Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet"

Átírás

1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet Példatár a Bevezető matematika tárgyhoz Amit tudni kell a BSC képzés előtt Összeállította: Kádasné dr. V. Nagy Éva egyetemi docens Szerkesztette: István Péter BME BUDAPEST 2009

2

3 ELŐSZÓ A BME MI oktatói sok éves tapasztalatai szerint a felsőfokú tanulmányok elkezdésekor azok a hallgatók küzdenek nagyobb nehézségekkel a matematikát igénylő tárgyakban, akik a középiskolai matematika lényegi részeiben nem eléggé járatosak. Ebben segít a Bevezető Matematika tárgy. A tárgyi tartalom azon részeket emeli ki a középiskolai anyagból, amelyeket feltétlenül és nagy biztonsággal tudni és használni kell. Erre épülnek a további tanulmányok matematikából. A tárgy oktatóit igyekezett a MI úgy megválasztani, hogy minél eredményesebb és hatékonyabb legyen a közös munka. A foglalkozásokon való részvétel kötelező, azt ellenőrizni is fogjuk. Betegség esetén orvosi igazolás szükséges. A rendszeres jelenléten kívül természetesen rendszeres tanulás és példamegoldás is szükséges. Ajánlott irodalomként a középiskolai tankönyvek mellet ajánljuk a Thomas féle Kalkulus 1. egyetemi tankönyvet Bármilyen további probléma, kérdés, javaslat esetén forduljanak bizalommal a tárgyfelelőshöz: Kádasné Dr. V. Nagy Éva docens Elérhetőségek: személyesen: H épület 413. szoba cím: drvnagye@fre .hu mobil:

4 TARTALOM I. ELŐADÁS... 1 Elemi algebrai műveletek és azonosságok... 1 Százalékszámítás... 5 II. ELŐADÁS... 6 Elemi függvények tulajdonságai és ábrázolásuk III. ELŐADÁS... 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek... 8 IV. ELŐADÁS Trigonometria V. ELŐADÁS Két és három ismeretlenes egyenletrendszerek megoldása Síkvektorok VI. ELŐADÁS Koordináta geometria VII. ELŐADÁS Sorozatok Síkgeometria (háromszögek) VIII ELŐADÁS Síkgeometria (négyszögek, sokszögek, kör) Térgeometria IX ELŐADÁS Kombinatorika, valószínűség Saját jegyzetek... 23

5 I. ELŐADÁS Elemi algebrai műveletek és azonosságok 1. Hány olyan 1000-nél kisebb pozitív egész szám van, amely sem 5-tel sem 13-mal nem osztható? 2. Számítsa ki! Mennyi a 42-nek a része? Minek a -ed része a 28? Hányad része az 56 a 98-nak? 3. A térképen a lépték: 1: Mekkora a valóságban, ami a térképen i. 2 cm? ii. 7 mm? Mekkora a térképen, ami a valóságban i. 3 km? ii. 200 m? 4. 3 disznó 5 nap alatt 250 kg takarmányt eszik meg. Mennyi takarmányt eszik meg 4 disznó 8 nap alatt? 5. A Ft havi bruttó fizetésből 10% TB-t és 30% adót vonnak le. Mennyi pénzt kapunk kézhez? A nettó fizetés hány %-a a járulék és az adó? 6. Rakja nagyság szerint sorba a 3,,, 2 és 3 számokat! 7. Hány jegyű szám a 2? 2? 2? 8. Milyen értékek közé esik ha 5 < 1 és 10 < 2? 9. 1 és 200 között hány olyan szám van, ami osztható 2-vel, 3-mal, 5-tel és 7-tel? 1

6 10. Döntse el, hogy az alábbi számok közül melyik racionális-, irracionális szám és melyik a legkisebb illetve a legnagyobb. 10, ln 5, lg 100,. 2, 4, 25,, 8, 27. sin 60, tg 45, cos 45, ctg Hozza a legegyszerűbb alakra! : : ,25 7,32 e) f) Írja fel prímhatványok szorzataként: Számolja ki! =? ,6 10 2, =? , ,009 =? =? e) =? 2

7 14. Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket! + =? =? 15. Oldja meg! = = = 16. Rakja sorrendbe az alábbi kifejezéseket! ; ; ; ; ; lg ; log 0,25 ; log ; ln 1 3 ; 0,25 ; 3 e) 3 ; 2 ; Számítsa ki az értékét! lg = lg 1,2 + lg 1,5 lg 0,9 ln = 2 ln 5 2 ln = 3 log 8 log 16 3

8 18. Végezze el a műveleteket és rendezze fogyó hatványai szerint! Alakítsa szorzattá! (Az és e) résznél a nevezőt és a számlálót is) e) , , Egyszerűsítse a kifejezéseket! 25 3 : =? =? ; =? =? 21. Oldja meg! 1 1 = = Mennyivel egyenlő + 1, ha + 1 = 79? + 1, ha 1 = 3? 23. Határozza meg az értékét! 2 = 64 2 = 64 2 = 64 sin e) 5 = 4

9 24. Rakja sorrendbe az alábbi három kifejezést! = 3 ; = sin 7 1 ; = log Vegyes feladatok! Határozza meg -et, a 2 = lg2 kifejezésben! Mennyi a 2 + reciproka? =?, ha = 9? Írja át a 11-et 2-es alapú számrendszerbe!!! e) =?, 73 72! =?! f) = sin + ; =? ; =? 26. Melyik szám abszolútértéke nagyobb? = 2002 ; = A x4 számban x helyére írjon olyan számjegyet, hogy a kapott 8 jegyű szám osztható legyen 12-vel! Százalékszámítás 1. A 10%-os éves lekötésű kamatos kamatra betettünk a bankba 8000 Ft-ot. Mennyi lesz a pénzünk 4 év múlva? 2. Egy osztály 40 tanulójának 30%-a kékszemű és 40%-a szőke. Tudjuk, hogy a kékszemű tanulók ¾ -e szőke. Hány olyan tanuló van, aki se nem szőke, se nem kékszemű? 5

10 II. ELŐADÁS Elemi függvények tulajdonságai és ábrázolásuk. 1. Ábrázolja az alábbi függvényeket, majd jellemezze a következő szempontok alapján: Értelmezési Tartomány, Érték Készlet, paritás (páros, vagy páratlan), Zérus Hely és monotonitás (hol nő, illetve hol csökken). 4 2 e) f) 2 g) 2 4 h) i) + 2 j) + 2 l) m) n) o) sin 2 p) cos q) tg r) ctg 3 s) k) t) u) ln 2. Határozza meg az alábbi függvények ÉT-át és zérushelyét! = + 3 = sin h = 1 ln 3. Egy másodfokú függvényről tudjuk, hogy egyik zérushelye a 3, és hogy az 5 helyen felvett 4 értékig monoton növő, utána monoton fogyó. Határozza meg ennek a függvénynek a hozzárendelési szabályát, majd ábrázolja! 4. Jellemezze az alábbi függvényeket paritás és periodicitás szempontjából! sin sin cos sgn e) f) g) 5. Határozza meg az alábbi függvények inverzét és ábrázolja azokat! = 2 3 = = Adja meg az alábbi függvények zérushelyeit! ln e) sin2 3 f)

11 g) = 2 3 h) = 4 i) = 3 5 j) = cos sin 7. Adja meg az alábbi függvények szélsőértékeit és növekedési viszonyait! ln e) f) Ábrázolja és jellemezze az alábbi függvényeket! Számítsa ki az 2 és az 1 helyettesítési értékeket! = ha < 1 24 ha 1 = ha < 0 2 ha ha 2 < 0 3 ha 0 3 = 1 4 ha = 2 ha 2 24 ha > 2 9. Adja meg és függvényeket, ha 3 = + 1 ; = sin = tg + 1 ; = 1 = ; = Adja meg h függvényt, ha = ; = ; h = cos 7

12 III. ELŐADÁS Egyenletek, egyenlőtlenségek 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket algebrai- és grafikus úton! = + 1 = 1 = 2 1 = e) 2 = f) = 3 g) = sin 2 h) = 2 i) ln = 1 2. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket algebrai- és grafikus úton! < > e) g) = 2 0,5 log = 1 f) h) 10 1 sin 1 2 i) j) Ábrázolja az alábbi tartományokat a síkon! < < < 15 < e) < f) 5 g) 2 h) 2 < 2 8

13 4. Oldja meg az egyenleteket! 2 = 2 e) g) i) j) log + 6 = = = = 0 10 lg lgcos + 3 lgsin = 13 lgtg f) h) = 17 2 lg 3 lg 3 = lg = = Oldja meg az egyenlőtlenségeket! e) g) log 3 log < 5 2 log 2 log > f) h) > log 2 + log Milyen R esetén! megoldása az alábbi egyenletnek? 2 + log + 6 log + 4 log + 1 = 0 7. Határozza meg -t, ha -re <

14 8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! = = 0 3 = = 39 e) lg + 6 = lg x f) = g) 9 5 = h) = 0 9. Határozza meg -et, ha a = 22 egyenletnek két darab különböző valós gyöke van. Adja meg a gyököket is! 10. Oldja meg az egyenleteket! 2lg lg + 1 = lg = = = Az = + + parabola csúcspontja 1, 1, a parabola és az tengely egyik közös pontjának koordinátája 2. Határozza meg az, és értékét! 12. Határozza meg az értékeit úgy, hogy a = 0 gyökei valósak legyenek. Ezekre az értékekre adja meg az maximum és minimum értékét. ( és a gyökök). 10

