A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

Átírás

1 A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

2 TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése analógiák alapján: Tízes számrendszerbeli helyiértékes írásmód Kerekítés, nagyságviszonyok

3 LINEÁRIS SZÁMKÖRBŐVÍTÉS 1. osztály: 10-es, majd 20-as számkör 2. osztály: 100-as számkör 3. osztály: 1000-es számkör 4. osztály: es számkör 5. osztály: ós számkör

4 MŰVELETEK A TERMÉSZETES SZÁMOK HALMAZÁN (1-5. OSZTÁLY) A 4 alapművelet értelmezése Műveletvégzés szóbeli és írásbeli algoritmusok alapján Műveletvégzés a 0-val Műveleti sorrend Műveleti tulajdonságok felfedeztetése, megfogalmazása, alkalmazása Kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás, monotonitás

5 STRUKTURÁLIS SZÁMKÖRBŐVÍTÉS A permanencia-elv alapján: a bővebb számhalmazon értelmezett műveletek ugyanazt az eredményt adják, ha a szűkebb számhalmaz elemeire alkalmazzuk a műveletek és az egyenlőség tulajdonságai érvényben maradjanak

6 EGÉSZ SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 3-5. OSZTÁLY 3-4. osztály: a negatív egészek bevezetése Hőmérő, számegyenes adósság-készpénz cédulák két természetes szám különbsége (rendezett számpárok) Egész számok elhelyezkedése a számegyenesen, nagyságviszonyok 5. osztály: Egész számok abszolútértéke, ellentettje (a szám és ellentettjének összege 0.)

7 EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 5. OSZTÁLY Az adósság ( ) készpénz ( ) modellben: Összeadás a két tag megjelenítésével (+3)+(+5)=+8 + (+3)+(-5)=-2 + (-3)+(+5)=+2 + (-3)+(-5)=-8 + Kivonás a kisebbítendő alkalmas számpárként való megjelenítésével (+3)-(+5)=-2 (+3)-(-5)=+8 (-3)-(+5)=-8 (-3)-(-5)=+2

8 EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 5. OSZTÁLY A kisautó modellben: A szám előjele: Melyik irányba néz a kisautó? Jobbra: plusz előjel; Balra: mínusz előjel A művelet: Előre halad, vagy tolat? Előre halad: összeadás;tolat: kivonás (-3)-(-5)=+2 a kisautó a -3-on áll, balra néz, balra nézve tolat 5 egységet (-3)-(+5)=-8 a kisautó a -3-on áll, balra néz, megfordul és jobbra nézve tolat 5 egységet

9 EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA ÉS OSZTÁSA 6. OSZTÁLY A szorzás ismételt összeadás ha a szorzó 2-nél kisebb egész szám, akkor ez az értelmezés nem megfelelő Tapasztalat: Ha a pozitív szorzót minden lépésben 1-gyel csökkentjük, csökkenő vagy növekvő számtani sorozatot kapunk attól függően, hogy a szorzandó pozitív vagy negatív. szorzó szorzandó szorzat A pozitív egész számok halmazán a szorzás inverz műveleteként értelmezett osztás a szorzás kiterjesztése után már könnyen kiterjeszthető az egész számok halmazára.

10 RACIONÁLIS SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 3-6. OSZTÁLY Pozitív törtek bevezetése (3-4. osztály): Kiindulópont: egyenlő részekre osztás Egységtört, egységtörtek többszörösei, 1-gyel egyenlő, 1-nél nagyobb törtek Azonos értékű törtek Törtek összehasonlítása Törtek elhelyezése a számegyenesen Azonos értékű (pozitív) törtek törtek egyszerűsítése, bővítése (5. osztály) Az ellentett fogalmának kiterjesztése: törtek ellentettje, negatív törtek (6. osztály)

11 MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL 5. OSZTÁLY 1. Egyenlő nevezőjű (pozitív) törtek összeadása, kivonása 2. Különböző nevezőjű (pozitív) törtek összeadása, kivonása közös nevezőre hozás 3. (Pozitív) törtek szorzása természetes számmal ismételt összeadás 4. (Pozitív) törtek osztása természetes számmal egyenlő részekre osztás, pl.: (1/3):4=1/12 1/12

12 MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL 6. OSZTÁLY 1. Pozitív és negatív törtek összeadása és kivonása egész számok összeadása, kivonása 2. Tört szorzása egész számmal egész számok szorzásának kiterjesztése: először meghatározzuk a szorzat előjelét, majd az abszolútértékek szorzatát 3. Egész szám, majd tört szorzása törttel mennyiség törtrészének kiszámítása (a nevezővel osztjuk, a számlálóval szorozzuk) Pl. Péter a 400 m-es futóversenyen a táv 3 5 -öd részét már megtette. Hány métert tett meg eddig? (4. osztályos feladat)

13 TÖRT OSZTÁSA EGÉSZ SZÁMMAL, TÖRT SZORZÁSA TÖRTTEL Mennyiség törtrészének kiszámítása: = 2 5 : 3 = = 3 7 : 5 2 = = 6 35

14 MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL 6. OSZTÁLY 4. A reciprok fogalma 5. Tört osztása egész számmal az osztó kifejezése törtrészként (x: 3 = x 1 3 ) 6. Tört osztása törttel a mennyiség törtrészének ismeretében keressük a mennyiséget. Milyen hosszú az az útvonal, amelynek 2 3 része 40 km? x 2 3 = 40; x = 40: 2 3 x: 3 2 = 40; x = 40: 2 3 =

15 TIZEDESTÖRT 5. osztály Véges tizedestörtek értelmezése speciális nevezőjű törtek ( 1 10 ; ; ) helyiérték-fogalom kiterjesztése kerekítés fogalmának kiterjesztése Műveletek véges tizedestörtekkel az írásbeli műveletek algoritmusainak kiterjesztése Tört felírása tizedestört alakban véges vagy végtelen, szakaszos tizedestörtet kapunk 6-7. osztály Százalékszámítás

16 AZ IRRACIONÁLIS SZÁM FOGALMÁNAK ALAKÍTÁSA OSZTÁLYBAN Racionális szám a két egész szám hányadosaként felírható szám (az osztó nem lehet 0) a racionális számok véges vagy végtelen szakaszos tizedestörtek léteznek végtelen, nem szakaszos tizedestörtek is ezek az irracionális számok A kör kerületének (és területének) kiszámításához egy végtelen nem szakaszos tizedestört, a szükséges. Létezik olyan pozitív egész szám, melynek négyzetgyöke irracionális szám (pl. 2).

17 A SZÁMHALMAZOK KAPCSOLATA VALÓS SZÁMOK RACIONÁLIS SZÁMOK EGÉSZ SZÁMOK TERMÉSZETES SZÁMOK

18 A HATVÁNYFOGALOM ALAKÍTÁSA 7-8. OSZTÁLY 1. A kitevő természetes szám n > 1 a n = a a a (n tényezős szorzat) n = 1 a 1 = a n = 0 a 0 = 1, a 0 2. A hatványozás azonosságainak felfedeztetése konkrét számokkal, majd megfogalmazásuk általánosan nél nagyobb számok normálalakja

19 A HATVÁNYFOGALOM ALAKÍTÁSA OSZTÁLY 9. osztály A kitevő negatív egész szám a n = 1 a n = 1 a n, ahol a 0 és n 0 A hatványozás azonosságainak kiterjesztése egész kitevőjű hatványokra Számok normálalakja 10. osztály Négyzetgyökvonás, n-edik gyökvonás A kitevő racionális szám 11. osztály A kitevő valós szám exponenciális függvény

20 SZÁMOK NÉGYZETGYÖKE, N-EDIK GYÖKE 8-9. osztály A négyzetgyökvonás értelmezése 10. osztály A négyzetgyökvonás azonosságai Bevitel a gyökjel alá, kivitel a gyökjel elé, gyöktelenítés Az n-edik gyökvonás értelmezése (általánosítás) n páros vagy páratlan pozitív egész Az n-edik gyök hatványalakja Az n-edik gyökvonás azonosságai (általánosítás) A racionális kitevőjű hatvány értelmezése

21 A LOGARITMUS FOGALMA 11. OSZTÁLY Az a > 0, a 1, b > 0 valós számok. A log a b jelenti azt a valós számot, melyre a-t emelve b-t kapunk. Dinamikus definíció, azaz a gondolati sorrend nem egyezik meg a definíció szavainak sorrendjével. A definíció hivatkozik a definiálandó fogalomra. A logaritmus fogalmának gyakorlati megközelítése: a nagyságrend, azaz az ismeretlen kitevő meghatározása Matematikatörténeti megközelítés: számolás egyszerűsítése, gyorsítása; szorzás, osztás helyett összeadás, kivonás A logaritmus azonosságai Hatványozás és a gyökvonás ill. a hatványozás és a logaritmus

22 A LOGARITMUS ALKALMAZÁSA 1. Minden pozitív valós szám felírható például 10 hatványaként: 4 = 10 lg4 2. A 2-t hanyadik hatványra kell emelni, hogy 8-at kapjunk? 3. Hány év alatt háromszorozódik meg az évi 15%-os kamatos kamattal gyarapodó tőke? T 1,15 x = 3 T x = log 1,15 3 x = lg3 lg1,15 4. Határozzuk meg számológéppel a következő tört értékét: