Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Átírás

1 Másodfokú egyenletek 9. ) x < - ; b) x > 75;, c) x # - ; d) x # ) > - ; b) Minden vlós számr igz. c) m > 4; d) n $ ) $ ; b) b < 4; c) c < - ; d) d #. 96. Nullár rendezés után vizsgáljuk tört számlálójánk és nevezôjének elôjelét. ) 0< x < ; b) x< 00 x$ ; c) x< - 0 x> 0; d) 0< x # ) - < m < ; b) - < n < ; c) - 5, <f # 4; 7 7 d) - < e # ; e) r# - 0 r> 4; f) t< - 0 t> ) - 5< x < ; b) x# - 60 x> ; c) - < x < ; 5 d) x< - 0 x> ; e) x# - 0 x> ; f) < x # ; g) - < x < ) - < x # - ; b) < x # ; c) - 5 # x < 4. 7 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Másodfokú egyenletek 00. ) Rcionális egész kifejezés (polinom): ), ), 7); törtkifejezés: ); bszolútértékes kifejezés: 6); négyzetgyökös kifejezés: 4); köbgyökös kifejezés: 5). b) ): Másodfokú, ): hrmdfokú, 7) negyedfokú polinom. 6): Másodfokú polinom bszolútértékes kifejezése. c) 7): Egytgú; ): háromtgú; ): négytgú kifejezés. d) Egyváltozós kifejezés: ); kétváltozós: ), 4), 5), 6), 7); háromváltozós: ). 0. Másodfokúk: ), b), e), f), g), h), i), k), l). 0. ) 5x - x - (egyváltozós, másodfokú kifejezés); b) 5x - x - 0; c) f: x 7 5x - x - ; d) z f függvény x helyen felvett helyettesítési értéke f () ; z x helyen felvett helyettesítési érték f (x) 5x - x - ; e) kifejezés x helyen felvett helyettesítési értéke ; f) f: x 7 5x - x -, x! R;

2 4 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 0. g) derékszögû koordinát-rendszerben ábrázolt függvény: 0. ábr. h) függvény képe prbol; i) y 5x - x Ekvivlens kifejezések: ), d), f), h), i), k), l), m). (Ez utóbbi esetben csk y z 0 lehetséges, ekkor -y - z / 5y - 6z / 0.) 04. ) Elsô megoldás: Szorzttá lkítunk: x - 4 (x + )(x - ). Egy szorzt értéke kkor és csk kkor lehet 0, h vlmelyik tényezôje 0, ezért x - vgy x. Mindkét gyök rcionális (és így vlós is). Második megoldás: x 4, gyökvonás után x vgy x!. b) x! 5; két gyök irrcionális. c) Nincs megoldás. d) A prméteres egyenleteket prméter(ek) minden lehetséges értékére meg kell oldni. H 0, nincs megoldás; h > 0, x!. Ez gyök kkor rcionális, h lkú, hol r Y 0 rcionális szám. r e) (x + ) 0. H 0, minden rcionális (illetve vlós) x megoldás; h Y 0, kkor nincs megoldás. f) (x - ) 0. H 0, minden rcionális (illetve vlós) x megoldás; h Y 0, kkor x!, s ez két gyök irrcionális. g) H b 0, minden rcionális (illetve vlós) x megoldás. H Y 0, b 0, kkor x 0. Az Y 0, b Y 0 esetet két részre bonthtjuk: h és b zonos elôjelû, b kkor nincs megoldás; h különbözô elôjelûek, kkor x! -. A két gyök rcionlitás függ -tól és b-tôl. 05. ) Szorzttá lkíthtunk: x - 4x x(x - 4). Egy szorzt értéke kkor és csk kkor 0, h vlmelyik tényezôje 0, ezért x 0 vgy x 4. Mindkét gyök rcionális (és így vlós is). b) x 0 vgy x -,5; mindkét gyök rcionális. c) x(x - - ) 0, x 0. H 0, kkor nincs több megoldás; h + Y 0, kkor x, s ez rcionális szám. d) x(x +) 0. H 0, kkor minden rcionális (illetve vlós) x megoldás. H 0, kkor x 0, x - rcionálisk.

3 Másodfokú egyenletek 5 e) x 0, x + b 0. H 0, b Y 0, kkor nincs több megoldás; h 0, b 0, kkor minden rcionális (vlós) x megoldás; h Y 0, b kkor x - rcionális. 06. ) x,! 0,4. b) x 0, x. c) x 0, x 0, ) x,! 5. b) Nincs megoldás. 08. ) x. b) x +!, x -!. c) (x - ) 0, x. d) (x + ) 4, x +!; x, x ) x + x + 4; x, x -. b) (x + ) 6; x, x -7. J N 5 c) x - O ; x 4 -, x 4. J J 5 N N 69 d) $ x + O O ; x 6, x -4,5. O J J 5 N N 7 0. ) $ x + O O, nincs megoldás. 6 O J J N N 56 b) - $ x - O 4-0 O ; x 9 6, x -. O J J N N c) $ O O 4 + x O 0; x 4 O 8 +, O x J d) x J 9 N N 5-9x + 7 0, innen $ x - O O ; x 6, x. O

4 6 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek. ) x b+ l, x b+ l. b) x 6, x.. ) x -,, x. 7 b) x +, x -.. ) x, x -. 6 b) b x- l -_ x+, 5i 0, innen bx +, 5- lb- -, 5l 0, x -, 5. Vgy: x- x+, 5, innen x - -x -,5, x -, 5. c) x -4, x -8. d) x - +, x ) x +, x b) x, x Az x + bx + c 0 ( Y 0) egyenlet átlkítás után J b c N J b b c b b 4c $ J N N J J x + x + $ x+ - + $ x+ - - O N N O 4 O O 4 O O O 0 lkr hozhtó. H b - 4c 0, kkor innen folytthtjuk z J b N b - 4c x + - O 4 J N J N b b - 4c O b b - 4c O x + + $ x szorzttá lkítássl vgy O 4 O b b - 4c b! b 4c x +! módon. Mindkét esetben x, ) x -, x ; b) nincs megoldás; c) x, x -,5; d) x, x.

5 Másodfokú egyenletek 7 7. ) Nincs megoldás. b) x -6, x. 8. ) x, x -. b) x +, x ) x -, x. 78 b) x, x r. c) x - 5 x - négyzetre emelése után x - x + 8 0; innen x 7, x 4, de ez hmis gyök. Vgy: y x - helyettesítéssel y - y, innen y, y - (ez hmis) ) x -, x. 5 b) x 0. J 5 N J. ). (x) x + x - 5 x + x- O J x N N O O O J J N N 49 x + O J - 4 O 6 O x N O ; ez trnszformációs 8 lk. J N R R x + S 49 S - $ - 4 O, z értékkészlet: R ; S 8 S. T T. /. ábr 4. Az f (x) x lpfüggvény ábrázolás után sorrendben: eltolás - ; 0 4 O vektorrl; /. J N m rányú, z x tengelyre merôleges ffinitás; eltolás J 49 N 0; - 8 O vektorrl. 5. H z y f (x) 0 egyenletnek egy gyöke x, kkor ebben z x pontbn függvény görbéjének közös pontj vn z x tengellyel.

6 8 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek /b. /c. 6. A leolvsott gyökök x -,5 és x ; helyességükrôl visszhelyettesítéssel gyôzôdhetünk meg. 7. A grfikus megoldás áltlábn csk közelítô pontosságú.! 4$ $ ( 5) 8. A megoldóképlet lklmzásávl x, ; $ innen x és x -,5. b). b(x) -x + x - -(x - ).. - (x - ) 0, így R /b. ábr. 4. Sorrendben: eltolás z (; 0) vektorrl; tengelyes tükrözés z x tengelyre. 6. A leolvsott kétszeres gyök x ; helyességérôl visszhelyettesítéssel gyôzôdhetünk meg. 8. (x - ) 0, innen x. c). c(x) x - 4x + 5 (x - ) +.. (x - ) +, így R b 6; 6. /d.. /c. ábr. 4. Sorrendben: eltolás (; 0) vektorrl; eltolás (0; ) vektorrl. 6. Nincs gyök. 8. Nincs gyök, (x - ) + 0 nem teljesülhet. (Az egyenlet bl oldl leglább ; vgy megoldóképlet diszkrimináns negtív.) d). d(x) -x + x - J N 7 - x O. 8

7 Másodfokú egyenletek 9 J N V V x - W 7 W - # - 4 O,ígyR 8 8 b -;- W 8 W. X X. /d. ábr J N 4. Sorrendben: eltolás ; 0 4 O vektorrl; m - rányú, z x tengelyre merôleges ffinitás (vgy m rányú ffinitás és tengelyes tükrözés); eltolás 0; - 8 O vektorrl. J 7 N 6. Nincs gyök. 8. Nincs gyök. (Az értékkészletbôl is megállpíthtjuk, vgy megoldóképletet lklmzv diszkrimináns negtív.). ) Igz. b) árhuzmos z y tengellyel. c) H z fôegyütthtó pozitív, z y tengely pozitív irányábn nyitott; h negtív, kkor fordítv. d) H z fôegyütthtó bszolútértéke ngy, kkor prbol meredekebb ( keskenyebb, soványbb ); egyébként lposbb ( szélesebb, kövérebb ). e) H c 0, kkor prbol átmegy z origón; h b 0, kkor tengelye egybeesik z y tengellyel.. Négyféle lehet.. Elkerülik egymást, nincs közös pontjuk.. Az egyenes érinti prbolát.. Az egyenes egyetlen pontbn metszi prbolát. (Ez csk kkor lehetséges, h z egyenes párhuzmos prbol tengelyével.) 4. Az egyenes két pontbn metszi prbolát. Több közös pontjuk nem lehet. Az egyenes egyenlete elsôfokú, prbol egyenlete másodfokú; metszéspontok meghtározásár felállított egyenletrendszernek legfeljebb két gyöke lehet. 4. éldául h z egyik kifejezés f (x) x + x +, másik pedig: ) x + x - 5 (vgy áltlábn x + bx + c, hol, b, c! R, Y - ); b) -x + 5x + (áltlábn - x + bx + c); c) - x - x + (áltlábn - x - x + c). 5. Diszkrimináns discrimino (ltin) szétválszt igébôl.m. szétválsztó, átvitt értelemben meghtározó, döntô tényezô. Az x + bx + c 0 ( Y 0) másodfokú egyenletnek kkor vn vlós gyöke, h diszkrimináns, b - 4c kifejezés nemnegtív; vgyis diszkrimináns htározz meg vgy dönti el gyökök létezését és számát. 6. Az x + bx + c 0 ( Y 0) másodfokú egyenlet diszkriminánsától függ gyökök szám. (H diszkrimináns zérus, kkor egyetlen kétszeres gyök vn; úgy is foglmzhtunk, hogy két gyök egyenlô.) A másodfokú kifejezés képe prbol. A gyökök grfikus jelentésük szerint prbol és z x tengely érintési vgy metszéspontjit jelentik, így diszkrimináns elôjelébôl következtethetünk prbol koordinát-rendszerbeli helyzetére is.

8 0 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 7/I. 7/II. 7. ) D 6-4 $ (- ) $ (- 8) 4 > 0, két gyök vn. (Vgy átlkítások után (x - ).) Grfikus segítséggel is megállpíthtjuk gyökök számát. A bl oldlon lévô f (x) -x + 6x függvény képe lefelé nyitott prbol x 0 és x 6 tengelymetszetekkel s z x helyen felvett y 9 mximumml; míg jobb oldli g(x) 8 függvény képe z x tengellyel párhuzmos egyenes, s ez két pontbn metszi prbolát (7/I. ábr). H z eredeti egyenletet átlkítjuk, - x + 6x Innen bl oldli h(x) -x + 6x - 8 függvény trnszformációs lkj h(x) -(x - ) +, s ez függvénygörbe két pontbn metszi z x tengelyt (7/II. ábr). b)d - < 0, nincs gyök. Grfikusn: Ábrázoljuk z f (x) x - x és g(x) -5 függvényeket (7/III. ábr), vgy h(x) x - x + 5 x - J N + 4 O 8 függvényt (7/. ábr)! 7/III. 7/.

9 Másodfokú egyenletek c) D 0, egy (kétszeres) gyök vn (7/V. ábr). d) Nincs gyök. e) ét gyök vn. 8. D 9-4c. 7/V. ) D > 0, vgyis c < 4 9 ; b) c 4 9 (ekkor kétszeres gyök vn); c) c > A feldt kitûzôje vlószínûleg négyzetek oldlink hosszár volt kíváncsi. Jelöljük z egyik négyzet oldlát -vl, kkor másik oldl. Az egyenlet: 4 J N O, megoldás: 8; tehát négyzetek oldl 8, illetve 6 egység. 0. egyen z befogó hossz x, ekkor b 4x, terület x$ 4 x 6x. Innen x, 6, b 8 egység. J n - 5 N. Jelöljük mjmok létszámát n-nel, ekkor z n - O egyenlet dj megoldást: n 7. nn ( + ). Jelöljük tgok számát n-nel! Ekkor 66, innen n. (Az n - gyök hmis.). Jelöljük ( n )-nel soroztot (n! N + )! ) n -4 + $ (n - ) n - 7. _ n n ( 4 n 7) n b) Az elsô n elem összege S n + i n - n. Az S n. 0 egyenletbôl n - n - $ 0 0, innen n 7,7 ( negtív gyök hmis). Vgyis soroztból leglább 8 tgot kell összednunk. 4. Jelöljük ( n )-nel soroztot (n! N + )! ( n )( n ) ) n (n + ) n n b) Az n 0 egyenletbôl n + n , innen n 4,5 ( negtív gyök hmis). Vgyis sorozt 44. tgj lesz elôször 000-nél ngyobb.

10 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 5. Jelöljük x-szel rjbn lévô méhek számát! Ekkor x 8 + x+ x 9 megoldndó egyenlet, mi z y x helyettesítéssel másodfokúr visszvezethetô. Eredmény: x 7. (x 4,5 hmis gyök.) 6. ) x Y -5, -. Ekvivlens átlkítások után x - x + 0, innen x, x 0,5. b) x,. 7 c) x 7, x ) x -. (x - hmis gyök.) b) x -0,75, x. c) x 6, x -,. 5! d) x, - ; x. -,6, x. -,7. e) x. (x hmis gyök.) 8. ) Az x Y - kikötés után lklmzzuk z x + (x + )(x - x + ) zonosságot! Eredmény: x. (x - hmis gyök.) b) x Y ; ; 4. Ekvivlens átlkítások után 7x - 5x , innen 6 x 5, x. 7 c) x 0, x d) x 0, x 5,, x - 5, ) x. (x 0 és x hmis gyökök.) b) x, x Észrevehetjük, hogy xx ( + ) x - x+, vlmint xx ( + ) J N - x x + O. ) xx ( + ) + ( x+ )( x+ ) x - x+ + x+ - x+ - x x + x( x+ ). A xx ( + ) 6 egyenletbôl x 7, x -9. b) xx ( + ) 4, innen x 6, x -8.

11 Másodfokú egyenletek c) - x x + x - x x x + - x x + xx ( + ). A xx ( + ) 88 egyenletbôl x 8, x -. 4 d) xx ( + 4) 8, innen x 4, x -8. J N e) x x + x + x + 4 O. x( x+ 4) xx ( + 4) 45, innen x 5, x Az egyenleteket lklms helyettesítéssel másodfokúr redukálhtjuk. ) Az x helyettesítéssel 4 5, innen! 5. Csk pozitív gyök lehetséges, így x,5; x! 5,. b) x helyettesítéssel, 0,5. Innen x! &-; ; - 0, 5; 05, ) x helyettesítéssel, -,5, ez utóbbi nem lehetséges. x, x -. b) (x - ) helyettesítéssel Innen, -5 (ez utóbbi hmis); x,!. 4. ) x helyettesítéssel 8, -; innen x. 7 b) x -, x. 44. ) x + x helyettesítés után 5, -; innen x - +, x - -. b) x + x helyettesítés után, -4; innen x, x ) x - 4x helyettesítés után - +, -. Innen x + +, x - +, x + -, x b) H x - x -, kkor $ ( + 4) 45. Innen 5, -9; x 4, x -. c) H x + x +, kkor ( + ) 5. Innen, -5; x, x -.

12 4 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 46. ) H x - x +, kkor - + 5, 0. Innen, -0,5; x, x, x, x 4. b) H x + x -, kkor Innen, -,5; x, x -4, x - + 5, x A következô feldtoknál speciális megoldási módszereket lklmzunk (értelmezési trtomány, értékkészlet, függvény monotonitásánk vizsgált). ( feldt) 47. ) Nincs megoldás. H x $, kkor bl oldl értéke leglább 8, míg jobb oldl értéke legfeljebb 7. (A továbbikbn z egyenletek bl oldlán lévô értéket B-vel, jobb oldl értékét J-vel jelöljük.) b) B $ 0, J # 0, így (x; y) (; 0). c) Átlkítás után (x + ) + (y - ) 0, innen (x; y) (-; ). 48. ) x + x + x - 8. Mivel x $, így B $ 8; J 8, innen x. b) x $, így B $ 5. Mivel J # 5, (x; y) (; 0). 49. ) x + x + x (y - ) +. x $, így B $ ; mivel J #, (x; y) (; ). b) Nincs megoldás. (x + ) + x + 6x+ + y 0. Nemnegtív tgok összege csk kkor lehet null, h minden tg null, de x - nem megoldás. 50. ) - x + x - 4 -(x - )(x - 8), így # x # 8. - x + x- 4 + x + + x+ (y - ) 8 átlkítás után B $ 8, ezért (x; y) (; ). b) x $ 7, s ekkor B $. x ) Nincs megoldás. x $ 5 és x # 4,5 kikötések ellentmondók. b) Nincs megoldás. B $. 5. ) B $ 0, x $ -, de ekkor J # 0. x -. b) B $. y - y + - (y - ), így J # ; innen (x; y) (; ). 5. ) x - x - 4 (x - ) - 5 $ -, h x $. B $ 0 és monoton nô, így csk x lehet megoldás. b) x - + x - + (y - ) + x 5. Mivel x $, B $ 5, innen (x; y) (; ). 54. ) x + 4 $, így csk x 0 lehetne megoldás, de ez nem gyök. b) B $, így x $ ; de ekkor x + > x +. Nincs megoldás.

13 Összefüggések gyökök és együtthtók között 5 Összefüggések gyökök és együtthtók között 55. A gyöktényezôs lk (x - x )(x - x ), hol x és x z x + bx + c 0 egyenlet gyökei. Gyöktényezôs lkok: ), c), g), h), i), k). 56. ) (x -)(x +,5); b) (x -)(x + ); c) nincs; d) 4(x + )(x - ). 57. ) (x - )(x - ); b) `y-- j`y- + j; c) (z - ) ; d) nincs. J N 58. ) x - 6 O ; J r N J N b) 8 x- x+ O 4 O ; c) -_ x-i` x- j ; d) ` x- j_ x-ri. 59. A megoldóképlet segítségével - b+ b -4c b b 4c x + x b - ; - b+ b -4c -b- b -4c b -( b -4c) c x $ x $. 4 Másképpen: iindulhtunk gyöktényezôs lkból is: z (x - x )(x - x ) x + bx + c zonosságból következik z állítás. 60. H x és x két (esetleg egyenlô) gyök, kkor x + x -b és x $ x c. 6. Az (x - )(x - ) 0 gyöktényezôs lkot lklmzv z Y 0 fôegyütthtót szbdon válszthtjuk, tehát végtelen sok megfelelô másodfokú egyenlet vn. 6. éldául: ) (x - )(x - ) x - 5x b) x + x c) x - x 0. d) (x - )(x - 0,5) x -,5x +, így x - 5x + 0. e) (x - 0,4)(x + 0,04) x - 0,6x - 0,06, így 000x - 60x f) bx- lbx- l x - xb + l + 6 ; nincs megoldás. g) x - 4x + 0. h) x - ( + b)x + b 0.

14 6 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek J N i) x O x 0, innen x - ( + )x + 0. j) Nincs megoldás. k) bx - ( + b )x + b 0. l) egyen r és r két tetszôleges rcionális szám b b (,, b, b! Z)! Ekkor x - (r + r )x + r r 0 átlkításából b b x - ( b + b )x ) x + 6x - 7 0, h x vgy x -7. Innen x + 6x - 7 (x - )(x + 7). - 6! 6+ 6 b) x, -! 8, így x + 6x - 9 bx+ - 8lbx+ + 8l. c) 0,5(x - 4)(x - ). d) (y - )(y + 4). 64. ) (x - )(x + ). b) A t - 4t egyenlet diszkrimináns negtív, így nem lehet szorzttá lkítni. c) (z + 0,5)(z - 0,5). d) (x + )(x - r) vgy (x + 0,5)(x - r). 65. ) bx- lbx+ - l. b) _ x-ib x- l. 66. ) x + x- 6 ( x- )( x+ ) x -, h x Y -. x + 6x+ 9 ( x + ) x + b) 5y -y- 7 5( y+ )( y-, 4) 5( y -, 4), h y Y-, y Y 9. y -8y-9 ( y+ )( y-9) ( y - 9) c) x + 8x-90 ( x- 5)( x+ 9) ( x + 9), h x Y 5, x Y 7. x - 6x+ 05 ( x-5)( x-7) ( x - 7) -b-b ( + b)( -b) + b d), h Y b, Y,5b. - 5b+ b ( - b)( - b) - b 67. ) x + x 5, x $ x 6. ét szám összege 5, szorzt 6; innen kitlálhtjuk, hogy x, x. Az x + bx + c 0 ( Y 0) lkú másodfokú egyenletnek legfeljebb két gyöke vn; h tehát megtláltuk két gyököt, több megoldás nem lehetséges. b) y + y -, y $ y -4, innen y 6, y c) t ránézésre gyök; t $ t - 5 mitt t -. d) x + x +, x $ x ; innen x, x.

15 Összefüggések gyökök és együtthtók között ) x + x b +, x $ x b; innen x, x b. b) x 0; x + x - mitt x -. c) x ; x $ x -, innen x d) x + x -, x $ x - ; innen x, x ) x $ x, gyökök egymás reciproki. x + x, innen x, x. b) x ; x r. c) x -; x -r. d) x ; x ) x $ x - < 0, ezért z egyik gyök negtív, másik pozitív. b) x < 0, x > 0. (A gyökök között nem teszünk sorrendi különbséget; z egyik gyök negtív, másik pozitív.) c) $ 49 > 0, gyökök zonos elôjelûek. Mivel + 4, mindkét gyök pozitív. d) b, b < ) x, x > 0. b) x < 0, x > 0. c), > 0. d) x < 0, x > 0. e) x, x > 0. Megjegyzések: Az 70. c), és 7. ) esetekben két gyök egyenlô. H feldt szövegében nem lenne gyökök létezésére vontkozó feltétel, kkor ezt külön ellenôriznünk kellene. l. z x + 4x egyenletben x + x -4, x $ x 5; mindkét gyök negtív lehetne, de egyáltlán nincs vlós gyöke z egyenletnek. 7. Az 70. feldt megoldási Viète-formulák ismeretében: ) x,5; x -; b) x -; x ; c), 7; d) b -; b -. Az 7. feldt megoldási Viète-formulák ismeretében: ) x, - ; 6 r b) x ; x - ; 4 c) ; ;

16 8 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek d) x - ; x ; e) x ; x. 7. A (x, y) kétváltozós polinomot szimmetrikus polinomnk nevezzük, h (x, y) (y, x), vgyis x és y szerepcseréje esetén polinom nem változik. (Másképpen megfoglmzv: h bármely x és y b esetén kpott helyettesítési érték megegyezik z x b és y helyen felvett helyettesítési értékkel.) Ez lpján szimmetrikus polinomok: ), b), c), d), e), f), g). 74. Megjegyzés: A szimmetrikus polinomok tétele szerint minden kétváltozós szimmetrikus polinom felírhtó z elemi kétváltozós szimmetrikus polinomok segítségével. A kétváltozós elemi szimmetrikus polinomok: s x + y és p xy. Mivel Vièteformulák u+ v-, u $ v O J b c N gyökök elemi szimmetrikus polinomji és másodfokú egyenletek együtthtói közötti kpcsoltot dják meg, ezért gyökök szimmetrikus kifejezései (egyértelmûen) felírhtók z együtthtók segítségével. b ) u + v (u + v) - ; c b) - uv - $ ; J b N c b c) u + v (u + v) - uv - - c - $ O ; d) `u + v j _ u+ vi b 6c J b N - 6uv_ u+ vi - $ - O b + 6bc ; e) u 4 + v 4 `u + v j - u v d_ u+ vi -uvn - u v (u + v) uv(u + v) + 4u v - u v (u + v) 4-4uv(u + v) + u v 4 4 b 4c b c b - 4cb + c - $ + ; 4 4 u f) + + v J b N b - $ - u v uv O, h c Y 0; c c u v u + v b + bc b + bc g) + v u u v $, h c Y 0. c c A feltétel szerint gyökök léteznek; x + x -, x $ x -. 9 ) x + x _ x + x i -x x ; 4

17 Összefüggések gyökök és együtthtók között 9 7 b) x + x _ x+ xi - xx_ x+ xi - ; 8 x+ x c) + ; x x x x 5 x x x x xx 9 d) + + _ + i - ; x x x x x x 5 x x x x xx x x 7 e) + + _ + i - _ + i. x x x x x x 5 Megjegyzés: H feldt szövegében nem szerepelt voln gyökök létezésére vontkozó kitétel, kkor ezt ellenôriznünk kellett voln, pl. diszkrimináns elôjelének megvizsgálásávl. 76. ) x + x,5, x $ x,5. x + x _ x+ xi -xx -,75; x + x _ x+ xi - xx_ x+ xi-7,875; x+ x + 0,6; x x x x x x x x x x + + _ + i - x x x x x x b) x + x,5, x $ x. x + x _ x + x i -x x 0,5; -0,44. x + x _ x + x i - x x _ x + x i-,5; x+ x +,5; x x x x x x x x xx + + _ + i - 0,5. x x x x x x Az ) esetben lehetetlen eredményt kptunk: x + x és + is negtív. x x Az ellentmondásnk z z ok, hogy Viète-formulákt csk kkor lklmzhtjuk, h vnnk vlós gyökök. A x - x egyenlet diszkrimináns D 9-40 < 0, vgyis z egyenletnek egyáltlán nincsenek vlós gyökei. Ugynez helyzet x - x + 0 egyenlettel is: D 9-6 < 0. Itt zonbn még utólg sem lehet észrevenni z ellentmondást. Ezért: A gyökök szimmetrikus kifejezéseinek felírás elôtt meg kell gyôzôdnünk rról, hogy gyökök ténylegesen léteznek ( diszkrimináns nemnegtív).

18 0 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Megjegyzés: AViète-formulák komplex számok körében is teljesülnek: h z x + bx + c 0 b c ( Y 0) egyenletnek két komplex gyöke vn, ezek összege - és szorztuk. b 4c b 4c 77. ) (u - v) (u + v) - 4uv - - ; b - 4c b) H u v, kkor u - v ( u+ v) - 4uv ; h u < v, kkor 4c - b u - v. b 4bc c) u - v (u + v)(u - v). Huuu uvu, kkor u - v - -, 4bc - b egyébként u - v. d) u - v (u - v) `u + uv+ v j (u - v) d_ u+ vi -uvn b 4c b c - J N $ - O, h u $ v; egyébként ennek ellentettje. O v u e) - - b 4c 4c b $ u v uv, h v u; egyébként c c ennek ellentettje. 78. H két gyök u és v, kkor u + v -,5, uv -,5. ) (u - v) (u + v) - 4uv,5. b) u - v!,5. c) u - v (u + v)(u - v)! 5,5. d) u - v (u - v) `u + uv+ v j (u - v) d_ u+ vi -uvn!6,65. v u e) - -!,4. u v uv 79. H két gyök u és v, kkor u + v,5, uv,5. ) (u - v) (u + v) - 4uv -7,75. Ellentmondást kptunk: nem lehet negtív egy vlós szám négyzete. Az ellentmondás ok, hogy z egyenletnek nincs vlós gyöke. 80. Feltehetjük, hogy z x + bx + c 0 egyenletnek vnnk gyökei, vgyis D b - 4c 0. b c H két gyök u és v, kkor u + v - és uv ; gyökök és együtthtók közötti összefüggések mitt tehát: ) x - bx + c 0; b) x + bx + 4c 0; c) x + nbx + n $ c 0;

19 Összefüggések gyökök és együtthtók között u v b d) + + b -, $, ezért x + x + 0, h u v uv c u v uv c c c c Y 0 (vgy cx + bx + 0); b c c e) u + v (u + v) - uv -, u $ v, ezért J c b N c x + - O x + 0 vgy x + `c- b j x+ c 0k. O 8. Az egyenletnek kkor vn vlós gyöke, h (p) - 4 $ ( - p) 0, vgyis p - vgy p. Ezen feltétel mellett: ) -p > 0 és - p > 0, vgyis p < 0; feltétellel összevetve p -. b) -p < 0 és - p > 0, vgyis 0 < p < ; feltétellel összevetve p <. c) - p < 0, vgyis < p; feltétellel összevetve < p. d) x 0 helyettesítéssel p. 8. Az egyenletnek kkor vn vlós gyöke, h 9-4 $ 5 $ p 0, vgyis p 8,05. A gyökök összege,8, szorzt p 5. ) x helyettesítéssel 5 $ - 9 $ + p 0, innen p. (Más megoldási lehetôség Viète-formulák lklmzás: h másik gyök z, kkor z p 5 és + z 9.) 5 b) Nem lehetséges; két gyök összege p-tôl függetlenül,8. c) p 8,05. d) H z egyik gyök u, másik u, kkor 5u,8; innen u,5, u,8; p 5 $ u $ u 7,8. 8. ) H két gyök u és u, kkor u + u,8, u p 5. Innen! 6, u, - ; p. 7,, p. - 79,. b) H két gyök u és u +, kkor u +,8, u + u p 5. Innen p 6,8. c) p > 0 (és persze p 8,05). d) 0 < p 8, ) Nem lehetséges, gyökök összege pozitív. b) p < 0. c) p 0. d) p > 8,05. e) p 8,05. (Azt is mondhtjuk, hogy két egyenlô gyök vn.) 85. I. Az egyenlet diszkrimináns ( - p) - 4 $ (- p) p + 4p + 4 (p + ), tehát mindig vn két (esetleg egyenlô) vlós gyök. A megoldóképletbôl x -, x p.

20 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek (8.) ) p. b) p 8. c) p -. 4 d) p - vgy p -. (8.) ) p 4. b) p - vgy p -. c) p < 0. d) Nem lehetséges. (84.) ) p < 0. b) p > 0. c) p 0. d) Nem lehetséges. e) p -. (Azt is mondhtjuk, hogy két egyenlô gyök vn.) II. Az egyenlet diszkrimináns ( - p) - 4 $ (p - p) p - 6p + 9 (p - ), tehát mindig vn két (esetleg egyenlô) vlós gyök. A megoldóképletbôl x p, x p -. (8.) ) p. b) p. c) p. d) p,5 vgy p 6. (8.) ) p,5 vgy p. b) p 4 vgy p. c) p < 0 vgy,5 < p. d),5 < p. (84.) ) p < 0. b) 0 < p <,5. c) p 0 vgy p,5. d) Nem lehetséges. e) p. 86. Az egyenlet diszkrimináns 6p - 4 $ (p + ) 6p - p - 4 0, h p - 0,5 vgy p. Ezen feltétel mellett vn két (esetleg egyenlô) gyöke z egyenletnek. ) - 0,5 < p <. b) x 0 helyettesítéssel p -. 7 c) x -4 helyettesítéssel 6 + 6p + p + 0, innen p -. 9 d) p.

21 Összefüggések gyökök és együtthtók között 87. ) p -0,5 vgy p. b) p < - 0,5 vgy < p. c) p + > 0, innen p > -. A korlátozó feltétel mitt - < p - 0,5 vgy p. d) p + < 0, p < -. e) Nincs pozitív gyök, h gyökök negtívok vgy nincsenek. A két gyök negtív, h - < p # - 0,5; nincsenek gyökök, h - 0,5 < p < ; innen - < p <. 88. (p + 4)x + (p + )x + p I. ülön kell vizsgálni p esetet; h ugynis fôegyütthtó zérus, kkor nem másodfokú z egyenlet. H p -4, kkor z egyenlet 4x + 0 lkú. Ekkor egyetlen gyök vn, x -0,5. H p Y - 4, kkor z egyenlet diszkrimináns (p + ) - 4 $ (p + 4)(p + 9) -4p - 0p $ 0, h - 5 # p # 0. (86.) ) p < - 5 vgy 0 < p. b) p -4,5. c) p -,5. d) p -4,4. (87.) ) p -5 vgy p 0. b) - 5 < p < 0, de p Y - 4. p + 9 c) > 0, h p < - 4,5 vgy - 4<p; korlátozó feltétel mitt p # p < - 4,5 vgy - 4 < p # 0. p + 9 d) < 0, h - 4,5 < p < - 4. p + 4 e) p < - 5 vgy 0 < p (nincs gyök); vgy p -4 (egyetlen gyök vn); vgy - 5 p < - 4,5, vgy - 4 < p 0 (zonos elôjelûek gyökök) p + és - < 0 ( gyökök összege negtív). p + 4 Ez utóbbi egyenlôtlenségbôl p < - 6 vgy - 4<p, így megoldás: p < - 5 vgy - 4< p. II. ( - p) x - x + p 0. H p, kkor - x 0, innen x 0.

22 4 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek H p Y, kkor z egyenlet diszkrimináns 4-4 $ ( - p) $ p 8p - 6p + 4 0, h p # -.,707 # p.. 0,9 vgy + (86.) ) - < p < +. b) p 0. c) p 7 0. d) p 4 7. (87.) ) p - vgy p +. b) p <- vgy + < p. c) p > 0, h 0 < p < ; innen 0 < p # - - p vgy + # p <. d) p < 0, h p <0 vgy < p. - p e) - < p <+ (nincs gyök); vgy p (egyetlen negtív gyök vn); p p vgy > 0 (0 < p < ) és < 0 (két negtív gyök vn). - p - p Ez utóbbi egyenlôtlenségbôl p >, így megoldás: - vgy p. < p < Akkor létezik két (nem feltétlenül különbözô) gyök, h diszkrimináns nemnegtív. D (8p - ) - 4(5p - p - 6) 4p - 4p + 8; D $ 0, h p - 6p + 7 $ 0, s ez kkor teljesül, h p -.,59 vgy +. 4,4 p. H két gyök u és v, kkor Viète-formulák lpján u + v - 8p és uv 5p - p - 6. ) u + v (u + v) - uv ( - 8p) - (5p - p - 6) 4p - 8p + 6. u + v 4, h 4p - 8p + 6 4, vgyis p - 8p Innen p 7.,05 és

23 Összefüggések gyökök és együtthtók között p. - 0,; feltételeknek mindkét gyök megfelel. 7 u v 8p b) p. + 0, h u v uv 5p -p-6 u v 5p -p , vgyis 50p - p Innen p. 0,68 és p. - 0,60, feltételeknek mindkét gyök megfelel. 75 c) u + v ( u+ v) -uv ( - 8p) - ( 5p - p - 6) 4p - 8p+ 6. u + v, h, vgyis 4p - 8p+ 6 4p - 8p Ezen egyenlet diszkrimináns negtív, vgyis nem létezik megfelelô p érték. Megjegyzés: Természetesen z megoldási módszer is eredményes, mikor elkerüljük másodfokú egyenlôtlenség megoldását. l. z ) esetben meghtározzuk lehetséges p és p 7 értékeket, s z eredeti egyenletbe vló 7 visszhelyettesítéssel ellenôrizzük, hogy ezen p értékekre vlóbn vn gyöke z egyenletnek. Ekkor zonbn nem számolhtunk közelítô értékekkel. H pl. p.,05, kkor z eredeti egyenlet x + 6,4x + 8,44 0, két gyök x. -,86 és x. - 4,54, x + x. 4,07. A kerekítések mitt nem kpunk pontos értéket. H nem közelítô értékekkel számolunk, kkor z eredeti egyenlet x + (8p - ) x + 5p - p x + ( ) x Innen x, ! ! , s ekkor x + x 578 J N b l O 578 b l 4 vlóbn. 578

24 6 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 90. ) Több megoldás lehetséges. H két gyök pl. x 0 és x 4, kkor x(x - 4 ) 0. b) x, x ; (x - )(x - ) 0. c) H két gyök x és x + 0,5, kkor x(x + 0,5), innen x + 0,5x - 0. Az egyenlet diszkrimináns 8,5 > 0, tehát léteznek gyökök (Amelyek x. -,69 és x 4.,9.) 4 d) Nincs megoldás. A Viète-formulák lpján x - 0,5x + 0; ennek z egyenletnek viszont negtív diszkrimináns. 9. A prméteres egyenleteket prméterek minden lehetséges értékére meg kell oldnunk. b ), b, x Y 0, 4 x b ; innen x!. b) x, x!. (b tetszôleges.) c) x Y!. Átlkítások után x 4, innen x!, h Y 0; h 0, kkor nincs megoldás. d) x Y!. Átlkítások után 0. H 0, x! R \ {0}; h Y 0, kkor nincs megoldás. e) x Y!, x Y! b; átlkítások után x ( + b) b( + b). Mivel + b > 0, x b, x! b, feltéve, hogy! b Y!, ill.! b Y! b, vgyis h Y b. H b, kkor nincs megoldás. 9. ) H D - 4b > 0, vgyis h >4b, kkor x,! - 4 b, két megoldás vn. H 4b, kkor x, egy megoldás (de kétszeres gyök) vn. H <4b, kkor nincs megoldás. b) x, x b. Egy (kétszeres) megoldás vn, h b; különben két különbözô megoldás vn. c) D 4-4( - b ) 4b, így x,! b, x + b, x - b. H b 0, egy (kétszeres) gyök vn; egyébként gyökök szám kettô. 9. ) H uu, vgyis!, egy megoldás vn; h uu >, vgyis h < - vgy <, két megoldás vn; h uu <, vgyis - < <, kkor nincs megoldás. x b) x Y 0, x Y. H y x -, kkor y - 5y + 0, y, y 0,5. x Az egyenletbôl x ; nincs megoldás, h 0. Az x- x 0,5 egyenletbôl x -; nincs megoldás, h 0. x-

25 Összefüggések gyökök és együtthtók között 7 Tehát h 0, nincs megoldás; egyéb értékekre pedig két megoldás vn. c), b, x Y 0. Átlkításokkl x ( - b) b( - b). H b, kkor végtelen sok megoldás vn (x bármilyen, nemzérus szám lehet); h Y b, kkor b >0 esetén két megoldás vn, b <0 esetén nincs megoldás. 94. Az x + bx + c 0 egyenletnek -nél több gyöke csk z 0 esetben lehet; bx + c 0 egyenletnek pedig csk b 0 esetben. Innen b c 0; ekkor minden vlós x megoldás, z egyenletnek végtelen sok gyöke vn. 95. H p, kkor 0 0 zonosságot kpunk, így minden vlós x megoldás. H p -, kkor átlkítások után x ; egy megoldás vn. H p Y!, kkor (p + )x - x + 0 egyenlet diszkriminánsától függ megoldásszám. D - 4(p + ) -4p -. D >0, h p < - 0,75. Ekkor két megoldás vn (persze p Y -). H p -0,75, egy (kétszeres) gyök vn; s h p > - 0,75 (és p Y ), nincs megoldás. 96. ) b - 4c > 0 teljesüljön. (H c < 0, ez minden b vlós számr fennáll; h c $ 0, kkor b > 4c vgy b < - 4c szükséges. b) b - 4c 0. H c < 0, ez sosem teljesül; h c $ 0, kkor b! 4c. c) b - 4c <0. H c < 0, ez sosem teljesül; h c $ 0, kkor - 4 c < b< < 4c kell. - d) x helyettesítéssel 9 + b + c 0, innen b c - 9. Egyenletek összetett függvényekkel 97. ) H x $ 0, kkor x x; h x < 0, kkor x -x. x! {-, 0, }. Más megoldási lehetôség: x uxu, így uxu - uxu 0, s innen uxu(uxu - ) 0. b) H x $, kkor x - 4x - (x - ) + 6 0; x 4, x. H x <, kkor x - 4x + (x - ) + 6 0; x 0, x 4. Más megoldási lehetôség: (x - ) ux - u, így ux - u ux - u Az y ux - u helyettesítéssel y - y + 0. c) H x $ -, kkor x + x - 0; x - +, x - -, de ez utóbbi hmis gyök. H x < -, kkor x + x + 0; x -, hmis gyök. Egyébként z lpegyenletbôl észrevehetjük, hogy x csk pozitív lehet. Más megoldási lehetôség: h ux + u, kkor z x +! két x x egyenletet is megoldhtjuk (ekkor kötelezô z ellenôrzés).

26 8 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 98. Az u f(x)u c típusú egyenleteket kétféleképpen oldhtjuk meg.. étfelé ágztthtunk f(x) elôjele lpján. H f(x) $ 0, kkor z f(x) c, h f(x)<0, kkor pedig - f(x) c feltételes egyenleteket oldjuk meg.. Egy bszolútértékes kifejezés értéke csk kkor lehet c, h kifejezés értéke c vgy - c. Ez lpján két egyenletet oldunk meg: f(x) c és f(x) -c. Bármelyik módszert válszthtjuk; z itt kitûzött feldtokbn második módszer lklmzás egyszerûbb. ) x! &! 8,! 4 0; b) x! * ; ; ; 4; (közelítô értékekkel x! {0,70; 4,0;,8;,6}); c) x! {; 0,5}; d) x! { +.,4; -. -,4}. 99. ) x - <[x] # x, innen -x # - [x] < -x +, x - x - # x - - [x] - <x - x -. Az x - x - # 0 egyenlôtlenség megoldás - # x # ; 0 < x - -x - egyenlôtlenség megoldás x <-. -0,4 vgy +..,4 < x. Összevonv: - # x <- vgy + < x #. Mivel x [x] + egész szám, x fenti intervllumokb esô! n típusú szám lehet, hol n pozitív egész. Megoldás: x! &-; 7; 0. b) # x - x < 4. Az egyenlôtlenségek megoldás x # - vgy # x, illetve ,4 < x <+ 5.,4. Összevonv - 5 < x # # - vgy # x <+ 5. c) x + <[x + ] # x +, innen x + <x # x +. Az egyenlôtlenségek megoldás x <-. - 0,7 vgy +..,7 < x, illetve - # x # ; s mivel x! n lkú (n pozitív egész), ezért x! &-; 8 ; 0. d) 0 # {x}<, így 0 # x - <; # x < 5. Alklmzzuk z {x} x -[x] helyettesítést! Ekkor x - x + [x] - 0, vgyis x - x -[x], egész szám. H # x < 5, kkor -. -0,46 # x - x < ,5, innen x - x 0, de nem kpunk megoldást. H - 5 < x #, kkor +. 6,46 # x - x < ,47; innen x - x lehetséges értékei 7, 8 vgy 9. x! & + 8 ; - 8 ; 4; - ; + 0 ; - 00; ellenôrzés után x ,8; x ,6.

27 Másodfokú egyenletrendszerek 9 Ellenôrzés: & - 80 &- 80-8, így b- 8l -$& b- 8l- 0 és & - 00 & , így b- 0l -$ & b4-0l- 0 vlóbn. e) # x #. {x - } x - - [x - ], megoldndó egyenlet x - x + + [x - ] 0. x - x egész szám; s mivel - # x #, innen - # x - x #. x - x lehetséges értékei -, 0,, vgy ; x! {; 0; ; + ; - ; + ; - ; ; -}; ellenôrzés után x. -0,4, x -. -0,7. Ellenôrzés: {x - } {x}; & - 0 &- 0 -, így b- l -& b- & &- 0 4-, így b- l - l 0 és -& `4- j 0 vlóbn. Megjegyzés: A megoldás egyszerûsödik, h {x - } {x} zonosságot korábbn lklmzzuk. f) x - <[x] # x, innen x - <x -,6 # x. Az egyenlôtlenségrendszer megoldás - 46,. -,4 # x <- 6,. -0,6 vgy ,,6 < x # + 46.,,4. Az elsô esetben -, < x - -,6 # -,; másodikbn, < x -,6 # 6,6. A páros egész értékek jöhetnek szób, x -,6! {4; 6}. Ellenôrzés után x! & 76, ; 96, 0. g) 0 # x - x - <. Az egyenlôtlenségrendszer megoldás ,4 < x # - vgy # x <+ 5.,4. Másodfokú egyenletrendszerek 00. Algebri megoldás: ()-bôl y 4 - x; ezt ()-be helyettesítve 4 - x - x + 4x 6. Redukálás után x - x + 0, vgyis egyváltozós másodfokú egyenletet kptunk. Az egyenlet megoldási x, x ; visszhelyettesítve pl. ()-be, y, y. Az egyenletrendszernek két megoldás vn: (x; y) (; ) vgy (x; y) (; ). Grfikus megoldás: Az egyenletrendszer grfikus megoldás zt jelenti, hogy z egyenletek áltl dott ponthlmzok (lkztok) közös pontjit htározzuk meg (vgyis zokt

28 40 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 00. pontokt, melyek egyszerre z összes dott lkzton rjt vnnk). Az () egyenes és () prbol (; ), illetve (; ) metszéspontjit leolvshtjuk görbék megrjzolás után. Megjegyzések: A két ismeretlent trtlmzó egyenletrendszer megoldás zt jelenti, hogy megdjuk két változó összes olyn értékét, melyekre z egyenletek egyszerre teljesülnek; tehát megoldások számpárok. A fenti másodfokú egyenletrendszert úgy oldottuk meg, hogy kifejeztük z egyik változót másik segítségével, s miután így másik egyenletbe behelyettesítettünk, már egyváltozós egyenletet kptunk. Ez megoldási módszer mindig lklmzhtó, h z egyik egyenlet elsôfokú. Ezért bonyolultbb egyenletek esetén célszerû megvizsgálni zokt helyettesítéseket, melyek lineáris egyenletre vezethetnek. 0. ) ()-bôl x - y; ezt ()-be helyettesítve ( - y) - y + y - 0. Innen y 0, y 5; visszhelyettesítve ()-be x, x -4. A megoldások: (x ; y ) (; 0), (x ; y ) ( 4; 5). () képe egyenes, () képe olyn prbol, melynek tengelye párhuzmos z x tengellyel. J y y N y- x+, illetve x O O J 7 7 N b) (x ; y ), O, (x ; y ) (; ). J 5 N () képe egyenes, () képe kör. y- x+. O 0/. 0/b.

29 Másodfokú egyenletrendszerek 4 0/. 0/b. 0. ) (x ; y ) (; ), (x ; y ) (,; 0,). () képe egyenes, () képe hiperbol. J J N N y 5 ( x ) y- x+, illetve O O O +. O O O 4 4 O b) (x ; y ) ( 6; 0,5), (x ; y ) (; -). J x 5 N () képe hiperbol, () képe egyenes. y-, illetve y- -. x O 0. Jelöljük tégllp két oldlát > b-vel! Ekkor () b + - b 8; () + b 7. ()-bôl b 7 -, ezt ()-be visszhelyettesítve (ekkor b ) vgy 5 (b ). A tégllp területe 8 vgy 80 területegység. 04. ) ét megoldás vn: (x; y) b;! 5l. l. y helyettesítéssel z egyenletrendszer elsôfokú lesz. (Más megoldási lehetôség: () kétszeresét ()-hez dv kiküszöbölhetjük y -et.) b) Négy megoldás vn: (x; y) (!;!). l. y 4, x b helyettesítéssel z egyenletrendszer elsôfokú lesz. (Vgy: () --szorosát ()-höz dhtjuk.) J N 5O 05. ) Négy megoldás vn: (x; y) (;!) vgy (x; y) ;!. l. z O y, x b helyettesítéssel z egyenletrendszer másodfokú lesz. (Vgy: összedhtjuk () -szeresét és () -szorosát.)

30 4 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek b) Négy megoldás vn: (x; y) b! 5; 0l vgy (x; y) b! ; l. l. (x - ) helyettesítéssel z egyenletrendszer egyszerûbben kezelhetô. 06. (x ; y ) (0; ), (x ; y ) (8; -5). x 07. H két szám x és y, kkor x + y xy. ényegében két egyenletet y kptunk, melyet hgyományos módon oldhtunk meg: (x; y) (0,5; -). 08. ) (x ; y ) (; -5), (x ; y ) (5; -). b) (x ; y ) (-7; -), (x ; y ) (; 7). 09. ) (x ; y ) (5; ), (x ; y ) (-; -5). J N b) (x ; y ) (; ), (x ; y ) - ;- 7 7 O. 0. ) Nincs megoldás. b) (x; y) (0; ).. ) (x ; y ) (; 8), (x ; y ) (8; ). b) (x; y) (; 4).. ) (x ; y ) (-; -), (x ; y ) (; ). J 4 N b) (x ; y ) (; 4), (x ; y ) -0;- O. A 6. feldtokbn áltlábn több lklms helyettesítés is tlálhtó. éldául:. ) x - helyettesítéssel () y ; () y 4. (x ; y ) (4; ), (x ; y ) (0; -). b) H - x, b, kkor () + b ; () - 5b -. y - J 6 N (x; y) ; 7 9 O. Megjegyzés: Helyettesítés után lineáris egyenletrendszert kptunk z eredetileg másodfokú egyenletrendszerbôl. (A törtek eltüntetése után kpott egyenletek, pl. b) y x ( - x)(y - ) másodfokúk. 4. ) H x +, b y, kkor () + b 4; () - + b 7. (x; y) (4;! ). b) H x -, b + y, kkor () + b ; () + b - 4. (x; y) (; ). 5. ) H x - y és b xy, kkor () + b ; () b -6. (x ; y ) (; -), (x ; y ) (; -), (x ; y ) (-; -), (x 4 ; y 4 ) (; ). b) H x és b y, kkor () + b 9; () + b 5. (x; y) (!;!). (4 megoldás.)

31 Másodfokú egyenletrendszerek 4 6. H x, b y, kkor () - b 4; () b. (x; y) (4; ). 7. ) x, y gyöke t - t + 0 egyenletnek (Viète-formulák). (x ; y ) (; ), (x ; y ) (; ). b) x + y, b xy helyettesítéssel () - b + 4; () b. J N O (x ; y ) (; ), (x ; y ) (; ), (x ; y ) ; O. J N O. (-0,70; -4,0), (x 4 ; y 4 ) ;. (- 4,0; -0,70). O Más megoldási lehetôség: () (x + y) + (x + y) lkb is írhtó, s ekkor (x + y) közvetlenül meghtározhtó. 8. ) H xy, kkor () 4 $ (5 - ) 7. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (; ). b) (x; y) (; ). 9. ) () 4 - xy + 4xy 86. (x ; y ) (9; 5), (x ; y ) (5; 9). b) H x + y, b x $ y, kkor () - b 7; () b 4. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (4; 0,5), (x ; y ) (-4; -0,5), (x 4 ; y 4 ) (-; -). 0. x -y (x-y)(x + xy +y ). H x -y, b xy, kkor () ( + b) 6. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -).. ) x - y (x + y)(x - y), innen x + y 8. (x; y) (4; 40). b) x + y + xy (x + y) 49, innen x + y!7. (x ; y ) (; 4), (x ; y ) (4; ), (x ; y ) (-; -4), (x 4 ; y 4 ) (-4; -).. ) (x; y) (6; 4). b) x + y (x + y)(x - xy + y ), innen x - xy + y. x - xy + y (x + y) - xy, xy 0. (x ; y ) (5; 6), (x ; y ) (6; 5).. ) () és () összedásávl x + y + xy (x + y) 49, innen x + y!7. (x ; y ) (5; ), (x ; y ) (-5; -). b) (x ; y ) (; ), (x ; y ) (; ). 4. Az egyenletek összedás, illetve kivonás után: () (x + y)(x - xy + y ) 6(x + y), () (x - y)(x + xy + y ) 4(x - y). ()-bôl h x + y 0, kkor (x ; y ) (0; 0), (x ; y ) (; -), (x ; y ) (-; ); ()-bôl h x - y 0, kkor (x 4 ; y 4 ) ` 6; 6j, (x 5 ; y 5 ) b- 6; - 6l; egyébként xy -, x + y!, s innen J N O (x 6 ; y 6 ) ; O. (,9; -0,46), (x 7 ; y 7 ) J N J N O ; O.(-0,46;,9), (x 8 ; y 8 ) O ; O. J N O. (0,46; -,9), (x 9 ; y 9 ) ;. (-,9; 0,46). O

32 44 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 5. ) ()-bôl h y 0, kkor x 0, de () mitt ez nem lehetséges. H y Y 0, J x N x x kkor () átlkíthtó: + $ - 0. y O A z helyettesítéssel z y y, z -; innen x y, vgy x -y, mit ()-be visszhelyettesítve másodfokú egyenletet kpunk. (x ; y ) (; ), (x ; y ) J 4 4 N J N - ;- 9 9 O, (x ; y ) O ; 6 6 O. J N O. (-,4; 0,78), (x 4 ; y 4 ) ;. (,8; -0,9). 6 6 O Másik lehetôség () szorzttá lkítás: x - y + xy - y (x - y)(x + y) ++y(x - y) (x - y)(x + y), innen elsôfokú összefüggéseket kpunk. J 7 8 N O b) (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -), (x ; y ) -7 $ ; 6 6 O. J N 7 8 O. (-,7; 0,68), (x 4 ; y 4 ) 7 $ ; -. (,7; -0,68). 6 6 O 6. ) Homogén egyenletet kpunk, h () 5-szörösébôl kivonjuk ()-t. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -). b) Homogén egyenletet kpunk, h () -szorosát és ()-t összedjuk. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -), (x ; y ) (; ), (x 4 ; y 4 ) (-; -). 7. ) iemelés után () (x - )(y + ) 0, () (x + )(y - ) 0. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -). b) ()-bôl xy - y - x + y(x - ) - (x - ) (y - )(x - ) 0. H y, kkor () x - x 0 lkú; h x, kkor ()-bôl y. (x ; y ) (0; ), (x ; y ) (,5; ), (x ; y ) (; ). J 8 9 N 8. ) (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; ), (x ; y ) ;- O, (x 4 ; y 4 ) J 8 9 N - ;- O. b) ()-bôl (x - y)(x + y - 0) 0, ()-bôl (x + )(y - 6) 0. (x ; y ) (-; -), (x ; y ) (-; ), (x ; y ) (6; 6), (x 4 ; y 4 ) (4; 6). 9. ) (x ; y ) (0; 0), (x ; y ) (5; -5), (x ; y ) (; ), (x 4 ; y 4 ) (-; -).

33 Másodfokú egyenletrendszerek 45 b) l. ()-bôl x 4 + y 4 + x y, ()-bôl x - y - xy; () négyzetre emelésével 5x y - 4xy - 0. Innen xy vgy xy -,. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -), (x ; y ) J N -, O ; O. (-,944; 0,67), (x - 7, + 4, O 4 ; y 4 ) - 7, + 4, O J N, O ; - - 7, + 4, O. (,944; - 0,67). O - 7, + 4, O 0. ) ()-bôl (x + y) + (x + y) + 0, innen x + y -. (x; y) (; -). b) ()-bôl (x - y) - 6(x - y) + 9 0, innen x - y. (x ; y ) (0; -,5), (x ; y ) (; 0).. Jelöljük két számot -vl és b-vel ( > b)! ) () + b ; () b +. Y 0, így () b + lkbn írhtó. Azonosságot kptunk; h t, kkor b - t. > b mitt t > - t, innen (; b) (t; - t), h t tetszôleges, 0,5-nél ngyobb szám. b) () + b ; () b + b. ()-bôl ( - ) + -, innen b 0,5, de ez nem megoldás.. Jelöljük két sokszög oldlink számát n-nel, illetve k-vl! Ekkor () nn ( - ) kk ( - ) + 58; () (n - ) $ 80 + (k - ) $ ()-bôl k + n 8, helyettesítés után két sokszög oldlink szám, illetve. 6.. Jelöljük derékszögû háromszög befogóit hgyományos módon -vl és b-vel! Ekkor () b 55 és () + b ; innen két befogó hossz 0 cm és cm. 4. egyen szám b lkú! Ekkor () (0 + b)(0b + ) 6; () + + b 40; innen b, + b 8. A keresett szám 6 vgy 6. Megjegyzés: A megoldáshoz nincs szükség ()-re, () ismerete önmgábn elég. b egyen tört lkú! Ekkor () b - 4; () +. (; b) (; 7) b b - 7 vgy (-7; -), keresett tört vgy egyen szám b lkú! Ekkor () b + 4; () (0 + b)( + b) 06. (; b) (5; ), keresett szám z Jelöljük sorok számát s-sel, székek számát d-vel! Ekkor () sd 6 és () (s + )(d + ) 47. Innen s - 95s , s ( másik gyök nem egész), vlmint d 6.

34 46 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 8. ) (x + y + z) x + y + z + (xy + xz + yz), innen (x + y + z) () mitt z 4 vgy z -. (x, y, z)! {(; -; 4), ( ; ; 4), (; -4; -), (-4; ; -)}. b) Alklmzzuk z x t, y 4t, z 5t helyettesítést! (x, y, z) (; 6; 0) vgy (x, y, z) (-; -6; -0). 9. ) Az egyenletek összedásából xy -6, xz -0, yz 5; ezek szorztából xyz!0. (x, y, z) (; -; -5) vgy (x, y, z) (-; ; 5). J 9 6 N b) (x, y, z) (4; ; ) vgy (x, y, z) ; ; O. 40. Jelöljük három él hosszát < b < c-vel! ) () b 6; () c 8; () bc. A térfogt z egyenletek szorztából számíthtó: V 6$ 8$ 4 (cm ). (Az oldlélek: cm, b cm, c 4 cm.) b) () +b 7; () + c 9; () b + c. Az egyenletek összedásából + b + c 4, innen cm, b 5 cm, c 7 cm; V 70 cm. c) () + b ; () + c 9; () b + c 4. Az egyenletek összedásából + b + c 8, innen 4, b 9, c 5; V 0 cm. 4. ) AViète-formulák mitt z - z + b 0 egyenlet gyökei (h léteznek) z x, z y. Innen - 4b $ 0 gyökök létezésének feltétele. b) x + y (x + y) - xy, innen xy - c. Akkor vn megoldás, h - c - 4 $ $ 0, vgyis c - $ 0. c) Átlkításokkl x 4 - x + b 0. Az - 4b $ 0 feltétel mellett $ 0-nk is teljesülnie kell. 4. ) Minden! R esetén vn megoldás: (x ; y ) (0; ), (x ; y ) (0,5; - 0,5). b) Vn megoldás, h #,5. 4. ) Vn megoldás, h #- vgy #. b) Átlkításokkl y ( + - ) 0. Mindig vn (x; y) (0; 0) lkú megoldás. H vgy -, kkor végtelen sok (x; y) (t; t) lkú megoldás vn (t! R). J N 44. ) Mindig vn megoldás. H Y -, kkor (x; y) ; + + O ; J N h Y -, kkor (x; y) ; + ( + ) O. b) A két egyenlet különbségébôl (y - x)(y - x - ) 0. H x y, kkor + 4 $ 0, $ -0,5. H x y -, kkor $ 0, $ -,5. Vn megoldás, h $ -,5.

35 Szöveges feldtok 47 c c 45. Jelöljük két test sebességét v, illetve v -vel! Ekkor () + t ; v v () (v - v )n c. Innen ntv - ctv - c 0, pozitív gyököt megtrtv ct + c t + 4ntc c ct c t 4ntc v, v nt v n nt 46. Jelöljük g-vel z eredetileg igényelt gépkocsik számát, t-vel gépkocsinként tervezett teher ngyságát! Ekkor () gt T; () (g - x)(t + y) T. xy! x y + 4xyT Innen yg - xyg - xt 0, g, ; gépkocsik számát pozitív gyök dj y meg. Szöveges feldtok 47. Jelöljük x-szel z osztót! Ekkor 660 x(x + ) + x ; x 4. (x -7,5 nem egész.) 48. egyen szám b lkú! Ekkor () + b 9; () (0 + b)(0b + ) 68. ()-bôl 9 - b, ()-be helyettesítve b - 9b Innen b vgy b 6, így (; b) (; 6) vgy (; b) (6; ). Megjegyzés: Mivel és b számjegyek, z () összefüggés felesleges dt. Ugynis ()-bôl 00b + 0( + b ) + b 68, innen b 8 vgy b 8 lehetséges. H b 8, kkor + b 46, nem kpunk megoldást; h b 8, kkor + b 45, innen (; b) (; 6) vgy (; b) (6; ). 49. A páros számot n-nel jelölve (n - )(n + ) n; innen n J N n - nem felel meg O. 50. Jelöljük számrendszer lpszámát g-vel; ekkor 4g + 4g +, innen g 5. (g -6 hmis.) 5. Jelöljük számrendszer lpszámát g-vel. ) Elsô megoldás: Ekkor g + g + 4 k (k! N), innen átlkításokkl 4g + 4g + 6 4k, (g + ) + 5 4k, 5 4k - (g + ) (k + g + )(k - g - ). H () k + g + 5, () k - g -, kkor k 4, g. Ez nem megoldás, mert g -s lpú számrendszerben nincs 4-es számjegy. H () k + g + 5, () k - g -, kkor k, g 0; ez sem megoldás. Nincs ilyen számrendszer.

36 48 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Második megoldás: Becslést is lklmzhtunk. H g + g + 4 négyzetszám, kkor 4g + 4g + 6 is z. 4g + 4g + 6 (g + ) + 5, és ez két szomszédos négyzetszám, (g + ) és (g + ) közé esik, h g > 4; tehát nem lehet négyzetszám. b) g + g + g + (g + ), így g $ 4 bármilyen egész szám lehet. 5. Jelöljük x-szel növelés, illetve csökkentés mértékét! Ekkor (0 + x)(0 - x) tégllp területe. ) x 60, x 40. 6, (cm). b) x 40, nem kpunk megoldást. (Az zonos kerületû négyszögek közül négyzet területe lehetô legngyobb.) 5. H keret szélessége d, kkor ( - d)(8 - d) 0,75 $ $ 8. Innen d - 0d + 7 0, d 0,96 (cm). 54. Jelöljük -vl z eredeti élek hosszát; ekkor ( + ) - 5. Innen , 4 (cm). nn ( - ) 55. H n oldlú sokszög, z n egyenletbôl n Az n oldlú szbályos sokszög belsô szöge ( n - ) $ 80, z n + oldlúé ( n- ) $ 80 n. Így ( n- ) $ 80 + ( n- ) $ 80, innen n + n - 0 0; n+ n n+ sokszög szbályos ötszög. 57. H n cspt vesz részt bjnokságon, kkor mérkôzések szám n_ n- i 55; innen n - n - 0 0, n. 58. Jelöljük n-nel személyek számát, s-sel kpott összeget! Ekkor () ns 9 00, () (n - )(s + 800) Innen s 400n - 800, n(400n - 800) 9 00, n(n - ) 48, n Npont 40 oldlt olvstm voln, 8 npon keresztül kg, illetve 0 kg árut vettünk ( drágább kg-j 00 Ft, z olcsóbbé 80 Ft volt). 6. Jelöljük p-vel csökkenés mértékét! Ekkor 800p z elsô és 800p második árcsökkenés utáni ár. Innen 800p 458, p 0,9; vgyis 0%-os volt két árcsökkentés. 6. Jelöljük p-vel z elsô évi szporult százlékbn kifejezett értékét! J p NJ p N Ekkor O 00 O 00, innen p 5. Az elsô évben 5%, második évben 0% volt gyrpodás. 6. H x liter lkoholt öntünk ki z elsô lklomml, kkor z edényben x 6 - x liter lkohol mrdt, s másodszor ( 6 - x) $ liter lkoholt öntünk ki. 6 x x + ( 6 - x) $, innen x - 7x , x 6 liter. (x 66 hmis 6 gyök.) Az elsô lklomml 6 liter, másodszorr 5 liter lkoholt öntöttünk ki.

37 Szöveges feldtok Jelöljük z eredeti termelés értékét T-vel, munkások számát m-mel J ekkor z egy fôre jutó termelés T N m O. H munkások szám x százlékkl nôtt, J x N T J x N kkor m $ + $ $ + 00 O m 00 O,4T. Innen x + 400x , x Az összeötvözés utáni 6%-os ötvözet 8 kg vörösrezet trtlmz, így tömege 50 kg. Jelöljük z elsô ötvözet tömegét m-mel, vörösréztrtlmát (százlékbn kifejezve) p-vel! Ekkor () m $ p 6; () ( m) p $ Innen ()-bôl 4m 5p + 0, ()-be visszírv p +4p ; p 0. A két ötvözetben 0%, illetve 60% vörösréz vn. 66. H z egyik önállón x np ltt építené fel flt, kkor np ltt z egész fl x -ed, t np ltt x t -ed részével készülne el. A másik kômûves t np t ltt részt építene fel. 6 np ltt z egész flt felépítik, innen x x - 7x - 0 0, x 0. Egymgábn z egyik kômûves 0, x x + 5 másik 6 np ltt építené fel flt. 67. H külön-külön z egyik trktor x, másik y np ltt szántj fel 4 4 területet, kkor () + ; () x+ y 8. Innen x - 4x , x y x 6, x 8; megfelelô y értékek y, y 8. Eredmény: egymgábn z egyik trktor 6, másik ór ltt szántná fel területet. (Az x, y megoldások trktori nem különbözô teljesítôképességûek.) 68. H brigádnk eredetileg x tgj volt és fejenként npi y órát dolgoztk, kkor 5xy munkór szükséges teljes munk elvégzéséhez. Innen () 5xy 6(x - 4)(y + ), () 5xy 8(x + 4)(y + 4). ()-bôl xy 64y - x + 8, ()-bôl 7xy x + y + 8. iküszöböljük z xy tgot: x y + 4, s ezt 8 visszhelyettesítve y - 7y y 8 órát dolgoztk eredetileg, x 6 tgú volt brigád. 69. Jelöljük x-szel, illetve y-nl zt z úthosszt, melyet z egyik, illetve 0 0 másik cspt egy np ltt kijvít! Ekkor () x + y 4,5, () + ; x y innen x - 49x x (z x,5 gyök hmis), y,5. Vgyis egy np ltt km, ill.,5 km útszkszt jvít ki két társság. 70. H z elsô csô x ór ltt tölti meg medencét, kkor második csô x + t t , ór ltt. A t ór ltt megtöltött rész +, innen + +. x x + x x + x +

38 50 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek x -,75x - 0 0, x 4. Egymgábn z elsô csô 4 ór, második 7 ór ltt tölti meg medencét. 7. H z elsô csô x ór ltt tölti meg medencét, kkor második x, 5, 5, 5, hrmdik x + 5 ór ltt. Innen + +, x -,5x - 7,5 0, x x x + 5 x 5. Az egyes csöveken 5 h, 0 h, 0 h ltt telik meg medence. 7. H csp x perc ltt tölti meg kádt, tele kád x - perc ltt ürül 4 4 ki lefolyón, s ekkor - -. Innen x - x , x 8. Vgyis x x - csp 8 perc ltt tölti meg kádt. 7. H önállón z elsô rtógép x, másik y np ltt gyûjtené be termést, kkor t np ltt begyûjtött terméshányd +, +. Az elsô x y x y t t 6 6 x rtógép x x 5 - npig dolgozott, másik 5 - npig, ezért. Innen y y - 5y , y 8, y 7,5; x 9, x 0. ét megoldást kptunk, h fél npot elfogdjuk megoldásként. 74. Jelöljük x, y, z-vel zt z idôt (npokbn), mi ltt z egyes gépek külön-külön elvégeznék munkát. 7 ) Ekkor (), 7, 9 9 +, () +, () + ; z x y x z y z egyenletrendszer megoldás (órábn) (x; y; z) (; 8; 6). t t b) H t npig trtott befejezô munk, kkor , innen t 4,5 (np). 75. Jelöljük k-vl z eredetileg npont megtett kilométerek számát, n-nel npok számát! Ekkor () nk 80; () (n + )(k - 4) 80. Innen n + n - 0 0, n 4, k 0. Út idô grfikon: ábr. 76. Jelöljük repülôgép sját sebességét v-vel, z eredeti menetidôt (órábn mérve) t-vel! Ekkor J N 500 vt (v - 50) t + O. Innen t + t - 0 0; t ór 40 perc, v 00 (km/h). 77. Jelöljük z eredeti sebességet v-vel és menetidôt t-vel! Ekkor () v$ t 50;

39 Szöveges feldtok J t N () _ v + i - 50 O. Innen t - 6t ; t,85 (h), v 59,08 (km/h). Út idô grfikon: 77. ábr. 78. Jelöljük z eredeti sebességet v-vel, z út hosszát s-sel! Ekkor z eredetileg tervezett menetidô (órábn számolv), z új menetidôt két részletben v s s 0 s 0 írhtjuk fel: Innen v + 0v , v 40 (km/h). v 0 v + 0 v 79. Jelöljük gépkocsik sebességét v, illetve v -vel! Ekkor () v v + 0; () +. Innen v v v + 0v ; v 65,9 km/h, v 75,9 km/h. Út idô grfikon: 79. ábr. 80. ) Jelöljük v, illetve w-vel két vont átlgsebességét, t-vel tlálkozásukig eltelt idôt! Ekkor vontok tlálkozásig megtett útj vt, illetve wt, 80. vt s hátrlévô távolságot,, w wt illetve,5 ór ltt teszik meg v t 5, vontok. Innen ;, t t (h). A két vont útj ór 5 percig, illetve 5 ór percig trtott b) v 80 (km/h), w 50 5, 5, (km/h). A tlálkozásig megtett utk 60 km, illetve 00 km (ábr).

40 5 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Jelöljük v + 0-zel, illetve v-vel két vont átlgsebességét, t-vel tlálkozásukig eltelt idôt, s-sel z AB távolságot! Ekkor (v + 0)t vt + 56, innen t 5,6 (h), s 5,6(v + 0). Jelöljük T-vel zt tlálkozási idôt, melyet kkor kpnánk, h z A-ból induló vont 45 perccel késôbb induln; ekkor (v + 0)(T - 0,75) vt, innen 0T - 0,75v - 7,5 0. Végül két vont együttesen most is s-nyi utt tett meg, tehát s vt + 0T - 0,75v - 7,5. A három egyenletbôl v - 94v - 0 0, innen pozitív gyök v 70 (km/h). Az AB távolság s 840 km (ábr). 8. H z egyik hjó sebessége (km/h-bn mérve) v, másiké v + 6, kkor v, illetve v + megtett út. itgorsz tételébôl (v) + (v + ) 60, innen v + 6v v 8 (km/h), ekkor másik hjó sebessége 4 km/h. (A v -4 gyök ugynezt megoldást dj, z ellenkezô iránybn.) 8. Tegyük fel, hogy t idô múlv tlálják el gépet! Ekkor (ut) + H H uh (vt), innen t. Ez ltt z idô ltt repülôgép utt tesz v - u v - u meg, tehát ennyivel kell gép elé célozni. 84. H z eltelt idô t másodperc, kkor két pont áltl megtett út 4,4t, illetve,6(t - ), h t $. Távolságuk itgorsz tételébôl d 44, t + 6, ( t- ) 0,4; innen,t - 5,84t - 64, 0, t 4,5 (s). (A t -,65 hmis gyök.) A t $ idôben d,t - 5,84t + 5,84.,(t - 0,80) +,05. H 0 # t <, kkor d (4,4t) 9,6t (ábr). 85. egyen v gôzhjó sebessége; ekkor folyón lefelé v + 4, folyón felfelé v - 4 sebessége. v v - 4, innen v - 480v , v 7,4 km/h.