15 IV. ELŐADÁS Trigonometria 1. Oldja meg az 1 + tg cos > 1 egyenlőtlenséget! 2. Igazolja, hogy ha 0 < < 1 + ctg < ctg. 3. Igazolja, hogy 1 mindig igaz! 4. Oldja meg az alábbi egyenleteket a megadott intervallumon! 8 cos cos = 5 sin ahol, 0, tg + tg + ctg + ctg = 4 ahol, 0, 4 1 cos cos 2 = 0 ahol, 0,2 5. Oldja meg a sin cos sin = 3 paraméteres egyenletet, ha > 1 valós paraméter. 6. Oldja meg az alábbi egyenleteket! sin + cos = cos + sin e) f) g) 3 cos 2 = 2 sin + 3 cos + sin cos + sin + sin 2 = 1 cos sin 2 cos sin cos 2 5 = 0 cos 2 ctg tg = 1 4 sin 2 4 cos + 8 sin + 1 = 0 sin + sin sin 4 =

16 7. Számítsa ki az alábbi kifejezéseket! tg = 2 és 0 < < 180 i. 1 + sin 2 sin cos =? ii. 1 sin cos cos =? lg tg 36 + lg tg 54 =? tg sin 7 =? log cos sin 2 3 sin 4 =? 3 8. Egy háromszög oldalai + + 1, és 1 ahol > 1. Igazolja, hogy a háromszögben 120 -os szög! V. ELŐADÁS Két és három ismeretlenes egyenletrendszerek megoldása = = = = = = = = = = = = 7 12

17 7. log = 5 log = = 16 1 = = = log + log 1 = 0 = = = = 4 = = = = = = = = = = 6, = 6, = Határozza meg a kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét, ha = = Melyek azok a 2,1 középpontú 2 sugarú kör belsejében lévő pontok, amelyek koordinátái kielégítik a következő egyenleteket = 4 és 2 =

18 20., és pozitív egészek. Határozza meg értéküket, ha + + = = = 0 lg 2 lg2 = = = = = = = = = = 4 log log = = 81 lg + lg = 2 lg 3 Síkvektorok 1. Legyenek 2, 3, 3, 2 és 5, 1. Adja meg a következő vektorokat: + + =? 32 =? + =? + =? e) =? f) + =? 2. Legyenek = 2, 5, = 10, 2 és = 6, 12. Bontsa fel a -t -ral és -ral összetevőkre! Bontsa fel -t -ral és -ra összetevőkre! Adjon meg + -ra egységnyi hosszú vektort! 3. Legyen = 4, 3 és = 1, 2. Mennyi skaláris szorzat? Mekkora az és által bezárt szöge? 14

19 4. Egy háromszög csúcsainak koordinátái 2, 0, 5, 4 és 1, 3. Mekkorák a háromszög szögei? 5. Egy egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder egy csúcsából induló élének vektorai:,,. Adja meg ezek segítségével a tetraéder másik 3 élvektorát! 6. Egy téglalap hosszabbik oldala négyszerese a rövidebb oldalnak. Az egyik rövidebb oldal végpontjainak koordinátái: 1, 2 és 3, 5. Adja meg a téglalap hiányzó csúcspontjainak koordinátáit! 7. Egy rombusz hosszabbik átlója háromszorosa a rövidebb átlónak. A hosszabbik átló végpontjának koordinátái 1, 3 és 9, 5. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit! VI. ELŐADÁS Koordináta geometria 1. 2, 6, 3, 2. Adja meg, az és távolságát! az szakasz felezőpontjának koordinátáit! az pontokon átmenő egyenes egyenletét! az szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! e) azt a pontot, amely -tól és -től is 5 egység távolságra van! f) annak a körnek az egyenletét, amelynek az szakasz egy átmérője! 2. Adott két egyenes: : 5 4 = 14, h: 2 3 = 3 és a 5, 2 pont. Adja meg a két egyenes metszéspontjának a -től való távolságát. azon egyenes egyenletét, amely átmegy a -n i. és a két egyenes metszéspontján. ii. és -vel. iii. és h-ra. a pont és a h egyenes távolságát! 3. A paraméterek mely értékeire lesz köregyenlet: = 0? = 0? 4. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a 6, 1 ponton és érinti az -tengelyt! az -tengelyt! az - és az -tengelyt is! 15

20 5. A 1, 2 középpontú kör átmegy a 3, 2 ponton. Mekkora a kör sugara? Adja meg a kör egyenletét! 6. Írja fel az = 20 egyenletű körhöz a 9, 2 pontból húzható érintő egyenletét! 7. Milyen messze van a = 0 egyenletű kör középpontja az = + 3 egynestől? 8. Egy egyenes áthalad a 0, 5 és az 1, 3 ponton. E két pont egy olyan másodfokú függvény grafikonjára is illeszkedik, amely tengelypontja éppen a 0, 5 pont. Írja fel az egyenes egyenletét! Adja meg a másodfokú függvényt és zérus helyeit! VII. ELŐADÁS Sorozatok 1. Legyen az számtani sorozat. = 17, = 10. =? =? =? 2. Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög területe 150. Mekkorák az oldalak? 3. Legyen az számtani sorozat. = 0,5, = 38 és =? =? = 69. Mennyi 4. Legyen az számtani sorozat. + + = 12. Határozza meg a sorozat első három = 80 tagját! 5. Legyen az mértani sorozat. + + = 39. Határozza meg a sorozat = 729 első három tagját! 16

21 6. Legyen az mértani sorozat. = 3, = 12. =? = 3, = 24. =? = + + = 6. =?, =? 7. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 25. Az első, második és ötödik egy mértani sorozat szomszédos tagjai. Határozza meg, hogy mennyi az, a és a! 8. Egy számtan sorozat első három tagjának összege 21. Ha az elsőhöz 6-ot, a másodikhoz 13-at és a harmadikhoz 30-at adunk, akkor egy mértani sorozat egymás utáni tagjait kapjuk. Mi a számtani sorozat? 9. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 63. Ha az első taghoz 3-at adunk, harmadikból 30-at kivonunk, akkor egy számtani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Mi a mértani sorozat? 10. Egy számtani sorozat 12. tagja valamint az első tagjának összege is 0. A sorozat első 2 1 darab tagjának az összege 495. Adja meg a sorozat első 3 tagjának összegét! 11. Egy számtani sorozatban = 2. Az,, ebben a sorrendben egy mértani sorozat első három tagja. Adja meg a mértani sorozat első 10 tagjának összegét! 12. Egy számtani sorozat első négy tagja,,,. Az,, + 5, + 20 számok egy mértani sorozat első négy tagjának reciprokjaival egyenlők. Határozza meg a mértani sorozat első tagját és a hányadosát! 13. Egy különböző számokból álló számtani sorozat első három tagjából az első és a második tag sorrendjének felcserélésével egy mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Mennyi ennek a mértani sorozatnak a hányadosa? Adja meg egy ilyen sorozat első három tagját! 14. Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy az első tagja közül az első négy összege 26, az utolsó négy összege 110. Az első tag összege 187. Írja fel a számtani sorozat első három tagját! 15. Egy pozitív egész számokból álló mértani sorozat második tagja 6, első és harmadik tagjának összege 20. Határozza meg, hogy mely pozitív egész -ekre lesz az első tag összege osztható 10-zel! 17

22 Síkgeometria (háromszögek) 1. Mekkora a szög az háromszögben, ha az -beli belső és a -beli külső szögfelező 60 -ban metszi egymást? 2. Egy háromszög egyik szögfelezője a szemközti oldallal 85 -os, egy másik szögfelezője 54 -os szöget zár be. Mekkorák a háromszög szöge i? 3. Egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög szögfelezőjének a hossza 10 cm. Ez a szögfelező a szemközti befogóval 60 -os szöget zár be. Adja m eg a háromszög oldalait és szögeit! 4. Egy derékszögű háromszög befogói 6 cm és 8 cm. Mekkora a beírt kör sugara? Mekkora a köré írt kör sugara? Mekkora a két kör középpontjának a távolsága? 5. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 6 cm, a beírt kör sugara 2 cm. Mekkora a másik befogó? 6. Adja meg annak a szabályos háromszögnek az oldalhosszúságait amelyet egy 10 cm sugarú körbe rajzolunk! kör köré rajzolunk! 7. Egy derékszögű háromszög befogói hosszának aránya 3:4, összegük 35. Mekkora a háromszög területe, átfogója és az ehhez tartozó magassága? 8. Az ABC egyenlőszárú háromszög egyik szöge 2, az AB szakasz 100 cm. A k kör átmegy a C-n és érinti az AB szakaszt. A k kör területének hány %-a van az ABC háromszögön kívül? 18

23 VIII ELŐADÁS Síkgeometria (négyszögek, sokszögek, kör) 1. Egy deltoid átlói 75 mm, illetve 60 mm. A rövidebb áltó harmadolja a hosszabbat. Mekkora a deltoid területe és kerülete? 2. Egy téglalap oldalai AB=6 cm, BC=8 cm. A CD oldalegyenesen felvett P pontra igaz, hogy PD=3 cm. Mekkora távolságra van a P a téglalap többi csúcsától? 3. Mi az alábbi alakzat, és mekkora a területe? 4. Egy trapéz alapjainak hossza 3 és 6. Mekkora az átlók metszéspontján át az alapokkal egyenesnek a trapéz belsejébe eső szakasza? 5. Egy szimmetrikus trapéz átlói egymásra, és 1:2 arányban osztják egymást. A rövidebbik alap legyen 10. Mekkora a területe? 6. Egy trapéz rövidebb alapja 20 cm, magassága 4 cm. A hosszabbik alapon fekvő két szög 45, illetve 30. Mekkora a trapéz kerüle te és területe? 7. Egy ABCD paralelogramma AB oldala 10. BC oldalának egy belső pontja legyen P, amelyre igaz, hogy = 2 5. Legyen a DP és AB egyenesek metszéspontja Q. Mekkora az AQ szakasz hossza? 8. Egy KLMN paralelogramma területe 200 cm 2, a KL oldal hossza 25 cm. A = 120. Mekkora a kerület és az átlók hossza? 9. Egy körgyűrűcikket 3 cm illetve 9 cm sugarú körívek határolnak, területe 18 cm. Mekkora a középponti szög? 10. Egy 5 cm sugarú kört 8,66 cm hosszú húrja két körszeletre bontja. Mekkorák a körszeletke területei? 19

