14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek"

Átírás

1 MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor

2 Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A képességfejlesztés fókuszi A számtni közép ismétlése, számtni és mértni közép összefüggésének ismerete. Feldtok megoldás, hsonlóság nygábn tlálhtó mértni közép tételek lklmzásánk elmélyítése. 4 ór 10. évfolym Hsonlóság, sttisztik, másodfokú kifejezések zonos átlkítási, négyzetgyökvonás zonossági. Függvények, differenciálszámítás. Pontos szövegértés, szövegelemzés, metkogníció fejlesztése. Következtetés speciális, konkrét megfigyelésektől z áltlános esetre, z induktív gondolkodás fejlesztése. A vlós számok és számegyenes pontji közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. A szélsőérték foglmánk elmélyítése számtni és mértni közép közötti összefüggés segítségével, mely z lulról, illetve fölülről történő becslés képességét is fejleszti. A lehetséges lklmzások megkeresése, tnult új ismeret beillesztése korábbi ismeretek rendszerébe, rendszerező szemlélet lkítás. AJÁNLÁS A modul órkerete lehetőséget d következő, tnulócsoport tudásszintjétől függő célok teljesítésére: számtni és mértni közép foglmánk és kpcsoltuknk z ismerete, ábrázolás számegyenesen; lgebri egyenlőtlenségek megoldás számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenség lklmzásávl; szélsőérték feldtok megoldás számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenség lklmzásávl (függvények, geometri); szélsőérték feldtok megoldás függvényvizsgálttl;

3 Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 3 szélsőérték feldtok megoldás másodfokú kifejezés zonos átlkításávl. Mint láthtó, modul feldolgozás során lehetőségünk vn kitekinteni középszint követelményrendszeréből. A középszintű érettséginek nem követelménye szélsőérték feldtok megoldás, ezért nnk számonkérését nem jvsoljuk. A függvényvizsgált előfordul vizsgán, függvényvizsgálttl kpcsoltos mintpéld és feldtok feldolgozását jvsoljuk. TÁMOGATÓ RENDSZER A tnári modulhoz trtozik egy tnórákon hsználhtó, elméletet és mintpéldákt trtlmzó bemuttó. Ez egyrészt Power Point progrmml kivetíthető, másrészt fóliár nyomttv írásvetítővel megjeleníthető. Ezen kívül készíthetünk diákjinknk feldtlpokt tnári nygot felhsználv. ÓRABEOSZTÁS Órszám Órcím 1. Számtni közép, mértni közép. Feldtok mértni középre 3. A számtni és mértni közép közötti összefüggés 4. Feldtok számtni és mértni közép közötti összefüggésre

4 Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 4 ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint: Két pozitív szám számtni és mértni közepének foglm, kpcsoltuk, hsználtuk. Emelt szint: Ismerje n szám számított középértékeit (ritmetiki, geometrii, négyzetes, hrmonikus), vlmint ngyságrendi viszonyikr vontkozó tételeket. Bizonyíts, hogy + b b, h, b + R. Tudjon megoldni feldtokt számtni és mértni közép közötti összefüggés lpján.

5 Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 5 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjtemény I. Közepek 1 Bevezetés, ráhngolódás: középértékek Bemuttó Számtni közép és hibáj Figyelem, rendszerezés, kombintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás. Bemuttó, 1. mintpéld 3 Számolás mértni középpel Frontális munk. Bemuttó, 5. mintpéld 4 Feldtok megoldás (csoportmunk) Kommunikáció, kooperáció, metkogníció, szöveges feldtok feldtok

6 Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 6 II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés 1. Az összefüggés tpsztlti megismerése (csoportmunk) Kombintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás.. A számtni és mértni közép közti összefüggés lklmzás (frontálistív és deduktív következtetés, elvontkozttás. Szöveges feldtok, kombintív gondolkodás, induk- 3. Feldtok megoldás (csoportmunk, differenciáltn) Bemuttó, 6. mintpéld Bemuttó, mintpéld feldtok

7 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 7 I. Közepek Sok dt (számsokság) jellemzői között szerepel legngyobb és legkisebb dt, mint terjedelme ( legngyobb és legkisebb elem különbsége), középmennyiségek (különböző átlgok, közepek) és z dtok középmennyiségek körüli elhelyezkedésére, szétszórtságár jellemző szórás. Eddigi tnulmányink során megismerkedtünk néhány középértékkel sttisztik témkörében: Számtni közép vgy átlg: + b és b vlós számok számtni közepe A =, vgyis két szám átlgát (összegük felét) két szám számtni közepének nevezzük. Módusz: számsokság leggykoribb dt. Medián: pártln számú dt esetén rendezett mint középső eleme, páros számú dt esetén két középső átlg. A számtni közép tehát zonos köznpi értelemben hsznált átlg foglmávl. Több szám esetén két száméhoz hsonlón számoljuk ki számtni közepüket: számok összegét elosztjuk számok drbszámávl: n A =, hol 1,,, n vlós számok. n A számtni közép zonbn nem minden esetben jellemzi megfelelően z dtokt. Vizsgáljuk meg következő példát. Mintpéld 1 Egy cégnél 8 ember 90 ezer, 1 ember 140 ezer, és 1 ember 500 ezer forintot keres hvont. Mennyi z átlgkereset? =

8 8 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Ez ligh vigsztlj zokt, kik csk 90 ezer forintot keresnek. Érdemes lenne kiegészíteni szórás ngyságávl: ( ) + ( ) + ( ) 8 σ = A szórás ngyságrendje is muttj z dtok elhelyezkedését. Kiegészíthetjük zzl megjegyzéssel is, hogy dolgozók 80%-ánk fizetése z átlgkereset ltt vn. Jól szemlélteti problémát keresetekből készített oszlopdigrm is. Tpsztltink szerint z átlgot kiugró dtok elrontják, ezért szükség vn további, z dtsokságot jellemző, átlg jellegű dtokr (közepekre). Ilyen például mértni közép. és b pozitív számok mértni közepe: G = b, vgyis két pozitív szám szorztánk négyzetgyökét két szám mértni közepének nevezzük. A medián, módusz, számtni és mértni közép mellett egyéb középértékeket is ismerünk: Hrmonikus közép (H): = b (,b>0), z lgebri átlkításokt elvégezve H b H =. + b A hrmonikus közép jól hsználhtó például átlgsebesség vgy ármkörökkel kpcsoltos számításoknál. + b Négyzetes közép: N = (,b vlós számok) A négyzetes közepet olyn dtok jellemzésére szoktuk hsználni, melyek átlg null. A mértni közép értelmezhető több szám esetén is, de erre most nem térünk ki. A számtni közepet A-vl jelöljük (ritmetiki közép), mértni közepet G-vel (geometrii közép).

9 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 9 Módszertni megjegyzés: Az rnymetszés előfordult kilencedikes nygbn. Kidhtjuk kiselődás vgy projektek témájánk ennek újbóli feldolgozását, vgy z rnymetszés történetével, lklmzásávl kpcsoltos (például internetes) kuttást. A mértni közép z rnymetszéssel is kpcsoltb hozhtó. Egy szkszt kkor osztunk fel z rnymetszés szbály szerint, h hosszbb és rövidebb szksz hosszánk rány ugynnnyi, mint z egész és ngyobb szksz hosszánk z rány: x + x = = x + x = x( + x). Innen x ( + x) =, zz észrevehetjük, hogy hosszbb szksz éppen rövidebb és z egész szksz hosszánk mértni középrányos. Mintpéld Számítsuk ki két szám, és 8 számtni és mértni közepét, és ábrázoljuk közepeket számegyenesen! + 8 A = = 5 G = 8 = 16 = 4 Mintpéld 3 Adott egy tégllp, melynek oldli 4 és 6 egység. Mekkor vele egyenlő területű négyzet oldl? A tégllp területe: T = 6 4 = 144. A négyzet területe: T = x, = 1 x.

10 10 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Éppen x = 6 4, vgyis négyzet oldl tégllp oldlink mértni közepe. Mintpéld 4 Htározzuk meg zt két pozitív számot, melyek számtni közepe 10, mértni közepe 8. Jelöljük x és y-nl keresett számokt! x + y A számtni közép: = 10, innen x + y = 0. A mértni közép: x y = 8, innen x y = 64. Ebből dódik 0 = x 0 x + 64 másodfokú egyenlet, melyet megoldv x 16 és x = 4. y értékei: y 1 = =, y = 0 4 = 16. Ellenőrzés után feldtot válsz leírásávl zárjuk: keresett számok 4 és = A mértni középpel már többször tlálkoztunk geometrii problémák esetében is, például hsonlóságnál tnultuk következőket: Mgsságtétel: derékszögű háromszögben z átfogóhoz trtozó mgsság z átfogót két olyn szeletre bontj, melyek mértni közepe mgsság. Befogótétel: derékszögű háromszögben befogó megegyezik z átfogónk, és z dott befogó átfogór eső merőleges vetületének mértni közepével. Érintő és szelőszkszok tétele: egy külső pontból körhöz húzott érintőszksz mértni közép pontból húzott szelő és szelőnek ponttól körig terjedő drbj között. m = = e = c c 1 c c 1 s 1 s Módszertni megjegyzés: A következő mintpéld jobb képességű tnulóknk jánlott.

11 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 11 Mintpéld 5 Az ABC háromszög BC oldlánk C-n túli meghosszbbításán levő D pontr igz, hogy z ABC szög egyenlő CAD szöggel. Bizonyítsuk be, hogy AD mértni közepe CD és BD szkszoknk! Először igzoljuk, hogy z ACD háromszög hsonló BAD háromszöghöz. Mindkét háromszög egyik szöge β (ABD vlmint DAC szögek), s mindkét háromszögnek vn egy α + β ngyságú szöge (ACD és BAD szögek). Felírv megfelelő oldlk rányát: AD CD =, mit átrendezve AD = CD BD, vgyis z állítást igzoltuk. BD AD Feldtok 1. Töltsd ki táblázt hiányzó részeit! (A: számtni közép, G: mértni közép.) ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) , 5 b ,75 83, ,8 45 A 11,5 17, , ,67 0 7,5 1 5 G 111,8 17,3 5,9 163, ,6 15 Módszertni megjegyzés: A szürke cellák értéke kiszámolndó.a g) j) feldtok mintpéldábn bemuttott megoldás szerint másodfokú egyenletrendszerre visszvezethetők. Egyes esetekben z eredmény közelítő érték.. Egy busz menetidejének első hrmdát 60 km/h, fennmrdó részét 90 km/h sebességgel tette meg. Mekkor volt z átlgsebessége? t t Az út első hrmdár s1 = 60 = 0 t, fennmrdó részére s = 90 = = 60 t. 3 3 s + s 0t + 60t Az átlgsebesség 1 = = 80 (km/h.) t t

12 1 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 3. Egy utó z út hrmdát 60 km/h, kéthrmdát 90 km/h sebességgel tette meg. Mekkor volt z átlgsebessége? A sebesség--idő koordinát-rendszerben felrjzolt grfikon ltti területek segítségével = 60 t1, honnn s 3 s t 1 =, vlmint 180 s s = 90 ( t t1 ) s = 135 ( t t1 ) = 135 t s 135 Átrendezve: 1,75 s = 135 t. Az átlgsebesség = 77, 1 t 1,75 km/h. 4. Az lábbi feldt Arkhimédész Lemmák c. könyvében tlálhtó: fejezd ki holdkés területét r-rel! (A holdkés z ókorbn hsznált vágóeszköz volt.) A segédvonlk berjzolás után z ábr szerint Thlész tétele mitt derékszögű háromszöget kpunk. r 1 és r segítségével felírv holdkés területét kpjuk: ( r + r ) 1 π r = 1 π r π T + = r 1 r π. A mgsságté- tel szerint r = r1 r = r1 r, vgyis r = r 1 r. Ezt T-be visszhelyettesítve, holdkés területe r π.

