Sz ekelyhidi L aszl o Val osz ın us egsz am ıt as es matematikai statisztika *************** Budapest, 1998

Átírás

1 Székelyhidi László Valószínűségszámítás és matematikai statisztika *************** Budapest, 1998

2 Előszó Ez a jegyzet a valószínűségszámításnak és a matematikai statisztikának azokat a fejezeteit tárgyalja, amelyek a matematikatanár szakos hallgatók képzésében szerepet játszanak, figyelembe véve a tanárképző intézmények tanterveit és a felhasználható alapismereteket. Mivel a valószínűségelmélet tárgyalása ezen a szinten nem lehetséges a Lebesgue-féle mértékelmélet alapján, így a jegyzetben az úgynevezett naiv felépítést követjük. Mindazonáltal igyekszünk azokat a legfontosabb fogalmakat és tételeket bemutatni (utóbbiakat esetenként bizonyítás nélkül), amelyek kellő mértékben reprezentálják a modern valószínűségelmélet és a matematikai statisztika gyakorlati alkalmazhatóságát, módszereit. A valószínűségszámítással kapcsolatos fejezetek megírása során elsősorban az [5] és [10] munkákra támaszkodtunk, azok terminológiáját, jelölésrendszerét használtuk. A statisztikáról szóló fejezetek forrásmunkája főleg [2] és [9] volt. A feladatok összeállítása során elsősorban a [7], [9], [10] munkák feladatanyagát használtuk fel. Az egyes fejezetekhez feladatok csatlakoznak, melyek a gyakorlás mellett az anyag mélyebb elsajátítását hivatottak elősegíteni. A jegyzet írásakor erősen támaszkodtunk az irodalomjegyzékben felsorolt művekre, ezekből számos feladatot átvettünk, esetenként az adatok, illetve a fogalmazás kisebb módosításával.

3 TARTALOM 1. Bevezetés 1.1. Véletlen tömegjelenségek Kísérletek, események A kombinatorika elemei 2.1. Permutációk Kombinációk Variációk Feladatok Eseményalgebra 3.1. Eseménytér Műveletek eseményekkel Feladatok A valószínűség matematikai fogalma 4.1. Gyakoriság, relatív gyakoriság Valószínűségi mező Feladatok A klasszikus valószínűségi mező 5.1. Véletlen húzás Több kocka egyidejű feldobása Egy mintavételi probléma Feladatok Geometriai valószínűségek 6.1. Geometriai valószínűségek értelmezése Háromszög szerkeszthetősége Találkozási probléma A Bertrand-féle paradoxon A Buffon-féle tűprobléma Feladatok

4 7. A valószínűség alapvető összefüggései 7.1. Elemi tulajdonságok Az additivitás és a szubadditivitás A valószínűség folytonossága Feladatok Feltételes valószínűség és függetlenség 8.1. A feltételes valószínűség értelmezése A feltételes valószínűség tulajdonságai A teljes valószínűség tétele A Bayes-tétel Függetlenség Feladatok Valószínűségi változók 9.1. A valószínűségi változó értelmezése Eloszlásfüggvény Diszkrét és folytonos eloszlások Feladatok Eloszlások Valószínűségi változók függvényeinek eloszlása Együttes eloszlás Valószínűségi változók függetlensége Eloszlások kompozíciója Feltételes eloszlás Véletlen bolyongás Feladatok A várható érték A várható érték értelmezése A várható érték tulajdonságai Valószínűségi változók függvényeinek várhatótértéke A feltételes várható érték Feladatok A szórás és a korrelációs együttható A szórás értelmezése A szórás tulajdonságai A kovariancia és a korrelációs együttható Feladatok Nevezetes valószínűségeloszlások A binomiális eloszlás

5 13.2. A hipergeometrikus eloszlás A Poisson-eloszlás A negatív binomiális eloszlás A geometriai eloszlás Az egyenletes eloszlás Az exponenciális eloszlás A normális eloszlás Feladatok Generátorfüggvények A generátorfüggvény értelmezése A generátorfüggvény alkalmazásai Feladatok Nevezetes egyenlőtlenségek és alkalmazásaik A Markov- és a Csebisev-egyenlőtlenség A nagy számok törvénye A Moivre-Laplace-tétel Feladatok A matematikai statisztika elemei Statisztikai mező Gyakran használt statisztikák Feladatok Statisztikai becslések A statisztikai becslés fogalma Torzítatlan becslések Hatásos becslések Konzisztens becslések A maximumlikelihood-becslés Konfidenciaintervallumok Feladatok Hipotézisvizsgálat, statisztikai próbák Statisztikai hipotézisvizsgálat Statisztikai próbák Az u-próba A t-próba A χ 2 -próba Feladatok Regressziók Kétváltozós regresszió

6 19.2. Lineáris regresszió Regresszió normális eloszlás esetén Linearizálható regresszió Feladatok Irodalomjegyzék