[MECHANIKA- HAJLÍTÁS]

Átírás

1 2010. Eötvös Loránd Szakközép és Szakiskola Molnár István [MECHANIKA- HAJLÍTÁS] 1

2 A hajlításra való méretezést sok helyen lehet használni, sok mechanikai probléma modelljét vissza lehet vezetni a hajlítás problémájára. A hajlítás tárgyalása előtt elevenítsük fel a statika témaköréből a veszélyes keresztmetszet meghatározását. A veszélyes keresztmetszet meghatározásához első körben meg kell állapítani, hogy mekkora erők hatnak a tartóra, amely statikailag nyugalomban van. Ezután pedig az igénybevételi ábrákat rajzoljuk fel, ahonnan meg tudjuk határozni, hogy melyik keresztmetszetet veszi igénybe legjobban a a terhelés, és hogy mekkora a terhelés nagysága az adott keresztmetszeten. Nézzük a következő példát: A következő adatok ismertek: F (terhelőerő), l és l 1 (a rúd jellemző hosszúságai). A feladat a tartó legjobban igénybevett keresztmetszetének meghatározása. Mivel a rúd statikailag nyugalomban van, meg lehet határozni az F a és F b erőt. A rúdra ható erők eredője nulla (statika első főtétele), így az eredő erő komponensei is nullára adódnak. Mivel x irányú erő nem hat rá, ezért az y irányú eredő erő nagyságát írjuk fel: Mivel ebben az egyenletben kettő ismeretlen van, ezért nem tudjuki megoldani. Keressünk egy olyan egyenletet, amelyben egy ismeretlen szerepel. Ha a rúd valamelyik végpontjára felírjuk a nyomatéki egyenletet, akkor az adott végpontban ható erő ki fog esni, hiszen az erő hatásvonala áthalad a ponton, amire a nyomatékot számítjuk. Az A pontra felírt nyomatéki egyenlet: Ebből az F b -t kifejezve: Ha ismerjük az F b -t, akkor F a kifejezhető az elsőként felírt egyenletből: HA ismerjük a szerkezetre ható összes erőt, akkor fel tudjuk rajzolni az igénybevételi ábrákat. 2

3 A T y (l) ábrán a függőleges irányú erőket ábrázoljuk előjelhelyesen. Ami azt jelenti, hogy ami pozitív irányba mutat, azt pozitív irányba ábrázoljuk, ami negatív irányba, azt negatív irányba ábrázoljuk. Az ábra kezdőpontjából (origó) elindulva F a egységet pozitív irányba mozdulunk el. Nem hat másik függőleges irányú erő a szerkezetre egészen addig a pontig, ahol az F erő hat. Itt F erőnyi egységet elmozdulunk lefele. Ha jó a számításunk, akkor az l tengelytől pontosan F b távolságra leszünk. a rúd végpontjáig negatív tartományban maradunk, a rúd végpontjában pedig F b erő hat, így a nulla értékre térünk vissza. A szerkezet nyíróerő (függőleges irányú erő) ábrája: A nyíróerő ábrából meghatározható a hajlító nyomatéki ábra ( M hz ). A nyomaték az erő nagyságának és az erőkarnak a szorzata. Ha megnézzük a hajlító nyomatéki ábrát, akkor láthatjuk, hogy az erőkart a vízszintes az erő nagyságát a függőleges tengelyről tudjuk leolvasni, azaz a nyomatékot az ábrán látható téglalapok területének nagyságával meg tudjuk határozni. A nyomatéki ábra első fele úgy határozható meg, hogy az első téglalap területét ábrázoljuk. A kezdőpontban nulla a terület, és ahol az F erő hat ott a nyomaték a terület képlet alapján: Ami a nyíróerő ábrán pozitív tartományban van, azt a nyomatéki ábrán negatívnak tekintjük, ami a nyíróerő ábrán negatív tartományban van, azt pozitívnak tekintjük. A nyomatéki ábra: A feladat során az ábrákat egymás alá rendezzük. Az N x ábra a vízszintes irányú erőket tartalmazza, ami a mi esetünkben nulla minden pontban, hiszen nem hat a szerkezetre vízszintes irányú erő. 3

4 A szerkezet veszélyes keresztmetszete pedig az a keresztmetszet lesz, ahol a legnagyobb nyomaték hat ( Mhz,max). Ezt a pontot visszavetítjük a rúdra. és jelöljük. Ez lesz az a pont, amit majd a hajlításra való méretezés során méretezni fogunk. Gyakorlás: Határozza meg a tartó veszélyes keresztmetszeteit, ha ismertek az alábbi adatok: F [N] l 1 [m] l [m] , ,2 3,4 4

