Háromszögek hasonlóságával megoldható feladatok. szelôk tételének megfordítását az ABC AC és A 2. AC. Hasonlóan belátható, hogy AC ; C1 D 2 = 3

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Háromszögek hasonlóságával megoldható feladatok. szelôk tételének megfordítását az ABC AC és A 2. AC. Hasonlóan belátható, hogy AC ; C1 D 2 = 3"

Átírás

1 64 Hsonlóság Háromszögek hsonlóságávl megoldhtó feldtok 0 0 Húzzuk meg négyszög AC átlóját! Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z ABC AC és A B szelôire: AC ; A B Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok tételét z ABC AC és A B párhuzmos szelôire: AC : A B :& A B AC Hsonlón eláthtó, hogy AC ; C D és C D AC A fentiekôl következik, hogy A B ; C D és A B C D & A B C D prlelogrmm 0 Az 0 ár jelöléseit hsználjuk Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z ABC AC és A B szelôire: AC ; A B Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z ADC AC és C D szelôire: AC ; C D A fentiekôl következik, hogy C D ; A B Hsonlón eláthtó, hogy A D ; B C Az új négyszög szemközti oldlegyenesei párhuzmosk, tehát prlelogrmm 0 Az 0 ár jelöléseit hsználjuk Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z ADC AC és C D szelôire: AC ; C D Hsonlón eláthtó, hogy AC ; A B & & C D ; A B & A B C D trpéz Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok tételét z ADC AC és C D párhuzmos szelôire: D C : AC : Hsonlón eláthtó, hogy A B : AC :& D C : A B : 04 Az 0 ár jelöléseit hsználjuk Legyen D B és A C szkszok metszéspontj M Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z ADC AC és C D szelôire, vlmint z ABC AC és A B szelôire: AC ; C D és AC ; A B & C D ; A B A párhuzmos szelôszkszok tételét lklmzv ugynezekre szögekre és szelôkre: D C : AC : és A B : AC : A párhuzmosság mitt D MC + B MA, mert szögeik páronként egyenlôk A hsonlóság rány: m AB AC AM A másik két oldlpár rány: DC MC AC B M A szkszok : rányn osztják egymást MD 05 eset: H két háromszög ugynn félsíkn vn és egyenlô mgs, kkor E; F; G; H ugynn félsíkn ugynolyn messze vn AB egyenesétôl & egy egyenesen vnnk eset: Egyéként: Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételének megfordítását z AC B, illetve 05/ 05/

2 Háromszögek hsonlóságávl megoldhtó feldtok 65 AC B szögek GF és AB, illetve HE és AB szelôire: GF ; AB és HE ; AB & GF ; HE Alklmzzuk párhuzmos szelôszkszok tételét fenti szögekre és szelôkre: GF : AB : és HE : AB :, ezért GF HE Az láhúzottkól következik, hogy EFGH prlelogrmm 06 Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételét DBA DA és MP párhuzmos szelôire: DM : MB AP : PB Alklmzzuk párhuzmos szelôk tételét DBC DC és MQ párhuzmos szelôire: DM : MB CQ: QB Az láhúzottkól AP : PB CQ : QB A párhuzmos szelôk tételének megfordítását lklmzzuk z ABC AC és PQ szelôire: AC ; PQ 07 Az átlók : rányn osztják egymást 08 Legyen F BC oldl, F z AC oldl felezéspontj Legyen F A + F B S súlypont F F háromszög középvonl, tehát F F ; AB és F F AB : ABS + F F S, mert szögeik AB AS BS páronként egyenlôk A hsonlóság rány m & Az állítás ár- FF SF SF mely két súlyvonlr hsonlón eláthtó 09 Legyen T z átfogóhoz trtozó mgsság tlppontj ATC + CTB, mert szögeik páronként egyenlôk A hsonlóság rány: m & A megfelelô oldlk: CT AT és TB CT & & TB $ AT 4AT & AT : TB :4 0 DE 4 cm A AT + CAT, mert szögeik páronként egyenlôk m & A T mc B BT + CBT, mert szögeik páronként egyenlôk m & B T mc A fentiekôl következik, hogy B T A T Az állítás derékszögû háromszögre is érvényes, ott zonn nem létezik z A AT A T AC és B T AC & B T A T ) Legyen AC + H F 4 M AF 4 M + CH M, mert szögeik páronként egyenlôk & & m :& H M : MF 4 :, tehát z AC átló : rányn osztj H F 4 szkszt ) Legyen AC + H F 5 M CH M + AF 5 M, mert szögeik páronként egyenlôk & m :& & H M : MF 5, tehát z AC átló : rányn osztj H F 5 szkszt AB BM ABM + FDM, mert szögeik páronként egyenlôk & m & DF MD AM DN AN : Hsonlón eláthtó, hogy : MF NB NG 4 Húzzunk párhuzmost E-n át AB-vel " G és H GE tégllp középvonl & GH z AFD középvonl & H felezi AF-et & GH $ & HE HEM + FDM, 4 4 4

3 66 Hsonlóság 7 HE mert szögeik páronként egyenlôk 4 m & FD & HM : MF : és EM : MD : & HM x, MF x és H felezi AF-et, ezért AH HF 5x & AM 8x és MF x & AM : MF 4: 5 Legyenek A, A, ill B, B szárk hrmdolópontji z lptól szárk metszéspont- j felé hldv ABC + A B C, mert szögeik páronként egyenlôk & A B Legyen e(a ; B ) + e(a; B) M BMB, B A B, mert B B BB, BB M B B A (csúcsszögek), B BM B B A (váltószögek) & A B MB & MB Megjegyzés: z állítás Menelosz tételének megfordításávl is izonyíthtó AP 6 Legyen BP + AC M AMP + CMB, mert szögeik páronként egyenlôk m CB AP AM PM & & MC n $ AM DA n MC MB n AM AC AM + MC AM + n $ AM (n + ) $ AM & AC n + 7 Legyen AF + CB P! APB + AFE, mert szögeik páronként egyenlôk m AB AE PB AB ; m & PB $ Legyen DE + CB Q! EQB + EDA, FE AB + BE + + BE BQ BE mert szögeik páronként egyenlôk m ; m & QB $ AE AD AB + BE + + A fentiekôl: PB QB, ezért P / Q, tehát AF és DE CB szkszon metszik egymást 8 PAF + PCG, mert mindkettô derékszögû, és FAP GCP, mivel kören BP PF PA íven nyugvó kerületi szögek & PHA + PEC, mert mindkettô derékszögû és PG PC DAPC húrnégyszög mitt z A-nál lévô { szög egyenlô C- 8 PH PA nél lévô külsô szöggel & Az láhúzott egyenlôségekôl: & PF $ PE PG $ PH H P vlme- PG PE PE PC PF PH lyik csúccsl zonos, kkor z csúcs futó oldlktól vló távolság 0, tehát mindkét szorzt 0, z állítás igz 9 Legyen mgsságpont M, z A-ól induló mgsság tlppontj A, B-ôl indulóé B AMB + BMA, mert mindkettô derékszögû és M-nél lévô szögeik csúcsszögek m & AM $ MA AM BM BM AM BM $ MB

4 Háromszögek hsonlóságávl megoldhtó feldtok 67 0 ABCD tégllp & AC kör átmérôje & Thlész tétele mitt APC 90 ; PAE CPF, mert merôleges szárú hegyesszögek (PC AP, PF AE) & AEP + PFC, mert szögeik páronként egyenlôk & AEPG tégllp hsonló z FCHP tégllphoz BA 5, cm és A C 5,75 cm Legyen derékszögû csúcs C, szárkon lévô osztópontok A, A, ill B, B, négyzet AB-n levô csúcsi P és Q, AB felezôpontj F A B C + ABC, mert két-két oldluk 0 AC rány és z áltluk ezárt szög egyenlô m & AC & AB AB APA + AFC, mert szögeik páronként AA egyenlôk m & A P CF CF AB mitt A P $ AB AB Hsonlón megmutthtó, hogy BQ AC AB & A B A P B Q és A PQ PQB 90 & & A B QP négyzet Húzzuk meg C-ôl induló súlyvonlt: CC Felhsználjuk, hogy egyenlô szárú derékszögû háromszög átfogóhoz trtozó súlyvonl merôleges z átfogór és fele olyn hosszú CC + AD S z ABC súlypontj ABD + ASC, mert mindkettô derékszögû és z A csúcsnál lévô szögük közös & DB CS AD AC AC AC CC AC DE 4 DCE + BFC, mert szögeik páronként egyállású szögek, tehát egyenlôk m BC DC q, zz & pq& pq BF p 5 Állítás: h rm AOF + BAC, mert mindkettô derékszögû, és OAB ABC, h AO AF r hiszen váltószögek m, zz & h rm& h rm AB BC h m 4 5

5 68 Hsonlóság 6 Legyen CD húrr merôleges átmérô AB! Thlész tétele mitt ACB C-en derékszögû, CT z átfogóhoz trtozó mgsság A mgsságtételt lklmzv z ACB-re: h m$ _ r- mi& h m_ r-mi 7 Állítás: r xy AOTD és BOTC négyszögek deltoidok, mert két-két szomszédos oldluk egyenlô DO felezi z AOT -et és CO felezi BOT -et AOT és BOT mellékszögek, tehát szögfelezôik merôlegesek egymásr & DOC 90 7 OTCD, mert z érintô merôleges z érintési pont húzott sugárr Alklmzzuk mgsságtételt z ODC derékszögû háromszögre: OT DT $ TC DT DA x és TC CB y, mert z érintôszkszok hossz egyenlô & r OT xy 8 Állítás: AB AD $ AC ABC + ADB, mert z A csúcsnál lévô szögük közös, B-nél, AB AC illetve D-nél lévô szögük pedig A hsonlóság rány: m & AB AD $ AC & AD AB & AB AD $ AC 9 Legyenek z ABCD trpéz eírt körének érintési pontji AB-n E, BC-n G, CD-n F és DA-n H A trpéz egy száron lévô szögeinek összege 80, tehát EBC + BCF + 80 A eírt kör középpontj szögfelezôk metszéspontj A húrtrpéz lpon fekvô szögei egyenlôk EBO + FOD, mert mindkettô derékszögû, és + 80 & + 90, tehát szö- geik egymás pótszögei & AEOH + BEOG + OGCF + OFDH 0 0 Állítás: x pq APS + RQB, mert mindkettô derékszögû, és z egyformán jelölt szögek merôleges szárú hegyesszögek m, zz & x pq& x pq QB RQ q x PS AP x p Állítás: AB BC $ BP Kössük össze P-t A-vl! ABP egyenlô szárú, mert FP merôlegesen felezi z AB szkszt ABC + + PAB, mert mindkettô egyenlô szárú és B-nél lévô szögük közös m & AB BC $ BP, tehát AB BC $ BP AB BC BP AB Állítás: AB AC$ BD APB derékszögû Thlész tétele mitt DBA CAB 90, mert z érintô merôleges z érintési pont húzott sugárr APB hegyesszögei: és & AC AB & ACB és ADB & ACB + BAD m & AB BD & AB AC $ BD, tehát AB AC $ BD BAM ABM APB c, mert ugynzon íven nyugvó kerületi szögek E és T pontól z AP szksz 90 ltt látszik, ezért E és T rjt vnnk z AP szksz Thlész körén, k -en & 7 EAP ETP, mert ugynzon íven nyugvó kerületi szögek k -en Jelöljük z ABP PAB -ét -vl, PBA -ét -vl! ABP elsô szögeinek összege c Az A csúcsnál z érintô

6 Szelôdrok szorzt 69 két félegyenese egyenesszöget lkot: c + + EAP 80 Az láhúzottkól EAP, 7-ól ETP EATP húrnégyszögen EAT + & EPT c Hsonlón megmutthtó, hogy F és T rjt vnnk PB Thlész körén, k -n, TBFP húrnégyszögen TBF +, TPF c és TFP, mert k kör ugynzon ívén nyugvó kerületi szögek ETP + TFP, mert szögeik páronként egyenlôk (P csúcsnál c; T, ill F csúcsnál ) EP PT m & PT EP $ PF & PT PT PF EP $ PF, és ezt krtuk elátni 4 Legyen T C-ôl induló mgsság tlppontj Állítás: CT TA TB $ CAB + 90 & CAT 90 - & & ACT & ACT + CBT, mert mindkettô derékszö- AT TC gû és egyik hegyesszögük & m & TC TC TB AT $ TB & TC TA $ TB 5 Állítás: T BDC TABCTDEC Legyen z ABC C-ôl induló mgsság m c, DEC C-ôl DE $ m DE $ _ mc- mi DE $ mc induló mgsság m! T BDC T DEC + T DEB + T ABC AB $ m c és T DEC DE $ m AB$ DE $ mc $ m & 7 T ABC $ T DEC, ABC + DEC, mert egy szögük közös, 4 DE m másik két szögpárjuk egyállású & m & AB $ m DE $ m AB m c Ezt 7 összefüggése c helyettesítve T ABC $ T DEC DE m J $ N c K _ TBDC & O i T BDC T $ T L P ABC DEC 6 Állítás: T DPE TAPD $ TPBE APD + PBE, mert DA m p szögeik páronként egyállású szögek m & EP m & 7 DA $ m EP $ m p T DAP DA $ m p és T EPB EP $ m & DA $ mp EP $ m & T DAP $ T EPB $ A 7 összefüggést felhsználv T DAP $ T EPB EP m J $ N p K _ TEPD & O i T DPE TAPD $ TPBE L P Szelôdrok szorzt 6 7 Legyen z érintési pont E, szelônek körrel vló metszéspontji pedig A (P-hez közelei) és B EPB + APE, mert P-nél lévô szögük közös, és AEP ABE, mivel k kör EP BP AE ívén nyugvó kerületi szögek m & EP AP $ BP & EP AP $ BP AP EP

7 70 Hsonlóság 4 8 Legyenek szelôkön P-hez közelei metszéspontok A, ill A, távolik B, ill B PB A + PB A, mert P-nél lévô szögük közös, PB A és PB A pedig k kör ugynzon ívén nyugvó kerületi szögek, tehát egyenlôk m & PA PA PB PA PB $ PB PA $ PB 9 Legyenek z egyik szelô végpontji A és B, z átmérôre merôleges másik szelôé C és D PBC + PDA, mert P-nél lévô szögeik csúcsszögek, CBP és CDA pedig k kör ugynzon ívéhez trtozó kerületi szögek, tehát BP CP egyenlôk m, miôl CP PD h h h h -t felhsználv: BP $ PA & & PD PA 4 4 h & BP $ PA 40 Legyenek z egyik szelô végpontji A, B, másik szelôé A, B PA A + PB B, mert P-nél lévô szögeik csúcsszögek, PB B és PA A pedig k kör ugynzon ívéhez trtozó kerületi szögek, tehát egyenlôk m & PA PB PB PA PA $ PB PA $ PB 4 A DC húrr rjzolt négyzet területe h Az AF és BF oldlú tégllp területe AF $ BF Alklmzzuk szelôdrok szorztáról szóló tételt z F ponton átmenô DC és AB szelôkre! FA $ FB FD $ FC, zz FA $ FB h $ h & 4 $ FA $ FB h, mi izonyítndó állítás Tekintsük z ABAl körülírt körének PAl-vel vló X metszéspontját A szelôdrok szorztár vontkozó tételt P-ôl induló szelôkre lklmzv: PA $ PB PAl $ PX, zz $ l $ x A feltétel szerint $ l $ l, ezért l x & Bl / X, tehát Bl; A; B; Al egy körön vnnk 4 Tekintsük z ABAl körülírt körének PAl-vel vló X metszéspontját A szelôdrok szorztár vontkozó tételt P-ôl induló szelôkre lklmzv: PA $ PB PAl $ PX, zz $ l $ x A feltétel szerint $ l $ l, ezért l x & Bl / X, tehát Bl; A; B; Al egy körön vnnk 44 HA, illetve HAl H ponton át k-hoz húzott két szelô A szelôdrok szorztár vontkozó tétel mitt HA $ HB HAl $ HBl 45 Legyen E körök érintési pontj, P közös érintô tetszôleges pontj, A és B k kör és z egyik szelô, A és B k kör és másik szelô közös pontj P-ôl k körhöz húzott szelôre szelôdrokr vontkozó összefüggés: PA $ PB PE P-ôl k -höz húzott szelôre: PA $ PB PE A két egyenlôségôl PA $ PB PA $ PB A B PB szárin lévô PA, PB, illetve PA, PB szkszokr teljesül z 4 feldt feltétele E feldt állítás szerint A, A, B, B egy körön vnnk A izonyítás során nem hsználtuk ki, hogy két kör kívülrôl érinti egymást 46 Legyen AB + e H! A k körre szelôdrokr vontkozó összefüggés: HA $ HB HE Húzzunk H-ól Al-n át szelôt kl-höz! Legyen második metszéspont Bll

8 Szelôdrok szorzt A kl körre vontkozón: HAl $ HBll HE A két egyenlôségôl: HA $ HB HAl $ HBll A BHBll szárir teljesül z 4 feldt feltétele, így feldt állítás szerint A, Al, Bll és B egy körön vnnk A, Al és B köre kll kör, tehát Bll! kll A kl és kll körök közös pontji Al, Bll és Bl, mi Bll / Bl-t kell jelentse & e(al; Bl) + e H 47 eset: H AB ; e, kkor f AB + e E z érintési pont Egyértelmû megoldás eset: AB nem párhuzmos e-vel A szerkesztés: Vegyünk fel egy A-n, B-n átmenô tetszôleges kl kört! AB + e H H-ól érintô kl-höz " E 4 H középpontú, HE sugrú k H kör 5 k H + e E i 6 ABE i körülírt köre: k ndoklás: k és kl közös húrjár és H-ól húzott érintôire HE HA $ HB HE & HE HE megoldás vn 48 Adott: A; B; kl eset: Ol!Y f AB A szerkesztés: Vegyünk fel egy A-n, B-n átmenô tetszôleges kll kört, mi metszi kl-t! kl + kll {P; Q} e(p; Q) + e(a; B) H 4 H-ól érintôt szerkesztünk kl-höz " E ; E 5 ABE körülírt köre: k ABE körülírt köre: k ndoklás: A k, illetve k kör érinti kl kört A kll kör metszi k -et és kl-t, illetve k -t és kl-t Az 46 feldt feltételei teljesülnek fenti körökre, így AB + PQ H független kll segédkörtôl, HE HE -t egyértelmûen meghtározz eset: Ol! f AB Ekkor PQ ; AB & f AB + kl lesz z érintési pont megoldás lehet 49 Tudjuk, hogy mgsságpont oldlegyenesekre vontkozó tükörképe körülírt körön vn Alklmzzuk szelôdrok szorztár vontkozó tételt z M ponton átmenô szelôkre! MC $ MM c MB $ MM MA $ MM & MC $ MC MB $ MB MA $ MA & MC $ MC MB $ MB MA $ MA 49/ 49/ 49/

9 7 Hsonlóság Állítás: f c $ c $ c Legyen CP szögfelezônek körülírt körrel vló metszéspontj D A P-n átmenô AB és CD szelôkre lklmzzuk szelôdrok szorztár vontkozó tételt: f c $ x c $ c Az ADC és z ABC ugynzon íven nyugvó kerületi szögek, tehát egyenlôk ADC + PBC, mert szögeik páronként egyenlôk & A megfelelô oldlk rány egyenlô, zz : f c ( f c + x): & f c $ ( f c + x) f c + + c $ c & f c $ - c $ c 5 Az 50 feldtn láttuk, hogy f c $ - c $ c & & f c < & f c < Hsonlóságon lpuló szerkesztések Az 5 55 feldt megoldását z olvsór ízzuk 56 Legyen szög csúcs M A szerkesztés: Vegyünk fel z e és f szárkon MAl és MBl MBl szkszokt úgy, hogy Húzzunk párhuzmost AlBl-vel P-n át " A; B AMB + MAl BM MBl + AlMBl, mert szögeik páronként egyenlôk Egyértelmû megoldás AM MA l AT 57 Adott: c; m c ; rány, hol T z mc mgsság tlppontj A szerkesztés: AlTl és TB TlBl szksz felvétele egy egyenesen úgy, hogy AlTl : TlBl AT : TB legyen Tl-en merôleges AlBl-re : ml AlBl c szögû látószögköríve: k c 4 k c + m C & C T m c 5 Alklmzzunk A B C -re rányú hsonlóságot " ABC Megjegyzés: h AT : TB < 0, kkor Al m c ml c elválsztj Tl-t és Bl-t Két egyevágó megoldás vn 58 Adott: + - c; ; A szerkesztés: Szerkesszünk AlBlCl-et és szögekkel! + -c Adjuk meg z (l + l - cl) szkszt! Alklmzzunk AlBlCl-re rányú hsonlóságot " ABC Egyértelmû megoldás l+ l- c l 59 Felhsználjuk: Az O középpontú hsonlóság z e-vel párhuzmos, szögszárkt összekötô AlCl-t vele párhuzmos szksz viszi, tehát teljesül z elsô feltétel A fenti hsonlóság Cl-t OCl egyenesére, tehát d szög egyik szárár, Al-t d szög másik szárár viszi, tehát teljesül második feltétel m mitt Bl képe B A szerkesztés: Szerkesszünk AlBlCl-et OB OBl d szög szári közé úgy, hogy AlCl;e, Bl! OB és ClAl ClBl legyen! Alklmzzunk O középpontú hsonlóságot z AlBlCl-re úgy, hogy Bl képe B legyen! " ABC H z AlBlCl segédháromszöget úgy vesszük fel, hogy ClAl;e és ClAl AlBl legyen, kkor új két megoldást kphtunk ; vgy 4 megoldás lehet 60 Adott: A; ; d; e Felhsználjuk: Az O középpontú hsonlóság BlCl-t vele párhuzmos szksz viszi, tehát teljesül BC ; e feltétel A fenti hsonlóság Cl-t OCl egyenesére, tehát OA d szög egyik szárár, Bl-t másik szárár viszi, tehát teljesül C! c és B! feltétel m OAl

10 Hsonlóságon lpuló szerkesztések 7 mitt Al képe A A szerkesztés: A szerkesztendôvel hsonló AlBlCl-et szerkesztünk: ) e-vel párhuzmos ClBl szksz d szári között ) ClDl szögû látószögköríve: k c) k + AO A AlBlCl-et O középpontú hsonlóságnk vetjük lá úgy, hogy Al képe A legyen " ABC vgy megoldás lehet 6 Adott: c; - c d Felhsználjuk: H c <60, kkor > c & d - c H c 60, kkor c & d 0 kell legyen, csk ekkor szerkeszthetô háromszög H c >60, kkor c>& d c - A szerkesztés: c szárszögû AlBlCl-et szerkesztünk, lpj cl, szár l dl l-cl szksz felvétele d Alklmzzunk rányú hsonlóságot AlBlCl- dl re " ABC 0; vgy végtelen sok megoldás lehet 6 A szerkesztés: ABC-höz hsonló AlBlCl-et szerkesztünk: ) C csúcsú felvétele ) egyik szárár tetszôleges CBl szksz c) felezô félegyenese d) szögfelezôre CBl-vel egyenlô szksz felvétele " Pl e) BlPl egyenesének és másik száránk metszéspontj Al & BlAl cl Alklmzzunk rányú C középpontú hsonlóságot z AlBlCl-re " c c " ABC Egyértelmû megoldás l 6 A szerkesztés: ABC-höz hsonló AlBlCl-et szerkesztünk: ) C csúcsú c szög felvétele " e; f ) e félegyenesre tetszôleges CAl szksz c) c szögfelezôjére CAl-vel egyenlô szksz felvétele " Pl d) AlPl + f Bl & AlBl cl c Alklmzzunk C középpontú rányú hsonló- c l ságot AlBlCl-re " ABC c $ 0 esetén nincs megoldás, c < 0 esetén egyértelmû megoldás 64 A szerkesztés: Szerkesszünk z A csúcshoz egy, feltételnek eleget tevô toldássl hsonló ADlElBl trpézt, melyre ADl DlEl ElBl Alklmzzunk olyn A középpontú hsonlóságot, melynek során El képe CB egyenesen vn " D; E H c $ 60, kkor nincs megoldás 65 Legyen AC BC és BC oldl felezôpontj F A szerkesztés: ABC-höz hsonló AlBlCl-et szerkesztünk: ) F csúcsú { szög felvétele " s; ) F-ôl tetszôleges egyenlô szkszok felvétele -r " Bl; Cl c) Cl középpontú, ClBl sugrú kör: k s d) k + s Al & AlF s l F középpontú rányú középpontos hsonlóság AlBlCl-et ABC-e sl viszi Egyértelmû megoldás 66 eset: H s c >m c, kkor szerkesztés: CTF szerkesztése m c és s c felhsználásávl A szerkesztendôhöz hsonló AlBlCl szerkesztése úgy, hogy F z AlBl felezéspontj legyen: ) F-ôl tetszôleges egyenlô szkszok felmérése FT egyenesre " Al; Bl ) AlBl c szögû látószögköríve: k c

11 74 Hsonlóság 67 m c c) k c + e(f; C) C F középpontú rányú hsonlóság AlBlCl-et ml c ABC-e viszi eset: H s c m c, kkor háromszög egyenlô szárú 0 vgy megoldás lehet 67 A szerkesztés: ATF szerkesztése m, és s felhsználásávl A szerkesztendôhöz hsonló AlBlCl szerkesztése úgy, hogy F legyen BlCl szár felezéspontj: ) F-ôl tetszôleges szkszok felvétele FT egyenesére " Bl; Cl ) Cl középpontú, ClBl sugrú kör: k c) k + AF s Al & AlF s l F középpontú rányú hsonlóság z AlBlCl-et sl z ABC-e viszi H s < m, kkor nincs megoldás H s m, kkor háromszög szályos H s > m, kkor háromszög egyenlô szárú, de nem szályos 68 Az ); ); c); d); e) és f) feldtrészeken egy tetszôleges szög szárit párhuzmos egyenesek metszik Alklmzzuk rájuk párhuzmos szelôk tételét! ) x & x ) x & c) x &, egyik szögszáron és, másikon " x x x c d) x&, egyik szögszáron és, másikon " x e) x &, egyik x c x szögszáron c és, másikon " x f) x &, egyik szögszáron és, másikon " x x g) Alklmzzuk mgsságtételt z + átfogójú derékszögû -re h) Alklmzzuk mgsságtételt z + átfogójú derékszögû -re $ m T 69 Írjuk fel háromszög területét háromféleképpen! T & m, hsonlón $ m T c$ mc T T T T T & m és T & mc m c : m : m c : : : : c c 70 Felhsználjuk z 69 feldt állítását: m : m : m c : : A szerkesztés: c ABC-höz hsonló AlBlCl szerkesztése: ) Tetszôleges AlBl cl szksz felvétele ) : cl l mc m mc m m c l : m l m c : m & " l szksz c) : ml l cl cl l c : m l m c : m & " l cl " l szksz d) AlBlCl megszerkesztése l, l, cl szkszokól " m l, m l, m c l Alklmz- szk- m c zunk rányú hsonlóságot AlBlCl-re " ABC Nincs megoldás, h,, ml c m m m szokr nem teljesül háromszög-egyenlôtlenség c 68/ 68/

12 Hsonlóságon lpuló szerkesztések 75 7 Az 69 feldtól tudjuk, hogy m : m : m c : : & : : c : : c m m mc A szerkesztés: Tetszôleges Kl szkszt osszunk fel : : rányn " l, l, cl szksz Szerkesszünk háromszöget l, l, cl oldlkkl " AlBlCl Adjuk meg AlBlCl e- m m mc r0 írt körének sugrát: r 0 l 4 Alklmzzunk rányú hsonlóságot z AlBlCl-re " ABC r l0 Nincs megoldás, h,, szkszokr nem teljesül háromszög-egyenlôtlenség m m mc 7 Az 69 feldtól tudjuk, hogy m : m : & : : A szerkesztés: m m Osszuk fel z ( + ) szkszt : rányn ", szksz O középpontú, R su- m m grú kör: k k-n közös C kezdôpontú és hosszúságú húrok felvétele " A és B 0; vgy - egyevágó megoldás lehet 7 A szerkesztés: O középpontú, R sugrú kör: k Tetszôleges C pontól húzzunk átmérôt és mérjük rá z egyenesére (c + m c ) szkszt " C* C*FB derékszögû háromszögen C*F : FB c : c :, ezért C*F*B* derékszögû háromszög szerkesztése C*F*:F*B* : rányú efogókkl 4 C* középpontú hsonlóságot lklmzunk C*F*B*-re úgy, hogy B* képe k körön legyen " B ; B 5 B -et, B -t tükrözzük CC*-r " A ; A megoldás vn, h C* kör külsô vgy elsô pontj megoldás vn, h C* kör pontj 74 Felhsználjuk: Az AE + AE O, mert mindkettô derékszögû és A-nál lévô szögeik csúcsszögek AE s - ; AE s - c, hol s ( + + c) : Ezt hsonlóságnál felhsználv AE EO c s- rc s- r s- rc m, zz Hsonlón eláthtó, hogy és AE EO s- c r s - r s - c r r sl A szerkesztés: Felveszünk egy tetszôleges (sl - l) szkszt - l rányt felhsználv negyedik rányos szerkesztésével (sl - l) megszerkesztése sl - l + sl - l cl r sl - l oldl 7 74

13 76 Hsonlóság fenti két szksz összege 4 Hsonlón juthtunk z l és l szkszokhoz is 5 l; l; cl " r " c AlBlCl 6 AlBlCl hsonló szerkesztendôhöz, pl rányú középpontos hsonlósággl ABC-höz jutunk 0 vgy megoldás lehet r c l 75 Legyen z átlók metszéspontj M, z dott szögek MCB { és MBC f A szerkesztés: Szerkesszünk egy MlBlCl-et f; { szögekkel ABM + CDM, mert szögeik páronként egyenlôk m & DM $ BM és AM $ CM Alklmz- BM AM c c DM CM c J c N zunk Bl-re Ml középpontú - K O rányú hsonlóságot " Dl 4 Alklmzzunk Cl-re Ml középpontú - K c O L P J N rányú hsonlóságot " Al 5 AlBlClDl trpéz hsonló szerkesztendô trpézhoz, mert részháromszögeik hsonlók 6 Alklmzzunk AlBlClDl trpézr rányú h- c l L P c sonlóságot " ABCD trpéz Egyértelmû megoldás 76 A szerkesztés: ) PM MMl & PM PMl Alklmzzunk P középpontú m rányú hsonlóságot -r " l l + Ml, M P keresett egyenes ) PN NNl & PNl PN Alklmzzunk P középpontú m rányú hsonlóságot -r " ll ll + Nl, N P keresett egyenes Egyértelmû megoldás 77 A szerkesztés: ) PM MMl & PM PMl Alklmzzunk k körre P középpontú m rányú hsonlóságot " kl kl + k Ml, M P egyenes keresett szelô 0; vgy megoldás lehet ) PN NNl & PNl PN Alklmzzunk k körre P középpontú m rányú hsonlóságot " kll kll + k Nl, N P egyenes keresett szelô 0; vgy megoldás lehet 78 eset: egységnyi húr k kören, egységnyi húr k -en, A elválsztj M-et és N-et MA : AN :& AM AN A szerkesztés: Alklmzzunk A középpontú m - rányú hsonlóságot k körre " kl kl + k M MA egyenes metszi ki körökôl keresett húrokt eset: egységnyi húr k kören, egységnyi húr k -en, A elválsztj M-et és N-et MA : AN :& AM AN & m -

14 Hsonlóságon lpuló szerkesztések 77 eset: egységnyi húr k kören, egységnyi húr k -en, A nem válsztj el M-et és N-et MA : AN :& AM AN & m 4 eset: egységnyi húr k kören, egységnyi húr k -en, A nem válsztj el M-et és N-et MA : AN :& AM AN & m 4 megoldás vn 79 Adott: k; OA; OB A szerkesztés: Osszuk fel z AB szkszt három egyenlô részre " H ; H Alklmzzunk O középpontú hsonlóságot z AB húrr úgy, hogy H és H képe körvonlon legyen AlA BlB-vel kell meghosszítni z r és r sugrkt Megjegyzés: h AB átmérô, kkor mindkét irányn sját hosszávl kell meghosszítni, hogy feltételnek eleget tevô szelôhöz jussunk Egyértelmû megoldás 80 Adott: k; OA; OB A szerkesztés: Hosszítsuk meg z AB húrt sját hosszávl OCl mindkét irányn " C és D OC + k Cl és OD + k Dl O középpontú rányú OC hsonlóság DC-t vele párhuzmos DlCl-e viszi, és középpontos hsonlóság ránytrtás mitt DlAl AlBl BlCl H AB átmérô, kkor nincs megoldás, egyéként egyértelmû ClDl húr 8 Felhsználjuk: BOA AOP & OA szögfelezô BOP-en A szögfelezôtétel BP BA+ AP BA r r p mitt BA : AP OB : OP, zz BA : AP r : p & AP AP AP p p r+ p A szerkesztés: Alklmzzunk P középpontú rányú hsonlóságot k körre " kl p kl + k B BP keresett szelô megoldás vn 8 Felhsználjuk: l i kör E i középpontú hsonlósággl k köre vihetô Ekkor L i képe O ; P képe A i és L i P ; O A i, vlmint O ; P és L i egy egyenesen vnnk A szerkesztés: O -en át párhuzmos O P-vel " g g + k { A ; A } A i P + k E i 4 E i O + O P L i 5 L i középpontú, L i P sugrú kör " l i Két megoldás vn 8 Adott: A; c; s; C (A! c és A! s) Felhsználjuk: CF FB & CB CF A szerkesztés: Alklmzzunk C középpontú m rányú hsonlóságot s-re " sl sl + c B Egyértelmû megoldás 84 Adott: A; B; s; c (A! s) Felhsználjuk: BF FC & BC BF A szerkesztés: AB c szögû látószögköríve: k B középpontú m rányú hsonlóság s egyenesre " s s + k C 0; vgy megoldás lehet 85 Az ABC S súlypontj C pont F középpontú m rányú kicsinyített képe, hol F z AB felezôpontj Az AB fölé rjzolt háromszögek súlypontji k kör F középpontú m 8 8

15 78 Hsonlóság rányú kl kicsinyített képén vnnk rjt A kl kör Al-tôl és Bl-tôl különözô minden S pontj megfelel egy k körülírt körû ABC-nek, hiszen F középpontú ml rányú hsonlósággl S pont képe k-r kerül A keresett ponthlmz tehát kl kör z AB húrr esô Al és Bl pontok kivételével 86 Felhsználjuk: A szögfelezôtétel szerint PA : PB : & PB $ PA A szerkesztés: CP f c szksz felvétele C középpontú, sugrú kör: k B C középpontú, sugrú kör: k A Alklmzzunk P középpontú m - rányú hsonlóságot k A körre Ennél hsonlóságnál A képe B, így A! k A -ól B! k A l következik 4 k A l + k B B 5 BP + k A A 0; vgy megoldás lehet 87 nduljunk ki kész áráól! Jelölje P! AB z elsô, Q! AC második elágzást! A feltétel szerint BP PQ QC nduljunk ki szerkesztendôhöz hsonló BPlQlCl töröttvonlól! Húzzunk párhuzmost Pl-n át QlCl-vel, zz AC-vel és vegyünk fel rjt PlRl QlCl( PlQl PlB) szkszt Ekkor PlRlClQl romuszhoz jutunk A BPlRlCl töröttvonl megszerkeszthetô: Pl-n át párhuzmost húzunk AC-vel " p Pl középpontú, PlB sugrú kör: k Pl k Pl + p Rl 4 Rl középpontú, PlB sugrú kör: k Rl 5 k Rl + BC Cl 6 Pl-n át párhuzmos RlCl-vel, mjd ennek k Pl -vel vló metszete Ql 7 B középpontú hsonlóságot lklmzunk BPlQlCl töröttvonlr úgy, hogy Ql képe AC-n legyen B helyzete mitt Pl képe PAB-n lesz, QlCl;AC mitt Cl képe C lesz, és hsonlóság ránytrtás mitt BP PQ QC Egyértelmû megoldás 88 ) Felhsználjuk: F felezi BC-t, ezért B középpontú m rányú hsonlóságnál F képe C A szerkesztés: AB c szksz felvétele AB c szögû látószögköríve: k c A középpontú, s sugrú kör: k A 4 k A kör B középpontú m rányú hsonló képe: k Ȧ 5 k Ȧ + k c C 0 vgy egyevágó megoldás lehet ) Felhsználjuk: F felezi BC-t, ezért B középpontú m rányú hsonlóságnál C képe F A szerkesztés: AB c szksz felvétele A-n szög felvétele AB-re " e B középpontú m rányú hsonlóságnál e képe el 4 A középpontú, s sugrú kör: k A 5 k A + el F 6 B-t tükrözzük F-re: C Egyértelmû megoldás, h s > c/ 0; vgy megoldást kphtunk, h s < c/ Nincs megoldás, h s c/ c) Felhsználjuk: B pontól z AB szksz 90 ltt látszik, tehát B rjt vn z AB Thlész körén F felezi BC-t, ezért B középpontú m rányú hsonlóságnál C képe F A szerkesztés:

16 Hsonlóságon lpuló szerkesztések 79 89/ 89/ AB c szksz felvétele AB Thlész köre: k T B középpontú, m sugrú kör: k B 4 k T + k B B, AB egyenese f 5 B középpontú m rányú hsonlóságnál f képe f l 6 A középpontú, s sugrú kör: k A 7 k A + f l F 8 e(b; F) + f C 0; vgy megoldás lehet 89 Felhsználjuk: S CF c szksz C-tôl távoli hrmdolópontj ST S F c + CT c F c, mert szögeik páronként egyenlôk m hsonlósági rány & ST S mc z ABS AB-hez trtozó mgsság A szerkesztés: ; ; s s m c" ABS AS-re S-ôl A-vl ellentétes oldlr s " F B-t tükrözzük F -r " C Nincs megoldás, h s# mc vgy h s# mc Egy megoldás vn, h s s> mc Két meg- oldás vn, h s> mc vgy s > m c és s Y s nduljunk ki kész áráól! Az E O O E töröttvonl szkszi E O r, O O r, O E r hosszúk, rányuk : : Húzzunk párhuzmost O -n át O E -gyel, és vegyünk fel rá r szkszt " P O PE O prlelogrmm, tehát PE r Az E O PE töröttvonl szkszi E O r és E O, O P r és O P ; O E, PE r Ehhez töröttvonlhoz hsonlót szerkeszthetünk z E pontól kiindulv: 9 E -en -r állított merôlegesen tetszôleges O l pont O l-ôl merôleges -re, mjd erre E O l hoszszú szksz felvétele " Pl Pl középpontú E O l sugrú kör: k Pl 4 k Pl + E E E l 5 E középpontú hsonlóságot lklmzunk z E O lple l töröttvonlr úgy, hogy E l képe E legyen " E O PE 6 E -en merôleges -re és O -en párhuzmos PE -gyel, ezek metszéspontj O Egyértelmû megoldás 9 eset: O, E, O, E nincsenek egy egyenesen nduljunk ki kész áráól! k E -en érinti k l-t, h E -en közös z érintôjük: e Hsonlón k és k l

17 80 Hsonlóság köröknek E -en közös z érintôje: e Olyn köröket keresünk, melyek z e egyenest z E pontn, z e egyenest z E pontn érintik, és sugruk egyenlô Ennek prolémánk megoldás z 90 feldtn megtlálhtó eset: O, E, O, E egy egyenesen vnnk E E szksz E -hez, illetve E -höz közelei negyedelôpontji dják keresett körök középpontját Egyértelmû megoldás Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 9 Legyen F BC, F z AC és F c z AB oldl felezéspontj ABC + F F F c, mert oldlik páronként párhuzmosk, szögeik váltószögek, m CF c, AF, BF háromszög súlyvonli, melyek z S súlypontn metszik egymást Az S középpontú m - rányú hsonlóság C-t F c - e, B-t F -e, A-t F - viszi, mivel súlypont súlyvonl csúcstól távoli hrmdolópontj Tehát hsonlóság középpontj súlypont 9 Tekintsük z S középpontú, m - rányú középpontos hsonlóságot! Mivel súlypont súlyvonl csúcs- 9/ tól távoli hrmdolópontj, fenti hsonlóságnál: F c képe C; F c -n átmenô, AB-re merôleges f AB képe C-n átmenô, vele párhuzmos, tehát AB-re merôleges egyenes: CC F képe A; F -n átmenô, CB-re merôleges f CB képe A-n átmenô, vele párhuzmos, tehát CB-re merôleges egyenes: AA A fentiekôl következik, hogy f AB + f CB O; z O képe e(c; C ) + e(a; A ) M H z S középpontú m - rányú hsonlóság O-t M-e viszi, kkor S! OM és OS OM 94 Tekintsük z S középpontú, m - rányú középpontos hsonlóságot! Mivel súlypont súlyvonl csúcs- 9/ tól távoli hrmdolópontj, fenti hsonlóságnál C képe F c ; C-n átmenô CC szögfelezô képe z F c -n átmenô, CC -gyel párhuzmos egyenes Hsonlón megmutthtó, hogy BB képe z F -n átmenô, BB -gyel párhuzmos egyenes, AA képe z F -n átmenô, AA -gyel párhuzmos egyenes Az egy ponton átmenô egyenesek képei is egy ponton mennek át, így z egymást O 0 -n metszô AA, BB és CC egyenesek képei is, mi izonyítndó állítás volt 9/ 94

18 Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 8 96/ 96/ 95 Felhsználjuk: A súlypont súlyvonl csúcstól 96/ távoli hrmdolópontj A súlypont z MO szksz O-hoz közelei hrmdolópontj (M mgsságpont, O körülírt kör középpontj) " lásd z 9 feldtot z Euler-egyenesrôl A szerkesztés: Alklmzzuk z S középpontú, m - rányú középpontos hsonlóságot! M képe O; A képe F AM egyenes z A-ól induló mgsságvonl F -ól merôlegest állítunk AM egyenesre: oldl egyenese, f 4 O középpontú, OA sugrú kör háromszög körülírt köre: k 5 k + f { C; B } 0 vgy megoldás vn 96 Felhsználjuk: A mgsságpont oldlegyenesekre vontkozó tükörképe háromszög körülírt körén vn A mgsságpont oldlfelezéspontokr vontkozó tükörképe háromszög körülírt körén vn Alklmzzunk M középpontú, m rányú középpontos hsonlóságot! C felezi M c M-et, tehát M c képe C A felezi M M-et, tehát M képe A B felezi M M-et, tehát M képe B F felezi M M-et, tehát M képe F F c felezi M M-et, tehát M képe F c F felezi M M-et, tehát M képe F C, A, B, F, F c, F rjt vnnk k körülírt kör kl képén, melynek sugr R, középpontj pedig z MO szksz felezéspontj Ugynezen körön vnnk feles kicsinyítés mitt CM szksz C, z AM szksz A és BM szksz B felezéspontji is Megjegyzés: Feuerch-kör középpontj MO felezéspontj, ezért rjt vn háromszög Euleregyenesén 97 A szón forgó négy háromszög: ABM, BCM, CAM, ABC A négy háromszög mgsságtlppontji megegyeznek: A ; B ; C Három nem egy egyenesen lévô pont egyértelmûen meghtározz sját körét, így fenti tlppontok is háromszögek Feuerch körét (lásd z 96 feldtot) Tehát z állítás igz 98 A Feuerch-kör középpontj rjt vn háromszög Euler egyenesén (MO felezéspontj), és négy háromszög Feuerch köre megegyezik & A négy háromszög Euler egyenesei egy ponton mennek át, közös Feuerch-kör középpontján

19 8 Hsonlóság Az 9 feldtn láttuk, hogy z S súlypont z MO szksznk : rányú osztópontj & & SO MO Az 96 feldtn láttuk, hogy Feuerch-kör K F középpontj felezi z MO szkszt & & KF O MO Az láhúzottkól következik, hogy K F S K F O - SO MO - MO MO, vgyis S 6 K F O szksz : rányú osztópontj Alklmzzunk S középpontú, m - rányú középpontos hsonlóságot! Ennek során O képe K F 00, k képe k F, C képe F c, e c képe e Fc H e c érinti k-t C-en, kkor e Fc érinti k F -et F c -en A középpontos hsonlóságnál középponton át nem menô egyenes és képe párhuzmosk, tehát e c ; e Fc 00 Felhsználjuk: A hozzáírt kör középpontj két külsô és egy elsô szögfelezô metszéspontj A háromszög ugynzon csúcshoz trtozó külsô és elsô szögfelezôje merôleges egymásr Az ABC elsô szögfelezôi z O O mgsságvonli; A, B és C mgsságtlppontok Az 96 feldt szerint mgsságtlppontok z ún Feuerch-körön vnnk, mi háromszög körülírt körének feles kicsinyítése Az ABC körülírt köre z 0 O O Feuerch köre, tehát vlón igz, hogy O O körülírt körének sugr kétszerese z ABC köré írt kör sugránk 0 Az 00 feldtn láttuk, hogy z O O Feuerch köre z ABC körülírt köre A, B, C pontok Feuerch-kör 9 pontj közül mgsságtlppontok Rjtuk kívül rjt vnnk z O O oldlfelezéspontji is, tehát igz, hogy z ABC körülírt köre felezi z O O oldlit (átmegy nnk felezéspontjin) A eírt kör középpontját ármelyik hozzáírt kör középpontjávl összekötô szksz felezôpontj is körülírt körön vn Így z O O Feuerch-körének mind kilenc kitüntetett pontját megkptuk 0 Az 00 feldtn láttuk, hogy z O O Feuerch köre z ABC körülírt köre Az ABC elsô szögfelezôi z O O mgsságvonli Az O O -en tehát K körülírt kör középpontj, O Feuerch-kör középpontj, O 0 mgsságpontj Az 96 feldtn láttuk, hogy Feuerch-kör középpontj felezi mgsságpont és körülírt kör középpontj közti szkszt, zz O felezi KO 0 -t, tehát K, O 0 és O egy egyenesen vnnk Megjegyzés: ez z egyenes z O O Euler egyenese 0 Felhsználjuk: Az O O mgsságvonli z ABC elsô szögfelezôi; A, B és C mgsságtlppontok O 0 z O O mgsságpontj A szerkesztés: Az O, O,, O 0 pontok áltl meghtározott háromszögek közül ármelyiknek kimrdó negyedik csúcs mgsságpontj Eszerint ármely három ismeretéen negyedik megdhtó O O mgsságtlppontji A, B, és C 0 vgy megoldás lehet

20 Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 8 04 ) Felhsználjuk: Az ABC körülírt köre z O O Feuerch köre, ezért átmegy z O O oldlfelezéspontjin és mgsságtlppontjin Az ABC elsô szögfelezôi z O O mgsságvonli, A, B és C mgsságtlppontok A szerkesztés: O szksz felezéspontj: F O középpontú, OF sugrú kör: k (ABC körülírt köre vgy z O O Feuerch köre) k + e(o ; ) B (mgsságtlppont e(o ; )-n) 4 O Thlész köre: k T 5 k T + k { A; C } (mgsságtlppontok e(o ; )-n, ill e(o ; O )-n) 0 vgy megoldás lehet ) Felhsználjuk: Az ABC körülírt köre z O O Feuerch köre Az ABC elsô szögfelezôi z O O mgsságvonli, A, B és C mgsságtlppontok A mgsságpont és egy csúcs közti szksz felezéspontj rjt vn Feuerch-körön A szerkesztés: O 0 szksz felezéspontj: F O középpontú, OF sugrú kör: k O 0 Thlész köre: k T 4 k T + k { A; B } 5 k + e(o 0 ; ) C 0 vgy megoldás lehet 05 Legyen r 0 z ABC eírt körének, r F Feuerch körének, R körülírt körének sugr! Ngyítsuk fel úgy z ABC-et, hogy oldli érintsék z ABC Feuerch körét " AlBlCl Ngyításról lévén szó r 0 # r 0 l, r F # # r F l és R # Rl Az ABC Feuerch köre z AlBlCl eírt köre, és z 96 feldtn láttuk, hogy r F R, ezért r 0 # r 0 l r F R & r 0 # R 06 Felhsználjuk: A mgsságpont oldlegyenesekre vontkozó tükörképe háromszög körülírt körén vn Elég elátni, hogy ármely két tükörkép metszéspontj körülírt körön vn, hiszen tükörkép egyenesnek körrel vló egyik metszéspontj mgsságpont megfelelô tükörképe, másik metszéspont pedig csk egy vn, így nem lehet z egyik tükörképpel kör egyik, másik tükörképpel kör másik pontj Legyen e + e(c; B) P és e + e(c; A) Q, z e tükörképei e és e A tükrözés mitt M MP MM P f QMA és M MP csúcsszögek, így QMA f A tükrözés mitt QMA QM A f Legyen e + e R! AM R AM R f, mi zt jelenti, hogy AR z M és M pontokól egyenlô szögek ltt látszik & M és M rjt vnnk AR látószögkörívén Mivel A, M és M meghtározzák körüket, z ABC körülírt körét, így R is ezen körön vn & e és e körülírt körön metszik egymást Megjegyzés: áltlán igz, hogy A, M, R és M egy körön vnnk, mert vgy AM R AM R, vgy AM R + AM R M mgsságpont tükörképei z oldlegyenesekre M ; M ; M c, melyek z ABC körülírt körén tlálhtók P tükörképei z oldlegyenesekre P ; P ; P c PM egyenesnek z AC egyenesre vontkozó tükörképe P M, ezért e két egyenes z AC egyenesen metszi egymást &

21 84 Hsonlóság & PM + AC Q e két egyenesnek tükörtengelyen levô metszéspontj & P! e(m; Q ) Hsonlón megmutthtó, hogy P c! e(m; Q c ) A tengelyes szimmetri mitt Q M A Q MA {, vlmint Q c M c A Q c MA f PM AM c húrnégyszög, ezért { + f 80 & Q c ; M; Q egy egyenesen vnnk & P c ; M; P egy egyenesen vnnk Hsonlón igzolhtó, hogy PM és BC egyenesek Q metszéspontj és egyúttl P tükörkép is z M ponton átmenô P c MP egyenesre illeszkedik 08 Az 07 feldtn láttuk, hogy P pontnk, és c oldlegyenesekre vontkozó P, P, P c tükörképei mgsságponton átmenô egyenesen vnnk A tükrözésnél tükörtengely merôlegesen felezi pontot képével összekötô szkszt, így PP PT ; PP PT és PP c PT c mitt P középpontú m rányú középpontos hsonlóság P -t T -, P -t T -e és P c -t T c -e viszi Mivel P, P és P c egy egyenesen voltk, így képek is egy egyenesen lesznek, méghozzá z M-en átmenô egyenes P középpontú feles kicsinyített képén 09 Felhsználjuk: A mgsságponton átmenô egyenes oldlegyenesekre vontkozó tükörképei körülírt kör egy pontján metszik egymást A körülírt kör P pontjáól z oldlegyenesekre állított merôlegesek tlppontji egy egyenesen vnnk, mi párhuzmos P-hez trtozó M-en átmenô egyenessel A szerkesztés: M-en át párhuzmos z dott iránnyl: e e-t tükrözzük c oldlegyenesre: e c e c + k P 4 P-ôl merôlegest állítunk CB-re " T 5 T -n át párhuzmos e-vel: s A fentiek mitt s z ABC dott irányú Simson egyenese 0 Tegyük fel, hogy P pont megfelel feltételeknek: PA : PB, mi egy -tôl különözô állndó A elsô szögfelezôre vontkozó tétel mitt AE : EB :, külsô szögfelezôre vontkozó tétel mitt AD : DB : Az egy csúcsól induló elsô és külsô szögfelezô merôleges egymásr, tehát EPD 90 & P rjt vn z ED szksz Thlész körén Az ED átmérôjû kör minden pontj megfelelô Legyen Q Thlész-kör egy tetszôleges pontj Szerkesszük meg z XY $ AQ szkszt H AB, AQ és XY szkszokól lehet háromszöget szerkeszteni, 0/ 0/

22 Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 85 kkor készen vgyunk, mert vgy z AQB-rôl, vgy ennek AB-re vontkozó tengelyes tükörképérôl vn szó Meg kell tehát muttni, hogy $ AQ + AQ > AB és $ AQ - AQ < AB Az A középpontú, AE sugrú kör E-en érinti Thlész-kört, ezért Thlész-kör minden pontj külsô pont z A középpontú, AE sugrú kören Tehát AQ > AE és XY > $ AE BE Így AQ + XY>AE+ EB AB Az A középpontú, AD sugrú kört Thlész-kör elülrôl érinti Így AQ < AD és XY < $ AD BD, ezért XY - AQ < BD - AD AB Az E és D pontok meg- szerkeszthetôk AB és ismeretéen: AA BB (párhuzmos szelôszkszok tétele z AD A DA -re) & " D AA DB - BB (párhuzmos szelôszkszok tétele z A EA -re) AE & " E EB Legyen két dott szksz hossz és eset: Y Felhsználjuk: A keresett pon- tok z AB szksz rányú Apollonius körén vnnk, melynek átmérôje DE szksz (D z AB szksz : rányú külsô osztópontj, E z AB szksz : rányú elsô osztópontj) (lásd 0 feldt) Szerkesszünk háromszöget AB, n $, n $ szkszokól, hol n olyn lklms pozitív vlós szám, hogy három szkszr teljesül háromszög-egyenlôtlenség " ABP ABP P-hez trtozó elsô és külsô szögfelezôje A két szögfelezô és z AB egyenes metszéspontj: D és E 4 DE átmérôjû kör: k Bármely P! k esetén PA : PB : eset: H, kkor z AB szksz felezômerôlegese megoldás Tegyük fel, hogy z e egyenes elválsztj C-t és B-t! AP : BQ : kell legyen feltétel szerint eset: e(c; P ) + e(a; B) R AR P + BR Q, mert szögeik csúcsszögek, illetve AP AR váltószögek m & R z AB szksz : rányú osztópontj és CR QB RB szerkesztendô egyenes eset: e(c; P ) + e(a; B) R AR P + BR Q, mert egy szögük közös, másik egyállású AP AR m & R z AB szksz : rányú külsô osztópontj és CR Q B R B szerkesztendô egyenes A szerkesztés: A-n át AA B-n át párhuzmos AA -gyel és ezen ellentétes irányn BB, BB e(a ; B ) + e(a; B) R és e(a ; B ) + e(a; B) R e(c; R i ) + e P i és e(c; R i ) + f Q i 0; vgy megoldás lehet

23 86 Hsonlóság Adottk z x; y szeletek, melyeket szögfelezôje vág ki z AC efogóól A szerkesztés: AC x + y hosszú szksz E osztóponttl, AC szksz x : y rányú Apollonius köre: k (lásd z árán, illetve z feldtnál) C-en merôleges AC-re: + k B H x Y y, kkor két, z AC egyenesre tengelyesen szimmetrikus megoldás vn H x y, kkor nincs megoldás 4 A szerkesztés: eset: x Y y AB c szögû látószögköríve: k c AB szksz x : y rányú Apollonius köre: k (lásd z árán, illetve z feldtnál) k c + k C eset: x y AB c szögû látószögköríve: k c AB szksz felezômerôlegese: f AB k c + f AB C Két, z AB egyenesre tengelyesen szimmetrikus megoldás vn 5 Felhsználjuk: S súlyvonl csúcstól távoli hrmdolópontj CS szögfelezô z AF C-en, ezért C rjt vn z AF szksz : rányú Apollonius körén A szerkesztés: AF s hosszú szksz felvétele AF szksz : rányú Apollonius köre: k AF szksz c szögû látószögköríve: k c 4 k c + k C 5 C-t tükrözzük F -r: B Két, z AF egyenesre tengelyesen szimmetrikus megoldás vn 4 6 A szerkesztés: AB c hosszú szksz H Y, kkor AB szksz : rányú Apollonius köre: k (lásd z feldtnál) H, kkor AB felezômerôlegese: f AB Párhuzmos AB-vel m c távolságr: e e + k C, illetve f AB + e C 0; vgy megoldás lehet 7 Adott: BD; AD; c A szerkesztés: AD és BD szkszok felvétele úgy, hogy AD trtlmzz BD-t AB szksz AD : BD rányú Apollonius köre: k AB szksz c szögû látószögköríve: k c 4 k c + k C Két, z AB egyenesre tengelyesen szimmetrikus megoldás vn 5 8 ) Adott: f c ; m c ; A szerkesztés: CC m c hosszú szksz felvétele C -en merôleges CC -re: e C középpontú, f c sugrú kör: k C 4 k C + e E ( elsô szögfelezônek szemközti oldlll vló metszéspontj) 5 C-en merôleges f c -r, ennek e-vel vló metszéspontj D ( külsô szögfelezônek szemközti oldlegyenessel vló metszéspontj) 6 Szögfelezôtételek mitt AE : EB : és AD : DB : Legyen AE x, EB x, AD y, BD y AD AB + BD-t felhsználv y x + x + y & y + + EB - - $ x & BD x & - - BD ED szksz rányú felosztás " B 8 B tükrözése f c egyenesére: B* 9 CB* + e + A 0 vgy megoldás lehet

24 Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 87 ) Adott: f cl ; m c ; A szerkesztés: CC m c hosszú szksz felvétele C 9 -en merôleges CC -re: e C középpontú, f cl sugrú kör: k C 4 k C + e D ( külsô szögfelezônek szemközti oldlegyenessel vló metszéspontj) 5 C- en merôleges CD-re, ennek e-vel vló metszéspontj E ( elsô szögfelezônek szemközti oldlll vló metszéspontj) A feldt megoldás 6 ponttól kezdve megegyezik z ) rész megoldásávl 0 vgy megoldás lehet 9 H P eleget tesz feltételnek, kkor E PE D PD & E PO D PO O E P + O D P, mert mindkettô derékszögû, és P-nél lévô hegyesszögük z láhúzott állítás EO OP r OP mitt egyenlô m & H r DO O P r O P Y r, kkor P pont rjt vn z O O szksz r : r rányú Apollonius körén Az Apollonius-kör O O egyenesére esô átmérôjének két végpontj k és k kör elsô és külsô hsonlósági pontj H k + k 0Y, kkor z Apollonius-kör minden pontj megfelelô tuljdonságú H k és k metszik egymást, kkor z Apollonius-körnek csk k -en és k -n kívüli pontjiól húzhtók érintôk k -hez és k -höz H r r, kkor P pont rjt vn O O szksz felezômerôlegesén H k + k 0Y, kkor felezômerôleges minden pontj megfelelô tuljdonságú H k és k metszik egymást, kkor felezômerôlegesnek csk k -en és k -n kívüli pontjiól húzhtók érintôk k -hez és k -höz 0 A szerkesztés: Vegyünk fel z dott iránnyl párhuzmos egyenest " Al; Cl H c Y, kkor djuk meg AlCl szksz c : rányú Apollonius körét: k H c, kkor djuk meg AlCl szksz felezômerôlegesét: f AlCl k + OB Bl, illetve f AlCl + OB Bl 4 O középpontú középpontos hsonlóságot lklmzunk z AlBlCl-re úgy, hogy Bl képe B legyen 0; vgy megoldás lehet ndoklás: A szerkesztett háromszög megfelel z elvárásoknk, mert középpontos hsonlóságnál középponton át nem menô egyenes képe vele párhuzmos egyenes, tehát AlCl;AC AB AB l l c A középpontos hsonlóság ránytrtó, tehát Cl! e és O! e & C! e, vlmint Al! f és O! f & A! f CB CB l l Adott: AC; BD; ; Felhsználjuk: Az átlók metszéspontját kiegészítô háromszög csúcsávl összekötô egyenes z ABE súlyvonl (lásd z 97 feldtot) A DB és AC egyenesek áltl meghtározott csúcsszögek AB és DC párhuzmos szelôire lklmzv párhuzmos szelôk tételét: AC AM BD BM eset: AC Y BD A szerkesztés: ; " AlBlEl AlBl szksz AC : BD rányú Apollonius köre: kl AlBlEl El-ôl induló súlyvonl: sl 4 sl + kl Ml 5 e(al; Ml) + e(bl; El) AC Cl és e(bl; Ml) + e(al; El) Dl 6 Alklmzzunk rányú hsonlóságot z AlBlClDl AC l l trpézr " ABCD trpéz eset: AC BD Y esetén nincs megoldás, esetén végtelen sok megoldás vn 0

25 88 Hsonlóság ) H két kör sugr egyenlô, kkor O O ; P P, ezért nincs metszéspontjuk Különözô sugrk esetén O P ; O P, ezért párhuzmos szelôszkszok tétele mitt O P : O P O H k : O H k állndó & H k helye centrálison csk sugrk rányától függ ) eset: A két kör sugr egyenlô O -en és O -en merôlegest állítunk körök centrálisár Ezeknek körökkel vló E, F, ill E, F metszéspontji lesznek z érintési pontok E E egyenese z egyik, F F egyenese másik érintô eset: A két kör sugr különözô Felveszünk mindkét kören egy-egy sugrt, melyek párhuzmosk és egyirányúk " P, P e(o ; O ) + e(p ; P ) H k két kör külsô hsonlósági pontj A H k -ól k -höz húzott érintô két kör közös érintôje, hiszen k -höz húzott érintô képe k -et kell, hogy érintse, ez z egyenes pedig átmegy H k -n, tehát invriáns, képe önmg ) O P ; O P, ezért párhuzmos szelôszkszok tétele mitt O P : O P O H : O H állndó & H helye centrálison csk sugrk rányától függ ) Felveszünk mindkét kören egy-egy sugrt, melyek párhuzmosk és ellentétes irányúk " P, P e(o ; O ) + e(p ; P ) H két kör elsô hsonlósági pontj A H -ól k -höz húzott érintô két kör közös érintôje, hiszen k -höz húzott érintô képe k -et kell, hogy érintse, ez z egyenes pedig átmegy H -n, tehát invriáns, képe önmg Megjegyzés: két körnek kkor létezik közös elsô érintôje, h r + r $ O O Egyenlôség esetén egy közös elsô érintô vn 4 A szerkesztés: Legyen P O ; P O k, illetve k kör egyirányú párhuzmos sugr! P P + O O H k külsô hsonlósági pont Legyen P O ; O Q k, illetve k kör ellentétes irányú párhuzmos sugr! P Q + O O H elsô hsonlósági pont Koncentrikus körök elsô, illetve külsô hsonlósági pontj zonos két kör közös középpontjávl 5 ) A két kör kívülrôl érinti egymást: A külsô hsonlósági pont körökön kívül kise kör oldlán centrálison vn úgy, hogy O z O H k szksz r : r rányú osztópontj (egyenlô sugrú körök esetéen nem létezik) A elsô hsonlósági pont két kör érintési pontj ) A két kör egyike elülrôl érinti másikt: A külsô hsonlósági pont két kör érintési pontj A elsô hsonlósági pont z O O szksz r : r rányú osztópontj A hsonlósági pontok szerkesztésérôl l z 4 feldtot 6 A szerkesztés: P O ; P O k, illetve k kör egyirányú párhuzmos sugr; e(p ; P ) + e(o ; O ) H k külsô hsonlósági pont, mivel P O H k + P O H k és r : r H k O : H k O Egyenlô sugrú köröknek nincs külsô hsonlósági pontj P O ; Q O k, illetve k kör ellentétes irányú párhuzmos sugr; e(p ; Q ) + e(o ; O ) H elsô hsonlósági pont, mivel Q O H + P O H és r : r H O : H O 7 A szerkesztés: Keressük meg k kör és szerkesztendô kör hsonlósági pontját! {Az érintési pont elsô hsonlósági pontj z egymást kívülrôl érintô köröknek, külsô hsonlósági pontj két körnek, h z egyik elülrôl érinti másikt} A P-en e-re állított m me- 4 7

26 Euler-egyenes, Feuerch-kör, Simson-egyenes, Apollonius-kör 89 rôleges lesz kl kör sugránk egyenese, z O-ól e-re állított merôleges pedig k kör sugránk egyenese " P ; P! k e(p ; P) + k E z egymást kívülrôl érintô körök elsô hsonlósági pontj, tehát z érintési pont EP felezômerôlegesének és m-nek metszéspontj O 4 O középpontú, O P sugrú kör: k l 5 e(p ; P) + k D elülrôl érintô körök külsô hsonlósági pontj, tehát z érintési pont DP felezômerôlegesének és m-nek metszéspontj O 6 O középpontú, O P sugrú kör: k l megoldás vn 8 eset: OE nem merôleges f-re A szerkesztés: A k kört E-en érintô kl körnek és k-nk E-en közös z érintô egyenese, z OE-re E-en állított merôleges: e e + f P A P csúcsú, e és f szárú szög szárit érintô körök középpontji szögfelezôkön vnnk: g ; g 4 g + e(o; E) O l és g + e(o; E) O l 5 O l középpontú, O l E sugrú kör: k l és O l középpontú, O le sugrú kör: k l megoldás vn eset: H OE f, kkor e ; f, tehát nem hsználhtjuk vázolt gondoltmenetet Ekkor kphtunk 0 megoldást, megoldást vgy végtelen sok megoldást 9 A szerkesztendô kl kör elülrôl érinti k kört Az 5 feldtn láttuk, hogy közös érintési pont két kör külsô hsonlósági pontj A kl kör egyik sugáregyenese z e-re E pontn állított m merôleges A k kör vele párhuzmos és egyirányú sugr OP e(e; P) + k D külsô hsonlósági pont, vgyis z érintési pont 4 e(o; D ) + m Ol; Ol középpontú OlD sugrú kör & kl megoldás vn Pitgorsz tételének lklmzás 0 x á,6 m (Még egy tízszintes toronyház is elférne) h á 6, m hosszú rúd BD á 4,97 m Körülelül 0,04 m hosszú 4 l á,5 m z átlóvs hossz 5 x á 0,77 m csúszd hossz 6 P-ôl szárkr állított merôlegesek tlppontji T, U, derékszög csúcs C d(p; T), d(p; U) & CTPU négyszög tégllp & CT Pitgorsz-tétel szerint CTP derékszögû háromszögen + d & d + d_ P; Ci 7 T felezi CB szkszt & ADBT négyszög derékszögû trpéz BU merôleges AD-re & BUD háromszög derékszögû, efogói 4, m és 70,575 m Pitgorsz-tétel BUD derékszögû háromszögen: BD 4, + 70,575 & BD á á,78 m hosszú feszítô kötél 8 AMC derékszögû háromszögen AM + 5 & & AM m BM AM - AB 7,8 m BMC derékszögû háromszögen 7,8 + 5 x & x á 9,6 m rúd hossz 9 m 5 cm mgsság 40 Az egyenlô szárú háromszöget z lphoz trtozó mgsság két egyevágó derékszögû háromszögre ontj, 7 melynek efogói 4x és 5 cm, átfogój 5x hosszú (4x) + 5 (5x) & x 5cm& 48x 40 cm z lp, 5x 5 cm szár 4 Szályos háromszög oldlfelezô merôlegese és mgsság megegyezik Beírt és köré írt körének középpontj súlypont, mi mgsság csúcstól távoli hrmdolópontj AFC derékszögû háromszögen J N CF K + & CF m O mgsság, CS m L P R körülírt kör sugr, SF m r eírt kör sugr 6

