Térgeometria, térfogatszámítás

Átírás

1 Térgeometri, térfogtszámítás 80. ) A tégltest térfogt: 5 cm 6 cm 8 cm = 40 cm, így 40 db kock keletkezett vágásokkl. b) Távolítsuk el tégltestrõl zokt kockákt, melyeknek vlmelyik lpj tégltest felületén vn! (Ezeknek vn befestett lpj.) Mivel kockák éle 1 cm, ezért egy olyn tégltest mrd, melynek élei cm, 4 cm ill. 6 cm hosszúk. Ebben összesen: 4 6 = 7 db kock tlálhtó, tehát 7 db kockánk nincs egyetlen befestett lpj sem. c) Azoknk kockáknk vn pontosn két befestett lpj, melyek tégltest élei mentén helyezkednek el, kivéve csúcsokbn állókt. (A 8 csúcsbn álló kockánk három-három befestett lpj vn.) Az ilyen kockákból minden él mentén kettõvel kevesebb vn, mint z él mérõszám centiméterben. Így ezek szám: 4 ( ) = 5 db. Tehát olyn kock, melynek leglább két befestett lpj vn összesen: = 60 db tlálhtó. d) Az elõzõ eredményekbõl következik, hogy olyn kock, melynek pontosn egy befestett lpj vn = 108 db tlálhtó. Ezek felhsználásávl egy 1 cm mgsságú hsábot építhetünk, hiszen ennek térfogt: cm cm 1 cm = = 108 cm. 80. A kockábn legfeljebb kkor pálc helyezhetõ el, mint testátlójánk hossz. A testátló kiszámításához hsználjuk z ábr jelöléseit: testátló hossz x cm, lpátló hossz d cm. Pitgorsz tételének felhsználásávl: d = = 00 x = 10 + d = = 00 Innen: x ª 17, Tehát testátló 17, cm hosszú, így 18 cm-es pálc nem fér el kockábn Az ábr jelöléseit felhsználv lklmzzuk Pitgorsz tételét! d = + b Ezzel: x = d + c = + b + c Tehát testátló négyzete megegyezik három egy csúcsb futó él négyzetének összegével. Ezzel feldtok eredményei: ) x = = 49; x = 7 cm b) x = = 169; x = 1 cm 0

2 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS c) x = = 441; x = 1 cm A három eredmény lpján következõ szbály foglmzhtó meg: H egy tégltest éleinek hossz k; k + 1; k(k + 1) egység, kkor testátlój k(k + 1) + 1 egység hosszú. (hol: k tetszöleges pozitív szám) Az állítás bizonyításához meg kell muttni, hogy három él négyzetösszege megegyezik testátló négyzetével. Ez pedig igz, hiszen: k + (k + 1) + [k(k + 1)] = k + k + k [k(k + 1)] = = [k(k + 1)] + k(k + 1) + 1 = [k(k + 1) + 1] (A bizonyításbn felhsználtuk zt z lgebri zonosságot, hogy: (u + v) = u + uv + + v.) 805. A hsáb lpj háromszög négyszög ötszög htszög Lpok szám Csúcsok szám Élek szám Jelöljük lpok, csúcsok ill. élek számát rendre l; c; é betûkkel! ) Több összefüggést is megfoglmzhtunk táblázt lpján (ezek könnyen bizonyíthtók is): (1) c = l - 4 () é = l - 6 () c = l (4) l + c = é + b) Az (1) összefüggés lpján: l + 15 = l - 4, innen l = 19 Mivel lpok szám kettõvel több, mint z lpot lkotó sokszög oldlszám, ezért 17-szög lpú hsáb esetén teljesül feltétel. c) Hsználjuk () összefüggést: l + 15 = l - 6, innen l = 1 Mivel lpok szám egész, ezért nincs olyn hsáb, melyben feltétel teljesül. (Hsáboknál z élek és lpok számánk különbsége páros szám!) 806. ) A hsáb lpjit lkotó négyzeteket rkjuk egymás mellé, mjd z ábr szerint helyezzük melléjük z oldllpokt lkotó tégllpokt. b) Elõször tégllpot rövidebb oldlkr merõlegesen két egybevágó részre vágjuk. (H négyzetbõl indultunk, kkor egyszerûen középvonl mentén kettévágjuk.) 1

3 GEOMETRIA A keletkezett tégllpok egyik végébõl levágunk egy-egy négyzetet - ezek hsáb lpji -, mrdékot pedig két egybevágó részre vágjuk z ábr szerint: Így vlóbn egy négyzet lpú hsáb htároló lpjit kptuk meg A kockánk 1 éle vn, így egy él hossz: 160 cm. A kock felszíne: 6 (160 cm) = = cm = 156 dm. A kock térfogt: (160 cm) = cm = 4096 dm Jelöljük kock éleinek hosszát -vl, felszínét A-vl, térfogtát V-vel. Ekkor: A = 6, innen A = ; V =. 6 ) A = 4 cm ; = cm; V = 8 cm b) A = 7,6 dm = 76 cm ; = 11 cm; V = 11 cm c) A = 1,5 m = cm ; = 50 cm; V = cm 809. Jelöljük kock éleinek hosszát -vl, felszínét A-vl, térfogtát V-vel. Ekkor: V =, innen = V ; A = 6. ) V = 8 cm ; = cm; A = 4 cm b) V = 0,001 dm = 1 cm ; = 1 cm; A = 6 cm c) V = 0,15 m = cm ; = 50 cm; A = cm 810. = 8 cm = 08, dm kg r = 085, dm m =? kg 811. m = 96, kg kg r = 1, dm =? V = = 0,51 dm m = V r = 0,45 kg A kock tömege kb. 0,44 kg. V = m r = 8 dm = V = dm A kock éle dm hosszú. 81. Jelöljük tégltest egy csúcsb futó éleinek hosszát ; b; c-vel, felszínét A-vl, térfogtát V-vel. Ekkor A = (b + c + bc); V = bc. ) A = 484 cm ; V = 0,7 dm b) A = 16 cm ; V = 0,08 dm c) A = 6 cm ; V = 1,056 dm

4 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 81. Hsználjuk z elõzõ megoldás jelöléseit! Ekkor: A = b + c + bc, innen A- b c = ; V = bc. = 8 cm; b = 11 cm. + b ) A = 556 cm ; c = 10 cm; V = 0,88 dm b) A = 9,6 dm = 96 cm ; c = 0 cm; V = 1,76 dm c) A = 7,46 dm = 746 cm ; c = 15 cm; V = 1, dm A- bc 814. A = b + c + bc, innen = b+ c V =. A táblázt kitöltésekor b figyeljünk mértékegységek egyeztetésére! b c A V 1 cm,1 cm 0,11 cm ª 5,5 cm,77 cm dm 7 dm 8 dm 17 dm 11 dm 8 cm 0,04 m 1, dm 5 cm 84 cm 9 cm 1 cm 11 cm 718 cm 1,87 dm 0, m 5 dm 6 dm 16 dm 90 dm 815. Az élek hossz: = x cm; b = 4x cm; c = 5x cm. Ekkor x + 4x + 5x = 40, innen: x = 0. Tehát három egy csúcsból induló és 60 cm; 80 cm; 100 cm. Ezzel tégltest felszíne: 76 dm ; térfogt: 480 dm ) A feltételek szerint: = b és = 1,5c. Innen b = és c =. Írjuk fel tégltest térfogtát! 16 cm = bc = = Vgyis = 6 cm, így b = 9 cm, c = 4 cm. b) A tégltest felszíne: A t = b + bc + c = 8 cm. A kock élének hosszát térfogt ismeretében tudjuk meghtározni: 16 cm =, innen = 6 cm. Így kock felszíne: A k = 6 = 16 cm. Ezzel megdhtjuk tégltest és kock felszínének rányát: At 8 cm 19 = = A 16 cm 18 k 817. A metszet egyik oldl tégltest lplpjánk átlój, ennek hosszát Pitgorsz tétele lpján kiszámíthtjuk: d = (4 cm) + ( cm) Innen: d = 5 cm Mivel metszet feltételek szerint négyzet, ezért tégltest hrmdik éle (mgsság) is 5 cm. A tégltest felszíne: A = 94 cm.

5 GEOMETRIA 818. Legyen kock egy lpjánk területe T. Ekkor kock felszíne 6T, keletlkezett testek felszínének összege 18T. Észrevehetjük, hogy egy síkkl elvágv kockát felszín Tvel növekszik meg. Mivel 18T = 6T + 6 T, ezért kockát 6 síkkl vágtuk el Mivel z edényt hrmdrészéig töltöttük fel, ezért z edényben lévõ víz térfogt: V = 6 cm 9 cm 4 cm = 16 cm. Éppen ekkor kock térfogt is feltétel szerint, így kock élének hosszár: = 16 cm dódik. Innen kock éle: = 6 cm. 80. Jelöljük z 1 másodperc ltt kifolyó V = 16 liter víz áltl beborított út hosszát x dm-rel! Ekkor: 4 16 liter = 4 m 1 mm x dm Megfelelõ mértékegységeket kilkítv: 16 dm = 40 dm 0,01 dm x dm Innen: x = 40 Tehát z 1 másodperc ltt kifolyó víz 40 dm = 4 m hosszú utt borít be, így gépkocsi m km sebessége v = 4 = 14, 4. s h 81. Jelöljük hsáb lpélének hosszát x-szel! Ekkor feltétel szerint mgsság x, így felszíne: 490 cm = x + 4 x x. Innen 490 cm = 10x, tehát x = 7 cm. Vgyis hsáb lpélei 7 cm hosszúk, mgsság 14 cm, így térfogt: V = (7 cm) 14 cm = = 686 cm. 8. Jelöljük hsáb lpélének hosszát -vl! Ekkor mgsság m = ; térfogt V = 144 cm. V = m, ezért: 144 cm =. Innen: = 16 cm, zz: = 6 cm; m = 4 cm. A hsáb felszíne: A = + 4m = 168 cm. 8. A tégltest lpélei ; b, mgsság c. A feltételek szerint: = x; b = 4x és + b = 98 cm. Innen: 14x = 98 cm, x = 7 cm. Tehát z lpélek = 1 cm; b = 8 cm. V = bc, ezért: 7056 cm = 1 cm 8 cm c, zz: c = 1 cm. A tégltest felszíne: A = b + bc + c = 5 cm. 84. A rombusz megrjzolt m mgsság egy olyn háromszöget vág le rombuszból, mely egy szbályos háromszög fele, így m = = 6 cm. Ezzel hsáb térfogt: V = Tm = m m = = 1 cm 6 cm 10 cm = = 70 cm

6 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 85. b = 0,8 dm = 8 cm c = 10 cm V = 64 cm A =? Pitgorsz tétele lpján: = c - b Így: = 6 cm V = Tm = b m, innen: V m = = 11 cm b A hsáb felszíne: A = T + ( + b + c)m = = b + ( + b + c)m = 1 cm 86. = 10 cm b = 1 cm A = 00 cm m =? V =? Az lplpot lkotó háromszög m mgsságár Pitgorsz tétele lpján felírhtjuk, hogy: m = b - Ê Ë Á ˆ, innen: m = 1 cm. Így z lpterület: m T = = 60 cm. A = T + + ( + b)m, így: m A - T = = 5 cm. + b A hsáb térfogt: V = T m = 00 cm. 87. V = 4, dm = 4 00 cm T = 70 cm K = 164 cm A =? V = T m, innen: m = V =60 cm. A = T + K m = cm = 11,8 dm. T 5

7 GEOMETRIA 88. =,5 dm b = 1, dm c =,5 dm m = cm =, dm A =? V =? Az lplpot lkotó trpéz mgsság Pitgorsz tétele lpján számíthtó: c m b Ê - ˆ = -Á, innen: m Ë = = 1, dm. Az lpterület: c T = + m = 6, dm. V = Tm = = 11,5 dm. A = T + ( + b + c)m = = 17,5 dm. 89. = 1 cm m = 1 cm A =? V =? Az lplpot lkotó háromszög mgsság Pitgorsz tétele lpján számíthtó: m = - Ê Ë Á ˆ, innen: m ª 10,9 cm. Az lpterület: -c m T = ª 6, 5 cm. A = T + + m ª 556,7 cm, V = T m ª ª 748, cm. 80. = 8 cm m = 11 cm A =? V =? A szbályos htszöget 6 db szbályos háromszögre drbolhtjuk fel. Egy ilyen szbályos háromszög m mgsságát Pitgorsz tételével számíthtjuk ki: m = - Ê Ë Á ˆ, innen: m ª 6,9 cm. Az lpterület: m T = 6 = = m ª 166, cm. A = T m ª 860,5 cm, V = T m ª 6

8 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS = 189 cm. 81. = 16 cm b = 5 cm c = 8 cm V = 468 cm A =? A trpéz mgsság Pitgorsz tétele lpján számíthtó ki: m b Ê - ˆ c = -Á, innen: m Ë = cm. Így z lpterület: c T = + m = 6 cm. V = T m, így m = V =1 cm. A = T + ( + b + c)m = T -c = 514 cm. 8. Az árokbn folyó víz 1 perc = 60 másodperc ltt 08, m 60s = 48m hosszú utt tesz s meg. Így z árok keresztmetszetén 1 perc ltt nnyi víz folyik át, mennyi egy 48 m hosszú részben tlálhtó, zz: 1 m 0,5 m 48 m = 4 m. 8. ) Htározzuk meg elõször z árok keresztmetszetének területét! H megrjzoljuk trpéz mgsságát, kkor z egy olyn háromszöget vág le trpézból, mely egy szbályos háromszög fele, így x = = 05, m, és c = m. A trpéz mgsság Pitgorsz tétele lpján: m = - x, innen m ª 0,866 m. A trpéz területe: + c T = m ª 1, m. Így z árokbn tlálhtó víz térfogt: V = T 100 m ª = 10 m. 7

9 GEOMETRIA b) Az ) részhez hsonlón gondolkodhtunk. Itt: x = = 05, m, 4 m ª 0,4 m, c = 1,5 m. Az lpterület: c T = + m ª 0, 541 m. Így z árokbn tlálhtó víz térfogt: V = T 100 m ª 54,1 m. c) Az árokbn tlálhtó víz térfogt: V ª 77 m. 84. = 5 cm e = 8 cm m = = 5 cm V =? A =? A rombusz átlói merûlegesek, ezért Pitgorsz tétele lpján: Ê f ˆ e Á = - Ê Ë Ë Á ˆ, innen: f = 6 cm. Így e f rombusz területe: T = = 4 cm. V = T m = 10 cm. A = T + 4 m = 148 cm. 85. = 0 cm c = 1 cm m = 1 cm A =? V =? A trpéz mgsságvonl z ábr szerint egy egyenlõ szárú derékszögû háromszöget vág le trpézból, így c m = - = 4 cm. Pitgorsz tétele Ê - cˆ lpján: b = m + Á, innen: Ë b ª 5,66 cm. A trpéz területe: + c T = m = 64 cm. V = T m = = 768 cm. A = T + ( + b + c)m ª = 648 cm. - c 8

10 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 86. A legngyobb térfogtó háromszög lpú hsábot kkor kpjuk, h htszögbõl legngyobb területû szbályos háromszöget vágjuk ki. Ez kkor keletkezik, h htszög három, páronként nem szomszédos csúcsát kötjük össze. Ennek területe (z ábráról könnyen leolvshtón) fele htszög területének. A szbályos háromszög oldl kétszer kkor, mint htszöget lkotó 6 db szbá- lyos háromszög mgsság. ) Pitgorsz tétele lpján: m = - Ê Ë Á ˆ, innen: m ª 10,4 cm. A htszög területe: m Th = 6 = m ª 74 cm 1. A háromszög területe: T = T h ª 187 cm. A htszög lpú hsáb felszíne: A h = T h + 6 m ª 40 cm. A háromszög lpú hsáb felszíne: A = T + m m ª 619 cm. b) A htszög lpú hsáb térfogt: V h = T h m ª cm. A háromszög lpú hsáb térfogt: V = T m ª 674 cm. 87. A feltételbõl következik, hogy: c = 15 cm m = 15 cm A =? V =? Pitgorsz tétele lpján: = c - b, innen: = 9 cm. Az lplp területe: b T = = 54 cm. A = T + ( + b + c)m = 648 cm. V = T m = 810 cm. 88. = 6 cm b = 8 cm x = 6 cm A keletkezett tégltest élei: - x = = 4 cm; b - x = 16 cm; x = 6 cm, így térfogt: 4 cm 16 cm 6 cm = = 04 cm. Így z edénybe kb., l folydék fér. 89. b = 5 8 m = 1 cm 9

11 GEOMETRIA 40 A feltétel szerint: ( + b) m = 648 cm. Innen + b = 54 cm, így: = 4 cm; b = 15 cm. Pitgorsz tétele lpján: m = b - Ê Ë Á ˆ, innen: m = 9 cm. Az lpterület: m T = = 108 cm. A térfogt: V = T m = 196 cm db egybevágó hsábr Vn ilyen gúl, elegendõ, h z egyik oldlél merõleges z lpr. 84. Oldllpok szám Lpok szám Élek szám Csúcsok szám Jelöljük lpok, élek, csúcsok számát rendre l; é; c betûkkel. Ekkor több összefüggés is megfoglmzhtó: (1) l = c () é = (l - 1) Az (1) és () összefüggésbõl következik, hogy: l + c = é Pitgorsz tétele lpján: e = m0 + Ê Ë Á ˆ ill. m0 = m + Ê Ë Á ˆ. Ezeket felhsználv feldtok eredményei: ) e = 10 cm b) m 0 = 10 cm c) = dm d) m = 40 cm e) m 0 = 9 cm f) = 16,8 dm g) m = 1 dm m 844. A= = + m0. Ezt felhsználv: ) A = 97 cm b) A =,1 cm c) A = 89,84 cm A további feldtokbn hsználjuk fel, hogy: e = m0 + Ê Ë Á ˆ ill. m0 = m + Ê Ë Á ˆ. Így feldtok eredményei: d) A = 40 cm e) A = 144 dm f) A = 41,16 cm g) A = 400 cm h) A = 100 dm m 845. V =. Ezt felhsználv: ) V = 40 cm b) V =,76 dm c) V ª 77, cm A további feldtokbn hsználjuk fel, hogy: m 0 = m + Ê Ë Á ˆ. Így feldtok megoldás: d) V = 51 dm e) V = 10,8 dm f) V = 11,71 dm

12 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS g) V = 178 dm h) V = 105,456 cm i) V = 699,84 dm 846. =,4 m m 0 =, m A =? m0 A = 4 = m0 = 1056, m 847. = 11 m m 0 = 10 m A =? m0 A = 4 = m = 0 0 m Mivel 1 m -re 16 cserép kell, ezért tetõre 16 0 = 50 db cserép kell. Mivel törésekre 5 %-ot számítunk, ezért befedéshez szükséges x db cserépre teljesül, hogy: 0,95 x = 50. Innen: x ª 705,. Tehát 706 db cserép kell befedéshez. m 848. V =, innen: m V =. Ezt felhsználv feldtok eredményei: ) m = 7 cm b) m = 1,5 dm c) m = 17 cm d) m = 15 cm e) m = 5 dm 849. A = A- + m 0, innen: m0 =. Ezt felhsználv feldtok eredményei: ) m 0 = 8 cm b) m 0 = 4,4 dm c) m 0 = 16 cm d) m 0 = 11 cm e) m 0 = 0,89 dm 850. Hsználjuk fel, hogy m0 = m + Ê Ë Á ˆ m ill. V =. ) V = 64 cm b) V = cm c) V = 16,464 cm d) V = 109,85 dm e) V = 8 7 dm m 851. Hsználjuk fel, hogy: V =, innen: m V = ; m m 0 = + Ê Ë Á ˆ ill. A = + m 0. ) m = 4 dm; m 0 = 5 dm; A = 96 dm b) m = 5 cm; m 0 = 1 cm; A = 100 cm c) m = 1 cm; m 0 = 1 cm; A = 60 cm d) m =,1 dm; m 0 =,5 dm; A = 70,56 dm e) m = 0,55 dm; m 0 = 1,4 dm; A = 14,5 dm 41

13 GEOMETRIA 85. Hsználjuk fel, hogy: A = A- + m 0, innen: m0 = ; illetve: m = m0 - Ê Ë Á ˆ. ) m 0 = 5 dm; m = dm b) m 0 = 1 cm; m = 5 cm c) m 0 = 15 dm; m = 1 dm d) m 0 = 9,1 dm; m = 8,4 dm e) m 0 = 8,5 cm; m = 6,8 cm 85. = 0 cm e = 6 cm A =? Pitgorsz tétele lpján: m 0 = e - Ê Ë Á ˆ, innen: m 0 = 4 cm; A = + m 0 = 160 cm. m Hsználjuk 84. feldt jelöléseit! Ekkor feltétel lpján: 065, =. Innen dódik, hogy: m 0 = 1,. A = + m 0 =,6, így = 10 cm; m 0 = 1 cm. Ekkor test mgsság Pitgorsz tétele lpján: m = m0 - Ê Ë Á ˆ, innen: m = 1 cm. Így test m térfogt: V = = 400 cm = 16 cm m = 6 cm A két gúl felszínének összege z ábrán bestírozott háromszög területének kétszeresével lesz ngyobb z erdeti gúl felszínénél. A háromszög lpj egyenlõ gúl lpélével, mgsság gúl mgsságávl, így területe: m T = = 48 cm. Tehát felszín növekedése 96 cm Folytssuk z elõzõ feldt megoldásánk gondoltmenetét! Ekkor felületnövekedés m 4T, hol: T =, z egyik sík áltl kivágott háromszög területe. Htározzuk meg tehát test mgsságát! 4

14 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS = 4 cm A = 100 cm m =? A = + m 0, innen: m 0 A- =. Adtokkl: m 0 = 1 cm. Pitgorsz tétele szerint: m = m0 - Ê Ë Á ˆ m, így m = 5 cm. Tehát felszín növekedése: 4T = 4 = m = = 40 cm = 8 m m = 145 m kg t r = 4, = 4, dm m m A pirmis térfogt: V = = m. Így felhsznált kõ tömege: Vr = tonn = 40 cm m = 0 cm V =? A =? e =? m V = ª cm. Pitgorsz tétele lpján: m0 = m + Ê Ë Á ˆ, így m 0 ª 8,8 cm. A felszíne: A = + m 0 ª 86 cm. Az oldléle Pitgorsz tétele lpján: e = m0 + Ê m Ë Á ˆ = + Ê Ë Á ˆ, innen: e ª 4,64 cm. 4

15 GEOMETRIA 859. ) = 10 cm b = 18 cm m = 1 cm A =? V =? Pitgorsz tétele lpján: b m 1 = m + Ê Ë Á ˆ ill. m = m + + Ê Ë Á ˆ. Adtokkl: m 1 = 15 cm; m = 1 cm. A gúl felszíne és térfogt: m1 A = b+ + bm + = b + m 1 + bm = 564 cm ; bm V = = 70 cm. Ugynígy járhtunk el b) ill. c) feldt megoldásánál is. b) A = 16,996 dm ; V =,576 dm c) A ª 50,4 cm ; V = 19 cm 860. ) A keletkezett gúl lpéleinek hoszsz megegyezik kock élének hosszávl, oldléleinek hossz pedig fele kock testátlójánk. Htározzuk meg tehát kock testátlójánk hosszát! Jelölje kock élének hosszát, f z egyik lp átlójánk hosszát, e testátló hosszát! Ekkor z ábrán megjelölt háromszögre lklmzv Pitgorsz tételét: f + = e (1) Ugynkkor z f átló hosszát szintén Pitgorsz tétele lpján számíthtjuk: f = + () A két összefüggésbõl: e =, így e =. Adtinkkl: e ª 4,64 cm. Vgyis gúl oldléleinek hossz: ª 17, cm. 44

16 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS b) A felszín meghtározásához szükségünk vn gúl oldllpjink mgsságár. Ezt ismét Pitgorsz tétele lpján számíthtjuk ki: e e e m0 = Ê Ë Á ˆ - Ê Ë Á ˆ - - = = = 4 4 Tehát m 0 ª 14,14 cm. Ezzel gúl felszíne: m A= = + m0 ª 9657, cm c) A gúl térfogt kock térfogtánk htodrésze, hiszen h minden lp csúcsit összekötjük kock középpontjávl, kkor ht egybevágó gúlát kpunk, melyek térfogtánk összege egyenlõ kock térfogtávl. Tehát: V = ª 1 cm Elõször htározzuk meg z lplp területét! = 10 cm m = - Ê Ë Á ˆ, innen: m ª 8,66 cm m T = ª 4, cm Az oldllpok területe: = 10 cm b = 1 cm m = b - Ê Ë Á ˆ, innen: m 0 = 1 cm 0 m0 T0 = = 60 cm Így gúl felszíne: A = T + T 0 ª, cm. 86. A gúl lplpj 6 db = 8 cm oldlú szbályos háromszögre bonthtó. Egy háromszög m területe: T D =, hol: m = - Ê Ë Á ˆ. Így T = 6 T D = m ª 166,8 cm. A gúl térfogt: V = Tm ª, 55 cm. 86. A gúl lplpjánk területét 86. Feldt megoldás szerint számíthtjuk. A gúl felszíne: A = T + 6T 0 = T + m 0 ª 10 cm. 45

17 GEOMETRIA 864. Mivel z oldllpok z lplppl 45ºos szöget zárnk be, ezért z háromszög, melyet vlmely oldllp mgsság test mgsságvonlávl meghtároz (ábr) egyenlõ szárú derékszögû háromszög. Ezért m = m = 10 cm. Ebbõl következik, hogy z lplp 6 db olyn szbályos háromszögbõl áll, melyek mgsság m = 10 cm. Ekkor Pitgorsz tétele szerint: = Ê m Ë Á ˆ +. Innen: = m, zz = m. Adtokkl: 4 4 ª 11,55 cm. Így gúl lpterülete: m T = 6 = = m ª 46, 4 cm. Az oldllppok mgsság Pitgorsz tétele lpján: m0 = m + m, innen m 0 ª 14,14 cm. Így gúl felszíne: A = T + 6 T 0 = = T + m 0 ª 86, cm A kock felszíne: A k = 6, innen = 7 cm. ) A gúl mgsság egyenlõ kock élének hosszávl, így térfogt: V = ª ª 114, cm. b) Az oldllpok mgsság Pitgorsz tétele szerint: m 0 = + Ê Ë Á ˆ, innen: m 0 ª 7,8 cm. Ezzel m0 gúl felszíne: A = + 4 ª ª 158, 57 cm. c) Az oldlélek hosszát Pitgorsz tétele lpján számolhtjuk: b = Ê m0 Ë Á ˆ +, innen b ª 8,57 cm. 46

18 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 866. Htározzuk meg elõször gúl felszínét! = 10 cm m = 1 cm Pitgorsz tétele lpján: m 0 = m + Ê Ë Á ˆ, innen m 0 = 1 cm. m Ezzel gúl felszíne: A= = + m0 = 60 cm. A feltétel szerint ekkor hsáb felszíne is. Jelöljük hsáb mgsságát x-szel. Ekkor hsáb felszíne: A h = + 4x, innen: x = 4 cm. Ezzel hsáb térfogt: V = x = 400 cm Jelöljük z lpél hosszát -vl, z oldllpok mgsságit m 0 -vl. Ekkor feltétel szerint: = 4. Innen: = m m0 0, zz = m ) A = 7 cm = 7 cm A = + m 0, innen: m 0 = 16 cm. Pitgorsz tétele lpján: m = m0 - Ê Ë Á ˆ, innen: m ª 15,61 cm. A gúl térfogt: m V = ª 55 cm. m b) Az lplp területe: T = 6 = = m, hol m = - Ê Ë Á ˆ, így m ª,46 cm. Ezzel T ª 41,57 cm. m0 A gúl felszíne: A = T + 6 = = T + m0, innen: m 0 ª 19,9 cm. A test mgsság Pitgorsz tétele lpján: m = m0 - m, innen m ª 18,97 cm. Így test térfogt: V Tm = ª 6, 9 cm. 47

19 GEOMETRIA 869. Pitgorsz tétele lpján: m 0 = - Ê Ë Á ˆ, innen: m 0 ª 1,86 cm. m = m0 - Ê Ë Á ˆ, innen: m ª 11,1 cm. m0 Így: A= + 4 ª 699, 4 cm ; m V = ª 965, 4 cm Minden lp egy 0 cm oldlú szbályos háromszög. A test felszíne: A ª 69,8 cm A levágott gúl lpéle is és mgsság is felekkor, mint z eredeti gúláé. Így térfogt nyolcdrésze z eredeti gúlánk. 87. A = r p + rpm; V = r pm. Ezek lpján feldtok megoldási: ( p értékét,14-dl közelítettük.) ) A ª 471 cm ; V ª 785 cm b) A ª 04,7 cm ; V ª 678,4 cm c) A ª 6,8 cm ; V ª 15,8 cm d) A ª 654,1 cm ; V ª 66 cm e) A ª 91 cm ; V ª cm 87. r = 9,58 cm; m =,4 m = 40 cm. A = rpm ª cm ª 1,44 m r = 16 cm; m = cm. A = r p + rpm ª 48 cm ; V = r pm ª 5 7 cm r (cm) m (cm) 8 1, 4 5, , 4, 6 A (cm V (cm A (cm V (cm ) 0p 61, p 88p 440p 170p 4p ) 768p 64, 76p 648p 1089p 00p 14, 976p r (cm) 7 11, 6 6, 1 1 m (cm) 4,5 4, 5 75, m =,6 m = 60 cm r = 14 cm g kg r = 06, = 06, cm dm ) 161p 48p 86, 88p 468p 10p ) 0, 5p 457, 504p 961p 1080p 4p 48

20 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS V = r pm ª 160 dm. A frönk tömege tehát: Vr ª 96 kg rp = 10 cm, innen r ª 19,1 cm m = 80 cm V =? V = r pm ª cm = 91,7 dm. A hordób tehát kb. 91,7 liter folydék fér kb.,15 liter kb. 6,8 kg T = 600 cm = 6 dm V = 4 dm m =? V = T m, innen: m = 1 dm V k = 8 dm, innen: = dm. A legngyobb térfogtú henger lpkörének átmérõje kock éle, mgsság kock élével egyenlõ. Így: r = 1 dm; m = dm. ) V h = r pm ª 6,8 dm b) kb. 1,5 % hulldék c) kb. 6,7 %- 88. A kiszorított víz térfogt: V = (0 cm) p 0,8 cm ª 61 cm. A tégltest térfogt megegyezik kiszorított víz térfogtávl, így tégltest hrmdik éle: 61 cm c = ª 5 cm. 5 cm 18 cm 88. V = 95 cm ; A ª 646,5 cm m = r A = 597 cm V =? A = r p + rpm = 6r p, innen r ª 5,6 cm. Így: V = r pm = r p ª 111 cm r = 6 cm A = 480 cm V =? A = r p + rpm, innen: m ª 9,74 cm. Így: V = r pm ª 1101 cm Hsználjuk fel, hogy: k = rp; P = k m; T = r p; V = r pm. ) V ª 19 cm b) P ª 15,7 cm c) V ª cm d) P ª,6 cm = 0,06 dm e) V ª 7, dm 887. r = 1 cm; m = 1 cm. V ª 546 cm ; A ª 1809 cm ) r = 8 cm; m = 1 cm. Így: V ª 41 cm ; A ª 1005 cm b) r = 1 cm; m = 8 cm. Így V ª 617, cm ; A ª 1507 cm. c) r = 6 cm; m = 8 cm. Így V ª 904, cm ; A ª 58 cm. d) r = 4 cm; m = 1 cm. Így V ª 60 cm ; A ª 40 cm. 49

21 GEOMETRIA 889. = 5 cm; b = 8 cm. V V 1 = b p b pb = = 8 5 ; A A 1 bp( b+ ) b 8 = = =. p( + b) = 16 cm; b = 1 cm. V V 1 Ê ˆ Á Ë = Ê bˆ Á Ë pb = = b p 4 ; A A 1 Ê ˆ p Á + b Ë = bê b ˆ p Á + Ë ( + b) = = bb ( + ) r = 5 cm = 0,5 dm V = liter = dm m =? V = r V pm. Innen: m = ª 8, cm. r p 89. R = cm r = 5 cm m =,4 m = 40 cm kg r = 18, dm A csõ térfogt: V = R pm - r pm ª 00,7 dm. Így csõ tömege: rv ª 541 kg. 89. R = 1,9 cm r = 1,5 cm m = 800 cm r = 78, kg dm A csõ térfogt: V = R pm - r pm ª,4 dm. Így csõ tömege: rv ª 6,65 kg. 8 kg 894. A csõ térfogt: V = ª 96, dm. V = R pm - r pm = (R - r )pm, innen: kg,7 dm V m = ( R - r ) p. Itt: R =,7 cm; r =, cm; V ª 96 cm. Így csõ hossz: m ª 47 cm A feltétel szerint: r p = rpm. Innen: r = m, tehát sugár és mgsság rány: : A 889. feldt megoldás lpján tégllp két oldlánk rány: : A 889. feldt megoldás lpján tégllp két oldlánk rány: : A 890. feldt megoldás lpján tégllp két oldlánk rány: 4 : r = m. Így plást területe: P = rpm = 6m p. A henger felszíne: A = r p + P = = 18m p + 6m p = 4m p. Innen dódik, hogy: A = 4P, tehát felszín négyszerese plást területének. 50

22 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 900. m = 14 cm; r = 7 cm, így térfogt és felszín: V ª 154 cm ; A ª 9, cm A feltételbõl következik, hogy m = r. A metszet területe: T = m = 4r, felszín: A = r p + rpm = 6r p. Tehát felszín kb. 4,71-szoros metszet területének. 90. Mindhárom esetben kb. 6, %-ot. 90. ) A feltételek lpján: = 0 cm. Pitgorsz tételébõl: (r) = +, in- nen: r =. Innen: r ª 14,14 cm. b) r = 14,14 cm; m = 0 cm, ezért A ª 176, cm ; V ª cm A feltételekbõl következik, hogy: m = 6 cm és rp = 6 cm, innen: r ª 4,14 cm. Így henger térfogt: V ª 199 cm r = 6 cm m = 10 cm A htszög oldlink hossz megegyezik kör sugrávl, = r = 6 cm. A htszög területe 6 db 6 cm oldlú szbályos háromszög területének összege: m T = 6 TD = 6 = m, hol: m = - Ê Ë Á ˆ, így m ª 5, cm. vgyis htszög területe: T ª 9,5 cm. Ezzel hsáb felszíne és térfogt: A = T + 6m ª 45,5 cm ; V = T m ª 95, cm. A hsáb térfogt kb. 8,74 % henger térfogtánk Jelöljük henger lpkörének sugrát r- rel, mgsságát m-mel, gúl lpélét - vl! Ekkor: (r) = +, így: = r. A két térfogt rány: m V g r = = = = ª 01,. V r pm pr pr p h 907. Hsználjuk fel, hogy Pitgorsz tétele lpján: = r + m. r m 1 cm 10 cm 0, m 1 cm, 5 dm 16 cm,4 dm 1dm, 8,4 dm 1 cm dm 6, dm 9 cm 085m, 0,7 m 51

23 GEOMETRIA 908. A = r p + rp = rp(r + ) ) A ª 01 cm b) A ª 67,55 cm c) A ª 989,1 dm d) A ª 5 cm 909. V r p = m ) V ª 157 cm b) V ª 506,4 cm c) V ª 58 cm d) V ª 45,4 cm 910. Hsználjuk fel, hogy: A = rp(r + ); V r p = m ; = r + m. ) A ª 8,6 cm ; V ª 14 cm b) A ª 68 cm ; V ª 1005 cm c) A ª 15,07 dm ; V ª 1,884 dm d) A ª 40,69 dm ; V ª 16,88 dm e) A ª 7,85 dm ; V ª 4, dm f) A ª 61,54 dm ; V ª 8,79 dm g) A ª 71, dm ; V ª 6,9 dm h) A ª 141 cm ; V ª 91 cm i) A ª 84,78 dm ; V ª 0,5 dm j) A ª 49, cm ; V ª 65,5 cm k) A ª 70,74 dm ; V ª,8 dm 911. r (cm) 4 8,8 1,6 9,6 09, 84, 6 m (cm) 1 7, 4 16 ª 59, (cm) 5 1,,4 1 4,1 41,6 8 A (cm ) 6p 178p 8p 07, 6p 4, 5p 07p 84p V (cm ) 16p ª 18p, 56p 1, 184p 1, 08p ª 7864p ª 6, 5p 91. r (cm) 8 8 1, ª,6 m (cm) , ,9 1 (cm) , 4 9 4,1 ª 4, A (cm ) 00p 144p p 800p 980p,4p 18p V (cm ) 0p 18p 0, 4p 560p 800p 4, 8p 7p 91. Vágjuk el kúpot egy, szimmetritengelyét trtlmzó síkkl! H = 60º, kkor ez metszet egy szbályos háromszög, így ekkor z lkotó hossz: = r. Ezt felhsználv: ) A ª 94 cm b) A ª 166, cm c) A ª 1846 cm d) A ª 10,58 dm H = 45º, kkor metszet egy egyenlõ szárú derékszögû háromszög, így: + = (r), zz: = r, és m = r. Ezt felhsználv: e) A ª 11, cm f) A ª 7,9 cm 914. Mivel z lkotók lplppl bezárt szöge 45º, ezért r = m. Ezt felhsználv: ) V ª 1809 cm b) V ª 9,69 cm c) V ª 7,14 cm d) V ª 1470 cm 5

24 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 915. H egy kúp plástját kiterítjük, kkor egy olyn körcikket kpunk, melynek sugr megegyezik kúp lkotójávl, ívhossz pedig kúp lpkörének kerületével. ) A feltételbõl következik, hogy = 1 cm és p = rp, innen: r = 6 cm. A kúp mgsság Pitgorsz tétele lpján kphtó: m = - r, innen: m ª 10,9 cm. Így kúp felszíne és térfogt: A = rp(r + ) ª 9,1 cm ; V ª 91,6 dm. p b) A feltételekbõl következik, hogy: = 0 cm és = rp, innen: r = 5 cm. m = - r, innen: m ª 19,6 cm. Így kúp felszíne és térfogt: A = rp(r + ) ª = 9,5 cm ; V ª 506,7 cm. c) A feltételekbõl következik, hogy: = 1 cm és p = rp, innen: r = 9 cm. A kúp felszíne: A = rp(r + ) ª 59,5 cm. p d) A feltételekbõl következik, hogy: = 15 cm és = rp, innen: r = 5 cm. m = - r, innen: m ª 14,14 cm. A kúp felszíne és térfogt: A = rp(r + ) ª ª 14 cm ; V r p = m ª 70, 1 cm ) A feltételek lpján: rp = 0 cm, innen r ª,18 cm, illetve p = 0 cm, innen: ª 6,7 cm; m = - r, innen: m ª 5,5 cm. Így kúp felszíne és térfogt: A = rp(r + ) ª 95,54 cm r pm ; V = ª 58, 4 cm. b) A ª 55,7 cm c) A ª 11,46 dm 917. ) = 6 cm b = 8 cm c = 10 cm A rövidebb befogó körül forgtv olyn kúpot kpunk, melyben: r = 8 cm; m = 6 cm; = 10 cm. Így: A ª 45, cm ; V ª 40 cm. A hosszbb befogó körül forgtv olyn kúpot kpunk, melyben: r = 6 cm; m = 8 cm; = 10 cm. Így: 5

