I. Síkgeometria. Bevezetés a síkgeometriába. & b) AC + BD > AB miatt a pontok A; D; C; B sorrendben helyezkednek el. Szakaszok; sokszögek átlói

Átírás

1 Síkgeometri Bevezetés síkgeometriáb Szkszok; sokszögek átlói A szksz kétszeresébôl z eredeti szkszt szkszfelezô merôleges és kétszeres szksz metszéspontjánk megjelölésével kphtjuk A felezéspont és kétszeres szksz bármelyik végpontj meghtározz szerkesztendô szkszt A3m-n szksz sk kkor szerkeszthetô, h 3m - n $ 0 m $ n Egyenlôség esetén keresett szksz 0 hosszúságú 3 Legyen két szksz összege + b, különbsége - b és + b > - b! Az összeg- és különbségszksz összege ngyobb szksz kétszeresét dj ( + b + - b = ), így ennek felezésével ngyobb szkszhoz jutunk Az összeg- és különbségszksz különbsége kisebb szksz kétszeresét dj ( + b - ( - b) = b), így ennek felezésével kisebb szkszhoz jutunk 4 Legyen két dott szksz + b és - b! + b + - b = 4 A4 szksz felének felezésével z egyik szkszhoz jutunk + b - ( - b) = b Ab szksz felezésével másik szkszhoz jutunk 5 CD = CB + BD BD = CD - CB = 8m; AD = AB + BD = 0m + 8m = 8m 6 ) AC + BD < AB mitt pontok A; C; D; B sorrendben helyezkednek el CD = AB -AC - BD =4 m; b) AC + BD > AB mitt pontok A; D; C; B sorrendben helyezkednek el DC = AC + BD - AB =4, 7 m AB = 5 m F B = m ; BC = 7 m BF = m; FF = FB + BF= m 8 Legyen z AB szksz felezôpontj F, z AC szksz felezôpontj pedig F ) eset: B elválsztj A-t és C-t AF= 50 m; AF= 80 m; AF = AF + F F F F = AF - AF = 30 m eset: A elválsztj B-t és C-t AF= 50 m; FA = 80 m; FF = FA + AF= 30 m b b) eset: C elválsztj A-t és B-t AF= ; AF= ; b AF+ FF= AF FF= AF- AF= - C és F sorrendje nem befolyásolj megoldást b b eset: A elválsztj B-t és C-t AF= ; FA = ; F A+ AF= FF= + 3

2 0 Bevezetés síkgeometriáb b 9 AC = AB + BC = + b; AF = $ AC = + 0 AP : PB = : 3 x + 3x = 90m x = 8 m; AP = 36 m; PB = 54 m AP : PB = b: b $ x + $ x = x = ; AP = b $ ; PB = $ b + b + b+ 35 Jelöljük felezôpontot F-fel, : 3 rányú osztópontot G-vel! AF = FB = m; AG: GB= : 3 x + 3x = 35m x = 7m AG = 4m; AG + GF = AF GF = AF - AG = 3 m 4 3 Jelöljük felezôpontot F-fel, : rányú osztópontot G-vel! , 4 4 AF = FB = m= 8, m; AG: GB= : x + x = 56, m x = 6m AG = 4m; AG = AF + FG FG = AG - AF =, m 4 AC : CB = : 5 x + 5x = 4m x = 6m AC = m; AD: DB = 3: 4 3x+ 4x= 4m x= 6m AD= 8m; AD= AC + CD CD= AD - AC = 6 m 5 AC= AB + BC; DB = DC + CB =-CD - BC; AD= AB + BC + CD; AB $ CD + AC $ DB + AD $ BC = = AB $ CD + _ AB + BCi$ #-CD - BC-+ _ AB + BC + CDi$ BC = = AB $ CD -AB $ CD -BC $ CD -AB $ BC - BC + AB $ BC + BC + CD $ BC = 0 A feldt áltlánosíthtó A pontok más sorrendben vló elhelyezkedésekor is fennáll z elôjeles szkszok között felírt összes egyenlôség Például A, D, C, B sorrend esetén: AC = AB - CB = AB + BC; DB = DC + CB =-CD - BC; AD = AB -CB - DC = = AB + BC + CD 6 AC = AB + BC; BD = BC + CD; AD = AB + BC + CD () AC $ BD + CD $ AB = _ AB + BCi $ _ BC + CDi+ CD $ AB = = ` AB + AB $ BC + BC j $ _ BC + CDi + CD $ AB = = AB $ BC + AB $ CD + AB $ BC + AB $ BC $ CD + BC 3 + BC $ CD + CD $ AB () BC $ AD + AB $ BD $ AD = BC $ _ AB + BC + CDi+ AB $ _ BC + CDi$ _ AB + BC + CDi= = AB $ BC + BC 3 + BC $ CD + _ AB $ BC + AB $ CDi$ _ AB + BC + CDi= = AB$ BC + BC 3 + BC $ CD+ AB $ BC+ AB $ CD+ AB$ BC + AB$ BC$ CD+ AB$ CD = 3 = AB $ BC + AB $ CD + AB $ BC + AB $ BC $ CD + BC + BC $ CD + CD $ AB () és () összefüggések jobb oldl egyenlô, tehát z állítás igz 4$ 3 5$ 4 7 ) 4 pont esetén = 6 lehetséges egyenes vn b) 5 pont esetén = 0 lehetséges $ egyenes vn ) pont esetén = 366 lehetséges egyenes vn d) n pont esetén n$ _ n- i lehetséges egyenes vn Bármely két pont egyetlen egyenest htároz meg, mivel semelyik három nins egy egyenesen Annyi egyenes vn, hányféleképpen n pontból -t ki lehet válsztni

3 Szögek, szögpárok 8 A kiválsztott súsból önmgáb és két szomszédjáb nem indul átló Az egy súsból induló átlók szám: ) 5-3 = ; b) 6-3 = 3; ) n 3-9 ) Az egyik súsból kiinduló átló 3 db háromszöget hoz létre b) Az egy súsból kiinduló átlók szám - 3 = 9 Az átló db háromszöget és egy tizenegyszöget hoz létre tizenkétszögbôl A átló újbb háromszöget és egy tízszöget, 3 átló 3 háromszöget és egy kilenszöget, 9 átló 9 háromszöget és még egy háromszöget, zz összesen 0 db-ot hoz létre ) _ n - idb háromszög keletkezik 0 Az n oldlú konvex sokszög egy súsából (n - 3) db átló húzhtó n- 3= n= 5 Az n oldlú konvex sokszöget z egy súsból induló átlók (n - ) db háromszögre bontják n- = 8 n= 0 n+ _ n- 3i= 7 n= 0 3 Az n oldlú sokszög egy súsából (n - 3) db átló indul n súsból n $ (n - 3) db átló indul, n$ _ n- 3i de így minden átlót kétszer számoltunk, tehát z összes átlók szám: A feltétel n$ _ n- 3i szerint: = 7 Ebbôl pozitív megoldás n = 9 4 ) Egy kiszemelt gyerek minden társávl helyet serélhet, tehát 6 sereprtnere lehet b) játékos 6 helyre serélhet 7 játékos 7 $ 6 = 4 helyre, de minden serében ketten szerepelnek, így vlóságos serék szám: = 7$ 6 n$ _ n- 3i 5 Az n oldlú konvex sokszög átlóink szám n$ _ n- 3i A feltétel szerint: = 6 n Ebbôl pozitív megoldás n = 5 n$ _ n- 3i 6 Az n oldlú konvex sokszög átlóink szám n$ _ n- 3i A feltétel szerint: = n Ebbôl pozitív megoldás n = 5 Szögek, szögpárok 7 45 = 90 :, tehát -et kell felezni A szbályos háromszög mindhárom szöge 60, tehát szbályos háromszöget kell szerkeszteni 30 = $ 60, tehát 60 -os szöget kell felezni, 5 = $ 45, tehát 45 -os szöget kell felezni 5 = $ 30 = $ 60, tehát 60 -os szög felét kell felezni 4

