Baka Endre. Szabadka, Jugoszlávia

Átírás

1 ÉRDEKESSÉGEK HÁROMSZÖGEN aka Ende Szabadka, Jugoszlávia LPPONI HÁROMSZÖG Ebben a fejezetben kettő, a talpponti háomszöggel kapsolatos, nem túl ismet tételt szeetnék bemutatni és bizonyítani. De előszö is definiáljuk, mi a talpponti háomszög! alpponti háomszögnek nevezzük azt a háomszöget, amit egy hegyesszögű háomszög magasságainak talppontjai, és az azokat összekötő szakaszok alkotnak tétel bizonyításához felhasználom a húnégyszögek néhány tulajdonságát is: 1. tulajdonság: húnégyszögek egyik oldalával szemközti súsok azonos szögben látszanak. tulajdonság: z egymással szemben lévő szögek összege 180 o 1. tétel: hegyesszögű háomszög magasságpontja a talpponti háomszögébe beíható kö középpontja. H a H b H h a h h b H 3. ába z 3. ábán észevehetjük, hogy H b < H a < 90 o ehát H a H b egy húnégyszög (1. tulajdonság), ezét igaz ez is: H b H a < H b H a < δ. ( H a háomszögből δ H a < 90 o < )

2 húnégyszögek. tulajdonsága miatt H HH b és H HH a is húnégyszögek hiszen ott H b H< + HH < 180 o H a H< + HH < 180 o. Mindebből következik: H b H< H b H H< H a H< H a H H< δ H egyenes tehát a H a H H b < szögfelezője, vagyis a háomszög magasságai felezik a talpponti háomszög szögeit.. tétel: talpponti háomszög oldalai meőlegesek a köülíható kö középpontját a háomszög súsaival összekötő szakaszoka (sugá). J H b H h O h b H 4. ába 4. ábán < ugyanakkoa, mint J<, met az szakasz keületi szögei. Mivel J a kö átméője, ezét J< deékszög. Innen O< O< 90 o J< 90 o < δ HH H b < Mivel HH meőleges oldala, ezét H b H is meőleges az O sugáa.

3 KÖZÉPPONI HÁROMSZÖG háomszög oldalfelező pontjait összekötő szakaszok (középvonalak) által meghatáozott háomszöget nevezzük középponti (súlyponti) háomszögnek. ' P H a' ' S O H b' ' 5. ába páhuzamos szelők tételének megfodítása következtében a középponti háomszög oldalai páhuzamosak az háomszög oldalaival, tehát ``` ~ Ugyanezzel a tétellel magyaázható, hogy a középvonalak feleakkoák, mint a nekik megfelelő oldal. Ebből az következik, hogy az ``, ``, `` középvonalak az háomszöget 4 egybevágó háomszöge osztják. Következő lépésben azt látjuk, hogy ``` egy paalelogamma, ezét ` felezi `` szakaszt. Emiatt az ``` háomszög súlyvonalai az háomszög súlyvonalain fekszenek, s ez azt jelenti, hogy mindkét háomszögnek ugyanaz az S pont a súlypontja. Mellékesen észevehetjük, hogy a `` szakasz P felezőpontja az ` szakasznak is felezőpontja. z ``` háomszög magasságai (`H b`, `H a`) az háomszög, illetve oldalának oldalfelező meőlegesei. Ebből következik, hogy az ``` háomszög O magasságpontja egyidejűleg az háomszög köé it kö középpontja.

4 HOZZÁIR KÖR SUGR hozzáit köök sugaát a háomszög teületének képletéből szeetném levezetni, továbbá szükségünk lesz a félkeülete, és a Heon képlete: a h a a+ b+ s s ( s a)( s b)( s ) I b b I s a I a. ába. ábáól leolvasható, hogy: + I I I I b I a I ehát: b a + a+ b Ismeve a félkeület képletét, megkapható, hogy a+ b a+ b+ s

5 ( ) s s b a s b s a Heon képletéből: a ( )( ) s s b s s a b ( )( ) s s a s s b ( )( ) s s a s b s KÜLSŐ ÉRINŐ KÖRÖK (HOZZÁIR KÖRÖK) udjuk, hogy a háomszög háom szögfelezője egy pontban metszi egymást, és hogy ez a pont a beíható kö középpontja. zt is tudjuk, hogy ez a pont egyfoma távolsága van a háomszög mindháom oldalegyenesétől. Felmeül a kédés, léteznek-e még hasonló tulajdonságú pontok? válasz igen, a háomszög hozzáit köeinek középpontjai. hhoz, hogy ezeket a pontokat meg tudjuk szekeszteni, tudnunk kell, hogy a háomszög bámely két külső szögfelezője, valamint a hamadik súson áthaladó belső szög szögfelezője is egy ponta illeszkedik. z alábbiakban ezt szeetném bizonyítani. Z I Y I Z Y I X X X Y Z I

6 z 1. ábán az I I I háomszöget láthatjuk. E háomszög oldalait az α (<), β (<), γ (<) szögek külső szögfelezői alkotják. súsponton áthaladó I I külső szögfelező bámely pontja egyenlő távolsága van a, illetve az egyenesektől. Hasonlóan, az I I bámely pontja egyenlő távolsága van a és a egyenesektől. Ennélfogva a két külső szögfelező I metszéspontja egyenlő távolsága van a háomszög mindháom oldalegyenesétől. Mivel Ia egyenlő távolsága van az oldalegyenesektől, ezét illeszkednie kell azon ponthalmaza, amely e két egyenestől egyenlő távolsága levő pontokból áll. ehát ajta kell feküdnie az I egyenesen, vagyis az α szög belső szögfelezőjén. z I középpontú és sugaú kö, amelyet a háomszög mindháom oldalegyenese éint, a háomszöget kívülől éintő, vagy a háomszöghöz hozzáit köök egyike. E köök középpontjai az I, I, I pontok, míg sugaaikat, és jelöli. ámely hozzáit kö a háomszög egyik oldalát belső pontban, míg a (meghosszabbított) másik két oldalt külső pontokban éinti (külső éintő kö). Mivel a beit kö és a háom hozzáit kö mindegyike mindháom oldalt éinti, ezét a négy köt néha titangens kööknek is szokták nevezni. Ha az 1. ábán látható módon jelöljük az éintési pontokat, észevehetjük, hogy: X Z, met egy köön kívül fekvő pontból egy köhöz húzható éintők hossza egyenlő. Így: X + Z + X + Z + + Y + Y + a + b + s. ehát bámely súspontból a vele szemben fekvő oldalon túl levő hozzáit köhöz húzott éintők hossza egyenlő a fél keülettel. Y Z Z X X Y s. Mivel: X X s a, ezét igazak a következő állítások is:

7 X Z X Y s a, Y X Y Z s b, Z Y Z X s. EULER-EGYENES Leonhad Eule 1707-ben született Svájban, aselban. 177-ben meghívták Ooszoszágba, a szentpétevái kadémiáa ben elinbe ment, hogy elfoglalja a Poosz kadémia matematika székét ban visszaté Szentpéteváa, és ott élt 1783-ban bekövetkezett haláláig. Rendkívül temékeny tudós volt. matematika majd minden teületén kimagasló tevékenységet fejtett ki. 473 dolgozata még életében megjelent, 00 dolgozat nem sokkal halála után látott napvilágot, míg 61 egyéb íásának vánia kellett a publikálása. matematika mellett még sillagászattal és fizikával is foglalkozott. S ha ehhez még azt is hozzávesszük, hogy élete utolsó évtizedében teljesen vakon dolgozott, akko ézékelhetjük igazán endkívül sokiányú munkásságát és eedményeit. öbbek között ő bizonyította be előszö, hogy a háomszög háom nevezetes pontja egy egyenesen van. Ezt az egyenest később óla nevezték el. ' H ' S O ' 6. ába H az háomszög magasságponja, O pedig a hozzá hasonló háomszög magasságpontja (és egyben az háomszög köé it köének középpontja), ezét

8 H O` z S súlypont a súlyvonalat :1 aányban osztja, e szeint S S` Észevehetjük még, hogy D és O` páhuzamosak egymással, met mindkettő meőleges a oldala. Ezét met páhuzamos száú szögek. Mindebből következik, hogy HS ~ O`S és HS< O S<, SH< `SO<. z utolsó képlet azt mutatja, hogy O, S és H pontok egy egyenese illeszkednek, és HS SO. Szebben megfogalmazva bámely háomszög magasságpontja, súlypontja és köülit köének középpontja egy egyenesen fekszik, és ezt az egyenest a háomszög Eule-egyenesének nevezzük. súlypont a magasságponttól a köülit kö középpontjáig tejedő szakaszt :1 aányban osztja.