KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Átírás

1 KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15

2 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,, stb A derivált helyen vett helyettesítési értékét szokás a függvény helyhez tartozó differenciálhányadosának is nevezni A derivált előállítását deriválásnak vagy differenciálásnak mondjuk A differenciálhányados geometriai jelentése az görbe helyhez tartozó érintőjének az iránytangense, azaz (31 ábra) 31 ábra A deriválható függvény folytonossága Ha egy függvénynek valamely helyen vagy intervallumon van deriváltja, akkor a függvény itt differenciálható A differenciálhatóságból következik a függvény folytonossága Fordítva azonban ez nincs így Például az függvény az helyen nem differenciálható, ugyanakkor itt (és mindenütt) folytonos

3 Függvények különböző osztályainak kapcsolata 2 DERIVÁLÁSI SZAbÁLYOk Legyenek u, v, f, g differenciálható függvények Ekkor: 1, C állandó 2 3 4, 5 (láncszabály) 6 és Ekkor 7,, akkor Alapfüggvények deriváltjai Az alapfüggvények deriváltja, C állandó

4 , Értelmezzük a függvény második harmadik stb deriváltját Jelölésük: A f függvény differenciálja (32 ábra): (2) 32 ábra 3 A differenciálszámítás középértéktételei Rolle-féle középértéktétel Rolle-féle középértéktétel [1] : Ha az f függvény 1 az [a, b] intervallumon folytonos, 2 intervallumon differenciálható és 3, akkor az intervallumon van legalább egy olyan hely, ahol Lagrange-féle középértéktétel [2]

5 Lagrange-féle középértéktétel : Ha az f függvény 1 intervallumon folytonos, 2 intervallumon differenciálható, akkor az intervallumon van legalább egy olyan hely, hogy (3) Cauchy-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel [3] : Ha az f és g függvény 1 intervallumon folytonos, 2 intervallumon differenciálható, 3 3az intervallumon, akkor az intervallumon van olyan hely, hogy (4) 4 MINTAPÉLdÁk Megoldások: láthatók nem láthatók 1 Az (1) formula alapján határozzuk meg az és a függvény deriváltját Megoldás 2 Határozzuk meg az függvény deriváltját, majd ezt felhasználva, teljes indukcióval igazoljuk, hogy

6 természetes szám) Megoldás Az igazolása: 1 -re, igaz 2 Feltételezzük, hogy -ra igaz, vagyis 3 Bizonyítjuk -re: Az állítás tehát öröklődik k -ról -re, így az minden természetes számra igaz (közben felhasználtuk a szorzat deriválási szabályát) 3 Az függvény az helyen nem differenciálható, mert itt nem folytonos 4 Ismerve,, shx és chx deriváltját, határozzuk meg thx és deriváltját Megoldás A tört deriválási szabályát alkalmazzuk 5 Ismerve tgx deriváltját, határozzuk meg arctgx deriváltját Megoldás Az arctgx függvény tgx inverze A 6 deriválási szabályt alkalmazzuk: Ekkor 6 Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját: Megoldások

7 7 Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját: Megoldások 8 Határozzuk meg az alábbi összetett függvények deriváltját: Megoldások Alkalmazzuk a láncszabályt, ahol Tekintettel arra, hogy,, ezért (

8 9 Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját: a) b) c) Megoldások a),, Így b), Itt a külső függvény, vagyis a 3 kitevőjű hatványfüggvény A belső függvény Tehát c) A külső függvény, a belső függvény Ennek így is kell lennie, hiszen, és ennek deriváltja cosx 10 Határozzuk meg az harmadik deriváltját Megoldás,, 11 Írjuk fel az alábbi függvények hatodik deriváltját:

9 a) b) c) d) Megoldások a),,,,, b),, c), d),,,,, 12 Határozzuk meg az alábbi függvények n-edik deriváltját, egész): a) b) c) Megoldások a),,, Innen már lehet következtetni, hogy, ha n páros és, ha n páratlan Ez felírható így is: b),,,, Innen látható, hogy c),,,

10 13 Deriváljuk az alábbi függvényeket: a) b) Megoldások Képezzük előbb mindkét oldal logaritmusát, majd deriváljunk mindkét oldalon a) Innen b) Innen 14 Állítsuk elő az deriváltat az alábbi implicit függvények esetén: a) b) c) Megoldások Mindhárom esetben y úgy tekintendő, mint x -nek a függvénye, azaz egyenletek mindkét oldalát, majd fejezzük ki innen -t Deriváljuk az a) b) c) 15 Határozzuk meg az alábbi paraméteresen adott függvények esetében az és deriváltat: a) b) Megoldások A 7 deriválási szabály szerint, és ebből következően a),,, Tehát

11 , b),,, Tehát, 16 Állítsuk elő az deriváltat az alábbi, poláris koordinátákkal adott görbék esetén: a) b) Megoldások Írjuk fel a görbék paraméteres egyenletrendszerét, ha, a paraméter, miközben a) b) 17 Deriváljuk az alábbi függvényeket: a), g és k állandó b), A,, állandók c), c állandó Megoldások a) b) c)

12 18 Számítsuk ki az alábbi függvények helyhez tartozó deriváltját Mekkora itt az görbe érintőjének a hajlásszöge: a), b), c), Megoldások a) Az iránytangens:, ahonnan az érintő hajlásszöge: b),, c), 19 Mekkora szögben metszi az görbe az x tengelyt? Megoldás A görbe ott metszi az x tengelyt, ahol, azaz Innen A görbe metszési szögén a metszésponthoz tartozó érintő hajlásszögét értjük A derivált: Az helyen (a metszéspontban) az iránytangens: Tehát az helyen a görbe 45 fokos szögben metszi az x tengelyt Hasonlóan az helyen, tehát (33 ábra) 33 ábra

13 20 Melyik pontban lesz az görbe érintője párhuzamos az egyenessel? Megoldás Az egyenes iránytangense Az görbe érintőjének iránytangense A két iránytangensnek egyenlőnek kell lennie, azaz Innen Ezen a helyen a görbe pontjának ordinátája Tehát az pontban lesz párhuzamos a görbe érintője az egyenessel 21 Legyen egy pont mozgásegyenlete, ahol t jelenti az időt másodpercben, s pedig a megtett utat centiméterben Melyik időpillanatban lesz a pont sebessége 4800 cm/sec? Megoldás A sebesség az első deriválttal egyenlő, azaz A feltétel szerint, ahonnan másodperc 22 Határozzuk meg az alábbi függvények differenciálját Számítsuk is ki a differenciál értékét, ha és :,,, Megoldások Használjuk a (2) formulát:,,, 23 Írjuk fel az függvényre a Rolle-tételt az intervallum esetén Számítsuk ki a tételben szereplő értéket Megoldás A tétel feltételei teljesülnek, ugyanis a függvény mindenütt differenciálható (így folytonos is), és Mivel, ezért a tétel alakja: Innen Tehát két érték létezik, és mindkét érték az (1 3) intervallumban van (34 ábra)

14 24 Írjuk fel a Lagrange-féle középértéktételt az alábbi függvényekre, majd számítsuk ki értékét: a), b), Megoldások a), így a (3) alakja b), így a tétel alakja: Átalakítás után Azt kaptuk tehát, hogy az parabola esetén az intervallum közepén van 25 Határozzuk meg az görbén azt a pontot, amelyben a görbe érintője párhuzamos a (1 0), (10 ln 10) pontokon átmenő szelővel (35 ábra) Megoldás A Lagrange-féle középértéktételben szereplő értékeket kell meghatározni Jelen esetben,, a = 1, b = 10 A tétel alakja:

15 Tehát a kérdéses pont az pont, ahol 26 Írjuk fel a Cauchy-féle középértéktételt az, függvények esetére a intervallumon Megoldás A (4) formulát kell felírni, ha, Mivel,, ezért a tétel alakja:, Innen az is látszik, hogy ha, akkor, és ezért 5 FELAdATOk Határozza meg az alábbi függvények deriváltját, és próbálja azt a lehető legegyszerűbb alakra hozni:

16

17 36 37 Határozza meg az alábbi függvények n-edik deriváltját: Határozza meg az és deriváltakat az alábbi, paraméteresen adott függvények esetén: Számítsa ki az alábbi függvények differenciálhányadosát: Határozza meg az deriváltat az alábbi, implicit módon adott függvények esetén:

18 54 Számítsa ki az alábbi függvények adott helyhez tartozó differenciálhányadosát: 55, Állítsa elő az alább megadott függvények differenciálját, majd számítsa ki a differenciál értékét az adott x és dx esetén: 59, x = 3, dx = 0, , x = 1, dx = 0,05 62, x = 0, dx = 0,2 Számítsa ki a Lagrange-féle középértéktételben szereplő értékét az alábbi függvények és adott intervallum esetén: 63, 64, 65 Igazolja, hogy ha, akkor tetszőleges intervallum esetén a Lagrange-féle középértéktételben szereplő értéke 66 Számítsa ki a Lagrange-féle középértéktételben szereplő értékét mind az, mind a függvény esetében, a intervallumot tekintve Ezután számítsa ki a Cauchy-féle középértéktételben szereplő értékét is 67 A Lagrange-féle középértéktétel alakban is felírható, ahol Írja fel a tételnek ezt az alakját az függvény esetére, majd számítsa ki határértékét, ha 68 Az x = a és x = b hely legyen a kétszer differenciálható f függvénynek kétszeres zérushelye, azaz legyen és Igazolja, hogy ekkor az függvénynek az intervallumban van legalább két zérushelye 69 A Lagrange-féle középértéktételt felhasználva igazolja, hogy, ha

19 70 A Rolle-féle középértéktételt felhasználva igazolja, hogy az egyenlet gyökei valósak, ha Állapítsa meg azokat az intervallumokat, ahová a gyökök esnek 71 Számítsa ki értékét, ha 72 Igazolja, hogy az és deriváltja megegyezik (ha ) [1] Ejtsd: [roll] Michel Rolle ( ) francia matematikus nyomán [2] Ejtsd: [lágranzs] Joseph-Louis Lagrange ( ) olasz születésű francia matematikus nyomán [3] Ejtsd: [kosi] Augustin-Louis Cauchy ( ) francia matematikus nyomán Digitális Egyetem, Copyright Kovács Béla, 2011