Analízis elo adások. Vajda István október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
|
|
|
- Irma Szőke
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40
2 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Jelölések: A függvényeket általában a latin vagy görög ábécé betu ivel jelöljük, pl. f, g, h,... ϕ, ψ,... Az értelmezési tartományt D-vel, Df -fel,... jelöljük. (Az index a függvény jele.) / 40
3 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Jelölések: A függvényeket általában a latin vagy görög ábécé betu ivel jelöljük, pl. f, g, h,... ϕ, ψ,... Az értelmezési tartományt D-vel, Df -fel,... jelöljük. (Az index a függvény jele.) / 40
4 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan b B létezik, amelyre arb. Definíció: Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Jelölések: A függvényeket általában a latin vagy görög ábécé betu ivel jelöljük, pl. f, g, h,... ϕ, ψ,... Az értelmezési tartományt D-vel, Df -fel,... jelöljük. (Az index a függvény jele.) / 40
5 Fogalmak A függvények értelmezése Jelölés: A B halmazt a függvény (reláció) érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Az y y B, x A : (x, y ) R halmazt a függvény értékkészletének nevezzük. Megjegyzés: A függvény értékkészlete tehát az érkezési halmaz azon elemeibo l áll, amelyekhez található olyan elem az értelmezési tartományból, amellyel relációban vannak. Jelölés: Az f függvény értékkészletét Rf -fel jelöljük. 3 / 40
6 Fogalmak A függvények értelmezése Jelölés: A B halmazt a függvény (reláció) érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Az y y B, x A : (x, y ) R halmazt a függvény értékkészletének nevezzük. Megjegyzés: A függvény értékkészlete tehát az érkezési halmaz azon elemeibo l áll, amelyekhez található olyan elem az értelmezési tartományból, amellyel relációban vannak. Jelölés: Az f függvény értékkészletét Rf -fel jelöljük. 3 / 40
7 Fogalmak A függvények értelmezése Jelölés: A B halmazt a függvény (reláció) érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Az y y B, x A : (x, y ) R halmazt a függvény értékkészletének nevezzük. Megjegyzés: A függvény értékkészlete tehát az érkezési halmaz azon elemeibo l áll, amelyekhez található olyan elem az értelmezési tartományból, amellyel relációban vannak. Jelölés: Az f függvény értékkészletét Rf -fel jelöljük. 3 / 40
8 Fogalmak A függvények értelmezése Jelölés: A B halmazt a függvény (reláció) érkezési halmazának nevezzük. Definíció: Az y y B, x A : (x, y ) R halmazt a függvény értékkészletének nevezzük. Megjegyzés: A függvény értékkészlete tehát az érkezési halmaz azon elemeibo l áll, amelyekhez található olyan elem az értelmezési tartományból, amellyel relációban vannak. Jelölés: Az f függvény értékkészletét Rf -fel jelöljük. 3 / 40
9 Fogalmak A függvények értelmezése Az értelmezési tartomány és az értékkészlet szemléltetése koordinátarendszerben: y 4 f 3 Rf Df 4 3 x / 40
10 Fogalmak A függvények értelmezése Megjegyzés: A függvény definíciójában szereplo rendezett párok elso elemeit helynek nevezzük (ahol a függvény értelmezett), a második elemeket (helyettesítési) értéknek nevezzük (amit a függvény felvesz). Jelölések: A hely szokásos jelölései: x, x0, x,..., a, b,... Az érték jelölései: y, y0, y,..., f (x ), f (x0 ), g (x ),..., f (a ), ϕ (b ),... Megjegyzés: A következo kben az úgynevezett valós-valós függvényekkel foglalkozunk, vagyis olyan függvényekkel, amelyekre A R és B R. 5 / 40
11 Fogalmak A függvények értelmezése Megjegyzés: A függvény definíciójában szereplo rendezett párok elso elemeit helynek nevezzük (ahol a függvény értelmezett), a második elemeket (helyettesítési) értéknek nevezzük (amit a függvény felvesz). Jelölések: A hely szokásos jelölései: x, x0, x,..., a, b,... Az érték jelölései: y, y0, y,..., f (x ), f (x0 ), g (x ),..., f (a ), ϕ (b ),... Megjegyzés: A következo kben az úgynevezett valós-valós függvényekkel foglalkozunk, vagyis olyan függvényekkel, amelyekre A R és B R. 5 / 40
12 Fogalmak A függvények értelmezése Megjegyzés: A függvény definíciójában szereplo rendezett párok elso elemeit helynek nevezzük (ahol a függvény értelmezett), a második elemeket (helyettesítési) értéknek nevezzük (amit a függvény felvesz). Jelölések: A hely szokásos jelölései: x, x0, x,..., a, b,... Az érték jelölései: y, y0, y,..., f (x ), f (x0 ), g (x ),..., f (a ), ϕ (b ),... Megjegyzés: A következo kben az úgynevezett valós-valós függvényekkel foglalkozunk, vagyis olyan függvényekkel, amelyekre A R és B R. 5 / 40
13 Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
14 Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
15 Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
16 Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
17 Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
18 Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
19 Fogalmak A függvények megadása képlettel explicit módon implicit módon paraméteresen táblázattal grafikonnal A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával. 6 / 40
20 Fogalmak Példák függvény megadására Grafikonnal: y Képlettel: y =x 3 f (x ) = x f : R R, f (x ) = x x 7 x f : Df = R, f (x ) = x 4 x f (x ) = x 7 / 40
21 Fogalmak Példák függvény megadására Grafikonnal: y Táblázattal: x f (x ) x 3 8 / 40
22 Fogalmak Példák függvény megadására Implicit megadás: x + xy + y = 9 / 40
23 Fogalmak Példák függvény megadására Implicit megadás: x + xy + y = Grafikonnal: y x 9 / 40
24 Fogalmak Példák függvény megadására Implicit megadás: x + xy + y = Grafikonnal: y x 9 / 40
25 Fogalmak Példák függvény megadására Paraméteres megadás: x y = + sin(t ) ahol t [0, π] = cos(t ) 0 / 40
26 Fogalmak Példák függvény megadására Paraméteres megadás: x y = + sin(t ) ahol t [0, π] = cos(t ) Grafikonnal: y 3 x 3 0 / 40
27 Fogalmak Példák függvény megadására Paraméteres megadás: x y = + sin(t ) ahol t [0, π] = cos(t ) Grafikonnal: y 3 x 3 0 / 40
28 Fogalmak Példák függvény megadására A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával: A D : R R függvény racionális helyeken -t, irracionális helyeken 0-t vesz fel. Megjegyzés: Ezt a függvényt Dirichlet-függvénynek nevezzük. / 40
29 Fogalmak Példák függvény megadására A hozzárendelési szabály szöveges megfogalmazásával: A D : R R függvény racionális helyeken -t, irracionális helyeken 0-t vesz fel. Megjegyzés: Ezt a függvényt Dirichlet-függvénynek nevezzük. / 40
30 globális tulajdonságai Korlátosság Definíció: Az f függvényt felülro l korlátosnak nevezzük, ha K R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) K. Megjegyzés: A definícióban szereplo K számot az f függvény felso korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha k R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) k. Megjegyzés: A definícióban szereplo k számot az f függvény alsó korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvény korlátos, ha alulról is és felülro l is korlátos. / 40
31 globális tulajdonságai Korlátosság Definíció: Az f függvényt felülro l korlátosnak nevezzük, ha K R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) K. Megjegyzés: A definícióban szereplo K számot az f függvény felso korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha k R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) k. Megjegyzés: A definícióban szereplo k számot az f függvény alsó korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvény korlátos, ha alulról is és felülro l is korlátos. / 40
32 globális tulajdonságai Korlátosság Definíció: Az f függvényt felülro l korlátosnak nevezzük, ha K R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) K. Megjegyzés: A definícióban szereplo K számot az f függvény felso korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha k R, amelyre teljesül, hogy x Df esetén f (x ) k. Megjegyzés: A definícióban szereplo k számot az f függvény alsó korlátjának nevezzük. Definíció: Az f függvény korlátos, ha alulról is és felülro l is korlátos. / 40
33 globális tulajdonságai Korlátosság y 6 Példa alulról korlátos függvényre: 5 f (x ) = x x Legnagyobb alsó korlát a. Az alsó korlátok halmaza ], ]. Felülro l nem korlátos, így nem korlátos függvény. x / 40
34 globális tulajdonságai Korlátosság y 5 Példa felülro l korlátos függvényre: 4 f (x ) = 5 x 3 Legkisebb felso korlát az 5. A felso korlátok halmaza [5, [. Alulról nem korlátos, így nem korlátos függvény. x 0 4 / 40
35 globális tulajdonságai Korlátosság Példa korlátos függvényre: y f (x ) = sin(x ) Legkisebb felso korlát az. Legnagyob alsó korlát az. x π π π π A felso korlátok halmaza [, [. Az alsó korlátok halmaza ], ]. A függvény korlátos, mert alulról is és felülro l is korlátos. 5 / 40
36 globális tulajdonságai Korlátosság y 4 3 Példa olyan függvényre, ami sem alulról sem felülro l nem korlátos: f (x ) = x 3 x / 40
