Lécgerenda. 1. ábra. 2. ábra

Átírás

1 Lécgerenda Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Karimás csőillesztés már szóltunk arról, hogy a szeezetek számításaiban néha célszerű lehet a diszkrét mennyiségeket folyto - nosan megoszló mennyiségekkel helyettesíteni. Az alábbi feladat is melynek eredetijét az [ 1 ] munkában találtuk példa lehet erre. Most tekintsük az 1. ábrát [ 1 ]! 1. ábra Képzeljünk el egy gerendát a lécgerendát, melyet úgy állítunk elő, hogy az n darab téglalap keresztmetszetű, b x h keresztmetszeti méretű egyenes rudacskát a léceket úgy rendezzük el, hogy a téglalapok középpontjai egy r sugarú körön helyezkednek el, a h hosszabbik oldalukkal párhuzamos szimmetriatengelyük pedig sugárirányban áll. A léceket bizonyos távolságonként egy - egy körgyűrűvel merevítjük a lécek tengelyére merőleges síkokban, amitől a lécek + körgyűrűk gerendaként dolgoznak együtt. A lécek n darabszáma viszonylag nagy, h oldalhossza pedig r - hez képest kicsiny. Meghatározandó a lécgerenda egy x x tengelyre vett keresztmetszeti tényezője. A megoldáshoz először egy segédfeladatot oldunk meg. Ehhez tekintsük a. ábrát is!. ábra

2 Az ábrán egy vékony és tömör körgyűrűt látunk, melynek a külső sugara r k, belső sugara r b, falvastagsága v. Határozzuk meg p poláris másodrendű nyomatékát! Definíció szerint [ ] : p da, ( 1 ) A ahol ~ da: a felületelem, ~ ρ: a gyűrűkeresztmetszet egy tetszőleges pontjának sugara. Fennáll, hogy da d, ( ) így ( 1 ) és ( ) - vel v.ö.: [ ]! : r r k k p da d d r b, 4 A rb r b rb tehát: 4 4 p r b. ( 3 ) Átalakításokkal: r r r r r r r r, ( 4 ) 4 4 k b k b k b k b így ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: p rb r b. ( 5 ) Még tovább alakítva: 1 A p rb rb r b, ( 6 ) ahol k b A r r ( 6 / 1 ) a körgyűrű területe. Ezután: v r, v rb r, ( 7 )

3 3 így ( 6 ) zárójeles tényezője: v v v v rb r r r rv r rv tehát: v v r r, v rb r. Most ( 6 ) és ( 8 ) - cal: A v v p r A r 1, r tehát: r v p Ar 1. ( 8 ) ( 9 ) Abban az esetben, ha fennáll, hogy v r 1, ( 10 ) ami a vékony körgyűrű esete, akkor ( 9 ) és ( 10 ) - zel kapjuk, hogy v.ö.: [ ]! p A r. ( 11 ) A keresztmetszeti terület ( 6 / 1 ) képletét tovább alakítva: rb A rb rb rb v r v, tehát: A r v. ( 1 ) ( 1 ) - höz felhasználtuk a ( 7 ) - ből adódó r b r, v rb ( 13 ) összefüggéseket is.

4 4 Most térjünk vissza eredeti feladatunkhoz! Először végezzük el a diszkrét téglalapoknak egy r sugarú kör mentén való elkenését! Ezt támogatja, hogy n viszonylag nagy szám. Az elkenés által érintett mennyiségeket * - gal különböztetjük meg az eredetiektől. A felületelem egyrészt: nbh da* d, másrészt ( 1 ) - vel is: ( 14 ) da* v* r d ; ( 15 ) most ( 14 ) és ( 15 ) - ből: nbh v*. r ( 16 ) A ( 16 ) képlet adja az adott r sugarú elkent körgyűrű vastagságát. Erre a körgyűrűre alkalmazzuk a segédfeladat eredményeit. Az elkent poláris másodrendű nyomaték ( 9 ) - cel: v* p* A * r 1. r ( 17 ) Most ( 16 ) - ból: n b h v* r n b h ; r r 4r mivel a lécek téglalap keresztmetszetére fennáll, hogy b ch, c 1, így ( 18 ) és ( 19 ) - cel: 4 v* n c h n c h n c h. r 4 r 4 r 4 r ( 18 ) ( 19 ) ( 0 ) Ha figyelembe vesszük az induló feltételt, miszerint h 1, r ( 1 ) akkor ( 0 ) és ( 1 ) szerint vélhető, hogy fennáll a

5 5 v* r 1 ( ) eredmény is. Ekkor azonban ( 17 ) és ( ) - ből: ( 3 ) p* A* r, majd pl. ( 1 ) - ből: nbh A* rv* r nbh, r ( 4 ) így ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: p* n b h r. ( 5 ) A valójában keresett K x keresztmetszeti tényezőt ( 5 ) segítségével számítjuk ki. A Szilárdságtan szerint a folytonos / tömör keresztmetszetre v.ö.: [ ]! : ( 6 ) da x y da x da y da ; p y x A A A A ámde a szimmetria miatt 1. ábra :, ( 7 ) x y vagyis ( 6 ) és ( 7 ) - tel:, ( 8 ) p majd ( 7 ) és ( 8 ) szerint: ( 9 ) p x y. A keresztmetszeti tényező az ismert módon: K x K K, e y ( 30 ) ahol e: a szélső szálak távolsága a súlyponti tengelytől. Minthogy az elkent keresztmetszet folytonos, így alkalmazzuk ( 9 ) - et; ( 5 ) - tel is: * 1 ( 31 ) p * n b h r ; majd ( 7 ) - tel is:

6 6 v* e* r * r. k ( 3 ) Most ( 30 ) - hoz hasonlóan: * K x* K * K*, e* y ( 33 ) így ( 31 ), ( 3 ) és ( 33 ) - mal: 1 n b h r K* 1 n b h r ; v* v* ( 34 ) r 1 r most ( 0 ) - ból: v* nc h ; r 4 r mivel ( 1 ) a feladat feltétele szerint fennáll, így ( 35 ) miatt ( 34 ) - ben v* 1 1, r ( 35 ) ( 36 ) így ( 34 ) és ( 36 ) - tal: 1 K* nbh r. ( 37 ) Most visszatérve az eredeti keresztmetszetre: K K *, ( 38 ) így az 1. ábra szerinti lécgerenda keresztmetszeti tényezőjére kapjuk, hogy: 1 K nbh r. ( 39 ) Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk. Eredményünk egyezik az [ 1 ] - ben közölt, némileg más úton kapott eredménnyel.

7 7 Megjegyzések: M1. Egy kis ellenőrzés: az 1. ábra szerinti esetben n = 16, c = ½, így ( 35 ) szerint: v* 16 h h h ; r 4 r r r ( 40 ) most ( 1 ) szerint legyen h 1 ; ( 41 ) r 10 ekkor ( 40 ) és ( 41 ) - gyel: v* 1, r 100 ( 4 ) így ( ) és ( 36 ) is fennáll, jó közelítéssel. M. A lécgerenda magyarázó modellként jelenik meg [ 3 ] - ban; ld.: 3. ábra! 3. ábra A magyarázat azonban nem a hajlításra, hanem a csavarásra vonatkozik. A lécgerenda megnevezése ott: lécekből összeállított rúd. A 3. ábra esetében a léceket nem állítva, hanem fektetve erősítették rá a merevítő tárcsákra. M3. Az elkenéssel más keresztmetszet - alakú lécekből összeállított rúd / gerenda jellemzőit is megállapíthatjuk közelítőleg, hasonló módon.

8 8 rodalom: [ 1 ] N.. vanov: Szbornyik zadacs po szoprotyivlenyiju matyerialov Gosztyehizdat, Moszkva ~ Leningrad, [ ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 3 ] Hans G. Steger ~ Johann Sieghart ~ Erhard Glauninger: Műszaki mechanika 1.: Statika, súrlódás, szilárdságtan B+V Lap - és Könyvkiadó Kft., Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Sződliget, 011. július 1. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár