GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
|
|
- Mihály Dudás
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
2
3
4 ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
5 Vázlat 1 2 3
6 Az és a polinomok halmaza Az és a polinomok halmaza között nagyon sok hasonlóság van, abban az értelemben, hogy ugyanolyan m veletekre nézve zártak. Két egész szám összege vagy különbsége egész szám, ahogyan a polinomok összege vagy különbsége is polinom. Ugyanígy két egész szám szorzata is egész szám, ahogyan két polinom szorzata is polinom, és ez a három m velet rendelkezik a szokásos m veleti tulajdonságokkal is. Két egész szám hányadosa azonban már nem feltétlenül lesz egész, ahogy két polinom hányadosa sem lesz minden esetben polinom. (Azokat a halmazokat, amelyeken ilyen típusú m veleteket tudunk végezni, az algebrában gy r knek nevezzük.) Ezt kihasználva, nagyon sok eredmény egy az egyben átvihet az halmazáról a polinomokra. A valós együtthatós polinomok halmazát ezután R[x]-szel jelöljük, és legyen p R[x] p 0 esetén gr(p) a polinom foka.
7 A maradékos osztás Tétel Legyen a, b Z, b 0. Ekkor egyértelm en létezik q, r Z, hogy a = qb + r és b > r. Tétel Legyen p 1, p 2 R[x], p 2 0. Ekkor egyértelm en léteznek olyan q, r R[x] polinomok, melyekre p 1 = p 2 q + r és gr(p 1 ) > gr(r) vagy r = 0. A tétel alapján számos fogalom vihet át az ról a polinomok halmazára, mint például oszthatóság, prím tulajdonság, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös stb.
8 A maradékos osztás egy speciális esete Ha egy gy r n értelmeztük a maradékos osztást, akkor az oszthatóság fogalmát is értelmezni tudjuk, hiszen azt mondhatjuk, hogy az egyik polinom osztója egy másiknak, ha a maradékos osztás során a maradék 0. Ilyenkor lényegében szorzattá bontottuk az eredeti polinomunkat. Speciálisan ezért megvizsgálható, hogy egy els fokú polinom osztója-e egy magasabb fokú polinomnak. Ennek a kérdésnek a vizsgálata nem más mint, a polinom egy gyökének megkeresése. Tegyük fel ugyanis, hogy egy p(x) polinomnak osztója x a els fokú polinom, ahol a egy valós szám. Ekkor tudjuk, hogy p(x) = (x a)q(x), ahol q(x) egy harmadik polinom. A jobboldalnak nyílván gyöke az a, de akkor a baloldalnak is gyöke kell legyen.
9 A maradékos osztás a gyakorlatban Nem csak a tétel mondható ki nagyon hasonlóan a polinomok és az körében, de a maradékos osztás írásban nagyon hasonlóan végezhet el mindkét gy r ben. Ezért most egy konkrét példán felelevenítjük, hogy hogyan is oszthatunk el maradékosan két számot egymással írásban. Osszuk el a öt 8-cal : 8 = Balról jobbra haladunk. A 3-at 8-cal osztva 0-t kapunk, ezért az els szám, amit tényleg vizsgálunk a : 8 =4 ( = 6) 6 A mardék mellé lemásoljuk a következ számjegyet, így azt vizsgáljuk, hogy a 26-ban hányszor van meg a : 8 =48 ( = 2) 66 2
10 A maradékos osztás a gyakorlatban (folyt.) Az eljárást tovább folytatva a következ ket kapjuk: : 8 =482 ( = 6) Az eredmény alapján tehát : 8 =4828 ( = 1) =
11 A maradékos osztás a gyakorlatban (folyt.) Most pedig egy másik példán megnézzük, hogyan végezhetjük el nagyon hasonlóan ugyanezt a m veletet polinomok között. Nézzük a kövezkez t: (x 5 + 3x 4 2x 2 + x 2) : (x 2 + x 1) = Az osztásnál a legnagyobb kitev j tagokat vesszük gyelembe. Ebben az esetben az osztandó legnagyobb kitev s tagja x 5, az osztójé x 2. Ezért az eredménypolinom legynagyobb kitv j tagja x 3 lesz. Szorozzuk a kapott tagot az osztóval: x 3 (x 2 + x 1) = x 5 + x 4 x 3. Az így kapott polinomot vonjuk ki az osztandóból, vagyis x 5 + 3x 4 + 2x 2 + x 2 (x 5 + x 4 x 3 ) = 2x 4 x 3 + 2x 2 + x 2. Az eljárást ezzel a polinommal kezdjük el r l. Az egészet röviden a következ képpen jelölhetjük. (x 5 + 3x 4 2x 2 + x 2) : (x 2 + x 1) = x 3 2x 4 x 3 2x 2 + x 2
12 A maradékos osztás a gyakorlatban (folyt.) Ezúttal a 2x 4 -et és az x 2 -et kell gyelembe venni. Ez alapján az eredménypolinom következ tagja 2x 2. Szorozzuk megint vissza az osztandó polinomot, és végezzük el a kivonást is. Így a következ alakhoz jutunk. (x 5 + 3x 4 2x 2 + x 2) : (x 2 + x 1) = x 3 + 2x 2 2x 4 x 3 2x 2 + x 2 3x 3 + x 2 Az eljárást folytatva a következ alakokhoz jutunk. (x 5 + 3x 4 2x 2 + x 2) : (x 2 + x 1) = x 3 + 2x 2 3x 2x 4 x 3 2x 2 + x 2 3x 3 + x 2 3x 2 2 x 2
13 A maradékos osztás a gyakorlatban (folyt.) (x 5 + 3x 4 2x 2 + x 2) : (x 2 + x 1) = x 3 + 2x 2 3x + 3 2x 4 x 3 2x 2 + x 2 3x 3 + x 2 3x 2 2 x 2 x + 1 Az eredményünk alapján tehát: x 5 + 3x 4 3x 2 +x 2 = (x 2 +x 1)(x 3 + 2x 2 3x + 3)+( x + 1).
14 Racionális törtfüggvények Legyen p 1 (x), p 2 (x) R[x]. Ekkor a p1(x) alakú függvényeket p 2(x) racionális törtfüggvényeknek nevezzük. Célunk meghatározni a racionális törtfüggvények primitív függvényeit. El ször is feltehet, hogy gr(p 2 (x)) > gr(p 1 (x)). Ugyanis, ha ez nem így lenne, akkor a polinomosztást felhasználva tudjuk, hogy p 1 (x) = p 2 (x)q(x) + r(x), ebb l p1 (x) p 2 (x) = q(x) + r(x) p 2 (x) = q(x) + r(x) p 2 (x). Az utolsó formában a két integrálból az els egy egyszer polinom integrálása, a második pedig olyan racionális törtfüggvény, ahol a számláló foka alacsonyabb, mint a nevez jé.
15 A törtek átalakítása Tétel Legyen p 2 (x) R[x]. Ekkor p 2 (x) felbontható els - és másodfokú polinomok szorzatára. Ezek alapján a következ alakba írható át az integrálandó: p 1 (x) (x u 1 ) α1... (x u n ) αn (a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) β1... (a k x 2 + b k x + c k ) β. k
16 A törtek átalakítása (folyt.) Tétel Legyen egy racionális törtfüggvény a fenti formában adott. Ekkor egyértelm en léteznek olyan A 1,..., A m, B 1,..., B l, C 1,..., C l R számok (m = α 1 + α α n, l = β 1 + β β k ), melyre a fenti alakban adott racionális törtfüggvény a következ alakba írható: A 1 (x u 1 ) + A 2 (x u 1 ) + + A α1 2 (x u 1 ) + + A m α1 (x u n ) + αn B 1 x + C 1 + (a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) + B 2 x + C 2 (a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) B β1 x + C β1 + (a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) + + B l x + C l β1 (a k x 2 + b k x + c k ) β. k
17 a gyakorlatban A következ példán bemutatjuk, hogy a gyakorlatban hogyan végezhet el a parciális törtekre. El ször azokat az A, B, C számokat keressük, melyekre teljesül, hogy x 2 + x 1 (x 1)(x + 2) = A 2 x 1 + B x C (x + 2) 2. Az összefüggés jobb oldalát közös nevez re hozva kapjuk, hogy A(x + 2) 2 + B(x 1)(x + 2) + C(x 1) (x 1)(x + 2) 2. Láthatjuk, hogy az ebben a formában felírt törtnek a nevez je azonos az eredetivel. Ezért a továbbiakban elegend a számlálóval foglalkoznunk. A számlálóban felbontva a zárójeleket, majd a megfelel tagokat kiemelve kapjuk, hogy (A + B)x 2 + (4A + B + C)x + 4A 2B C.
18 a gyakorlatban (folyt.) Ezt az eredményt az eredeti tört számlálójával összevetve kapjuk, hogy A + B = 1 4A + B + C = 1 4A 2B C = 1. Ha a második két egyenletet összeadjuk, akkor azt kapjuk, hogy 8A B = 0 8A = B. Ezt az els egyenletbe visszahelyettesítve A + 8A = 1 A = 1 9.
19 a gyakorlatban (folyt.) Amib l visszahelyettesítéssel kapjuk, hogy B = 8 9 C = 1 3. Összegezve tehát azt kaptuk, hogy x 2 + x 1 (x 1)(x + 2) 2 = 1 9(x 1) + 8 9(x + 2) 1 3(x + 2) 2.
20 a gyakorlatban (folyt.) Most keressük azokat az A, B, C számokat, melyekre az teljesül, hogy x 2 + x 1 (x 1)(x 2 + 2) = A x 1 + Bx + C x Hasonlóan az el zöekhez el ször közös nevez re hozzuk: A(x 2 + 2) + (Bx + C)(x 1), (x 1)(x 2 + 2) majd a nevez ben felbontjuk a zárójeleket, és kiemeljük a megfelel tagokat: (A + B)x 2 + (C B)x + 2A C. Az eredeti tört nevez jével ezt összevetve kapjuk, hogy A + B = 1 C B = 1 2A C = 1.
21 a gyakorlatban (folyt.) Az els két egyenletet összedva kapjuk, hogy A + C = 2. Ehhez a harmadik egyenletet hozzáadva adódik, hogy 3A = 1 A = 1 3. Ezek után visszahelyettesítéssel kapjuk, hogy B = 2 3 C = 5 3. Összegezve tehát azt kaptuk, hogy x 2 + x 1 (x 1)(x 2 + 2) = 1 3(x 1) + 2x + 5 3(x 2 + 2).
22 Integrálás A parciális törtekre során tehát a következ alakú racionális törtfüggvényekhez juthatunk: C x a C (x a) k Cx + D ax 2 + bx + c Cx + D (ax 2 + bx + c), k ahol C, D, a, b, c tetsz leges valós, k pedig egynél nagyobb egész szám.
23 Integrálás (folyt.) Az ilyen alakú függvények integrálásához a követekez kre van szükségünk: dx = ln x a + c x a dx (x a) = 1 1 k k + 1 (x a) + c k 1 Ax + B x 2 + ax + b dx = A 2x + a = 2 x 2 + ax + b + A 2x + a = 2 x 2 + ax + b + A Aa (2x + a) + B 2 2 x 2 + ax + b C x 2 + ax + b = ( x + a 2 =ln(x 2 + ax + b) + 1 D arctg ( 2x + a 2D ahol C = B Aa 2 ; D = b a2 4. C ) 2 = + b a2 4 ) + c, =
24 Integrálás (folyt.) Az utolsó integráltípus meghatározásához egy kicsit általánosabb tételt kell alkalmaznunk. Tétel Legyen r(x) = x 2 + ax + b és g(x) R[x]. Ekkor g(x) r m (x) dx = A(x) B(x) r m 1 (x) + r(x), ahol A(x) egy (2m 3)-ad fokú, B(x) pedig els fokú polinom. Az A(x) és B(x) meghatározásához írjuk fel a polinomokat ismeretlen együtthatókkal, majd deriváljuk a tételben felírt egyenletet.
25 Feladat Határozzuk meg a következ integrált x 3 + x 2 + 3x 2 (x 2 + 2) 2! Megoldás A feladat megoldható lenne a parciális törtekre sal is, azonban most alkalmazzuk a fenti tételt. Mivel ebben a példában m = 2, ezért 1 = 2m 3 = m 1, vagyis az A(x) els fokú polinom, és az integrálon kívüli tag nevez je is els fokon szerepel. Ez alapján a tétel a következ formában írható fel x 3 + x 2 + 3x 2 dx = Ax + B Cx + D (x 2 + 2) 2 x x dx. Deriváljuk az összefüggés mindkét oldalát: x 3 + x 2 + 3x 2 (x 2 + 2) 2 = A(x 2 + 2) (Ax + B)2x (x 2 + 2) 2 + Cx + D x
26 Feladat (folyt.) A jobboldalt hozzuk közös nevez re A(x 2 + 2) (Ax + B)2x + (Cx + D)(x 2 + 2) (x 2 + 2) 2, majd bontsuk fel a számlálóban szerepl zárójeleket és emeljük ki a megfelel tagokat: Cx 3 + (D A)x 2 + (2C 2B)x + 2A + 2D. Ezt az eredeti tört számlálójával összeveteve kapjuk, hogy C = 1 D A = 1 2C 2B = 3 2A + 2D = 2. Az els egyenletet a harmadikba helyettesítve kapjuk, hogy B = 1 2.
27 Feladat (folyt.) A második és a negyedik egyenletekb l pedig adódik, hogy A = 1, D = 0. Összegezve tehát azt kaptuk, hogy x 3 + x 2 + 3x 2 = x 1 2 (x 2 + 2) 2 x = x 1 2 x ln(x 2 + 2) + c. x x dx =
Analízis előadások. Vajda István. 2013. február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem
Analízis előadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 013. február 10. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. 1 / 3 Az elemi függvények csoportosítása
RészletesebbenA döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
RészletesebbenHatározatlan integrál
. fejezet Határozatlan integrál Határozatlan integrál D. Azt mondjuk, hogy az egyváltozós valós f függvénynek a H halmazon primitív függvénye az F függvény, ha a H halmazon f és F értelmezve van, továá
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
RészletesebbenMeghirdetés féléve 1 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2
Tantárgy neve Algebrai alapismeretek Tantárgy kódja MTB1003 Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja Gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) Tantárgyfelelős neve
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész
Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk
RészletesebbenA SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben2004. december 1. Irodalom
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK I. 2004. december 1. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenJavítóvizsga témakörei matematika tantárgyból
9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?
RészletesebbenSzámelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
RészletesebbenMBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Jelölje Z az egész számok halmazát, N a pozitív egészek halmazát, N 0 a nem negatív egészek halmazát, Q a racionális
RészletesebbenOperációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 00/003 tanév, II évf félév Előadó: Dr Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs u 9 GT fszt 3 (99) 58 640
RészletesebbenMATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből
RészletesebbenFordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián
Fordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián Reguláris kifejezések (FLEX) Alapelemek kiválasztása az x karakter. tetszőleges karakter (kivéve újsor) [xyz] karakterhalmaz; vagy egy x, vagy egy y vagy egy
RészletesebbenPárhuzamos programozás
Párhuzamos programozás Rendezések Készítette: Györkő Péter EHA: GYPMABT.ELTE Nappali tagozat Programtervező matematikus szak Budapest, 2009 május 9. Bevezetés A számítástechnikában felmerülő problémák
RészletesebbenSztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
RészletesebbenMatematika példatár 4.
Matematika példatár 4 Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Created by XMLmind XSL-FO Converter Matematika példatár 4: Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Lektor: Vígné dr Lencsés,
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenJelek tanulmányozása
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 3 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 010 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 010. június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
RészletesebbenNagy András. Számelméleti feladatgyűjtemény 2009.
