Az optimális csatorna - keresztmetszet feladatáról

Átírás

1 z imális csatorna - keresztmetszet feladatáról Ez a idraulikai proléma már az egyetemi tanulmányok során is érdekesnek tűnt. Most valamiért újra előjött. Talán azért, mert a vizsgán proléma adódott ezzel kap - csolatan; talán azért is, mert a szélsőérték - feladatok sok morfondíroznivalót tarto - gatatnak. z iztos, ogy az ismétlés / emlékeztetés sosem ártat. z első feladat felvezetésez tekintsük az 1. árát is! 1. ára Forrása: [ 1 ]. Itt egy szimmetrikus / egyenlőszárú trapéz alakú vízszállító csatorna keresztmetszetét szemléletjük. Jelölések: : a csatorna fenékszélessége ( m ); : a vízmélység ( m ); : a csatorna oldalfalainak ajlásszöge ( fok ); ρ: a rézsűajlás ( ); : a csatorna - keresztmetszet nedvesített területe ( m ); P: a csatorna - keresztmetszet nedvesített kerülete ( m ). z alapvető gondolatmenet az alái. Egy csatorna vízozama: Q = v átl, ( 1 ) aol: Q: a vízozam ( m 3 /s ) v átl : a víz átlagos seessége a csatornáan ( m / s ). mederalak idraulikailag akkor kedvező, a a leető legnagyo vízozamot képes iztosítani. Mintogy a vízozamot az elszivárgás is csökkenti, ez pedig a meder - keresztmetszet nedvesített kerületével arányos, így az a mederalak lesz a kedvező, amelynél adott mellett P a leető legkise. Ez a szélsőérték - feladat lényege. Emellett a nagyo nedvesített kerület nagyo súrlódást, vagyis a mozgást akadá - lyozó erőt is jelent. Eszerint a relatíve kis P kétféleképpen is támogatja a nagy Q - t.

2 megoldás során felasználjuk még a [ ], [ 3 ], [ 4 ] munkákan olvasottakat, valamint egyetemi tanulmányaink egy - egy emlékét is. Megoldás nedvesített szelvény területe az 1. ára jelöléseivel: + ( + ctg) = = ( + ctg ) = + ctg, azaz: = + ctg. ( ) Átalakítással: ctg. = + Bevezetve a =, ρ = ctg ( 3 ) ( 4 ) rövidítő jelöléseket, ( 3 ) és ( 4 ) - gyel kapjuk, ogy = + ρ. ( 5 ) nedvesített kerület számítása: P = + + = + + = + + ρ P ctg 1 ctg 1, = ρ. ( 6 ) Bevezetve a ρ ' = 1+ ρ ( 7 ) úja rövidítő jelölést, ( 6 ) és ( 7 ) - tel: P = + ρ '. ( 8 ) Ismét kiemeléssel:

3 3 P = + ρ'. ( 9 ) Most ( 4 / 1 ) és ( 9 ) - cel: P = + ρ '. ( 10 ) z eddigi eredményeket összefoglalva, ( 5 ) és ( 10 ) szerint: = + ρ, P = + ρ'. Most fejezzük ki - t ( 11 / 1 ) - ől! Ekkor: =. + ρ ( 11 ) ( 1 ) Majd ( 1 ) és ( 11 / ) - vel: 1/ P = ( + ρ ') = ( + ρ) ( + ρ' ), + ρ azaz: 1/ P ;, ρ = + ρ' + ρ. ( 13 ) Mintogy a nedvesített keresztmetszetet és a rézsűajlást adottnak / rögzítettnek tekintjük, így a nedvesített kerület csak a viszonyszám függvénye; ezért P szélső értékének feltétele: dp d = 0. szorzat deriválási szaálya szerint, ( 13 ) és ( 14 ) - gyel is: dp ( ) 1/ 1 3/ = { 1 ( + ρ ) + ( + ρ' ) ( + ρ ) = 0, d innen: ( + ρ ) ( 14 ) ρ' + ρ' = = 3 ( + ρ ) = + ρ' + ρ = + ρ' = ρ' ρ, + ρ + ρ

4 4 teát a és méretek imális aránya: = ρ' ρ. ( 15 ) Ezután ( 4 / ), ( 7 ) és ( 15 ) - tel: = ρ ρ = + ρ ρ = + ρ ρ = + ' ctg ctg, = = ( 1 + ρ ρ), ( 1 ctg ctg ). ( 16 ) = = + zonos átalakításokkal: 1 = 1+ ctg ctg = ctg tg 1 ctg = + = tg 1 cos 1 cos = = = tg, sin sin sin 1 cos = =, sin = = tg. ( 17 ) ( 16 ), ( 17 ) képletek különöző alakokan fejezik ki az imális méretek arányának a rézsű ajlásától való függését. Most tekintsük a. árát! ( Ennél kicseréltük az eredeti vízmélység - jelölést - ra, az eredeti ajlásszög - jelölést pedig - ra. ) Itt azt látjuk, ogy a a vízfelszín közepén felvett O pontól sugarú kört rajzolunk, akkor az adott ajlásszög esetén megszerkesztett imális szelvényalakra a fenék és a falak a kör érintői. Ezt fejezi ki a ( 17 / ) képlet is: / tg. = ( 17* )

5 5. ára Forrása: [ 3 ] Most számítsuk ki az imális fenékméretet, a a vízmélységet tekintjük független változónak! Először felírjuk - ot, vagyis az imális trapézszelvény - alakoz tartozó vízmélységet, a ( 1 ) képlettel: = ; + ρ ( 18 ) majd ( 16 / 1 ) - ől: + ρ = + ρ ρ + ρ = + ρ ρ 1 1, + ρ = 1 + ρ ρ. ( 19 ) Ezután ( 4 / ) és ( 19 ) - cel: 1 + ρ = 1+ ctg ctg = ctg 1+ 1 ctg = 1 cos cos = ( 1+ tg 1 ) = =, tg sin sin sin + ρ = cos sin. ( 0 )

6 6 Most ( 18 ) és ( 0 ) - szal: sin = = cos cos sin, = sin cos. ( 1 ) Majd ( ) - ől: ctg = + ctg = = ctg, = ctg. ( ) ( 1 ) és ( ) képletek megegyeznek [ 3 ] - eli megfelelőikkel. Egyé képlet - alakok ( 17 ) - ől, ( 1 ) - gyel is: = tg, sin 1 cos =. cos sin ( 3 ) z R idraulikus sugár R = ( 4 ) P szerinti evezetésével, valamint a ( 11 ) képletekkel is: ( + ρ) ρ' ρ + ρ ρ' ρ R = = = = + ρ' ρ' ρ + ρ' ρ' ρ ( ), R =. ( 5 )

7 7 [ ] megfogalmazásával: a idraulikailag legkedvező szelvényű csatornákra vonatkozóan a idraulikus sugár a vízmélység felével egyenlő. Végül ( 1 ) és ( 5 ) - tel: R 1 sin =. cos ( 6 ) Ez a képlet írja le az imális idraulikus sugár kifejezését, a nedvesített szelvény - keresztmetszet és a rézsűajlás adott értéke esetén. Megjegyzések: M1. z [ 1 ] internetes anyagan képletéen a második - es szorzó már felesleges, a ( 16 / 1 ) képlet tanúsága szerint. M. ( 17 ) - en rögzített trigonometriai azonosság egyszerűen elátató a 3. ára alapján is: 3. ára M3. rézsűajlás értéke tö tényezőnek is függvénye; pl.: a rézsűállékonyságé, a elyigényé, st. [ 1 ]. M4. [ ] és [ 3 ] munkáan az ittenitől eltérő levezetéssel jutottak ugyanezen ered - ményekez. z itteni megoldást véletőleg az egyetemi tanulmányok emlékei is inspirálták. M5. Létezet másfajta megközelítése is a szelvény - megatározás feladatának. Ezt vizsgáljuk meg a következőken.

8 8 Egy másik trapézszelvény - megatározási feladat z [ 5 ] munkáan egy másfajta trapéz - szelvény megatározásának feladata lett kitűzve. második feladat felvezetéséez tekintsük a 4. árát is! 4. ára dott egy l osszúságú, trapéz keresztmetszetű árok / kis lejtésű csatorna, melynek anyagi oldalai egyaránt a osszúságúak. Keressük azt az ajlásszöget, amelynél az árok / csatorna térfogata maximális. Megoldás z árok térfogata: V = l, ( 7 ) aol ~ : az árok keresztmetszeti területe, ~ l: az árok ossza. z árok térfogata adott l - nél annál nagyo, minél nagyo. közvetlen feladat ~ adott: a, ~ keresett 0, melyre ( 0 ) = max. z árok keresztmetszeti területe, a 4. ára jelöléseivel: a + ( a + ) = = ( a + ), = a + ( 8 ).

9 9 Tová részletezve: = a cos, = a sin. ( 9 ) Most ( 8 ) és ( 9 ) szerint: = a + a cos a sin = a 1+ cos sin, a = 1+ cos sin. ( 30 ) - nak ott leet szélsőértéke, aol d = 0. d Elvégezve ( 30 ) deriválását: d = a ( sin ) sin + ( 1+ cos ) cos ; d ( 31 ) ( 3 ) most ( 31 ) és ( 3 ) - vel: sin + 1+ cos cos = 0 ; rendezve: 1+ cos cos = sin ; : sin cos 1+ cos sin = ; sin cos de a 3. áráról leolvasatóan: 1+ cos = ctg, sin így az előző sor átírva: ctg = tg ; majd a ctg = tg 90 összefüggéssel átírva az előző sort:

10 10 tg 90 = tg ; innen az argumentumok egyenlősége: 3 90 = 90 = = 60, 0 = 60. ( 33 ) szélsőérték nagysága ( 30 ) és ( 33 ) - mal: = ( 0 = ) = a ( + ) = a + = a cos 60 sin 60 1, 0 = a. ( 34 ) szélsőérték fajtája a második deriválttal: d d d d = = { a sin + cos + cos } = d d d d a = sin cos cos sin sin a + = = a + = + 4 sin cos sin sin sin, majd ezzel: d = a 60 ( sin 60 + sin 60 ) =,598 a < 0, = d teát a szélsőérték maximum. ( 34 ) alapján mondatjuk, ogy e második feladatra a megoldás: egy szaályos atszög fele 5. ára. 5. ára

11 11 Megjegyzések: M1. [ 1 ] - en mindkét itt vizsgált trapéz - keresztmetszetet mint leetőséget megemlítik. M. Eddig nemigen foglalkoztunk azzal, ogy a csatorna lejtéssel / eséssel ír, így a függőleges síkan rajzolt trapéz f területe nem egyezik meg a tényleges kereszt - metszeti területtel 6. ára. Valójáan a Geometria tanítása szerint: = f cos, amelyől kis értéke esetén: f. 6. ára Irodalom: [ 1 ] ttp:// SN6/kfm3_meder.pdf [ ] I. I. groszkin ~ G. T. Dmitrijev ~ F. I. Pikalov: Hidraulika Tankönyvkiadó, Budapest, 195. [ 3 ] Hjalmar Tallqvist: Leruc der tecniscen Mecanik II. Helsingfors ctiengesellscaft Lilius & Hertzerg, [ 4 ] Ferdinand Wittenauer: ufgaen aus der tecniscen Mecanik, III. Band 3. uflage, Verlag von Julius Springer, Berlin, 191. [ 5 ] George B. Tomas ~ Maurice D. Weir ~ Joel Hass ~ Frank R. Giordano: Tomas - féle KLKULUS, I. kötet Typotex Kiadó, Budapest, 006. Sződliget, 01. októer 15. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár