13 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép Egy derékszögű háromszögben z átfogót hozzá trtozó mgsság 10 és 16 cm-es drbokr osztj. Mekkor háromszög területe és befogói? A szokásos jelölésekkel mgsságtétel szerint m = , 65 cm. A terület m c 1,65 ( ) T = = = 164,4 cm. A befogótétel szerint befogók: = , cm, és b = 16 ( ) 0, 40 cm. ( ) 1 6. Egy derékszögű háromszögben z átfogót hozzá trtozó mgsság 3 cm és 5 cm ngyságú részekre osztj. Mekkor háromszög területe és kerülete? A szokásos jelölésekkel mgsságtétel szerint m = 3 5 3, 87 cm. A terület m c 3,87 ( 3 + 5) T = = = 15,48 cm. A befogótétel szerint befogók: = 3 ( 3 + 5) 4, 90 cm, és b = 5 ( 3 + 5) 6, 3 cm. A kerület K = 6,3 + 4, = 19, cm. 7. Egy derékszögű háromszögben befogók rány 1,5. Az átfogóhoz trtozó mgsság 10 cm. Mekkor részekre osztj z átfogót hozzá trtozó mgsság? = x x + y, és A befogótétel szerint befogókr felírhtó: ( ) x( x + y) x b = y( x + y). Hánydosuk = b y( x + y) y =,5, vgyis x =, 5y. A mgsságtétel sze- x = y b rint m szok. = 1,5 =, honnn = x y, honnn 100 = xy =,5y. Innen y 6, 67 és x = 15 keresett szk- 8. Mekkor derékszögű háromszög köré írhtó kör sugr, h befogók rány 3 : 4, és z átfogóhoz trtozó mgsság z átfogót két olyn szeletre bontj, melyek különbsége 4 cm? A befogótétel szerint z és b befogór, vlmint z x és y átfogó-szeletekre x( x + y) x 9 = =, miből x = y = y. A két szelet különbségére b y x + y b b 16 ( ) y

14 14 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ = y x = y y = y. Ebből y = 9, 14 cm, x = y 4 5, 14 cm. A köré írhtó x + y kör sugr z átfogó hosszánk fele: r = 7, 14 cm. 9. Az ábr jelöléseit felhsználv igzold, hogy x = y z! H z x hosszúságú szkszok végpontjit z átmérő végpontjivl összekötjük, Thlész-tétel mitt körvonlnál derékszögek keletkeznek. Ezeknek derékszögű háromszögeknek mgsság x, mely z átfogót y és z drbokr osztj. A mgsságtétel mitt z összefüggés fennáll. 10. Egy körhöz egy dott pontból húzunk egy szelőt, és kiszámítjuk szelőszkszok szorztát. Húzhtó-e még egy olyn szelő körhöz, melyre szelőszkszok szorzt ugynennyi? Az érintő és szelőszkszok tétele mitt bárhogy húzunk is szelőt körhöz, szelőszkszok szorzt mindig ugynnnyi (ti. z érintőszksz négyzete). 11. Az ABC háromszög A csúcsból kiinduló szögfelezőjének köré írt körrel lkotott metszéspontj P, BC oldlll lkotott metszéspontj Q. Mutsd meg, hogy BP mértni közepe z AP és z QP szksznk! Először bebizonyítjuk, hogy APB háromszög és BPQ háromszögek hsonlók. Az ábrán zonos betűkkel jelölt szögek egyenlők (egyenlő íveken nyugsznk). A külsőszög-tétel mitt BQP szög ngyság δ + ϕ, így mindkét háromszögnek vn két egyenlő ngyságú szöge. A megfelelő oldlk rányát felírv: BP = AP PQ. BP = AP PQ BP, mit átrendezve kpjuk z állítást:

15 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép Bizonyítsd be, hogy kör PR húrj mértni közepe P-ből induló átmérőnek, és húr ezen átmérőjére eső merőleges vetületének! Az ábr szerinti jelölésekkel Thlész-tétel mitt PRQ háromszög derékszögű. Derékszögű háromszögre érvényes befogótétel, PR = PQ PT, mi épp kívánt állítás. 13. Igzold Pitgorsz tételét befogótételek felhsználásávl! ( ) + b = c c + c c = c c + c = c Igzold, hogy körben egy P belső ponton átmenő húrokt P két olyn szkszr bontj, melyek mértni közepe minden P-n átmenő húr esetén egyenlő. Legyen AC és BD két tetszőleges, P ponton áthldó húr. D és C-nél egyenlők szögek, mert zonos íven nyugvó kerületi szögek. P-nél egyenlő csúcsszögek tlálhtók, így PC PB DPA ~CPB. A megfelelő oldlk rányából =, DP PA honnn PC PA = PB DP.

16 16 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket! Milyen összefüggést tlálunk két szám számtni és mértni közepe között? 1 14 ) 4 és 5; b) 10 és 40; c) 5 és 16; d) és ; e) 7, és 7,. 3 5 b A G ) ,5 10 b) c) ,5 8,94 d) ,57 0,97 30 e) 7, 7, 7, 7, Azt tpsztltuk, hogy számtni közép nemkisebb mértni középnél, és mindkét közép két szám áltl meghtározott intervllumb esik. Két pozitív szám mértni közepe nem ngyobb, mint két szám számtni közepe: b + b. Egyenlőség kkor és cskis kkor áll fenn, h két szám egyenlő. h = b

17 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 17 Két pozitív szám ( és b) számtni és mértni közepét ábrán is szemléltethetjük. Rjzoljuk meg z +b hosszúságú szksz Thlész-körét. Az ábr jelöléseivel: + b r =, és PQR derékszögű háromszögben mgsságtétel szerint m = b, vgyis kör sugr és b számtni közepe, z m-mel jelölt szksz és b mértni közepe. Mivel z m hosszúságú szksz kör sugránál nem lehet hosszbb, érvényes z m r + b egyenlőtlenség, vgyis b. Az egyenlőség kkor teljesül, h m = r, vgyis két szksz egyenlő hosszú: = b. A számtni és mértni közép közötti összefüggést gykorltbn változó mennyiségek esetén becslésre (egyenlőtlenség felírásár), és szélsőérték-feldtok megoldásár hsználjuk. Ehhez z kell, hogy vgy z összeg vgy szorzt állndó legyen. Módszertni megjegyzés: A szélsőérték-feldtok megoldás nem trtozik középszintű érettségi követelményei közé. Csk mtemtik iránt fogékony tnulóknk jánljuk. A másodfokú kifejezés átlkítás és szélsőérték vizsgált zonbn középszintű követelmény. Mintpéld 7 1 Bizonyítsuk be, hogy z f ( x) = x + (x>0)függvény -nél kisebb értéket nem vesz fel. x A számtni és mértni közép közötti összefüggés 1 x + 1 szerint: x 1 x = 1, innen x +. x x Ezt z állítást gykrn így foglmzzuk meg: egy pozitív szám és reciprokánk összege leglább.

18 18 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintpéld 8 10 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkor területű tégllp lkú telket lehet körülkeríteni? Legyen és b két oldl. Ekkor kerület ( + b) = 10, vgyis + b = 60. Teljesül z összeg állndóságánk feltétele, ezért becsülhetünk számtni és mértni közép + b közötti összefüggéssel: b b 30 b 900. Tehát legfeljebb 900 m területű telket lehet körbekeríteni. A legngyobb érték 900, mi = b = 30 esetében, vgyis négyzet lkú teleknél lehetséges. Megjegyzés: A feldt megoldhtó másodfokú függvény szélsőértékének vizsgáltávl is. Az + b = 60 összefüggésből b = 60. A tégllp területe T = b = 60. A teljes négyzetté kiegészítés módszerét lklmzv T = ( 60) = [ ( 30) 900]= ( 30) =. A másodfokú függvény minimum z M(30;900) pontbn, zz z = 30m. Tehát mximális terület 900 m. Természetesen = 30m esetén b = 30m dódik. Mintpéld 9 Leglább mennyi kerítésre vn szükség egy 10 m -es, tégllp lkú telek körbekerítéséhez? Legyen és b két oldl hossz. A kerítés hossz kerület, vgyis (+b). A számtni és mértni közép közötti összefüggést felírv + b b 4 b ( + b) 4 b K 4 10 K 43, 8 K Tehát leglább körülbelül 44 méter kerítés kell. Megjegyzés: 1. A kerítés = b = m oldlhosszú négyzet esetén legkisebb.. Ebben feldtbn függvényvizsgált középiskolábn nem szereplő mtemtiki ismereteket igényel.

19 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 19 Mintpéld 10 Mekkor mximális területe nnk tégllpnk, melynek kerülete 40 cm? Mekkorák ekkor tégllp oldli? A feldt hsonlít z egyik előző mintpéldár, de most megoldjuk két másik módszerrel is. Jelölje x és y két oldlt! 1. x + y x és y pozitív számok, ezért x y x y 10 x y 100. Tehát legfeljebb 100 cm lehet terület. Egyenlőség (legngyobb érték) bbn z esetben fordul elő, h x = y = 10 cm. Egyéb megoldások: A kerületből ( + y) = 40 x, honnn x + y = 0, y = 0 x. Ezt területbe helyettesítve T x ( 0 x) = x + 0x =. A feldt nem más, mint megkeresni, hogy milyen x esetén lesz másodfokú kifejezés értéke legngyobb. Ez két módszerrel: nevezetes zonosság vgy függvényvizsgált felhsználásávl is meghtározhtó.. Alkítsuk át terület képletét úgy, hogy teljes négyzet szerepeljen benne: ( x 0x) = ( x 10) [ ] 100 = 100 ( ) T = x + 0x = x 10 esetén veszi fel legngyobb értékét, mi Ez kifejezés x = Htározzuk meg kifejezés zérushelyeit, és vázoljuk fel másodfokú kifejezéshez trtozó prbolát! A zérushelyeket x + 0 x = 0 egyenlet megoldásávl kpjuk: 0 és 0. A prbol szimmetriáj mitt legngyobb értékét két zérushely között, éppen középen, zz fel, vgyis x = 10 esetén Tehát mximális terület 100 cm, és 10 cm oldlú négyzet esetén teljesül. helyen veszi

20 0 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Megjegyzés: szélsőérték vizsgált differenciálszámítássl is történhet. Ez z emelt szintű érettségi nyg. Mintpéld 11 Szerkessz 8 cm oldlhosszúságú szbályos háromszöget! Mekkorák z oldli háromszögbe írhtó tégllpok közül nnk, melynek területe lehető legngyobb? A kiszámítás után szerkeszd meg háromszögbe kpott tégllpot! Jelölje x és y tégllp oldlit z ábr szerint, tégllp területe T = x y, hol 0 < x < 8. Az ADE derékszögű háromszög egyik szöge 60, ezért x DE = AE 3 y = 3 4. x 3 3 T = x 3 4 = 4 3x x = x( 8 x) másodfokú kifejezés mximális értékét két zérushely (0 és 8) számtni közepénél veszi fel, 4 vgyis x = 4 esetén. Ekkor y = 3 4 = 3. A terület T = 8 3. Megszerkesztése könnyű, mert z AB oldl negyedelő pontjit kell megszerkeszteni. Módszertni megjegyzés: A feldtok között tlálunk hsonló példákt. Feldtok 15. Szerkeszd meg következő hosszúságú szkszok számtni és mértni közepét! ) 4 cm és 6 cm; b) 3 cm és 9 cm; c) 5 cm és 8 cm. Thlész tételét és mgsságtételt (vgy befogótételt) hsználjuk. 16. Egy derékszögű háromszög befogóink összege 5 cm. Legfeljebb mekkor lehet területe, és legngyobb terület esetén mekkorák háromszög oldli? 1. megoldás: függvényelemzéssel. 1 Jelölje x és ( 5 x) két befogó hosszát. Ekkor terület T( x) = x ( 5 x). A kifejezéshez trozó prbolánk mximum vn, és szimmetri mitt épp zérushelyek szám-

21 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 1 tni közepénél, zz =, 5 z átfogó,5 3, 54 cm. x esetén. Ekkor T (,5) = 3, 15. megoldás: számtni és mértni közép segítségével. A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv ( 5 x) x + x ( 5 x) x ( 5 x) 5 4 cm, befogók hossz,5 cm,. Az egyenlőtlenséget -vel osztv kpjuk, 5 hogy T cm. Legngyobb terület kkor, h két szám egyenlő: x = 5 x, hon- 8 nn háromszög befogóink hossz,5 cm, átfogój,5 3, 54 cm. 17. Egy derékszögű háromszög befogóink összege 40 cm. Legfeljebb mekkor lehet területe, és legngyobb terület esetén mekkorák háromszög oldli? Jelölje x és ( 40 x) két befogó hosszát. közötti egyenlőtlenségből kiindulv x ( x) ( 40 x) x T =. A számtni és mértni közép ( 40 x) x + 40 x ( 40 x) 400 egyenlőtlenséget -vel osztv kpjuk, hogy T 00 cm. Legngyobb terület bbn z. Az esetben lehetséges, h két szám egyenlő: x = 40 x, honnn háromszög befogóink hossz 0 cm, átfogój 0 8, 8 cm. m 18. Egy rkétát függőlegesen felfelé lövünk ki v 0 = 40 kezdősebességgel. Milyen mgsr repül rkét, h repülési mgsságát z y = v0 t s g t képlet lpján htározhtjuk meg (t z indulástól számított idő). Mikorr állítsuk robbnást meghtározó m időzítőt, h pály legmgsbb pontján kell robbntni? g = 10. s Behelyettesítve z dtokt, z y = 40 t 5 t = 5 ( t 8 t) átlkítv ( t 4) [ ] 16 = 80 5 ( 4 ) kifejezést kpjuk. Ezt y = 5 t. Ez t = 4 s esetén mximális, és mximális mgsság 80 méter. Az időkpcsolónk 4 s múlv kell bekpcsolni, 80 m mgsságbn.

22 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ m 19. Egy rkétát függőlegesen felfelé lövünk ki v 0 = 30 kezdősebességgel. Milyen mgsr repül rkét, h repülési mgsságát z y = v0 t s g t képlet lpján htározhtjuk meg (t z indulástól számított idő). Mikorr állítsuk robbnást meghtározó m időzítőt, h pály legmgsbb pontján kell robbntni? g = 10. s Behelyettesítve z dtokt, z y = 30 t 5 t = 5 ( t 6 t) átlkítv ( t 3) [ ] 9 = 45 5 ( 3 ) kifejezést kpjuk. Ezt y = 5 t. Ez t = 3 s esetén mximális, és mximális mgsság 45 méter. Az időzítőt 3 s-r kell beállítni. Módszertni megjegyzés: A következő feldtok z emelt szintű érettségi követelményrendszerére épülnek. Átvételüket csk érdeklődő diákoknk jvsoljuk. 0. Igzoljuk, hogy > 0 esetén fennáll + egyenlőtlenség! + 1 A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv ( + 1) = +. Ezt átrendezve kpjuk kívánt állítást. 1. Igzoljuk, hogy > 0 esetén fennáll egyenlőtlenség! A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv ( + ) = + 3. Ezt átrendezve kpjuk kívánt állítást.

23 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 3. Igzold, hogy pozitív x, y, és b számok esetén teljesülnek következő egyenlőtlenségek: ) x + y x y ; b) b + b ; c) + b + b + b ) Következik bból, h számtni és mértni közép közti összefüggésbe helyére x, b helyére y -et helyettesítünk. b) Induljunk ki bból, hogy bármely két pozitív és b számr + b b. Az egyenlőtlenség mindkét oldlához b. és b pozitívk, így 4b + b -t dv ( ) b + b b, mit átrendezve kpjuk z állítást.. b b + b, vgyis + b + c) Induljunk ki bból, mit igzolni kell, és emeljük négyzetre: ( ) 4 b. Eb- ből ( b) + + b, zz + + b + b b. Átrendezve 0 + b b, vgyis 0 ( b) érvényes egyenlőtlenséget kpjuk. Az átlkításink ekvivlensek voltk, ezért z állítást igzoltuk. Módszertni megjegyzés: Az ilyen feldtoknál célrvezető módszer bizonyítndó egyenlőtlenségből kiindulv, nnk ekvivlens átlkításivl igz összefüggést kihozni, mint zt c) megoldás muttj Htározd meg z f ( x) x + x minimális függvény értéke? = ( x > 0) függvény minimális értékét! Milyen x esetén Felhsználv számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenséget 5 x, v- x gyis f ( x) 5. Legkisebb értékét kkor veszi fel, h mitt x = 5. 5 x + x 5 x =, minek megoldás x > 0 x

24 4 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 4. ) Egy 0 cm hosszúságú szkszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy négyzetet. Mekkor részekre kell osztni szkszt, hogy négyzetek területének öszszege lehető legkisebb legyen? b)oldd meg feldtot áltlánosn is, mikor szksz hossz egység! b) Legyen x és y két rész, ekkor y = x. A területek összege T = x + y = ( x) = x x = x + +. Ezt teljes négyzetté lkítv T = ( x x) + = = x + = x +. T értéke 4 x =, y = esetén minimális A minimális érték T min =. Az ) esetben ugynez gondoltmenet konkrét számokkl végigszámolhtó, cmes szkszokr kell osztni szkszt, minimális terület 00 cm. Módszertni megjegyzés: A feldtot z emelt szintre készülő diákok megoldhtják számtni és négyzetes közép segítségével is. A emeljük: T. Tehát zz x = y =. ( x y) x + y + 4. Innen x x + y x + y ( x + ) egyenlőtlenséget négyzetre + y, hol T = x + y, és x + y =, zz y T = minimális terület, mely két változó egyenlősége esetén áll fenn, 5. Egy 40 cm hosszúságú szkszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy szbályos háromszöget. Mekkor részekre kell osztni szkszt, hogy háromszögek területének összege lehető legkisebb legyen? Oldd meg feldtot áltlánosn is, mikor szksz hossz egység! Legyen x és y két rész, ekkor y = x. A területek összege 3 [ x + ( x) ] = [ x x ] =. Ezt átlkítv T x + y = +

25 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép T = [ ( x x) + ] = x + = x T ér- 3 téke x = esetén minimális, minimális érték T min =. 8 Ugynez gondoltmenet konkrét számokkl végigszámolhtó, 0-0 cm-es szkszokr kell osztni szkszt, minimális terület , 41 cm. Módszertni megjegyzés: A feldtot emelt szintre készülő diákok megoldhtják számtni és négyzetes közép segítségével is. 6. A 600 m területű, tégllp lkú telkeknek ) leglább mekkor lehet z átlój? b) leglább mekkor lehet kerülete? Jelölje és b két oldlt. Ekkor b = 600. ) Az átló + b. A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv, felhsználv négyzetgyök függvény monoton növekedését becsülhetjük kifejezést: b. Ezt négyzetre emelve 4b + b + b, vgyis + b b + b, honnn z átlór b + b becslés dódik. A telek átlój leglább , 64 méter hosszú. b) A ( + b) kerületre egyszerűbb becslést megdni: ( b) 4 b +, vgyis kerület leglább 97,98 méter hosszú méteres kerítéssel 3 oldlról krunk egy tégllp lkú telket körbe keríteni. Adj becslést telek legngyobb területére! Legyen és b tégllp két oldl. Ekkor + b = 300, vgyis b = 300. A telek területe:

26 6 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ ( 300 ) = 300 = ( ) T = b = 150. Most számtni és mértni közép közti egyenlőtlenség nem hsználhtó (nem állndó és 150 összege). A terület függvény két zérushelye 0 és 150, A mximális értéket ezek számtni közepénél veszi fel függvény, így = = 75. Ekkor b = = 150, terület T = = 1150 m. A telek területe tehát legfeljebb 1150 m, mi két 75 m és egy 150 m hosszú oldl esetén vlósul meg méteres kerítéssel 3 oldlról krunk egy tégllp lkú telket körbe keríteni. Adj becslést telek legngyobb területére! Legyen és b tégllp két oldl. Ekkor + b = 450, vgyis b = 450. A telek területe: T = b = ( 450 ) = 450 = ( 5 ). A területfüggvény két zérushelye 0 és 5. A mximális értéket ezek számtni közepénél veszi fel függvény, így = = 11, 5. Ekkor b = 5, terület T = 11,5 5 = 531, 5 m. A telek területe tehát legfeljebb 531,5 m, mi két 11,5 m és egy 5 m hosszú oldl esetén vlósul meg. 9. Mekkorák szbályos háromszögbe írhtó mximális területű tégllp oldli, h háromszög oldl ) 4 cm; b). 3 3 b) y = ( x). A terület T = xy = x( x) = = 3 [ ( x x) ] = 3 x +. Ez 4 x = esetén mximális, és ekkor 3 y =. 4 ) helyére 4-et helyettesítve tégllp oldli 1 cm és , 39 cm. Módszertni megjegyzés: A feldt gykorlásképpen megoldhtó szbályos háromszög helyett egyenlőszárú derékszögű háromszöggel is.

27 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 7 Kislexikon és b pozitív számok számtni közepe (átlg) + b A =, mértni közepe G = b. Számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenség: két pozitív szám mértni közepe nem ngyobb, mint számtni közepe. A számtni és mértni közép kkor és cskis kkor egyenlő, h két szám egyenlő. + b Tétel: b. Módszertni megjegyzés: Emelt szinten szükség vn többi középértékre is. A számtni és mértni közép mellett hsználjuk következő közepeket is: hrmonikus közép (H): = b, z lgebri átlkításokt elvégezve H H b =. + b négyzetes közép (N): + b N =. Az egyenlőtlenségek közötti kpcsolt: H G A N.

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 15. modul SÍKIDOMOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 15. modul SÍKIDOMOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 15. modul SÍKIDOMOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 15. modul: SÍKIDOMOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc A Titu-lemm Győry Ákos Földes Feren Gimnázium, Miskol Az lái feldtsort jórészt z 5. Rátz László Vándorgyűlésen elhngzott nygól állítottm össze, néhány feldttl kiegészítettem, néhol pedig új izonyításokkl

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul: Az abszolútérték-függvény és más nemlineáris függvények

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget!

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 16. modul: EGYBEVÁGÓSÁGOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Összetettebb feladatok

Összetettebb feladatok A szinusztétel és koszinusztétel lklmzás Összetettebb feldtok 055..,7 m háom kö közötti síkidom teülete. Kössük össze köök középpontjit, így kpunk egy háomszöget. Legyen m, b m, 5 m. Számítsuk ki koszinusztétellel

Részletesebben

a b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat!

a b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat! 1 PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat! a b a b x y a a b x b y 17 25 13 10 5 7 3 6 7 10 2 4 2 3 9 5 2.) Az ábrán lévő paralelogramma oldalai a) AB=26 cm,

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA. Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr.

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA. Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr. Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr. MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 11. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

MATEMATIK A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA

MATEMATIK A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA MATEMATIK A 9. évfolyam 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA Matematika A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok Halmazokkal

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

1012/I. 1012/II. 1013.

1012/I. 1012/II. 1013. Húrnégyszögek, érintônégyszögek 7 0/ 0/ 0 008 Külsô pontól körhöz húzott érintôszkszok egyenlôk & A sokszög egy-egy csúcsáól induló érintôszkszok egyenlôk és két szomszédos oldl drji & Minden egyes érintôszkszól

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 14. modul: GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

MATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR

MATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR MATEMATIK A 9. évfolyam 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul: Egyenes arányosság és a lineáris függvények Tanári útmutató 2 A

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 13. modul SZÖVEGES FELADATOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 13. modul SZÖVEGES FELADATOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 13. modul SZÖVEGES FELADATOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 13. modul: SZÖVEGES FELADATOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY MATEMATIK A 9. évfolyam 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

Ellenállás mérés hídmódszerrel

Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. Lbortóriumi gykorlt Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. A gykorlt célkitűzései A Whestone-híd felépítésének tnulmányozás, ellenállások mérése 10-10 5 trtománybn, híd érzékenységének meghtározás, vlmint

Részletesebben

4. előadás: A vetületek általános elmélete

4. előadás: A vetületek általános elmélete 4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1

Részletesebben

Mindig csak a kitevő?

Mindig csak a kitevő? MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2010. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben