& t a V = t $ M = (9 $ 13 $ sin 48,6 )(25 $ sin 68,3 ) á 2038, 6 cm

Átírás

1 Hsáb Tekintsük z 7 ábrát Felhsználjuk, hogy prlelogrmm átlóink négyzetösszege egyenlô z oldlink négyzetösszegével Az ACGE prlelogrmmábn: AG + EC (AE + AC ) A BDHF prlelogrmmábn: DF + BH (BF + DB ) Az ABCD prlelogrmmábn: AC + BD (AB + AD ) A fenti összefüggéseket felhsználv: AG + EC + + DF + BH AE + AC + BF + BD AE + AB + AD + BF c b + c ( + b + c ) 79 Felhsználjuk, hogy prlelogrmm átlóink négyzetösszege egyenlô z oldlink négyzetösszegével A BCHE prlelogrmmábn t + EC BE + b A BFHD prlelogrmmábn t + DF DB + c Az ABGH prlelogrmmábn t + AG BG + A fenti összefüggéseket felhsználv: t + t + EC + DF + AG (BE + DB + BG ) + + ( + b + c ) Az láhúzottk testátlók négyzetei, miknek összege z 7 feldt szerint egyenlô z oldlk négyzetösszegével t + ( + b + c ) (BE + DB + BG ) + + ( + b + c ) t + + b + c BE + DB + BG 750 V 505, cm á 5, dm 75 V t $ M (9 $ $ sin,6 )(5 $ sin 6, ) á 0, 6 cm 75 Tekintsük z 75 ábrát Legyen cm, b cm, 6, 7, c 6 cm, c 6, 5, f 5 t $ $ sin 6,7 á 6,0 cm és m 6 $ sin 6,5 á, cm M m $ sin 5 á, cm V t $ M á 76, 5 cm 75 Legyen cm és c 5, ; A 6 $ sin á 75 á 57, cm m $ sin c á,7 cm A rombusz átlói merôlegesen felezik egymást és szögfelezôk Egybevágó rombuszok mgssági egyenlôk BUE egyenlô szárú, szárszöge f $ sin 5, cm, sin e e c f f m, f 67, 76 M m $ sin f á,05 cm V $ sin $ M á 770, 7 cm 75 Tekintsük hsáb oldlélekre merôleges síkmetszetét! A síkmetszetháromszög oldli z oldllpok mgssági Az oldlélek egyenlôk (b hosszúságúk) A háromszög-egyenlôtlenség szerint m < m b + m c t < t b + t c 755 Tekintsük hsáb oldlélekre merôleges síkmetszetét, PQR-et! A síkr merôleges egyenes tétele mitt AD RP és AD QP RPQ két oldllp szöge A síkmetszet sokszög belsô szögeinek összege egyenlô z oldllpsíkok áltl bezárt szögek összegével A bizonyítás tetszôleges n oldlú hsábr elmondhtó n oldlú hsáb síkmetszete n-szög, ezért (n - ) $ 0 szögek összege 755

2 Hsáb 756 Írjuk fel felszínt és térfogtot z élekkel kifejezve A számtni és mértni közép b + bc + c közötti egyenlôtlenséget hsználjuk fel A $ (b + bc + c) 6 $ b b bc bc c c $ ( b+ c) b$ ( c+ ) c$ ( + b) $ 6 $ $ $ bc + b$ c + c$ b $ 6 $ $ 6 bc b c 6 b c 6 V $ $ $ Egyenlôség b c esetén Állndó térfogt mellett minimális felszínû tégltest kock 757 Vágjuk fel hsáb plástját z AAl él mentén, és terítsük ki síkb A kiterített pláston z út ( PPl szksz) megrjzolhtó 75 A kimetszett síkidom merôleges vetülete z lplp síkjár hsáb lplpj Felhsználjuk, hogy vetület területe metszô sík lplppl vett hjlásszögével kiszámíthtó: 50 tl t $ cos 50 t$ cos5 t 0 cm $ r 759 t n t n m tg $ n n n $ m$ n$ $ ABO $ $ V t $ m r r tg tg n n $, $ $ 760 V tlp$ m 956, cm $, $, 0 76 V tlp$ m 7, 65 cm r tg 76 Az lpterület Heron-képlettel: tlp s( s-)( s-b)( s- c), hol + b + c s 9 cm s 6,5 cm tlp 6, 5 $, 5 $, 5 $ 0, 5 69, cm Vhs b tlp$ m 69, $ 56 cm Ahs b $ tlp+ Klp$ m $ 69, + 9 $ 96, 6 cm 76 Az lplp háromszögre (, m; b,7 m; 5, ) lklmzzuk szinusztételt: b sin b 7, sin b sin b 0, 66 b, 6 (Mivel b <, b nem tompszög) c 0 - ( + b) 0,0 tlp, m sin, sin 5, b $ $ sinc V V tlp$ m m t lp 6, 75, 66 m, m 75, V M dm 0, m V 56 dm t 95, dm u 0, M

3 Hsáb Az lplp szbályos háromszög, ezért m FCCl derékszögû háromszögben m m $ tg{ tg{ A síkmetszet és z lplp szöge ClFC { 6,7 V t m $ $ tg{ $ $ tg{ V 7 dm 766 A $, + 0 $ 5 á, 56 cm ; V, $ 5 á, cm 767 Legyen cm, b 9 cm, c 6 cm x, 5 cm, m cm ATD derékszögû háromszögben Pitgorsz-tétel: m ( c) m 9 -,5 ( 6) $, 65 m á,65 cm tlp , 95 cm A t lp + K lp $ m $ 59, $ á 65 cm V t lp $ m 59,95 $ á 677, 9 cm 76 V t lp $ m 0,96 $,6 0,6 m 6 dm m b u $ V,5 $ 6 09, kg b 769 A térfogtok rány egyenlô lesz z lpterületek rányávl : b $ tg 5 $ $ $ tg 5 $ t htszög 6 $ ; t tizenkétszög $ 9$ tg 5 $ J N K t htszög : t tizenkétszög O : `9$ tg5 $ j K O L P, 077 6$ tg 5 tg V hsáb 9 cm ; A hsáb á, 7 cm 769

4 6 Hsáb 77 m m+ 77 A hsonlóságból következik, hogy x m 6, + m, m x,65 m A cstornát tekinthetjük húrtrpéz lpú egyenes hsábnk:, 65 t, 5 lp + $ m másodperc ltt, m ór ltt 500 m, vgyis hsáb mgsság 500 m V t lp $ m,5 $ m 77 Tekintsük z 767 ábrát Legyen b 7, m, c m, m 6m, m 50m A töltés tekinthetô olyn húrtrpéz lpú hsábnk, melynek mgsság 50 m Pitgorsz tétele mitt x 7, - 6 6, m AB DC + x + $,6 á 6, m V t $ m ( 6, + ) $ , $ m 77 Az lplp egy egyenlô szárú derékszögû háromszög oldli ; ; $ m J N K O A t lp + K lp $ m, zz 5 $ + + $ $ m 9 b+ l $ m K O L P 9 9b - l$ 9b- l m b+ l 9b- l V tlp $ m $ 9b- l 5, 7m 77 m 77 sin, 9 6, 0 dm és cos, 9 9, 9, 60, $, m, dm A hsáb t lp + K lp $ m $ + + (, 60+ $ 9,) $, 6 6 dm 60 V hsáb t lp $ m, $, $, 6 65 dm 775 A hsáb t lp + K lp $ m $ + m $, zz 5, , 0 < 0, ez nem lehet egy szksz hossz; 0,7 dm V tlp$ m 0, 7 $ $ m 0 5, 6 $ dm

5 Tetréder V 695 dm ; A 506, dm 777 V 7 79 cm ; A 66 cm 77 V t m 5 sin, 7 0, lp$ $ $ dm 779 Az lpterület Heron-képlettel: t lp ss ( -)( s-b)( s- c) 9, 5 $ 9, 5 $, 5 $ 6, 5 59, 9 dm V t $ b$ sin 69, 6 59, 9 $ 5 $ sin 69, 6 67dm, 67 m lp l; b 70 l; d 7 dm; r dm; { 60 r $ sin á,6 dm; b r $ sin b áá5,65 dm; c 59,66 b sin c tlp, dm V tlp$ d$ sin { 6 dm 70 Tetréder 7 rész: mg test rész: csúcsokhoz cstlkozó triéderekbôl rész: lpokhoz cstlkozó térrészekbôl 6 rész: z élekhez cstlkozó térrészekbôl Összesen: 5 rsz e 7 Az ABC súlypontjár A E; BCD S A súlypontjár DS A S A E AED ben párhuzmos szelôk tételének megfordítás mitt S A ; DA párhuzmos szelôszkszok tételét lklmzv S A AD SA S D S + ADS, mert szögeik páronként egyenlôk SAS SDS m S z AS AS A, illetve D szkszok S A -hoz, illetve -hez közelebbi negyedelôpontj Páronként bármely két lphoz trtozó súlyvonl metszéspontjáról beláthtó fenti negyedelés A súlyvonlk egy pontbn metszik egymást Ezt pontot tetréder súlypontjánk nevezzük 7 Tekintsük z 7 ábrát Az 7 feldtbn láttuk, hogy S A ; DA és z S A S középpontosn hsonló z ADS-höz z S pontr vontkozón m S - ránnyl Igz továbbá, hogy S A E középpontosn hsonló DAE- höz z E pontr vontkozón m E ránnyl EF 7 súlyvonl z AED-ben; EF + S A G; F képe G z E középpontú hsonlóságbn EG súlyvonl z S A E- ben G felezi S A -t SG súlyvonl z S A S-ben; SF súlyvonl z ADS-ben Mivel S A képe AD z S középpontú hsonlóságbn SG képe SF ugynbbn hsonlóságbn A középponton átmenô egyenes invriáns, így F, S, G és E egy egyenesen vnnk FE átmegy S-en Az E középpontú hsonlóság mitt GE FE;

6 Tetréder 7 75 z S középpontú hsonlóság mitt FS FG FS (FE - GE) (FE - FE) $ FE FE Tehát S felezi FE-t 7 Az 7 feldtbn láttuk, hogy AlDlE + + DAE, m hsonlóság rány, E hsonlóság középpontj AlDl;DA és AlDl DA Hsonlón beláthtó ez többi élpárr is A két tetréder élei páronként párhuzmosk A súlypontok áltl meghtározott tetréder éle hrmd z eredeti tetréder élének 75 Az 7 feldtbn láttuk, hogy ClAl AC és ClAl i AC ClAl i [ABC] CllAll i AC és CllAll ClAl AC Hsonlón beláthtó, hogy AllBll i AB és AllBll 76 AB, vlmint BllCll i BC és BllCll BC 76 Legyen S AB z AB él felezô merôleges síkj Bármely P! S AB esetén PA PB Legyen S BC z BC él felezô merôleges síkj Bármely Q! S BC esetén QB QC S BC nem párhuzmos S AB -vel, mert AB sem párhuzmos BC-vel S AB + S BC m ABC létezik, és merôleges [ABC]- re Bármely R! m ABC esetén RA RB RC, mert R benne vn mindkét felezô merôleges síkbn Legyen S AD z AD él felezô merôleges síkj Bármely T! S AD esetén TA TD S AD nem párhuzmos m ABC -vel, mert m ABC merôleges z [ABC] síkr, de S AD nem merôleges rá Legyen S AD + m ABC K K! m ABC KA KB KC; K! S AD KA KD A két állításból KD KC K! C, tehát negyedik él felezô merôleges síkj is átmegy K-n KA KB KC KD mitt K középpontú, KA sugrú gömb z ABCD tetréder köré írhtó gömb 77 Legyen S [ABD], S [BCD], S [ACD], S [ABC] S és S lpszögének szögfelezô síkj R Bármely P! R esetén d(p; S ) d(p; S ) S és S lpszögének szögfelezô síkj R Bármely Q! R esetén d(q; S ) d(q; S ) Legyen R + R e (D! e, mert D! S, D! S ) Bármely R! e esetén d(r; S ) d(r; S ), mert R! R d(r; S ) d(r; S ), mert R! R A két állításból d(r; S ) d(r; S ) R rjt vn z S és S síkok lpszögének szögfelezô síkján, R síkon D! R és R! R mitt e R + R + R Legyen R z S és S síkok lpszögének szögfelezô síkj e nem párhuzmos R síkkl, mert kkor tetréder áltl körülzárt térrész nem trtlmzhtná mindkettôt e + R O létezik O! e mitt d(o; S ) d(o; S ) d(o; S ); O! R mitt d(o; S ) d(o; S ) A két állításból d(o; S ) d(o; S ) O! R Hsonlón beláthtó, hogy O! R, tehát belsô szögfelezô síkok egy pontbn metszik egymást Ez z O pont egyenlô távol vn tetréder lpsíkjitól O köré d(o; S i ) sugrú gömb írhtó, mi érinti lpsíkokt