& 2r á 296, dm a csô átmérôje.

Átírás

1 96 Henge 8 cm 5 cm 7 07cm csô b 80 dm és b 80 b, 8 8 mgsság m á 7, m á 96, dm csô átméôje 008 á 77, dm z lpkö sug, m á 8, dm z edény mgsság 009 t p m $ t p, vlmint t p m m m t p t p V m t p $ 5 5 7, 65 m $ 00 A 7, m 0 7,5 m,75 m ó ltt 8 hl 800 l víz ó ltt 800 l 800 dm,8 m víz,8 h,065h h á, m 07 -t emelkedik vízszint ó ltt 0 Pecenként gôzszükséglet: 60 $ m á 6 650, cm á 665, m 0 Pecenkénti vízszállítás: 0,9 $ 00 $ m á 05 50,68 cm á, 05 m V 0 Idô á 59,5 pec á 9550 másodpec m 05 0,0 dm, mm 06 Tekintsük z 99 ábát V m - ( - d) m m ( - ( - d) ) $ 9 $ (,5 -,6 ) V á 55, dm tömeg V $ u á 5, 8 kg 07 V ólom ((0,7 dm) $ - (0,5 dm) $ ) $ 0 dm á 0,0 dm V éz $ (0,0 dm) $ $ 0 dm á á 0,0 dm V szigetelés (0,5 dm) $ $ 0 dm - V éz á 0,60 dm m ólom + m éz + m szigetelés V ólom $ u ólom + V éz $ u éz + V szigetelés $ u szigetelés á, 78 kg 08 Tekintsük z 99 ábát Jelölje mgsságot h és tömeget m! k RRá, dm m V $ u (R - ) $ $ h $ u, zz 650 (, - ) $ $ 6 $ 7,5 á, dm Az oszlop flánk vstgság: R - á cm cm; m 5m 500 cm; h 0,8 $,6 FK h - 0,6 cos { 0,6 { á 5, { á 06,6 á 5,7 09 R V S 5, 7 V t $ m $ + $ W sin 06, 6 S 60 W $ m á 7578 dm T X Kb 7578 l víz vn kzánbn 00 Tekintsük 005 ábát EF cm és 5 cm KF cm cos { 0, { á 78,5 { á 57 $ m $ u 57 t $ m $ u $ - sin 57 $ u á, ,95 u 0, 7 kg/ dm

2 Henge Legyen m V dm 000 cm ; V $ á, cm! { 6,57 ; x tg { A kiömlô folydék téfogt: V $ x $ $ tg { $ tg { á 85, cm Az edényben mdt folydék: V - V á 000 cm - 85, cm á 0 t $ $ sin á 57, m 8, 7 cm 0 Tekintsük 0 ábát! m $ sin V m $ sin á 986, 5 cm 5sin 0 A 0 áb jelöléseit hsználjuk k m $ 5 5 $ $ sin J 5sin N V m $ $ sin K O $ $ $ sin 5 $ sin á 50 dm 05 Tekintsük 0 ábát! m $ sin ; t $ $ sin á 9,09 dm V á 506, dm

3 98 Kúp, csonkkúp Kúp, csonkkúp Kúp Az egyenesek közös M pontjából méjünk fel mindháom egyenese x hosszúságú szkszt, így z -n A, b-n B és c-n C pontot kpunk Az A, B és C pontok háomszöget lkotnk z egyenesek helyzete mitt Az ABC köülít köe k M jt vn z AB, illetve BC 07 szkszok felezômeôleges síkján, ezét M meôleges vetülete ABC sík k kö K középpontj A kúp fogástengelye z MK egyenes, csúcs M Négy fogáskúpot tlálunk háom egyeneshez 07 m + m - ) m 8 cm; b) m á 9, 05 cm; c) m á 0, 088 m

4 Kúp ) á 5, cm; b) á 5, 09 dm; c) á, 9 cm 09 ) á 56, dm; b) á 86, cm; c) á 99, 75 mm m 00 A 07 áb jelöléseivel: ) sin { { á 56, 8 ; b) cos { { á 89 ; c) m tg { { á 79, 7 0 A 07 áb jelöléseivel: á 8,6 cm f á, 5 f f $ 60 ) f 5 ; b) m CT CK $ sin { 5 cm (á 8,66 cm) mgsság KT CK $ cos { 5 cm KB T / B CB ABC 90 AC AB + BC AC 5 cm legövidebb lkotó ABC-ben CB 5 cm, AB 0 cm és 5 7 cm ( á, cm) leghosszbb lkotó 0 Tekintsük 0 ábát Legyen KT xat R + x és BT ur - xu () k m + x ; () m + ur - xu ; () m + (R + x) ; () és () - Rx, vlmint () és () R Rx + - k R á 7, 7 cm mindkét esetben 0 A 0 áb jelöléseivel: legyen KT x AT R + x és BT ur - xu () m + +ux - Ru ; () k m + x ; () m + (R + x) ; () és () - Rx x á 5,8 cm esetben BT R - x < 0 nincs ilyen test esetben BT x - R á, cm m á 50,67 cm k á 68, cm m t J m N 05 A metszet is kö, hsonló z lpköhöz A hsonlóság ány m t K m O J m N t K $ t m O ) t J m N ; b) t ; c) t 6 K $ m + n O 06 ) A 88,7 á, cm ; b) A 6 á 678, 6 dm ; c) A á 9878,8 á 05 mm t 07 A 07 áb jelöléseit hsználjuk A ( + ) $ ; t $ m m ; + m t + ( ) + t, vlmint A + A - Az láhúzottkból követke- 0 05

5 00 Kúp, csonkkúp 0 05 J A N zik, hogy K - O J A N + t $ K - t O A K O á, 88 cm m á 5, 8 cm és á 0, 8 cm 08 5 cm; m 5 cm;{ m 5 $ 00 f 5, 6 ; t p á, 6 cm 0 t, 5 cm 0 m á, 55 cm 0 m á 0, m 0 Hsonlóság mitt: m m t m p $ $ $, zz m $ m m m $ m m cm (á,5 cm) 05 Hsonlóság mitt: x m m $ $ $, zz m $ m m x $ m x cm (á 9,05 cm) x m y + m $ $ $, zz m $ m m 6 6 x + y $ m x + y 6 cm (á 6,9 cm) t 06 Tekintsük 0 ábát t t t $ t p p- b Hsonlóság mitt: + b m m m $ $ $ b $ $, zz m $ $ $ m m mm + + b + b $ m + b 07 A 0 ábát vizsgáljuk Legyen i; i; m mi Hsonlóság mitt: i i mi i i m i (i ; ; ; n - ) m i $ i $ $, zz m n i $ m i m n i m i m i $ m m i n i $ m 08 ) A á 5, 9 cm és V á 0, 67 cm ; b) A á 76, 9 dm és V á 6, 88 dm c) A á 855, 7 cm és V á 06 cm ; d) A á 65 cm és V á 7 cm A 09 V és 8 A V ; n i

6 Kúp A á 0 0, cm 05 A á 5, m 05 á 0, 65 m 05 á 6, m és V á 67 87, cm és V á 06, m 05 m - 8 m $ V $ $ $,7 cm A $ $ A á 0 cm 055 A tengelymetszet teülete: m $,56 m ; m + + m (m + ) és - m (m - ) eset: m +,7 és m -,6 m,9 és 0,80 V á, m eset: m +,7 és m - -,6 m 0,80 és,9 V á 7, m 056 V 9, cm 057 A 60, cm és V 7 0 cm 058 A és V 059 Tekintsük 07 ábát f 0 $ 8 cm m 5 cm 56 5 $ V 599, cm 060 V á 9, 8 cm 06 A á 97, cm és V á 57, cm 06 V á 56, m 06 A á 5, 6 m 06 Tekintsük 0 ábát Hsonlóság mitt: V m m, vlmint V m m m $, 7 0, 08 cm és m m m m $, 6, 8 cm m V 065 Tekintsük 0 ábát Hsonlóság mitt: m és m Mivel m V V m m V $ m m V 066 A 0 áb jelöléseit hsználv hsonlóság mitt: m és m m V V m á 6 575,59 dm és V-V 797,8 dm V á 8 60,8 dm m á 0,88 m mm á á 7, dm