4 Bevezetés síkgeometriáb 8 A90 -os és 60 -os szögekbôl szögfelezéssel és összedássl többféleképpen is szerkeszthetôk kérdéses szögek, például: 05 = 60 + $ 90 ; 5, 5 = $ 60 + $ 90 ; = $ _ i ; 67, 5 = $ 90 ; 35 = $ Szerkesztési feldt, megoldását z olvsór bízzuk 30 Legyen + b = d z egyik, - b = f másik megdott szög! Az értelmezés mitt > b d és d > f A két egyenlet összegébôl = + f ngyobb szög megkphtó megdott d szögek összegének felezésével Az elsô és második egyenlet különbségébôl b = - f kisebb szög megkphtó megdott szögek különbségének felezésével 3 Legyen + b = d z egyik, - b = f másik megdott szög! Az értelmezés mitt b d > és d> f A két egyenlet összegébôl = + f z egyik szög megkphtó megdott szögek összegének kétszeri felezésével Az elsô és második egyenlet különbségébôl 4 d b = - f másik szög megkphtó megdott szögek különbségének felezésével 3 : b= 7: 3 = 7f és b= 3f A feltétel szerint: 7f= 3f+ 7 f= 8 + b= b : = 5 : = 5fés b= f A feltétel szerint: 5f= f+ 54 f= 8 = 90 és b = 36 b 34 + b= 6 es + = 80 b = 7 és = = 80 = 30 A szögek ngyság: 30 ; 40 ; 50 ; Jelöljük z elsô és második sugár szögét -vl! = 360 = 4 A keresett szögek: 4 ; 48 ; 96 ; órától óráig rendre muttók áltl bezárt szög: 0 ; 30 ; 60 ; 90 ; 0 ; 50 ; 80 ; 50 (0 ); 0 (40 ); 90 (70 ); 60 (300 ); 30 (330 ) és 0 (360 ) 38 ór ltt kismuttó 30 -ot fordul el ) negyed hét; ór ltt 30 negyedét tette 4 meg, így 6-ostól számítv 7,5 -ot fordult kismuttó A ngymuttó pillntnyi állásávl , 5 = 97, 5 -os szöget zár be b) fél tíz; ór ltt kismuttó 30 felét tette meg, így 5 -ot fordult A ngymuttó pillntnyi állásávl = 05 -os szöget zár be 3 ) háromnegyed öt; ór ltt kismuttó 30 háromnegyedét tette meg, így,5 -ot fordult A ngymuttó pillntnyi állásávl _ 30 -, 5 i= 7, 5 -os szöget zár be 4 39 ór ltt kismuttó 30 -ot fordul el ) ór 0 per; kismuttó -höz képest $ 30 = 0 -ot, ngymuttó pedig 60 -ot hldt A bezárt szög 60-0 = 50 3

5 Szögek, szögpárok b) 3 ór 3 per; kismuttó 3-hoz képest $ 30 = 6 -ot, ngymuttó pedig 90 + = 60 = 0 -ot hldt A bezárt szög 0-6 = Az ábr jelöléseit hsználv = , 5 = 57, 5 4 = 67, 5 = 45 +, 5 hjó nyugt-észknyugti iránybn hld 4 A repülôgép délkelet felé hld 43 ) 36l=, 6 ; b) 49 9l= 49, 5 ; ) 5 4l8ll= 5, 405 ; d) 7 7l45ll= 7, ) 08, 5 = 08 30l; b) 0, 7 = 0 4l; ) 8, 3 = 8 8l; d) 59, 7 = 59 4l; e) 00, 0 = 00 36ll 45 d = = 3 4l, mert sússzögek; f = = 3 4l, mert egyállású szögek; v = = 3 4l, mert váltószögek; b = = l = 47 8l, mert mellékszögei; h = ~ = l = 47 8l, mert társszögei 46 = l = 53 4l 47 = $ _ 80 - i = = 80 - = = 80 - = 90 Akkor egyenlô szög társszögével, h 90 -os 3 50 ) = $ _ 80 - i = 7 ; b) = $ _ 80 - i = 54 ; ) = $ _ 80 - i = 67, ) + _ 80 - i+ _ 80 - i= $ 80 = 46, 5 ; 6 5 b) + _ 80 - i+ _ 80 - i= $ 80 = A feltételeknek megfelelô merôleges szárú szögek nem egyenlôk, hnem egymás kiegészítô szögei ) = 3 $ _ 80 - i = 35 ; 80 - = 45 ; b) = 4 $ _ 80 - i = 44 ; 80 - = 36 ; ) = 3 $ _ 80 - i = 50 ; 80 - = 30 5

6 4 Bevezetés síkgeometriáb 53 A feltételeknek megfelelô merôleges szárú szögek nem egyenlôk, hnem egymás kiegészítô szögei ) b= + = 80 = 5 ; b= 65 ; b) b= + = = 35 ; b= 45 ; ) b= + = 80 = 40 ; b= TCA3-ben CTA = 90 TCA = 90 - Az ABC3-ben b = 90 -, így z elôzô állítássl összevetve TCA = b dódik A másik állítás hsonlón beláthtó 55 A párhuzmos szárú konvex szögek ngyság sk kkor különbözhet egymástól, h társszögek + b= 80 ; = b+ 90 ; b b= 80 b= 45 ; = A párhuzmos szárú konvex szögek ngyság sk kkor különbözô, h társszögek ) + b= 80 ; b= 90 + ; = 45 ; b= 35 b) + b= 80 ; b= 0 + ; = 30 ; b= 50 ) + b= 80 ; b= 75 + ; = 5, 5 ; b= 7, d = $ 90 = 44 ; ADB = 80 - d = 36, mert d-vl társszögek 5 44 ADB3-ben DAB = = 7 b 58 $ + $ = 80 f ; f = b + _ i =90 59 _ ; bi= ; felezôje f és b; = b; _ i felezôje f f = f + b = 90 (; ) = + b = 80 és egy egyenest lkot 60 A keletkezett szögek vgy sússzögek vgy mellékszögek vgy egyállású szögek vgy társszögek A sússzögeknek közös szögfelezôjük, mellékszögeknek z 58 feldt állítás szerint merôleges, z egyállású szögeknek párhuzmos, társszögeknek pedig merôleges Az állítás is párhuzmosságot vgy merôlegességet foglmzott meg 6 f = f b mitt z 59 feldt állítását felhsználv: + b = 80 = 5 b= 55 A feltétel szerint: b = = 80 ; 6 Az ábr jelöléseit hsználv: d = 7 7l; B AC M négyszögben 360 = l = 5 43l 63 eset: A tompszög z A súsnál vn A 63/ ábr jelöléseivel: d = 47 6l 4ll B AC M négyszögben 360 = l 4ll = 3 53l8ll

7 Sokszögek szögösszege 5 eset: A tompszög C súsnál vn BC M derékszögû háromszögben MBC = 90 - d ; AB B derékszögû háromszögben B BA (= MBC ) = 90 - A két egyenlôséget összevetve: = d = 47 6l4ll 63/ 63/ Sokszögek szögösszege 64 n drb háromszög keletkezett, szögeik összege n $ 80 E szögek közül zok, melyeknek sús z dott pont, nem trtoznk sokszög belsô szögeihez, és együtt 360 -ot lkotnk Ezért z állítás igz 65 Az n oldlú konvex sokszög egy súsból induló átlói (n - ) db háromszögre bontják sokszöget A háromszögek szögei részben vgy egészen sokszög szögeit lkotják, és sokszög minden szöge ezen háromszögek szögeibôl dódik A sokszög belsô szögeinek összege: (n - ) $ 80 ) négyszög esetében (4 - ) $ 80 = 360 ; b) nyolszög esetében (8 - ) $ 80 = = 080 ; ) tizenháromszög esetében (3 - ) $ 80 = 980 ; d) kilenvenhtszög esetében (96 - ) $ 80 = 6 90 ; 66 A konkáv súsból induló átló konkáv négyszöget db háromszögre bontj A négyszög belsô szögeinek összege egyenlô két háromszög belsô szögeinek összegével, zz 360 -kl 67 (n - ) $ 80 = 60 n = Tizenegy oldlú sokszög _ 5 $ ) egyenlô szögû ötszög: 5= - i = 08 ; 5 _ 6 $ 80 b) egyenlô szögû htszög: 6= - i = 0 ; 6 _ 7 $ 80 ) egyenlô szögû hétszög: 7= - i = 8, 57 ; 7 _ 0 - i$ 80 d) egyenlô szögû tízszög: 0= = 44 ; 0 _ n - i$ 80 e) egyenlô szögû n-szög: n= n 69 A bizonyítás indirekt Tegyük fel, hogy négyszög, b,, d szögei 90 -nál kisebbek! + b + + d < = 360, mi ellentmond nnk, hogy négyszög belsô szögeinek összege Például: ) 70/ ábr; b) 70/ ábr 7 H bármely két szomszédos oldl merôleges egymásr, kkor sokszögnek sk 90 -os és 70 -os szögei lehetnek Tegyük fel, hogy z (n + k) oldlú sokszögnek n db 90 -os és k db 70 -os szöge vn! A belsô 70/ 70/

8 6 Bevezetés síkgeometriáb szögek összegére fennáll: n $ 90 + k $ 70 = (n + k - ) $ 80 k = n - 4 k és n zonos pritásúk, tehát z összegük ( sokszög oldlszám) páros 7 n oldlú sokszög belsô szögeinek összege: (n - ) $ 80 ; (n + 4) oldlú sokszög belsô szögeinek összege: (n + ) $ 80 A változás 4 $ 80 = 70 növekedés 73 Az n oldlú sokszög belsô szögeinek összege: (n - ) $ 80 = s; n oldlú sokszög belsô szögeinek összege: (n - ) $ 80 = (n - 4) $ = $ (n - ) $ = s A szögösszeg (s )-kl nôtt 74 ) Tekintsük háromszög belsô és külsô szögeinek összegét! + l+ b+ bl+ + l= = ; + b+ + l+ bl+ l= 540 ; l+ bl+ l= 540 -_ + b+ i= = = 360 b) Az ) pontbn látott gondoltmenetet követjük Az ötszög belsô és külsô szögeinek összege: 5 $ 80 = 900 A belsô szögek összege: 540 A külsô szögek összege: = 360 ) Az ) pontbn látott gondoltmenetet követjük Az n oldlú konvex sokszög belsô és külsô szögeinek összege: n $ 80 ; belsô szögek összege: (n - ) $ 80 A külsô szögek összege: n$ 80 -_ n- i$ 80 = $ 80 = (n - ) $ 80 + l = 846 ; 0<l < 80 ; (n - ) $ l = 46 ; (n - ) $ 80 = 46 - l Az egyenlet bl oldl oszthtó 80-nl A jobb oldl sk kkor lehet oszthtó, h l = 46 n = A sokszög oldlú, külsô szög A feldt feltételei szerint z ötszög belsô szögeinek összege: x + x + 3x + 4x +5x = 540 x = 36 A keresett szögek: 36 ; 7 ; 08 ; 44 ; 80 Mivel belsô szög nem lehet 80, így ilyen ötszög nem létezik 77 Tekintsük négyszög egyik oldlegyenesén lévô belsô és külsô szögek összegét! + l = = 80 ; b + bl = 80 + b + l + bl = 360 A négyszög belsô szögeinek összege 360 : + b + + d = 360 = + b + l + bl l + bl = + d 78 A belsô szögek összege (n - ) $ 80, külsô szögeké 360 _ n - i$ 80 = 3 $ 360 n = 8 oldlú sokszög 79 ) Legyen és szögfelezôjének metszéspontj M! AMCB négyszögben AMC = b - = = 68 A két szögfelezô hjlásszöge: 80 - AMC = b b) Legyen és b szögfelezôjének metszéspontj P! ABP3-ben d = = = = 83 A két szögfelezô hjlásszöge: d = Tekintsük át z egyes háromszögtípusok belsô és külsô szögeinek számát z lábbi táblázt segítségével! Belsô szögek Külsô szögek hegyesszög tompszög derékszög hegyesszög tompszög derékszög Hegyesszögû háromszög 3 db 3 db Derékszögû háromszög db db db db Tompszögû háromszög db db db db A külsô szögek között legfeljebb egy volt hegyesszög és leglább kettô tompszög

9 Háromszögek belsô és külsô szögei 7 84/ 84/ 84/ 8 Jelöljük keresett sokszög oldlink számát n-nel! Tegyük fel, hogy sokszög minden külsô szöge leglább 90! A külsô szögek összege 360, így fennáll 360 $ n $ 90 n # 4 egyenlôtlenség Tehát n $ 5 esetén biztosn vn külsô szögek között hegyesszög 8 Jelöljük háromszög lpját BC-vel, z A-nál lévô külsô szögfelezôt pedig e-vel! _ e; ACi= ; BCA = _ e; ACi= BCA A két egyenlô szög egyik szár ugynnnk z egyenesnek két ellentétes irányú félegyenese, másik száruk fenti egyenes áltl htárolt más-más félsíkbn vn A két szög váltószög e ; l 83 Jelöljük z A súsnál lévô külsô szög felezôjét e-vel! ; e =, mert váltószögek, l l b = = = = = b= = b 84 ATB3-ben: d = 90 - b; F z AB lp felezéspontj CF szimmetritengely felezi szárszöget és merôleges z lpr CFB3-ben: = 90 -b Az állításokból d = dódik 85 Legyen és b szögfelezôjének metszéspontj P, z ABP3 P-nél lévô külsô szöge d! b d = + = 90 - < 90, tehát d szögfelezôk hjlásszöge ) d = 90-6, 3 = 73, 7 ; b) d = = 45 ; ) d = l= 4 53l 86 A külsô szögre vontkozó tételbôl: l = b + ; feldt feltétele szerint: l = b A két állítást összevetve: b = háromszög egyenlô szárú ) A szárszög 60 z lpon fekvô szögek = 60 -osk háromszög szbályos b) Az lpon fekvô szögek 60 -osk szárszög 80 - $ 60 = 60 háromszög szbályos Háromszögek belsô és külsô szögei 88 A feldt feltételei szerint: = 5x; b= 7x; = 5x+ $ 80 = 5x+ 0 A háromszög belsô szögeinek összege: 5x+ 7x+ 5x+ 0 = 80 x= 0 = 50 ; b= 70 ; 8 = 60

10 8 Bevezetés síkgeometriáb 89 A feldt feltételei szerint: = 70 ; b = 5x; = 6x A háromszög belsô szögeinek öszszege: x+ 6x= 80 x= 0 b= 50 ; = ) A feldt feltételei szerint: = x; b = x; = 3x A háromszög belsô szögeinek öszszege: x+ x+ 3x= 80 x= 30 = 30 ; b= 60 ; = 90 b) A megoldásmenet )-hoz hsonló: = 45 ; b= 60 ; = 75 ) A megoldásmenet )-hoz hsonló: = 30 ; b= 70 ; = 80 9 A feldt feltételei szerint: = 4 4l; b = + 7, = + 7 6l A háromszög belsô szögeinek összege: 4 4l l+ = 80 = 55 5l b= 8 l 9 A bizonyítás indirekt Tegyük fel, hogy P pontból z e egyenesre két merôleges egyenes húzhtó! Legyen ezeknek e-vel vló metszéspontj T és T! T =Y T A két merôleges egymássl bezárt szöge: > 0 A T T P3 belsô szögeinek összege > 80, mi lehetetlen Nem létezhet két merôleges 93 Legyen l = 87! = 93 Jelöljük 7 -os szöget b-vl! A hrmdik szög = 80 - _ + bi= A feldt feltételei szerint = l; b = 3l; = 80 - l A háromszög belsô szögeinek összege: l + 3l l= 80 l= 0 lyen háromszög nem létezik 95 A feldt feltételei szerint l = 8 = 5 ; és bl = 6 b= 64 A belsô szögek összegébôl: = = Az dott szög szárszög külsô szöge, mivel lpon fekvô szög sk hegyesszög lehet, és hhoz tompszög külsô szög l = 87 = 93 háromszög szárszöge Az lpon fekvô l szögek: = b= =43, 5 l 97 ) eset: Az dott szög szárszög külsô szöge: l = 96 = 84 = b= = 48 eset: Az dott szög z lpon fekvô egyik szög külsô szöge: l = 96 = 84 b= 84 = 80 - $ 84 = b) 64 -os szög sk szárszög külsô szöge lehet, mivel hozzá tompszög trtozik belsô szögként l l = 64 = 6 = b= = 3 98 Legyen és b szögfelezôjének metszéspontj P; z ABP3 P-nél lévô külsô szöge b d d= + = Jelölje A z A-ból induló, B B-bôl induló mgsság tlppontját, M két mgsságvonl metszéspontját, d # 90 két mgsságvonl hjlásszögét! d z MBA derékszögû háromszögben hegyesszög és d merôleges szárú szögek ), b) és d) esetben egyenlôk, mert egyránt hegyesszögek, ) esetben tompszög, ezért és d kiegészítô szögek ) =, 5 ; b = 75 = 8, 5 d= 8, 5 hjlásszög b) = 5 ; b= 05 = 60 d= 60 hjlásszög ) = 30 ; b= 45 = 05 d= 75 hjlásszög d) = 90 ; b= 0 = 70 d= 70 hjlásszög

11 Háromszögek belsô és külsô szögei ) Legyen két szögfelezô metszéspontj P és z ABP3 P-nél lévô külsô szöge d! b 47 4l 73 0l d = + = + = 60 6l; b) Legyen mgsságok tlppontj A, illetve B, metszéspontjuk M! Az m és m b mgsságvonlk szöge B MA C húrnégyszög M-nél levô külsô szöge: d= = l- 73 0l= = 59 8l 0 Legyen z szögfelezôjének BC oldlll vett metszéspontj P Az APB3-ben d P-nél levô külsô szög d = + b = 97 l A hjlásszög 80 - d = l= 8 59l Az ABC3-ben: = b= = 75 ) Az ATB3 belsô szögeinek összegébôl: d= 90 - b= 5 szárhoz trtozó mgsságvonl és z lp áltl bezárt szög b) f= - d= 60 szárhoz trtozó mgsságvonl és másik szár áltl bezárt szög 03 eset: A szárszög hegyesszög A 0 ábr jelöléseit hsználv: A feldt feltételeibôl = b ; f= -3 ; és f+ d= d= 3 ATB3-bôl b= 90-3 = 77 = 77 = = 6 $ eset: A szárszög tompszög A feldt feltételeibôl = b és f= -3 ; ATB3-bôl + f b= = 80 = 34 0l; b = 34 0l = 80 - $ 34 0l= 0l 04 BTC3-bôl d= 90 - b= 63 ; ACB = 90 f= 90 - d= 7 05 Hegyesszögû, tompszögû, vlmint olyn derékszögû háromszög esetén, minek vgy b z átfogój, vizsgált szögek merôleges szárú hegyesszögek, tehát egyenlôk Abbn z esetben, h és b derékszögû háromszög befogói: (; m b ) = (b; m ) = 0 06 eset: A háromszög befogói különbözôk, így feltehetô, hogy b> C! BP; 06 BC C3-bôl BCC = 90 -b A szögfelezés mitt BCP =45 CCP = 45 -_ 90 - bi = b - 45 eset: A háromszög egyenlô szárú derékszögû = b= 45 P/ C CCP = 0, mire teljesül, hogy 45 -kl kisebb, mint 45 -os hegyesszögek

12 0 Bevezetés síkgeometriáb Legyen külsô szögfelezôk metszéspontj, f pedig z AQB3 Q-nál lévô belsô szöge J b N b AQB3-ben f = K = + < 90 O külsô szögfelezôk hjlásszöge L P l 08 BCO 3-ben BCO = 08 ábr jelölései szerint = b l l bl l l CBO CO B = = 80 - = = 90 - Hsonlón beláthtó, hogy CO és AO B = 90 - b A = 90 - b 09 Legyen 09 ábr jelölései szerint = 67 ; b = 33 = 80 ; > b mitt C! AP C CP = -_ 90 - i= 7 0 eset: 0 < b < <90 A 09 ábr jelöléseit hsználv: b< C! AP CCP = 80 --b - b = -_ 90 - i= - _ 90 - i = 90 - b - b eset: = 90 A / C ; C CP = = b - b 3 eset: >90 (0 ábr) C CP = l = = Legyen z szögfelezôjének metszéspontj BC oldlll P! APB külsô szög z APC3- ben APB = + ; APC külsô szög z APB3-ben APC = + b; J N uapb - APC u = b = -b K O L P Az ABC egyenlô szárú háromszög szárszögének felezôje merôlegesen felezi z AB lpot F-ben Ez zt jelenti, hogy szárszög z AFC = 90 -kl egyenlô = 90 ; = b= = 45

