1. HÁROMSZÖGGEOMETRIA

Átírás

1 1.1. Nevezetes egyenlőtlenségek 1. HÁROMSZÖGGEOMETRIA Fagnano feladata: Bizonyítandó, hogy adott hegyesszögű hároszögbe írt legkisebb kerületű hároszög csúcsai az adott hároszög agasságainak talppontjaival esnek egybe. Fagnano tűzi ki és oldja eg 1775-ben differenciálszáítással. H.A. Schwarz öt tengelyes tükrözéssel, Fejér Lipót kettővel oldja eg 1900-ban. Középiskolai geoetriai feladatok gyűjteénye I. kötet 353. és 354. feladatok. Hajós: Bevezetés a geoetriába old. Pelle: Geoetria old. Coxeter: A geoetriák alapjai old. Sain: Mateatika történeti feladatok old. Kazarinoff: Geoetriai egyenlőtlenségek old. Foru Geoetricoru, 2004/ old. Ferat feladata: Adott hegyesszögű hároszög belsejében szerkesztendő olyan pont, aelyre a csúcsoktól ért távolságok összege a lehető legkisebb. Ezt a pontot Ferat-pontnak nevezzük. (Szerkesztésére két ód is kell!) Coxeter: A geoetriák alapjai old. Megjegyzés: Az adott hároszögnek ne feltétlen kell hegyesszögűnek lennie. Elegendő, ha csak azt követeljük eg, hogy a legnagyobb szöge 120 o -nál kisebb. A klasszikus hároszög egyenlőtlenség: Egy hároszög bárely két oldalának összege nagyobb a haradik oldalnál. Kovács: Geoetria 8.5. tétel. Hajós: Bevezetés a geoetriába 59. old. Pelle: Geoetria old. Alkalazás a súlyvonalakra: A hároszög súlyvonalainak összege a kerület és a kerület háronegyed része közé esik (Középiskolai geoetriai feladatok gyűjteénye I, 178, 179). Erdős-Mordell egyenlőtlenség: Egy hároszög belsejében vagy határvonalán lévő bárely pontra a csúcsoktól ért távolságok összege legalább kétszerese az oldalaktól ért távolságok összegének. Egyenlőség pontosan akkor van, ha a hároszög szabályos és ez a pont a hároszög középpontja. Erdős Pál tűzi ki 1935-ben, s ég ugyanezen év februárban a KöMal közli Mordell egoldását (ugyanezt az Aerican Math. Monthly 1937-ben közli). Kazarinoff 1945-ben adja az első elei egoldást. A tételnek száos bizonyítása isert, a legújabbak a Foru Geoetricoru elektronikus folyóiratban jelennek eg ( 2001/7-8. old., 2004/ old.) Nevezetes pontok, egyenesek és körök Hajós: Bevezetés a geoetriába old. Pelle: Geoetria old. Oldalfelező erőleges Definíció: Az oldal felezőpontján áthaladó és az oldalra erőleges egyenes. Tulajdonság: Azon pontok halaza (az oldalt tartalazó síkban), aelyek az oldal végpontjaitól egyenlő távolságra vannak. Tétel: A hároszög oldalfelező erőlegesei egy pontra illeszkednek. A hároszög oldalfelező erőlegeseinek etszéspontja egyenlő távol van a hároszög indháro csúcsától, így ez egy olyan kör középpontja, aely áthalad a hároszög csúcsain. 1

2 Ezt a kört a hároszög körülírt körének nevezzük, aelynek középpontja hegyesszögű hároszög esetén a hároszögön belül, derékszögű hároszög esetén az átfogó felezési pontjában, topaszögű hároszög esetén pedig a hároszögön kívül van. abc Tétel: Az a, b, c oldalú, T területű hároszög körülírt körének sugara R =. 4T a b c Tétel: Általános szinusz tétel: = = = 2R. sinα sin β sinγ Magasságvonal Definició: A hároszög egy csúcsából a szeközti oldalra bocsátott erőleges egyenes a csúcshoz (vagy oldalhoz) tartozó agasságvonal. A agasságvonalnak a csúcs és a szeközti oldal egyenese közötti szakaszát agasságnak nevezzük. Hegyesszögű hároszög indháro agassága a hároszögön belül van. Derékszögű hároszög egyik befogójához tartozó agasság a ásik befogó, az átfogóhoz tartozó agasság pedig a hároszögön belül van. Topaszögű hároszög esetén a topaszöggel szeközti oldalhoz tartozó agasság a hároszögön belül, íg a két hegyesszöggel szeközti oldalhoz tartozó agasság a hároszögön kívül van. Tétel: A hároszög agasságvonalai egy pontra illeszkednek. A hároszög agasságvonalainak etszéspontját a hároszög agasságpontjának (ortocentruának) nevezzük. Hegyesszögű hároszög agasságpontja a hároszögön belül, derékszögű hároszög agasságpontja a derékszög csúcsában, topaszögű hároszög agasságpontja a hároszögön kívül van. Ha egy hároszög ne derékszögű, akkor csúcsai a agasságponttal együtt ortocentrikus pontnégyest alkotnak: bárely háro pont által eghatározott hároszög agasságpontja a negyedik pont. Egy ortocentrikus pontnégyes négy különböző hároszöget határoz eg. Súlyvonal Definició: A hároszög egyik csúcsát a szeközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Bárely hároszög indháro súlyvonala a hároszögön belül halad. Tétel. A hároszög súlyvonalai egy pontra illeszkednek. A hároszög súlyvonalainak etszéspontját a hároszög súlypontjának (baricentruának) nevezzük, ai indháro súlyvonalnak a csúcstól távolabbi haradoló pontja. A hároszög súlypontja indig a hároszög belsejében van. A súlyvonalak a hároszöget hat egyenlő területű hároszögre osztják fel. A hároszög háro súlyvonalából indig szerkeszthető egy hároszög. A hároszög súlypontjának helyvektora a csúcsok helyvektorainak szátani közepe (Hajós: 301. old.). Szögfelező Definició: Ha A, B és O ne egy egyenesre illeszkedő pontok, akkor az OA határegyenesű B pontot tartalazó félsík és az OB határegyenesű A pontot tartalazó félsík közös részét AOB konvex szögtartoánynak (szögnek) nevezzük. Definició: Egy szögtartoány felezője a szög csúcsából kiinduló az a félegyenes, aely a szöget két egyenlő szögre osztja. Tulajdonság: Azon pontok halaza (a szögtartoányt tartalazó síkban), aelyek a szög száraitól egyenlő távolságra vannak. A szögfelező indig a szögtartoányban halad és a szögnek szietria tengelye. Tétel: A hároszög belső szögfelezői egy pontra ileszkednek. A hároszög belső szögfelezőinek etszéspontja egyenlő távol van a hároszög indháro oldalától, így ez egy olyan kör középpontja, aely érinti a hároszög oldalait. Ezt a kört a hároszög beírt körének nevezzük,aelynek középpontja indig a hároszögön belül van. 2

3 2T Tétel: Az a, b, c oldalú, T területű hároszög beírt körének sugara r =. a + b + c Definició: Két konvex szög egyás kiegészítő szöge, ha összegük 180 o. Két konvex szög egyás ellékszöge, ha együttesen egy félsíkot alkotnak, vagyis egyik száruk közös és a ásik kettő egy egyenest alkot. (Minden ellékszög egyúttal kiegészítő szög is, de egfordítva ne igaz!) A hároszög egy belső szögének bárelyik ellékszögét a tekintett csúcsnál lévő külső szögnek nevezzük. Tétel: A hároszög egyik csúcsánál lévő belső és ásik két csúcsánál lévő külső szögének felezői egy pontra illeszkednek. Ez a pont egyenlő távol van a belső szöggel szeközti oldaltól és a belső szög két szárától, így ez a pont egy olyan kör középpontja, aely érinti a szóbanforgó oldalt és a két szögszárt. Ezt a kört a tekintett oldalt érintő hozzáírt körnek nevezzük Tétel: Az a, b, c oldalú, 2s = a+b+c kerületű és T területű hároszög a oldalát érintő T T T hozzáírt körének sugara r a =. (Hasonlóan: r b = és r c =.) s a s b s c Euler-egyenes Tétel: A hároszög agasságpontja, súlypontja és körülírt körének középpontja egy egyenesre illeszkedik. Euler igazolja 1765-ben analitikus eszközökkel. A súlypont a ásik két pont között van: azok összekötő szakaszának a körülírt kör középpontjához közelebbi haradoló pontja. E háro nevezetes pont egyenesét Euler-egyenesnek nevezzük. Az Euler-egyenest e háro pont közül bárely kettő egyértelűen eghatározza. Szabályos hároszög esetén ez a háro pont egybeesik, s ekkor ne létezik Euler-egyenes. Egyenlőszárú hároszög Euler-egyenese az alap felező erőlegesével, derékszögű hároszögé az átfogóhoz tartozó súlyvonal egyenesével esik egybe. Általános hároszög Euler-egyenese csúcsoktól különböző pontokban etszi az oldalak egyeneseit: indhárat vagy csak kettőt. Ez utóbbi pontosan akkor lehetséges, ha a hároszögnek van olyan oldala, aelyen nyugvó két belső szög tangenseinek szorzata 3-al egyenlő: az Euler egyenes ezzel az oldallal párhuzaos. Feuerbach-kör (kilencpontos kör) Tétel: A hároszög oldalainak felezőpontjai, agasságainak talppontjai és a agasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai egy körre illeszkednek. Ezt a kört Feuerbach-körnek (vagy kilencpontos körnek) nevezzük. Hajós: Bevezetés a geoetriába old. Pelle: Geoetria old. Coxeter Greitzer: Az újra felfedezett geoetria old. A Feuerbach-kört a kilenc pont közül bárely háro egyértelűen eghatározza: például a agasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai. Ebből adódik, hogy a Feuerbach-kör a hároszög körülírt körének a képe annál a középpontos hasonlóságnál, aelynek centrua a agasságpont és aránya ½, s így a Feuerbach-kör középpontja felezi a agasságpont és a körülírt kör középpontjának összekötő szakaszát, sugara pedig a körülírt kör sugarának a fele. Történeti érdekesség, hogy Euler 1765-ben a kilenc pont közül hatot isert: kivéve a agasságpont és a csúcsok összekötő szakaszainak felező pontjait. Az első teljes bizonyítást Poncelet adta 1821-ben. Hogy ezt a kört égis Feuerbach-körnek nevezik, annak oka az, hogy ő 1822-ben egy újabb tulajdonsággal bővítette: A kilencpontos kör érinti a hároszög beírt körét és indháro hozzáírt körét. Adott ortocentrikus pontnégyes esetén előálló négy hároszög bárelyikének Feuerbach-köre tartalazza a ásik háro hároszög oldalfelező pontjait és agasságainak talppontjait is: egy 3

4 ortocentrikus pontnégyes négy hároszögének azonos a Feuerbach-köre, ai tehát összesen 16 nevezetes kört érint. Wallace-egyenes (Sison-egyenes) Tétel: A hároszög oldalainak egyeneseire a körülírt kör tetszőleges pontjából bocsátott erőlegesek talppontjai egy egyenesre illeszkednek. Ezt az egyenest a tekintett ponthoz tartozó Wallace-egyenesnek nevezzük. (Tehát egy hároszögnek végtelen sok Wallace-egyenese van.) Wallace igazolta 1797-ben, ajd Sison újra felfedezte a tételt. A hároszög egy csúcsához tartozó Wallace-egyenes a csúcson áthaladó agasságvonallal, a csúcspontnak a körülírt kör középpontjára vonatkozó tükörképéhez tartozó Wallace-egyenes pedig a csúccsal szeközti oldal egyenesével esik egybe. Hajós: Bevezetés a geoetriába old. Pelle: Geoetria old. Coxeter Greitzer: Az újra felfedezett geoetria old. Reian: Fejezetek az elei geoetriából old. Steiner Lehus tétel Definició: A hároszög belső szögfelezőinek a csúcs és a szeközti oldal közötti szakaszát szögfelező szakasznak nevezzük. (Ha ne okoz félreértést, akkor ezt is szögfelezőnek!) Segédtétel: Az a, b, c oldalú hároszög γ belső szögéhez tartozó szögfelező szakasznak a 2 2 ab[( a + b) c ] hossza f =. γ a + b A Mateatika Tanítása, 2001, 4. szá, 6-9. old. Tétel: Ha egy hároszög két belső szögfelező szakasza egyenlő hosszú, akkor ez a hároszög egyenlőszárú. Ezt a tételt Lehus 1840-ben küldi el Jacob Steinernek, aki arra tisztán geoetriai bizonyítást ad. (A fenti segédtétel egy algebrai bizonyításhoz vezet!) A talpponti hároszög Definició: A hegyesszögű hároszög agasságainak talppontjai által eghatározott hároszög. Segédtétel: A hegyesszögű hároszögből a talpponti hároszög oldalai által levágott hároszögek hasonlók az eredeti hároszöghöz. Segédtétel: A hegyesszögű hároszög agasságvonalai felezik a talpponti hároszög belső szögeit. Tétel: A hegyesszögű hároszög agasságpontja a talpponti hároszög beírt körének középpontja. Coxeter Greitzer: Az újra felfedezett geoetria 37. old. Definició: Legyen P az ABC hároszög síkjának tetszőleges pontja, és jelölje A 1, B 1, C 1 a BC CA,, AB egyenesekre P-ből bocsátott erőlegesek talppontjait. Ekkor az A 1 B 1 C 1 (esetleg elfajuló) hároszöget az ABC hároszög P pontra vonatkozó általános talpponti hároszögének nevezzük. Ha a tekintett pont egy hegyesszögű hároszög agasságpontja, akkor a fentebb ár egisert talpponti hároszöghöz jutunk vissza. Ha a tekintett pont a hároszög körülírt körének a középpontjával azonos, akkor az általános talpponti hároszög csúcsai az oldalfelező pontok. Ha pedig a tekintett pont rajta van a hároszög körülírt körén, akkor az általános talpponti hároszög elfajuló: a csúcspontok egy Wallace-egyenesre illeszkednek. 4

5 Tétel: Az a, b, c oldalú ABC hároszög P pontra vonatkozó A 1 B 1 C 1 általános talpponti c a b hároszögének oldalai A1 B1 = CP, B1C1 = AP, C1 A1 = BP, ahol R az ABC 2R 2R 2R hároszög körülírt körének a sugara. Tétel: Az ABC hároszög P pontra vonatkozó A 1 B 1 C 1 általános talpponti hároszögének a 2 2 OP R területe t( A1 B1C1 ) = t( ABC). 2 4R t( A1 B1C1) = 0 OP = R P k( ABC), vagyis ekkor az A 1, B 1, C 1 kollineáris pontok rajta vannak a P ponthoz tartozó Wallace-egyenesen. Coxeter Greitzer Az újra felfedezett geoetria, old. A Mateatika Tanítása, 2001, 5. szá 8-9. old Derékszögű hároszögre vonatkozó tételek (pitagoraszi tételcsoport) Pitagorasz-tétel - algebrai egfogalazás: A derékszögű hároszög átfogójának négyzete egyenlő a két befogó négyzeteinek összegével. - geoetriai egfogalazás: A derékszögű hároszög átfogója fölé rajzolt négyzet területe egyenlő a két befogó fölé rajzolt négyzet területeinek összegével. Pitagorasz-tétel egfordítása: Ha egy hároszögnek van olyan oldala, aelynek négyzete egyenlő a ásik két oldal négyzetének az összegével, akkor a hároszög derékszögű és ez az oldal az átfogó. Pitagorasz-tétel általánosítása: Ha a derékszögű hároszög oldalai fölé hasonló síkidookat rajzolunk, akkor a befogók fölötti síkidook területeinek az összege