Nagy András Számelméleti feladatgyűjtemény 2009. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 1 Bevezetés... 2 1. Feladatok... 3 1.1. Természetes számok... 3 1.2. Oszthatóság... 5 1.3. Legnagyobb közös osztó, legkisebb
RészletesebbenA gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
RészletesebbenKőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam
-- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat
GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat Bemutatkozás Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály chmelik.gabor@kkk.bgf.hu http://www.cs.elte.hu/ chmelik Fogadóóra: e-mailben egyeztetett
RészletesebbenSzámelmélet I. 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései
Számelmélet I. Tantárgy neve Számelmélet I. Tantárgy kódja MTB 1011 Meghirdetés féléve 3. félév Kreditpont 3 Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Számonkérés módja Kollokvium Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB 1003
RészletesebbenLÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László
Részletesebben1. forduló. MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév
MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló 1. feladat: Jancsi és Juliska Matematikai Memory-t játszik. A játék lényege, hogy négyzet alakú kártyákra vagy műveletsorokat írnak
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor
RészletesebbenMatematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 1. : Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
RészletesebbenMatematika példatár 2.
Matematika példatár 2. Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Matematika példatár 2.: Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Lektor: PhD. Vigné dr Lencsés, Ágnes Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
Részletesebben43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
RészletesebbenKombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/
Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott
RészletesebbenAz aktiválódásoknak azonban itt még nincs vége, ugyanis az aktiválódások 30 évenként ismétlődnek!
1 Mindannyiunk életében előfordulnak jelentős évek, amikor is egy-egy esemény hatására a sorsunk új irányt vesz. Bár ezen események többségének ott és akkor kevésbé tulajdonítunk jelentőséget, csak idővel,
RészletesebbenKiss P eter M aty as Ferenc A SZ AMELM ELET ELEMEI EKF L ICEUM KIAD O, EGER 2005
Kiss Péter Mátyás Ferenc A SZÁMELMÉLET ELEMEI EKF LÍCEUM KIADÓ, EGER 005 Lektor: Dr. Varecza Árpád a matematikai tudomány kandidátusa Megjelent az EKF Líceum Kiadó műszaki gondozásában A szedés a MiKTEX
RészletesebbenMatematikai programozás gyakorlatok
VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................
RészletesebbenTermészetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5
1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat
RészletesebbenKomplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
Részletesebben2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia
. márius 9. Dr. Vinze Szilvia Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat) f(x) = 2x 2 x 4. 2x 2 x 4 = 0, x 2 (2 x 2 ) = 0.
Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat). Feladat. Végezzük el az f(x) = x x 4 ) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: amiből
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Részletesebben2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
Részletesebben[MECHANIKA- HAJLÍTÁS]
2010. Eötvös Loránd Szakközép és Szakiskola Molnár István [MECHANIKA- HAJLÍTÁS] 1 A hajlításra való méretezést sok helyen lehet használni, sok mechanikai probléma modelljét vissza lehet vezetni a hajlítás
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok
Részletesebben5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Diszkrét matematika I. gyakorlat 1. Gyakorlat Bogya Norbert Bolyai Intézet 2012. szeptember 4-5. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika I. gyakorlat 2012. szeptember 4-5. 1 / 21 Információk
RészletesebbenLineáris algebra jegyzet
Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: 2011-12-04 A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenProgramozás I. - 9. gyakorlat
Programozás I. - 9. gyakorlat Mutatók, dinamikus memóriakezelés Tar Péter 1 Pannon Egyetem M szaki Informatikai Kar Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Utolsó frissítés: November 9, 2009 1 tar@dcs.vein.hu
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenMatematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés
Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 10 X DETERmINÁNSOk 1 DETERmINÁNS ÉRTELmEZÉSE, TULAJdONSÁGAI A másodrendű determináns értelmezése: A harmadrendű determináns értelmezése és annak első sor szerinti kifejtése: A
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség
Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,
RészletesebbenNemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016
Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:
RészletesebbenOsztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy
RészletesebbenTARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255
TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...
RészletesebbenProlog 1. Készítette: Szabó Éva
Prolog 1. Készítette: Szabó Éva Prolog Logikai, deklaratív nyelv. Egy logikai program egy modellre vonatkoztatott állítások halmaza, melyek a modell tulajdonságait, és az azok között fellépő kapcsolatokat
RészletesebbenKockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai
RészletesebbenA skatulya-elv alkalmazásai
1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely
RészletesebbenELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA, KIRCHHOFF I. TÖRVÉNYE, A CSOMÓPONTI TÖRVÉNY ELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA. 1. ábra
ELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA Három háztartási fogyasztót kapcsoltunk egy feszültségforrásra (hálózati feszültségre: 230V), vagyis közös kapocspárra, tehát párhuzamosan. A PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁS ISMÉRVE:
Részletesebben3. Matematikai logika (megoldások)
(megoldások) 1. Hamis, ugyanis P, Q és R logikai értékét behelyettesítve kapjuk: (P Q) R = (1 0) 0 = 0 0 = 0. (Ebben és a további feladatok megoldásában alkalmazzuk a D 3.1 denícióit. A megoldást célszer
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2012. NOVEMBER 24.) 3. osztály
3. osztály Két szám összege 33. Mennyi ennek a két számnak a különbsége, ha az egyik kétszerese a másiknak? Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a számjegyek összege legalább 25? 4. osztály A Zimrili
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
Részletesebben3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek
3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,
RészletesebbenFejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
RészletesebbenLécgerenda. 1. ábra. 2. ábra
Lécgerenda Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Karimás csőillesztés már szóltunk arról, hogy a szeezetek számításaiban néha célszerű lehet a diszkrét mennyiségeket folyto - nosan megoszló mennyiségekkel
RészletesebbenBináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi
RészletesebbenMatematika példatár 2.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 2 MAT2 modul Sorok, függvények határértéke és folytonossága Aszimptoták SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) Javítási-értékelési útmutató Kérjük a javító tanárokat,
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenEgy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást
Részletesebben5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!
5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +
RészletesebbenMágneses szuszceptibilitás vizsgálata
Mágneses szuszceptibilitás vizsgálata Mérést végezte: Gál Veronika I. A mérés elmélete Az anyagok külső mágnesen tér hatására polarizálódnak. Általában az anyagok mágnesezhetőségét az M mágnesezettség
RészletesebbenEgyetemi matematika az iskolában
Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen
RészletesebbenLineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál
Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek
Részletesebben1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak
Részletesebben0642. MODUL SZÁMELMÉLET. A számok osztói, az oszthatósági szabályok KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA
0642. MODUL SZÁMELMÉLET A számok osztói, az oszthatósági szabályok KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret
RészletesebbenÁramlástechnikai gépek soros és párhuzamos üzeme, grafikus és numerikus megoldási módszerek (13. fejezet)
Áramlástechnikai gépek soros és párhuzamos üzeme, grafikus és numerikus megoldási módszerek (3. fejezet). Egy H I = 70 m - 50000 s /m 5 Q jelleggörbéjű szivattyú a H c = 0 m + 0000 s /m 5 Q jelleggörbéjű
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV.
Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Jelöljük az adott kört k val, a kör középpontját O val, az adott külső pontot pedig P vel. A szerkesztéshez azt használjuk
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
RészletesebbenHalmazok és függvények
Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6 Meghirdető tanszék: Analízis Debrecen, 2005. A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám:
RészletesebbenVéges testek és alkalmazásaik
Véges testek és alkalmazásaik Horváth Gábor Debreceni Egyetem 2016. március 4. Tartalomjegyzék Bevezetés 4 1. El zetes ismeretek 5 1.1. M veletek, algebrai struktúrák.................. 5 1.2. Csoportelmélet..........................
RészletesebbenSzámrendszerek közötti átváltások
Számrendszerek közötti átváltások 10-es számrendszerből tetszőleges számrendszerbe Legyen az átváltani kívánt szám: 723, 10-es számrendszerben. Ha 10-esből bármilyen számrendszerbe kívánunk átváltani,
RészletesebbenHázi dolgozat. Minta a házi dolgozat formai és tartalmi követelményeihez. Készítette: (név+osztály) Iskola: (az iskola teljes neve)
Házi dolgozat Minta a házi dolgozat formai és tartalmi követelményeihez Készítette: (név+osztály) Iskola: (az iskola teljes neve) Dátum: (aktuális dátum) Tartalom Itt kezdődik a címbeli anyag érdemi kifejtése...
Részletesebben