5 Méretezés: A méretezés elvégzéséhez szükséges a hajlítás során megismert alapfogalmak ismerete, illetve a következő összefüggések. Keresztmetszeti tényező: A keresztmetszeti tényező a keresztmetszet egyik geometriai tulajdonsága. Az összefüggések levezetése komoly matematikai tudást igényel, ezért ezek levezetését hanyagoljuk és csak a kiszámítás módját írjuk fel. Keresztmetszet A [mm 2 ] K z [mm 3 ] Téglalap Kör A hajlítófeszültség meghatározása:,ahol : a rúdban ébredő hajlító feszültség [MPa] M hz : a hajlító nyomaték [Nm] K z : a keresztmetszeti tényező [mm 3 ] A hajlítás során is méretezhetünk, illetve ellenőrizhetünk egy adott szerkezetet. A méretezés során a keresztmetszet minimális nagyságát határozzuk meg. Azt a minimális nagyságot, ami elbírja az adott terhelést. A méretezés lépései: 1. A hiányzó támasztóerők meghatározása (F a ;F b ). Nyomatéki és egyensúlyi egyenletből. 2. Nyíróerő ábra felrajzolása. 3. Hajlító nyomatéki ábra felrajzolása 4. Maximális hajlító nyomaték meghatározása, veszélyes keresztmetszet meghatározása. 5. A rúd választott anyagából a megengedhető feszültség meghatározása., ahol: : megengedhető feszültség [MPa] : a rúd anyagára megadott maximális feszültség [MPa] : biztonsági tényező [-] 5

6 6. A megengedhető feszültségből és a hajlító nyomatékból a minimális keresztmetszeti tényező meghatározása., ahol: K z,min : minimális keresztmetszeti tényező [mm 3 ] M hz : hajlító nyomaték az adott keresztmetszeten [Nm] : megengedhető feszültség [MPa] 7. A minimális keresztmetszeti tényezőből a minimális méretek meghatározás (keresztmetszet meghatározása). Kör esetén:, ahol: d min : minimális átmérő [mm] K z,min : minimális keresztmetszeti tényező [mm 3 ] 8. Felkerekítjük a kapott értéket ötös pontossággal. d>d min Példa a méretezésre: Határozzuk meg a tartó keresztmetszetét! Adott: F=50000 [N] l=2 [m] l 1 =1 [m] A méretezés során ismerjük a terhelést, és a tartó geometriai méreteit, azonban nem ismerjük a tartó keresztmetszetét. A számítások során a keresztmetszetet kell meghatározni, hogy az N-os terhelés hatására nem hajoljon el a rúd, illetve ne törjön el a tartó. 6

7 Határozzuk meg a hiányzó erőket, és maximális terhelést valamint a veszélyes keresztmetszetet! A veszélyes keresztmetszet a C pontban lesz, ahol az F erő hat a tartóra. A választott keresztmetszet: kör A választott anyag: A választott biztonsági tényező: n=1,5 A megengedhető feszültség: A minimális keresztmetszeti tényező meghatározása: A minimális átmérő meghatározása: 7

8 A választott átmérő: d=15 [mm] Gyakorló példák: l 1 [m] l [m] F [N] d[mm] ? 1, ? ? ? 1, ? Ellenőrzés Ha egy kész szerkezeten meg szeretnénk változtatni a terhelést, akkor ellenőrzőleg el kell végeznünk egy számítást, aminek a végeredményeképpen megkapjuk, hogy a tartó megfelel-e a terhelésre vagy sem. 8

9 Az ellenőrzés lépései: 1. A megengedhető feszültség meghatározása:,ahol : megengedhető feszültség [MPa] : maximális feszültség [MPa] :biztonsági tényező [-] 2. A jellemző feszültség meghatározása: 2/a. A hiányzó erők meghatározása:,ahol: M A : nyomaték [Nm] F;F a ;F b : erő [N] l;l 1 : a rúd geometriai méretei [m] 2/b. A veszélyes keresztmetszetet terhelő nyomaték meghatározása:,ahol: M hz,max : maximális hajlító nyomaték [Nm] F a ;F b : a rúd végpontjaiban ébredő erő [N] l;l 1 : a rúd geometriai méretei [m] 2/c. A keresztmetszeti tényező meghatározása: K z : keresztmetszeti tényező [mm 3 ] d: a keresztmetszet átmérője [mm] 2/d. A jellemző feszültség meghatározása:,ahol: : a rúdban ébredő jellemző feszültség [MPa] : a maximális hajlító nyomaték [Nm] : keresztmetszeti tényező [mm 3 ] 9

10 3. A megengedhető és jellemző feszültségek összehasonlítása: Ha NEM MEGFELELŐ Ha MEGFELELŐ Példa ellenőrzésre: Ellenőrizzük le a következő tartót! Az ábrán látható tartón a következő adatok ismertek: l=2 [m] l1=1[m] 450 [MPa] n=1,5 [-] M hz,c :25000 [N] d=10 [mm] Határozzuk meg a megengedhető feszültséget: Határozzuk meg a keresztmetszeti tényező nagyságát: A rúdban ébredő jellemző feszültség meghatározása: A jellemző és a megengedett feszültség összehasonlítása: A tartó MEGFELELŐ 10

11 Gyakorló példák: Határozza meg, hogy a rúd megfelelő-e vagy sem? l [m] l 1 M hz n d [m] [Nm] [-] [MPa] [mm] , , , , , , ,

12 12

13 13