25 GEOMETRIA A ª 01,5 cm ; V ª 01,5 cm. b) A befogók hossz x ill. 4x, így Pitgorsz tétele lpján: (x) + (4x) = 15, innen: 5x = 5, x =. Tehát háromszög oldli 9 cm; 1 cm; 15 cm. A rövidebb befogó körül forgtv olyn kúpot kpunk, melyben r = 1 cm; m = 9 cm; = 15 cm, így V ª 156,5 cm ; A ª 1017,4 cm. A hosszbb befogó körül forgtv olyn kúpot kpunk, melyben: r = 9 cm; m = 1 cm; = 15 cm, így V ª 1017,4 cm ; A ª 678, cm. c) Legyenek háromszög befogói ill. b. Ekkor két kúp térfogtánk rány: pb V1 = = V b p b Tehát háromszög befogóink rány : e = 1 cm f = 16 cm A forgtáskor két olyn kúp keletkezik, e melyek sugr: r =, mgsság: m f =. A kúpok lkotóink hossz: = m + r. Így test térfogt és r pm felszíne: V = ª 60, 9 cm ; A = rp ª 76,8 cm Legyenek rombusz átlói e; f, hol: e : f = 5 : 1. A hosszbb átló körül forgtv olyn kettõs kúp -hoz jutunk, melynek sugr e, mgsság f, rövidebb átló körül forgtv olyn kettõs kúp -hoz, melynek sugr f, mgsság e. A két test térfogtá- nk rány: e f 1 Ê ˆ Á p V1 Ë e f e 5 = V f e ef f 1 = = = Ê ˆ 1 Á p Ë Tehát két test térfogtánk rány 5 : 1. 54

26 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 90. AB = 18 cm; BC = 1 cm; CD = 6 cm; DA = 5 cm. A forgtáskor olyn testet kpunk, mely egy hengerbõl és egy körkúpból vn összergsztv. A henger lpkörének sugr AD, mgsság DC. A kúp lpkörének sugr AD, mgsság AB - CD, lkotój BC. Így keletkezett test térfogt: V = V + V = (5 cm) p 6 cm + h k (5 cm) p 1 cm + ª 785 cm. A felszín számításánál figyelembe kell venni, hogy kúp és henger egyik lpköre mentén vn összergsztv, így ez nem trtozik felszínhez. A = (5 cm) p + 5 cm p 6 cm cm 1 cm p ª 471 cm. 91. AD = r = ( 10 cm) (8 cm) = 6 cm. Innen z elõzõ feldt megoldásánk gondoltmenetét követve: V ª 979,7 cm ; A ª 57,5 cm. 9. Az ábr lpján: BP = ( 5 cm) -( 7 cm) = 4 cm, így: DC = 8 cm - 4 cm = = 4 cm. Kövessük ezután 90. feldt megoldásánk gondoltmenetét. Így: A ª 879, cm ; V ª 051,5 cm. 9. BC = ( 1 cm) + (9 cm) = 15 cm. Innen 90. feldt megoldásánk gondoltmenetét követve: A ª 110,4 cm ; V ª 486,9 cm. 55

27 GEOMETRIA 94. A keletkezett test z ABPD tégllp megforgtásávl keletkezõ henger, melybõl kihgytuk BPC háromszög megforgtásávl keletkezõ kúpot. A henger sugr R = AD, mgsság M = AB, kúp sugr r = AD; mgsság m = AB - CD, lkotój = BC. A keletkezett test térfogt henger és kúp térfogtánk különbsége: V = V V R M r m h - k = p p -. A keletkezett test felszíne henger egyik lpkörébõl és plástjából, vlmint kúp plástjából áll. Így: A = R p + RpM + rp. Ezeket felhsználv z egyes feldtokbn keletkezett testek felszínét és térfogtát kiszámíthtjuk. ) A ª 45, cm ; V ª 181 cm b) A ª 85, cm ; V ª 077 cm c) A ª 960,8 cm ; V ª 4069,5 cm 95. A keletkezett test z ABD háromszög megforgtásávl keletkezõ kúp, melybõl kihgytuk z ACD háromszög megforgtásávl keletkezett kúpot. A két kúp jellemzõi: Az ABD háromszög megforgtásávl keletkezett kúp sugr: r = = AD = 8 cm; mgsság: m 1 = BD = = 15 cm; lkotój: 1 = AB = = AD + BD = 17 cm. Az ACD háromszög megforgtásávl keletkezett kúp sugr r = AD = 8 cm; mgsság m = CD = 6 cm; lkotój: = AC = AD + CD = 10 cm. ) A test felszíne két kúp plástjánk területösszegével egyenlõ, így: A = r 1 p + + r p = rp( 1 + ) ª 678,4 cm. b) A test térfogt két kúp térfogtánk különbségével egyenlõ, így: V r p m 1 r p = - m = r p( m 1- m ) ª 60, 9 cm. 96. AT = 4 cm BC = 16 cm A keletkezett test két kúpból áll össze, melyek lpkörének sugr r = AT = 4 cm, mgsságuk: m 1 = BT illt. m = TC. Így test térfogt két kúp térfogtánk összege. 56

28 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS r pm1 r pm r p( m1+ m) AT p BC V = + = = ª 68 cm Megjegyzés: Azt feltételt, hogy BC háromszög leghosszbb oldl ott hsználtuk ki, hogy mgsságvonl T tlppontj BC oldlon vn. 97. Mivel vsnk 48 %- hulldék lett, ezért keletkezett kúpok tömege: 10 kg 0,5 = = 6,4 kg. Egy kúp térfogt (r = cm; m = 6 cm) V r p = m = 51, cm, így egy kúp tömege: Vr ª 195,94 g. Így 6,4 kg vsból 18 db kúp esztergálhtó. 98. A kúp lpkörének sugr r = 10 cm; mgsság m = 0 cm. Így: V kock = 8000 cm ; V kúp = r p m ª 09 cm. Így hulldék kb cm. 99. V kúp = V henger (4 dm) p m = (4 dm) p 1dm Így kúp mgsság: m = dm. A kúp lkotój: = ( 4 dm) + ( dm) = 5 dm, ezzel kúp felszíne: A = rp(r + ) ª 11 dm. 90. m = 16 cm t = 19 cm A metszet területe: t = r m, innen: r = 1 cm. A kúp lkotój: = r + m = 0 cm. Így kúp felszíne és térfogt: A ª 106 cm ; V ª 410 cm. 91. V 1 : V : V = 1 : 16 : 4 = : 4 : V 1 : V : V = : 4 : 5 = 9 : 16 : 5. 57

29 GEOMETRIA 9. ) Pitgorsz tétele lpján: r = ( 10 cm) -( 6 cm) = 8 cm. A forgástest egy r = 8 cm sugrú, m 1 = 8 cm mgsságú hengerbõl és két r = 8 cm sugrú, m = 6 cm mgsságú, = 10 cm lkotójú kúpból rkhtó össze. Így térfogt három test térfogtánk r pm összege: V = r pm1 + = Ê ˆ = r p Á m1 + m ª 41 cm. A test felülete Ë két kúp plástjából és henger plástjából áll, így felszíne: A = rpm 1 + rp = = rp(m 1 + ) ª 904, cm. b) A keletkezett test egy r = 8 cm lpkör sugrú, m 1 = 0 cm mgsságú henger, melybõl kihgytunk két r = 8 cm sugrú, m = 6 cm mgsságú és = 10 cm lkotójú kúpot. Így test térfogt henger és két kúp térfogtánk különbsége: V = r pm1 - = r pm Ê ˆ = r p Á m1 - m ª 15, 4 cm. A test felszíne megegyezik két kúp plástjánk, és Ë henger plástjánk területösszegével. Így: A = rpm 1 + rp = rp(m 1 + ) ª 1507 cm. 94. A = 4r r p; V = 4 p. ) A = 6p cm ª 11 cm ; V = 6p cm ª 11 cm b) A = 144p cm ª 45 cm ; V = 88p cm ª 904, cm c) A = 900p cm ª 86 cm ; V ª 4500p cm ª 14,1 dm d) A =,04p cm ª 7,5 cm ; V ª 57,88 cm 9p e) A = m ª 7065 m 9, ; V = p m ª 177, m p f) A = dm ª 558 dm, ; V = p dm ª 14, dm A ª 706,5 m ; V ª 1766 m. 96. r (cm) 9,4 4, 15, 15, A (cm ) 4p, 04p 64p 6p 40, 96p 9p 65p 56 V (cm ) 97p 18, 4p p 6p ª 4, 69p 4, 5p ª 604p 58

30 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 97. ) r vs = 5 cm g r vs = 78, cm 4p Vvs = rvs ª 5, 6 cm ; m vs = V vs r vs ª 4084 g. r l = 10 cm g r l = 7, cm 4p Vl = rl ª 4189 cm ; m l = V l r l ª 1110 g. Tehát z lumínium golyó ngyobb tömegû, kb 76 g-ml több vsgolyónál. 4p g 4p b) mréz = rrézvréz = rréz rréz = 89, ( cm) = 0, 4 p grmm ª 1006,6 g cm 4p ml lvl l rl g 4p = r = r = 7, (5 cm) = 450 p grmm ª 141,7 g cm Tehát z lumínium golyó tömege kb. 407 grmml ngyobb rézgolyó tömegénél. 4p g 4p c) mvs = rvsvvs = rvs rvs = 78, ( 6 cm) = 46, 4 p grmm ª 7057 g cm 4p g 4p 4450 p mréz = rrézvréz = rréz rréz = 89, ( 5 cm) = grmm ª 4660 g cm Tehát vsgolyó tömege kb. 97 grmml ngyobb rézgolyó tömegénél. 98. Egy kockából kiesztergálhtó legngyobb gömb átmérõje megegyezik kock élével. Így z egyes esetekben gömb sugr: ) r = 9 cm b) r = 4, dm c) r = dm Így felszín és térfogt ngyság: ) A = 4r p = 4p cm ª 1017 cm 4p ; V = r = 97p cm ª 05 cm. b) A = 4r p = 70,56p dm ª 1,6 dm 4p ; V = r = 98, 784p dm ª 10, dm. c) A = 4r p = 6p dm ª 11 dm 4p ; V = r = 6p dm ª 11 dm. 99. Jelöljük cm sugrú gömb felszínét A 1 -el, térfogtát V 1 -el, 4 cm sugrú gömb felszínét A -el, térfogtát V -el! Ekkor: 4p A1 4p( 4 cm) 16 V1 = = ; 4 ( cm) 64 A 4p( cm) 9 V = 4p = 7 ( cm) Tehát gömb felszíne szeresére, térfogt -szeresére növekszik

31 GEOMETRIA 940. Jelöljük z eredeti léggömb sugrát r-rel. Ekkor felszíne és térfogt: A = 4pr ; V = 4 p r. A keletkezett léggömb sugr 1,5r, így felszíne és térfogt: A 1 = 4p (1,5r) =,5 4pr =,5 A 4p V = r = r = V p (, ), 75, Tehát felszín,5-szorosár, térfogt,75-szeresére növekedett Az r sugrú fémgolyó lesüllyed henger ljár, így térfogtávl egyenlõ mennyiségû vizet szorít ki (feltételezve, hogy víz teljesen ellepi golyót). Tehát kiszorított víz térfogt V = 4 p r. Ugynkkor d átmérõjû edényben h-vl emelkedett víz szintje, tehát kiszorított víz mennyisége: d V = Ê h Ë Á ˆ p. Így következik, hogy: 4pr d = Ê ph Ë Á ˆ Egyszerûsítve p-vel: 4r d = h 4 Innen: 16r = h d 16 ( 1 cm) 1 ) d = 1 cm; r = 1 cm; h = = cm ª 0,7 mm. Tehát víz szintje kb. ( 1 cm) 7 0,7 mm-t emelkedik. 16 ( cm) 8 b) d = 1 cm; r = cm; h = = cm ª mm. Tehát víz szintje kb. ( 1 cm) 7 mm-t emelkedik. 16 ( 4 cm) 64 c) d = 1 cm; r = 4 cm; h = = cm ª 7, cm. Tehát víz szintje kb. ( 1 cm) 7,4 cm-t emelkedik. 94. Kövessük z elõzõ feldt megoldásánk gondoltmenetét! H d átmérõjû hengerbe egy r sugrú fémgömböt helyezünk, kkor víz szintje h-vl emelkedik. Így kiszorított vízmennyiség: d V = r = Ê 4p h Ë Á ˆ p 60

32 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS Innen: r h = 16 d Adtinkkl: d = 10 cm; r = cm;, így: 16 ( cm) h = = 144, cm ( 10 cm) H hengerbe z élû kockát helyezzük, kkor vízszint x cm-rel emelkedik. Így kiszorított víz mennyisége: Innen: d V = = Ê Ë Á ˆ px x = 4 pd Adtinkkl: = 5 cm; d = 10 cm, így: 4 ( 5 cm) x = ª 159, cm p ( 10 cm) Tehát víz szintje kock elhelyezése esetén emelkedik ngyobbt, z emelkedés kb. 1,5 mm-rel lesz több. Megjegyzés: Annk eldöntésére, hogy melyik esetben ngyobb vízszint emelkedése, 4p elegendõ gömb és kock térfogtát kiszámítni. Mivel: Vgömb = r ª 11 cm ; V kock = = 15 cm, ezért kock esetén lesz ngyobb vízszint emelkedése. 94. R = 50 mm = 5 cm r = 47 mm = 4,7 cm g r = 88, cm 4 V = p 4 R - p 4 r = p ( R - r ) ª 88, 7 cm ; m = Vr ª 781 g. Tehát gömb tömege kb. 781 g ) Egy 1 cm sugrú gömb térfogt nyolcdrésze egy cm sugrú gömb térfogtánk. Így ez nyolcdnnyi vizet szorít ki, mint cm sugrú gömb. Tehát vízszint emelkedése mm = 05, mm. 8 b) Egy cm sugrú gömb térfogt 7 -szor kkor, mint egy cm sugrú gömb térfogt, így kiszorított víz mennyisége is 7 -szor nnyi. Ezért vízszint emelke- 8 8 dése 7 8 mm = 6,75 mm. 61

33 GEOMETRIA c) Egy 4 cm sugrú vsgolyó térfogt nyolcszor kkor, mint egy cm sugrú vsgolyó térfogt, így nyolcszor nnyi vizet szorít ki, mint egy cm sugrú golyó. Tehát vízszint emelkedése 8 mm = 16 mm. d) Az ) feldt lpján egy 1 cm sugrú golyó behelyezése esetén vízszint emelkedése 0,5 mm, így 4 db ilyen golyó esetén 1 mm ) Egy 4 cm sugrú gömb felszíne: A 1 = 4p(4 cm) = 64p cm. 4 db 1 cm sugrú gömb felszíne: A = 4 4p(1 cm) = 16p cm. Így 4 cm sugrú gömb felszíne ngyobb. b) Egy cm sugrú gömb felszíne: A 1 = 4p( cm) = 6p cm. db cm sugrú gömb felszíne: A = 4p( cm) = 48p cm. Tehát db cm sugrú gömb felszíne ngyobb. c) Egy cm sugrú gömb felszíne: A 1 = 4p( cm) = 16p cm. 4 db 1 cm sugrú gömb felszíne: A = 4 4p(1 cm) = 16p cm. A két felszín egyenlõ Egy 6 cm sugrú gömb térfogt: V = p 1 ( 4 6 cm) = 88 p cm. Egy 1 cm sugrú gömb 4p térfogt: V 1 4 = ( cm) = p cm. V1 88p = =16 V 4 p Tehát 16 db kis golyó önthetõ. A 6 cm sugrú gömb felszíne: A 1 = 4p(6 cm) = 144p cm. A 16 db 1 cm sugrú gömb felszíne: A = 16 4p(1 cm) = 864p cm. Így: A1 A = 864p 144p =6 Tehát kis golyók felszínének összege htszoros z eredeti golyó felszínének Legyen henger lpkörének sugr r. Ekkor henger mgsság r, így térfogt: V 1 = r p r = r 4 p. A kiesztergált gömb sugr r, így térfogt: V = p r. Ebbõl következik, hogy: 4p V r = = ª67 % V1 r p Tehát gömb térfogt kb. 67 %- henger térfogtánk. A henger felszíne: A 1 = rp(r + r) = 6r p. A gömb felszíne: A = 4pr. Így henger és gömb felszínének rány: A 1 : A = :. 6

34 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 948. A kiszorított víz térfogt: V = Ê Ë Á 1 cm ˆ r-rel. Ekkor: 4 r p p 1 cm = 6 p cm. Jelöljük golyó sugrát = 6p cm, így: r = 7 cm. Tehát golyó sugr cm Jelölje két gömb sugrát r 1 és r. Ekkor feltétel szerint: 4 A1 4pr1 r = = = 9 A 4pr r r r 1 =. A térfogtok rány: V V 1 4p r1 r1 = = Ê 4 r r Ë Á ˆ = p 950. r =, m. A = r p = (, m) p ª 0,4 m. Mivel veszteség z elkészítésnél 8 % volt, ezért 0,4 m felhsznált nyg 9 %-. Így: 9 % 0,4 m 100 % ª,04 m Tehát z ejtõernyõ elkészítéséhez kb.,04 m nygot hsználtk fel , így 951. Vhenger : Vkúp : Vfélgömb = 1 1: 1 p 1 p 1 : = 1: 1 p : = 1 : : A kúp lkotój Pitgorsz tétele lpján egység. Így felszínek rány: ( ) Ahenger : Akúp : Afélgömb = p 1 ( 1+ 1): 1 p 1+ :( p p) = ( ) ( ) = 4p : 1+ p : p = 4: 1+ : 95. Az edényben lévõ víz térfogt kock térfogtánk és golyó térfogtánk különbsége: V víz 4 = ( 10 cm) p - ( 4 cm) ª 7 cm. Így golyót kivéve víz mgsság: 7 cm x = = 7, cm. Tehát víz kb. 7, cm mgsn áll z edényben. ( 10 cm) (5 cm) p 10 cm 50p 95. A kúp térfogt: V kúp = = cm. A gömb térfogt: 4p 500p V gömb = ( 5 cm) = cm. Innen dódik, hogy V gömb = V kúp, vgyis kúp g nygánk sûrûsége kétszer kkor, mint gömb nygáé, zz r kúp = 5. cm 6

35 GEOMETRIA 954. ) Egy golyó kettéfûrészelésekor db r sugrú körlp területével nõ meg felszín. Egy golyó felszíne 4pr, így kettéfûrészelés után 4pr + pr = 6pr lesz, vgyis felszín másfélszeresére nõ, így növekedés 50 %-os. b) Jelöljük kettéfûrészelt golyók számát k-vl. Ekkor z elõzõek lpján: k pr = 0, pr. Innen: k pr = 6pr, így k =. Tehát golyót fûrészeltünk ketté Mivel lefûrészelt 10 cm mgsságú kúp hsonló z eredeti kúphoz, ezért lefûrészelt kúp lpkörének sugr 5 cm. Az eredeti kúp térfogt: ( 10 cm) p 0 cm 000p V 1 = = cm A lefûrészelt kúp térfogt: ( 5 cm) p 10 cm 50p V = = cm Így csonkkúp térfogt: V = V - V = csk p cm Ezzel: 1750p Vcsk V = = 1 8 =87, p 5 % Tehát csonkkúp térfogt 87,5 %- kúp térfogtánk Jelöljük kockák éleinek hosszát x cm és (x + ) cm-rel. ) A feltétel szerint: 6( x+ ) - 6x = 4 6( x + 4x+ 4) - 6x = 4 4x + 4 = 4 x = 17 Tehát két kock élének hossz 17 cm ill. 19 cm. b) A feltétel szerint: ( x+ ) - x = 488 x + 6x + 1x+ 8- x = 488 6x + 1x- 480 = 0 x + x- 80 = 0 ( x- 8)( x+ 10) = 0 Egy szorzt null, h vlmelyik tényezõ null. Mivel x + 10 feltételek lpján pozitív, ezért x - 8 = 0, így x = 8. Tehát két kock élének hossz 8 cm ill. 10 cm. 64

36 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 957. ) A feltételek lpján kúp lpkörének sugr és gömb sugr egyenlõ. Jelölje ezt sugrt r. Ekkor kúp lkotój = r. Ezzel: A A kúp gömb rp( r+ ) rp( r+ r) = = = 4pr 4pr 4 b) A feltételek lpján kúp lpkörének sugr és gömb sugr egyenlõ. Jelölje ezt sugrt r. A kúp mgsság m = r. Ezzel: V V kúp gömb r pm r r = p 1 = = 4pr 4pr 958. Jelölje gömb sugrát R, henger lpkörének sugrát r, mgsságát m. A feltétel szerint: m = R. Készítsünk egy olyn metszetet testekrõl, melyben metszõsík áthld henger szimmetritengelyén! Pitgorsz tétele lpján: (R) = R + (r). Innen: r = R. 4 Ezzel: V henger r pm r m = = = V 4p gömb R 4R R R = 4 9 = 4R 16 Tehát henger és gömb térfogtánk rány 9 : ) A kúp plástját kiterítve egy olyn körcikket kpunk, melynek sugr kúp lkotójávl egyenlõ, ívhossz pedig megegyezik z lpkör kerületével. Így körcikk sugr 6 cm, ívhossz pedig 6 cm p = 6p cm. Mivel 6 cm sugrú félkör kerülete éppen 6p cm, ezért plást kiterítve egy félkör, így középponti szög 180º-os. b) = 6 cm r = cm Pitgorsz tétele lpján: = m + r, így m = - r = = 7 cm. Tehát kúp mgsság 7 cm ª 5, cm. 65

37 GEOMETRIA 960. ) Egy 16 cm oldlú szbályos háromszög területe = (16 cm) 4 = 64 cm ª 111 cm, így tetréder felszíne kb. 111 cm. b) A feltételbõl következik, hogy tetréder minden éle 8 cm, így z élhálózt elkészítéséhez 6 8 cm = = 48 cm hosszú huzlr vn szükség ) A keletkezett test egy szbályos oktéder (olyn nyolclpú test, melynek minden lpj szbályos háromszög). b) A kock éle = 10 cm. Jelöljük z oktéder éleinek hosszát x-el. Tekintsük zt derékszögû háromszöget, melyet két szomszédos lp középpontj és közös él felezõpontj lkot! (Az ábrán stírozássl jelöltük.) Ennek befogói ; hosszúságúk, átfogój x. Pitgorsz tétele lpján: x = Ê Ë Á ˆ + Ê Ë Á ˆ, innen x = 5 cm. A test felszíne megegyezik 8 db x oldlú x szbályos háromszög területének összegével, így: A = 8 = 8 50 cm = 4 4 = 100 cm ª 17 cm. A test feldrbolhtó két négyzet lpú gúlár, melyek lpéle x, mgsság. Így test térfogt: x x V = 50 cm 10 cm 500 = = = cm ª 167 cm 66

38 TÉRGEOMETRIA, TÉRFOGATSZÁMÍTÁS 96. Mivel egy gömb bármelyik síkmetszete kör, ezért metszet egy körlp. Jelöljük kör sugrát r-el! Ekkor Pitgorsz tétele lpján: (1 cm) = (5 cm) + r. Innen r = 1 cm. Tehát sík gömböt egy 1 cm sugrú körben metszi. 96. Mindhárom kérdésre igen válsz, pl.: ) b) c) (A b) és c) ábrán megfelelõ élek felezõpontjit kötöttük össze.) 67