( a + b + c) 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc ( x + y + 2) 2 x 2 + y xy + 4x + 4y. visszafelé. ( 3x y + 5) 2 9x 2 + y xy + 30x 10y

Átírás

1 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu Gökvoás zoossági mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + ) x + x + 9 ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x ) x x + 9 ( + + c) + + c + + c + c ( x + + ) x x + x + ( x + ) 9x + + 6x + 0x 0 visszfelé x x 8 ( + ) ( x + ) x + x + x + x + 6x + x + 8 ( ) + + ( + ) ( ) x 9 ( x + ) ( x ) x 6 ( + )( + ) x + ( x + ) ( x x + ) ( ) ( ) + + Htváozás zoossági ( x - ) x x ( ) x ( x ) x + x + + x x 6x + x 8 ( x) 6 ( x + 6) ( x 6) k k k k 6 6 x x x x Azoos lpú htváok: k k + k x x 6 x 0 x+ x+ x+ + x+ x+ 7 k x 8 x x+ x x+ ( x+ x x+ x+ ( ) k k ( x ) x ( x+ ) x+ k k x x x 8 8 x ( ) x+ 6 Logritmus zoossági log x + log log ( x ) log + log log log ( x + ) + log ( x ) log ( x + ) ( x ) log x log x log log log log x + log log ( x + ) log ( x ) log x log x log 7 log 7 visszfelé log x 8 8 log x x átírás másik lpr: Azoos kitevőjű htváok: visszfelé ( ) ( ) x ( x ) x+ 9 x+ ( 9) x+ 8 x+ ( x ) x x 7 ( ) x 0 log x log x log Közepek: Számti közép log 9 log 9 log visszfelé x x 8 x x 0 x + x x A Mérti közép G x. x.... x A( 0, ) 0 + G(, 0) G(, 0, 0) 6 A(, 7, )

2 Soroztok: Számti sorozt + ( ) d + d d mteksoft.hu Síkgeometri: Háromszögek mteksoft.hu S + Mérti sorozt 0 + S Mgsság vol: A mgsság vol csúcsól, szemközti oldlr állított merőleges. A mgsság volk eg pot metszik egmást, mel mgsság pot. Nics továi fukciój. Oldlfelező merőlegesek: Az oldlfelező merőlegesek is eg pot metszik egmást, mel háromszög köré írhtó köréek középpotját dj. q q 00 q 99 q S q q S 0 0 Komitorik: Permutáció (sorredezés): Ismétlés élküli: P! Piros, sárg, kék, fehér, fekete goló sorredezése =!! Ismétléses: P piros, kék, 7 fehér goló sorredezése!!.. k!!!! 7! Vriáció (Kiválsztás; számít sorred és megkülööztetjük z elemeket): Ismétlés élküli: Ismétléses: Eg fgizó, háféleképpe válszthtuk 8 íz közül gomócot tölcsére, h em szereték kétszer ugolt ei? V Eg fgizó, háféleképpe válszthtuk 8 íz közül gomócot tölcsére, h ugol ízt töször is válszthtuk? Szögfelezők: A háromszög első szögfelezői is eg pot metszik egmást. Ez dj eírhtó kör középpotját. Súlvol: A súlvol, csúcsot szemközti oldl felezőpotjávl összekötő egees. A súlvolk eg pot metszik egmást. A súlpot hrmdolj súlvolkt /, / rá. / z oldl felé, / csúcs felé. Komiáció (Kiválsztás; em számít sorred és em külööztetjük meg z elemeket): Ismétlés élküli: C k Ismétléses: C + k k V Háféleképpe válszthtuk ki 8 fjt péksüti közül hármt, h ugolt em válsztuk? = meiől válsztuk k = meit Háféleképpe válszthtuk ki 8 fjt péksüti közül hármt, h töször is válszthtuk eg fjtát? = meiől válsztuk k = meit 8 8!!! !! 7!

3 Szögfüggvéek derékszögű háromszöge mteksoft.hu Négszögek mteksoft.hu siα cosα tgα szemközti átfogó melletti átfogó szemközti melletti c c Húrégszög: Azok égszögek, melek köré kör írhtó. Szemközti szögek összege 80 α + γ 80 β + δ 80 + c + d Éritőégszög: Azok égszögek, meleke kör írhtó. Szemközti oldlk összege egelő. melletti szemközti Sziusztétel Kosziusztétel siα si0 c siβ siγ 6 si0 c + cosα c cos0 Sokszögek ( ) átlók szám: 0 oldlú sokszög eseté: 0 ( 0 ) Nevezetes szögek szögfüggvéei első szögek összege: ( ) 80 0 oldlú sokszög eseté: ( 0 ) 80 0 külső szögek összege: 60 0 oldlú sokszög eseté: 60 d első szög szálos sokszög eseté: ( ) 80 0 oldlú szálos sokszög eseté, d első szöge: ( 0 ) 80 0 d külső szög szálos sokszög eseté: 60 0 oldlú szálos sokszög eseté, d külső szöge:

4 Síkidomok kerület, területe mteksoft.hu Kör Körcikk Körszelet Háromszög K( kerület) + + c s( félkerület) ( terület) s r R siγ c Héro képlet K m Az egik oldl szorozv hozzátrtozó mgssággl és osztv kettővel. Két oldl szorozv közezárt szög sziuszávl és osztv kettővel. Három oldl szorztát osztjuk, köré írhtó kör sugrák égszeresével. A félkerület szorozv eleírhtó kör sugrávl. Prktikus képlet, h ismerük eg oldlt és szemközti szöget. Mert köe meghtározhtó z R! R R siα siβ s( s ) ( s ) ( s c) c R siγ K π r π r Felszí, térfogt Hsáok (lehet égzet, tégllp, ötszög, tízszög lpú is) i α π 80 r α ( π,... ) ( r i h( r m) ) r i π vg 60 r α Négzet égllp Prlelogrmm Romusz m γ K K + K + K m siγ m siγ V( térfogt) M Alpterület szorozv mgssággl. A feti árák szépe szemléltetik, hog z lpterület ige sokféle lehet. A( felszí) + p Két dr lpj v (lul, felül) és plástj (köre). A plást = oldllpok összterülete. rpéz d K + + c + d + c m Deltoid K + e f e f Heger (kör lpú hsá) V( térfogt) M r π M Mert z lpterülete kör! A( felszí) + p r π + r π M (A kör kerülete szorozv mgssággl!) p mteksoft.hu

5 Gúl (A gúl lpterülete is ige sokféle lehet, íg z lpterület kiszámítás mide esete más!) mteksoft.hu V M Göm Kocká göm: Göme kock: A + p Négzet lpú gúl eseté: Prktikus képlet!!! (Péld plástr: háromszögű lp eseté, d háromszög. Htszög eseté 6 d háromszög.) A + m + Kúp V M r π M Mert z lpterület kör! A π r V rigoometri π r r R = testátló fele A r π + π r r π( + r) si α + cos α p tgα siα cosα tg0 si0 cos0 siα cos( 90 α) si0 cos( 90 0 ) cosα si( 90 α) cos0 si( 90 0 ) Csokgúl Csokkúp cosα siα ctg0 cos0 si0 siα siα cosα six six cosx tgα tg0 ctg0 cosα cos α si α cosx cos x si x tgα tg0 si( α + β) siα cosβ + cosα siβ si( x + 0 ) six cos0 + cosx si0 si( α β) siα cosβ cosα siβ si( x 0 ) six cos0 cosx si0 cos( α + β) cosα cosβ siα siβ cos( x + 0 ) cosx cos0 six si0 mteksoft.hu cos( α β) cosα cosβ + siα siβ cos( x 0 ) cosx cos0 + six si0

6 Koordiát-geometri Két potól vektor: végpotól kezdőpot. ( ) B( x ) A x,, AB x x, B koordiátákól A ( ) BA( ) Péld: A(, ) B(, 6) (jor, fel ) (lr, le ) Vektor hossz: ( x, ) Péld: (, ) Két pot távolság: x x, A koordiátákól B AB(, 6 ) BA(, 6) AB(, ) BA(, A x, x + + ( ) B( x, ) ( ) + ( ) d x x mteksoft.hu Hrmdolópot: ( ) B( x, ) A x, x + x + H, Péld: A csúcshoz közelei A(, ) B(, 6) H, 0 H, Háromszög súlpotj: ( ) B( x, ) C( x, ) A x, S Péld: x + x + x + +, A(, ) B(, ) C(, 6) S , S(, ) x + x H, + H, + B csúcshoz közelei H, + 6 mteksoft.hu Péld: A(, ) B(, 6) d ( ) + ( 6 ) Felezőpot: A x, Péld: ( ) B( x, ) A, F x + x, + ( ) B(, 6) F +, F(, ) + 6

7 Egees egelete Normálvektor, pot Irávektor, pot Péld: Péld: (, ) v( v, v ( A, B) ) v(, ) P (, 6 P( x ) 0, 0 ) P( x 0, 0 ) P(, 6) Ax + B Ax 0 + B 0 x v x v v x 0 v 0 mteksoft.hu x 6 x + 8 x Függvéek Elsőfokú lieáris függvé: mx + x + m = meredekség = hol metszi z -tegelt Aszolútérték-függvé + c x x mteksoft.hu = újtás/zsugorítás függőlegese = x-tegele mozgtás ellekező irá c = -tegele mozgtás "ormális" irá Két poto átmeő ( ) B( x, ) A x, ( x x ) Péld: ( ) ( )( x x ) A(, ) B( 9, 7) ( 9 ) ( ) ( 7 ) ( x ) 6( ) ( x ) 6 0 x 6 Kör egelete C( u, v) x 6 x kör középpotj Pot, meredekség P x 0, 0 H α v megdv, kkor m=tgα!!! Péld: ( ) P, 7 ( ) m m 0 m x x 0 ( ) 7 ( x ) 7 x Fotos!!! x Másodfokú függvé: = újtás/zsugorítás függőlegese = x-tegele mozgtás ellekező irá c = -tegele mozgtás "ormális" irá Négzetgökfüggvé ( x + ) + c x + + c ( x ) x = újtás/zsugorítás függőlegese = x-tegele mozgtás ellekező irá c = -tegele mozgtás "ormális" irá r kör sugr ( x u) + ( v) r Péld: c(, ) r 9 ( x ) + ( + ) 8 Az u és v eillesztéséél figelj z elletétes előjelre!!!

8 Logritmusfüggvé = újtás/zsugorítás függőlegese = x-tegele mozgtás ellekező irá c = -tegele mozgtás "ormális" irá Expoeciális függvé log ( x + ) + c x+ + c log ( x ) x = újtás/zsugorítás függőlegese = x-tegele mozgtás ellekező irá c = -tegele mozgtás "ormális" irá gesfüggvé Kotgesfüggvé π tgx x + k π ctgx x 0 + k π periódus: π periódus: π Sziuszfüggvé six periódus: π Kosziuszfüggvé cosx periódus: π mteksoft.hu mteksoft.hu