37 globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Definíció: Az f : Df R függvénynek az x0 Df hely abszolút maximumhelye, ha x Df esetén f (x ) f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút maximum értéke. Definíció: Az f : Df R függvénynek az x0 Df hely abszolút minimumhelye, ha x Df esetén f (x ) f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút minimum értéke. 7 / 40
38 globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Definíció: Az f : Df R függvénynek az x0 Df hely abszolút maximumhelye, ha x Df esetén f (x ) f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút maximum értéke. Definíció: Az f : Df R függvénynek az x0 Df hely abszolút minimumhelye, ha x Df esetén f (x ) f (x0 ). Az x0 helyen felvett f (x0 ) függvényérték az f függvény abszolút minimum értéke. 7 / 40
39 globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Megjegyzések: Egy függvénynek több (abszolút) maximum-, illetve minimumhelye is lehet, de maximum- és minimum értékeinek száma legfeljebb egy. Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) maximuma, ha felülro l korlátos és a legkisebb felso korlátját felveszi függvényértékként. (Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) minimuma, ha alulról korlátos és a legnagyobb alsó korlátját felveszi függvényértékként.) 8 / 40
40 globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Megjegyzések: Egy függvénynek több (abszolút) maximum-, illetve minimumhelye is lehet, de maximum- és minimum értékeinek száma legfeljebb egy. Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) maximuma, ha felülro l korlátos és a legkisebb felso korlátját felveszi függvényértékként. (Egy függvénynek akkor és csak akkor van (abszolút) minimuma, ha alulról korlátos és a legnagyobb alsó korlátját felveszi függvényértékként.) 8 / 40
41 globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Példa függvényre, amelynek van abszolút minimuma, de nincs abszolút maximuma: y f (x ) = x 4x minimum hely 3 x 3 4 minimum érték 9 / 40
42 globális tulajdonságai Abszolút szélso érték Példa függvényre, amelynek több abszolút minimumhelye, illetve maximumhelye is van: y maximum hely maximum érték 3π π π π π 3π x f (x ) = sin(x ) minimum hely minimum érték 0 / 40
43 globális tulajdonságai Monotonitás Definíció: Az f : Df R függvényt monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) < f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) > f (x ). / 40
44 globális tulajdonságai Monotonitás Definíció: Az f : Df R függvényt monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) < f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) > f (x ). / 40
45 globális tulajdonságai Monotonitás Definíció: Az f : Df R függvényt monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) < f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) > f (x ). / 40
46 globális tulajdonságai Monotonitás Definíció: Az f : Df R függvényt monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton növekedo nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) < f (x ). Definíció: Az f : Df R függvényt szigorúan monoton csökkeno nek nevezzük, ha x, x Df esetén, ha x < x, akkor f (x ) > f (x ). / 40
47 globális tulajdonságai Monotonitás Példa: Az f (x ) = x + x függvény monoton növekedo. (De nem szigorúan monoton növekedo!) y 3 x / 40
48 globális tulajdonságai Monotonitás Példa: Az f (x ) = x 3 függvény szigorúan monoton növekedo. y 8 4 x / 40
49 globális tulajdonságai Monotonitás Példa: Az f (x ) = x függvény nem monoton. y 9 4 x / 40
50 globális tulajdonságai Monotonitás Példa: Az f (x ) = függvény nem monoton. x y 4 x / 40
51 globális tulajdonságai Konvexitás Definíció: Az [a, b ] intervallumon értelmezett f függvényt konvexnek nevezzük, ha minden a x < x < x b esetén, f (x ) f (x ) f (x ) (x x ) + f (x ). x x Definíció: Az [a, b ] intervallumon értelmezett f függvényt konkávnak nevezzük, ha minden a x < x < x b esetén, f (x ) f (x ) f (x ) (x x ) + f (x ). x x 6 / 40
52 globális tulajdonságai Konvexitás Definíció: Az [a, b ] intervallumon értelmezett f függvényt konvexnek nevezzük, ha minden a x < x < x b esetén, f (x ) f (x ) f (x ) (x x ) + f (x ). x x Definíció: Az [a, b ] intervallumon értelmezett f függvényt konkávnak nevezzük, ha minden a x < x < x b esetén, f (x ) f (x ) f (x ) (x x ) + f (x ). x x 6 / 40
53 globális tulajdonságai Konvexitás Megjegyzések: Ha a fenti definíciók utolsó sorában az egyenlo ség nincs megengedve, akkor szigorúan konvex, illetve szigorúan konkáv függvényekro l beszélünk. A konvexitás szemléletes jelentése, hogy a függvény grafikonjának két pontját összekötve a függvénygörbe a két pont közötti részen nem megy az összeköto szakasz fölé. (A függvény x és x között nem vesz fel nagyobb értékeket, mint az a lineáris függvény, amely x -ben és x -ben az eredeti függvénnyel azonos értékeket vesz fel. 7 / 40
54 globális tulajdonságai Konvexitás Megjegyzések: Ha a fenti definíciók utolsó sorában az egyenlo ség nincs megengedve, akkor szigorúan konvex, illetve szigorúan konkáv függvényekro l beszélünk. A konvexitás szemléletes jelentése, hogy a függvény grafikonjának két pontját összekötve a függvénygörbe a két pont közötti részen nem megy az összeköto szakasz fölé. (A függvény x és x között nem vesz fel nagyobb értékeket, mint az a lineáris függvény, amely x -ben és x -ben az eredeti függvénnyel azonos értékeket vesz fel. 7 / 40
55 globális tulajdonságai Konvexitás Példa: Az f (x ) = x függvény konvex, de nem szigorúan konvex. y 4 x / 40
56 globális tulajdonságai Konvexitás Példa: Az f (x ) = x függvény konvex, de nem szigorúan konvex. y 4 x / 40
57 globális tulajdonságai Konvexitás Példa: Az f (x ) = x függvény konvex, de nem szigorúan konvex. y 4 x / 40
58 globális tulajdonságai Konvexitás Példa: Az f (x ) = x függvény szigorúan konvex. y 9 4 x / 40
59 globális tulajdonságai Konvexitás Példa: Az f (x ) = x 3 3x függvény sem nem konvex, sem nem konkáv. y 4 x / 40
60 globális tulajdonságai Inflexiós pont Definíció: Az f függvénynek az x0 helyen inflexiós pontja van, ha van olyan a < x0 és b > x0 szám, hogy f értelmezett az ]a, b [ intervallumon és az ]a, x0 [, ]x0, b [ intervallumok egyikében szigorúan konvex, a másikában szigorúan konkáv. 3 / 40
61 globális tulajdonságai Inflexiós pont Példa: Az f (x ) = x 3 3x függvénynek az x0 = 0 hely inflexiós pontja. y 4 x 4 4 inflexiós pont 4 3 / 40
62 globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Definíció: Az f függvény páros, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Definíció: Az f függvény páratlan, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Megjegyzés: A páros függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre, a páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. 33 / 40
63 globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Definíció: Az f függvény páros, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Definíció: Az f függvény páratlan, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Megjegyzés: A páros függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre, a páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. 33 / 40
64 globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Definíció: Az f függvény páros, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Definíció: Az f függvény páratlan, ha x Df esetén x Df és f ( x ) = f (x ). Megjegyzés: A páros függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre, a páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. 33 / 40
65 globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Példa: Az f (x ) = x függvény páros. y 9 4 x / 40
66 globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Példa: Az f (x ) = függvény páratlan. x y 4 x / 40
67 globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Példa: Az f (x ) = x függvény nem páros, nem is páratlan. y 4 x / 40
68 globális tulajdonságai Párosság, páratlanság Példa: Az f (x ) = x + x függvény nem páros, nem is páratlan. y 4 x / 40
69 globális tulajdonságai Periodicitás Definíció: Az f függvény periodikus, ha p pozitív valós szám, amelyre x Df esetén (x + kp ) Df, ha k Z és x Df esetén f (x + p ) = f (x ). Megjegyzés: A definícióban szereplo p számot az f függvény periódusának nevezzük. 38 / 40
70 globális tulajdonságai Periodicitás Definíció: Az f függvény periodikus, ha p pozitív valós szám, amelyre x Df esetén (x + kp ) Df, ha k Z és x Df esetén f (x + p ) = f (x ). Megjegyzés: A definícióban szereplo p számot az f függvény periódusának nevezzük. 38 / 40
71 globális tulajdonságai Periodicitás Példa: Az f (x ) = sin(x ) függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa π. y x π π π π 39 / 40
72 globális tulajdonságai Periodicitás Példa: Az f (x ) = {x } függvény periodikus, legkisebb pozitív periódusa. y x / 40
Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk
Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat) f(x) = 2x 2 x 4. 2x 2 x 4 = 0, x 2 (2 x 2 ) = 0.
Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat). Feladat. Végezzük el az f(x) = x x 4 ) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: amiből
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat
GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat Bemutatkozás Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály chmelik.gabor@kkk.bgf.hu http://www.cs.elte.hu/ chmelik Fogadóóra: e-mailben egyeztetett
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK
FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK A FÜGGVÉNYFOGALOM ELŐKÉSZÍTÉSE 1-6. OSZTÁLY Adott szabály követése Szabályfelismerés és szabálykövetés Szabályfelismerés és szabály megadása szöveggel, képlettel EGYENES ÉS FORDÍTOTT
Lineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek
Analízis deníciók és tételek gy jteménye
Analízis deníciók és tételek gy jteménye Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Ez a jegyzet az Analízis el adásokon a két félév alatt elhangzott legfontosabb deníciókat és tételeket tartalmazza,
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Jelölje Z az egész számok halmazát, N a pozitív egészek halmazát, N 0 a nem negatív egészek halmazát, Q a racionális
Jelek tanulmányozása
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás
Halmazok és függvények
Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6 Meghirdető tanszék: Analízis Debrecen, 2005. A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám:
Analízis előadások. Vajda István. 2013. február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem
Analízis előadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 013. február 10. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. 1 / 3 Az elemi függvények csoportosítása
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
Függvényvizsgálat. Végezzük el az alábbi függvények teljes függvényvizsgálatát:
Végezzük el az alábbi függvények teljes függvényvizsgálatát: Függvényvizsgálat. f HL := 4-4. f HL := - 4 + 8. f HL := 5 + 5 4 4. f HL := 5. f HL := 6. f HL := - 9. f HL := + + 0. f HL := - 7. f HL :=.
MATEMATIKA HETI 3 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 010 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 010. június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
A döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
Mikrohullámok vizsgálata. x o
Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia
(Gyakorló feladatok)
Differenciálszámítás (Gyakorló feladatok) Programtervező matematikus szakos hallgatóknak az Analízis 3. című tárgyhoz Összeállította: Szili László L-Sch -sel hivatkozunk a Leindler Schipp jegyzetre 2004.
Operációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 00/003 tanév, II évf félév Előadó: Dr Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs u 9 GT fszt 3 (99) 58 640
2004. december 1. Irodalom
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK I. 2004. december 1. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.
3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek
3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,
Kombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/
Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
Gazdasági matematika I.
I. évfolyam TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. 2011/2012 I. félév Tantárgy megnevezése Tantárgyi útmutató Gazdasági Matematika I. (Analízis) Tantárgy kódja: Tantárgy jellege/típusa: Módszertani
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
Diszkrét matematika I. gyakorlat
Diszkrét matematika I. gyakorlat 1. Gyakorlat Bogya Norbert Bolyai Intézet 2012. szeptember 4-5. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika I. gyakorlat 2012. szeptember 4-5. 1 / 21 Információk
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét
MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
e s gyakorlati alkalmaza sai
Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
Elektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév
Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 10 X DETERmINÁNSOk 1 DETERmINÁNS ÉRTELmEZÉSE, TULAJdONSÁGAI A másodrendű determináns értelmezése: A harmadrendű determináns értelmezése és annak első sor szerinti kifejtése: A
Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.
Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m
A fogyasztói elmélet központi kérdése
(C htt://kgt.be.hu/ /0 -. elıadás: A fogyasztó költségvetési korlátja, referenciái és hasznosság A fogyasztói elélet közonti kérdése Ait egfigyelhetünk: egy jószág ára és az adott ár ellett keresett ennyiség
MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
Analízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
Azonosító jel: Matematika emelt szint
I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012
Ipari és vasúti szénkefék
www.schunk-group.com Ipari és vasúti szénkefék A legjelentősebb anyagminőségek fizikai tulajdonságai A legjelentősebb anyagminőségek fizikai tulajdonságai A szénkefetestként használt szén és grafit anyagminőségek
A skatulya-elv alkalmazásai
1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
Kidolgozott. Dudás Katalin Mária
Dudás Katalin Mária Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára Ez a könyv műfaját tekintve az összefoglaló kézikönyv és az egyetemi jegyzet közé helyezhető. Tömören összegyűjti a mérnöki tanulmányok
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. I. rész Fontos tudnivalók A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot
Javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból
9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő
xdsl Optika Kábelnet Mért érték (2012. II. félév): SL24: 79,12% SL72: 98,78%
Minőségi mutatók Kiskereskedelmi mutatók (Internet) Megnevezés: Új hozzáférés létesítési idő Meghatározás: A szolgáltatáshoz létesített új hozzáféréseknek, az esetek 80%ban teljesített határideje. Mérési
2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
Párhuzamos programozás
Párhuzamos programozás Rendezések Készítette: Györkő Péter EHA: GYPMABT.ELTE Nappali tagozat Programtervező matematikus szak Budapest, 2009 május 9. Bevezetés A számítástechnikában felmerülő problémák
Mágneses szuszceptibilitás vizsgálata
Mágneses szuszceptibilitás vizsgálata Mérést végezte: Gál Veronika I. A mérés elmélete Az anyagok külső mágnesen tér hatására polarizálódnak. Általában az anyagok mágnesezhetőségét az M mágnesezettség
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 5 V. BECsLÉsELMÉLET 1. STATIsZTIKAI becslés A becsléselméletben gyakran feltesszük, hogy a megfigyelt mennyiségek független valószínűségi
Matematika példatár 2.
Matematika példatár 2. Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Matematika példatár 2.: Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Lektor: PhD. Vigné dr Lencsés, Ágnes Ez a modul a TÁMOP
ADATBÁZIS-KEZELÉS. Funkcionális függés, normál formák
ADATBÁZIS-KEZELÉS Funkcionális függés, normál formák KARBANTARTÁSI ANOMÁLIÁK beszúrási anomáliák törlési anomáliák módosítási anomáliák DOLG_PROJ(Dszsz, Pszám, Dnév, Pnév, Órák) 2 MÓDOSÍTÁSI ANOMÁLIÁK
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 2 II TÖbbVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEk INTEGRÁLÁSA 1 Kettős INTEGRÁL Legyen f(x,y) a T tartományon nemnegatív kétváltozós függvény Jelölje V azt a hengerszerű testet, amelyet alulról a
2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia
. márius 9. Dr. Vinze Szilvia Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer
EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint írásbeli
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok
I. rész. Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati. Név:...osztály:... Matematika kisérettségi. 2012. május 15. Fontos tudnivalók
Matematika kisérettségi 2012. május 15. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az id elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetsz leges. 3. A
Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0
![Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0](/thumbs/29/13507015.jpg "Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0")
Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)
Fordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián
Fordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián Reguláris kifejezések (FLEX) Alapelemek kiválasztása az x karakter. tetszőleges karakter (kivéve újsor) [xyz] karakterhalmaz; vagy egy x, vagy egy y vagy egy
Az analízis alapjai és üzleti alkalmazásai
Az analízis alapjai és üzleti alkalmazásai Szakdolgozat Írta: Komjáti Dóra Matematika Bsc szak Matematikai elemző szakirány Témavezető: Mincsovics Miklós Emil, óraadó Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
Matematika POKLICNA MATURA
Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét
MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.
Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.
Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos
Koordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor
8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
A táblázatkezelő felépítése
A táblázatkezelés A táblázatkezelő felépítése A táblázatkezelő felépítése Címsor: A munkafüzet címét mutatja, és a program nevét, amivel megnyitottam. Menüszalag: A menüsor segítségével használhatjuk az
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam
-- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...
Matematika házivizsga 11. évfolyamon részletes követelmények
Matematika házivizsga on részletes követelmények A vizsga időpontja: 016. április 11. típusa: írásbeli időtartama:180 perc (45 perc + 135 perc) Tankönyv: Sokszínű matematika 11. és a hozzá tartozó feladatgyűjtemény
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből
Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1
2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz
Egységes jelátalakítók
6. Laboratóriumi gyakorlat Egységes jelátalakítók 1. A gyakorlat célja Egységes feszültség és egységes áram jelformáló áramkörök tanulmányozása, átviteli karakterisztikák felvétele, terhelésfüggőségük
Rendezési algoritmusok belső rendezés külső rendezés
Rendezési algoritmusok belső rendezés külső rendezés belső rendezési algoritmusok buborékrendezés (Bubble sort) kiválasztó rendezés (Selection sort) számláló rendezés (Counting sort) beszúró rendezés (Insertion
Házi dolgozat. Minta a házi dolgozat formai és tartalmi követelményeihez. Készítette: (név+osztály) Iskola: (az iskola teljes neve)
Házi dolgozat Minta a házi dolgozat formai és tartalmi követelményeihez Készítette: (név+osztály) Iskola: (az iskola teljes neve) Dátum: (aktuális dátum) Tartalom Itt kezdődik a címbeli anyag érdemi kifejtése...
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
IV.5. GARÁZS 1. A feladatsor jellemzői
IV.5. GARÁZS 1. Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Lineáris egyenlet, egyenletrendszer. Elsőfokú függvény. Többismeretlenes problémák megoldása egyenletrendszerek felírásával algebrai úton, illetve intuitív
Analı zis elo ada sok
Vajda Istva n Neumann Ja nos Informatika Kar O budai Egyetem 1 / 13 Specia lis differencia la si szaba lyok Logaritmikus differencia la s f (x)g (x) g (x) = e ln f (x) = e g (x) ln f (x) = f (x) g (x)
Modern analízis I. Mértékelmélet
Modern analízis I. Mértékelmélet Halmazalgebrák 1. Feladat. Az (X n ) n N halmazsorozat limes superiorán a lim sup X n = X k halmazt értjük, míg az (X n ) n N halmazsorozat limes inferiorán a lim inf X
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
Függvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Határozatlan integrál
. fejezet Határozatlan integrál Határozatlan integrál D. Azt mondjuk, hogy az egyváltozós valós f függvénynek a H halmazon primitív függvénye az F függvény, ha a H halmazon f és F értelmezve van, továá
Mátrixaritmetika. Tartalom:
Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám
Bírálói vélemény. Szakmai észrevételek:
Bírálói vélemény A jegyzet címe: Informatikai alapok (A gazdaságinformatika alapjai) A jegyzet szerzői: Dr. Cser László, BCE Németh Zoltán, BCE Nagyné Dr. Polyák Ilona, DE Bíráló: Dr. Berke József egyetemi
Testnevelés tantárgyból felvehető modulok Érvényes: 2012. szeptembertől. I-IV. félév 1.Tanórai sport (hetente egy óra, vagy 2 hetente 1 dupla óra)
I-IV. félév 1.Tanórai sport (hetente egy óra, vagy 2 hetente 1 dupla óra) DFAN-DSE 101. 201. DFAN-DSE 102. 202. DFAN-DSE 103. 203. DFAN-DSE 104. 204. DFAN-DSE 105. 205. DFAN-DSE 106. 206. DFAN-DSE 107.
5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.
Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok
Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész
Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x
Lineáris algebra jegyzet
Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: 2011-12-04 A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
>> x1 = linspace( ); plot(x1,sin(x1),'linewidth',1,'color',[1 0 0]);
![>> x1 = linspace( ); plot(x1,sin(x1),'linewidth',1,'color',[1 0 0]);](/thumbs/33/15888313.jpg ">> x1 = linspace( ); plot(x1,sin(x1),'linewidth',1,'color',[1 0 0]);")
1 5. GYAKORLAT SAJÁT FÜGGVÉNYEK, GRAFIKA, FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT A PLOT UTASÍTÁS A plot utasítás a legegyszerűbb esetben (x, y) pontpárok összekötött megjelenítésére szolgál (a pontok koordinátáit vektorok
5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész
Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.