egyenlő az átfogó fölötti síkido területével. E tételnek száos további általánosítása van. Befogótétel -algebrai egfogalazás: A derékszögű hároszög bárely befogója értani közepe az átfogónak és a befogó átfogóra eső erőleges vetületének. -geoetriai egfogalazás: A derékszögű hároszög bárely befogója fölé rajzolt négyzet területe egyenlő annak a téglalapnak a területével, aelynek egyik oldala az átfogó és ásik oldala a befogónak az átfogóra eső erőleges vetülete. Magasságtétel - algebrai egfogalazás: A derékszögű hároszög átfogóhoz tartozó agassága a két befogó átfogóra eső erőleges vetületeinek a értani közepe. - geoetriai egfogalazás: A derékszögű hároszög agassága fölé rajzolt négyzet területe egyenlő egy olyan téglalap területével, aelynek oldalai az átfogó azon két része, aelyekre az átfogót a agasság talppontja osztja. Logikai kapcsolatok: - a Pitagorasz-tétel és a befogótétel ekvivalens állítások - a Pitagorasz-tételből és a befogótételből is következik a agasságtétel, de egfordítva ne, csak ha a Thalész-tételt hozzávesszük. 5

6 1.5. Általános hároszögre vonatkozó arányossági tételek Tétel: A hároszög egy oldalának és hozzátartozó agasságának szorzata független az oldal kiválasztásától. Hajós: Bevezetés a geoetriába, 122. old. Tétel: A hároszög bárely belső szögének felezője a szöggel szeközti oldalt két olyan részre osztja, aelyek aránya egyenlő a szöget közrefogó két oldal arányával. Megfordítás: Ha a hároszög egy oldalát valaely belső pont az oldallal szeközti szöget közrefogó két oldal arányában osztja, akkor az oldallal szeközti szög csúcsából kiinduló és ezt a pontot tartalazó félegyenes felezi a szóbanforgó szöget. Ugyanez jelölésekkel: Ha az ABC hároszögre D int AB esetén AD : DB = AC : BC, akkor (ACD ) = (BCD ). Tétel: A hároszög belső szögfelezőinek etszéspontja indháro szögfelező szakaszt két részre osztja: a csúcs elletti rész úgy aránylik a ásik részhez, int a szöget közrefogó két oldal összege a haradik oldalhoz. (Középiskolai geo. feladatok gyűjt. I, feladat) Tétel: Ha a hároszög valaely külső szögének felezője etszi a szöggel szeközti oldal egyenesét, akkor a etszéspontnak az oldal végpontjaitól ért távolságai úgy aránylanak egyáshoz, int a szeközti csúcsból ezekhez a végpontokhoz vezető oldalak. Hajós: Bevezetés a geoetriába, 123. old. Ha a hároszög egyenlőszárú, akkor a szárszög bárelyik külső szögének felezője párhuzaos az alappal Apolloniosz - kör Tétel: Azon pontok halaza egy síkban, aelyeknek ezen sík két adott pontjától ért távolságainak aránya 1-től különböző adott pozitív szá, egy kör. Definició: Ezt a kört Apolloniosz-körnek nevezzük. A tétel szerint az Apolloniosz-kör szietrikus a két adott pont összekötő egyenesére, továbbá az Apolloniosz- kört egyértelűen eghatározza a két adott pont és az arány értéke: ezek iseretében az Apolloniosz-kör egszerkeszthető. Ha a két adott pont A és B, valaint az arány értéke >1, akkor az Apolloniosz-kör AB egyenesre illeszkedő CD átérőjének végpontjaira C int AB és D AB \ AB, iközben AC = AB és AD = AB, s ennélfogva az Apolloniosz-kör sugarára r = AB 2 1 teljesül. Hajós: Bevezetés a geoetriába, old. Coxeter: A geoetriák alapjai, old. Feladat: Adott A és B pontok, valaint = 3/2 arány esetén Apolloniosz-kör szerkesztése. 6