metszéspontjának megjelölésével kaphatjuk. A felezéspont és a kétszeres szakasz bármelyik végpontja meghatározza a szerkesztendô szakaszt.

Átírás

1 Síkgeometri Bevezetés síkgeometriáb Szkszok; sokszögek átlói A szksz kétszeresébôl z eredeti szkszt szkszfelezô merôleges és kétszeres szksz metszéspontjánk megjelölésével kphtjuk A felezéspont és kétszeres szksz bármelyik végpontj meghtározz szerkesztendô szkszt Am-n szksz csk kkor szerkeszthetô, h m - n $ 0 m $ n Egyenlôség esetén keresett szksz 0 hosszúságú Legyen két szksz összege + b, különbsége - b és + b > - b! Az összeg- és különbségszksz összege ngyobb szksz kétszeresét dj ( + b + - b = ), így ennek felezésével ngyobb szkszhoz jutunk Az összeg- és különbségszksz különbsége kisebb szksz kétszeresét dj ( + b - ( - b) = b), így ennek felezésével kisebb szkszhoz jutunk 4 Legyen két dott szksz + b és - b! + b + - b = 4 A4 szksz felének felezésével z egyik szkszhoz jutunk + b - ( - b) = b Ab szksz felezésével másik szkszhoz jutunk 5 CD = CB + BD BD = CD - CB = 8cm; AD = AB + BD = 0cm + 8cm = 8cm 6 ) AC + BD < AB mitt pontok A; C; D; B sorrendben helyezkednek el CD = AB -AC - BD =4 m; b) AC + BD > AB mitt pontok A; D; C; B sorrendben helyezkednek el DC = AC + BD - AB =4, 7 m AB = 5 cm F B = cm ; BC = 7 cm BF = cm; FF = FB + BF= cm 8 Legyen z AB szksz felezôpontj F, z AC szksz felezôpontj pedig F ) eset: B elválsztj A-t és C-t AF= 50 m; AF= 80 m; AF= AF+ FF FF = AF- AF= 0 m eset: A elválsztj B-t és C-t AF= 50 m; FA = 80 m; FF = FA + AF= 0 m b b) eset: C elválsztj A-t és B-t AF= ; AF= ; b AF+ FF= AF FF= AF- AF= - C és F sorrendje nem befolyásolj megoldást b b eset: A elválsztj B-t és C-t AF= ; FA = ; F A+ AF= FF= +

2 0 Bevezetés síkgeometriáb b 9 AC = AB + BC = + b; AF = $ AC = + 0 AP : PB = : x + x = 90m x = 8 m; AP = 6 m; PB = 54 m AP : PB = b: c b $ x + c $ x = x = ; AP = b $ ; PB = c $ b + c b + c b+ c 5 Jelöljük felezôpontot F-fel, : rányú osztópontot G-vel! AF = FB = m; AG: GB= : x + x = 5m x = 7m AG = 4m; AG + GF = AF GF = AF - AG = m 4 Jelöljük felezôpontot F-fel, : rányú osztópontot G-vel! 5 56, 4 4 AF = FB = m= 8, m; AG: GB= : x + x = 56, m x = 6m 5 5 AG = 4m; AG = AF + FG FG = AG - AF =, m 4 AC : CB = : 5 x + 5x = 4cm x = 6cm AC = cm; AD: DB = : 4 x+ 4x= 4cm x= 6cm AD= 8cm; AD= AC + CD CD= AD - AC = 6 cm 5 AC= AB + BC; DB = DC + CB =-CD - BC; AD= AB + BC + CD; AB $ CD + AC $ DB + AD $ BC = = AB $ CD + _ AB + BCi$ #-CD - BC-+ _ AB + BC + CDi$ BC = = AB $ CD -AB $ CD -BC $ CD -AB $ BC - BC + AB $ BC + BC + CD $ BC = 0 A feldt áltlánosíthtó A pontok más sorrendben vló elhelyezkedésekor is fennáll z elôjeles szkszok között felírt összes egyenlôség Például A, D, C, B sorrend esetén: AC = AB - CB = AB + BC; DB = DC + CB =-CD - BC; AD = AB -CB - DC = = AB + BC + CD 6 AC = AB + BC; BD = BC + CD; AD = AB + BC + CD () AC $ BD + CD $ AB = _ AB + BCi $ _ BC + CDi+ CD $ AB = = ` AB + AB $ BC + BC j $ _ BC + CDi + CD $ AB = = AB $ BC + AB $ CD + AB $ BC + AB $ BC $ CD + BC + BC $ CD + CD $ AB () BC $ AD + AB $ BD $ AD = BC $ _ AB + BC + CDi+ AB $ _ BC + CDi$ _ AB + BC + CDi= = AB $ BC + BC + BC $ CD + _ AB $ BC + AB $ CDi$ _ AB + BC + CDi= = AB$ BC + BC + BC $ CD+ AB $ BC+ AB $ CD+ AB$ BC + AB$ BC$ CD+ AB$ CD = = AB $ BC + AB $ CD + AB $ BC + AB $ BC $ CD + BC + BC $ CD + CD $ AB () és () összefüggések jobb oldl egyenlô, tehát z állítás igz 4$ 5$ 4 7 ) 4 pont esetén = 6 lehetséges egyenes vn b) 5 pont esetén = 0 lehetséges $ egyenes vn c) pont esetén = 66 lehetséges egyenes vn d) n pont esetén n$ _ n- i lehetséges egyenes vn Bármely két pont egyetlen egyenest htároz meg, mivel semelyik három nincs egy egyenesen Annyi egyenes vn, hányféleképpen n pontból -t ki lehet válsztni

3 Szögek, szögpárok 8 A kiválsztott csúcsból önmgáb és két szomszédjáb nem indul átló Az egy csúcsból induló átlók szám: ) 5 - = ; b) 6 - = ; c) n - 9 ) Az egyik csúcsból kiinduló átló db háromszöget hoz létre b) Az egy csúcsból kiinduló átlók szám - = 9 Az átló db háromszöget és egy tizenegyszöget hoz létre tizenkétszögbôl A átló újbb háromszöget és egy tízszöget, átló háromszöget és egy kilencszöget, 9 átló 9 háromszöget és még egy háromszöget, zz összesen 0 db-ot hoz létre c) _ n - idb háromszög keletkezik 0 Az n oldlú konvex sokszög egy csúcsából (n - ) db átló húzhtó n- = n= 5 Az n oldlú konvex sokszöget z egy csúcsból induló átlók (n - ) db háromszögre bontják n- = 8 n= 0 n+ _ n- i= 7 n= 0 Az n oldlú sokszög egy csúcsából (n - ) db átló indul n csúcsból n $ (n - ) db átló indul, n$ _ n- i de így minden átlót kétszer számoltunk, tehát z összes átlók szám: A feltétel n$ _ n- i szerint: = 7 Ebbôl pozitív megoldás n = 9 4 ) Egy kiszemelt gyerek minden társávl helyet cserélhet, tehát 6 csereprtnere lehet b) játékos 6 helyre cserélhet 7 játékos 7 $ 6 = 4 helyre, de minden cserében ketten szerepelnek, így vlóságos cserék szám: = 7$ 6 n$ _ n- i 5 Az n oldlú konvex sokszög átlóink szám n$ _ n- i A feltétel szerint: = 6 n Ebbôl pozitív megoldás n = 5 n$ _ n- i 6 Az n oldlú konvex sokszög átlóink szám n$ _ n- i A feltétel szerint: = n Ebbôl pozitív megoldás n = 5 Szögek, szögpárok 7 45 = 90 :, tehát -et kell felezni A szbályos háromszög mindhárom szöge 60, tehát szbályos háromszöget kell szerkeszteni 0 = $ 60, tehát 60 -os szöget kell felezni, 5 = $ 45, tehát 45 -os szöget kell felezni 5 = $ 0 = $ 60, tehát 60 -os szög felét kell felezni 4

4 Bevezetés síkgeometriáb 8 A90 -os és 60 -os szögekbôl szögfelezéssel és összedássl többféleképpen is szerkeszthetôk kérdéses szögek, például: 05 = 60 + $ 90 ; 5, 5 = $ 60 + $ 90 ; 4 75 = $ _ i ; 67, 5 = $ 90 ; 5 = $ Szerkesztési feldt, megoldását z olvsór bízzuk 0 Legyen + b = d z egyik, - b = f másik megdott szög! Az értelmezés mitt > b d és d > f A két egyenlet összegébôl = + f ngyobb szög megkphtó megdott d szögek összegének felezésével Az elsô és második egyenlet különbségébôl b = - f kisebb szög megkphtó megdott szögek különbségének felezésével Legyen + b = d z egyik, - b = f másik megdott szög! Az értelmezés mitt b d > és d> f A két egyenlet összegébôl = + f z egyik szög megkphtó megdott szögek összegének kétszeri felezésével Az elsô és második egyenlet különbségébôl 4 d b = - f másik szög megkphtó megdott szögek különbségének felezésével : b= 7: = 7f és b= f A feltétel szerint: 7f= f+ 7 f= 8 + b= 80 b : = 5 : = 5fés b= f A feltétel szerint: 5f= f+ 54 f= 8 = 90 és b = 6 b 4 + b= 6 es + = 80 b = 7 és = = 80 = 0 A szögek ngyság: 0 ; 40 ; 50 ; 60 6 Jelöljük z elsô és második sugár szögét -vl! = 60 = 4 A keresett szögek: 4 ; 48 ; 96 ; órától óráig rendre muttók áltl bezárt szög: 0 ; 0 ; 60 ; 90 ; 0 ; 50 ; 80 ; 50 (0 ); 0 (40 ); 90 (70 ); 60 (00 ); 0 (0 ) és 0 (60 ) 8 ór ltt kismuttó 0 -ot fordul el ) negyed hét; ór ltt 0 negyedét tette 4 meg, így 6-ostól számítv 7,5 -ot fordult kismuttó A ngymuttó pillntnyi állásávl , 5 = 97, 5 -os szöget zár be b) fél tíz; ór ltt kismuttó 0 felét tette meg, így 5 -ot fordult A ngymuttó pillntnyi állásávl = 05 -os szöget zár be c) háromnegyed öt; ór ltt kismuttó 0 háromnegyedét tette meg, így,5 -ot fordult A ngymuttó pillntnyi állásávl _ 0 -, 5 i= 7, 5 -os szöget zár be 4 9 ór ltt kismuttó 0 -ot fordul el ) ór 0 perc; kismuttó -höz képest $ 0 = 0 -ot, ngymuttó pedig 60 -ot hldt A bezárt szög 60-0 = 50

5 Szögek, szögpárok b) ór perc; kismuttó -hoz képest $ 0 = 6 -ot, ngymuttó pedig 90 + = 60 = 0 -ot hldt A bezárt szög 0-6 = Az ábr jelöléseit hsználv = , 5 = 57, 5 4 = 67, 5 = 45 +, 5 hjó nyugt-észknyugti iránybn hld 4 A repülôgép délkelet felé hld 4 ) 6l=, 6 ; b) 49 9l= 49, 5 ; c) 5 4l8ll= 5, 405 ; d) 7 7l45ll= 7, ) 08, 5 = 08 0l; b) 0, 7 = 0 4l; c) 8, = 8 8l; d) 59, 7 = 59 4l; e) 00, 0 = 00 6ll 45 d = = 4l, mert csúcsszögek; f = = 4l, mert egyállású szögek; v = = 4l, mert váltószögek; b = c = 80-4l = 47 8l, mert mellékszögei; h = ~ = 80-4l = 47 8l, mert társszögei 46 = l = 5 4l 47 = $ _ 80 - i = = 80 - = = 80 - = 90 Akkor egyenlô szög társszögével, h 90 -os 50 ) = $ _ 80 - i = 7 ; b) = $ _ 80 - i = 54 ; 7 c) = $ _ 80 - i = 67, ) + _ 80 - i+ _ 80 - i= $ 80 = 46, 5 ; 6 5 b) + _ 80 - i+ _ 80 - i= $ 80 = A feltételeknek megfelelô merôleges szárú szögek nem egyenlôk, hnem egymás kiegészítô szögei ) = $ _ 80 - i = 5 ; 80 - = 45 ; b) = 4 $ _ 80 - i = 44 ; 80 - = 6 ; c) = $ _ 80 - i = 50 ; 80 - = 0 5

6 4 Bevezetés síkgeometriáb 5 A feltételeknek megfelelô merôleges szárú szögek nem egyenlôk, hnem egymás kiegészítô szögei ) b= + = 80 = 5 ; b= 65 ; b) b= + = = 5 ; b= 45 ; c) b= + = 80 = 40 ; b= TCA-ben CTA = 90 TCA = 90 - Az ABC-ben b = 90 -, így z elôzô állítássl összevetve TCA = b dódik A másik állítás hsonlón beláthtó 55 A párhuzmos szárú konvex szögek ngyság csk kkor különbözhet egymástól, h társszögek + b= 80 ; = b+ 90 ; b b= 80 b= 45 ; = 5 56 A párhuzmos szárú konvex szögek ngyság csk kkor különbözô, h társszögek ) + b= 80 ; b= 90 + ; = 45 ; b= 5 b) + b= 80 ; b= 0 + ; = 0 ; b= 50 c) + b= 80 ; b= 75 + ; = 5, 5 ; b= 7, 5 57 d = $ 90 = 44 ; ADB = 80 - d = 6, mert d-vl társszögek 5 44 ADB-ben DAB = = 7 b 58 $ + $ = 80 f ; f = b + _ i =90 59 _ ; bi= ; felezôje f és b; c = b; _ i felezôje f f = f + b = 90 (; c) = + b = 80 és c egy egyenest lkot 60 A keletkezett szögek vgy csúcsszögek vgy mellékszögek vgy egyállású szögek vgy társszögek A csúcsszögeknek közös szögfelezôjük, mellékszögeknek z 58 feldt állítás szerint merôleges, z egyállású szögeknek párhuzmos, társszögeknek pedig merôleges Az állítás is párhuzmosságot vgy merôlegességet foglmzott meg 6 f = f b mitt z 59 feldt állítását felhsználv: + b = 80 = 5 b= 55 A feltétel szerint: b = = 80 ; 6 Az ábr jelöléseit hsználv: d = 7 7l; B AC M négyszögben 60 = l = 5 4l 6 eset: A tompszög z A csúcsnál vn A 6/ ábr jelöléseivel: d = 47 6l 4ll B AC M négyszögben 60 = l 4ll = 5l8ll

7 Sokszögek szögösszege 5 eset: A tompszög C csúcsnál vn BC M derékszögû háromszögben MBC = 90 - d ; AB B derékszögû háromszögben B BA (= MBC ) = 90 - A két egyenlôséget összevetve: = d = 47 6l4ll 6/ 6/ Sokszögek szögösszege 64 n drb háromszög keletkezett, szögeik összege n $ 80 E szögek közül zok, melyeknek csúcs z dott pont, nem trtoznk sokszög belsô szögeihez, és együtt 60 -ot lkotnk Ezért z állítás igz 65 Az n oldlú konvex sokszög egy csúcsból induló átlói (n - ) db háromszögre bontják sokszöget A háromszögek szögei részben vgy egészen sokszög szögeit lkotják, és sokszög minden szöge ezen háromszögek szögeibôl dódik A sokszög belsô szögeinek összege: (n - ) $ 80 ) négyszög esetében (4 - ) $ 80 = 60 ; b) nyolcszög esetében (8 - ) $ 80 = = 080 ; c) tizenháromszög esetében ( - ) $ 80 = 980 ; d) kilencvenhtszög esetében (96 - ) $ 80 = 6 90 ; 66 A konkáv csúcsból induló átló konkáv négyszöget db háromszögre bontj A négyszög belsô szögeinek összege egyenlô két háromszög belsô szögeinek összegével, zz 60 -kl 67 (n - ) $ 80 = 60 n = Tizenegy oldlú sokszög _ 5 $ ) egyenlô szögû ötszög: 5= - i = 08 ; 5 _ 6 $ 80 b) egyenlô szögû htszög: 6= - i = 0 ; 6 _ 7 $ 80 c) egyenlô szögû hétszög: 7= - i = 8, 57 ; 7 _ 0 - i$ 80 d) egyenlô szögû tízszög: 0= = 44 ; 0 _ n - i$ 80 e) egyenlô szögû n-szög: n= n 69 A bizonyítás indirekt Tegyük fel, hogy négyszög, b, c, d szögei 90 -nál kisebbek! + b + c + d < = 60, mi ellentmond nnk, hogy négyszög belsô szögeinek összege Például: ) 70/ ábr; b) 70/ ábr 7 H bármely két szomszédos oldl merôleges egymásr, kkor sokszögnek csk 90 -os és 70 -os szögei lehetnek Tegyük fel, hogy z (n + k) oldlú sokszögnek n db 90 -os és k db 70 -os szöge vn! A belsô 70/ 70/

8 6 Bevezetés síkgeometriáb szögek összegére fennáll: n $ 90 + k $ 70 = (n + k - ) $ 80 k = n - 4 k és n zonos pritásúk, tehát z összegük ( sokszög oldlszám) páros 7 n oldlú sokszög belsô szögeinek összege: (n - ) $ 80 ; (n + 4) oldlú sokszög belsô szögeinek összege: (n + ) $ 80 A változás 4 $ 80 = 70 növekedés 7 Az n oldlú sokszög belsô szögeinek összege: (n - ) $ 80 = s; n oldlú sokszög belsô szögeinek összege: (n - ) $ 80 = (n - 4) $ = $ (n - ) $ = s + 60 A szögösszeg (s + 60 )-kl nôtt 74 ) Tekintsük háromszög belsô és külsô szögeinek összegét! + l+ b+ bl+ c+ cl= = ; + b+ c+ l+ bl+ cl= 540 ; l+ bl+ cl= 540 -_ + b+ ci= = = 60 b) Az ) pontbn látott gondoltmenetet követjük Az ötszög belsô és külsô szögeinek összege: 5 $ 80 = 900 A belsô szögek összege: 540 A külsô szögek összege: = 60 c) Az ) pontbn látott gondoltmenetet követjük Az n oldlú konvex sokszög belsô és külsô szögeinek összege: n $ 80 ; belsô szögek összege: (n - ) $ 80 A külsô szögek összege: n$ 80 -_ n- i$ 80 = $ 80 = (n - ) $ 80 + l = 846 ; 0<l < 80 ; (n - ) $ l = 46 ; (n - ) $ 80 = 46 - l Az egyenlet bl oldl oszthtó 80-nl A jobb oldl csk kkor lehet oszthtó, h l = 46 n = A sokszög oldlú, külsô szög A feldt feltételei szerint z ötszög belsô szögeinek összege: x + x + x + 4x +5x = 540 x = 6 A keresett szögek: 6 ; 7 ; 08 ; 44 ; 80 Mivel belsô szög nem lehet 80, így ilyen ötszög nem létezik 77 Tekintsük négyszög egyik oldlegyenesén lévô belsô és külsô szögek összegét! + l = = 80 ; b + bl = 80 + b + l + bl = 60 A négyszög belsô szögeinek összege 60 : + b + c + d = 60 = + b + l + bl l + bl = c + d 78 A belsô szögek összege (n - ) $ 80, külsô szögeké 60 _ n - i$ 80 = $ 60 n = 8 oldlú sokszög 79 ) Legyen és c szögfelezôjének metszéspontj M! c AMCB négyszögben AMC = b - = = 68 A két szögfelezô hjlásszöge: 80 - AMC = b b) Legyen és b szögfelezôjének metszéspontj P! ABP-ben d = = = = 8 A két szögfelezô hjlásszöge: d = 8 80 Tekintsük át z egyes háromszögtípusok belsô és külsô szögeinek számát z lábbi táblázt segítségével! Belsô szögek Külsô szögek hegyesszög tompszög derékszög hegyesszög tompszög derékszög Hegyesszögû háromszög db db Derékszögû háromszög db db db db Tompszögû háromszög db db db db A külsô szögek között legfeljebb egy volt hegyesszög és leglább kettô tompszög

9 Háromszögek belsô és külsô szögei 7 84/ 84/ 84/ 8 Jelöljük keresett sokszög oldlink számát n-nel! Tegyük fel, hogy sokszög minden külsô szöge leglább 90! A külsô szögek összege 60, így fennáll 60 $ n $ 90 n # 4 egyenlôtlenség Tehát n $ 5 esetén biztosn vn külsô szögek között hegyesszög 8 Jelöljük háromszög lpját BC-vel, z A-nál lévô külsô szögfelezôt pedig e-vel! _ e; ACi= ; BCA = _ e; ACi= BCA A két egyenlô szög egyik szár ugynnnk z egyenesnek két ellentétes irányú félegyenese, másik száruk fenti egyenes áltl htárolt más-más félsíkbn vn A két szög váltószög e ; l 8 Jelöljük z A csúcsnál lévô külsô szög felezôjét e-vel! ; e c =, mert váltószögek, l l b = = = = = c b= c c= b 84 ATB-ben: d = 90 - b; F z AB lp felezéspontj CF szimmetritengely felezi c c szárszöget és merôleges z lpr CFB-ben: = 90 -b Az állításokból d = dódik 85 Legyen és b szögfelezôjének metszéspontj P, z ABP P-nél lévô külsô szöge d! b c d = + = 90 - < 90, tehát d szögfelezôk hjlásszöge ) d = 90-6, = 7, 7 ; b) d = = 45 ; c) d = l= 4 5l 86 A külsô szögre vontkozó tételbôl: l = b + c; feldt feltétele szerint: l = b A két állítást összevetve: b = c háromszög egyenlô szárú ) A szárszög 60 z lpon fekvô szögek = 60 -osk háromszög szbályos b) Az lpon fekvô szögek 60 -osk szárszög 80 - $ 60 = 60 háromszög szbályos Háromszögek belsô és külsô szögei 88 A feldt feltételei szerint: = 5x; b= 7x; c= 5x+ $ 80 = 5x+ 0 A háromszög belsô szögeinek összege: 5x+ 7x+ 5x+ 0 = 80 x= 0 = 50 ; b= 70 ; 8 c = 60

10 8 Bevezetés síkgeometriáb 89 A feldt feltételei szerint: = 70 ; b = 5x; c = 6x A háromszög belsô szögeinek öszszege: x+ 6x= 80 x= 0 b= 50 ; c= ) A feldt feltételei szerint: = x; b = x; c = x A háromszög belsô szögeinek öszszege: x+ x+ x= 80 x= 0 = 0 ; b= 60 ; c= 90 b) A megoldásmenet )-hoz hsonló: = 45 ; b= 60 ; c= 75 c) A megoldásmenet )-hoz hsonló: = 0 ; b= 70 ; c= 80 9 A feldt feltételei szerint: = 4 4l; b = c + 7, = c + 7 6l A háromszög belsô szögeinek összege: 4 4l+ c+ 7 6l+ c= 80 c= 55 5l b= 8 l 9 A bizonyítás indirekt Tegyük fel, hogy P pontból z e egyenesre két merôleges egyenes húzhtó! Legyen ezeknek e-vel vló metszéspontj T és T! T =Y T A két merôleges egymássl bezárt szöge: c > 0 A T T P belsô szögeinek összege c > 80, mi lehetetlen Nem létezhet két merôleges 9 Legyen l = 87! = 9 Jelöljük 7 -os szöget b-vl! A hrmdik szög c= 80 - _ + bi= A feldt feltételei szerint = cl; b = cl; c = 80 - cl A háromszög belsô szögeinek összege: cl + cl cl= 80 cl= 0 lyen háromszög nem létezik 95 A feldt feltételei szerint l = 8 = 5 ; és bl = 6 b= 64 A belsô szögek összegébôl: c = = Az dott szög szárszög külsô szöge, mivel lpon fekvô szög csk hegyesszög lehet, és hhoz tompszög külsô szög cl = 87 c= 9 háromszög szárszöge Az lpon fekvô cl szögek: = b= =4, 5 cl 97 ) eset: Az dott szög szárszög külsô szöge: cl = 96 c= 84 = b= = 48 eset: Az dott szög z lpon fekvô egyik szög külsô szöge: l = 96 = 84 b= 84 c = 80 - $ 84 = b) 64 -os szög csk szárszög külsô szöge lehet, mivel hozzá tompszög trtozik belsô szögként cl cl = 64 c= 6 = b= = 98 Legyen és b szögfelezôjének metszéspontj P; z ABP P-nél lévô külsô szöge b c d d= + = Jelölje A z A-ból induló, B B-bôl induló mgsság tlppontját, M két mgsságvonl metszéspontját, d # 90 két mgsságvonl hjlásszögét! d z MBA derékszögû háromszögben hegyesszög c és d merôleges szárú szögek ), b) és d) esetben egyenlôk, mert egyránt hegyesszögek, c) esetben c tompszög, ezért c és d kiegészítô szögek ) =, 5 ; b = 75 c= 8, 5 d= 8, 5 hjlásszög b) = 5 ; b= 05 c= 60 d= 60 hjlásszög c) = 0 ; b= 45 c= 05 d= 75 hjlásszög d) = 90 ; b= 0 c= 70 d= 70 hjlásszög

11 Háromszögek belsô és külsô szögei ) Legyen két szögfelezô metszéspontj P és z ABP P-nél lévô külsô szöge d! b 47 4l 7 0l d = + = + = 60 6l; b) Legyen mgsságok tlppontj A, illetve B, metszéspontjuk M! Az m és m b mgsságvonlk szöge B MA C húrnégyszög M-nél levô külsô szöge: d= c= l- 7 0l= = 59 8l 0 Legyen z szögfelezôjének BC oldlll vett metszéspontj P Az APB-ben d P-nél levô külsô szög d = + b = 97 l A hjlásszög 80 - d = l= 8 59l Az ABC-ben: = b= = 75 ) Az ATB belsô szögeinek összegébôl: d= 90 - b= 5 szárhoz trtozó mgsságvonl és z lp áltl bezárt szög b) f= - d= 60 szárhoz trtozó mgsságvonl és másik szár áltl bezárt szög 0 eset: A szárszög hegyesszög A 0 ábr jelöléseit hsználv: A feldt feltételeibôl = b ; f= - ; és f+ d= d= ATB-bôl b= 90 - = 77 = 77 c= = 6 $ eset: A szárszög tompszög A feldt feltételeibôl = b és f= - ; ATB-bôl + f b= = 80 = 4 0l; b = 4 0l c = 80 - $ 4 0l= 0l 04 BTC-bôl d= 90 - b= 6 ; ACB = 90 f= 90 - d= 7 05 Hegyesszögû, tompszögû, vlmint olyn derékszögû háromszög esetén, minek vgy b z átfogój, vizsgált szögek merôleges szárú hegyesszögek, tehát egyenlôk Abbn z esetben, h és b derékszögû háromszög befogói: (; m b ) = (b; m ) = 0 06 eset: A háromszög befogói különbözôk, így feltehetô, hogy b> C! BP; 06 BC C-bôl BCC = 90 -b A szögfelezés mitt BCP =45 CCP = 45 -_ 90 - bi = b - 45 eset: A háromszög egyenlô szárú derékszögû = b= 45 P/ C CCP = 0, mire teljesül, hogy 45 -kl kisebb, mint 45 -os hegyesszögek

12 0 Bevezetés síkgeometriáb Legyen külsô szögfelezôk metszéspontj, f pedig z AQB Q-nál lévô belsô szöge J b N b AQB-ben f = K = + < 90 O külsô szögfelezôk hjlásszöge L P l 08 BCO -ben BCO = c 08 ábr jelölései szerint = b l cl bl 60 - l l CBO CO B = = 80 - = = 90 - Hsonlón beláthtó, hogy CO és AO c B = 90 - c b A = 90 - b 09 Legyen 09 ábr jelölései szerint = 67 ; b = c = 80 ; > b mitt C! AP c C CP = -_ 90 - i= 7 0 eset: 0 < b < <90 A 09 ábr jelöléseit hsználv: b< C! AP CCP = c 80 --b - b = -_ 90 - i= - _ 90 - i = 90 - b - b eset: = 90 A / C ; C CP = = c b - b eset: >90 (0 ábr) C CP = l = = Legyen z szögfelezôjének metszéspontj BC oldlll P! APB külsô szög z APC- ben APB = + c; APC külsô szög z APB-ben APC = + b; J N uapb - APC u = + c - + b = c-b K O L P Az ABC egyenlô szárú háromszög c szárszögének felezôje merôlegesen felezi z AB lpot F-ben Ez zt jelenti, hogy szárszög z AFC = 90 -kl egyenlô c = 90 ; = b= = 45

13 Háromszögek belsô és külsô szögei Legyen z szögfelezôjének metszéspontj BC szárrl P! Az ABC belsô szögeinek 80-6 összegébôl: = = 7 = 6 APB = ABP = 7 ABP egyenlô szárú ACP = c = 6 = = CAP APC egyenlô szárú 4 Legyen z szögfelezôjének metszéspontj BC szárrl P! AP = AB APB = ABP = = Az APB belsô szögeinek összege: + + = 80 = 7 c = 6 A háromszög szögei: 7 ; 7 ; 6 5 A színessel húzott szkszok és z szögszári áltl htárolt egyenlô szárú háromszögekre többször lklmzv háromszög külsô és belsô szögeire vontkozó összefüggéseket: b = 75 6 ) A töröttvonl egyes szkszi z dott szög szárivl rendre 5 -kl ngyobb szögeket zárnk be 5 ; 0 ; 45 ; 60 ; 75 z egymást követô szögek ngyság Ezeket követné 90, mi lezárj sort, mert következô háromszögnek már nem lehet db 90 -os szöge b) n szksz esetén b = (n - ) $ 0 egyenlô szksz fér el, h 90 > 9 0 > 0 -nál kisebbnek kell válsztni -t c) (n + ) szksz esetén b = n $ (n + ) egyenlô szksz fér el, h 90 > n 90 $ > n 7 ADC egyenlô szárú ACD = ADC = 67,5 CEB egyenlô szárú CEB = = ECB = 67,5 ADC = 67,5 = CEB EDC egyenlô szárú, lpon fekvô szögei 67,5 -osk Szárszöge ECD = 80 - $ 67, 5 = ABD egyenlô szárú ABC = ADB = CEB egyenlô szárú CBE = 80 - c c = CEB = DEB-ben belsô szögek összege: DBE + + = c = 80 DBE = + 9 ) eset: AB = AC Egyenlô szárú háromszögben szárszög belsô szögfelezôje merôleges z lpr, külsô szögfelezôje pedig párhuzmos vele Így nem jöhet létre z E pont, és z AD = AE állítás sem teljesülhet eset: AB > AC AB > AC B, D, C, E pontok sorrendje AD = AE és AD merôleges AE mitt z ADE egyenlô szárú derékszögû ADE = 45 ADE külsô szöge z ABD-nek + b= 45 c= b= 80 -_ 90 -bi- b= 90 + b eset: AB < AC AB < AC E, B, D, C pontok sorrendje AD = AE és AD merôleges AE mitt z ADE egyenlô szárú derékszögû ADE = 45 ADE külsô szöge z ACD-nek + c= 45 b= c= 80 -_ 90 -ci- c= 90 + c b) c = 4 esetén c = 90 + b egyenlôség nem teljesülhet, így AB < AC összefüggés áll fenn z oldlk között = ; b= 4

14 Bevezetés síkgeometriáb 0 AB AC ABC = = ACB = 90 - AD = AC és DAC külsô szöge ADC = ACD = BCD = = 90 AB + AC > BC B, F, E, C pontok sorrendje AB = BE BEA = BAE = = 90 - b AC = CF FAC = AFC = 90 - c ECA E-nél fekvô külsô szöge FEA = = 90 - b b A külsô szög tétel mitt FEA = ECA + EAC 90 - = c + EAC b c J b N EAC = c FAE = FAC - EAC = c = K O L P b c = + Legyen szögfelezô metszéspontj AB-vel P; z A-ból húzott párhuzmos metszéspontj BC egyenessel pedig Q! PC ; AQ BCP = BQA = c, mert egyállású szögek PC ; AQ PCA = CAQ = c, mert váltószögek Az állításokból CAQ egyenlô szárú CA = CQ Legyen szögfelezô metszéspontj AB-vel Q A PAC egyenlô szárú, külsô szöge c c PAC = APC = d = A szögfelezés mitt BCQ = c Mivel Q és A PB egyenes áltl htárolt ugynzon félsíkbn tlálhtók, APC = QCB egyállású szögek AP ; QC 4 Az ABC belsô szögeinek összege: d + { + f = 80 d + { + f = 90 Az ABT belsô szögeinek összege: d + { + f + ATB = 80 ATB = 90 AT=CB AT mgsságvonl z ABC-ben Hsonlón beláthtó z állítás többi szkszr is 5 AP = PB APB = 80 - { BP = PC BPC = 80 - d CP = PA CPA = = 80 - f Az ABC belsô szögeinek összege: { + d + f = 80 Felhsználv z = f + { egyenlôséget d = 80 - dódik BPC = 80 -_ 80 - i= Hsonlón beláthtó, hogy APB = c és CPA = b 6 Legyen F z AB oldl felezéspontj és AB = CF! BCF és ACF egyenlô szárú CAF = ACF = d és FCB = CBF = f Az ABC belsô szögeinek összege: d+ f= = 80 d+ f = 90 ACB =90 4 5

15 Háromszögek belsô és külsô szögei Legyen z ABC lpj AB, meghosszbbítássl nyert pont C*! A háromszög egyenlô szárú CAB = CBA = = ; CB = CC* CC*B = CBC* = f ABC*-ben + ( + f) + f = 80 + f = 90 ABC* = 90 8 A hrmdszkszok egyenlôsége mitt G A = AE ; ABC szbályos G AE = 60 A két megállpításból következik, hogy z AE G szbályos GE= E A= = EE GEE egyenlô szárú, szárszögének külsô szöge 60 { = 0 AG E = = 90 Az állítás többi szögre is hsonlón beláthtó 9 KQ 45 -os középponti szögû AC : sugrú AQK körcikk húrj KP 45 -os középponti szögû BD := AC : sugrú körcikk húrj KP = KQ () Hsonlón: KP = KR = KS = = = KZ AKQ egyenlô szárú + 45 = + { { = = 45 (); AKB = 90 = 45 : és QKR = $ = 45 () Az (), () és () állításokból következik, hogy PQR Z nyolcszög szbályos, mert K középpontú 45 -os forgásszimmetriáj vn 0 A meghosszbbítássl egybevágó egyenlô szárú derékszögû háromszögek keletkeznek: ABO, FBK, EAJ EF = EJ + JK + KF = + e keletkezett négyzet oldl FD = DC = FDC egyenlô szárú DFC = = FCD = ; EFC-ben EFC = 45 + ; FCE = EFC = FCE ECF egyenlô szárú Az ABC egyenlô szárú derékszögû: CAB = ECF = 45 EFC = 45 CE = EF; AB = AE ABE = AEB = 67,5 f = ~ = 90-67, 5 =, 5 EF = FB

16 4 Bevezetés síkgeometriáb 4 PCB derékszögû és PBC = b CPB = 90 - b ABC egyenlô szárú CF merôlegesen felezi AB-t FBQ derékszögû FQB = 90 - b PQC és FQB csúcsszögek PQC = FQB = 90 - b Az állításokból CPQ = PQC = 90 - b CPQ egyenlô szárú CP = CQ 4 O P P = O P P =, mert váltószögek O P E = O EP =, mert O P E egyenlô szárú O P E = O EP =, mert O P E egyenlô szárú O EP = O EP = O, E, O egy egyenesen vn és P, P z O O egyenes áltl htárolt más-más félsíkbn vn O EP és O EP csúcsszögek másik száruk is egy egyenesen vn P, E, P egy egyenesen vnnk 5 XAC egyenlô szárú, külsô szöge CAB = CXA = XCA = YBC egyenlô szárú, külsô szöge ABC = b BYC = YCB = b XCY = XCA + ACB + BCY = b 80 - c c = + c + = c + = DOA = OAB, DA = DO EOB = OBA = b, mert váltószögek EBO egyenlô szárú, mert két szöge b EB = EO Az láhúzott állításokból DE = DO + OE = DA + EB = mert váltószögek DOA egyenlô szárú, mert két szöge Összefüggések háromszög oldli és szögei között 7 Legyen T P külsô pontból z e egyenesre állított merôleges tlppontj! Legyen Q =Y T z e egyenes tetszôleges pontj! A PQT derékszögû háromszögben PQ átfogó, PT befogó Mivel legngyobb szöggel szemben vn legngyobb oldl, így PQ > PT Tehát lehetséges összekötô szkszok közül PT legrövidebb 8 Az ABC C derékszögû csúcsánk vetülete z átfogór T ATC derékszögû háromszögben AC átfogó ngyobb, mint AT befogó: AC > AT BTC derékszögû háromszögben BC átfogó ngyobb, mint BT befogó: BC > BT