7 0 Kúp, csonkkúp 067 Tekintsük 07 ábát állndó; $ sin {; m $ cos { Alklmzzuk J + b+ cn z bc # K O középétékeke vontkozó egyenlôtlenséget! V m L P $ sin { $ $ cos { ( - cos {) $ cos {V 6 $ ( - cos {) $ ( - cos {) $ cos { 9 6 $ ( - cos $ {)( - cos $ {) $ cos $ { $ # 6 cos cos cos J - { + - { + { N $ K O 8 8 K O L P 8 $ Egyenlôség kko áll fenn, h - cos { cos {, zz qcos {u 8 7 Mivel { kúp nyílásszögének fele, ezét koszinusz nem lehet negtív, vgyis cos { { á 5,7 A{ á 09,7 nyílásszögû kúp téfogt mximális z egyenlô lkotójú kúpok 6 közül Ekko V mx 7 A 068 A 07 áb jelöléseivel: m - ; A ( + ) - V m J A N - $ - - K O $ $ A - A $ A - A V J A N $ (A - A ) 9V A - A -A $ K - O 9 K O R V SJ A N A W -A $ S - K - O W A másodfokú kifejezést geometii dtokkl összevetve SL P 6 W T X kko vn mximum, miko A A A Ekko - A A - A $ A A A - A A -, vgyis kko mximális téfogt, h z A lkotó z lpkö sugánk háomszoos 069 A 068 feldtbn láttuk, hogy z A felszínû kúpok közül nnk mximális téfogt, melye A és m - $ V mx m $ $ A A $ $ 6 7 V # V A mx V # 7 7V # A 7 V # A A 7 V, zz minimális felszínhez ttozó téfogt pont V min mx, tehát

8 Kúp és m tg cos $ A t p + t p + J N J ( + ) $ + K cos cos O N $ + K cos cos O á L P L P á 9, 7 cm V V - V m - m (m - m ) ( $ tg - $ tg ) (tg - tg ) á 600 cm 07 Mivel kúpok szimmetitengelye közös, téfogt nem függ kisebb kúp ngyobb kúpon belüli helyzetétôl Hsonlóság m mitt: m m, cm V V - V m - - m ( m - m ) á 99, 8 cm 07 { 5 m és { 0 m $ eset: A 070 ábánk megfelelôen, m - m b - l á,7 dm V V - V m - m (m - m ) á 6, 0 dm eset:, m + m b + l á,7 dm V V + V (m + m ) á 59, dm m m 07 t lp á 0,06 cm tg x 98cm, x tg x b cos b b 68, 6 t $ - $ sin b 5cm 60 t t - t á 7,06 cm V t m á 5 cm és V t m 686, 8 cm 07 t ABC ss ( -)( s-)( s- ) $ m m, hol s + + m 5, 97 cm; V m 79, cm 075 A 0 ábánk megfelelôen, z lpkö sugát -el jelölve: 5 ; ; t ABC tabc $ sin (8 - ) $ sin dm és 5dm Koszinusztétel ABC-e: () + - $ cos,0 á,79 dm t ABC m m á,96 dm; V m á 99, dm 076 A 0 áb szeint (z lpkö sugát -el jelölve): cm; 58cm; f CBA 65 5l m $ sin f á 9,06 cm Koszinusztétel ABC-e: + () - - $ cos fá,79 cm V m á 0 75, cm

9 0 Kúp, csonkkúp 077 Tekintsük 07 ábát t p k $ t, zz k $ k 60 f k k f 60 f t 0t 0t 078 A 07 áb jelöléseivel: f 6 t $ 60 t m - t 0 t 99t 99t - m 0t 0t 0 0 V m t $ $ $ 0t 99t t t A homokkúp 5, 76m széles és 7, m mgs 080 A 0 áb jelöléseivel: 5, á m 0 dm; m - m á 0 dm m V Akiálló ész és z egész tömb hsonló A hsonlóság ány m és m m V V (V - V ) $ u víz V $ u jég Ezét (V - m V) $ u víz V $ u jég - m 0,9 m 0, V m m 600 $ A jégtömb tömege: V $ u m 0 $, jég $ 0,9 á 5 89 kg m m 08 Hsonlóság mitt: $ mu m m m u víz $ 0,5 $ 0,7 $ m $ $ 0,85 m m $ $ m m 0,85 m m á 0,5 dm 5, cm-e meül víz lá Csonkkúp 08 á, 9 cm és á 0, 9 08 m á 067, cm és á 6, á, 9 cm és á, m 0, 7 m és á 9, 7 m 086 ) A 07, 08 cm 087 t p á 80, 9 cm ; b) A á 7 7 mm á 7, 7 cm ,7 [( + 6) + + ( + 6) $,6] $, 5 cm és R 8, 5 cm

10 Csonkkúp 05 R- R 089 t p $ $ ; cos - cos cos 8 t p $ $ cos t p $ cos á 0, cm cos 8 á, 505 cm R á, 55 cm 090 R 5 R 5 és 7 7 t p (R + ) $ $ $ $ b 7 + 5l $ 9 cm 09 m á 96, cm 09 m á, dm 09 t p t p 0,5 t p, zz ( + u) $ $ (u + R) $ $ 0,5 $ ( + R) $ $ ( + u) $ 0,5 $ ( + R) $, vlmint (u + R) $ ( - ) 0,5 $ ( + R) $ á 0,7 cm és u á, cm m - (u - ) m á 0, cm 09 ) V á 9, 7 cm ; b) V á 0, 09 cm ; c) V á 60, 5 cm ; d) V á, 89 cm 095 A vízgyûjtôbe köülbelül 90, 6 l víz fé 096 V 075, 5 cm 097 R 50 R á 7,96 és 0 á,77 V (R + + R) $ m $ m á,67 m és tg 9, 9 R ,6 $ (5, ,7) $,5 + 5,7-6,9 0 05, dm $ (R + + R) $ m $ 0,5 $ R $ $ m R - R V k 0,5V h, zz R R $ b- l < 0, ez nem lehet R $ b+ l + 00 Mximális tehe: t 6 $ V $ u víz - 6 $ V $ u 6 $ V $ (u víz - u), hol V (, + +, $ ) $ 0 $ á 57,9 dm t 6 $ 57,9 $ ( - 0,6) 7889, 76 kg 0 A folydék tömege 5, 6 kg 0 p m ; ; R R J N K V $ + + $ K O O (5 + 6) $ L P V, 85 m 0 5V á 57, 6 m 0

11 06 Kúp, csonkkúp ; k tpéz + + R 6 + R 5 R 7,5 - m + (R - ), zz 9 + (R - ) 9 + (7,5 - ) ,75, R -,7 (ez nem lehet),6 R,7 A á 7, m és V, 5 m 05 A testet fejtetôe állított 0 ábán szemléltetjük V á 5 7,7 cm á 5, dm ; m + (R - ) á 8,8 cm A vödö teteje nyitott, ezét A ( + (R + ) ) $ A á 675, cm A hulldékot is számítv: Al,06 $ A á 955,8 cm á 50 dm A vödö elkészítéséhez 50 dm bádog kell és kb 5 l víz fé bele R- R- 06 Tekintsük 0 ábát cos 65 cm; m $ sin á 56 cm cos 8,6 dm 86 cm ( + R) + R 6 cm és R - cm R 8 cm és 5 cm V 90 5 cm 07 () (R + + (R + ) ) $ 57,5 dm ; () ( + R), dm ; () 0, dm; () és () egyenletekbôl: R + á 67,9; vlmint () és () egyenletekbôl: R + á 9,7 á á,65 dm és R á 8,0775 dm m - (R - ) m á 8,0 dm V 68 dm 08 m + (R - ) R - á 7,8, vlmint t p (R + ) R + á 6,5 R á,9 dm és á,56 dm V 6, 9 dm $ (b + ) R 09 f 0 $ b $ b á 0,8 cm és R ( + b) cm; 6cm-,5 cm,5 cm; m - (R - ) m á, cm A á 5, 85 cm és V 9, cm 0 A 09 és 0 áb jelöléseit hsználv: b 60 $ f t p (R + ) $ $ $ $ 60 f m - (R - ) m á 7,5 cm V 96, 98 cm f R R és 60 $ á,68 cm R á 5,6 cm és á 8 cm; Tekintsük 09 ábát R 86, m, 58, m, m + m 7m, m m ( + ) (m + m ) + (R - ) + á 7,5 m Páhuzmos szelôk tétele mitt : m : m á 5,9 m és á,5 m m + (u - ) u á 7,8 m V ( + u + $ u) $ m $ és V (u + R + u $ R) $ m $ V 7, 7 m és V, m

12 Csonkkúp 07 Tekintsük csonkkúp kiegészítô kúpját! A háomszögek hsonlóság mitt: m m + m + m R, zz m 6 m dm m + 8 kiegészítô kúp mgsság A kúpok hsonlóság mitt: J N V K u O, hol V m á 58,6 dm és V + V V $ ( + R + $ R) $ (m + m ) $ á 08,9 dm u,9 á 7, dm metszetkö sug A háomszögek hsonlóság mitt: m+ m u m m á 7, 98 dm, tehát fedôkö síkjától méve 7, 98 dm távolságbn kell metszeni csonkkúpot Tekintsük 0 ábát Legyen M- m m M 0 m, R 5 m V kúp R M á 0 á 6,8 m és V csonkkúp 0 m V kis kúp V kúp - V csonkkúp á,8 m V kis kúp m 0, vlmint hsonlóság mitt m0 V m0 M R kis kúp $ á,87 m 0,6 méte távolságbn kell kúpot metszeni m M - m 0 R - m á Tekintsük ábát m+ m dm, R 5dm, dm, u vízfelszínnel egy u szinten levô kö sug V t $ u t V t l $ u f V t l V t t $ ( ) $ $ $ 0,6 á,5 dm u f m m + 5 5m m + m 6 dm V kis kúp $ $ $ 6 8 á 56,5 dm és V t - V t l 8, dm V kis kúp + V t - V t l 8,6 dm Hsonlóság mitt: 6 : (6 + - m ): u 6u (0 - m ) 0 - u m 8,6 u $ (6 + - m ) u $ u u u á á,0 m 9, dm 5 Tekintsük csonkkúpot kiegészítô kúpjávl együtt Az egyesített kúpot metszô síkok kiegészítô kúppl hsonló kúpokt vágnk le Bámely két hsonló kúp téfogtánk ány egyenlô hsonlósági ány köbével A kúpok téfogt csúcstól lefelé hldv ende: V ; V ; V J bn V J cn V J N V ; V V K O V K O V K O A feldt feltétele szeint 5 csonkkúpok téfogtány: (V - V ):(V - V ) :(+ + 7) :6 (V $ b - V ):(V $ - V ) (b - ) : ( - ) :6 b b (V V ):(V - V ) ( + ) : ( + + 7) 5: (V $ c - V ):(V $ - V ) (c - ) : ( - ) 5: 7 7 c c

13 08 Gömb Gömb 6 7 /I 6 KLP deékszögû háomszöge Pitgosz tétele: R d + 7 k + k {A; B} k összes pontjától egyfom távolság lévô pontok hlmz k kö K középpontjábn k síkjá állított meôleges egyenes: m k összes pontjától egyfom távolság lévô pontok hlmz k kö K középpontjábn k síkjá állított meôleges egyenes: m A fentiekbôl következik, hogy m és m is benne vn z AB szksz felezômeôleges síkjábn és m nem páhuzmos m -vel m metszi m -t és m + m M Az M középpontú, MA sugú gömb z egyetlen, minek k és k is síkmetszete 8 Hsználjuk 7 áb jelöléseit k és k kö síkj páhuzmos K -et és K -t összekötô m egyenes meôleges k és k köök síkji, ezét m minden pontj egyfom messze vn k pontjitól, vlmint k pontjitól, így m-en lesz keesett gömb középpontj Tekintsük k és k köök ; sugát! Ezek metszéspontj k -gyel, illetve k -vel A, illetve B A-tól és B-tôl egyfom távolság lévô pontok hlmz z AB szksz felezômeôleges síkj: S S és m helyzetébôl következik, hogy m döfi S-et Legyen m + S M Az M középpontú, MA sugú gömb z egyetlen, minek k és k is síkmetszete 9 Hsználjuk 7 áb jelöléseit k és k könek egy közös pontj vn Legyen k + k A k kö K középpontjábn k síkjá állított meôleges m ; k kö K középpontjábn k síkjá állított meôleges m e 9 AK és e 9 m e 9 [m ; A], vlmint e 9 AK és e 9 m e 9 [m ; A] Mivel e-e A-bn csk egy meôleges sík állíthtó, m és m egy síkbn vn m és m nem páhuzmos, ezét metszik egymást, m + m M M egyfom távolság vn k pontjitól és k pontjitól M középpontú, MA sugú gömb z egyetlen, minek k és k is síkmetszete 0 A k kö pontjitól egyfom távolság lévô pontok hlmz k köe K középpontbn állított meôleges: m Legyen A! k A-tól és P-tôl egyfom távolság lévô pontok hlmz z AP szksz felezômeôleges síkj: S P nincs jt k síkján m nem páhuzmos S-sel m döfi S-et, m + S M Az M középpontú, MP sugú gömb z egyetlen, minek síkmetszete k és áthld P-n P-bôl húzott éintô éintési pontj: E PE 9 EK, ezét felíhtó Pitgosz tétele PEK-e: PK PE + EK KE PE PK - KE állndó PE állndó és sin KP szintén állndó is állndó PE lkotój PK tengelyû, nyílásszögû fogáskúpnk Az R sugú gömbök középpontjink meôleges vetületei közös éintôsík R oldlú szbályos háomszöget htáoznk meg E háomszög középpontj negyedik gömb

14 Gömb 09 / középpontjánk vetülete, ezét K lk l $ $ R R Készítsünk z S-e meôleges síkmetszetet K -en és K -en át! K K l R; K K l, negyedik gömb sug; K L K K l - K K l R - ; LK K lk l; K K R + Pitgosz tétele K LK -e: K K K L + LK, zz (R + ) J N (R - ) K O + R K O R + R + R - R + + R R A tetéde egy csúcsból induló ; b; c élei páonként meôlegesek egymás, ezét tetéde beilleszthetô egy tégltestbe A tégltest középpontos szimmetiáj mitt tetéde köé íhtó gömb megegyezik tégltest köé íhtó gömbbel, minek átméôje tégltest testátlój + b + c ) 99, cm; b) m 5 A keesett teület: t R 6 A keesett távolság: KL R 7 A gömb fôköének teülete kétszeese metszet teületének A 6 áb jelöléseit hsználv: KP $ LP $ KP LP Pitgosz tétele KLP deékszögû háomszöge: KP KL + LP KL KP - LP KP - 0,5 KP 0,5 KP A keesett távolság: KL R 8 Pitgosz tétele PLK, illetve QMK deékszögû háomszögeke: KP KL + LP és KQ KM + MQ, zz 6x + 9 és 5x + 5 x 5 cm A megoldás független ttól, hogy K elválsztj-e z M és L pontokt, vgy sem 8/I 8/

15 0 Gömb 0 ) R á m; b) R á 5, dm; c) R á 96, cm 9 eset: A két metszôsíkot elválsztj gömb középpontj Tekintsük 8/I ábát Pitgosz tétele PLK, illetve QMK deékszögû háomszögeke: R d + és R d + d + d + d + 0 (6 - d ) + 5 d,75>6, ez nem lehet eset: A két metszôsíkot nem válsztj el gömb középpontj Tekintsük 8/ ábát Pitgosz tétele PLK, illetve QMK deékszögû háomszögeke: R d + és R d + d + d + d + 0 (d - 6) + 5 d,75 d 5,75 és R 9, 55 cm 0 BL BK $ cos { á 0,5 km; i 60 $ $ BL $ i 75, km ) A 900 cm á 5 9 cm ; b) A 5,76 cm á á 8, cm ; c) A á 08,8 m á 00, 08 m ) Négyszeesée nô b) Kilencszeesée nô c) k -szeesée változik t á 9 m 5 t á , km ( á,7 $ 0 8 km ) 6 A k - A b á 6, 75 cm A- Al Al ( -0, 8) J 08,, N J N - 0, A A K O K O %-kl lett kisebb cspágygolyó felszíne 8 Tekintsük gömböknek z éintôsík meôleges, koncentikus gömbök középpontján áthldó síkmetszetét KE kisebb, KP ngyobb koncentikus gömb, PE hmdik gömb sug Pitgosz tétele PKE deékszögû háomszöge: KP KE + EP An- Ak KP $ - KE $ (KP - KE ) $ EP A 9 Pitgosz tétele szeint: + A $ $ ( + ) $ + $ A + A 0 ) V á 7, mm ; b) V á 0, dm ; c) V á 000 dm m ; d) V á 76,67 cm á 7, 6dm ) R á 5, m; b) R á 6, dm; c) R á 76, cm 8 V 66, 95 cm 0 V, 757 dm V, 8 gömb á 5,6 cm á 0,5 dm V, 757 n Vgmb q 0, 5 5, db ólomgolyót lehet önteni 7, 5 V 5, dm 7, V `R -( R-d) j 5, `R -( R- 0, ) j

16 Gömb 0, $ $ ` R -, R+ 06, j$ 0 R -,R -,95 R < 0, ez nem lehet R, A vsgolyó átméôje R, dm 5 R V 8V, nyolcszoosá; R V 7V, huszonhétszeesée; nr V n V, n -szöösée változik téfogt 6 $ $ 6 V á 90,78 cm m u $ V 0,8 $ 90,78 á 7,8g á 07, kg 8 $, $ 7 V á 688, cm m u $ V 7,8 $ 688, á 5 68, g 5, 7 kg 8 A lebegés feltétele: R 75, R ` - j$ 6,5R 7,5 R 5 6 g 9 Az úszás feltétele: `6-5, 7 j $ u $ 6 u 906, `6-5, 7 j cm R R 6,8 m d, 68 m gázttály belsô átméôje `( 6, 8 + x) -6, 8 j $ 7, 5 $ 0 x á 0,0097 m á 9, 7mm ttály flvstgság 5 ) V á 5, 6 m ; b) V á 9, cm 5 ) A á 77, 7 cm ; b) A á 55, 86 m m 5 V 667, dm u 06, á 7, dm golyó felszíne ; c) V 97, dm ; d) V á 0,008 m á 8, dm ; c) A á, 95 dm ; d) A á 0,8978 m á 89, 78 dm golyó téfogt R á,7 dm A á $,7 $ á $, $ 0 $ 5 V ö cm 0 mm ; d $ 0 - mm,5 $ 0 - mm V á V á, $ 0-9 mm q 0 n 70 $ db V 9 9 A 55 H F A H H $ F AF H 9 V A F H 7 7 V $ F VF H 7 V F V l Al 56 Bámely két gömb hsonló m Al $ 0 6, 5 cm V A Al V l 57 Bámely két gömb hsonló m m $ 0 A V 5 0, 6 cm 58 R R + dm; V V +,5 dm ; V R ; V R ( R ) + 8 V - V [(R + ) - R ] $ $ [R + R (R + ) + (R + ) ] (R + 6R + ),5 dm R + 6R -,8 0 (R ) <0, ez nem lehet (R ) 569, dm gömb sug H

17 Összetett tégeometii lkztok 6 59 $ [( + 0,9) + ] 567,8 0 +,8-50,6 ( ) <0, ez nem lehet ( ), 57 dm 5, 7 dm 60 +, dm V - V 68,7 ( - ) ( - )( + + ) $, $ [( +,) + ( +,) + ] 5, ( +,9 +,69) +, - 0,5 0 ( ) <0, ez nem lehet ( ) á 95, dm á 0, 8 dm 6 Vetítsük meôlegesen síkmetszeteket gömb középpontján átmenô, metszô síkok meôleges sík Pitgosz tétele z AGK és BFK deékszögû háomszögeke: R 9 + ( + d) és R + d 9 + ( + d) + d d 9cm R 5 cm V $ ,7 cm á, dm Összetett tégeometii lkztok Egymáshoz illesztett testek 6 V V henge + V csonkkúp 7, cm ; m u $ V á 56, 55 g 6 V V henge + V félgömb 007, 0, m 6 V V henge + V félgömb 058,, cm 65 V V hsáb - V henge, 5 cm ; m n $ V $ u á, kg 66 A keesztmetszet teülete: T 0, 6 0, 0, 96, $ $ + $ $ + $ $ + $ - $, 5 cm Az métees db téfogt: V,5 $ 00 5 cm Az métees db tömege: m 5 $ 7,8 á g á 8, 06 kg 65 66

18 Egymáshoz illesztett testek A csonkkúp lkú észek lkotój: + dm A $ $ $ + + $ ( + ) $ $ + $ $ 85, dm, m 68 A knn teljes téfogt: 67, 9 dm 67, l A csonkkúp lkotój: 08, + ( - 0, ) 79, dm A knn felszíne: A 90, 9dm A felbecsült lemezszükséglet: Al,05A á 95, 5dm V 5, $ + $ `5, + 5, $ + j+ $ 05, + $ ` + $ + j+ $ 856, 6 m 70 A keesztmetszet teülete: T , 7 $ + $ + $ $ cm A pákány téfogt: V 0,7 $ 00 á 0, m A pákány tömege: m 0, $ 0 7, 6 kg 7 AB $ 8 cm CD 0,6 cm DK CK 0, cm O K R - 0, cm Pitgosz-tétel z O KB-e: R (R - 0,) + R 6, 8 cm m $ 7 T plást A félgömb 8 $ R m, 09m TFB-bôl tg,5 6, m Pitgosz-tétel TFO deékszögû háomszöge: M + m M á, 99 m 7

19 Összetett tégeometii lkztok Egymásb ít testek 7 7 T lp s$ ( s-)( s-b)( s- c) 0 cm Vhs b M 60, 5 cm Az lpháomszögbe íhtó kö sug: Tlp T lp 66cm, V s henge 6,6 $ $ 60,5 á 8, cm R $ sin5 7 T nyolcszög 8, 96 dm V oszlop T nyolcszög $ M á 7, 8dm Az oszlop tömege: m oszlop 7,8 $ 7, á 58, 65 kg 75 Legyen geend-keesztmetszet köének átméôje R A köbe íhtó legngyobb teületû négyzet teülete : T négyzet R 0, 05 m A hsáb téfogt: V hsáb T négyzet $ M 57, 5 dm A henge téfogt: V henge R $ M á 7, dm A hulldék téfogt: V hulldék V henge - V hsáb á 89, 9 dm 76 V henge R R 5 m Az R sugú köbe íhtó szbályos nyolcszög oldlá: R $ sin, 5 8, m hsáb lpéle és o M R 0 m hsáb oldléle 77 Az sugú köbe íhtó legngyobb teületû négyzet oldl A hsáb oldléle: o m Egy oldllp teülete: T $ m$ 78 A két test lplpji: kö sug, beít négyzet átlój A henge lpköének sug: A henge mgsság: M A henge téfogt: V henge $ M $ $ 79 A tetéde elhelyezhetô egy kockábn úgy, hogy szemközti élei kock két-két szemköztes lpjánk egymás meôleges lpátlói A keesett henge kock köé íhtó hengenek felel meg A henge lpköének sug: A henge mgsság ( kock éle): A henge téfogt: Vhenge $ 8 R $ sin A csonkgúl lplpjánk teülete: T 8 $ sin5 R A csonkgúl fedôlpjánk teülete: t 8 A csonkgúl téfogt: V csonkgúl M bt+ Tt + tl M `R + R+ j 55 78, 7 dm