24 11. Egy k kör középpontjától 38 cm-re van a P pont. A P-ből húzott két érintőszakasz 120 -os szöget zár be. Mekkora a két érintőszakasz? a kör sugara? annak a síkidomnak a területe, amelyet a két érintőszakasz és az érintési pontok által meghatározott hosszabbik körív határol? 12. Húrnégyszög-e az a négyszög, amely oldalai = 2, = 6, = = 2 és egyik áltója = 2 2! Válaszát indokolja! 13. Érintőnégyszög-e az a négyszög, amelyben = 1, = 90, = 60, =, =, ahol a felezőpontja! 14. Hány csúcsú az a konvex sokszög, amelynek együttesen 153 oldala és átlója van? 15. Mekkora ív tartozik egy 90 cm kerületű körben a 72 -os középponti szöghöz? Térgeometria 1. Egy téglatest élei 6, 9, 12 cm. Mekkora szöget zárnak be i. a testátlók a lapokkal? ii. az élekkel? a téglatest felszíne és térfogata? a testátlók és lapátlók hossza? 2. Egy négyoldalú szabályos gúla oldaléle 6,4 cm, az oldalél az alaplap síkjával 72 -ot zár be. Mekkora a gúla magassága? 3. Egy kocka éle: a. Mekkora a lapátló és testátló? a felszín és a térfogat? a kocka csúcsainak az egyik testátlótól való távolsága? 4. Egy szabályos tetraéder élhossza 8 cm. Mekkora a magassága? a köré írt gömb sugara? a beírt gömb sugara? 5. Egy forgáskúp alapkörének az átmérője egyenlő az alkotó hosszával. Határozza meg a kúp felszínét és térfogatát, ha a magassága 8 3 cm! 20

25 6. Mekkora annak a gömbnek a sugara, amelynek a középponttól 3 cm távolságra lévő síkmetszet területe 50,26 cm Egy hasáb két lapja rombusz, a többi négy lapja négyzet. A hasáb minden éle 12 cm hosszú, a hasábnak van 45 -os lapszöge. Mekko ra a hasáb térfogata? a hasáb magasságai? 8. Egy 10 cm belső átmérőjű, magas üveghenger félig van vízzel. Melyik esetben emelkedik többet a vízszintje: i. ha egy 3 cm sugarú tömör fémgolyót helyezünk a vízbe? ii. ha egy 5 cm élű tömör fémkockát helyezünk a vízbe? Hány mm-t emelkedik a vízszint az i. és az ii. esetekben? IX ELŐADÁS Kombinatorika, valószínűség. 1. Egy küldöttség utazik külföldre. Kilencen tudnak angolul, hatan németül, ketten mindkét nyelven beszélnek. Hány tagú a küldöttség, ha hárman e két nyelv egyikén sem tudnak megszólalni? (13) 2. Nyolc barát találkozik. Kézfogással üdvözlik egymást. Hány kézfogásra kerül sor? (28) 3. Mi a valószínűsége, hogy egy szabályos kockát többször feldobva a második dobásnál kapunk először 6-ost? a harmadik dobásnál kapunk először 6-ost? 4. Adott négy kártya, amelyen számok vannak: 8, 8, 4, 4. Hány féle különböző négyjegyű szám állítható elő? (6) Melyik a legnagyobb és legkisebb szám? Mutassa meg, hogy a legnagyobb és legkisebb így előállítható négyjegyű szám különbsége osztható 9-cel! 5. Karcsi, Zoli, Pali és Juli a moziban 4 egymás melletti székre kapott jegyet. Pali feltétlenül Juli mellett akar ülni. Hányféleképpen foglalhatják el a helyüket? (12) 6. Mi a valószínűsége, hogy két kockát feldobva kapott számok összege 9? 21

26 7. Egy versenyen 12-en vesznek részt. Hányféleképpen alakulhat ki a végső sorrend, ha csak az első hármat rangsorolják? 3! Legyen ez a verseny a selejtező, ahol csak hatan kerülhetnek a döntőbe. Ez hányféleképpen valósulhat meg? 8. Egy dobozban négy különböző pár cipő van. Véletlenszerűen kiválasztunk két darab cipőt. Mi a valószínűsége, hogy ez a két darab cipő éppen egy pár? 9. Egy társaságban 6 fiú és néhány lány van. Minden fiú pontosan 2 lányt ismer és minden lány pontosan 3 fiút. Hány lány van? (4) 10. Egy üzemben 500 terméket gyártottak, amiből 20 selejt. A minőségellenőrzésen találomra kiválasztanak 10 terméket. Hányféle választás lehetséges? Hány esetben van pontosan 5 selejt a 10-ből? 11. Hány különböző módon olvasható ki a HATÁROZOTT szó a mellékelt ábrából, ha a H-tól indulva mindig csak jobbra vagy lefelé haladhatunk? (30) H A T Á A T Á R T Á R O Z O T O T T 12. Hat tojásból kettő romlott. Véletlenszerűen kiválasztunk kettőt, mi a valószínűsége, hogy nem lesz köztük romlott? 22

27 Saját jegyzetek 23

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Térgeometria feladatok. 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504 cm 2. Mekkora a testátlója és a térfogata?

Térgeometria feladatok. 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504 cm 2. Mekkora a testátlója és a térfogata? Térgeometria feladatok Téglatest 1. Egy téglatest éleinek aránya 2 : 3 : 5, felszíne 992 cm 2. Mekkora a testátlója és a 2. Egy négyzetes oszlop magassága háromszor akkora, mint az alapéle, felszíne 504

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor

Részletesebben

Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.

Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,

Részletesebben

Javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból

Javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból 9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria V. Térgeometria V. 1. Egy 4, 6 dm átmérőjű, 5 dm magasságú, 7, dm sűrűségű hengerből a lehető legnagyobb szabályos nyolcoldalú oszlopot kell készíteni. Mekkora lesz a tömege? Az oszlop magassága a henger

Részletesebben

3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek

3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek 3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria 005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Azonosító jel: Matematika emelt szint

Azonosító jel: Matematika emelt szint I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY DÖNTŐ 2004. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY DÖNTŐ 2004. 5. osztály 5. osztály Ha egy négyzetet az ábrán látható módon feldarabolunk, akkor a tangram nevű ősi kínai játékot kapjuk. Mekkora a nagy négyzet területe, ha a kicsié 8 cm 2? (A kis négyzet egyik csúcsa a nagy

Részletesebben

1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!

1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! 1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV. Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Jelöljük az adott kört k val, a kör középpontját O val, az adott külső pontot pedig P vel. A szerkesztéshez azt használjuk

Részletesebben

A skatulya-elv alkalmazásai

A skatulya-elv alkalmazásai 1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY FŐVÁROSI DÖNTŐ SZÓBELI (2005. NOVEMBER 26.) 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY FŐVÁROSI DÖNTŐ SZÓBELI (2005. NOVEMBER 26.) 5. osztály 5. osztály Írd be az ábrán látható hat üres körbe a 10, 30, 40, 60, 70 és 90 számokat úgy, hogy a háromszög mindhárom oldala mentén a számok összege 200 legyen! 50 20 80 Egy dobozban háromféle színű: piros,

Részletesebben

Vektoralgebrai feladatok

Vektoralgebrai feladatok Vektoralgebrai feladatok 1. Vektorok összeadása és szorzatai, azok alkalmazása 1.1 a) Írja fel a és vektorokat az és átlóvektorok segítségével! b) Milyen hosszú az + ha =1? 1.2 Fejezze ki az alábbi vektorokat

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.C ÉS 13.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.C ÉS 13.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség kezdete: 2013.09. 01. Oldal/összes: 1/6 Fájlnév:ME-III.1.1. Tanmenetborító SZK-DC- 2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Térgeometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló gimnáziuma) Térgeometria III. Térgeometria III. 1. Szabályos háromoldalú gúla alapéle 1 cm, oldaléle 1 cm. Milyen magas a gúla? Tekintsük a következő ábrát: Az alaplap szabályos ABC, így a D csúcs merőleges vetülete a háromszög S súlypontja.

Részletesebben

6) Határozza meg a következő halmazokat! A= {deltoidok} {téglalapok}; B= {négyzetek} {húrnégyszögek} (2pont)

6) Határozza meg a következő halmazokat! A= {deltoidok} {téglalapok}; B= {négyzetek} {húrnégyszögek} (2pont) (8/1) Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Van olyan rombusz, amely téglalap is. (1pont) b) Minden paralelogrammának pontosan két szimmetriatengelye

Részletesebben

Ábrahám Gábor A háromszög és a terület Feladatok. Feladatok

Ábrahám Gábor A háromszög és a terület Feladatok. Feladatok I. Klasszikus, bevezető feladatok Feladatok 1. Az alábbi feladatokban hányad része a satírozott rész területe az eredeti négyszög területének? a) Egy paralelogramma valamely belső pontját összekötjük a

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria II. Geometria II. Síkidomok, testek: A sík feldarabolásával síkidomokat, a tér feldarabolásával testeket kapunk. Törött vonal: A csatlakozó szakaszok törött vonalat alkotnak. DEFNÍCIÓ: (Sokszögvonal) A záródó

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. I. rész Fontos tudnivalók A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot

Részletesebben

A döntő feladatai. valós számok!

A döntő feladatai. valós számok! OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 < Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log

Részletesebben

Minta 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

Minta 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY

MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY MAGISTER GIMNÁZIUM TANMENET 2012-2013 11. OSZTÁLY Heti 3 óra Évi 111 óra Készítette: Ellenőrizte: Literáti Márta matematika tanár.. igazgató Másodfokú egyenletek. Ismétlés 1. óra: Másodfokú egyenletek,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK KÖZÉPSZINT Koordináta-gomtria szürkíttt háttrű fladatrzk nm tartoznak az érinttt témakörhöz azonban szolgálhatnak fontos információval az érinttt fladatrzk mgoldásához! 1)

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA EURÓPAI ÉRETTSÉGI 010 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 010. június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

A parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete

A parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete 66 A paraola 00 egyen a keresett kör középpontja Az pont koordinátái: ( y) Ekkor felírhatjuk a következô egyenletet: ( - ) + ( y- ) = mert a kör sugara > 0 Innen rendezéssel: ( y- ) = 6 - A mértani hely

Részletesebben

Év végi összefoglalás

Év végi összefoglalás . évfolyam I. témakör: Hatvány, gyök, aritmus Tört kitevőjű hatványok eponenciális függvények eponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek aritmus fogalma aritmus függvények aritmus azonosságai

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint írásbeli

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. KÖZÉPSZINT 1) Egy mértani sorozat első tagja 3, hányadosa első hat tagjának összegét! n n 1 Sn na1 d, ebből: S I.. Adja meg a sorozat ( pont) 6 63.( pont) ) Írja fel annak

Részletesebben

Halmazok és függvények

Halmazok és függvények Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6 Meghirdető tanszék: Analízis Debrecen, 2005. A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám:

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. október 20. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. október 20. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

I. rész. Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati. Név:...osztály:... Matematika kisérettségi. 2012. május 15. Fontos tudnivalók

I. rész. Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati. Név:...osztály:... Matematika kisérettségi. 2012. május 15. Fontos tudnivalók Matematika kisérettségi 2012. május 15. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az id elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetsz leges. 3. A

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Térgeometria II. Térgeometria II. 1. Hány részre osztja a teret a kocka lapjainak 6 síkja? Tekintsük a következő ábrát: Oldalnézetből a következő látjuk: Ezek alapján a teret 3 9 = 27 részre osztja fel a kocka lapsíkjai.

Részletesebben

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!

4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve! (9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora

Részletesebben

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1.1. Halmazok Ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát. Definiálja és alkalmazza gyakorlati

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. Január 21. EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. Január 21. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Név Tanárok neve Email Pontszám STUDIUM GENERALE MATEMATIKA

Részletesebben

Trigonometria és koordináta geometria

Trigonometria és koordináta geometria Tantárgy neve Trigonometria és koordináta geometria Tantárgy kódja MTB1001 Meghirdetés féléve I. Kreditpont 4k Összóraszám (elm+gyak) 30+30 Számonkérés módja Gyakorlati jegy (2 zárthelyi dolgozat) Előfeltétel

Részletesebben

Épületvillamosság laboratórium. Villámvédelemi felfogó-rendszer hatásosságának vizsgálata

Épületvillamosság laboratórium. Villámvédelemi felfogó-rendszer hatásosságának vizsgálata Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamos Energetika Tanszék Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport Épületvillamosság laboratórium Villámvédelemi felfogó-rendszer hatásosságának

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

2) 2005/0513/4 Egy kör sugara 6 cm. Számítsa ki ebben a körben a 120 -os középponti szöghöz tartozó körcikk területét!

2) 2005/0513/4 Egy kör sugara 6 cm. Számítsa ki ebben a körben a 120 -os középponti szöghöz tartozó körcikk területét! SÍKGEOMETRIA 2004-2014 1) 2004/mfs/12 Kör alakú amfiteátrum küzdőterének két átellenes pontjában áll egy-egy gladiátor, az uralkodó a pálya szélén ül. A gladiátorok egyenes vonalban odafutnak az uralkodóhoz.

Részletesebben

NT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat

NT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat NT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Juhász István

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK

FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK A FÜGGVÉNYFOGALOM ELŐKÉSZÍTÉSE 1-6. OSZTÁLY Adott szabály követése Szabályfelismerés és szabálykövetés Szabályfelismerés és szabály megadása szöveggel, képlettel EGYENES ÉS FORDÍTOTT

Részletesebben

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése

Részletesebben

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) Javítási-értékelési útmutató Kérjük a javító tanárokat,

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2012. NOVEMBER 24.) 3. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2012. NOVEMBER 24.) 3. osztály 3. osztály Két szám összege 33. Mennyi ennek a két számnak a különbsége, ha az egyik kétszerese a másiknak? Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a számjegyek összege legalább 25? 4. osztály A Zimrili

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2011. május 3. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2011. május 3. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati Matematika

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 4. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. május 4. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Elektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév

Elektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat) f(x) = 2x 2 x 4. 2x 2 x 4 = 0, x 2 (2 x 2 ) = 0.

Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat) f(x) = 2x 2 x 4. 2x 2 x 4 = 0, x 2 (2 x 2 ) = 0. Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat). Feladat. Végezzük el az f(x) = x x 4 ) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: amiből

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

Érettségi feladatok: Térgeometria

Érettségi feladatok: Térgeometria Érettségi feladatok: Térgeometria 2003. Próba 4. Legalább mekkora átmérőjű hengeres fatörzsből lehet kivágni olyan gerendát, amelynek keresztmetszete egy 20 cm 21 cm-es téglalap? 2004. Próba 18. Egy síkon

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Párhuzamos programozás

Párhuzamos programozás Párhuzamos programozás Rendezések Készítette: Györkő Péter EHA: GYPMABT.ELTE Nappali tagozat Programtervező matematikus szak Budapest, 2009 május 9. Bevezetés A számítástechnikában felmerülő problémák

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Analízis előadások. Vajda István. 2013. február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem

Analízis előadások. Vajda István. 2013. február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem Analízis előadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 013. február 10. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. 1 / 3 Az elemi függvények csoportosítása

Részletesebben

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 2,4 cm HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egserő, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határod meg a, és sakasok hossát! cm cm 2, cm 2. Határod meg a,,, u és v sakasok hossát! 2 v 2 . Határod meg a,,, u és

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

G Szabályfelismerés 2.2. 2. feladatcsomag

G Szabályfelismerés 2.2. 2. feladatcsomag ÖSSZEFÜÉSEK Szabályfelismerés 2.2 Alapfeladat Szabályfelismerés 2. feladatcsomag összefüggés-felismerő képesség fejlesztése szabályfelismeréssel megkezdett sorozat folytatása a felismert szabály alapján

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY --------------------

MATEMATIKA VERSENY -------------------- Vonyarcvashegyi Eötvös Károly Általános Iskola 2014. 8314 Vonyarcvashegy, Fő u. 84/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen, majd oldd meg a feladatokat! A részeredményeket

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

Kombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/

Kombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/ Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 10 X DETERmINÁNSOk 1 DETERmINÁNS ÉRTELmEZÉSE, TULAJdONSÁGAI A másodrendű determináns értelmezése: A harmadrendű determináns értelmezése és annak első sor szerinti kifejtése: A

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint)

Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) Felszín- és térfogatszámítás (emelt szint) (ESZÉV 2004.minta III./7) Egy négyoldalú gúla alaplapja rombusz. A gúla csúcsa a rombusz középpontja felett van, attól 82 cm távolságra. A rombusz oldalának hossza

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. május 5. KÖZÉPSZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x 1x 4 0 Az egyenlet gyökei 1, 5 és 8. ) Számítsa ki a 1 és 75 számok mértani közepét! A mértani

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I. 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

Megyei Matematika Szakkör Feladatsorok. A foglakozások hétfő délutánonként 16.30-tól kezdődnek a Matematikai Intézet M402-es tantermében.

Megyei Matematika Szakkör Feladatsorok. A foglakozások hétfő délutánonként 16.30-tól kezdődnek a Matematikai Intézet M402-es tantermében. Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet H-4010 Debrecen, Pf. 12 +3652512900 office.math@science.unideb.hu Megyei Matematika Szakkör Feladatsorok A foglakozások hétfő délutánonként 16.30-tól kezdődnek a

Részletesebben

Matematika házivizsga 11. évfolyamon részletes követelmények

Matematika házivizsga 11. évfolyamon részletes követelmények Matematika házivizsga on részletes követelmények A vizsga időpontja: 016. április 11. típusa: írásbeli időtartama:180 perc (45 perc + 135 perc) Tankönyv: Sokszínű matematika 11. és a hozzá tartozó feladatgyűjtemény

Részletesebben

Matematika POKLICNA MATURA

Matematika POKLICNA MATURA Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét

Részletesebben

[MECHANIKA- HAJLÍTÁS]

[MECHANIKA- HAJLÍTÁS] 2010. Eötvös Loránd Szakközép és Szakiskola Molnár István [MECHANIKA- HAJLÍTÁS] 1 A hajlításra való méretezést sok helyen lehet használni, sok mechanikai probléma modelljét vissza lehet vezetni a hajlítás

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. október 20. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. október 20. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2009. október 20. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. október 20. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMIR azonosító: TÁMOP-3..8-09/-00-0004 MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 4 ÍRÁSBELI VIZSGA Ideje: 04. április 4. JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatási Hivatal Cím: H 055 Budapest, Szalay u.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 8. EMELT SZINT I. ) Kinga 0. születésnapja óta kap havi zsebpénzt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésnapján adták a szülők, és minden hónapban 50 Fttal többet adnak,

Részletesebben