MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos cos sin sin cos cos cos cos cos cos 0 ( pont) (+ pont) A másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldva a fenti egyenletet, a gyökök: cos, cos cos ahol k cos cos, akkor k 5 k (+ pont) ( pont), akkor nincs megoldás, hiszen cos, minden esetén. ( pont) Az egyenlet megoldása közben ekvivalens átalakításokat végeztünk, így mindkét gyöksorozat megoldása az eredeti egyenletnek. Összesen: pont ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) log, ahol valós szám és (6 pont) cos 5sin, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont) a) A logaritmus definíciója szerint ( pont) Ellenőrzés. - -

2 cos sin helyettesítéssel, sin 5sin 0 sin y y ; y új változóval y nem megoldás, mert STUDIUM GENERALE y 5y 0 sin k 5 k k - -. (fokban is megadható) ( pont) ( pont) Ellenőrzés, le kell írni, hogy a gyökök igazzá teszik az eredeti egyenletet, mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk. Összesen: 7 pont ) Oldja meg a következő egyenleteket: a) 9 0 (6 pont) sin sin (6 pont) a) Legyen a Az a a 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: és a a a esetén egyenlet nem ad megoldást, mert minden valós kitevőjű hatványa pozitív szám. Az kielégíti az eredeti egyenletet. Legyen sin a Az másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: és. nem ad megoldást, mert sin a a a 0 a sin a sin A sin egyenlet gyökei: a a k, ahol k tetszőleges egész szám. Ezek az értékek kielégítik az egyenletet. ) Mely valós számokra teljesül a 0 ; intervallumon a egyenlőség? Összesen: pont sin ( pont) 6 5 6

3 Összesen: pont 5) Adja meg az összes olyan forgásszöget fokokban mérve, amelyre a k 5 cos kifejezés nem értelmezhető! Indokolja a válaszát! ( pont) A kifejezés nem értelmezhető, ha 90 n 80, n ( pont) 6) tározza meg az alábbi egyenletek valós megoldásait! a) log log 6 0 (7 pont) sin 6 (0 pont) a) Az egyenlet bal oldalán szereplő szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. az első tényező 0, akkor Innen log 8 a második tényező 0, akkor Innen 6 6 log 6 ahonnan a pozitív tartományba csak az Mind a két gyök kielégíti az eredeti egyenletet. sin 6 n 5 n n ; sin 6 n n 8 ( pont) ( pont) 7 n ( pont) ; n ; n, n ( pont) Összesen: 7 pont 7) Döntse el az alábbi két állítás mindegyikéről, hogy igaz hamis! ( pont) a) Az függvény periódusa. Az sin sin függvény periódusa. a) igaz hamis Összesen: pont - -

4 ) Oldja meg a valós számok halmazán a A megoldások: ; ; 0; ;. sin 0 egyenletet, ha ( pont) ( pont) 9) Döntse el az alábbi négy állításról, hogy melyik igaz, illetve hamis! A: Van olyan derékszögű háromszög, amelyben az egyik hegyesszög szinusza B: egy háromszög egyik hegyesszögének szinusza, akkor a háromszög derékszögű. C: A derékszögű háromszögnek van olyan szöge, amelynek nincs tangense. D: A derékszögű háromszögek bármelyik szögének értelmezzük a koszinuszát. A: igaz B: hamis C: igaz D: igaz Összesen: pont 0) Melyik szám nagyobb? A lg 0 B cos8 ( pont) cos 8 A nagyobb szám betűjele: B ( pont) ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 5 7 (6 pont) sin cos (6 pont) a) A négyzetgyök értéke csak nemnegatív lehet: 5. és csak nemnegatív számnak van négyzetgyöke: ,5 Négyzetre emelve:. Rendezve: amelynek valós gyökei a 6 és a 6. Az utóbbi nem felel meg az első feltételnek, ezért nem megoldása az egyenletnek Az egyenlet egyetlen megoldása a 6, hiszen ez mindkét feltételnek megfelel, s az adott feltételek mellett csak ekvivalens átalakításokat végeztünk. - -

5 A baloldalon a cos cos cos cos 0 cos cos 0 A STUDIUM GENERALE sin cos cos 0, akkor, ahol egyenletnek nincs megoldása (mert cos 0 ) tározza meg a radiánban megadott ) 5 helyettesítést elvégezve kapjuk: k k. ( pont) a) Oldja meg a valós számok halmazán az cos nem lehetséges). Összesen: pont szög nagyságát fokban! 0 ( pont) ( pont) egyenlőtlenséget! (7 pont) Adja meg az négy tizedesjegyre kerekített értékét, ha 0. ( pont) c) Oldja meg a a) alaphalmazon., akkor ( 0, ezért) cos cos 0egyenletet a 0 A -nál kisebb számok halmazán tehát a ; (6 pont). ( pont), is intervallum minden eleme ; megoldása az egyenlőtlenségnek., ezért), is A -nál nagyobb számok halmazában nincs ilyen elem, tehát a -nál nagyobb számok között nincs megoldása az egyenlőtlenségnek.., akkor ( 0 A megoldáshalmaz: ; 0. ( pont) 5 0 log, 69 c) (A megadott egyenlet cos -ben másodfokú,) így a megoldóképlet felhasználásával cos 0,5 cos. ( pont) Ez utóbbi nem lehetséges (mert a koszinuszfüggvény értékkészlete a ; intervallum). A megadott halmazban a megoldások:, illetve. ( pont) Összesen: 7 pont

6 ) Adja meg azoknak a 0 és 60 közötti amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! cos ) Adja meg azoknak a 0 és 60 közötti amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! sin A számológépbe beírva megoldást kapunk 5 Viszont van egy másik megoldás is ) Oldja meg a, ; zárt intervallumon a szögeknek a nagyságát, ( pont) Összesen: pont szögeknek a nagyságát, ( pont) Összesen: pont cos egyenletet! ( pont) ( pont) - 6 -

7 ) a) Egy háromszög oldalainak hossza 5 cm, 7 cm és 8 cm. Mekkora a háromszög 7 cm-es oldalával szemközti szöge? ( pont) intervallumon a következő egyenletet! Oldja meg a cos 0;. (6 pont) c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz hamis)! ( pont) I) Az f :, függvény páratlan függvény. II) Az, intervallum. III) A, a g : h : ; sin f cos g cos h intervallumon. függvény értékkészlete a ; zárt függvény szigorúan monoton növekszik a) (A kérdezett szöget -val jelölve) alkalmazzuk a koszinusztételt: c) cos Ebből cos, azaz (mivel egy háromszög egyik szögéről van szó) cos 60, akkor a megadott intervallumon 5 cos,., akkor a megadott intervallumon I) igaz II) hamis III) hamis,. 8) Adja meg a következő egyenlet pontos értékét! sin ( pont) Összesen: pont 0; π intervallumba eső megoldásának ( pont) ( pont) - 7 -

8 ) tározza meg a valós számok halmazán értelmezett függvény értékkészletét! cos ( pont) A függvény értékkészlete: 0; ( pont) - 8 -