13 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép Egy derékszögű háromszögben z átfogót hozzá trtozó mgsság 10 és 16 cm-es drbokr osztj. Mekkor háromszög területe és befogói? A szokásos jelölésekkel mgsságtétel szerint m = , 65 cm. A terület m c 1,65 ( ) T = = = 164,4 cm. A befogótétel szerint befogók: = , cm, és b = 16 ( ) 0, 40 cm. ( ) 1 6. Egy derékszögű háromszögben z átfogót hozzá trtozó mgsság 3 cm és 5 cm ngyságú részekre osztj. Mekkor háromszög területe és kerülete? A szokásos jelölésekkel mgsságtétel szerint m = 3 5 3, 87 cm. A terület m c 3,87 ( 3 + 5) T = = = 15,48 cm. A befogótétel szerint befogók: = 3 ( 3 + 5) 4, 90 cm, és b = 5 ( 3 + 5) 6, 3 cm. A kerület K = 6,3 + 4, = 19, cm. 7. Egy derékszögű háromszögben befogók rány 1,5. Az átfogóhoz trtozó mgsság 10 cm. Mekkor részekre osztj z átfogót hozzá trtozó mgsság? = x x + y, és A befogótétel szerint befogókr felírhtó: ( ) x( x + y) x b = y( x + y). Hánydosuk = b y( x + y) y =,5, vgyis x =, 5y. A mgsságtétel sze- x = y b rint m szok. = 1,5 =, honnn = x y, honnn 100 = xy =,5y. Innen y 6, 67 és x = 15 keresett szk- 8. Mekkor derékszögű háromszög köré írhtó kör sugr, h befogók rány 3 : 4, és z átfogóhoz trtozó mgsság z átfogót két olyn szeletre bontj, melyek különbsége 4 cm? A befogótétel szerint z és b befogór, vlmint z x és y átfogó-szeletekre x( x + y) x 9 = =, miből x = y = y. A két szelet különbségére b y x + y b b 16 ( ) y

14 14 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ = y x = y y = y. Ebből y = 9, 14 cm, x = y 4 5, 14 cm. A köré írhtó x + y kör sugr z átfogó hosszánk fele: r = 7, 14 cm. 9. Az ábr jelöléseit felhsználv igzold, hogy x = y z! H z x hosszúságú szkszok végpontjit z átmérő végpontjivl összekötjük, Thlész-tétel mitt körvonlnál derékszögek keletkeznek. Ezeknek derékszögű háromszögeknek mgsság x, mely z átfogót y és z drbokr osztj. A mgsságtétel mitt z összefüggés fennáll. 10. Egy körhöz egy dott pontból húzunk egy szelőt, és kiszámítjuk szelőszkszok szorztát. Húzhtó-e még egy olyn szelő körhöz, melyre szelőszkszok szorzt ugynennyi? Az érintő és szelőszkszok tétele mitt bárhogy húzunk is szelőt körhöz, szelőszkszok szorzt mindig ugynnnyi (ti. z érintőszksz négyzete). 11. Az ABC háromszög A csúcsból kiinduló szögfelezőjének köré írt körrel lkotott metszéspontj P, BC oldlll lkotott metszéspontj Q. Mutsd meg, hogy BP mértni közepe z AP és z QP szksznk! Először bebizonyítjuk, hogy APB háromszög és BPQ háromszögek hsonlók. Az ábrán zonos betűkkel jelölt szögek egyenlők (egyenlő íveken nyugsznk). A külsőszög-tétel mitt BQP szög ngyság δ + ϕ, így mindkét háromszögnek vn két egyenlő ngyságú szöge. A megfelelő oldlk rányát felírv: BP = AP PQ. BP = AP PQ BP, mit átrendezve kpjuk z állítást:

15 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép Bizonyítsd be, hogy kör PR húrj mértni közepe P-ből induló átmérőnek, és húr ezen átmérőjére eső merőleges vetületének! Az ábr szerinti jelölésekkel Thlész-tétel mitt PRQ háromszög derékszögű. Derékszögű háromszögre érvényes befogótétel, PR = PQ PT, mi épp kívánt állítás. 13. Igzold Pitgorsz tételét befogótételek felhsználásávl! ( ) + b = c c + c c = c c + c = c Igzold, hogy körben egy P belső ponton átmenő húrokt P két olyn szkszr bontj, melyek mértni közepe minden P-n átmenő húr esetén egyenlő. Legyen AC és BD két tetszőleges, P ponton áthldó húr. D és C-nél egyenlők szögek, mert zonos íven nyugvó kerületi szögek. P-nél egyenlő csúcsszögek tlálhtók, így PC PB DPA ~CPB. A megfelelő oldlk rányából =, DP PA honnn PC PA = PB DP.

16 16 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket! Milyen összefüggést tlálunk két szám számtni és mértni közepe között? 1 14 ) 4 és 5; b) 10 és 40; c) 5 és 16; d) és ; e) 7, és 7,. 3 5 b A G ) ,5 10 b) c) ,5 8,94 d) ,57 0,97 30 e) 7, 7, 7, 7, Azt tpsztltuk, hogy számtni közép nemkisebb mértni középnél, és mindkét közép két szám áltl meghtározott intervllumb esik. Két pozitív szám mértni közepe nem ngyobb, mint két szám számtni közepe: b + b. Egyenlőség kkor és cskis kkor áll fenn, h két szám egyenlő. h = b

17 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 17 Két pozitív szám ( és b) számtni és mértni közepét ábrán is szemléltethetjük. Rjzoljuk meg z +b hosszúságú szksz Thlész-körét. Az ábr jelöléseivel: + b r =, és PQR derékszögű háromszögben mgsságtétel szerint m = b, vgyis kör sugr és b számtni közepe, z m-mel jelölt szksz és b mértni közepe. Mivel z m hosszúságú szksz kör sugránál nem lehet hosszbb, érvényes z m r + b egyenlőtlenség, vgyis b. Az egyenlőség kkor teljesül, h m = r, vgyis két szksz egyenlő hosszú: = b. A számtni és mértni közép közötti összefüggést gykorltbn változó mennyiségek esetén becslésre (egyenlőtlenség felírásár), és szélsőérték-feldtok megoldásár hsználjuk. Ehhez z kell, hogy vgy z összeg vgy szorzt állndó legyen. Módszertni megjegyzés: A szélsőérték-feldtok megoldás nem trtozik középszintű érettségi követelményei közé. Csk mtemtik iránt fogékony tnulóknk jánljuk. A másodfokú kifejezés átlkítás és szélsőérték vizsgált zonbn középszintű követelmény. Mintpéld 7 1 Bizonyítsuk be, hogy z f ( x) = x + (x>0)függvény -nél kisebb értéket nem vesz fel. x A számtni és mértni közép közötti összefüggés 1 x + 1 szerint: x 1 x = 1, innen x +. x x Ezt z állítást gykrn így foglmzzuk meg: egy pozitív szám és reciprokánk összege leglább.

18 18 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintpéld 8 10 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkor területű tégllp lkú telket lehet körülkeríteni? Legyen és b két oldl. Ekkor kerület ( + b) = 10, vgyis + b = 60. Teljesül z összeg állndóságánk feltétele, ezért becsülhetünk számtni és mértni közép + b közötti összefüggéssel: b b 30 b 900. Tehát legfeljebb 900 m területű telket lehet körbekeríteni. A legngyobb érték 900, mi = b = 30 esetében, vgyis négyzet lkú teleknél lehetséges. Megjegyzés: A feldt megoldhtó másodfokú függvény szélsőértékének vizsgáltávl is. Az + b = 60 összefüggésből b = 60. A tégllp területe T = b = 60. A teljes négyzetté kiegészítés módszerét lklmzv T = ( 60) = [ ( 30) 900]= ( 30) =. A másodfokú függvény minimum z M(30;900) pontbn, zz z = 30m. Tehát mximális terület 900 m. Természetesen = 30m esetén b = 30m dódik. Mintpéld 9 Leglább mennyi kerítésre vn szükség egy 10 m -es, tégllp lkú telek körbekerítéséhez? Legyen és b két oldl hossz. A kerítés hossz kerület, vgyis (+b). A számtni és mértni közép közötti összefüggést felírv + b b 4 b ( + b) 4 b K 4 10 K 43, 8 K Tehát leglább körülbelül 44 méter kerítés kell. Megjegyzés: 1. A kerítés = b = m oldlhosszú négyzet esetén legkisebb.. Ebben feldtbn függvényvizsgált középiskolábn nem szereplő mtemtiki ismereteket igényel.

19 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 19 Mintpéld 10 Mekkor mximális területe nnk tégllpnk, melynek kerülete 40 cm? Mekkorák ekkor tégllp oldli? A feldt hsonlít z egyik előző mintpéldár, de most megoldjuk két másik módszerrel is. Jelölje x és y két oldlt! 1. x + y x és y pozitív számok, ezért x y x y 10 x y 100. Tehát legfeljebb 100 cm lehet terület. Egyenlőség (legngyobb érték) bbn z esetben fordul elő, h x = y = 10 cm. Egyéb megoldások: A kerületből ( + y) = 40 x, honnn x + y = 0, y = 0 x. Ezt területbe helyettesítve T x ( 0 x) = x + 0x =. A feldt nem más, mint megkeresni, hogy milyen x esetén lesz másodfokú kifejezés értéke legngyobb. Ez két módszerrel: nevezetes zonosság vgy függvényvizsgált felhsználásávl is meghtározhtó.. Alkítsuk át terület képletét úgy, hogy teljes négyzet szerepeljen benne: ( x 0x) = ( x 10) [ ] 100 = 100 ( ) T = x + 0x = x 10 esetén veszi fel legngyobb értékét, mi Ez kifejezés x = Htározzuk meg kifejezés zérushelyeit, és vázoljuk fel másodfokú kifejezéshez trtozó prbolát! A zérushelyeket x + 0 x = 0 egyenlet megoldásávl kpjuk: 0 és 0. A prbol szimmetriáj mitt legngyobb értékét két zérushely között, éppen középen, zz fel, vgyis x = 10 esetén Tehát mximális terület 100 cm, és 10 cm oldlú négyzet esetén teljesül. helyen veszi

20 0 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Megjegyzés: szélsőérték vizsgált differenciálszámítássl is történhet. Ez z emelt szintű érettségi nyg. Mintpéld 11 Szerkessz 8 cm oldlhosszúságú szbályos háromszöget! Mekkorák z oldli háromszögbe írhtó tégllpok közül nnk, melynek területe lehető legngyobb? A kiszámítás után szerkeszd meg háromszögbe kpott tégllpot! Jelölje x és y tégllp oldlit z ábr szerint, tégllp területe T = x y, hol 0 < x < 8. Az ADE derékszögű háromszög egyik szöge 60, ezért x DE = AE 3 y = 3 4. x 3 3 T = x 3 4 = 4 3x x = x( 8 x) másodfokú kifejezés mximális értékét két zérushely (0 és 8) számtni közepénél veszi fel, 4 vgyis x = 4 esetén. Ekkor y = 3 4 = 3. A terület T = 8 3. Megszerkesztése könnyű, mert z AB oldl negyedelő pontjit kell megszerkeszteni. Módszertni megjegyzés: A feldtok között tlálunk hsonló példákt. Feldtok 15. Szerkeszd meg következő hosszúságú szkszok számtni és mértni közepét! ) 4 cm és 6 cm; b) 3 cm és 9 cm; c) 5 cm és 8 cm. Thlész tételét és mgsságtételt (vgy befogótételt) hsználjuk. 16. Egy derékszögű háromszög befogóink összege 5 cm. Legfeljebb mekkor lehet területe, és legngyobb terület esetén mekkorák háromszög oldli? 1. megoldás: függvényelemzéssel. 1 Jelölje x és ( 5 x) két befogó hosszát. Ekkor terület T( x) = x ( 5 x). A kifejezéshez trozó prbolánk mximum vn, és szimmetri mitt épp zérushelyek szám-

21 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 1 tni közepénél, zz =, 5 z átfogó,5 3, 54 cm. x esetén. Ekkor T (,5) = 3, 15. megoldás: számtni és mértni közép segítségével. A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv ( 5 x) x + x ( 5 x) x ( 5 x) 5 4 cm, befogók hossz,5 cm,. Az egyenlőtlenséget -vel osztv kpjuk, 5 hogy T cm. Legngyobb terület kkor, h két szám egyenlő: x = 5 x, hon- 8 nn háromszög befogóink hossz,5 cm, átfogój,5 3, 54 cm. 17. Egy derékszögű háromszög befogóink összege 40 cm. Legfeljebb mekkor lehet területe, és legngyobb terület esetén mekkorák háromszög oldli? Jelölje x és ( 40 x) két befogó hosszát. közötti egyenlőtlenségből kiindulv x ( x) ( 40 x) x T =. A számtni és mértni közép ( 40 x) x + 40 x ( 40 x) 400 egyenlőtlenséget -vel osztv kpjuk, hogy T 00 cm. Legngyobb terület bbn z. Az esetben lehetséges, h két szám egyenlő: x = 40 x, honnn háromszög befogóink hossz 0 cm, átfogój 0 8, 8 cm. m 18. Egy rkétát függőlegesen felfelé lövünk ki v 0 = 40 kezdősebességgel. Milyen mgsr repül rkét, h repülési mgsságát z y = v0 t s g t képlet lpján htározhtjuk meg (t z indulástól számított idő). Mikorr állítsuk robbnást meghtározó m időzítőt, h pály legmgsbb pontján kell robbntni? g = 10. s Behelyettesítve z dtokt, z y = 40 t 5 t = 5 ( t 8 t) átlkítv ( t 4) [ ] 16 = 80 5 ( 4 ) kifejezést kpjuk. Ezt y = 5 t. Ez t = 4 s esetén mximális, és mximális mgsság 80 méter. Az időkpcsolónk 4 s múlv kell bekpcsolni, 80 m mgsságbn.

22 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ m 19. Egy rkétát függőlegesen felfelé lövünk ki v 0 = 30 kezdősebességgel. Milyen mgsr repül rkét, h repülési mgsságát z y = v0 t s g t képlet lpján htározhtjuk meg (t z indulástól számított idő). Mikorr állítsuk robbnást meghtározó m időzítőt, h pály legmgsbb pontján kell robbntni? g = 10. s Behelyettesítve z dtokt, z y = 30 t 5 t = 5 ( t 6 t) átlkítv ( t 3) [ ] 9 = 45 5 ( 3 ) kifejezést kpjuk. Ezt y = 5 t. Ez t = 3 s esetén mximális, és mximális mgsság 45 méter. Az időzítőt 3 s-r kell beállítni. Módszertni megjegyzés: A következő feldtok z emelt szintű érettségi követelményrendszerére épülnek. Átvételüket csk érdeklődő diákoknk jvsoljuk. 0. Igzoljuk, hogy > 0 esetén fennáll + egyenlőtlenség! + 1 A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv ( + 1) = +. Ezt átrendezve kpjuk kívánt állítást. 1. Igzoljuk, hogy > 0 esetén fennáll egyenlőtlenség! A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv ( + ) = + 3. Ezt átrendezve kpjuk kívánt állítást.

23 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 3. Igzold, hogy pozitív x, y, és b számok esetén teljesülnek következő egyenlőtlenségek: ) x + y x y ; b) b + b ; c) + b + b + b ) Következik bból, h számtni és mértni közép közti összefüggésbe helyére x, b helyére y -et helyettesítünk. b) Induljunk ki bból, hogy bármely két pozitív és b számr + b b. Az egyenlőtlenség mindkét oldlához b. és b pozitívk, így 4b + b -t dv ( ) b + b b, mit átrendezve kpjuk z állítást.. b b + b, vgyis + b + c) Induljunk ki bból, mit igzolni kell, és emeljük négyzetre: ( ) 4 b. Eb- ből ( b) + + b, zz + + b + b b. Átrendezve 0 + b b, vgyis 0 ( b) érvényes egyenlőtlenséget kpjuk. Az átlkításink ekvivlensek voltk, ezért z állítást igzoltuk. Módszertni megjegyzés: Az ilyen feldtoknál célrvezető módszer bizonyítndó egyenlőtlenségből kiindulv, nnk ekvivlens átlkításivl igz összefüggést kihozni, mint zt c) megoldás muttj Htározd meg z f ( x) x + x minimális függvény értéke? = ( x > 0) függvény minimális értékét! Milyen x esetén Felhsználv számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenséget 5 x, v- x gyis f ( x) 5. Legkisebb értékét kkor veszi fel, h mitt x = 5. 5 x + x 5 x =, minek megoldás x > 0 x

24 4 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 4. ) Egy 0 cm hosszúságú szkszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy négyzetet. Mekkor részekre kell osztni szkszt, hogy négyzetek területének öszszege lehető legkisebb legyen? b)oldd meg feldtot áltlánosn is, mikor szksz hossz egység! b) Legyen x és y két rész, ekkor y = x. A területek összege T = x + y = ( x) = x x = x + +. Ezt teljes négyzetté lkítv T = ( x x) + = = x + = x +. T értéke 4 x =, y = esetén minimális A minimális érték T min =. Az ) esetben ugynez gondoltmenet konkrét számokkl végigszámolhtó, cmes szkszokr kell osztni szkszt, minimális terület 00 cm. Módszertni megjegyzés: A feldtot z emelt szintre készülő diákok megoldhtják számtni és négyzetes közép segítségével is. A emeljük: T. Tehát zz x = y =. ( x y) x + y + 4. Innen x x + y x + y ( x + ) egyenlőtlenséget négyzetre + y, hol T = x + y, és x + y =, zz y T = minimális terület, mely két változó egyenlősége esetén áll fenn, 5. Egy 40 cm hosszúságú szkszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy szbályos háromszöget. Mekkor részekre kell osztni szkszt, hogy háromszögek területének összege lehető legkisebb legyen? Oldd meg feldtot áltlánosn is, mikor szksz hossz egység! Legyen x és y két rész, ekkor y = x. A területek összege 3 [ x + ( x) ] = [ x x ] =. Ezt átlkítv T x + y = +

25 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép T = [ ( x x) + ] = x + = x T ér- 3 téke x = esetén minimális, minimális érték T min =. 8 Ugynez gondoltmenet konkrét számokkl végigszámolhtó, 0-0 cm-es szkszokr kell osztni szkszt, minimális terület , 41 cm. Módszertni megjegyzés: A feldtot emelt szintre készülő diákok megoldhtják számtni és négyzetes közép segítségével is. 6. A 600 m területű, tégllp lkú telkeknek ) leglább mekkor lehet z átlój? b) leglább mekkor lehet kerülete? Jelölje és b két oldlt. Ekkor b = 600. ) Az átló + b. A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv, felhsználv négyzetgyök függvény monoton növekedését becsülhetjük kifejezést: b. Ezt négyzetre emelve 4b + b + b, vgyis + b b + b, honnn z átlór b + b becslés dódik. A telek átlój leglább , 64 méter hosszú. b) A ( + b) kerületre egyszerűbb becslést megdni: ( b) 4 b +, vgyis kerület leglább 97,98 méter hosszú méteres kerítéssel 3 oldlról krunk egy tégllp lkú telket körbe keríteni. Adj becslést telek legngyobb területére! Legyen és b tégllp két oldl. Ekkor + b = 300, vgyis b = 300. A telek területe:

26 6 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ ( 300 ) = 300 = ( ) T = b = 150. Most számtni és mértni közép közti egyenlőtlenség nem hsználhtó (nem állndó és 150 összege). A terület függvény két zérushelye 0 és 150, A mximális értéket ezek számtni közepénél veszi fel függvény, így = = 75. Ekkor b = = 150, terület T = = 1150 m. A telek területe tehát legfeljebb 1150 m, mi két 75 m és egy 150 m hosszú oldl esetén vlósul meg méteres kerítéssel 3 oldlról krunk egy tégllp lkú telket körbe keríteni. Adj becslést telek legngyobb területére! Legyen és b tégllp két oldl. Ekkor + b = 450, vgyis b = 450. A telek területe: T = b = ( 450 ) = 450 = ( 5 ). A területfüggvény két zérushelye 0 és 5. A mximális értéket ezek számtni közepénél veszi fel függvény, így = = 11, 5. Ekkor b = 5, terület T = 11,5 5 = 531, 5 m. A telek területe tehát legfeljebb 531,5 m, mi két 11,5 m és egy 5 m hosszú oldl esetén vlósul meg. 9. Mekkorák szbályos háromszögbe írhtó mximális területű tégllp oldli, h háromszög oldl ) 4 cm; b). 3 3 b) y = ( x). A terület T = xy = x( x) = = 3 [ ( x x) ] = 3 x +. Ez 4 x = esetén mximális, és ekkor 3 y =. 4 ) helyére 4-et helyettesítve tégllp oldli 1 cm és , 39 cm. Módszertni megjegyzés: A feldt gykorlásképpen megoldhtó szbályos háromszög helyett egyenlőszárú derékszögű háromszöggel is.

27 TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 7 Kislexikon és b pozitív számok számtni közepe (átlg) + b A =, mértni közepe G = b. Számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenség: két pozitív szám mértni közepe nem ngyobb, mint számtni közepe. A számtni és mértni közép kkor és cskis kkor egyenlő, h két szám egyenlő. + b Tétel: b. Módszertni megjegyzés: Emelt szinten szükség vn többi középértékre is. A számtni és mértni közép mellett hsználjuk következő közepeket is: hrmonikus közép (H): = b, z lgebri átlkításokt elvégezve H H b =. + b négyzetes közép (N): + b N =. Az egyenlőtlenségek közötti kpcsolt: H G A N.

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról 9. melléklet 92./2011. (XII.30.) NFM rendelethez Összegezés z jánltok elbírálásáról 1. Az jánltkérő neve és címe: Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzt 7621 Pécs, Széchenyi tér 1. sz. 2. A közbeszerzés tárgy

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Perspektíva (Kidolgozott feladatok)

Perspektíva (Kidolgozott feladatok) Perspektí (idolgozott feldtok) 1. feldt z 1.. ábrán egy épület két etületét (megfelelõ kicsinyítésben) és etítõ rendszert dtk meg. Szerkesszünk perspektí képet! megoldás során z átmetszõ módszert sználjk

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK

6. Laboratóriumi gyakorlat KAPACITÍV SZINTÉRZÉKELŐK 6. Lbortóriumi gykorlt KAPAITÍV SZINTÉRZÉKELŐK. A gykorlt célj A kpcitív szintmérés elvének bemuttás. A (x) jelleggörbe ábrázolás szigetelő és vezető olyékok esetén. Egy stbil multivibrátor elhsználás

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ

NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ NEMZETI SZAKKÉPZÉSI ÉS FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZET MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓ A BEMENETI KOMPETENCIÁK MÉRÉSÉHEZ 2007 Szkmi Irányító: Modláné Görgényi Ildikó Készítették: Kertész Adrienn Munk-és szervezet szkpszichológus,

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN

KOMPLEX SZÁMOK A GEOMETRIÁBAN KMPLEX SZÁMK GEMETRIÁBN Mirce Bechenu Ismert, hogy kölcsönösen egyértelmű (ijektív) megfeleltetés létezik sík pontji és komplex számok hlmz közt. Ez megfeleltetés lehetővé teszi zt, hogy komplex számokt

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû mtemtik 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállított: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tnár A Gondolkodási módszerek és Vlószínûségszámítás c. fejezeteket szkmilg ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egyetemi

Részletesebben

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET

ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK. 1. változat ISMERET ALKALMAZÁSI SZINTEK I. ALKALMAZÁS MEGÉRTÉS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK ISMERET 1. változt KOGNITÍV KÖVETELMÉNYEK ISMERET MEGÉRTÉS ALKALMAZÁS MAGASABB RENDŐ MŐVELETEK TÉNYEK ÉS ELEMI INFORMÁCIÓK ISMERETE FOGALMAK,

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Kereskedelmi szálláshelyek kihasználtságának vizsgálata, különös tekintettel az Észak-magyarországi és a Dél-alföldi régióra

Kereskedelmi szálláshelyek kihasználtságának vizsgálata, különös tekintettel az Észak-magyarországi és a Dél-alföldi régióra Észk-mgyrországi Strtégii Füzetek VII. évf. 2010 1 27-35 Kereskedelmi szálláshelyek kihsználtságánk vizsgált, különös tekintettel z Észk-mgyrországi és Dél-lföldi régiór A turizmusfejlesztés egyik prioritás

Részletesebben

Felvételi KÖZGAZDASÁG- ÉS GAZDÁLKODÁSTUDOMÁNYI KAR. Universitatea BABEŞ-BOLYAI. w w w. e c o n. u b b c l u j. r o BABEŞ-BOLYAI

Felvételi KÖZGAZDASÁG- ÉS GAZDÁLKODÁSTUDOMÁNYI KAR. Universitatea BABEŞ-BOLYAI. w w w. e c o n. u b b c l u j. r o BABEŞ-BOLYAI BABEŞ-BOLYAI Universitte TUDOMÁNYEGYETEM BABEŞ-BOLYAI KÖZGAZDASÁG- ÉS GAZDÁLKODÁSTUDOMÁNYI KAR w w w. e c o n. u b b c l u j. r o Román, mgyr, német, ngol és frnci nyelvű képzési formák Helyek szám Részletek

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1886 ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgzdság

Részletesebben

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző

Tárgy: 2() 14. évi s ciális nyári gvenl[keztetés. Előterjesztő: Di. Földc vaboics gyző. Készítette: Dr. Fölűcsi Szabolcs jegyző Előterjesztő: Di. Földc vbocs gyző Tervezett 1 db htározt Véleményező Szociális és [gészségügyi Bizottság Bizottság: Pénzügyi-, Gzdsági Bizottság Készítette: Dr. Fölűcsi Szbolcs jegyző el z lábbi htározti

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek vezetékes műsorjel-elosztási szolgáltatáshoz B jelű melléklet Adatkezelési- és adatvédelmi szabályzat

Általános Szerződési Feltételek vezetékes műsorjel-elosztási szolgáltatáshoz B jelű melléklet Adatkezelési- és adatvédelmi szabályzat A Telephnt Távközlési és Telekommunikációs Szolgálttó Zártkörűen működő Részvénytársság ( továbbikbn: Telephnt Távközlési Zrt. vgy Szolgálttó ) z előfizetők személyes dtit bizlmsn, htályos jogszbályi előírásokkl

Részletesebben

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok

E42-101 Segédletek III. Excel alapok. Excel alapok z S1O1 hivtko- E42-101 Segédletek III. Excel lpok Excel lpok Áttekintés elemzésekre, A Microsoft dtbázis-kezelésre Excel egy tábláztkezelő (korlátozottn!) progrm, és dtok melyet grfikus dtbevitelre, megjelenítésére

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Bevezető, információk a segédlet használatához

Bevezető, információk a segédlet használatához Bevezető, információk segédlet hsználtához A segédlet z állmháztrtásbn felmerülő egyes gykoribb gzdsági események kötelező elszámolási módjáról szóló 38/2013. (IX. 19.) NGM rendelet XI. fejezete szerinti

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok

ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgazdaság és szolgáltató ágazatok KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1886 ÉVES GAZDASÁGSTATISZTIKAI JELENTÉS, 2012 Mezőgzdság

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz

Inlernet Online-utalványok könyvelése a Termékpartnernél. Kérdés. Válasz Inlernet Online-utlványok könyvelése Termékprtnernél Kérdés Törzsvásárló rendelkezésére z Inlernet online, névre szóló utlványt állít ki. A kiállítot utlvány értéke 2-3 npon belül megérkezik Termékprtner

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0631 É RETTSÉGI VIZSGA 006. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Kóta Béla: A PIRAMISOK TANULSÁGA. Matematikai visszafoglaló.

Kóta Béla: A PIRAMISOK TANULSÁGA. Matematikai visszafoglaló. P6.sz. #1. Kót Bél. 006.10.16./19:56 Kezdés: 004. július. :6 H pedig egyszerre tö mesterség feltlálásáról vn szó, melyek közül némelyek z életszükségletekre, mások pedig szemlélődő élet örömeire vontkoznk,

Részletesebben

0 /2013. sz. igazgatói utasítás Adatvédelmi Szabályzat

0 /2013. sz. igazgatói utasítás Adatvédelmi Szabályzat Alsó-Dun-völgyi Vízügyi Igzgtóság Ikt. szám: 0010-CCO/2013. Témfelelős és szerkesztette: dr. Szőke Év, dr. Petz Gábor 0 /2013. sz. igzgtói utsítás Adtvédelmi Szbályzt Az információs önrendelkezési jogról

Részletesebben

Költség Típus Mérték Esedékesség Jellemző 3,17% Havi törlesztő részletekben Változó, éves meghatározott százalék. 2,69% 3,15%

Költség Típus Mérték Esedékesség Jellemző 3,17% Havi törlesztő részletekben Változó, éves meghatározott százalék. 2,69% 3,15% K&H Bnk Zrt. 1095 Budpest, Lechner Ödön fsor 9. telefon: (06 1) 328 9000 fx: (06 1) 328 9696 Budpest 1851 www.kh.hu bnk@kh.hu hirdetmény Jelzáloglevél kmttámogtásos hitel kondícióiról Érvényes 2003. december

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

KÉRDŐÍV. (március hó 31. napja, 24 órai állás szerint) Születési idő. nős/férjezett

KÉRDŐÍV. (március hó 31. napja, 24 órai állás szerint) Születési idő. nős/férjezett H O R V Á T K Ö Z T Á R S A S Á G KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÉRDŐÍV (március hó 31. npj, 24 óri állás szerint) P-1 Nyomttvány A jelen nyomttványbn szereplő összes dtok titoknk számítnk és cskis sttisztiki

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 16. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

PROGRAMTERV. 1.Az intézmény és környezetének bemutatása. Milyen gondolatok vezettek a modell bevezetésére. Mire használhatók a mérések eredményei.

PROGRAMTERV. 1.Az intézmény és környezetének bemutatása. Milyen gondolatok vezettek a modell bevezetésére. Mire használhatók a mérések eredményei. PROGRAMTERV A Bogyiszlói Áltlános Iskol TÁMOP-.1.4.B-1/1-201-0001 KÖZNEVELÉS AZ ISKOLÁBAN - MENTORÁLÓ INTÉZMÉNYI MŰKÖDÉS KIALAKÍTÁSA pályáztánk megvlósítási terve 10.22.. ór Időór 4 Tevékenység Feldt Tém/Trtlom

Részletesebben

Egészsége és jó közérzete

Egészsége és jó közérzete Egészsége és jó közérzete Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Ez kérdőív zt méri fel, hogy Ön hogyn vélekedik z egészségéről. Az így kpott információ segíteni fog nyomon követni, hogy Ön hogy érzi

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

felsőoktatási tanulmányokat kezdeni kívánó fiatalok számára, összhangban

felsőoktatási tanulmányokat kezdeni kívánó fiatalok számára, összhangban Hntos Községi Önkormányzt Képviselő-testületének 120/2015. ( X.14.) számú htározt 2. melléklete "B" TÍPUSÚ PÁLYÁZATI KIÍRÁS Hntos Községi Önkormányzt z Emberi Erőforrások Minisztériumávl együttműködve,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

18 - S u r á n v i Pál: Csak azért kérdeztem rá, hogy lássuk azt, hogy mennyinek

18 - S u r á n v i Pál: Csak azért kérdeztem rá, hogy lássuk azt, hogy mennyinek F ü r i e s Lászlóné: Erre most kzültem, erre i s. 18 de kőbb szívesen válszolok Közüzemi Válllt vásárolt neki nygot, szállítási feldtokt végzett, TRONIX komplett világítást csinált meg. Mindkét szolgálttás

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

2015. - ett - ) et a. A g, - az. t illeti meg, amely. megosztva is) -csapatsport a Tao. megosztva is lehet rendelkezni 3. - 2.1.

2015. - ett - ) et a. A g, - az. t illeti meg, amely. megosztva is) -csapatsport a Tao. megosztva is lehet rendelkezni 3. - 2.1. 2015. ett ) et. A g,. t illeti meg, mely tesz eleget, 1. 2, c. megosztv is) csptsport To. megosztv is lehet rendelkezni 3. 2.1. szerint 4 dtok 5. etek es 1 2 3 4 A 5 2 1. I 6, hogy. film szervezet [ide

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT 1. FELADATSOR Felhasználható idő: 40 perc I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget! x + 1 + 1 x + x + 11 1..) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MAGYAR NYELVI FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym MNy2 feldtlp MAGYAR NYELVI FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2013. jnuár 24. 14:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Ügyelj küllkr! A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009 Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009 TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek

Részletesebben

I. Fejezet. Általános rendelkezések. 1 A rendelet célja, hatálya. 2 Fogalmi meghatározások

I. Fejezet. Általános rendelkezések. 1 A rendelet célja, hatálya. 2 Fogalmi meghatározások Ötvöskónyi Község Önkormányzt Képviselő-testületének /2013. (XI..) önkormányzti rendelete települési szilárd hulldékkl kpcsoltos hulldékkezelési helyi közszolgálttásról Ötvöskónyi Község Önkormányztánk

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

- 43- A Képviselő-testület 2 igen szavazattal, 19 tartózkodás mellett elvetette a Pénzügyi Bizottság módosító javaslatát.

- 43- A Képviselő-testület 2 igen szavazattal, 19 tartózkodás mellett elvetette a Pénzügyi Bizottság módosító javaslatát. - 43- Lezárom vitát. A Pénzügyi Bizottságnk volt módosító indítvány, Jogi Bizottság támogtj, Környezetvédelmi szintén támogtj, Pétfürdo Rzönkormányzt módosító indítványsoroztot tett, ezeket sorbn megszvzzuk.

Részletesebben

Felvonók méretezése. Üzemi viszonyok. (villamos felvonók) Hlatky Endre

Felvonók méretezése. Üzemi viszonyok. (villamos felvonók) Hlatky Endre Felvonók méretezése Üzemi viszonyok (villmos felvonók) Hltky Endre Trtlom A felvonó üzemviszonyi Cél: felvonó működése során előforduló üzemállpotokbn kilkuló erők és nyomtékok meghtározás, berendezés

Részletesebben