Geometria. A geometria vagy mértan a geo+metros= földmérés szóból ered, görög tudósok és egyiptomi földmérnökök tapasztalataira épül.

Átírás

1 Geometri A geometri vgy mértn geo+metros= földmérés szóól ered, görög tudósok és egyiptomi földmérnökök tpsztltir épül. Az euklideszi geometri lpfoglmkr, lpreláiókr és xiómákr épül. - lpfoglmk: például egyenes, szög, sík, st. - lpreláiók: például illeszkedik, párhuzmos, mer leges, st. - xiómák (izonyítás nélkül elfogdunk, mert nyilvánvlók) például két különöz pont meghtároz egy egyenes, három különöz pont meghtároz egy síkor, egy egyeneshez, egy küls ponton át skis egy párhuzmos fektethet, st. A fontos eredményeket tételek formáján foglmzzuk meg, például Pitgorász tétele: H egy háromszögen A=90, kkor = + ; Thálesz tétel, három mer leges tétele, st. A tételeket izonyítni kell! Létezik külön síkgeometri és külön térgeometri, más-más xiómákr épülnek. Alkztok és osztályozásuk és tuljdonságik A síkeli lkztokt még síkidomoknk, téreli lkztokt testeknek is nevezzük. Legegyszer síkeli lkztok: vonlk, melyek lehetnek nyitott vgy zárt, egyszer vgy összetett, törött vonlk vgy göre vonlk, st. A legfontos lkztok háromszögek, melyek lehetnek - áltlános: hegyesszög, derékszög, tompszög - sjátos vgy speiális háromszögek: szályos (egyenl oldlú), egyenl szárú, derékszög -egyenl szárú, st. Tétel: háromszög els szögeinek z összege 0. Bizonyítás párhuzmossági xiómávl:

2 Tétel: legyenek,, háromszög oldlink hossz. Akkor érvényes háromszög egyenl tlenség: + >, + >, + > Összefüggések derékszög háromszögen: - Pitgorász tétele: = + - Befogó tétele: = q, = p -. Mgsságtétel: m = p q -. Mgsságtétel: m m - Terület: T Pitgorászi számhármsok: (k, k, k);(k, k, k); (9k, 0k, k), st. Továi fontos lkztok négyszögek: lehetnek konvex vgy konkáv, áltlános vgy sjátos. Sjátos négyszögek: Tétel: négyszög els szögeinek z összege 60 Bizonyítás: felontjuk két háromszögre

3 Sokszögek: Különös fontossággl írnk konvex és konkáv lkztok: A speiális lkztok egy osztályát sokszögek képezik. nn ( ) Tétel: egy n oldlú konvex sokszög átlóink szám nn ( ) nn ( ) Az átlók szám: n n n Tétel: egy "n" oldlú konvex sokszög els szögeinek összege = (n - )0 A izonyítás: konvex sokszöget egy súsól kiinduló átlókkl háromszögekre ontjuk. A háromszög els szögeinek z összege 0. Osztályozásuk: konvex és konkáv, áltlános és szályos. A szályos sokszögek lehetnek konvex vgy konkáv (sillg) sokszögek: A kör, körikk, körgy : Kör kerülete: K R, területe T R K, D=R D, hol,

4 Mértni testek (idomok) Nem szályos síklpú testek (szögletes testek)

5 Szályos síklpú testek (szögletes testek)

6 Göre felület testek Göm felület testek 6

7 Síkeli trnszformáiók A geometrii trnszformáiók geometrii lkztok átformálásáról szólnk. Mérete: megmrdht, nyúlht, kisiny lhet. Alkj változik vgy nem. A geometrii trnszformáió olyn T : függvény, melynek értelmezési trtomány és z értékkészlete is ponthlmz. Jelölje M' TM ( ) egy M pont trnszformáltjánk képét. A trnszformáióknk típusi: ) Egyevágósági trnszformáiók: nevezzük zokt geometrii trnszformáiókt, melyen ármely két pont távolság egyenl képeik távolságávl, vgyis d( A, B) d( T( A), T( B)) (izometri). Ezért z egyevágósági trnszformáiókt szokás távolság trtó trnszformáióknk is nevezni. Típusi: eltolás, forgtás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, súszttv tükrözés és identitás. ) Hsonlósági trnszformáiók: ármely szögtrtó trnszformáió. El állíthtó egy középpontos hsonlósági trnszformáió és egyevágósági trnszformáió egymás utáni végrehjtásávl. Fennáll: z A' B ' k AB, hol k>0 hsonlósági rány. H k (0,) kkor kisinyítés, h k= kkor kongrueni, h k> kkor nyújtás. ) Topológii vgy folytonos trnszfromáió: z lkztoknk egymás vló átvitelének z módj, melyen megengedett nyújtás, svrás, összenyomás, de nem megengedett szkítás, lyuksztás, rgsztás, st. 7

8 Def.: Két lkzt egyevágó, h vn olyn egyevágósági trnszformáió, mely z egyik lkztot másik viszi. (Jele: A B ) Háromszögek egyevágóságánk lpesetei: Két háromszög kkor és sk kkor egyevágó, h következ feltételek egyike teljesül: () megfelel oldlik hossz páronként egyenl ; () két-két oldluk hossz páronként egyenl, és z ezek áltl ezárt szögek egyenl k; ' ' ' ' ' () egy-egy oldluk hossz és rjtuk fekv két szögük páronként egyenl ; ' () két-két oldluk hossz páronként ' egyenl, és két-két oldl közül ' hosszl szemközti szögek egyenl k. (, ' ' ) Def.: Két lkzt hsonló, h vn olyn hsonlósági trnszformáió, mely z egyik lkztot másik viszi. (Jele: A B ) Háromszögek hsonlóságánk lpesetei: Két háromszög kkor és sk kkor hsonló, h következ feltételek egyike teljesül: () megfelel oldlik hosszánk rány páronként egyenl ; : ' : ' : ' () két-két oldlhosszuk rány egyenl, és z ezek áltl ezárt szögek egyenl k; : ' : ' () két-két szögük páronként egyenl ngyságú; ' ' () két-két oldlhosszuk rány egyenl, és e két-két oldl közül hosszl szemközti szögek egyenl k. : ' : ' (, ' ' )

9 Alkztok átdrolás Az lkztok átdrolási m velete következ részm veletek l: feldrolás, átrendezés és összeillesztés. Péld erre z srégi kíni Tngrm nev kirkós játék: Pitgorász tétele is izonyíthtó átdrolássl: T T T 6 7 T T6 T7 Az átdrolhtóság feltétele: Bolyi-Gerwin Tétele: Az egyenl terület sokszöglpok átdrolhtók egymás. Egy átdrolási prdoxon: Leolvshtó, hogy T : 6 és T : 6 mivel BD átló mentén hézg mrd, ugynis igzolhtó, hogy h ténylegesen DM MB DB lenne, kkor lenne, vgyis , mi lehetetlen. (B veen témkört lásd pl. TK és.-. oldlon) D A M C B 9