XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

Átírás

1 XXIV NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szbdk, 05 április 8- X évfolym A XXIV Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny tiszteletére Frici rjzolt Szbdk főterére egy 4 oldlú szbályos sokszöget Hány olyn egyenlő szárú háromszöget rjzolhtn, melynek minden csúcs ennek sokszögnek egy csúcs, minden oldl ennek sokszögnek egy átlój? H, y, z 3,5, kkor igzold, hogy 5 3y y 5 5y 3z yz 5 5z 3 z 5 Mikor állht fenn z egyenlőség? 3 Hány olyn egyenlőszárú trpéz létezik, melynek kerülete 05 z oldlk mérőszám egz szám? 4 Htározd meg mindzokt z egyenlőtlenség egyetlen vlós számokt, melyekre z 0 megoldásár sem igz, hogy 5 Oldd meg következő egyenletet vlós számok hlmzán: Egy konve négyszöget átlói négy háromszögre bontnk H mind négy háromszög területének mértéke egz szám, kkor végződhet-e 05-re négy terület mértékének szorzt? Lehet-e ez szorzt olyn egz szám, melynek utolsó négy jegye 05, zz lehet-e, h t, t, t3, t 4 jelöli háromszögek területeinek mértékét? t t t t A feldtok kidolgozásár 40 perc áll rendelkezre Jó munkát!

2 A XXIV NMMV FELADATAINAK MEGOLDÁSAI X évfolym X/ A XXIV Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny tiszteletére Frici rjzolt Szbdk főterére egy 4 oldlú szbályos sokszöget Hány olyn egyenlő szárú háromszöget rjzolhtn, melynek minden csúcs ennek sokszögnek egy csúcs, minden oldl ennek sokszögnek egy átlój? (Erdős Gábor, Ngyknizs, Mgyrország) Megoldás: Rögzítsük z egyik csúcsot, legyen ez szárk metszpontj Számozzuk meg csúcsokt úgy, hogy ez legyen z -es, számozás pedig z órmuttó járásánk megfelelő iránybn folymtos A szomszédos csúcsok nem lehetnek háromszög lpji, mert kkor háromszög oldl nem átló lesz, hnem oldl De minden, z -es csúcsból induló átlór merőleges átló igen Ilyenek: 3-ból 3-b, 4- ből -be, 5-ből -be,, -ből 4-be Ilyen átlóból 0 drb vn Ugynez elmondhtó minden csúcsr, így kpunk háromszöget Mit számoltunk többször? A szbályos háromszögeket, zokt mindhárom csúcsuknál megszámoltuk Mivel ilyen háromszögből 8 drb vn (pl z előbbi számozás szerint z, 9, 7 csúcsok áltl lkotott háromszög, illetve ennek elforgtottji), így ezeket háromszor számoltuk, tehát kétszer ki kell vonni őket A megfelelő háromszögek szám tehát X/ H, y, z 3,5, kkor igzold, hogy 5 3y y 5 5y 3z yz 5 5z 3 z 5 Mikor állht fenn z egyenlőség? (Kovács Bél, Sztmárnémeti, Erdély) Megoldás: A gyökjelek ltti kifejezek szorzttá lkíthtók: A feldt feltétele mitt z, y, z vlós számokr teljesül, hogy 3 0, 5 0, y 3 0, 5y 0, 5 0, tehát gyökös kifejezek értelmezettek Alklmzzuk mindegyik gyökös kifejezre számtni mértni középrányosok közötti összefüggt Ekkor 3 5 y ( 3)(5 y), y 3 5 z ( y 3)(5 z), ( 3)(5 y) ( y 3)(5 z) ( z 3)(5 ) z 30 z z 3 5 ( z 3)(5 ) Összedv fenti egyenlőtlenségeket megkpjuk bizonyítndó egyenlőtlenséget, zz ( 3)(5 y) ( y 3)(5 z) ( z 3)(5 ) 3 5 y y 3 5 z z Egyenlőség kkor áll fenn, h zárójeleken belül levő kifejezek megegyeznek, zz h 35 y, y35 z z35, ez pedig z y z eset

3 X/3 Hány olyn egyenlőszárú trpéz létezik, melynek kerülete 05 z oldlk mérőszám egz szám? (Szbó Mgd, Szbdk, Vjdság) IMegoldás: Legyenek z oldlk rendre, hol legyen b Ekkor érvényes z c b c egyenlőtlenség feldt feltétele lpján, c, b, c b c 05,,3,,007, b, c Az vlmely rögzített értékére z hlmzból b értéke bármely -nál kisebb érték lehet, de pritásbn különbözőek kell hogy legyenek Ennek lpján lehetőségek szám, ekkor c Z értéke egyértelmű trpéz is egyértelműen meghtározott z oldlivl A trpézok keresett szám: IIMegoldás: Jelölje trpéz rövidebb lpját, c szárkt, hosszbb lp pedig z ábr lpján legyen Ekkor 05, honnn Mivel b c, vehetjük, hogy b c, c Z c d 008 b b b b c0075, hol d Z Most teljesül, hogy A feldt feltételeivel ekkor ekvivlens z, hogy d c, Mivel 007, így H, kkor d d c d,,3,,503 A trpézok keresett szám tehát bd05 d 503 d d d d d, honnn c d, d,,007 d cd 007 c, d Z cd

4 X/4 Htározd meg mindzokt z vlós számokt, melyekre z egyenlőtlenség egyetlen Megoldás: H egyetlen megoldásr igz, hogy Az / 0 H melyre H 0 0, kkor z, így pozitív, mikor 0 0 megoldásár sem igz, hogy (Csikós Pjor Gizell, Szbdk, Vjdság) megoldásr sem igz, hogy vgyis, hogy egyenlet számok, honnn 0 0, kkor minden esetén másodfokú, gyökei z egyenlőtlenséget kpjuk, mely hlmzbn vn olyn, kkor megfelelő prbolánk minimum vn (felfelé nyíló) kkor vgy megoldáshlmzból, melyre 3 H 0 pozitív, mikor kkor Mivel bármely, így 0 0 sem lehetséges esetén tlálhtó olyn, kkor megfelelő prbolánk mimum vn (lefelé nyíló) kkor Ezek szerint keresett H z, illetve számokr feltétel mellett kell, hogy teljesüljön feltétel kell hogy teljesüljön X/5 Oldd meg következő egyenletet vlós számok hlmzán: Megoldás: A négyzetgyökös kifejez kkor értelmezett, h egyenletet következő lkr hozzuk: is érvényes, (Bíró Bálint, Eger, Mgyrország) Először z Vezessük be z helyettesítt Az egyenletben szereplő tört nevezője mitt nyilvánvló, hogy Könnyen beláthtó, hogy 0 55 ez pedig zt jelenti, hogy csk 0 állht fenn Ezzel jelölsel z eredeti egyenlet: 3 lkb írhtó, melyből két lehetséges esetet írhtunk fel: (A) 3,,

5 vgy Az (A) egyenletből (B) 4 3 következik, ez zonbn z 55 z 0 feltételek mellett nem teljesülhet, hiszen z egyenlet két oldlánk előjele eltérő Ezért z (A) egyenletnek nincs megoldás A (B) egyenletből zt kpjuk, hogy vontkozó kkor teljesül, h Az 55 Ismeretes pozitív számokr nevezetes egyenlőtlenség, melyben z egyenlőség pontosn összefügg szerint tehát: 55 Ez z egyenlőség ismét kétféleképpen lehetséges: (C), vgy (D) 55 A (C) egyenlet megoldás Egyszerű számolássl ellenőrizhető, hogy ezek számok vlóbn kielégítik z eredeti egyenletet, ezért feldt megoldáshlmz 55 55, (D) egyenlet megoldás pedig M 55,59 59 X/6 Egy konve négyszöget átlói négy háromszögre bontnk H mind négy háromszög területének mértéke egz szám, kkor végződhet-e 05-re négy terület mértékének szorzt? Lehet-e ez szorzt olyn egz szám, melynek utolsó négy jegye 05, zz lehet-e t t t3 t4 05, h t, t, t3, t 4 jelöli háromszögek területeinek mértékét? (Ktz Sándor, Bonyhád, Mgyrország) Megoldás: Legyenek négyszög csúcsi, z átlók metszpontj pedig E Az átlók behúzásávl keletkezett négy háromszög területe legyen, Az háromszögek mgsság ugynz, ezért területeik rány Ugynígy háromszögekre megkphtó, hogy 4 ABE t : t BE : ED t : t BE : ED 3 AED CBE A két egyenlőségből A, B, C, D CED t t t t 3 4 dódik (Ezzel beláttuk, hogy egy konve négyszög átlói áltl meghtározott négy háromszög területe közül két-két szemközti szorzt egyenlő) Eszerint négy háromszög területének szorzt: Mivel t, t, t3, t4 egz számok, így szorztuk z előzőek szerint négyzetszám Viszont h egy négyzetszám 5-re végződik, kkor utolsó előtti jegye, hiszen 0k 5 00k 00k 5, t, t t t t t t z első két tg összege két 0-r, z egz összeg 5-re végződik t A négy terület mértékének szorzt tehát nem végződhet 05-re A B D t 4 t 3 E t t 3 t t 4 C