27 90 Pitgorsz tételének lklmzás 4 Szályos háromszög köré írt körének sugr - mgsságánk & R m $ & R R J N 4 Pitgorsz-tétel mgsság áltl lemetszett egyik derékszögû háromszögre: h + K O L P h & h 44 BCE szályos háromszög mgsság BC felezôpontj F & AFE háromszög J N J N derékszögû és efogóink hossz, illetve AE K O + & AE K O K O L P L P ED A két gerend hossz $, 6m 6, 4m 45 A hálózt egyeneseinek távolság 4 mm, illetve 4,5 mm 46 A háromszög egy szályos háromszög fele : + () & 47 A háromszög egy szályos háromszög fele : + () & 48 Szályos háromszögen m A feldt szerint m - d & - d & d & 4+ ld - 49 A efogó á,46 m, z átfogó á 6,9 m 50 ABC szályos háromszög, AlBlC szályos háromszög & ABC + AlBlC; D d mabc ; mal BlC l ; ABBlAl trpéz mgsság h & m AlBlC + h m ABC d D 6, 5 D 5 ) d 6,5 cm, h 7,5 cm, + h + 75, D 6, 5+ & & d D d 0 5, 6 cm ) D 0 cm, h 9,5 cm, + h & + 95, & d 0-9 d D 5-9, 0 cm c) D 5 cm, d cm, + h & + h & h, 6 cm 5 A szárk hossz á,8 cm 5 AC 9 cm 5 eset: AB 5 cm eset: AB cm

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón

Részletesebben

1012/I. 1012/II. 1013.

1012/I. 1012/II. 1013. Húrnégyszögek, érintônégyszögek 7 0/ 0/ 0 008 Külsô pontól körhöz húzott érintôszkszok egyenlôk & A sokszög egy-egy csúcsáól induló érintôszkszok egyenlôk és két szomszédos oldl drji & Minden egyes érintôszkszól

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

Részletesebben

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Középpontos hasonlóság szerkesztések Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen

Részletesebben

Geometria. 1. feladat

Geometria. 1. feladat Geometri 1. feldt A kerületi és középponti szögek tétele lpján LAB =AO B (mivel LAB érintőszárú kerületiszög). Hsonlón KAB =AO 1 B. A szimmetri mitt AO O 1 =O 1 O B és BO 1 O =O O 1 A. Így AO O 1 =O 1

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

metszéspontjának megjelölésével kaphatjuk. A felezéspont és a kétszeres szakasz bármelyik végpontja meghatározza a szerkesztendô szakaszt.

metszéspontjának megjelölésével kaphatjuk. A felezéspont és a kétszeres szakasz bármelyik végpontja meghatározza a szerkesztendô szakaszt. Síkgeometri Bevezetés síkgeometriáb Szkszok; sokszögek átlói A szksz kétszeresébôl z eredeti szkszt szkszfelezô merôleges és kétszeres szksz metszéspontjánk megjelölésével kphtjuk A felezéspont és kétszeres

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+ 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

Kardos Montágh verseny Feladatok

Kardos Montágh verseny Feladatok Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek

Részletesebben

Középiskolai tanulmányok alapján átismétlend, illetve önállóan feldolgozandó anyag

Középiskolai tanulmányok alapján átismétlend, illetve önállóan feldolgozandó anyag Mrkó Zoltán Középiskoli tnulmányok lpján átismétlend, illetve önállón feldolgozndó nyg GEOMETRI Trtlomjegyzék Trtlomjegyzék... 3 sík egyevágósági és hsonlósági trnszformáiói... 5 Egyevágósági trnszformáiók

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Egy geometria feladat margójára

Egy geometria feladat margójára Egy geometria feladat margójára Erdős Gábor 019. június. A feladat Az ABC szabályos háromszög AB oldalának felezőpontja F. A CF szakasz azon belső pontja a D pont, amelyre az ADB szög 90 fokos. A CF szakasz

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

MATEMATIKA II. (GEOMETRIA)

MATEMATIKA II. (GEOMETRIA) 1. Mi z lpfoglom? lpfoglom: olyn foglom, mit ismertnek fogdunk el, nem tudunk más foglmk segítségével meghtározni, legfelje szemléletesen körülírjuk. Minden tudomány ilyen lpfoglmkr épül fel.. geometri

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

& ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC. A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl. Hasonlóan

& ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC. A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl. Hasonlóan Tetréder 9 788 789 788 Legyenek gömb érintési pontji lpsíkokkl Al, Bl, Cl és Dl ODl9 [ABC] & & ODl9 BC; OAl9 [BCD] & OAl9 BC A két állításból & BC9 [OAlDl] & BC9 AlDl Hsonlón beláthtó, hogy AB9 ClDl, AC9

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

I. Síkgeometria. Bevezetés a síkgeometriába. & b) AC + BD > AB miatt a pontok A; D; C; B sorrendben helyezkednek el. Szakaszok; sokszögek átlói

I. Síkgeometria. Bevezetés a síkgeometriába. & b) AC + BD > AB miatt a pontok A; D; C; B sorrendben helyezkednek el. Szakaszok; sokszögek átlói Síkgeometri Bevezetés síkgeometriáb Szkszok; sokszögek átlói A szksz kétszeresébôl z eredeti szkszt szkszfelezô merôleges és kétszeres szksz metszéspontjánk megjelölésével kphtjuk A felezéspont és kétszeres

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

45 különbözô egyenest kapunk, ha q! R\{-35}. b) $ =- 1& = 0, nem felel meg a feladat feltételeinek.

45 különbözô egyenest kapunk, ha q! R\{-35}. b) $ =- 1& = 0, nem felel meg a feladat feltételeinek. Az egyenes egyenletei 8 67 a), n( -) x - y b) x - y c) n( ) x+ y- d) n( -), x- y 7 67 a) y x b) n(b a), nl(a - b) ax - by 0 c) n( -) nl( ) 7 x + y 7 d) x - y e) x - 9y f) x + y g) x - h) - O, 77 n( ) nl(

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 3. tétel: Nevezetes ponthalmazok síkban és térben

Emelt szintő érettségi tételek. 3. tétel: Nevezetes ponthalmazok síkban és térben . tétel: Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Ponthlmzok: Sík vgy tér részhlmzi, áltlán utsításokkl djuk meg: A P x; y R x + y = B= R Nevezetes ponthlmzok: = { ( ) } vgy { PO= r, r>. Két pont szkszfelezı

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2) 55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +

Részletesebben

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják. 5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

Bevezetés a síkgeometriába

Bevezetés a síkgeometriába a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

196 Pitagorasz tételének alkalmazása

196 Pitagorasz tételének alkalmazása 96 Pitgorsz tételének lklmzás 08 09 0 08 AE EB m; EC 0,8 m A Thlész-tétel szerint CBD derékszögû & lklmzhtó mgsságtétel: BE CE $ ED Az dtokt behelyettesítve: 0,8(r + r ) & r 5 - r A Pitgorsz-tétel z OEB

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Alapszerkesztések 2. (Merőlegesek szerkesztése, nevezetes szögek, háromszög három oldalból) Merőleges szerkesztése egyeneshez külső pontból

Alapszerkesztések 2. (Merőlegesek szerkesztése, nevezetes szögek, háromszög három oldalból) Merőleges szerkesztése egyeneshez külső pontból 1 Merőleges szerkesztése egyeneshez külső pontból Egy egyeneshez szerkessz egy adott ponton átmenő merőlegest! 1.Végy fel a síkon egy egyenest 2.Végy fel a síkon egy olyan pontot, amely nem az egyenesen

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget!

Részletesebben

9. évfolyam Hány darab ötjegyű kettes számrendszerbeli szám van?

9. évfolyam Hány darab ötjegyű kettes számrendszerbeli szám van? 9. évfolym 00. Ktink vn egy supsz áj. A ához már kpott kétféle klpot, három különöző lúzt, vlmint három különöző szoknyát. Hányféleképpen öltöztetheti fel előlük áját Kti, h egy szoknyát, egy lúzt és egy

Részletesebben

A Fermat-Torricelli pont

A Fermat-Torricelli pont Vígh Viktor SZTE Bolyai Intézet 2014. november 26. Huhn András Díj 2014 Így kezdődött... Valamikor 1996 tavaszán, a Kalmár László Matematikaverseny megyei fordulóján, a hetedik osztályosok versenyén. [Korhű

Részletesebben

Az 1. forduló feladatainak megoldása

Az 1. forduló feladatainak megoldása Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

P = PE 2 = P. E 1. + e 2. = 3 cm AKB = 90, KF felezi az ívet, tehát felezi a BKA -et is. & KE 2

P = PE 2 = P. E 1. + e 2. = 3 cm AKB = 90, KF felezi az ívet, tehát felezi a BKA -et is. & KE 2 110 Körök 800 80 803 797 Az e-t E-ben érintô körök középpontjai az E-ben e-re állított merôlegesen vannak A merôleges minden E-tôl különbözô pontja megfelel, mert az érintési pontba húzott sugár merôleges

Részletesebben

Szinusz- és koszinusztétel

Szinusz- és koszinusztétel Szinusz- és koszinusztétel. Htározzuk meg z oldlk rányát, h α 0, β 60. α + β + γ 80 γ 80 α β 80 0 60 90 A szinusztételt felhsználv z oldlk rány: zz : : : sin β : sin 0 : sin 60 : sin 90 : : : : : :. Htározzuk

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

8. Geometria = =

8. Geometria = = 8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Bizonyítások A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben