A parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete

Átírás

1 66 A paraola 00 egyen a keresett kör középpontja Az pont koordinátái: ( y) Ekkor felírhatjuk a következô egyenletet: ( - ) + ( y- ) = mert a kör sugara > 0 Innen rendezéssel: ( y- ) = 6 - A mértani hely olyan paraola amelynek tengelypontja a C pont a tengelye párhuzamos az tengellyel fókuszának koordinátái: F( ) pont a paramétere p = A paraola minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez 0 Az adott egyenletet átalakíthatjuk y= A csúcspont koordinátái: C - Innen = y = - iküszöölve a paramétert y= - A csúcspontok -tôl függôen végigfutnak az y= - egyenletû paraolán amelynek minden pontja megfelel a 0 Az adott egyenlet átalakítható y= a - ahol a! R Innen leolvashatjuk a tengelypont koordinátáit: = + y= a- iküszöölve az a paramétert a a= - y= - A mértani hely egyenes Az egyenes minden pontja lehet egy-egy paraola csúcsa Ugyanis ha = + a akkor y= a- A C a + a - az adott egyenletû paraolák csúcsa 0 Helyezzük el az ABC háromszöget az árán látható módon koordináta-rendszeren Ekkor () y = c - () = ( - a) + y () c = + y () egyenletôl következik hogy c> és legyen a > 0 A felírt egyenletekôl következik hogy y = a - 0 a amely egyenlet szerint az A csúcs mértani helye paraola A paramétere p= a a tengelypontja T a 0 a a fókusza Fa0 ( ) Az 0 pont nem tartozik a mértani helyhez mert akkor az a csúcs a BC oldalon van tehát nem keletkezik háromszög A paraola és az egyenes a paraola és kör kölcsönös helyzete 0 a) ét közös pont van: ( 66) - 0 M ( 6) M ( 8) 06 M ( ) M ( - ) 07 M ( 0) M ( 7 ) 08 M ( 0) M ( 0 6) ) ( 6 - ) c) ( ) ( 9-6)

2 A paraola és az egyenes a paraola és kör kölcsönös helyzete Az y= t - + csak akkor paraola egyenlete ha t! 0 Ekkor minden t! R \ {0}-ra van megoldás van közös pont mert a t - + = t- egyenlet diszkriminánsa: D= ( t-) $ 0 Ha t = akkor egy közös pont van M( ) Ha t! akkor M( t- ) M t Ha t = akkor M= M az egyenes a paraola érintôje 060 Minden m-re csak egy közös pont van mert a diszkrimináns 0 Az egyenes érinti a paraolát az M pontan -m -m 06 A p= - + egyenlet gyökei: a= + p = - p ahol p > 0 a + = 7 ha p = 0 ekkor a = + 0 = A húr végpontjainak koordinátái: ( 98) ( ) A húr hossza 6 egység 06 A húr hossza egység 06 A húr hossza egység 06 yilván k! 0 A paraola egyenletét az adott pontok rendre kielégítik Tehát c= k ak + k + k = k Egyszerûsítve k! 0-val () ak + - = 0 () ak + + = 0 () és () egyenletekôl a =- = Az a c értékeit ehelyettesítve az y= a + + c egyenlete ak + k + k = 0 k y k =- + + k A k értékét úgy kell meghatározni hogy a paraola áthaladjon a Q (- 0 ) ponton Ez pontosan akkor teljesül ha () 0 =- - + k ldjuk meg a ()-as k egyenletet: k = k =- Ha k = akkor a =- = c = ha k =- akkor a = = c = A fókusz koordinátái: F 0 az egyenes egyenlete: y 9 = + A húr végpontjainak koordinátái: = 9 7 =- A húr hossza: egység 067 A tengelyponton átmenô egyenesek egyenletei: y= y=- Ezen egyenesek az y= egyenletû paraolát a tengelyponttól különözô ( 6 8) és ( ) 6 - pontokan metszik A egyenes egyenlete: - y =-6 Az egyenes az tengelyt a Q (- 0) az y tengelyt a Q ( 06 ) pontan metszi

3 68 A paraola 068 A fókusz koordinátái: F ( 0) a fókuszon átmenô egyenes egyenlete: y= m+ amely az adott paraolát a ( m+ m + m + m m + + ) és a ( m- m + m - m m + + ) pontokan metszi = 0 = ( 8 m ) ( 8m m ) Innen m =! ét megoldás van: - y+ = 0 vagy + y- = Számítsuk ki az AB szakasz felezômerôleges egyenesének a paraolával közös pontjait Megoldás: ( 00) ( 6) 070 M ( 00) M ( ) 07 A húr végpontjai: M( y ) M( y) Ekkor + = 0 és y+ y= Másrészt M és M paraolapontok ezért () = 0y () () és () különsége: ( - )( + ) = = 0y y- y = 0 ( y -y ) De + = 0 tehát = (! ) ami a keresett húr meredeksége - A húr egyenesének (az ( ) koordinátájú ponton átmenô szelô) egyenlete: -y- = 0 07 Az elôzô példa megoldásának gondolatmenetét követve a keresett szelô egyenlete: - y+ = 0 07 Az origón áthaladó egyik oldal egyenesének egyenlete: y= Ez az egyenes a paraolát a (0 0) ( ) koordinátájú pontokan metszi A szaályos háromszög csúcsainak koordinátái: A(0 0) B( ) C( - ) 07 Mivel az y tengely az egyik magasság azért az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A ( 00 ) B 8 C - 8 > 0 A magasságpont M(0 ) Ekkor AB 8 CM - 8 és AB $ CM = 0 = Az oldalak egyenletei: y= y=- y = 0 07 egyen A(0 0) Az AB oldal egyenesének egyenlete: y= A B és a C csúcsok koordinátái: B( p 6 p) C( - p 6p) 076 A húrok paraméteres egyenlete: y= m+ ahol m adott változó Ekkor - m - - = 0 A húrok végpontjai: M ( y ) M( y) és a másodfokú m m egyenlet gyökei: + = a húrok felezôpontjai az = egyenletû egyenesnek a paraola elsejée esô pontjai: Ha m = akkor = háromszög csúcsainak koordinátái: ( - 0 0) ( ) 0 A háromszög területe: = ( - 0) Rendezés után

4 A paraola és az egyenes a paraola és kör kölcsönös helyzete = Ha # # akkor = Innen ( - ) l(0 0) Ha - + < vagy > akkor R R S W S ll S W W és S 0 W lll S W A kapott értékek S 0 W S W S W T X T X kielégítik az -re vonatkozó követelményeket! Így négy megoldás van 078 A TA derékszögû háromszög csúcsainak koordinátái ( ) T ( 0 ) A ( 0 ) ( ) ahol 0< < A TA háromszög területe: t = - = ( -) $ $ Alkalmazhatjuk a számtani és a mértani közép közötti egyenlôtlenséget mert - > 0 > ( ) - $ # ( - ) $ # A terület legnagyo értéke 8 7 és pontosan akkor ha - = 8 = 8 6 A keresett pont koordinátái: A C csúcs koordinátái ( ) A BC egyenes irányszöge a BC egyenes egyenlete y= -0 y= -0 A B csúcs koordinátái kielégítik az egyenletrendszert A négyzet keresett csúcsai: B( ) D( ) A( ) y= A paraola fókusza F - - ez a romusz B csúcsa Az A csúcs a B csúcstól egység távolságra van és rajta van a paraolán _ ( y+ ) = ` 7 9 y= + - a Az egyenletrendszerôl az A csúcs koordinátái: - A romusz középpontja a 7 paraola tengelyén van a koordinátái - az AC átló hossza 9 egység a BD átló 9 9 hossza B = 9 egység A romusz területe: t = területegység 08 Az AB szakasz mint átmérô fölé rajzolt Thalész-kör egyenlete: ( - ) + ( y- ) = Ez a kör az ( y- ) = - paraolát az A( ) pontan érinti a ( - ) és a ( + ) pontokan metszi = = 90 Az AB négyszög területe területegység

5 70 A paraola egyen a paraola egyenlete y = p A csúcson átmenô egymásra merôleges egyenesek egyenletei: y= m és y=- m ( m! 0) p p A húrok végpontjai m m és Q( pm - pm) A Q húr a paraola csúcsáól derékszögen látszik A Q egyenes egyenlete: m+ ( m - ) y = pm egyen y = 0 akkor = p Ahúrok egyenesei a ( p 0) ponton haladnak át az m! R \ {0} értékétôl függetlenül 08 a) p! A paraola pontosan akkor érinti az tengelyt ha a ( p-) - p+ = 0 egyenletnek egy gyöke van (a két gyök azonos) D= ( p- ) = 0 p = Ekkor A(- 0) ) Alakítsuk át az egyenletet: p p y= ( p- ) p - A paraola csúcsa (tengelypontja) az y tengelyen van p - p ha 0 p - = Ekkor p = 0 B( 0) Árázoljuk a p = illetve a p = 0 értékeknek megfelelô paraolákat (08 ára) c) Mindkét paraola normál paraola Az F(- ) pontra valóan szimmetrikusak d) Az A és a B pont 08 ldjuk meg az egyenletrendszert: y a y m a = es = - m A megoldás az a ( m- a) = 0 egyenlethez vezet Innen = vagyis valóan egy közös pont van m a ) ldjuk meg az egyenletrendszert Egy megoldás van: = m 08 ldjuk meg az y p = és a py ( + y) = egyenletekôl álló egyenletrendszert figyeleme véve hogy y p = Ekkor az ( - ) = 0 egyenlethez jutunk = y= y tehát valóan egy közös pont van és az egyenes nem párhuzamos a paraola tengelyével Az adott pontokan az érintôk egyenletei: - y= - y= 6+ y+ 9= 0 y y 086 Az egyenes egyenletéôl = - Helyettesítsük az y = p egyenleten az p y y helyére: y = p - p innen y - y y + p = 0 Mivel ( y) a paraola pontja azért p = y Így y= y = Tehát a paraolának egy közös pontja van az egyenessel az egyenes nem párhuzamos az tengellyel az yy= p ( + ) érintô egyenlete Ha = 0 akkor y = 0 Az érintô egyenlete = 0 Megjegyzés: Az y = p egyenletû paraola az y p = egyenletû paraolának az y= egyenletû egyenesre vonatkozó tükörképe Tükrözzük az y p = egyenletû paraola py ( + y) = érintôjét az y= egyenletû egyenesre Ekkor p ( + ) = yy mert a ( y) pont tükörképe: l ( y ) ( " y y" " y y" )

6 A paraola és az egyenes a paraola és kör kölcsönös helyzete Az aszcisszájú pontokan az érintôk egyenletei rendre:! y + = 0! y+ = 0! y 6 + 6= a) izsgáljuk az y = p egyenletû paraolát A ( y) ponteli érintô egyenlete yy= p ( + ) a fókuszon átmenô és az érintôre merôleges egyenes egyenlete: p y y+ py= y Ez az egyenes az y tengelyt a Q 0 pontan metszi A Q pont rajta van az érintôn mert y = p igaz egyenlôség ) Tükrözzük az F p 0 pontot a Q y p y 0 pontra A T tükörkép koordinátái: - y c) A Q pont ordinátája: d) Az yy= p ( + ) egyenletôl ha y = 0 akkor =- *( - 0) Ha a paraola egyenlete y p = és az érintési pont ( y) akkor az érintô az tengelyt az M 0 pontan metszi M merôleges az érintôre az F pontnak az érintôre vonatkozó tükörképe p Q - rajta van a vezéregyenesen Az érintô az y tengelyt a ( 0 - y ) pontan metszi 088 A 087 ára szerint a TF háromszög egyenlô szárú háromszög mert Q = FT és a Q pont felezi az alapot T = F az érintô felezi az FT szöget A pontan az e érintôre állított merôleges felezi az F * * F szöget _ F i Eôl következik a feladat állítása 089 Az érintési pontok koordinátái: ( 6) - Az érintôk egyenletei: e : y= 6 + e : 6y = 6 ^ + h e: - y= 6 + Az érintôk által meghatározott háromszög csúcspontjai: A ( ) A - - A - - A háromszög területe: t = területegység Az A A A háromszög területe t = területegység t : t = : 090 Az egyenes akkor érinti a paraolát ha m + = 0 m =- Az érintôre a (0 0) érintési pontan emelt merôleges egyenlete: y= A húr hossza: d = egység 09 Mivel a ( ) pont rajta van a paraolán azért + c=- Az y= egyenletû egyenes érinti a paraolát ha az + ( - ) + c= 0 egyenlet diszkriminánsa 0 =- c = 09 egyen A a a 6 B A gyújtópont F(0 ) a vezéregyenes egyenlete y 6 =- Az AB egyenes egyenlete: a a y=- F illeszkedik az AB egyenesre akkor 6 6

7 7 A paraola _ a a () - y = 8 6 a =- 6 Az A és a B ponteli érintôk egyenletei: ` ()-() érintôk metszéspontja ( a- =Y 0) : = + a () - y = 8 6 a a y = De mivel a =- 6 azért M a tehát M valóan a vezéregyenesre illeszkedik 09 Az y= m egyenes pontosan akkor érinti a paraolát ha az - ( 8 + m) + 6 = 0 egyenlet diszkriminánsa 0 Ekkor m = 0 m =- 6 Az érintési pontok ( 0) (- 6) 09 Az origón átmenô és egymásra merôleges érintôk egyenletei: y= m y =- m ahol m =Y 0 Az y= m egyenes akkor és csakis akkor érintô ha az y= a + + c egyenletrendszerhez tartozó diszkrimináns 0 D= ( -m) - ac= 0 Hasonlóképpen az y =- y= m m érintôre D= + - ac = 0 m Mindkét feltétel egyszerre teljesül ha ( - m) = + m Innen = m- $ m + =Y 0 m m ( m) ac = + - m+ m - ac= 0 Innen az a + + c = 0 egyenlet diszkriminánsa: - ac= m- m - ac= m m- -m m - ac =- 09 y= =- 6 E( 0) (Az y= + 6 egyenes valóan érintô mert nem párhuzamos a paraola tengelyével és a paraolával egy közös pontja van) 097 A paraola egyenlete y= a( -u) alakú Az érintô egyenlete y= - 6 Az érintô az tengelyt a Q( 0) pontan metszi Eôl adódik hogy a csúcspont T( 0) (087 feladat) y= ( - ) 098 Az A ponteli érintô egyenlete: 8+ y= A csúcsérintô egyenlete: y = Az érintô a csúcsérintôt a ( ) pontan metszi A 087 feladatra hivatkozva a tengelypont T( ) A paraola egyenlete: y= a( - ) + Mivel az A( -7) illeszkedik a paraolára y=-( - ) Az AB egyenessel párhuzamos érintô érintési pontja adja azt a C pontot amelyre az 6 ABC háromszög területe a legkise A C csúcs koordinátái: C 6 00 Az y= + egyenletû egyenes érinti az y= paraolát ha = Az y= - egyenes érinti az y=- ( - ) paraolát is a (0 -) pontan d = 0 0 A ( y) ponteli érintô egyenlete yy= p ( + ) az érintôre a pontan emelt merôleges egyenes egyenlete y+ py= y+ py Ha y = 0 akkor = + py ( y =Y 0) A vetület - = p=állandó 0 A - y= egyenletû egyenessel párhuzamos egyenessereg egyenlete - y= alakú Ezek közül olyan egyenes érinti az y= paraolát amelynek egy közös pontja van a pa-

8 A paraola és az egyenes a paraola és kör kölcsönös helyzete 7 raolával = A - y= egyik pontja például a (0 -) pont A pont a -y- = 0 egyenestôl d = egység távolságra van Ennyi a két párhuzamos egyenes távolsága is 0 A ( y) ponteli érintô az tengelyt a Q 0 pontan metszi feltéve ha =Y 0 y A Q szakasz felezôpontjának koordinátái: = y = Innen = és y y = De 8 8 y = tehát y= A mértani hely az y= egyenletû paraola kivéve a (0 0) pontot Tegyük fel hogy az adott egyenes (a a) pontjáól húzható két egymásra merôleges egyenes az y= paraolához A ponton átmenô egyenes egyenlete y= m+ a- ma álasszuk meg az m-et úgy hogy ez az egyenes a paraola érintôje legyen Ennek szükséges és elégséges feltétele hogy az = m+ a-maegyenlet diszkriminánsa 0 legyen és követeljük hogy mm =- legyen De mm = a tehát a =- a =- A keresett pont koordinátái: - - együk észre hogy a pont a paraola vezéregyenesére illeszkedik 0 Az adott egyenessel párhuzamos y= + egyenletû egyenesek közül az y= + 7 egyenes érinti a paraolát a pontan A pont az y = - egyenestôl d = egység távolságra van 0 06 A ( y) ponteli yy= p ( + ) paraolaérintô az tengelyt a Q_ - 0i pontan metszi Szaályos háromszög akkor jöhet létre ha y> 0 eseten a Q egyenes az tengellyel y 0 -os szöget alkot = 8 6 = & = A keresett pont koordinátái: Q(-6 0) A szaályos háromszög csúcsainak koordinátái: (-6 0) 0 l 0 - l 07 8 l és a 8 - Az érintôk merôlegesek egymásra 08 A normális az tengelyt az _ + p 0 i az y tengelyt a y 0 _ p p + i pontan metszi 09 A ( y) ponthoz tartozó érintô az tengelyt az A_ - 0i pontan a normális a B _ + p 0i pontan metszi Az AB egyenlô szárú háromszög alapjának középpontja a p p _ 0i pont Így = = Az érintési pont koordinátái: p! p 0 A keresett kör áthalad a p p és a p - p pontokon a középpontjának koordinátái: (u 0) A p ponteli paraolaérintô egyenlete: y= + A ponthoz tartozó

9 7 A paraola p normális egyenlete: y=- + A normális átmegy a kör középpontján ezért p 0 p A kör sugara: = r = p + p a keresett kör egyenlete: - + y = p Az egyenes érinti a paraolát ha nem párhuzamos a tengellyel és egy közös pontjuk _ y= m- van ldjuk meg az y= ` egyenletrendszert Egy közös pont csak akkor van ha a diszkrimináns 0 D= 6m - & m =! a ét érintô létezik Az egyenleteik: y= - és y=- - m = ét közös pont van ha > - egy közös pont ha = nincs közös pont ha < - = Az adott egyenessel párhuzamos paraolaérintô egyenlete y= + A paramétert _ y=- + úgy kell megválasztani hogy az y= ` egyenletrendszernek egy megoldása legyen 8 a D = = 0 =- 6 y= + 7 Az adott egyenesre merôleges egyenessereg egyenlete y= + =- 6 Az érintô egyenlete y= a) y= + ) Az adott egyenes iránytangense - a rá merôleges érintô iránytangense Az érintô egyenlete: y = + 6 c) Az adott egyenes iránytangense m = Az m- m - m érintô iránytangense m Ekkor tg = = ét eset lehetséges + mm + m - m = innen m + m = vagy - m m =- innen m + =- Ha m = akkor az érintô egyenlete: - y+ 7= 0 ha m =- akkor az érintô egyenlete + y + = 0 9 A + y+ 6= 0 egyenletû egyenessel párhuzamos paraolaérintô egyenlete: + y+ 6= 0 A két párhuzamos egyenes távolsága adja meg a két ponthalmaz (egyenes és 6 6 paraola) távolságát d = - + = 0 a) p = ) p = c) Ha a = 0 akkor nincs megoldás egyen a =Y 0 ac Ha = c = 0 akkor p! R ha =Y 0 és c =Y 0 akkor p = ha = 0 és c =Y 0 vagy =Y 0 és c = 0 akkor nincs megoldás

10 A paraola és az egyenes a paraola és kör kölcsönös helyzete 7 A pont koordinátái: ( y ) ekkor a Q pont koordinátái: Q _- 0 i itagorasz tételét alkalmazva _ i + y = Mivel y = 8 ezért egyszerûsítés után: + 7- = 0 Mivel > 0 azért az egyenletnek csak a pozitív gyöke felel meg = 9 Ekkor y =! 6 7 ét érintôt kapunk 7 - y+ 9 7 = 0 és 7 + y+ 9 7 = ( 7) Az érintôk egyenletei: y 7 = + és y= + Innen m = m - 8 = és tg ~ = 8 ~ = $ 8 8 Az A 0 7 és a B( 0) pontok a paraola elsô tartományáa esnek F(087 0) 8 Ezekre a pontokra nincs megoldás Az A 7 és a B( 7) pontok rajta vannak a paraolán 7 7 Az érintôk egyenletei: y= + és y= + m 8 = m 8 = tg 0 ~ = ~ = Az érintôk metszéspontja: M A fókuszon átmenô m = iránytangensû egyenes egyenlete: y= - Ez az egyenes a paraolát a l és a 9 6 l pontokan metszi A és a pontokan a paraola érintôinek egyenlete: + y + = 0 és - y + 9= 0 ~ = 60 Az y= + egyenletû egyenes érinti az y= + egyenletû paraolát ha = az y = - egyenletû paraolát ha =- Az y= + és az y= - egyenletû egyene- sek távolsága: 6 a) ldjuk meg az () y= + egyenletrendszert () y - 8y+ = 0 () ` + j - 8` + j + = 0 Rendezve a ()-as egyenletet: ` j = 0 () _ - i` + - j = 0 () egyenletôl: = 0 = =- A paraolák közös pontjainak koordinátái: (0 0) ( ) (- ) - + ) ( ) (- -) c) (0 0) ( ) d) (0 0) ( ) ( ) e) (0 0) ( ) ( ) (- 9)

11 76 A paraola 7 a) Mivel y= azért = (0 0) l ) c) incs közös pont d) p p! 8 A paraolák egyenletei: y = 8 és y = l - l 9 Az adott paraola egyenlete: y = 0 Innen p = a vezéregyenes egyenlete =- A másik paraola tengelypontja: T 0 a fókusza F - 0 a paramétere p = 0 egyenlete y =-0 - A közös pontok: 6! 0 A (9 ) ponton átmenô egyenessereg paraméteres egyenlete y- = m( - 9) y= m- 9m+ ahol m! R Az m értékét úgy kell meghatározni hogy y= m- 9m+ az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása legyen Az egyenletrendszerhez tartozó diszkrimináns: D= 6 m - $ 6 ( 9m- ) = 0 ha m = m 6y= = Az érintô egyenlete: -y- = 0 vagy -y- = 0 A( -) pontan az érintô egyenlete: + y+ = 0 a ( -0) pontan az érintô egyenlete: + y+ = 0 a) (! ) ) (! 6) F( 0) Az y = 6 ( - ) + y = 69 egyenletrendszerôl ( 9 ) ( 9 - ) 9 F 0 8 Az y 9 = y = 8 8 egyenletrendszerôl ( 8! 6) A tengelypont T(0 0) T = 0 egység Az + y = 9 y= a - egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van ha a = a = A paraola egyenlete: y= - a 8 értéke nem felel meg 6 Az y = p ( - ) + y = 0 egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van ha p = 0 vagy A feladatnak a p = felel meg y = E ( 9! 6) 7 A paraola az tengelyt az A(- 0) és a B( 0) pontokan metszi A keresett kör egyenlete: + ( y- v) = Mivel a kör átmegy az A és a B pontokon azért + v = 69 v =- ( v = nem felel meg) A kör és a paraola közös pontjai A(- 0) C(- -7) D( -7) B( 0) Az ABCD négyszög trapéz a területe: t = 89 területegység 8 A paraola és a kör közös pontjainak koordinátái: A(0 0) B l C - l $ Az ABC háromszög területe: t = = területegység 9 Az y=- egyenletû egyenes és az y= + egyenletû paraola közös pontjai (0 0) (- 8) ét megoldás van: (0 0) = r = + y = (- ) = r= 7 ( + ) + ( y- 8) = 7

12 A paraola és az egyenes a paraola és kör kölcsönös helyzete 77 0 A paraola egyenlete: y + = = ( - ) y+ = ( -) Az egyenletrendszerôl: ( + ) + ( y- ) = () =0 = gyöke az ()-es egyenletnek ezért ( - ) $ ( ) = 0 alakan írható = 0 Innen ( -) -( -) $ -( - ) + ( - ) = 0 () ( -)( ) = 0 Hasonló meggondolással a ()-es egyenlet is továalakítható ( -)( -)( -- 6) = 0 A paraolának és a körnek négy közös pontja van (- 6) ( -) ( -) ( ) A kör egyenlete ( + ) + ( y- ) = A paraola paramétere p = tengelypontja T(- -0) az egyenlete y+ 0 = ( + ) A kör és egyenes közös pontjai ( -) (- -) ( 6) (-6 6) A közös pontok trapézt feszítenek ki A területe: 9 területegység A paraola ( y) ponteli érintôjének egyenlete: = ( y+ y) az érintô normálegyenlete: = 0 A paraola érintôje érinti az + y = 6 egyenletû kört ha -y-y + 9 $ 0-$ 0-y = Innen 9y = 6( + 9) De = 6y tehát y -y- 8= 0 Mivel + 9 = 6y> 0 azért y = és =! 6 ét közös érintô létezik az egyenleteik: y=! - A paraola és a kör metszéspontjai: l - l A pontan az érintôk egyenletei: + y= 6 y= ( + ) A hajlásszög 709 A ( p 0) pont körül rajzolt r sugarú körnél az r-et úgy kell megválasztani hogy az y = p egyenletrendszernek -re egyetlen gyöke legyen ( - p) + y = r - p+ 9p - r = 0 & D= 6p - `9p - r j = 0 & r = p Ekkor = p A háromszög Q R csúcsainak koordinátái Q(p p) R(p -p) A QR háromszög területe: t= p A téglalap paraolára illeszkedô csúcsainak koordinátái:! pl ahol 0 < < a T T A téglalap területe: T= ( a- ) p Innen = a ( -)( a- ) Ha maimális akkor T is maimális A három pozitív tényezô összege állandó (a) Ezért a mértani és a számta- p p ni közepekre vonatkozó egyenlôtlenség szerint a szorzatuk akkor maimális ha a tényezôk a a ap egyenlôk = a- ha = A maimális terület: Tma =