13 Háromszögek belsô és külsô szögei 3 Legyen z szögfelezôjének metszéspontj BC szárrl P! Az ABC3 belsô szögeinek összegébôl: = = 7 = 36 APB = ABP = 7 ABP3 egyenlô szárú ACP = = 36 = = CAP APC3 egyenlô szárú 4 Legyen z szögfelezôjének metszéspontj BC szárrl P! AP = AB APB = ABP = = Az APB3 belsô szögeinek összege: + + = 80 = 7 = 36 A háromszög szögei: 7 ; 7 ; 36 5 A színessel húzott szkszok és z szögszári áltl htárolt egyenlô szárú háromszögekre többször lklmzv háromszög külsô és belsô szögeire vontkozó összefüggéseket: b = 75 6 ) A töröttvonl egyes szkszi z dott szög szárivl rendre 5 -kl ngyobb szögeket zárnk be 5 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 z egymást követô szögek ngyság Ezeket követné 90, mi lezárj sort, mert következô háromszögnek már nem lehet db 90 -os szöge b) n szksz esetén b = (n - ) $ 0 egyenlô szksz fér el, h 90 > 9 0 > 0 -nál kisebbnek kell válsztni -t ) (n + ) szksz esetén b = n $ (n + ) egyenlô szksz fér el, h 90 > n 90 $ > n 7 ADC3 egyenlô szárú ACD = ADC = 67,5 CEB3 egyenlô szárú CEB = = ECB = 67,5 ADC = 67,5 = CEB EDC3 egyenlô szárú, lpon fekvô szögei 67,5 -osk Szárszöge ECD = 80 - $ 67, 5 = ABD3 egyenlô szárú ABC = ADB = CEB3 egyenlô szárú CBE = = CEB = DEB3-ben belsô szögek összege: DBE + + = = 80 DBE = + 9 ) eset: AB = AC Egyenlô szárú háromszögben szárszög belsô szögfelezôje merôleges z lpr, külsô szögfelezôje pedig párhuzmos vele Így nem jöhet létre z E pont, és z AD = AE állítás sem teljesülhet eset: AB > AC AB > AC B, D, C, E pontok sorrendje AD = AE és AD merôleges AE mitt z ADE3 egyenlô szárú derékszögû ADE = 45 ADE külsô szöge z ABD3-nek + b= 45 = b= 80 -_ 90 -bi- b= 90 + b 3 eset: AB < AC AB < AC E, B, D, C pontok sorrendje AD = AE és AD merôleges AE mitt z ADE3 egyenlô szárú derékszögû ADE = 45 ADE külsô szöge z ACD3-nek + = 45 b= = 80 -_ 90 -i- = 90 + b) = 34 esetén = 90 + b egyenlôség nem teljesülhet, így AB < AC összefüggés áll fenn z oldlk között = ; b= 4

14 Bevezetés síkgeometriáb 0 AB AC ABC = = ACB = 90 - AD = AC és DAC3 külsô szöge ADC = ACD = BCD = = 90 AB + AC > BC B, F, E, C pontok sorrendje AB = BE BEA = BAE = = 90 - b AC = CF FAC = AFC = 90 - ECA3 E-nél fekvô külsô szöge FEA = = 90 - b b A külsô szög tétel mitt FEA = ECA + EAC 90 - = + EAC b J b N EAC = FAE = FAC - EAC = = K O L P b = + Legyen szögfelezô metszéspontj AB-vel P; z A-ból húzott párhuzmos metszéspontj BC egyenessel pedig Q! PC ; AQ BCP = BQA =, mert egyállású szögek PC ; AQ PCA = CAQ =, mert váltószögek Az állításokból CAQ3 egyenlô szárú CA = CQ 3 Legyen szögfelezô metszéspontj AB-vel Q A PAC3 egyenlô szárú, külsô szöge PAC = APC = d = A szögfelezés mitt BCQ = Mivel Q és A PB egyenes áltl htárolt ugynzon félsíkbn tlálhtók, APC = QCB egyállású szögek AP ; QC 4 Az ABC3 belsô szögeinek összege: d + { + f = 80 d + { + f = 90 Az ABT3 belsô szögeinek összege: d + { + f + ATB = 80 ATB = 90 AT=CB AT mgsságvonl z ABC3-ben Hsonlón beláthtó z állítás többi szkszr is 5 AP = PB APB = 80 - { BP = PC BPC = 80 - d CP = PA CPA = = 80 - f Az ABC3 belsô szögeinek összege: { + d + f = 80 Felhsználv z = f + { egyenlôséget d = 80 - dódik BPC = 80 -_ 80 - i= Hsonlón beláthtó, hogy APB = és CPA = b 6 Legyen F z AB oldl felezéspontj és AB = CF! BCF3 és ACF3 egyenlô szárú CAF = ACF = d és FCB = CBF = f Az ABC3 belsô szögeinek összege: d+ f= = 80 d+ f = 90 ACB =90 4 5

15 Háromszögek belsô és külsô szögei Legyen z ABC3 lpj AB, meghosszbbítássl nyert pont C*! A háromszög egyenlô szárú CAB = CBA = = ; CB = CC* CC*B = CBC* = f ABC*3-ben + ( + f) + f = 80 + f = 90 ABC* = 90 8 A hrmdszkszok egyenlôsége mitt G A = AE ; ABC3 szbályos G AE = 60 A két megállpításból következik, hogy z AE G 3 szbályos GE= E A= = EE GEE3 egyenlô szárú, szárszögének külsô szöge 60 { = 30 AG E = = 90 Az állítás többi szögre is hsonlón beláthtó 9 KQ 45 -os középponti szögû AC : sugrú AQK körikk húrj KP 45 -os középponti szögû BD := AC : sugrú körikk húrj KP = KQ () Hsonlón: KP = KR = KS = = = KZ AKQ3 egyenlô szárú + 45 = + { { = = 45 (); AKB = 90 = 45 : és QKR = $ = 45 (3) Az (), () és (3) állításokból következik, hogy PQR Z nyolszög szbályos, mert K középpontú 45 -os forgásszimmetriáj vn 30 A meghosszbbítássl egybevágó egyenlô szárú derékszögû háromszögek keletkeznek: ABO3, FBK3, EAJ3 EF = EJ + JK + KF = + e keletkezett négyzet oldl 3 FD = DC = FDC3 egyenlô szárú DFC = = FCD = ; EFC3-ben EFC = 45 + ; FCE = EFC = FCE ECF3 egyenlô szárú 3 Az ABC3 egyenlô szárú derékszögû: CAB = ECF = 45 EFC = 45 CE = EF; AB = AE ABE = AEB = 67,5 f = ~ = 90-67, 5 =, 5 EF = FB 3 3

16 4 Bevezetés síkgeometriáb PCB3 derékszögû és PBC = b CPB = 90 - b ABC3 egyenlô szárú CF merôlegesen felezi AB-t FBQ3 derékszögû FQB = 90 - b PQC és FQB sússzögek PQC = FQB = 90 - b Az állításokból CPQ = PQC = 90 - b CPQ3 egyenlô szárú CP = CQ 34 O P P = O P P =, mert váltószögek O P E = O EP =, mert O P E3 egyenlô szárú O P E = O EP =, mert O P E3 egyenlô szárú O EP = O EP = O, E, O egy egyenesen vn és P, P z O O egyenes áltl htárolt más-más félsíkbn vn O EP és O EP sússzögek másik száruk is egy egyenesen vn P, E, P egy egyenesen vnnk 35 XAC3 egyenlô szárú, külsô szöge CAB = CXA = XCA = YBC3 egyenlô szárú, külsô szöge ABC = b BYC = YCB = b XCY = XCA + ACB + BCY = b 80 - = + + = + = DOA = OAB, DA = DO EOB = OBA = b, mert váltószögek EBO3 egyenlô szárú, mert két szöge b EB = EO Az láhúzott állításokból DE = DO + OE = DA + EB = mert váltószögek DOA3 egyenlô szárú, mert két szöge Összefüggések háromszög oldli és szögei között 37 Legyen T P külsô pontból z e egyenesre állított merôleges tlppontj! Legyen Q =Y T z e egyenes tetszôleges pontj! A PQT derékszögû háromszögben PQ átfogó, PT befogó Mivel legngyobb szöggel szemben vn legngyobb oldl, így PQ > PT Tehát lehetséges összekötô szkszok közül PT legrövidebb 38 Az ABC3 C derékszögû súsánk vetülete z átfogór T ATC derékszögû háromszögben AC átfogó ngyobb, mint AT befogó: AC > AT BTC derékszögû háromszögben BC átfogó ngyobb, mint BT befogó: BC > BT

17 Összefüggések háromszög oldli és szögei között Tükrözzük z ACP 3-et CP oldl P felezéspontjár! A képe Al, C képe P, P képe C, CAP képe P AlP =, CA = b képe P Al = b P A átfogó z ACP 3-ben, ezért P A > b Az AlAP 3-ben AlP = b<p A, ezért vele szemben levô szög is kisebb, mint P A-vl szemközti szög < Ezt gondoltmenetet további szögekre is folytthtjuk, hiszen kérdéses háromszögben derékszög helyett tompszöget tlálunk legngyobb szög helyén 40 Legyen AP # PB, hol P z AB lp tetszôleges pontj! APC $ APC3-ben z APC legngyobb, így vele szemben levô AC oldl háromszög leghosszbb oldl: AC > CP 4 Legyen P z AB oldl tetszôleges pontj! eset: CP merôleges AB-re CP befogó z APC, illetve BPC derékszögû háromszögekben AC és BC átfogók fenti háromszögekben AC >CPés BC > CP eset: CP nem merôleges AB-re CPA és CPB közül z egyik tompszög megfelelô részháromszögben vele szemben CP-nél ngyobb oldl lesz 4 Legyen >! Vegyünk fel A B C 3-gel egybevágó háromszöget úgy, hogy A C / A C legyen A C B*3; < mitt C B* szög belsô trtományábn hld C B*B 3 egyenlô szárú C B*B = C B B* = d; A B*B 3- ben A B B* < d, A B*B > d A B*B -gel szemben ngyobb oldl vn, mint A B B* -gel szemben > 43 ABD3-ben > d > ; CBD3-ben b> > + > + ADC > ABC 44 Legyen e(p; B) + AC = Q! APB külsô szög z APQ3-ben APB = PAQ + PQA APB > PQA PQA külsô szög BQC3-ben PQA = QCB + CBQ PQA > QCB Az állításokból APB > PQA > QCB = ACB 45 A tükrözés törvénye szerint beesési szög egyenlô visszverôdési szöggel: ATP = BTP = Tükrözzük z A pontot t egyenesre! AlB egyenese kijelöli t egyenesnek zt pontját, mi felé irányítni kell fénysugrt ATQ = AlTQ = 90 - tükrözés mitt AlTQ = BTR = 90 -, mert sússzögek BT vlóbn visszvert fénysugár 46 Húzzunk párhuzmost z lp P pontjából háromszög szárivl! C, C APC 3 és BPC 3 egyenlô szárú PD z APC 3 egyik szárához trtozó mgsság, mi egyenlô másik szárhoz trtozó mgssággl PD = AD PE PC B3 szárhoz trtozó mgsság PD + PE = AD + PE, mi z ABC3 BC-hez trtozó mgsságávl egyenlô, és ez P-tôl függetlenül állndó 46 45

18 6 Bevezetés síkgeometriáb Húzzunk párhuzmost P ponton át háromszög oldlivl! P, P, P 3, P 4, P 5, P 6 pontok; d(p; CB) = PF P 6 PP 5 3 szbályos d(p 6 ; P P 5 ) = P 6 G = PG P P P3 egybevágó z AP 6 oldlú szbályos háromszöggel AH = PE d(a; BC) = = PE + PG + PF, mi z egyenlô oldlú háromszög mgsság 48 ) 0 + > 3 Teljesülnek háromszög-egyenlôtlenségek létezik ilyen háromszög b) + = 3 mitt nem teljesülnek háromszög-egyenlôtlenségek nem létezik ilyen 7 3 háromszög ) + = > ; Teljesülnek háromszög egyenlôtlenségek létezik ilyen háromszög d) = = 389 > 386; Teljesülnek háromszög-egyenlôtlenségek létezik ilyen háromszög 49 A háromszög-egyenlôtlenségek: 0,7 +,8 >,5 > ; 0,7 + >,8 >,; A két feltételnek sk tesz eleget z egész számok közül = m 50 eset: A háromszög lpj 3 m, szári 6 m hosszúk eset: A háromszög lpj 6 m, szári 3 m hosszúk lennének, de ilyen háromszög nem létezik, mert = 6 mitt nem teljesül háromszög-egyenlôtlenség b b 5 eset: + = 5 m; b + = 6m b= 4m, = 3m lyen háromszög nem létezik, mert < 3 mitt nem teljesül háromszög-egyenlôtlenség b b eset: + = 6 m; b + = 5 m b= 0 m, = m; 0 + >0; > ; + 0 > 0 lyen háromszög létezik, lpj m, szári 0 m hosszúk 5 A feltételek szerint b # és # b + # nem teljesülhet háromszög-egyenlôtlenség b,, oldlú háromszögre, tehát ilyen háromszög nem létezik + b+ 53 A háromszög-egyenlôtlenségbôl kiindulv: + b> + b+ > > s> Hsonlón beláthtó, hogy s> és s> b 54 Legyen belsô pont P és AC + e(p; B) = Q! QCB3-re lklmzzuk 4 feldt állítását CP < CB ABP3-re háromszög-egyenlôtlenség: AP + PB > AB Az láhúzott állításokból: AP + PB > AB = CB > CP AP + PB > CP, és ezt krtuk belátni Hsonlón beláthtó, hogy AP + PC > PB és BP + PC > AP 55 Legyen AB + e(c; P) = X Háromszög-egyenlôtlenség PXB3-re: PB < PX + XB Háromszög-egyenlôtlenség z AXC3-re: CX = CP + PX < AX + AC Adjuk össze két egyenlôtlenséget: PB + CP + PX < PX + XB + AX + AC; PB + PC < AX + XB + AC; PB + PC < AB + AC 56 Háromszög-egyenlôtlenségek z ABC3 súsi és P belsô pont áltl lkotott rész-háromszögekre: AP + PB>AB; PB + PC > BC; PC + AP > AC Adjuk össze z egyenlôtlenségeket: $ _ AP + PB + PCi> AB + BC + AC AP + PB + PC > = s, tehát AB + BC + AC belsô pont súsoktól mért távolságösszege ngyobb fél kerületnél Alklmzzuk 55 feldt állítását z ABC3 P belsô pontjár: PA + PB < CA + CB; PB + PC < AB + AC; PC + PA < < BC + BA Adjuk össze z egyenlôtlenségeket: $ _ PA+ PB+ PCi< $ _ AB+ BC+ ACi

19 Összefüggések háromszög oldli és szögei között 7 PA + PB + PC < AB + BC + AC, tehát belsô pont súsoktól mért távolságösszege kisebb kerületnél 57 eset: Derékszögû háromszög olyn mgssággl, hol T mgsságtlppont zonos z A derékszögû súsl Az egyik befogóhoz trtozó mgsság m = b Ebben háromszögben m befogó, átfogó, ezért m < Adjuk össze z összefüggéseket! m < + b m < + b eset: Hegyesszögû háromszög, tompszögû háromszög és olyn derékszögû háromszög, melynél mgsságtlppont nem zonos derékszögû súsl Legyen T C súsból induló mgsság tlppontj! BTC3-ben m befogó, átfogó m < ; ATC3-ben m befogó, b átfogó m < b Adjuk össze z egyenlôtlenségeket! m < b m < + b + 58 A 57 feldt állítás szerint: m < b + ; m < + ; m < + b b Adjuk össze z egyenlôtlenségeket: m m m < b b + b+ = + b + = K 59 Háromszög-egyenlôtlenség z ABD3-re: AB < AD + DB Háromszög-egyenlôtlenség BDC3-re: BC < DC + DB Adjuk össze z egyenlôtlenségeket! AB + BC < AD + DC + DB AB + BC < AC + BD AB + BC -AC < BD 60 Tükrözzük z ABC3-et z AB oldl C felezôpontjár! C képe Cl lesz Írjuk fel háromszög-egyenlôtlenséget CClB3-re: + b >s Hsonlón megmutthtó, hogy b + >s és + >s b Adjuk össze három egyenlôtlenséget: + b+ > s+ s+ sb + b+ > s + s + s b 6 Írjuk fel háromszög-egyenlôtlenséget súlypont és háromszög két-két sús áltl meghtározott háromszögekre! ASB3-re: s+ sb> ; BSC3-re: sb+ s> ; CSA3-re: s+ s> b Adjuk össze három egyenlôtlenséget: s+ sb+ s > + b s+ sb+ s> _ + b+ i 4 6 Az állítás helyett elég belátni, hogy CA + A B > CA + AB Legyen B tükörképe z AA külsô szögfelezôre B*! A tükrözés mitt B*A = A B és B*A = AB; CA+ AB = CA+ AB *> > CB * = CA + AB * = CA + AB Az láhúzott részekbôl következik z állítás Jelöljük z átlók metszéspontjától súsokig terjedô szkszokt 63 ábr szerint! Írjuk fel háromszög-egyenlôtlenséget z átlók áltl létrehozott háromszögekre! ABM3- re: e - x + f - y > ; CDM3-re: x + y > Adjuk össze z egyenlôtlenségeket! e - x + f - y + x + y > + e + f > + Az állítás másik szemköztes oldlpárr hsonlón láthtó be

20 8 Bevezetés síkgeometriáb 64 A 63 ábr jelöléseivel: eset: Írjuk fel háromszög-egyenlôtlenséget z átlók metszéspontj és súsok áltl létrehozott háromszögekre! ABM3-re: e - x + f - y > ; BCM3-re: f - y + x > b; CDM3-re: x + y > ; DAM3-re: y + e - x > d Adjuk össze z egyenlôtlenségeket: e+ f> + b+ + d e+ f> _ + b+ + di eset: Írjuk fel háromszög-egyenlôtlenségeket z átlók áltl létrehozott háromszögekre! ABC3-re: + b > e; BCD3-re: b + > f; CDA3-re: + d > e; DAB3-re: d + > f Adjuk össze z egyenlôtlenségeket: + b+ + d> e+ f + b+ + d> e+ f 65 Alklmzzuk háromszög-egyenlôtlenséget z ABC3-re: AC + CB > AB Alklmzzuk háromszög-egyenlôtlenséget z ACD3-re: AD + DC > AC A kettôt együtt tekintve: AB < AC + CB < AD + DC + CB Konvex négyszögeknél ez gondoltmenet bármelyik oldlr megismételhetô Konkáv négyszög esetében ( konkáv szög d) CD < CA + AD, befoglló háromszögre CA < AB + BC, kettôt együtt tekintve: CD < CA + AD < AB + BC + AD 66 Alklmzzuk háromszög-egyenlôtlenséget z ABC3-re: AC < 6m+ 3m= 9 m Alklmzzuk háromszög-egyenlôtlenséget z ABD3-re: BD < 6m+ m= 8m< 9 m 67 Legyen M z átlók metszéspontj és P egy tetszôleges pont z ABCD négyszög síkjábn! Háromszög-egyenlôtlenség DBP3-re (egyenlôség P! DB esetén): PD + PB $ DB = DM + + MB Háromszög-egyenlôtlenség ACP3-re (egyenlôség P! AC esetén): PC + PA $ AC = AM + + MC Vegyük z egyenlôtlenségek összegét: PA + PB + PC + PD $ MD + MB+ MA+ MC Egyenlôség sk kkor áll fenn, h P! DB és P! AC, zz P / AC + DB = M Tehát z átlók metszéspontjár legkisebb súsoktól mért távolságok összege 68 Háromszög-egyenlôtlenség z A A A n sokszög szomszédos súsi és tetszôleges P pont áltl meghtározott i-edik háromszögre: PA i + PA i+ > A i A i+, hol # i # n és A n+ = A Adjuk n n n n össze z egyenlôtlenségeket!!_ PA PA i>! A A $! PA > K! PA > s i = i+ i + i i + i i = i = i = 69 eset: A négy pont konvex négyszöget htároz meg Három pont kiválsztáskor z összekötô szkszik között egy átló és két oldl vn H bármely kiválsztáskor sk hegyesszögû háromszöget kpnánk, kkor négyszögben minden szög hegyesszög lenne, így belsô szögek összege kisebb lenne 360 -nál, mi lehetetlen eset: A négy pont konkáv négyszöget htároz meg H bármely kiválsztásnál sk hegyesszögû háromszöget kpnánk, kkor konkáv szög súsánál levô két szög összege kisebb lenne 80 -nál, mi lehetetlen 70 A 70 ábrán jelzett szögek mindegyike tompszög 7 AF súlyvonl z APQ3-ben Legyen z A pont F-re vontkozó tükörképe Al! Írjuk fel 70 háromszög-egyenlôtlenséget z AAlP3-re: AP+ AQ= AP+ PAl > AP + AQ > AF > AF Hsonlón megmutthtó, hogy BP + BQ > BF Adjuk össze z egyenlôtlenségeket! AF + BF < AP + AQ + BP + BQ _ AP + PBi+ _ AQ + QBi k+ k < = = = k i

21 Ponthlmzok 9 Adott tuljdonságú pontok hlmzánk meghtározás síkon Ponthlmzok 7 A keresett ponthlmzt z e egyenestôl 3 m távolságr húzódó párhuzmos egyenespár pontji lkotják 73 Az e egyenestôl 3 m-re levô párhuzmos egyenespár egy sávot jelöl ki síkból E sáv pontji trtoznk keresett ponthlmzb, htárpontok kivételével 74 Az e egyenestôl 3 m-re húzódó párhuzmos egyenespár f és g Az f és g egyenesek áltl létrehozott, e-t nem trtlmzó félsíkok pontji trtoznk ponthlmzb 75 Az O középpontú, 3 m sugrú kör és z egyenes közös pontj megoldás Nins megoldás, h d(o; e)>3m; Egy megoldás vn, h d(o; e) = 3 m; Két megoldás vn, h d(o; e)<3m 76 A P pont mint középpont köré rjzolt 3 m sugrú k kör és z e egyenestôl m-re húzódó f és g párhuzmos egyenespár közös része dj keresett ponthlmzt 4; 3; ; vgy 0 megoldás lehet feldtnk 77 A keresett ponthlmzt P középpontú, 3 m sugrú k kör és z e egyenestôl m-re húzódó f és g párhuzmosok áltl meghtározott sáv közös része lkotj A megoldások szám függ P pont és z e egyenes helyzetétôl 78 A keresett ponthlmzt P középpontú, 3 m sugrú k kör külsô pontjink és z e egyenestôl m-re húzódó f és g párhuzmosok áltl meghtározott sáv belsô pontjink közös része lkotj A megoldások szám függ P pont és z e egyenes helyzetétôl 79 A keresett ponthlmzt z A középpontú, 4 m sugrú k A kör és B középpontú,,5 m sugrú k B kör közös része lkotj 4 m +,5 m < 8 m k A + k B = 0Y nins olyn pont, mi mindkét feltételnek megfelel 80 A keresett pontok z A középpontú, 6 m sugrú kör és B középpontú, 6 m sugrú kör közös pontji ; vgy 0 megoldás lehet A és B távolságától függôen 8 A P középpontú, m sugrú kör és Q középpontú, 3 m sugrú kör közös része dj keresett ponthlmzt ; vgy 0 megoldás lehet P és Q távolságától függôen 8 A P középpontú, m sugrú körlp és Q középpontú, 3 m sugrú körlp közös belsô pontji dják keresett ponthlmzt 83 A P középpontú, m sugrú körlp és Q középpontú, 3 m sugrú kör külsô pontji áltl lkotott ponthlmz közös része keresett ponthlmz 84 Az e egyenestôl m távolságr húzódó e és e párhuzmos egyenespárnk z f egyenestôl m-re húzódó f és f párhuzmos egyenespárrl vett közös része dj keresett ponthlmzt H e nem párhuzmos f-fel, kkor 4 pont megoldás H e párhuzmos f-fel és d(e; f) = m, kkor egy egyenes megoldás H e párhuzmos f-fel és d(e; f) =Y m, kkor nins megoldás 85 A P középpontú, 3 m belsô sugrú, 4 m külsô sugrú körgyûrû belsô pontji és külsô htárvonl dják keresett ponthlmzt 86 A keresett ponthlmzt z ábrák muttják z egyenesek elhelyezkedésétôl függôen Elsô esetben üres hlmzt, második esetben két pontot, hrmdik esetben két szkszt kpunk 87 Az e egyenestôl x távolságr levô e és e párhuzmos egyenespárnk z f egyenestôl y távolságr levô f és f párhuzmos egyenespárrl vett közös része keresett ponthlmz H e D f, kkor 4 pont megoldás 86/

22 30 Adott tuljdonságú pontok hlmzánk meghtározás síkon 86/ 86/ H e ; f és d(e; f) = x - y vgy d(e; f) = x + y, kkor egy egyenes keresett ponthlmz H e ; f és d(e; f) =Y x - y, d(e; f) =Y x + y, kkor keresett ponthlmz üres 88 A ponthlmz egy olyn 6 m oldlú négyzet belsô pontjiból áll, melynek középpontj merôlegesek metszéspontj, oldli pedig párhuhmosk merôleges egyenesekkel 89 Egyetlen ilyen pont vn, háromszög oldlfelezô merôlegeseinek közös pontj 90 ) Egyetlen ilyen pont vn, négyzet középpontj b) A keresett ponthlmzt 90 ábr muttj 9 A keresett ponthlmz z e és f egyenesekkel párhuzmos k egyenes, melyre d( f; k) = d(e; k) A k egyenest z e és f egyenesek középpárhuzmosánk nevezzük 9 Az és oldlegyenesektôl egyenlô távolságr levô pontok hlmz k középpárhuzmos, b és d oldlegyenesektôl pedig k középpárhuzmos k + k = O, négyzet középpontj 93 g, g, g 3, g 4 ; e ; f, $ d(g ; e) = d(g ; f) / $ d(g ; f) = d(g ; e) / $ d(g 3 ; e) = d(g 3 ; f) / / $ d(g 4 ; f) = d(g 4 ; e) 94 A keresett ponthlmz z e és f egyenesek áltl meghtározott szögek szögfelezôinek pontjiból áll 95 Négy ilyen pont vn, három belsô szögfelezô, illetve egy belsô és két külsô szögfelezô metszéspontj 96 eset: A három egyenesnek három különbözô metszéspontj vn: A, B és C Négy ilyen pont vn, megfelelô szögfelezôk metszéspontjként kpjuk meg ôket: A beírhtó kör középpontj, O 0 ; A oldlhoz hozzáírt kör középpontj, O ; 3 A b oldlhoz hozzáírt kör középpontj, O b ; 4 Az oldlhoz hozzáírt kör középpontj, O eset: A három egyenesnek egy közös pontj vn: M M z egyetlen pont, mi megfelel feltételeknek 3 eset: Két egyenes párhuzmos, hrmdik metszi ôket Két ilyen pont vn: Az A-nál keletkezett szög szögfelezôjének z e és f egyenesek g középpárhuzmosávl vló metszéspontj, Q; Az A-nál keletkezô l szög 90 szögfelezôjének g egyenessel vló metszéspontj, P Megjegyzés: B-nél keletkezô szögek felezésével is ugynezekhez pontokhoz jutottunk voln, mivel BQAP négyszög tégllp 4 eset: Mindhárom egyenes párhuzmos Nins feltételnek eleget tevô pont 93

23 Ponthlmzok 3 96/ 96/ 96/ 97 A C pontok z AB egyenessel párhuzmosn, tôlük m távolságr levô és egyeneseken vnnk, és ezen egyenesek minden pontj megfelel feltételnek 98 A feltételnek eleget tevô C pontok két olyn r sugrú kört lkotnk, melyeknek középpontj A-tól és B-tôl r távolságr vn A és B pont nem trtozik keresett ponthlmzhoz, mert ebben z esetben nem jön létre háromszög 99 f és f l szögfelezôk pontji egyenlô távol vnnk AB és AC egyenesétôl f AB szkszfelezô merôleges pontji egyenlô távol vnnk z A és B pontoktól f + f AB = M, f l + f AB = M M és M keresett pontok 00 A keresett egyenesek P középpontú, 4 m sugrú kör e-vel párhuzmos érintôi 0 Vegyünk fel e tetszôleges pontján át olyn f egyenest, mi e-vel (+) és olyn g egyenest, mi e-vel (-) szöget zár be! Szerkesszünk P-n át párhuzmost f-fel és g-vel! flés gl keresett egyenesek 0 A keresett egyenesek P középpontú, 4 m sugrú kör olyn érintôi, melyek z e egyenessel 30 -os szöget zárnk be Négy ilyen egyenes vn 03 A keresett pontok z dott félegyenessel közös kezdôpontú félegyenesen vnnk A két félegyenes 45 -os szöget zár be egymássl Ennek félegyenesnek minden pontj megfelelô 04 OPQ3 egyenlô szárú POQ = PQO ; r i q ROQ = OQP, mert váltószögek POQ = PQO = ROQ OQ szögfelezô A szögfelezô félegyenes minden pontj rendelkezik tuljdonsággl