Kör kvadratúrája. Ezzel a címmel találtunk egy ábrát [ 1 ] - ben 1. ábra. 1. ábra

Átírás

1 1 Kör kvadratúrája Ezzel a címmel találtunk egy ábrát [ 1 ] - ben 1. ábra. 1. ábra Ez az ábra hibás, hiába javított kiadásról van szó. Nézzük, miért! Az ábrázolt kék kör és rózsaszín négyzet területe egyenlő. Legyen a kör sugara r, a négyzet oldalhossza h! Ekkor a területegyenlőségi feltételből: = h h =. ( 1 ) Ha adott r, akkor a megfelelő h - t ( 1 ) adja meg. Az 1. ábra azért hibás, mert a h / 2 - nek megfelelő, ( 1 ) szerinti helyes x - koordináta az ábrán feltüntetett érték fele. Viszont ( ismét ) eszünkbe jutott az 1. ábráról egy másik probléma - kör: a fahengeres gerenda - keresztmetszetek témája. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra

2 2 Itt berajzoltuk a h oldalú négyzethez tartozó, vele egyező területű, r sugarú kört. A pirosra és zöldre színezett síkidomok területe megegyezik. A szürke síkidom megfelel egy olyan fagerenda keresztmetszetének, melyet az r sugarú hengeres rönkből fűrészeltek ki, h laptávval, szimmetrikusan. Most ezt a fahengeres keresztmetszetűnek nevezett gerendát vesszük szemügyre, alaposabban. Foglalkoztunk már ilyesmivel korábban is, de itt nem lesznek olyan bonyolultak a számításaink, mint akkor. Ehhez lásd például a Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással című korábbi dolgozatunkat is! Először is határozzuk meg az 1. ábrán bejelölt α szöget! cos = / = ; ( 2 ) majd ( 1 ) és ( 2 ) szerint: cos = = = arccos 27,597. ( 3 ) Majd gyakorlásként határozzuk meg a 2 α középponti szöghöz tartozó körszelet területét! Ezt a 2 α középponti szöghöz tartozó körcikk és háromszög területének különbségeként állítjuk elő: ö!"#"$ = ö%& á)*!ö+. ( 4 ) A szükséges részeredményekhez így jutunk:, -ö./0-- = 1 = 1, -ö ö%& = 1 ; ( 5 ) 564 á)*!ö+ = = 5 sin<2 = = 5 sin<2 =; ( 6 ) Most ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) - tal: ö!"#"$ = sin<2 = ; ezt átalakítva: ö!"#"$ = > sin<2 =?, ( 7 ) ahol α a ( 3 ) képlet szerinti. Ne feledjük, hogy a négyzet ( zöld ) sarok - idomának is ugyanekkora a területe! Azaz: 9) = ö!"#"$. ( 8 )

3 3 A továbbhaladáshoz tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra Innen: +A = 45 A = 45. ( 9 ) A k húrhossz értéke: C = 2 sina, ( 10 ) majd ( 9 ) és ( 10 ) - zel: C = 2 sin<45 =. ( 11 ) A k húrhossz ( fahengerességi méret ) és a h laptáv A aránya ( 1 ) és ( 11 ) - gyel: D = = EFG<HI J1= = EFG<HI J1=. ( 12 ) A régebbi fás szabványok az A viszonyszám függvényében úgy rendelkeztek, hogy II. és III. osztályú faanyagnál ma: építőfa minőségű faanyagnál : D 5 H ~5 2. ( 13 ) Ehhez lásd pl.: [ 2 ]! Számszerűen ( 3 ) és ( 13 ) - mal: D = EFG<HI JM,INM = 0,3375. ( 14 ) Ez talán még beleférhet a ( 13 ) szerinti korlátozásba.

4 4 Ha a h oldalú négyzetet teljesen ép éllel akarjuk kimunkálni, akkor legalább a 3. ábra szerinti R sugarú hengeres fára lesz szükség. E sugár nagysága az ábra alapján: Q = 2. ( 15 ) Most ( 1 ) és ( 15 ) szerint: Q = 2 = R. ( 16 ) A két sugár aránya: S = R = 1,2533 1,26, ( 17 ) a két kör keresztmetszeti területének aránya, ( 17 ) - tel is:, W = SX =,. X YS Z = = 1,5708 1,58. ( 18 ) A ( 17 ) és ( 18 ) eredmények azért érdekesek, mert feltűnt, hogy a [ 3 ] munka arról ír, hogy az akkori német szabályzatok ( DIN 4074 ) szerint négyzet keresztmetszet esetén 26 % - kal nagyobb átmérő és 58 % - kal nagyobb keresztmetszeti területű hengeres faanyag szükséges a fagerenda előállításához, ha az éles sarkokhoz ragaszkodunk. Ez azt is jelentheti, hogy a német szabályzatokat részben a fenti ábrák szerinti módon, vagyis a megfelelő kör és négyzet területének egyenlőségére alapozva alakíthatták ki. Érdekes Megjegyezzük, hogy az újabb DIN 4074 szerint a K viszonyszámot ( is ) alkalmazzák ld.: 4. ábra, [ 4 ]! 4. ábra

5 5 Eszerint a K tört értékére rónak ki korlátozást, a minőségi osztálytól függően. Összegzés: ~ ha adott r sugarú hengeres fából h laptávú fahengeres keresztmetszetű gerendát akarunk előállítani, akkor a területegyenlőségi feltétel alapján a gerenda laptávjára: h = ; ~ megfordítva: ha megengedett a fahengeresség, akkor használható feltétel lehet a kör és a négyzet területegyenlősége, mely szerint a h laptávú fahengeres keresztmetszetű gerenda előállításához megfelelhet az = sugarú hengeres fa is; ~ ha egy h oldalú négyzet keresztmetszetű gerendát ép éllel kívánunk előállítani, akkor szükség van az Q = 2 legkisebb sugarú rönkre; ~ a fahengeresség mértékéül választhatók a 3. ábra szerinti D =, vagy a 4. ábra szerinti \ = J ], stb. viszonyszámok, melyek nagyságára a szabályzatok korlátozásokat tartalmaz - nak, a faanyag minőségi osztályának függvényében. Források: [ 1 ] Fritz Reinhardt ~ Heinrich Soeder: Atlasz Matematika 3., javított kiadás, Athenaeum Kiadó Kft., [ 2 ] Telekes György: Ács - állványozó szakmai ismeret I III. 6. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [ 3 ] Szerk.: Palotás László: A fa mint építőanyag benne Hilvert Elek: A MOSZ Faszerkezetek építésére vonatkozó előírások szabványtervezet gazdasági jelentősége c. fejezet A Budapesti Építőmesterek Ipartestülete, Budapest, [ 4 ] Peschel ~ Dickel ~ Nennewitz ~ Seifert ~ Steinle: Zimmerer Tabellenbuch 2. Auflage, Verlag Europa - Lehrmittel, Nourney, Vollmer Gmbh & Co. KG, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár