Középiskolai matematika szakköri Feladatok a Fibonacci számok témaköréből Melczer Kinga
|
|
- Tamás Király
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Középiskolai matematika szakköri Feladatok a Fibonacci számok témaköréből Melczer Kinga
2 1 feladat Mekkora lesz a nyúlállományunk az év végére, ha van egy nyúlpárunk, amely a második hónaptól kezdve szaporodik, minden új pár a születését követő hónaptól kezdve havonta egy új párnak ad életet, miközben egyetlen példány sem pusztul el? 466 nyulunk lesz év végére, azaz 233 pár Minden hónap végére annyi pár nyulunk lesz, amennyi összesen az előző hónap végén volt (ezek ugyanis megmaradnak), és még annyival több, ahány pár az előző hónapot megelőző hónap végén volt (ezek mindegyike új nyúlpárnak ad életet) Az első hónapban egy pár létezett, a másodikban új pár is született, itt már két pár nyulunk volt A harmadik hónapban a meglévő két pár mellé egy újabb pár érkezett az első hónapban meglévő pár leszármazottja) A következő hónapokban ezt a gondolatmenetet követve számolhatjuk ki a nyúlállomány nagyságát: Tehát havonta a párok száma: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, A feladat megoldásának menetét átgondolva máris tudjuk a most létrehozott sorozat képzési szabályát Minden elem egyenlő az őt megelőző két elem összegével 2
3 2 feladat Határozzuk meg a Fibonacci sorozat (az 1 feladat megoldása során előálló sorozat) első összegét! elemének A megoldáshoz alkalmazzuk most egymás után többször a sorozat képzési szabályát! Az előbbi egyenleteket összeadva a következőt kapjuk: Mivel, ezért az alábbi képletet írhatjuk fel a sorozat első elemének összegére: Másképp fogalmazva ez azt is jelenti, hogy a sorozat -dik tagja az első nagyobb szám, azaz -re kaptunk egy összefüggést tag összegénél eggyel 3
4 3 feladat Adjunk képletet az első darab páratlan indexű Fibonacci szám összegére! Kezdjük próbálgatással a feladattal való ismerkedést! Sejtésünk a fentiek alapján a következő: Sejtésünket teljes indukcióval bizonyítjuk -re az állítás igaz, hiszen Ha -re igaz, akkor -re is teljesül, mert az egyenlet mindkét oldalához -et adva a következőt kapjuk: amivel éppen a bizonyítandó állítást nyertük, 4
5 4 feladat Adjunk képletet az első darab páros indexű Fibonacci szám összegére! Kezdjük ismét próbálgatással a feladattal való ismerkedést! Próbáljunk összefüggést felfedezni a kapott eredmények és a Fibonacci számok között! Sejtésünk a fentiek alapján a következő: Sejtésünket teljes indukcióval bizonyítjuk -re az állítás igaz, hiszen Ha -re igaz, akkor -re is teljesül, mert az egyenlet mindkét oldalához -et adva a következőt kapjuk: amivel éppen a bizonyítandó állítást nyertük, 5
6 5 feladat Határozzuk meg az első Fibonacci szám négyzetösszegét! Ismét próbálgatás az első lépés a megoldás megsejtéséhez! Némi gondolkodás után a jobb oldali számokat a következőképpen írhatjuk fel Fibonacci számokkal: Sejtésünk a fentiek alapján: Sejtésünket teljes indukcióval bizonyítjuk -re az állítás igaz, hiszen Ha -re igaz, akkor -re is teljesül, mert az egyenlet mindkét oldalához -et adva a következőt kapjuk: amivel éppen a bizonyítandó állítást nyertük Eredményünket jól szemlélteti a következő ábra, 6
7
8 6 feladat Helyezzünk képzeletben két üvegtáblát egymásra! Hányféleképpen haladhat át vagy verődhet vissza egy, a felső üvegtáblába belépő fénysugár, ha közben pontosan -szer változtat irányt? Először készítsünk vázlatrajzot! Ha páros, akkor a páros számú irányváltás miatt a fénysugár átmegy az üveglapokon, és alul jön ki Ellenkező esetben a beesési oldalon, azaz felül Számoljuk össze az -szer ( ) megtörő sugárlehetőségeket! Ha először az alsó üveg alsó felületén törik meg, akkor onnan annyiféleképpen folytathatja útját, mint amennyiféleképpen irányváltoztatás esetén haladhat (képzeljük el fejjel lefelé a fénysugár további útját!) Ha viszont a fénysugár elsőre már a két üveg határfelületén megtörik, akkor a beesési, felső felületre ér, onnan újra visszaverődik, és innen újrakezdődik a lehetőségek számolása, de most már csak irányváltással A fenti két lehetőség összege adja a megoldást: azaz a fénysugár áthaladási lehetőségeinek száma a Fibonacci sorozatot követi, 8
9 7 feladat Egy beton panel lakótelep felújításánál a házakat úgy akarják befesteni, hogy minden emelet vagy narancs, vagy fehér legyen Esztétikai okokból kikötik, hogy egymás melletti két emelet nem lehet narancs Hányféleképpen lehet az utasításnak megfelelően kifesteni egy földszintes, egy egy-, két-, illetve általában egy -emeletes házat? Földszintes házat kétféleképpen lehet kifesteni: fehérre (F) vagy narancsra (N) Egyemeletest már háromféleképpen, (FF, FN, NF) Kétemeletest ötféleképpen (FFF, FFN, FNF, NFF, NFN) Az -emeletes házak közül annyinak lehet fehér a legfelső emelete, ahányféle nála kisebb emeletes ház létezik, azaz -nek, hiszen az -emeletes házak mindegyikét megtoldhatjuk egy fehér emelettel Narancs emelet azonban csak azokra kerülhet, amelyek legfelső szintje fehér, mert két narancs emelet egymásra nem kerülhet Hány olyan -emeletes házunk volt, amelynek fehér volt a legfelső emelete? Pontosan annyi, amennyi -emeletes házunk volt összesen, ugyanis minden ilyen tetejére kerülhetett fehér emelet A helyes válasz tehát az, hogy annyiféleképpen festhetjük ki egy -emeletes ház emeleteit a feladat szabályai szerint, ahány - és -emeletes házzal ezt összesen megtehetjük A fentiek miatt egy -emeletes házat -féleképpen festhetünk ki fehérre-narancsra a feladat szabályai szerint 9
10 8 feladat Jelölje azt a természetes számot, ahányféleképpen az természetes szám felírható 1-esek, 3-asok és 4-esek összegeként (az összeg tagjainak sorrendje számít, pl, mert,,, és ) Bizonyítsuk be, hogy négyzetszám! Ha -re az összeg első tagja 1, akkor a többi tag -féle lehet Ha -re az összeg első tagja 3, akkor a többi tag -féle lehet Ha -re az összeg első tagja 4, akkor a többi tag -féle lehet Mivel ezzel minden lehetőséget kimerítettünk, Számoljunk ki néhány elemet a már meglévő képlet alapján! E néhány elem alapján azt sejtjük, hogy páros indexekre az eredmény négyzetszám, azaz -re négyzetszám Bizonyítsuk is be ezt! minden Azt állítjuk, hogy az továbbá és sorozatban az alapok mindegyike az előző kettő összege, Teljes indukcióval bizonyítjuk -re és -re az egyenlőségek teljesülnek Tegyük fel, hogy igazak -re, és bizonyítsuk -re!, valamint Ezzel az állítást bebizonyítottuk Mivel 2012 páros szám, ezért valóban négyzetszám 10
11 9 feladat Számítsuk ki, hogy hány olyan permutációja van az számoknak, amelyben minden mellett teljesül, hogy ( ) Szemléletesen szólva ez annyit jelent, hogy az számoknak csak az olyan permutációit vesszük, amelyekben minden egyes szám vagy megmarad az alapsorrendbeli helyén, vagy az egyik szomszédja helyére kerül Ezek szerint a számoknál három új lehetséges hely jön szóba, míg az 1 és számoknál csak kettő Jelöljük a fenti ( ) tulajdonságú permutációk számát - nel A feltétel szerint értéke vagy Az első esetben az számok permutációja, melyre ugyancsak teljesül ( ), ezek száma tehát A második esetben -nel csak lehet egyenlő, tehát az első természetes szám ( ) tulajdonságú permutációja Ezek száma, tehát Természetesen ennek a képletnek csak mellett van értelme, így meghatározásához szükségünk van az első két elemre, melyek nyilván és Újra a Fibonacci számokat kaptuk, mégpedig 11
12 10 feladat Bizonyítsuk be, hogy minden harmadik Fibonacci szám páros! Bizonyítandó tehát, hogy minden természetes számra osztható 2-vel A bizonyítást teljes indukcióval végezzük Az állítás és értékekre könnyen ellenőrizhető (, illetve párosak) Tegyük fel, hogy természetes számra teljesül az állítás! Következik ebből, hogy teljesül? -re is A jobb oldal osztható 2-vel, az első tag nyilvánvaló okok miatt, a második pedig az indukciós feltevés nyomán Így a bal oldal is osztható 2-vel 12
13 11 feladat Bizonyítsuk be, hogy minden negyedik Fibonacci szám osztható hárommal! Az állítást teljes indukcióval végezzük Egyrészt osztható 3-mal, másrészt ha osztható 3-mal, akkor is mindig osztható, mert Ugyanis a jobb oldalon az első tag nyilvánvalóan 3 többszöröse, a második pedig a feltevésünk szerint osztható 3-mal 13
14 12 feladat Bizonyítsuk be, hogy az szomszédos Fibonacci számok minden természetes számra relatív prímek! Az állítást indirekt módon bizonyítjuk Tegyük fel, hogy adott -re létezik olyan természetes szám, amely mind -nek, mind -nek osztója A Fibonacci sorozat általános tagjának definíciójából átrendezéssel következik, hogy A feltevés szerint azonban a bal oldal mindkét tagja, így az egész bal oldal osztható -val, következésképpen a jobb oldal is Ekkor azonban az szomszédos Fibonacci számok is mindketten oszthatók -val, aminek az előző gondolatmenet szerinti következménye, hogy is osztható Az eljárást -szer alkalmazva azt kapjuk, hogy osztója 1-nek, ami nem lehetséges A kiindulási feltevésünk tehát hamisnak bizonyult, és ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk 14
15 13 feladat Mi köze van a Fibonacci számoknak az aranymetszéshez (ha egy szakaszt oly módon osztunk fel két kisebb szakaszra, hogy a két kisebb szakasz aránya megegyezik az eredeti szakasz és a nagyobbik rész arányával, aranymetszésről beszélünk)? Tekintsünk egy egységnyi hosszú szakaszt, amelyet két részre osztunk Ha -szel jelöljük a hosszabik részt, akkor a rövidebbik hossza lesz Ha az hosszúságú szakasz aranymetszete az 1-nek, akkor teljesül a következő egyenlőség Átrendezés után Az egyenlet egyik megoldása negatív, ezért csak a másik érint bennünket, hiszen szakaszhosszak arányáról van szó A megoldás,, ami annyit jelent, hogy az 1 aranymetszete pontosan ez a szám Ez az irracionális szám tizedes törttel közelítve: 0, Vajon hogyan kapcsolódik ez az irracionális szám a Fibonacci számokhoz? A Fibonacci sorozat rekurzív módon definiált sorozat, amelynek -dik elemét kezdőelemek mellett esetén a következőképpen kapjuk: és Képezzük most az hányados sorozatot Az első néhány értéket kiszámítva a következő kerekített értékeket kapjuk: 1; 0,5; 0, ; 0,6; 0,625; 0, ; 0, ; 0, ; 0, ; 0, ; 0, ; A sorozat 11-dik tagja már 5 jegyben megegyezik az aranymetszés értékével Határozzuk meg, hogy milyen számhoz közelít valójában ez a sorozat, hiszen gyanúsan közel lehet az imént az aranymetszésnél kapott irracionális számhoz Keressük most az sorozat határértékét! Ebben az esetben az előbbi érték reciprokát kell kapnunk A továbbiakban feltételezzük, hogy tényleg van ilyen szám, valójában ez bizonyításra szorul Tudjuk, hogy 15
16 Úgy képzeljük, hogy ha nagyon nagy, akkor és is nagyon közel van ehhez a számhoz, így e szám reciprokához Erre a számra, amelyet jelöljünk most -szel, növelése esetén a következőnek kell teljesülnie: minden határon túli Ebből -et már meghatározhatjuk, Számunkra a pozitív gyök a fontos:, ha Így az hányados sorozat határértéke, ami éppen az aranymetszés arányszáma 16
17 14 feladat Egy konvex ötszög mindegyik átlója párhuzamos az ötszög egyik oldalával Mutassuk meg, hogy minden oldalnak és a vele párhuzamos átlónak az aránya egyenlő Mennyi ezen arány értéke? Először készítsünk vázlatot! A B F G E C D Az oldalakat és átlókat egyértelműen párokba tudjuk állítani Például az oldallal csak a átló lehet párhuzamos, ugyanis a többi átló valamelyik végpontja megegyezik az oldal valamelyik végpontjával Elég azt bizonyítani, hogy, vagyis hogy két ugyanazon csúcsból kiinduló átló és a velük párhuzamos oldalak aránya megegyezik, mert az ötszög egyik csúcsa sincs felruházva speciális tulajdonsággal, így amit most bizonyítunk, megtehetjük bármely két közös csúcsból kiinduló átlóra Eszerint az arány értéke mind az öt párhuzamos szakaszpárra nézve ugyanaz lesz A átlónak az és átlókkal való metszéspontjait rendre -fel és -vel jelöltük A keletkezett paralelogrammákban a következő szakaszegyenlőségek teljesülnek: és A párhuzamos szelők tételét a szög száraira alkalmazva kapjuk: Már csak annyi a feladatunk, hogy kiderítsük, mekkora ez a közös arány A és háromszögek hasonlóak, mert oldalaik párhuzamosak Hasonlóságukat segítségül véve megállapíthatjuk az oldalak és a megfelelő átlók közös arányát Ezzel az egyenlettel már találkoztunk a 13 feladatban, a pozitív megoldás: 17
18 15 feladat Lehet-e mértani sorozat Fibonacci típusú sorozat? Más szavakkal, van-e olyan mértani sorozat, amely eleget tesz a Fibonacci sorozat képzési szabályának, de az első két tagja bármely két valós szám lehet? Adjunk meg ilyen sorozatokat! Jelöljük egy mértani sorozat első elemét -val, hányadosát pedig -val Ekkor az alábbiakat írhatjuk: Meg tudjuk úgy választani -t, hogy a Fibonacci sorozat képzési szabálya érvényes legyen a fenti sorozatra, azaz minden -re teljesüljön, hogy Ennek teljesítéséhez elég, ha igaz, hogy? Ez az egyenlőség akkor teljesül, ha egyben Fibonacci típusú sorozat is Tehát ezek alapján a következő két mértani sorozat ; ; ; ; ; ; ; ; 18
19 16 feladat A 15 feladatban kapott sorozatok felhasználásával adjuk meg a Fibonacci sorozat -dik tagjának explicit, azaz rekurziómentes képletét! Ha a 15 feladat megoldása során kapott két mértani sorozatban szereplő -t és -t meg tudnánk választani úgy, hogy a két Fibonacci típusú sorozat összege pont a Fibonacci sorozatot adja, nyert ügyünk lenne Akkor ugyanis a mértani sorozat ismert képletének segítségével könnyen kiszámíthatnánk az -dik Fibonacci számot Egy fontos lépés viszont kimaradt Vajon két Fibonacci típusú sorozat összege is Fibonacci típusú lesz? Ezt könnyen beláthatjuk Legyenek és Fibonacci típusú sorozatok Ekkor A megfelelő oldalak összeadása után a kapott egyenlet így néz ki:, ami pontosan azt jelenti, hogy az sorozat, tehát az összeg sorozat is Fibonacci típusú lesz Visszatérve a két Fibonacci típusú sorozatunkhoz, már csak annyi a dolgunk, hogy -t és -t meghatározzuk, mégpedig úgy, hogy a két sorozat összege pontosan a Fibonacci sorozatot adja ki Ehhez elegendő feltétel az, hogy és Ekkor ugyanis az összeg sorozat első eleme 0, a második 1, a továbbiak pedig már rendben vannak, mivel az első két tag meghatározza a továbbiakat Oldjuk meg az egyenletrendszert! : és A képlet így a következő: Igen érdekes, hogy ez a formula minden -re egész értéket ad, hiszen a képlet különböző irracionális számok hatványaiból, azok különbségéből és szorzatából áll 19
A döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY FŐVÁROSI DÖNTŐ SZÓBELI (2005. NOVEMBER 26.) 5. osztály
5. osztály Írd be az ábrán látható hat üres körbe a 10, 30, 40, 60, 70 és 90 számokat úgy, hogy a háromszög mindhárom oldala mentén a számok összege 200 legyen! 50 20 80 Egy dobozban háromféle színű: piros,
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész
Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x
RészletesebbenPárhuzamos programozás
Párhuzamos programozás Rendezések Készítette: Györkő Péter EHA: GYPMABT.ELTE Nappali tagozat Programtervező matematikus szak Budapest, 2009 május 9. Bevezetés A számítástechnikában felmerülő problémák
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
RészletesebbenAz aktiválódásoknak azonban itt még nincs vége, ugyanis az aktiválódások 30 évenként ismétlődnek!
1 Mindannyiunk életében előfordulnak jelentős évek, amikor is egy-egy esemény hatására a sorsunk új irányt vesz. Bár ezen események többségének ott és akkor kevésbé tulajdonítunk jelentőséget, csak idővel,
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY DÖNTŐ 2004. 5. osztály
5. osztály Ha egy négyzetet az ábrán látható módon feldarabolunk, akkor a tangram nevű ősi kínai játékot kapjuk. Mekkora a nagy négyzet területe, ha a kicsié 8 cm 2? (A kis négyzet egyik csúcsa a nagy
Részletesebben2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia
. márius 9. Dr. Vinze Szilvia Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer
RészletesebbenKombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/
Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
RészletesebbenJavítóvizsga témakörei matematika tantárgyból
9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) Javítási-értékelési útmutató Kérjük a javító tanárokat,
RészletesebbenELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA, KIRCHHOFF I. TÖRVÉNYE, A CSOMÓPONTI TÖRVÉNY ELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA. 1. ábra
ELLENÁLLÁSOK PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁSA Három háztartási fogyasztót kapcsoltunk egy feszültségforrásra (hálózati feszültségre: 230V), vagyis közös kapocspárra, tehát párhuzamosan. A PÁRHUZAMOS KAPCSOLÁS ISMÉRVE:
RészletesebbenAzonosító jel: Matematika emelt szint
I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012
RészletesebbenA skatulya-elv alkalmazásai
1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 10 X DETERmINÁNSOk 1 DETERmINÁNS ÉRTELmEZÉSE, TULAJdONSÁGAI A másodrendű determináns értelmezése: A harmadrendű determináns értelmezése és annak első sor szerinti kifejtése: A
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség
Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek
RészletesebbenJelek tanulmányozása
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás
RészletesebbenMATEMATIKA VERSENY --------------------
Vonyarcvashegyi Eötvös Károly Általános Iskola 2014. 8314 Vonyarcvashegy, Fő u. 84/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen, majd oldd meg a feladatokat! A részeredményeket
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria IV.
Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Jelöljük az adott kört k val, a kör középpontját O val, az adott külső pontot pedig P vel. A szerkesztéshez azt használjuk
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk
RészletesebbenHa a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk.
Síkidomok Ha a síkot egyenes vagy görbe vonalakkal feldaraboljuk, akkor síkidomokat kapunk. A határoló vonalak által bezárt síkrész a síkidom területe. A síkidomok határoló vonalak szerint lehetnek szabályos
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. I. rész Fontos tudnivalók A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot
RészletesebbenMágneses szuszceptibilitás vizsgálata
Mágneses szuszceptibilitás vizsgálata Mérést végezte: Gál Veronika I. A mérés elmélete Az anyagok külső mágnesen tér hatására polarizálódnak. Általában az anyagok mágnesezhetőségét az M mágnesezettség
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
Részletesebben1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.
RészletesebbenMBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Jelölje Z az egész számok halmazát, N a pozitív egészek halmazát, N 0 a nem negatív egészek halmazát, Q a racionális
RészletesebbenG Szabályfelismerés 2.2. 2. feladatcsomag
ÖSSZEFÜÉSEK Szabályfelismerés 2.2 Alapfeladat Szabályfelismerés 2. feladatcsomag összefüggés-felismerő képesség fejlesztése szabályfelismeréssel megkezdett sorozat folytatása a felismert szabály alapján
Részletesebben1. forduló. MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév
MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló 1. feladat: Jancsi és Juliska Matematikai Memory-t játszik. A játék lényege, hogy négyzet alakú kártyákra vagy műveletsorokat írnak
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2012. NOVEMBER 24.) 3. osztály
3. osztály Két szám összege 33. Mennyi ennek a két számnak a különbsége, ha az egyik kétszerese a másiknak? Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a számjegyek összege legalább 25? 4. osztály A Zimrili
RészletesebbenA Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel
A Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel Virtuális vállalat 2013-2014/1. félév 3. gyakorlat Dr. Kulcsár Gyula A Hozzárendelési feladat Adott meghatározott számú gép és ugyanannyi független
Részletesebben3. Matematikai logika (megoldások)
(megoldások) 1. Hamis, ugyanis P, Q és R logikai értékét behelyettesítve kapjuk: (P Q) R = (1 0) 0 = 0 0 = 0. (Ebben és a további feladatok megoldásában alkalmazzuk a D 3.1 denícióit. A megoldást célszer
RészletesebbenADATBÁZIS-KEZELÉS. Funkcionális függés, normál formák
ADATBÁZIS-KEZELÉS Funkcionális függés, normál formák KARBANTARTÁSI ANOMÁLIÁK beszúrási anomáliák törlési anomáliák módosítási anomáliák DOLG_PROJ(Dszsz, Pszám, Dnév, Pnév, Órák) 2 MÓDOSÍTÁSI ANOMÁLIÁK
Részletesebben3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek
3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,
RészletesebbenA SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
RészletesebbenÁramlástechnikai gépek soros és párhuzamos üzeme, grafikus és numerikus megoldási módszerek (13. fejezet)
Áramlástechnikai gépek soros és párhuzamos üzeme, grafikus és numerikus megoldási módszerek (3. fejezet). Egy H I = 70 m - 50000 s /m 5 Q jelleggörbéjű szivattyú a H c = 0 m + 0000 s /m 5 Q jelleggörbéjű
RészletesebbenNagy András. Számelméleti feladatgyűjtemény 2009.
Nagy András Számelméleti feladatgyűjtemény 2009. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 1 Bevezetés... 2 1. Feladatok... 3 1.1. Természetes számok... 3 1.2. Oszthatóság... 5 1.3. Legnagyobb közös osztó, legkisebb
RészletesebbenOperációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 00/003 tanév, II évf félév Előadó: Dr Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs u 9 GT fszt 3 (99) 58 640
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 3 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 010 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 010. június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
RészletesebbenÚtmutató a vízumkérő lap kitöltéséhez
Útmutató a vízumkérő lap kitöltéséhez A vízumkérő lap ( Visa application form of the People s Republic of China, Form V. 2013 ) az egyik legfontosabb dokumentum, amit a kínai vízumra való jelentkezésnél
RészletesebbenÉrettségi feladatok Algoritmusok egydimenziós tömbökkel (vektorokkal) 1/6. Alapműveletek
Érettségi feladatok Algoritmusok egydimenziós tömbökkel (vektorokkal) 1/6 A tömbök deklarálásakor Pascal és C/C++ nyelvekben minden esetben meg kell adni az indexelést (Pascal) vagy az elemszámot (C/C++).
Részletesebben2004. december 1. Irodalom
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK I. 2004. december 1. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
Részletesebben[MECHANIKA- HAJLÍTÁS]
2010. Eötvös Loránd Szakközép és Szakiskola Molnár István [MECHANIKA- HAJLÍTÁS] 1 A hajlításra való méretezést sok helyen lehet használni, sok mechanikai probléma modelljét vissza lehet vezetni a hajlítás
Részletesebben6. Alapfeladat n dolgot, melyek közt vannak egyformák, hányféleképpen lehet sorbatenni n!
Tételek, definíciók véges matematika alapszintű vizsgához Leszámlálási alapötletek és alapfeladatok 1. Alapötlet független döntések és szorzás. (Ha egy esetet olyan döntéssorozattal lehet legyártani, melyben
RészletesebbenXXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, 2015. április 8-12.
XXIV NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szbdk, 05 április 8- X évfolym A XXIV Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny tiszteletére Frici rjzolt Szbdk főterére egy 4 oldlú szbályos sokszöget Hány olyn egyenlő
RészletesebbenMATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből
RészletesebbenVektoralgebrai feladatok
Vektoralgebrai feladatok 1. Vektorok összeadása és szorzatai, azok alkalmazása 1.1 a) Írja fel a és vektorokat az és átlóvektorok segítségével! b) Milyen hosszú az + ha =1? 1.2 Fejezze ki az alábbi vektorokat
RészletesebbenLécgerenda. 1. ábra. 2. ábra
Lécgerenda Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Karimás csőillesztés már szóltunk arról, hogy a szeezetek számításaiban néha célszerű lehet a diszkrét mennyiségeket folyto - nosan megoszló mennyiségekkel
RészletesebbenHázi dolgozat. Minta a házi dolgozat formai és tartalmi követelményeihez. Készítette: (név+osztály) Iskola: (az iskola teljes neve)
Házi dolgozat Minta a házi dolgozat formai és tartalmi követelményeihez Készítette: (név+osztály) Iskola: (az iskola teljes neve) Dátum: (aktuális dátum) Tartalom Itt kezdődik a címbeli anyag érdemi kifejtése...
RészletesebbenKerékpárlabda kvalifikációs szabályzat
Kerékpárlabda kvalifikációs szabályzat Érvényesség kezdete: Junior kategória 2016 június 1 Felnőtt kategória 2016 január 1 Tartalom I. Célja... 3 II. Szabályozás... 3 1) A versenyek meghatározása... 3
RészletesebbenÁbrahám Gábor A háromszög és a terület Feladatok. Feladatok
I. Klasszikus, bevezető feladatok Feladatok 1. Az alábbi feladatokban hányad része a satírozott rész területe az eredeti négyszög területének? a) Egy paralelogramma valamely belső pontját összekötjük a
RészletesebbenMinta 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR
1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 11. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach 2005. november 22.
1 Diszkrét matematika I, 11 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 22 Permutációk Definíció Permutáción n különböző elem valamely sorrendjét
RészletesebbenSzámelmélet I. 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései
Számelmélet I. Tantárgy neve Számelmélet I. Tantárgy kódja MTB 1011 Meghirdetés féléve 3. félév Kreditpont 3 Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Számonkérés módja Kollokvium Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB 1003
RészletesebbenMatematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 1. : Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
Részletesebbenxdsl Optika Kábelnet Mért érték (2012. II. félév): SL24: 79,12% SL72: 98,78%
Minőségi mutatók Kiskereskedelmi mutatók (Internet) Megnevezés: Új hozzáférés létesítési idő Meghatározás: A szolgáltatáshoz létesített új hozzáféréseknek, az esetek 80%ban teljesített határideje. Mérési
RészletesebbenDiofantikus egyenletekről
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Diofantikus egyenletekről Szakdolgozat Készítette: Szoldatics Szandra Matematika BSc, tanári szakirány Témavezető: Pappné dr. Kovács Katalin egyetemi
RészletesebbenOsztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.
RészletesebbenAz Európai Szabadalmi Egyezmény végrehajtási szabályainak 2010. április 1-étől hatályba lépő lényeges változásai
DANUBIA Szabadalmi és Védjegy Iroda Kft. Az Európai Szabadalmi Egyezmény végrehajtási szabályainak 2010. április 1-étől hatályba lépő lényeges változásai A Magyar Iparjogvédelmi és Szerzői Jogi Egyesület
RészletesebbenA táblázatkezelő felépítése
A táblázatkezelés A táblázatkezelő felépítése A táblázatkezelő felépítése Címsor: A munkafüzet címét mutatja, és a program nevét, amivel megnyitottam. Menüszalag: A menüsor segítségével használhatjuk az
RészletesebbenA parabola és az egyenes, a parabola és kör kölcsönös helyzete
66 A paraola 00 egyen a keresett kör középpontja Az pont koordinátái: ( y) Ekkor felírhatjuk a következô egyenletet: ( - ) + ( y- ) = mert a kör sugara > 0 Innen rendezéssel: ( y- ) = 6 - A mértani hely
RészletesebbenAmit a Hőátbocsátási tényezőről tudni kell
Amit a Hőátbocsátási tényezőről tudni kell Úton-útfélen mindenki róla beszél, már amikor épületekről van szó. A tervezéskor találkozunk vele először, majd az építkezéstől az épület lakhatási engedélyének
RészletesebbenEMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint írásbeli
RészletesebbenÁrverés kezelés ECP WEBSHOP BEÉPÜLŐ MODUL ÁRVERÉS KEZELŐ KIEGÉSZÍTÉS. v2.9.28 ECP WEBSHOP V1.8 WEBÁRUHÁZ MODULHOZ
v2.9.28 Árverés kezelés ECP WEBSHOP BEÉPÜLŐ MODUL ÁRVERÉS KEZELŐ KIEGÉSZÍTÉS ECP WEBSHOP V1.8 WEBÁRUHÁZ MODULHOZ AW STUDIO Nyíregyháza, Luther utca 5. 1/5, info@awstudio.hu Árverés létrehozása Az árverésre
RészletesebbenHatározatlan integrál
. fejezet Határozatlan integrál Határozatlan integrál D. Azt mondjuk, hogy az egyváltozós valós f függvénynek a H halmazon primitív függvénye az F függvény, ha a H halmazon f és F értelmezve van, továá
RészletesebbenKorszerű geodéziai adatfeldolgozás Kulcsár Attila
Korszerű geodéziai adatfeldolgozás Kulcsár Attila Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Főiskolai Kar Térinformatika Tanszék 8000 Székesfehérvár, Pirosalma -3 Tel/fax: (22) 348 27 E-mail: a.kulcsar@geo.info.hu.
Részletesebbenhttp://www.olcsoweboldal.hu ingyenes tanulmány GOOGLE INSIGHTS FOR SEARCH
2008. augusztus 5-én elindult a Google Insights for Search, ami betekintést nyújt a keresőt használók tömegeinek lelkivilágába, és időben-térben szemlélteti is, amit tud róluk. Az alapja a Google Trends,
RészletesebbenI. rész. Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati. Név:...osztály:... Matematika kisérettségi. 2012. május 15. Fontos tudnivalók
Matematika kisérettségi 2012. május 15. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az id elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetsz leges. 3. A
RészletesebbenCsecsemő- és gyermeknevelőgondozó. 55 761 01 0000 00 00 Csecsemő- és gyermeknevelőgondozó
A 10/2007 (II. 27.) SzMM rendelettel módosított 1/2006 (II. 17.) OM rendelet Országos Képzési Jegyzékről és az Országos Képzési Jegyzékbe történő felvétel és törlés eljárási rendjéről alapján. Szakképesítés,
RészletesebbenSpiel der Türme TORNYOK JÁTÉKA
Spiel der Türme TORNYOK JÁTÉKA A történet a középkori Tornyok Városával kezdődik. A négy hataloméhes nemesi család mindegyike arra törekszik, hogy megszerezzék a befolyást a legerősebb torony vagy még
RészletesebbenConjoint-analízis példa (egyszerűsített)
Conjoint-analízis példa (egyszerűsített) Az eljárás meghatározza, hogy a fogyasztók a vásárlás szempontjából lényeges terméktulajdonságoknak mekkora relatív fontosságot tulajdonítanak és megadja a tulajdonságok
RészletesebbenMÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉKEINEK ÉS SAJÁTVEKTORAINAK KISZÁMÍTÁSA. 1. Definíció alkalmazásával megoldható feladatok
Bevezetés: MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉKEINEK ÉS SAJÁTVEKTORAINAK KISZÁMÍTÁSA Jelölés: A mátrix sajátértékeit λ 1, λ 2, λ 3,.stb. betűkkel, míg a különböző sajátvektorokat x 1, x 2, x 3 stb. módon jelöljük Definíció:
RészletesebbenA mérés célja: Példák a műveleti erősítők lineáris üzemben történő felhasználására, az előadásokon elhangzottak alkalmazása a gyakorlatban.
E II. 6. mérés Műveleti erősítők alkalmazása A mérés célja: Példák a műveleti erősítők lineáris üzemben történő felhasználására, az előadásokon elhangzottak alkalmazása a gyakorlatban. A mérésre való felkészülés
RészletesebbenIV.5. GARÁZS 1. A feladatsor jellemzői
IV.5. GARÁZS 1. Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Lineáris egyenlet, egyenletrendszer. Elsőfokú függvény. Többismeretlenes problémák megoldása egyenletrendszerek felírásával algebrai úton, illetve intuitív
Részletesebben1. Mintapélda, amikor a fenék lekerekítési sugár (Rb) kicsi
1 Mélyhúzott edény teríték méretének meghatározása 1. Mintapélda, amikor a fenék lekerekítési sugár (Rb) kicsi A mélyhúzott edény kiindulási teríték átmérőjének meghatározása a térfogat-állandóság alapján
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
2007. jnuár 27. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2007. jnuár 27. 11:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást
RészletesebbenEgyszerű áramkörök vizsgálata
A kísérlet célkitűzései: Egyszerű áramkörök összeállításának gyakorlása, a mérőműszerek helyes használatának elsajátítása. Eszközszükséglet: Elektromos áramkör készlet (kapcsolótábla, áramköri elemek)
RészletesebbenA Közbeszerzések Tanácsa (Szerkesztőbizottsága) tölti ki A hirdetmény kézhezvételének dátuma KÉ nyilvántartási szám
KÖZBESZERZÉSI ÉRTESÍTŐ A Közbeszerzések Tanácsának Hivatalos Lapja 1024 Budapest, Margit krt. 85. Fax: 06 1 336 7751, 06 1 336 7757 E-mail: hirdetmeny@kozbeszerzesek-tanacsa.hu On-line értesítés: http://www.kozbeszerzes.hu
RészletesebbenA mérgezett csoki játék új megközelítés
A mérgezett csoki játék új megközelítés Diplomamunka Készítette: Horváth Gábor Témavezető: Szabó Csaba egyetemi docens Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2004 Tartalomjegyzék Bevezetés
RészletesebbenNyomott - hajlított fagerenda szilárdsági méretezése ~ egy régi - új megoldás
Nyomott - ajlított fagerenda szilárdsági méretezése ~ egy régi - új oldás Már régóta foglalkozom erőtani problémákkal, ám nagy lepetésemre a minap egy olyan érdekes feladat - oldást találtam, amilyet még
Részletesebben0642. MODUL SZÁMELMÉLET. A számok osztói, az oszthatósági szabályok KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA
0642. MODUL SZÁMELMÉLET A számok osztói, az oszthatósági szabályok KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0642. Számelmélet A számok osztói, az oszthatósági szabályok Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret
RészletesebbenTRANZISZTOROS KAPCSOLÁSOK KÉZI SZÁMÍTÁSA
TRNZSZTOROS KPSOLÁSOK KÉZ SZÁMÍTÁS 1. gyenáramú számítás kézi számításokhoz az ábrán látható egyszerű közelítést használjuk: = Normál aktív tartományban a tranzisztort bázis-emitter diódáját az feszültségforrással
RészletesebbenElőre is köszönjük munkádat és izgatottan várjuk válaszaidat! A Helleresek
A Heller Farkas Szakkollégium 2016-os felvételi kérdőívét tartod a kezedben, amely által megteheted az első lépést a Helleres úton. Az írásbeli kérdőív kitöltése után a felvételi következő lépése egy szóbeli
RészletesebbenElemi adatszerkezetek
2015/10/14 13:54 1/16 Elemi adatszerkezetek < Programozás Elemi adatszerkezetek Szerző: Sallai András Copyright Sallai András, 2011, 2014 Licenc: GNU Free Documentation License 1.3 Web: http://szit.hu
RészletesebbenPróba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ
Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK, SOROZATOK
FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK A FÜGGVÉNYFOGALOM ELŐKÉSZÍTÉSE 1-6. OSZTÁLY Adott szabály követése Szabályfelismerés és szabálykövetés Szabályfelismerés és szabály megadása szöveggel, képlettel EGYENES ÉS FORDÍTOTT
Részletesebben31 521 09 1000 00 00 Gépi forgácsoló Gépi forgácsoló
Az Országos Képzési Jegyzékről és az Országos Képzési Jegyzékbe történő felvétel és törlés eljárási rendjéről szóló 133/2010. (IV. 22.) Korm. rendelet alapján. Szakképesítés, szakképesítés-elágazás, rész-szakképesítés,
RészletesebbenKérdések és feladatok
Kérdések és feladatok 1. A mesében több szám is szerepel. Próbáld meg felidézni ezeket, majd töltsd ki a táblázatot! Ügyelj, hogy a páros és a páratlan számok külön oszlopba kerüljenek! Hány napos volt
RészletesebbenProgramozás I. - 9. gyakorlat
Programozás I. - 9. gyakorlat Mutatók, dinamikus memóriakezelés Tar Péter 1 Pannon Egyetem M szaki Informatikai Kar Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Utolsó frissítés: November 9, 2009 1 tar@dcs.vein.hu
RészletesebbenKÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. október 20. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. október 20. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika
RészletesebbenEgyenlőtlenségek versenyfeladatokban: az analízis segít. Írta: Kőhalmi Krisztina
Egyenlőtlenségek versenyfeladatokban: az analízis segít Szakdolgozat Írta: Kőhalmi Krisztina Matematika BSc Témavezető: Besenyei Ádám Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem
RészletesebbenBoldva és Vidéke Taka r ékszövetkezet
A Takarékszövetkezet jelen ben szereplő, változó kamatozású i termékei esetében i kamatváltozást tesz közzé, az állandó (fix) kamatozású i termékek esetében pedig a 2014.06.15-től lekötésre kerülő ekre
Részletesebben