15. tétel: Összefüggések a háromszög oldalai és szögei közt

Átírás

1 Mgyr Eszter 15. tétel: Összefüggések hárszög ldli és szögei közt Eelt szintő érettségi tételek Definíiók: Hárszög súsi: hár ne kllineáris pnt. Jelölésük: A, B, C Hárszög ldli: súskt összekötı szkszk. Jelölésük:,, ( egfelelı súsl szeközti etővel) Hárszög elsı szöge: vlely két ldl, int félegyenes áltl ezárt szög. Jelölésük: α, β, γ Hárszög külsı szöge: z egyik elsı szög ellékszöge. Hegyesszögő hárszög: inden szöge hegyesszög ( 0 < α, β, γ< 90 Derékszögő hárszög: egyik elsı szöge derékszög. Tpszögő hárszög: egyik szöge tpszög ( 90 < γ< 180, de 0 < α, β< 90 ) Egyenlıszárú hárszög: két ldl egyenlı hsszúságú, ezeket szárknk nevezzük, hrdik ldl z lp. Egyenlı ldlú hárszög: inden ldl egyenlı. Tétel (ió is lehetne): hárszög-egyenlıtlenség: Egy hárszög árely két ldlánk összege ngy hrdik ldlnál: Egy hárszög elsı szögeinek összege 180. Biznyítás: Húzzunk párhuzst A-n keresztül BC ldlll! Ekkr A súsnál is γ és β szögek keletkeznek (váltószögek). Így α +β+γ180 (A Blyi-geetrián göi-geetrián pedig α +β+γ<180, α +β+γ> 180.) + > A hárszög külsı szöge egyenlı ne ellette fekvı két elsı szög összegével. Biznyítás: α +β+γ180 (elsı szögek összege) +α α β+γ α 180 (szög és ellékszög összege) A hárszög külsı szögeinek összege 360. Biznyítás: α +β +γ 180 α β γ 540 α+β+γ 360 ( ) ( ) ( ) ( ) ellékszög összevnás elsı szögek összege

2 Mgyr Eszter Eelt szintő érettségi tételek Egy hárszögen két ldl kkr és sk kkr egyenlı, h velük szeközti szögek is. Azz : α β Biznyítás: 1. α β Kössük össze hrdik ldl felezıpntját két ldl közös súsávl! Ekkr két egyevágó hárszög keletkezik, AFC BFC, ert ldlik párnként egegyeznek. Eıl következik, hgy z zns ldlk áltl közezárt szögek is egyenlık( α β). A hárszögek egyevágóságáól z is következik, hgy AFC p BFC p 90, vgyis z lphz trtzó súlyvnl gsság is.. α β Indirekt, tfh α β de, feltehetı, hgy <. Ilyenkr létezik AC ldlnk egy lyn D elsı pntj, elyre AD. CDB tehát így egyenlıszárú, így z elızı rész itt: CDBp CBDp δ, és α < δ (ADB elsı és külsı szöge) ill. δ < β (ivel enne vn) Eıl: α < β, i ellentndás. Egy hárszögen ngy ldlll szeen ngy szög vn és frdítv: Azz : < α< β Biznyítás: 1. < α< β Ilyenkr létezik AC ldlnk egy lyn D elsı pntj, elyre AD. CDB tehát így egyenlıszárú, és z elızı tétel itt: CDBp CBDp δ, és α < δ (ADB elsı és külsı szöge) ill. δ < β (ivel enne vn) Eıl: α < β, it iznyítni szerettünk vln.. α <β< Indirekt, tegyük fel, hgy α < β, de. h, kkr α β z elızı tétel itt. Ez ellentndás. h pedig >, kkr α > β z elızı rész itt. Ez is ellentndás.

3 Mgyr Eszter Pitgrsz-tétel: Egy derékszögő hárszög két efgójánk négyzetösszege z átfgó négyzete. Azz: γ Eelt szintő érettségi tételek Biznyítás: A tétel iznyításán felhsználjuk zt z euklideszi ióát, hgy H egyenlı területekıl egyenlı területeket veszünk el, kkr rdék területek is egyenlık. Készítsünk két dr ( + ) ldlú négyzetet z lái ódn: hl és derékszögő hárszög efgói. A ( + ) ldlú négyzetek területe nyilvánvlón egyenlı (. ió, területszáítás). A lldli négyzeten kptunk 4 dr, z eredeti hárszöggel egyevágó derékszögő hárszöget (hiszen efgói és derékszög egegyezik), és egy illetve ldlú négyzetet. Ezek területe és területegység. A j ldli négyzeten is egtlálhtó ez 4 dr, z eredeti hárszöggel egyevágó derékszögő hárszög (hiszen efgói és derékszög ind 4 hárszögen egegyezik), ezeknek átfgój Így tehát középsı PQRS síkid inden ldl. Az eredeti hárszögen α+β 90, ezért PQRS síkidnk inden szöge 180 ( α + β ) 90. Tehát PQRS síkid egy ldlú négyzet, területe pedig. H indkét négyzetıl elvesszük 4 dr derékszögő hárszöget, rdékk területe is egyenlı, zz: + Pitgrsz-tétel egfrdítás: H egy hárszögen két ldl négyzetének összege egyenlı hrdik ldl négyzetével, kkr hrdik ldlll szeen derékszög vn. Azz: + γ 90. Biznyítás: Vegyünk fel egy és efgójú derékszögő hárszöget. Ennek átfgóját jelöljük -vel. + Erre hárszögre teljesül Pitgrsz-tétel, tehát: ( ) Visznt: +, így ( ) Ez visznt zt jelenti, hgy két hárszög egyevágó, ivel inden ldl egegyezik, tehát z eredeti ABC hárszög is derékszögő.

4 Mgyr Eszter Összefüggés hárszög ldli és köréírt körének sugr közt: Megrjzlv hárszög körért körét (ldlfelezı erılegesek), BACp α kör A-t ne trtlzó BC ívének kerületi szöge. Így BOCp α kerületi és középpnti szögek tétele itt. Ezért BOFp COFp α. Fölírv egy szögfüggvényt: sin α R Tpszögő és derékszögő hárszög esetéen is igz. Eelt szintő érettségi tételek Trignetri derékszögő hárszögeken (hegyesszögek szögfüggvényei): Egy hegyesszög szinusz egy derékszögő hárszögen szöggel szeközti efgó és z átfgó hányds. sin α Egy hegyesszög kszinusz egy derékszögő hárszögen szög elletti efgó és z átfgó hányds. Azz z ár jelöléseit hsználv: s α Egy hegyesszög tngense egy derékszögő hárszögen szöggel szeközti és szög elletti efgó hányds. Azz z ár jelöléseit hsználv: tg α Egy hegyesszög ktngense egy derékszögő hárszögen szög elletti efgó és szöggel szeközti efgó hányds. Az ár jelöléseit hsználv: tg α A definíió ne függ hárszög válsztásától, ert z ilyen hárszögek hsnlók (két szög egegyezik), z ldlk rány állndó. Szögfüggvények tuljdnsági: (hegyesszögek esetén) 1. 0 < < 1. 0 < sα< < tgα 4. 0 < tgα 5. 1 sα tgα 6. tg α sα tgα 7. Visszkeresés: sin α 0,6 szálógép: α sin 0, 6 α rsin0, 6 8. Négyzetes összefüggés: ellékegjegyzés: sin( α sin + Pitgrsz tétel α+ s α + 1 ) ()

5 Mgyr Eszter Eelt szintő érettségi tételek 9. Pótszöges összefüggés: α+β 90 β 90 α sin β sin(90 α) sα 1 tg β tg(90 α) tgα tgα Szinusztétel: Egy hárszögen két ldl rány egegyezik velük szeen levı szögek szinuszink rányávl. Azz: : : :sinβ : sinγ 1. 0 <α; γ< 90 A B-ıl induló gsság tlppntj (T) AC- n elül vn. BTA illetve CTB sinγ sinγ. 0 < α < 90 és γ 90 sin α sinγ sin <α< 90 és γ> 90 A B-ıl induló gsság tlppntj (T) AC- n kívül vn BTC BCT 180 γ és ATB sinγ sin( 180 γ) sinγ Q. E. D. Kszinusztétel: Bárely hárszögen z egyik ldl négyzetét egkpjuk, h ásik két ldl négyzetösszegéıl kivnjuk e két ldl és z áltluk közezárt szög kszinuszánk kétszeres szrztát. + sγ

6 Mgyr Eszter Eelt szintő érettségi tételek Biznyítás: 1. 0 < γ < 90 A B-ıl induló gsság tlppntj (T) AC- n elül vn BTC + sγ BTA + ( ) sγ sγ. γ 90 s sγ + i épp Pitgrsz-tétel 3. γ > 90 A B-ıl induló gsság tlppntj (T) AC- n kívül vn BTC 180 γ BTC BTA + s(180 γ) sγ sγ Q. E. D. + (+ ) sγ Alklzásk: - skszögek elsıszög-összege 3 - szálys hárszög gsságánk és ldlánk rány - egyenlı szárú derékszögő hárszög átfgójánk és efgójánk rány - nevezetes szögfüggvények értéke ( 30, 45, 60 ) - vektrk felntás (erıleges) kpnensekre (fizikán erık összegzése) - terület és térfgtképletek - térgeetrián síketszeteknél - hárszög ldlink, szögeinek kiszáítás (kszinusz- ill. szinusztétel) - területszáítás - térképészet, sillgászt: távlságk száítás