HELYI TANTERV / MATEMATIKA ÉVFOLYAM / ANGOL NYELVI ELŐKÉSZÍTŐ

Átírás

1 MATEMATIKA Iskolánkban a 2004 szeptemberétől indítandó nyelvi előkészítő évfolyamokon a képességfejlesztésre szánt időkeretből évi 74 (azaz heti 2) órát matematikaoktatásra szánunk. Kedvező lehetőségnek tartjuk, hogy a nehezebb, absztraktabb gimnáziumi tananyag bevezetését így jobban megalapozhatjuk. A szaktárgyi követelményeken túlmutatóan úgy tartjuk, hogy sokat tehetünk az értő szövegolvasás, a lényeglátás és a gondolkodási készségek fejlesztéséért is. A nyelvi előkészítő osztály a 9. évfolyamon az általános osztály tanterve szerint folytatja tanulmányait. Ezért az előkészítő évfolyamon nem arra helyezzük a hangsúlyt, hogy új, nagygimnáziumi ismereteket adjunk át. Inkább az általános iskolában tanultak rendszerezésére, új szemléletmóddal való megközelítésére és szövegkörnyezetben való alkalmazására törekszünk. Foglalkozni kívánunk a modellalkotás és az általánosítás folyamatával, lassan haladva a konkréttól az absztrakt felé. A nagygimnáziumi tantervből csak néhány anyagrésszel kívánunk foglalkozni, ezekkel is hangsúlyozottan egy gyakorlatiasabb szemlélettel, ahol csak lehetséges, absztrakt definíciók, illetve az elméleti háttér precíz tárgyalása nélkül. Ezek bevezetése a 9. évfolyamra marad. A tárgyalt új anyagrészek egy része szervesen kapcsolódik az általános iskolában tanultakhoz (szöveges egyenletek, függvénytan, azonosságok, geometriai transzformációk), másik része pedig a matematikatanítás új, fejlődő területei- s íly módon prioritásai- közül került ki (statisztika, valószínűség számítás). Megjegyezzük, hogy bizonyos mennyiségű új anyag átadását fontosnak tartunk a továbbhaladás szempontjából. Cél Az általános iskolában tanultak elmélyítése, új összefüggések megvilágítása Ha szükséges, a tanulók felzárkóztatása Szövegelemzés, a tanult összefüggések alkalmazása szövegkörnyezetben A gimnáziumi tananyag megalapozása elsősorban algebrából Az adatgyűjtés, kísérletezés, sejtés szerepének megerősítése A matematikatanítás fejlesztési területeit jelentő anyagrészek hangsúlyos bevezetése. Amennyiben a személyi feltételek lehetővé teszik, célravezetőnek látjuk a tantárgy terminusainak az adott idegen nyelven való megismertetését. Megfelelő előkészítés után készülünk az órák egy részének idegen nyelven való megtartására is. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 1

2 9. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 74 Gondolkodási módszerek (6 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. -Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. Számtan, algebra (24 óra) A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyilt, zárt).a számegyenes, mint a valós számok egy modellje, az irracionális számok geometriai szemléltetése. Kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése. Esetek leszámlálása felsorolással. Az akkor és csak akkor használata (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos).állítás tagadásának szabatos megfogalmazása, és és vagy jelentése matematikai állításokban. Logikai játékok. Fejlesztési feladatok, tevékenységek. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b) 2, a 2 b 2 szorzat alakja, (a ± b) 3, a 3 ± b 3 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása egyszerűbb esetekben. A műveleti azonosságok biztos alkalmazása ismeretlent tartalmazó kifejezésekkel. Tájékozottság a racionális számkörben. A másodfokú azonosságok alkalmazása. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 2

3 Fejlesztési feladatok, tevékenységek Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás. Az adott feladat szempontjából lényeges és lényegtelen információk megkülönböztetése Szöveges probléma és matematikai modell kapcsolatának elemzése. Függvények, sorozatok (14 óra) Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése. Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Törtes egyenletek. A megoldáshalmaz pontos meghatározása. Azonosság és ellentmondás fogalma. Szöveges feladatok a gyakorlati élet, valamint a fizikai, kémiai alkalmazások területéről. Nyílt végű szöveges feladatok, a megoldás(ok) értemezése. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere, grafikus módszer). Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák többismeretlenes egyenletrendszerre. A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések neáris függvény, abszolútérték függvény, má- A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a li- szabályként való értelmezése. x a sodfokú függvény), a fordított arány, x a : az általános iskolában tanultak rendszerezése absztrakt definíciók nélkül. A megfelelő modell megkeresése. Egyenlet és függvény kapcsolatának megismertetése. Függvényszerű kapcsolatok, grafikonok elemzése a gyakorlati élet területéről. Értékkészlet,értelmezési tartomány, zérushely, monotonitás, paritás, korlátosság, szélsőértékek szemléletes fogalma, ezek jelentése gyakorlati problémákban. Az elemi függvények grafikonjainak geometriai tulajdonságai. Célszerű eszközhasználat. Függvénytranszformációk. Példák változó és értéktranszformációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén, nyújtás és tükrözés az x tengelyre). A négyzetes azonosságok és a szorzattá alakítás alkalmazása egyenletekben, a megoldáshalmaz és az értelmezési tartomány összevetése absztrakt és szöveges problémákban. Szöveges információk rögzítése matematikai jelekkel. Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban. Az alapfüggvények ábrázolása értéktáblázat nélkül, tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével. Az alapfüggvények transzformációi. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 3

4 Geometria (14 óra) Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. A transzformációk, mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése. A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra. A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a paralelogramma ekvivalens tulajdonságai). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az alakzatok egybevágósága, sokszögek egybevágóságának, speciális sokszögek egybevágóságának esetei. Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, analizá- menete (ismétlés) Egyszerű szerkesztési feladatok,a szerkesztés ló képesség és a diszkuszsziós igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése. A geometria gyakorlati alkalmazásainak rövid bemiutatása. A matematikatörténet néhány nevezetes szerkesztési feladata, földmérési, ill. navigációs probémák: tanulói előadások. A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben. Háromszögek és speciális négyszögek egybevágósági alapeseteinek ismerete. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 4

5 Valószínűség, statisztika (12 óra) A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenő statisztikai adatok elemzése. A valószínűség szemléletes fogalma, a klasszikus valószínűségi modell előkészítése, racionális döntések. Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése. Kísérletezés valószínűségi problémákkal. Kapcsolat a leíró statisztika és a valószínűségszámítás között. Elemi kombinatorikus valószínűségi feladatok. Példák közkeletű tévedésekre. Egyszerű valószínűségi játékok. Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (4 óra) Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése. A véletlen esemény fogamának ismerete és tartalmának szamléletes fogalma. Elemi események valószínűsége egyszerű klasszikus modellekben. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 5

6 10. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 148 Gondolkodási módszerek (8 óra) A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyílt, zárt) A számegyenes mint a valós számok egy modellje, az irracionális számok geometriai szemléltetése. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége Alaphalmaz, üres halmaz fogalma, halmaz komplementere. Egyszerű azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Példák véges és végtelen halmazokra. Kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése Esetek leszámlálása felsorolással. Az akkor és csak akkor használata (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos) Állítás tagadásának szabatos megfogalmazása, és és vagy jelentése matematikai állításokban. Tájékozottság a racionális számkörben. Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 6

7 Számtan, algebra (54 óra) A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása. A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja.. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b) 2, a 2 b 2 szorzat alakja, (a ± b) 3, a 3 ± b 3 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása, Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata. A műveleti azonosságok biztos alkalmazása ismeretlent tartalmazó kifejezésekkel. Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai törtekkel végzett műveleteknél (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) Algebrai kifejezések értelmezési tartományának vizsgálata. Az értelmezési tartomány megváltozásának tipikus esetei. Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Törtes egyenletek. A megoldáshalmaz pontos meghatározása.azonosság és ellentmondás fogalma. Elsőfokú paraméteres egyenletek.szöveges feladatok a gyakorlati élet, valamint a fizikai, kémiai alkalmazások területéről. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja A másodfokú azonosságok alkalmazása. A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel Algebrai kifejezés értelmezési tartományának fogalma. A négyzetes azonosságok és a szorzattá alakítás alkalmazása egyenletekben, a megoldáshalmaz és az értelmezési tartomány összevetése. Szöveges információk rögzítése matematikai jelekkel. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 7

8 Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás Az adott feladat szempontjából lényeges és lényegtelen információk megkülönböztetése A rendszerező képesség fejlesztése. A definíciók pontos megfogalmazására való igény fejlesztése A számolási készség fejlesztése. A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmélet alapvető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. Induktív gondolkodás fejlesztése (próbálgatás, általánosítás). Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere, grafikus módszer) Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák több ismeretlenes egyenletrendszerre. Abszolútértékes egyenletek megoldása algebrai és grafikus úton. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás azonosságai. Számolás pontos értékkel irracionális kifejezések esetén, egyszerűsítések, gyöktelenítések. Relatív prímek, oszthatósági feladatok (számolás maradékokkal, oszthatósági szabályok), a prímszámok száma. Példa számrendszerekre. Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban. Egyenlőtlenség megoldásának ábrázolása számegyenesen. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben. 3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 8

9 Függvények, sorozatok (25 óra) A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése A megfelelő modell megkeresése Egyenlet és függvény kapcsolatának megismertetése. Célszerű eszközhasználat. A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, a négyzetgyök függvény, gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a fordított arány, a x a. x Értékkészlet, értelmezési tartomány, zérushely, monotonitás, paritás, korlátosság, szélsőértékek. Az elemi függvények grafikonjainak geometriai tulajdonságai. Függvénytranszformációk Példák változó és értéktranszformációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén, nyújtás és tükrözés az x tengelyre) Másodfokú függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással, elemi racionális törtfüggvény ábrázolása átalakítással. Két ismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. Az alapfüggvények ábrázolása értéktáblázat nélkül, tulajdonságainak ismerete Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével. Az alapfüggvények transzformációi A teljes négyzetté alakítás módszerének ismerete. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 9

10 Geometria (50 óra) Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban. Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása. A transzformációk mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése. Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, sugarának meghatározása, körülírt köre, magasságpont, súlypont, a súlyvonal mint területfelező. Thalész tétele és megfordítása, néhány alkalmazás, a kör és érintői, érintősokszög fogalma. Pitagorasz tételének alkalmazása. A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a paralelogramma ekvivalens tulajdonságai). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az alakzatok egybevágósága, sokszögek egybevágóságának, speciális sokszögek egybevágóságának esetei. Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. A nevezetes vonalak ismerete, a háromszög beírt és köréírt körének ismerete, tompaszögű háromszög magasságvonalának meghatározása A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete Érintő szerkesztése Thalészkörrel. A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben Háromszögek és speciális négyszögek egybevágósági alapeseteinek ismerete. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 10

11 A vektorok további alkalmazása. Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, analizáló képesség és a diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése. A vektorok összege, különbsége, szorzása számmal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban. A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe Egyszerű szerkesztési feladatok. Két vektor összegének és különbségének megszerkesztése Az ívmértékre való átváltás elvégzése. Valószínűség, statisztika (5 óra) A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenő statisztikai adatok elemzése. Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése. Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (6 óra) Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 11

12 11. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 148 Gondolkodási módszerek (100 óra) A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése A bizonyítási igény további fejlesztése. A tanult matematikai modellek alkalmazása gyakorlatorientált feladatokban. Tétel és megfordítása (folyamatos) Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulyaelv konkrét példákon keresztül). Változatos kombinatorikai feladatok a hétköznapi életből. Stratégiai játékok, rejtvények, érdekességek a matematika területéről. A matematika alkalmazhatóságának bemutatása a modern kor legnépszerűbb területein (hightech, informatika, mobilkommunikáció, űrkutatás, stb.) A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése. Egyszerű sorba rendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. Számtan algebra (50 óra) A permanencia elve a számfogalom bővítésében. A hatványfogalom további kiterjesztése. A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedes tört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között Példák irracionális számokra. A négyzetgyökvonás azonosságai: ismétlés. Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. Racionális kitevős hatványok. Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedes tört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben Számolás racionális kitevős hatványokkal. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 12

13 A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése. Matematikai problémák egyszerűbb feladatra való visszavezethetőségének felismerése. A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál. Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a probléma-megoldásban. A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezős alak, gyökök és együtthatók összefüggése. A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Törtes másodfokú egyenletek. Egyszerű paraméteres másodfokú egyenletek. Öszszefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Egyszerű szélsőértékfeladatok megoldása. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok. Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata. Másodfokú egyenlőtlenség megoldása szozattá bontás és számegyenes segítségével. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. A gyökök száma és a diszkrimináns előjele közötti összefüggés ismerete. Másodfokú kifejezés szorzatalakjának felírása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma. Egyenletek megoldása új ismeretlen bevezetésével egyszerűbb esetekben. Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása. Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása A megoldások ellenőrzése. Megengedett és nem megengedett lépések körének ismerete egyenlőtlenség megoldása során. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 13

14 Függvények, sorozatok (26 óra) Új függvénytulajdonságok megismeré-se, függvénytranszformációk további a forgásszög szögfüggvényeinek ér-merete, az szögfüggvényfogalom kiterjesztése, A szögfüggvények definíciójának is- alkalmazása telmezése, tgx és ctgx szabatos defi-x és értelmezési tartománya. x a tgx függvények ábrázolása és tu- a sinx, x a cosx és A négyjegyű függvénytáblázatok, ma-níciójtematikai összefüggések és a zseb-összefüggéseszámológép célszerű használata. nyei között (sin 2 a + cos 2 lajdonságai. a szög szögfüggvé- a = 1, pót-szögvisszakeresészögek szögfüggvényei közötti kap-és/vagy fúggvénnyel. egységkörrel csolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). Az egységkör használata szögvisszakeresésben. Nevezetes szögek felismerése és szögfüggvényeinek meghatározása ívmértékes megadás esetén A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, korlátosság, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, paritás), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. Geometria (40 óra) A transzformációs szemlélet fejlesztése. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele. A szögfelezőtétel. A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága. A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 14

15 Kreatív problémamegoldás Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata. Tervszerű munkára nevelés Az esztétikai érzék fejlesztése. A matematika gyakorlati felhasználása A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. A háromszögek hasonlóságának alapesetei A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja (újabb bizonyítás hasonlósággal), arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel) Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. Két vektor skaláris szorzata A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása Szinusztétel, koszinusztétel Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek A háromszög szinuszos területképlete. Távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában. Az alapesetek ismerete A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 15

16 Valószínűség, statisztika (16 óra) A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése. Modellalkotásra nevelés Modell és valóság kapcsolata. További valószínűségi kísérletek, a valószínűség becslése, kiszámítása egyszerű esetekben A valószínűség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínűsége). A valószínűség kiszámítása konkrét esetekben. Relatív gyakoriság A valószínűség klasszikus modellje. Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra) Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján. A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 16

17 12. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 111 Gondolkodási módszerek (16 óra) A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód lehetőségének keresése Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal. A gráf modellként való felhasználása. Számtan, algebra (31 óra) Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számának meghatározása egyszerű esetekben Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög Véges halmaz részhalmazainak száma Vegyes kombinatorikai feladatok. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk Feladatok megoldása gráfokkal. Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása. A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai. A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény mélyítése Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtárés internethasználat). Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése Az önellenőrzés igényének fejlesztése.. A koncentrációs készség fejlesztése. A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre, a hatványozási azonosságok: ismétlés A logaritmus értelmezése. A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete. A logaritmus azonosságai. Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek Érettségi szituációs gyakorlat A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész és racionális kitevő esetén. A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben. A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet, egyszerű egyenlőtlenség esetén. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 17

18 Függvények, sorozatok (12 óra) A függvényfogalom fejlesztése Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között A bizonyításra való törekvés fejlesztése. Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban Függvények alkalmazása algebrai feladatokban. A 2 x, a 10 x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze. A szögfüggvényekről tanultak áttekintése A tanult függvények tulajdonságai (értelmezésitartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás) A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték). A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 18

19 Geometria, mérés (36 óra) A térszemlélet fejlesztése Pontos fogalomalkotásra törekvés Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség fejlesztése. Adott probléma többféle megközelítése. A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése A vektorműveletek tulajdonságai Vektorok a koordinátarendszerben A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve A skaláris szorzat alkalmazásai; addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), sin2a, cos2a). Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektor 90 -os elforgatottja koordinátarendszerben. Szakasz osztópontja A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenlete. Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kétismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. A kör érintője. Koordinátageometriai módszerek az érintő meghatározására. A parabola mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete. Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat). Vektorok alkalmazásai. Vektorok koordinátáinak biztos használata. Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása Két egyenes metszéspontjának meghatározása Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 19

20 A koncentrációs készség fejlesztése. Érettségi szituációs gyakorlat. Valószínűség, statisztika (10 óra) A körülmények kellő figyelembevétele Előzetes becslés összevetése a számításokkal. A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. Egyszerű valószínűségszámítási problémák Néhány konkrét eloszlás vizsgálata Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén ( és, vagy, nem ). Statisztikai mintavétel (Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.) Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra) A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 20

21 13. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 128 Gondolkodási módszerek (10 óra) Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A deduktív gondolkodás fejlesztése. Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása Néhány példa a teljes indukció megismertetésére A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Számtan, algebra (22 óra) Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és internethasználat). Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása. Rendszerező összefoglalás Számhalmazok Számelméleti összefoglalás A valós számok és részhalmazai. A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek. Egyenletek Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 21

22 Tervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés Az önellenőrzés fontossága. A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése. A koncentrációs készség fejlesztése. Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok Az egyenletmegoldás módszerei Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek, Vičte formulák Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek. Szöveges feladatok Paraméteres feladatok. Érettségi szituációs gyakorlat. Függvények, sorozatok (20óra) A matematika alkalmazása a gyakorlati életben Matematikatörténeti feladatok A legfontosabb közgazdasági és pénzügyi számítások matematikai alapjainak áttekintése. A sorozat fogalma Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első n elem összege Kamatoskamat-számítás Példák egyéb sorozatokra (rekurzió, pl. a Fibonacci-sorozat). Rendszerező összefoglalás Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 22

23 Az absztrakciós készség fejlesztése A függvényszemlélet fejlesztése A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban. A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése Az alapfüggvények ábrázolása Függvénytranszformációk f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével. Geometria, mérés (40 óra) A térszemlélet fejlesztése Az esztétikai érzék fejlesztése. A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése. A függvényszemlélet fejlesztése A deduktív gondolkodás fejlesztése. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge A síkra merőleges egyenes tételének ismerete Egyszerű poliéderek. A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A poliéderek felszíne, térfogata A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata Síkmetszetek alkalmazása egyszerűbb feladatokban, néhány poliéder és forgástest köréírt és beírt gömbje. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A geometriai transzformációk áttekintése Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A megismert felszín- és térfogat számítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 23

24 A matematika különböző területei közötti összefüggések felhasználása. Vektorok, vektorok koordinátái Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások Derékszögű koordinátarendszer Alakzatok egyenlete Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. Valószínűség, statisztika (8 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A leíró statisztika és a valószínűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Geometriai modell szerepeltetése a valószínűség meghatározására. Felkészülés az érettségire (28 óra) Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvéleménykutatás, minőség ellenőrzés). A valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségével. A geometriai modellre visszavezethető feladatok A véletlen paradoxonai. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 24