VIII. Függvények tanulmányozása

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "VIII. Függvények tanulmányozása"

Átírás

1 5 Függvének tnulmánozás VIII. Függvének tnulmánozás 8.. A monotonitás vizsgált, egenlőtlenségek Tekintsük z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvént. A de- f ( ) f ( ) rivált értelmezésében szereplő kifejezés előjelével vizsgáltuk IX. osztálbn z f függvén monotonitását. H ez tört minden, (, b) esetén pozitív, kkor z f növekvő és h tört minden, (, b) esetén negtív, kkor z f függvén csökkenő. A Lgrnge tétel segítségével z előbbi tört értéke mindig helettesíthető derivált vlmilen behelettesítési értékével, tehát úg tűnik, hog függvén monotonitás szoros összefüggésben vn deriváltjánk előjelével. Az biztos, hog h derivált mindig pozitív, kkor z f függvén növekvő. A kérdés z, hog tuljdonság fordítv is igz-e (ugnis nem biztos, hog minden (, b) -beli érték előállíthtó vlmilen intervllumon Lgrnge tételben szereplő c -ként). Eg növekvő f f ( ) f ( ) függvén esetén z tört nem negtív, tehát derivált értelmezése lpján derivált minden pontbn pozitív. Ez lpján kijelenthetjük következő tételt: Tétel. Tekintsük z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvént. ) H f ( ) > minden (, b) esetén kkor függvén z (, b) -n. (, b) b) H f ( ) minden (, b) esetén kkor intervllumon. c) H f ( ) < minden (, b) esetén kkor függvén z (, b) -n. (, b) d) H f ( ) minden (, b) esetén kkor intervllumon. f szigorún növekvő f növekvő függvén z f szigorún csökkenő f csökkenő függvén z A b) és d) állítások fordítottj is igz. Az ) és c) állítások fordítottj nem igz, ezt tétel következméne után fogjuk látni. Bizonítás. Igzoljuk z ) lpontot, többi bizonítás hsonlón történik. Bárhogn dunk is meg z (, b) intervllumból két pontot, Lgrnge tétel < lpján vn oln < c < pont, hog teljesüljön z f ( ) ( ) ( ) f = f c ( ) egenlőség. H f ( ) > minden (, b) esetén, kkor f ( c) > és íg > -ből következik, hog f ( ) < f ( ). Mivel z (, b) két tetszőleges pontj volt, ezért < f szigorún növekvő függvén z (, b) intervllumon.

2 Függvének tnulmánozás 5 Következmén. H z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvén deriváltj z (, b) -n, kkor z f függvén konstns. Bizonítás. Az előbbi tétel lpján f növekvő is és csökkenő is, tehát < esetén teljesül z f ( ) f ( ) egenlőtlenség is és z f ( ) f ( ) egenlőtlenség is. Ez csk úg lehetséges, h f ( ) = f ( ), tehát függvén konstns. Ez tuljdonság Lgrnge tételből direkt úton is levezethető. Megjegzés. A tételben is és következménben is léneges z, hog függvén eg intervllumon értelmezett. H például z f :(,) (, ),, h (, ) f ( ) =, h (, ) függvént tekintjük, láthtó, hog z értelmezési trtománnk minden pontjábn deriválhtó, f ( ) =, (, ) (, ) de z f függvén mégsem állndó z értelmezési trtománon. Ugnkkor z f :[,] [,], ( ) ( ) 4,h, f ( ) =,h, függvén deriváltj szigorún pozitív és függvén mégsem növekvő, mert f () = 4 > = f (). Szélsőérték-pontok meghtározás. A Fermt tétel lpján, h függvén deriválhtó és szélsőértéke vn z intervllum belsejében, kkor ezen helen derivált null. A szélsőérték-pontok meghtározásánál tehát derivált zérusheleit kell meghtározni. A kifejezésmód egszerűsítése céljából következő értelmezést djuk: Értelmezés. Az f : D deriválhtó függvén esetén z S ( ) f = { int D f = } hlmz elemeit f stcionárius pontjink nevezzük. A Fermt tétel lpján szélsőérték-pontok mindig stcionárius pontok. Az f :, f ( ) = függvénre f ( ) =, de z = pont nem szélsőértékpont, tehát z előbbi állítás fordítottj nem igz. Adjunk eg szükséges feltételt rr vontkozón, hog eg stcionárius pont szélsőérték-pont legen. H f :(, b) deriválhtó függvén és f :(, b) foltonos, eg stcionárius pont és z függvénnek előjelváltás vn z -bn ( f ( ) <, h ( δ, ) és ) δ +, h + * f ( ) > (, δ, hol vg fordítv) kkor z f függvénnek z (, b ) pontbn szélsőértéke vn. H f ( ) <, ( δ, ) esetén, kkor ezen z intervllumon z feltétel lpján f függvén csökkenő. Az f ( ), > f (, + δ) f növekvő z (, + δ) intervllumon. Az f foltonosság lpján

3 5 Függvének tnulmánozás f ( ) f( ), ( δ, + δ ) és íg ebben z esetben lokális minimumpont z. H ( δ, ) esetén f ( ) > és (, + δ) esetén f ( ) <, kkor függvén z ( intervllumon növekszik, és z (, + δ) δ δ, ) intervllumon csökken, tehát lokális mimumpont. Mindkét esetet következő tábláztbn láthtjuk: f f Mimumpont ( ) f ( ) ( ) + δ Minimumpont δ f ( ) f ( ) f ( ) δ Megoldott gkorltok és feldtok. Az f :(, + ), f ( ) = ln függvénre f ( ) = > z I = (, + ) intervllumon, ezért függvén szigorún növekvő z I -n.. Az f : \{ }, f ( ) = + függvénre f ( ) = =, tehát stcionárius pontok = és =. Az lábbi tábláztbn megvizsgáltuk derivált előjelét és ez lpján meghtároztuk z f monotonitási intervllumit. δ + δ f ( ) f ( ) + Az f függvén z I = (, ] intervllumon növekvő, és z I = [, ) intervllumon csökkenő, mivel előjel váltás vn z = pontbn, ezért heli mimumpont. Az f függvén z I = (,] intervllumon csökkenő, és z I = [, + ) 4 intervllumon növekvő, mivel előjel váltás vn z = pontbn, ezért heli minimumpont Az előbbiek lpján f ( ), h >, és f ( ), h <. Ezeket z egenlőtlenségeket már IX. osztálbn is igzoltuk és függvén monotonitását is vizsgálhttuk voln IX.-es módszerrel. Bonolultbb függvének esetén zonbn lehetséges, hog csk deriváltk hsznált vezet eredménhez.

4 Függvének tnulmánozás 5. Bizonítsuk be, hog < sin <, h >. 6 Megoldás. Az f :(, ), f ( ) = sin függvénre f () = cos, >, tehát függvén növekvő (, ) intervllumon. Ebből következik, hog f () f ( ), >. Tehát < s in, > és íg z második egenlőtlenség igz. Az első egenlőtlenség igzolásához vizsgáljuk meg z f :(, ), f () = sin függvént. 6 ( ) f = cos. Mivel nem tudjuk eldön- teni, hog ez kifejezés milen előjelű, z h >. De f () = és íg f (), h >, vgis f csökkenő (, ) f előjelét is deriváltj segítségével htározzuk meg. f () = sin < z előbbi egenlőtlenség lpján, tehát z függvén csökkenő (mert deriváltj negtív). Ebből következik, hog f () f ( ), intervllumon, hol f intervllumon. Ez lpján f( ) f () =, tehát kért egenlőtlenséget igzoltuk. n lnk ln 4. Bizonítsuk be, hog ln ( n + ) ln < < ln n ln +. k= k ln Megoldás. Az f ( ) =, > függvén z ln F =, > függvén deriváltj. A F függvén teljesíti Lgrnge tétel feltételeit minden kk, + lkú (, ) k {, 4, 5, 6,..., n }, tehát minden k {, 4, 5, 6,..., } n esetén lnc létezik c k k + úg, hog ln ( k + ) ln k = c. Az ln f ( ) = ln( k + ) lnc l egenlőség lpján f () < h e és íg < < n k. Ez lpján: k + c k ln( k + ) ln k < ln ( k + ) ln k <, k + k h k. Ezt z egenlőtlenséget hsználjuk z összeg lsó és felső becslésére: n n n ln k ln ln k ln = + < + ln k ln ( k ) k= k k= 4 k k= 4 Az egenlőtlenség jobb oldlán megjelenő összegben tgok egszerűsödnek, és éppen kért egenlőtlenség jobb oldlához jutunk. n n l k ln ( k ) ln k + < n, k= k= k n tehát ln ( k + ) ln k = ln ( n + ) ln k= egenlőség lpján bizonítndó egenlőtlenség első része is igz.

5 54 Függvének tnulmánozás 5. Bizonítsuk be, hog z f :[, ), függvén konstns. Bizonítás. Kiszámítjuk z f függvén deriváltját. ( ) ( ) ( + ) f ( ) = rccos rctg + + f ( ) = = = =, + + tehát f () =, > esetén. Ebből következik, hog függvén konstns (, + ) intervllumon. Mivel f () = trtománon, következik, hog f ( ) = > esetén és íg = és függvén foltonos z értelmezési rccos rctg, h Htározzuk meg z összes oln f : deriválhtó függvént, melre f () = f(),. Megoldás. Nullár redukáljuk és beszorozzuk e -nel kpott egenlőséget. Íg z f () e + f()( ) e = egenlőséghez jutunk, honnn következik, hog g :, g ( ) = e f ( ) függvén deriváltj identikusn null z -en, tehát ez függvén konstns. Az e f( ) = c összefüggésből következik, hog f ( ) = c e,. 7. Írj z oldlélű kock köré minimális térfogtú szbálos négoldlú gúlát úg,. ábr hog z lpj kock egik lpjánk síkjábn legen és C kock többi nég csúcs gúl oldlélein helezkedjen el. Megoldás. Mivel gúl szbálos kell legen, csk z AC = h mgsságot kell meghtározzuk (lásd. ábrát). OM h + Az ábr szerint AB =, AO = és =, tehát h A B ( + h) OM =, és gúl lpj OM. Következik, hog h ( OM ) ( + h) ( + h) O gúl térfogt V ( h ) = =. A M h térfogt minimális lesz, h V =. Az egenlet: ( h) h h( h) V + + = = 4, h h( + h) =, h h =, h és mivel h >, kpjuk, hog h =.

6 Függvének tnulmánozás 55 Gkorltok. Tnulmánozzuk következő függvének monotonitását: ) f : \{ }, f ( ) = ; * b) f :, + f ( ) = ln ; c) f :[, π], f ( ) = sin + cos ; d) f :, f ( ) = Vn-e z f : π π,, f ( ) = rctg függvénnek szélsőértéke?. Htározd meg z f :, f ( ) = 6 függvén szélsőérték-pontjit! 4. Htározd meg z f :, f ( ) = e függvén monotonitási intervllumit. Monotonitás vizsgált. 5. Bizonítsd be, hog h z F és G függvének z [, b] intervllumon deriválhtók és minden [, b] esetén F ( ) G ( ), vlmint F () = G (), kkor F ( ) G ( ), [, b]. 6. Adott z f, g : \{}, f ( ) = rctg és g( ) = rctg függvén. Számítsd ki f ( ) -et és g ( ) -et! Mit állíthtsz z f és g függvének monotonitásáról z I =,) és z I = (, + ) intervllumokon? ( 7. Bizonítsd be, hog h z f : függvénre f ( ) g( ) ( ) minden vlós és esetén, kkor f konstns függvén! 8. Tegük fel, hog g : függvén deriváltj korlátos ( g ( ) M ). Legen ε > rögzített és f ( ) = + ε g( ), esetén. Bizonítsd be, hog h ε elég kicsi, kkor f injektív! 9. Bizonítsd be, hog h c, c,, c vlós számokr n kkor c + c + c c n n c c c c n =, n + n + c = egenletnek vn leglább eg göke és között!. Bizonítsd be, hog h z f : függvén deriválhtó és lim f ( ) =, + * kkor g :, g ( ) = f ( + ) f ( ), > függvénre lim g( ) =. +. Bizonítsd be, hog h z f : feltételek: ) f foltonos esetén, b) f ( ) létezik > esetén, + n + + függvénre teljesülnek következő

7 56 Függvének tnulmánozás c) f monoton növekvő, * kkor g : f +, ( ) ( ) g = ( > ) függvén növekvő!. Igzoljuk következő egenlőtlenségeket: ) e > +, h ; b) < ln( + ) <, h > ;. Igzoljuk, hog π < sin <, h < <. π 4. Eg l mgsságú szobrot eg h mgsságú tlpztr heleztek el. A szobortól milen távolságr kell megállnunk, h mimális szög ltt szeretnénk látni szobrot? 5. Eg kúp lkú tetőszerkezet lá el szeretnénk rejteni eg henger lkú hordót. Mekkor lehet hordó térfogtánk mimális térfogt, h tető lkotói z lppl 45 -os szöget zárnk be és z lpkörének sugr R? 6. Jelöljük f ( ) -szel z R lpkörű és lkotójú kúp térfogtánk és beleírhtó gömb térfogtánk ránát. Htározd meg z f ( ) minimumát! 7. Eg b méretű krtonlp nég srkából kivágunk eg-eg oldlú négzetet és keletkezett nég tégllpot feltűrjük úg, hog eg hsáb lkú dobozt kpjunk. Htározd meg z értékét úg, hog keletkezett doboz térfogt mimális legen! 8. Eg R sugrú körlpból kivágunk eg α középpontú szögnek megfelelő körcikket és mrdékból eg tölcsért készítünk (veszteségmentesen). Mekkor α esetén lesz tölcsér térfogt mimális? 9. Eg tőlünk d távolságr és n d mgsságr levő céltáblár lövünk íjjl. Leglább mekkor kell legen nílvesző kezdősebessége hhoz, hog elérje célt, h légellenállást nem vesszük figelembe?. Két párhuzmoson kötött R és R ellenállású vezetéken összesen I erősségű árm hld át. Milen összefüggés áll z ellenállások és rjtuk áthldó ármerősségek közt, h rendszerben Joule-Lenz effektusnk köszönhető hőveszteség minimális? (Az R ellenálláson z I árm áltl generált hőveszteség R I ) 8.. A deriválhtóság tnulmánozás Lgrnge tétel segítségével A Lgrnge tételből következik z lábbi tétel: Tétel. H z f :( ε, + ε) függvén foltonos és deriválhtó z { } ( ε, + ε)\ függvén hlmzon és létezik -beli deriváltj létezik és egenlő lim f ( ) htárérték, kkor z f lim f ( ) htárértékkel. Bizonítás. Legen ( ε, + ε) eg tetszőleges pont. Az [, ] vg [, ] intervllumon lklmzhtó Lgrnge tétel (mert végpontbn nem szükséges deriválhtóság), tehát létezik oln c f ( ) f ( ) (, ), melre f ( c ) =. H

8 Függvének tnulmánozás 57, kkor c (, ) lpján z előbbi egenlőség bl oldlán szereplő kifejezésnek létezik htárértéke és ez htárérték kifejezésnek is vn htárértéke és ez is lim f ( ) deriválhtó -bn és deriváltj -bn lim f ( ), tehát jobb oldlon álló lim f ( ). Ez zt jelenti, hog függvén + +, Alklmzások.. Tnulmánozzuk z f :, f ( ) = e, > függvén deriválhtóságát. Megoldás. A függvén foltonos és deriválhtó z \{ } hlmzon, mert elemi függvénként viselkedik ennek hlmznk minden pontj körül. Tehát elégséges megvizsgálni foltonosságot és deriválhtóságot z = pontbn. lim f ( ) =e > = <. lim f ( ) = = f(), tehát függvén foltonos -bn. +, < = Másrészt írhtjuk, hog f (), tehát li m f ( ) = e = és e, > < Az előbbi tétel értelmében f deriválhtó nullábn és f () =. Megjegzés. Láttuk, hog h eg intervllumon értelmezett függvén deriválhtó, kkor deriváltj Drbou tuljdonságú. Ugnkkor h eg függvénnek elsőfjú szkdási pontj vn, kkor nem Drbou tuljdonságú. Emitt h z f : ε, + ε) ε, + ε \{ } hlmzon és derivált jobboldli htárértéke nem egenlő derivált bloldli htárértékével, kkor függvén nem deriválhtó z pontbn.. Htározzuk meg z b, prméterek értékét úg, hog z f :, f ( ) és 4 ( ) Megoldás. A foltonosság feltétele: lim f ( ) = lim f ( ) = > hog b =. Az előbbi tétel és megjegzés értelmében deriválhtóság feltétele: li m f ( ) = lim f ( ), > < < > lim f ( ) = egenlőségek lpján létezik lim f ( ) htárérték és lim f ( ) =. ( függvén foltonos és deriválhtó z ( ) 4 + +, < = függvén deriválhtó legen. b + ln +, tehát =. f (). Ebből következik,

9 58 Függvének tnulmánozás Gkorltok Tnulmánozd következő függvének deriválhtóságát: ln( + ), >. f :, f () = ; 4, sin, >. f :, f ( ) = ; +, e, <. f :, f () = ; + + b, rctg, < 4. f :, f () = ; sin, m {,, }, 5. f :, f ( ) = ; min { +,, e }, > rctg + b, 6. f :, f ( ) = ; b +, >, \ 7. f :, f ( ) =., 8.. Konve és konkáv függvének Ebben prgrfusbn I intervllum. A X. osztál számár írt tnkönvben következő értelmezést dtuk: Értelmezés.. Az f : I függvén pontosn kkor konve, h bármel, I ( < ) és bármel λ [, ] esetén f ( λ + ( λ) ) λf ( ) + ( λ) f ( ).. Az f : I függvén pontosn kkor konkáv, h bármel, I ( < ) és bármel λ [, ] esetén f ( λ + ( λ) ) λf ( ) + ( λ) f ( ). Megjegzés. Szemléletesen ez zt jelenti, hog konve függvének grfikus képének minden húrj hozzá trtozó ív fölött helezkedik el és konkáv függvének esetén z ív vn húr fölött. Ebből következik, hog tetszőleges n oldlú sokszög esetén, h csúcsok eg konve függvén grfikus képén helezkednek el, kkor sokszög vlmilen λ, λ, λ,..., λn súlokhoz trtozó tömegközéppontj szintén sokszöget burkoló ív fölött helezkedik el. Konkáv sokszög esetén tömegközéppont

10 Függvének tnulmánozás 59 z ív ltt helezkedik el. Ezeket tuljdonságokt Jensen egenlőtlenség trtlmzz: Tétel (Jensen) Az f : I,,..., n I függvén kkor és cskis kkor konve z I -n, h minden és bármilen λ, λ,..., λ [, ], λ = esetén n n f λk k λkf ( k). k= k= Megjegzés.. H λ = λ =... = λn = kkor z előbbi egenlőtlenség n n n következő lkbn írhtó: f k f ( k) n k= n k=. Az előbbi tétel indukcióvl is igzolhtó. H z f konve függvén z [, b] intervllumon deriválhtó, kkor függvén grfikus képének bármel pontjáb húzott érintője grfikus kép ltt vn. Konkáv függvének esetén z érintő mindig grfikus kép felett vn. Ebből láthtó, hog konveitásnk (konkvitásnk) deriválhtó függvének esetén dhtunk más értelmezést (jellemzést) is. Látni fogjuk, hog z elsőrendű derivált még nem elégséges, ezért kétszeresen deriválhtó függvénekkel fogllkozunk. Ebben prgrfusbn megvizsgáljuk, hog mi z összefüggés függvén konveitás (konkvitás) és foltonosság közt és kétszer foltonosn deriválhtó függvének esetén megdjuk konveitás jellemzési tételét függvén második deriváltj segítségével. Értelmezés. Az f : I függvén I pontbeli különbséghándosfüggvénének nevezzük K : I \{ } ( ) ( ), ( ) f f K = függvént. Tétel. Eg nem elfjuló intervllumon értelmezett vlós függvén pontosn kkor konve, h minden különbséghándos-függvéne növekvő. Bizonítás. Legen I D intervllum (D függvén értelmezési trtomán) és z I eg tetszőlegesen rögzített pont. Tételezzük fel először, hog f konve függvén. Be kell látnunk, hog minden I esetén K növekvő vgis, hog minden, I \{ }, < esetén Mivel, λ (, ) úg, hog = λ + ( λ). Íg z f n n k= () K ( ) K ( ) Az,, számok elhelezkedését illetően három eset lehetséges: ) < < ; b) < < ; c) < <. ( ) konveitásából egszerű átlkítások során következőket kpjuk: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f λf + λ f f K ( ) = = k

11 6 Függvének tnulmánozás ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f = λ = f = = K ( ), vgis z ) esetben igz z egenlőtlenség. Teljesen nlóg módon igzolhtó b) esetben is. A c) eset vizsgált visszvezethető z előbbi két esetre. Felhsználv, hog () fennáll z ) és b) esetben, vlmint különbséghándos-függvénekre triviálisn érvénes ( ) K ( ) K ( ) = (, I, ) következőket kpjuk: K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = K K ( ) = K K = K vgis z ( ) egenlőtlenség fennáll c) esetben is. Tételünk első részét ezzel igzoltuk. Tételünk második részének igzolásához induljunk ki bból, hog f mindenik különbséghándos-függvéne növekvő és rögzítsük tetszőlegesen z, I, < pontokt. Legen továbbá (, ) tetszőlegesen rögzített és értelmezzük λ =, λ (, ) számot. Íg = λ + ( λ) és λ =. Felhsználv ezeket z egenlőségeket és különbséghándos-függvének ( ) -es tuljdonságát, egszerű átlkításokkl kpjuk, hog f ( ) ( ) ( ) ( ) f f f K ( ) ( ) = K = =. ( λ)( ) Másrészt f ( ) ( ) ( ) ( ) f f f K ( ) ( ) = K = =. ( λ)( ) A K függvén monoton növekvő, ezért z előbbi egenlőségekből z dódik, hog f ( ) ( ) ( ) ( ) f f f ( λ)( ) λ( ) vgis f ( λ ( ) ) ( ) + λ = f λf ( ) + ( λ) f ( ) ez éppen zt jelenti, hog z f függvén konve. Tétel. H z f : I függvén konve (I (,) b ), kkor minden I pontbn létezik z f jobb- és bloldli deriváltj és f foltonos z ( b, ) intervllumon. Bizonítás. A függvén növekvő z jobb és bl oldlán, tehát létezik < K > ( ) = K ) < = lim K ( ) és lim K ( ) htárérték. H < < < b, z előbbi tétel lpján K K ( ( ) K ( ) bármel < < esetén. Ebből következik, =

12 Függvének tnulmánozás 6 hog f b ( ) f j ( ) f b ( ) f j ( ). Íg z intervllum belső pontjábn szélső deriváltk nem lehetnek végtelenek, tehát minden belső pontbn függvén jobbról is és blról is foltonos. Ebből következik, hog függvén konveitási trtomán belső pontjibn foltonos. A bizonításból z is kitűnik, hog h függvén deriválhtó és konve, kkor deriváltj növekvő. Ebből következik kétszer deriválhtó konve függvének jellemzési tétele: Tétel.. Az f : I kétszer deriválhtó függvén pontosn kkor konve, h másodrendű deriváltj nem negtív.. Az f : I kétszer foltonosn deriválhtó függvén pontosn kkor konkáv, h másodrendű deriváltj nem pozitív. Bizonítás. H másodrendű derivált nem negtív, kkor z elsőrendű derivált növekvő függvén. H < <, kkor lklmzzuk Lgrnge tételt z [, ] és [, ] hlmzokon, tehát létezik c < < c úg, hog f () f ( ) ( ) () ( ) ( ) f = f c < f c = f. Ebből z egenlőtlenségből következik, hog ( ) f( ) ( ) f ( ) + ( ) f ( ) és ez z egenlőtlenség konveitás értelmezésében szereplő egenlőtlenség z = ( λ) + λ jelöléssel. H f kétszer foltonosn deriválhtó és konve kkor z előbbi tétel bizonítás lpján deriváltj növekvő és íg másodrendű derivált pozitív. Ez tétel lehetővé teszi konveitás egszerű vizsgáltát ngon sok elemi függvén esetén. Láthtó, hog kétszer foltonosn deriválhtó függvén konveitását cskis másodrendű derivált zérusheleiben változtthtj meg. A könnebb leírás érdekében következő értelmezést djuk: Értelmezés. H z f :( ε, + ε) függvén z ( ε, intervllumon ) konve és z (, + ε) intervllumon konkáv vg fordítv, kkor z pontot z f függvén infleiós (vg áthjlási) pontjánk nevezzük. Mivel Drbou tuljdonságú függvén csk zérusheleiben váltht előjelt, igz következő tétel: Tétel. H z f :(, b) függvén kétszer deriválhtó és (,) b eg infleiós pontj f -nek, kkor f ( ) =. Megjegzés. H függvén másodrendű deriváltj nem létezik vg nem foltonos z értelmezési trtománon, kkor függvénnek lehet oln áthjlási pontj is, melben másodrendű derivált nem.

13 6 Függvének tnulmánozás A másodrendű derivált és szélsőértékek kpcsolt f ( α ) > = α A szélsőérték-pontok vizsgáltkor láttuk, hog stcionárius pontok közt lehetnek oln pontok is, melek nem szélsőérték-pontok. A szemlélet zt sugllj, hog h eg stcionárius pont konveitási trtomán belsejében vn, kkor z biztosn szélsőértékpont (hsonlón konkáv függvének esetében is). Erre vontkozik következő tétel: Tétel.. H z f :(, b) függvén kétszer deriválhtó, α (,) b eg stcionárius pontj és, kkor z pontbn lokális (heli) minimumpont vn.. H z f :(, b) függvén kétszer deriválhtó, α (,) b eg stcionárius pontj és f ( α) <, kkor z = α pontbn lokális (heli) mimumpont vn. Példák. Mivel ( sin ) = sin minden [, π], ezért z f ( ) = sin függvén ezen z intervllumon konkáv Az f :[,], f ( ), = [,] intervllumon = ( ) f > = (, ) f csökkenő, mert konve függvén.. Az f :, f ( ) = 6 függvén esetében f ( ) = 6 6, f "( ) =. A függvénnek ott lehet szélsőértéke, hol f ( ) =. Esetünkben 6 6=, zz = vg =. A függvén z I = (, ) intervllumon növekvő, mert ( ). Az I intervllumon f ( ) < ; z I = (, + ) intervllumon ismét monoton növekvő, mert f ( ) >. Ugnkkor f ( ) <, h < és f ( ) >, h >. Tábláztb fogllv: + f ( ) f ( ) f ( ) konkáv 4 konkáv konve 4 Konve M Infleiós pont Min Gkorltok és feldtok. Tnulmánozd következő függvének konveitását és konkvitását! π π ) f :, f ( ) = cos ; b) f :,, f ( ) = tg ; c) f :, f ( ) = e ; d) f :, f ( ) = rctg ; e) f :, f ( ) = ; f) f :, f ( ) = Tnulmánozd következő függvének konveitási és konkvitási szkszit és htározd meg z infleiós pontjit ( függvének mimális értelmezési trtománukon értelmezettek): 5 ) f ( ) = ; b) f ( ) = + ( > ) ; c) f ( ) = + ;

14 Függvének tnulmánozás 6 d) f ( ) = + ; e) f ( ) sin = + ; f) f = ln + ; ( ) ( ) g) ( ) f = + ; h) f ( ) = + sin ; i) f ( ) n > ln j) f ( ) = e ; k) f ( ) = ln ; l) f ( ) =.. Bizonítsd be, hog h z f :(, b) foltonos függvénre n = ( ); + f ( ) + f ( ) f minden, (, b) esetén, kkor f konve. 4. Bizonítsd be, hog h f konve z (, b) intervllumon és < < < < b, kkor f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Függvének ábrázolás Aszimptoták A nem korlátos síkgörbék (melek nem helezhetők el eg tégllpbn) esetében feltevődik z kérdés, hog görbe nem korlátos ági nem közelednek-e (bizonos értelemben) minden htáron túl eg egeneshez? H ilen egenes létezik kkor ezt z egenest görbe ( grfikus kép) szimptotájánk nevezzük. Az szimptotákt három csoportb osztjuk:. függőleges szimptoták (z O tengellel párhuzmos szimptoták);. vízszintes szimptoták (z O tengellel párhuzmos szimptoták);. ferde szimptoták (egik tengellel sem párhuzmos szimptoták).. Függőleges szimptoták Az = függőleges egeneshez minden htáron túl kkor közeledhet grfikus kép, h -bn függvén jobb- vg bloldli htárértéke vg. Ezt következő értelmezésben rögzítjük: Értelmezés. H vlmel ( ) pontbn z f : D függvénnek vg bloldli vg jobboldli htárértéke végtelen, kkor z = egenes (párhuzmos z O tengellel) függvén grfikonjánk függőleges szimptotáj. Megjegzés. H f értelmezett és foltonos z pontbn kkor lim f = lim f = f ( ) ( ) ( ) < > tehát függvén grfikonjánk z = pontbn nincs függőleges szimptotáj ( foltonossági pontokbn nincs függőleges szimptot). Példák π π. Az f :,, f ( ) = tg függvén esetében lim tg =+ és π π π lim =, tehát z = és z = egenesek függőleges szimptoták. π,

15 64 Függvének tnulmánozás H tngens függvént mimális értelmezési trtománon vizsgáljuk, végtelen sok π függőleges szimptotát láthtunk és ezek z = ( k + ) egenletű egenesek.. Az f :(, ), f ( ) = ln függvénnek z O tengel függőleges szimptotáj, mivel li m ln =. log π O tg π O 4. ábr 5. ábr. Az f ( ) = függvénnek z O tengel függőleges szimptotáj, mivel lim =, li m =+. O 6. ábr

16 Függvének tnulmánozás 65. Vízszintes szimptoták Az előbbi ábrán z is láthtó, hog grfikus kép közeledik z = egenletű egeneshez, mikor ±. Az = egenletű egenest függvén vízszintes szimptotájánk nevezzük. Érvénes következő értelmezés: Értelmezés. Az = egenletű egenest z f :(, ) függvén vízszintes szimptotájánk nevezzük egenest z felé, h f :(, ) lim f ( ) =. + felé, h lim f ( ) =. Az = egenletű függvén vízszintes szimptotájánk nevezzük. Ferde szimptoták Az = m + n egenletű egenes és grfikus kép bszcisszájú pontji közti távolság f ( ) m n, tehát grfikus kép kkor trt z = m + n egenletű egeneshez, h z előbbi kifejezés htárértéke ± esetén. Ez indokolj z lábbi értelmezést: Értelmezés. Az = m + n egenest z f :(, ) függvén ferde szimptotájánk nevezzük + -ben, h () lim [ f ( ) ( m + n) ] =. + Hsonlón, h függvén értelmezési trtomán trtlmz eg (, ) lkú félegenest, kkor z = m + n egenest ferde szimptotánk nevezzük felé, h () lim [ f ( ) ( m + n) ] =. f ( ) n Az () htárérték felírhtó lim m = lkbn, mivel lim =. + + Tehát + felé ferde szimptot prmétereit z f ( ) m = lim és n = lim [ f ( ) m] + + egenlőségekből számíthtjuk ki, h z előbbi htárértékek léteznek. m z szimptot iránténezője és n z szimptot ordinátáj z origóbn. Tehát grfikon + -be muttó ágához húzott szimptotánk meghtározásár következő szbált kpjuk: f ( ) ) Kiszámítjuk m = lim htárértéket. + b) H m véges kkor kiszámítjuk n = lim [ f ( ) m] htárértéket. + c) H n is véges kkor z = m + n egenes + -be szimptot. Hsonló eljárássl grfikus kép -be muttó ágához húzott szimptot is meghtározhtó. Az = m + n egenletű egenes pontosn kkor ferde f ( ) szimptot felé, h m = lim és n = lim f ( ) m.

17 66 Függvének tnulmánozás Megjegzések.. H két htárérték közül z egik nem létezik vg végtelen kkor nincs ferde szimptotáj.. Az értelmezésekből következik, hog h eg függvénnek + -ben (vg - ben) ferde szimptotáj vn, kkor nincs vízszintes szimptotáj és fordítv. Példák.. Htározzuk meg z f : \ {}, f( ) = + függvén szimptotáit. Megoldás. Az = pontbn függőleges szimptot vn, mert f ( + ) = lim = + és f ( ) = lim =. Mivel lim m = + + = és n = lim + + =, z = egenletű egenes ferde szimptot + - f ( ) ben. A -ben m = lim = és lim n = + =, tehát = (z első szögfelező) -ben is ferde szimptot. H függvént tnulmánozzuk z f ( ) = derivált segítségével, kkor következő tábláztból látjuk változását: + f ( ) f ( + ) M Min f ( ) =, h, =±. f ( ) = >, h >. f ( ) <, h <. Eg közelítő grfikus kép 7. ábrán láthtó.. Az f :, f ( ) = függvénnek nincs semmilen szimptotáj. f foltonos z -en, tehát nincs függőleges szimptot. lim =+ és + lim =+, tehát nincs sem vízszintes sem ferde szimptot + -ben. + Hsonlón beláthtó, hog nincs szimptot -ben sem.. Htározzuk meg z f :, f ( ) = + függvén szimptotáit. + Megoldás. A + felé m = lim = lim + =, és + + n = lim + + = lim =, tehát z első szögfelező z szimptot. A -ben

18 Függvének tnulmánozás 67 + m = lim = lim + = lim + =, n = lim ( + + ) = lim + + =, tehát = z szimptot egenlete -ben. -O - 7. ábr Gkorltok. Htározd meg következő függvének grfikus képeinek z szimptotáit ( függvéneket mimális értelmezési trtománukon értelmezzük): + ) f ( ) = ; b) f ( ) = ; c) + f ( ) = ; + d) f ( ) = 4 ; e) f ( ) = ; f) f ( ) = e ; ln g) f ( ) = ln( ); h) f ( ) = e ; i) f ( ) = + ; j) f ( ) = + + ; k) f ( ) = ; l) f ( ) = ; m) f ( ) = ; n) + f ( ) = ; o) f ( ) = e ; p) f :(,, + ), f ( ) = ; q) ( ) f = ( ) ( + ) Grfikus ábrázolás Korábbi tnulmánitok során láttátok, hog z f : D ( D ) függvén {( ) } grfikonj G =, f ( ) D hlmz és grfikus kép ennek hlmznk síkbeli ábrázolás. Ebben prgrfusbn mtemtiki nlízis eszközeivel tnulmánozzuk függvént. Ez következő lépések elvégzését jelenti:

19 68 Függvének tnulmánozás I. meghtározzuk (h nincs megdv) mimális értelmezési trtománt; II. meghtározzuk tengelmetszeteket; III. meghtározzuk z szimptotákt; IV. z f derivált segítségével tnulmánozzuk függvén monotonitását és meghtározzuk szélsőérték-pontokt; IV. z f derivált segítségével tnulmánozzuk függvén konveitását és meghtározzuk z áthjlási pontokt; V. z előbbi dtok lpján elkészítjük függvén változási tábláztát; VI. megrjzoljuk grfikus képet. Ezeknek lépéseknek betrtás nem kötelező, fontos z, hog tnulmánozás minél átfogóbb legen. Hsznosk lehetnek z lábbi pontosítások. Érdemes megvizsgálni, hog függvén rendelkezik-e vlmilen jellegzetes tuljdonsággl (páros, pártln, periodikus). A foltonosság vizsgáltánál kiszámíthtjuk szkdási pontokbn jobb és bl oldli htárértéket. A deriválhtóság tnulmánozáskor derivált szkdási pontjibn kiszámítjuk derivált jobb és bloldli htárértékét. A derivált szkdási pontji közül néhán különösen fontos ktegóriát megemlítünk:. Szögpontok. Az (, b) pontot z f :(, b) függvén (vg grfikus kép) szögpontjánk nevezzük, h -bn jobb és bloldli érintők vlmilen -tól különböző szöget zárnk be. Ez zt jelenti, hog létezik jobb és bl oldli derivált, nem egenlők egmássl és nem mind kettő végtelen (lásd 8. ábrát).. Vissztérési pontok. Az (, b) pontot z f :(, b) függvén (vg grfikus kép) vissztérési pontjánk nevezzük, h függvén nem deriválhtó -bn de jobb és bloldli érintők -os szöget zárnk be. Ez zt jelenti, hog létezik jobb és bl oldli derivált, z egik + és másik (lásd 9. ábrát). 8. ábr 9. ábr Példák. Ábrázoljuk z f ( ) = függvént. I. D =, f :. II. A grfikus kép koordináttengeleket (, ) pontbn metszi. ( ) ( ) f = = = f ( ), tehát függvén pártln. (A grfikus kép szimmetrikus z origór nézve) III. Függőleges szimptot nincs, mivel f foltonos z egész -en. lim f = = ; lim f ( ) = ( + ) =+, ( ) ( ) +

20 Függvének tnulmánozás 69 tehát nincs vízszintes szimptot. Ferde szimptot sincs, mert f ( ) f ( ) lim =+, lim =+. + IV. f ( ) =,, és egenlőség z = esetén. Ebből következik, hog függvén z -en növekvő. V. f ( ) = 6, tehát függvén konkáv (, ) intervllumon és konve (, ) intervllumon, tehát z = pont infleiós pont. VI. Az előbbi dtok lpján változási táblázt következő: + f ( ) ( ) ++++ f f ( ) konkáv konve A táblázt lpján grfikus kép körülbelül. ábránk megfelelő görbe. - O. ábr -. Ábrázoljuk z f :, f ( ) = e függvént. Megoldás. A grfikus kép z O tengelt nem metszi, mert z eponenciális függvén csk szigorún pozitív értékeket vesz fel. A lim e = e = egenlőségek lpján z O tengel mindkét iránbn vízszintes szimptot. A grfikus kép z O tengelt ( ) ±, pontbn metszi. f ( ) = e, tehát z = pont z egetlen stcionárius pont. Ez egben heli mimum is, mert derivált előjele pozitívról negtívr változik. f ( ) = e, tehát z ( ) infleiós pontok, =±. (Ezekben pontokbn másodrendű derivált előjele megváltozik.) Az eddigi dtok lpján következő táblázthoz jutunk:

21 7 Függvének tnulmánozás f f ( ) ++++ ( ) f ( ) A függvén konve,, e és, e + + intervllumokon és konkáv intervllumon. A függvén páros ( f ( ) = f ( ) ) és ezért grfikus kép szimmetrikus z O tengelre nézve. A grfikon jellegzetes Guss-féle hrnggörbe. ábr O. Ábrázoljuk z f :, f ( ) = sin sin függvént! Megoldás. Az f ( π ) = f ( π + ) egenlőség lpján függvén grfikus képe z = π pontr nézve szimmetrikus. Ugnkkor függvén periodikus és főperiódus T = π, tehát elégsé, π intervllumon tnulmánozni és ábrázolni. f ( ) = sin sin cos = sin( cos), tehát f ( ) = ( cos )( cos + ). π Íg vizsgált intervllumbn csk z = és = stcionárius pontok. f ( ) = sin( 4cos ) =, tehát másodrendű derivált z =, = π, = π rccos és = rccos 4 4 pontokbn vált előjelt. Az eddigi dtok szerint z lábbi tábláztot készíthetjük:

22 Függvének tnulmánozás 7 f f rccos(/ 4) π / π ( ) ++++ ( ) ++++ f ( ) M konve konkáv A táblázt lpján grfikus kép következő: O π 4π. ábr f, f ( ) = függvént. Megoldás. A grfikus kép tengeleket csk z origóbn metszi. A lim f ( ) = lim f ( ) = lim = egenlőségek lpján z O tengel + vízszintes szimptot mindkét iránbn. A függvén pártln, tehát grfikus kép szimmetrikus z origór nézve. Továbbá lim =, lim =+, (és 4. Ábrázoljuk z : \{, } < > ez lpján li m =, lim =+ ), tehát z = és = < > egenletű egenesek függőleges szimptoták (mindkét oldlukról). Mivel + f ( ) = < minden megengedett esetén, függvén csökkenő. f ( ) = ( ) ( + ) ( ), tehát z lábbi tábláztbn láthtjuk függvén változását: + f ( ) f ( ) ( ) f + + konkáv konve konkáv konve

23 7 Függvének tnulmánozás A táblázt lpján {,, } hlmz elemei áthjlási pontok (nem mindegik göke másodrendű deriváltnk!) és grfikus kép. ábrán láthtó. - O. ábr 5. Ábrázoljuk z :, f ( ) =,, > függvént! f +,h> I. D =, lim, h > =, lim =. +, h < <,h < < f ( ) =, tehát grfikus kép z O tengelt (, ) pontbn metszi. Mivel f ( ) = > grfikus kép nem metszi z O tengelt. II. Az O tengel vízszintes szimptot: =, -ben, h > és + -ben, h < <. III. f ( ) = ln >, h >, és f ( ) <, h < <, tehát függvén szigorún monoton és nincs szélsőérték pontj. IV. f ( ) = ( ln) > minden esetén, tehát függvén konve. V. Az értéktáblázt > esetén. + f ( ) f ( ) f ( ) + konve Az értéktáblázt < < esetén. + f ( ) f ( ) f ( ) + konve

24 Függvének tnulmánozás 7 A grfikus kép 4. ábrán láthtó. 4. ábr O 6. Az előbbi példábn vizsgáltuk z eponenciális függvént. A grfikonból és z értéktábláztból is láthtó, hog függvén injektív, f ( ) = (, + ) ezért z függvén szürjektív. Mivel injektív is és szürjektív is függvén * f : + bijektív, tehát vn inverz függvéne. Az inverz függvén foltonos és deriválhtó is (z áltlános tételek lpján) és grfikus képe z eredeti függvén szimmetrikus z első szögfelezőre nézve, tehát f :(, + ), f ( ) = log függvén grfikus képe z lábbi ábrán láthtó. A tuljdonságok vizsgált nem szükséges, mert z eponenciális függvén esetén ezeket elvégeztük. A könnebb memorálás érdekében elkészítettük változási tábláztot. < < esetén > esetén + + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ++++ f ( ) + f ( ) + konve konkáv f()=log, > 5. ábr O f()=log, <

25 74 Függvének tnulmánozás 7. Ábrázoljuk z f : π π,, f ( ) = rctg függvént! π π Megoldás. D = = (, + ), lim f ( ) = ; lim f ( ) =, + π π f ( ) =. = és = vízszintes szimptoták. f ( ) = > minden + esetén, tehát függvén szigorún növekvő. f ( ) =, tehát + ( ) = z egetlen infleiós pont (mivel f ( ) >, h < és f ( ) <, h > ). Az eddigiek lpján következő tábláztot készíthetjük: + f ( ) ( ) ++++ f f ( ) π konve konkáv A táblázt lpján z lábbi grfikus képet rjzolhtjuk. π π Ο 6. ábr π 8. Ábrázoljuk z f :, e e f ( ) = = sh (szinusz hiperbolikusz) függvént! Megoldás. A függvén z egész -en értelmezett és foltonos, koordináttengeleket z (, ) pontbn metszi. lim f ( ) =+, lim + f ( ) =, f () lim =+ és + + lim f ( ) =, tehát függvénnek

26 Függvének tnulmánozás 75 nincs szimptotáj. e + e f ( ) = >, tehát f szigorún növekvő. e e f ( ) = = f ( ) <, h > és f ( ) >, h <, tehát következő tábláztot készíthetjük: + f ( ) f ( ) f ( ) + konkáv konve A függvén grfikus képe z lábbi ábrán láthtó: =sh 7. ábr Ο 9. Az előbbi sh : függvén bijektív, tehát vn inverze sh :. Htározzuk meg z inverz függvénét és ábrázoljuk. t t e e t Megoldás. Megoldjuk z sh t = = egenletet. Az e = u változócserét t lklmzzuk u =, tehát u = ± +. Mivel u = e csk pozitív lehet u t kpjuk, hog e = + +, honnn t = sh = ln ( + + ), tehát z inverz függvén sh = f = ln +. ( ) ( + ) Ennek grfikus képét elkészíthetjük függvén tnulmánozásávl vg z f és z f grfikus képe közti szimmetri segítségével. A számításokt nem részletezzük, mert z előbbi megjegzés és z előbbi péld értelmében nem szükségesek grfikus kép megrjzolásához. A függvén változását következő táblázt trtlmzz.

27 76 Függvének tnulmánozás + f ( ) f ( ) f ( ) konve konkáv + A grfikus kép z lábbi ábrán láthtó. =sh - 8. ábr Ο. Ábrázoljuk z f ( ) = + függvént mimális értelmezési trtománán. Megoldás. I. Htározzuk meg mimális értelmezési trtománt. vgis D = (,, +. A függvén grfikus képe nem metszi ) koordináttengeleket és függvén nem páros, nem pártln és nem periodikus. II. Függőleges szimptot nincs, mert foltonos D hlmzon. lim f ( ) = lim ( + ) = lim = =. + Tehát z = vízszintes szimptot -ben. lim f ( ) =+, m f ( ) = lim = lim + = + + +, n = lim ( f ( ) m) = lim ( ) = lim = = Tehát z = egenes + -ben ferde szimptot. III. f ( ) = +, h és függvén z (, ) (, + ) =± pontokbn nem deriválhtó.

28 Függvének tnulmánozás 77 f ( ) = f ( ) = lim f ( ) = ; f () = f ( + ) = limf ( ) = +. b O < Tehát z =± pontokbn végtelen bloldli, illetve jobboldli derivált (z tengellel párhuzmos bl-, illetve jobboldli fél-érintő). f ( ) <, h < és f ( ) intervllumon csökkenő és z f ( ) = < ( ) j > >, h >, tehát függvén (, ) (, + ) intervllumon növekvő., (, ) (, + ), tehát függvén konkáv z értelmezési trtománán. IV. Az előbbiek lpján következő változási tábláztot készíthetjük: //////////////// + f ( ) //////////////// ( ) //////////////// f f ( ) ///////////////// + konkáv konkáv A táblázt lpján grfikus kép következő: 9. ábr - -

29 78 Függvének tnulmánozás Gkorltok és feldtok Vizsgáld meg következő függvének változását és ábrázold őket ( mimális értelmezési trtománukon)!. f ( ) = ( + ) ( ) ;. f ( ) = + ;. f ( ) = ; 4. f ( ) = + ; 5. f ( ) = + 5 ; 6. f ( ) = + 4 ; 7. f ( ) = ( ) e ; 8. f :, π, f ( ) = cos cos ; 9. ( ) f = + ;. f :, π, f ( ) = sin sin ; π π. f :,, f ( ) = tg + sin ;. f :, π 4 4, f ( ) = sin + cos ;. f ( ) = ln rctg ; 4. f ( ) = ( ) ( + ) ; 5. f ( ) 6. f ( ) = rctg ; 4 7. f ( ) = ; + 8. f ( ) = ( + ) ; ln 9. f ( ) = ;. f ( ) = + ;. f ( ) = ;. f ( ) = sin + cos ;. f ( ) = ln ; 4. f ( ) = sin ; ( ) f = ( ) ( + ); 6. f ( ) =. e 7. Melik ngobb z A = e π vg B = π? 8. Melik ngobb z A = sin vg B = sin? 9. Hán vlós göke vn z + e = egenletnek? Htározz meg eg egségni hosszúságú intervllumot, mel trtlmzz z egenlet minden gökét!. Hán vlós göke vn z lg = egenletnek? Htározz meg eg egségni hosszúságú intervllumot, mel trtlmzz z egenlet minden gökét!. Hán vlós göke vn z = cos egenletnek? Htározz meg eg I, intervllumot, mel trtlmzz z egenlet minden gökét!. Htározd meg z, b prmétereket úg, hog z = + b egenletű egenes érintse g( ) = + függvén grfikus képét z = bszcisszájú pontbn.. Hogn kell b és c egütthtókt megválsztnunk, hogh zt krjuk z f ( ) = + b + c függvén grfikonj érintse g( ) = e függvén grfikonját z = pontbn?

30 Függvének tnulmánozás Htározd meg z f ( ) = sin függvén minimumát, π intervllumon z prméter függvénében. 5. Milen lpszámok esetén lehet oln számot tlálni, mel egenlő sját lpú logritmusávl? 6. Az + = egenletű ellipszisbe írjál be mimális területű, z ellipszis b tengeleivel párhuzmos oldlú tégllpot ( < b < ). 7. Htározd meg z (, ) legrövidebb távolságot. M p p pont és z = p prbol pontji közötti ) 8. Htározd meg z A (, pont és + = kör pontji közötti legkisebb és legngobb távolságot. 9. Htározd meg z + = ( < b < ) ellipszis B (, b ) pontján áthldó b leghosszbb húrját. 4. Készítsd el következő függvének grfikus képét! ( másodrendű derivált is szükséges) ) f ( ) = rccos ; b) ln f ( ) = ; c) f ( ) = e sin ; d) f ( ) = rcsin + ; e) ( ) f = ; f) f ( ) = + ; f g) ( ) 4 = ; h) f ( ) = + ( + ) 4. Htározd meg z f ( ) = m {, } 4. Bizonítsd be következő egenlőtlenségeket: ) sin b b + cos + ; b) +. + függvén mimumát., h. 4. Htározd meg z lábbi függvének szélsőértékeit: n ) f ( ) = ! n! e,(n természetes szám); b) ( ) f = ( ). 44. Bizonítsd be z lábbi egenlőtlenségeket és mgrázd meg geometrii jelentésüket: + e + e ) > e ( ); + b) ln + ln > ( + ) ln, h > és >.

31 8 Függvének tnulmánozás 8.5. A kúpszeletek grfikus ábrázolás A kör H kör középpontj C(,) b és sugr r, z egenlete Kifejezzük z változót függvénében: ( ) ( K) + ( b) = r. ( ) ( ) b = r,, = b ± r ( ), íg kör következő két foltonos függvénnel hozhtó összefüggésbe: f( ) b r ( ) grfikonj egütt lkotj ( ) kört: K = G G. ( ) = + és f = b r ( ) K f f, e két függvén Tnulmánozzuk z ( ) f( ) = b + r függvént! I. A mimális értelmezési trtomán z r ( ) egenlőtlenség megoldás. Az ( ) r egenlőtlenség ekvivlens r, egenlőtlenséggel, tehát r r és íg megoldás D = [ r, + r]. ( ) ( ) II. A függvén deriváltj f ( ) = =, tehát ( ) ( ) r r függvén növekvő z [ r, ] intervllumon és csökkenő z [, + r] intervllumon. A másodrendű deriváltból láthtó, hog függvén konkáv. III. Mivel z értelmezési trtomán korlátos és függvén is korlátos, nincsenek szimptoták. IV. A függvén változási táblázt r + r f ( ) f ( ) f ( ) b b + r b Tehát grfikus kép következő ( 4. ábrán z f grfikus képe láthtó) 4. ábr b b 4. ábr ) Megjegzés. A kör egenlete, ( K) ( + ( b) = r két változó ( és ) között eg reláció, de ez reláció nem függvén ( hozzárendelés nem egértelmű). Áltlábn, h f : D D eg függvén, kkor z f (, ) = egenletet megoldások áltl meghtározott görbe implicit egenletének nevezzük.

32 Függvének tnulmánozás 8 H kör egenletét vlmelik változór megoldjuk (például - r), z, b r ( ) kifejezéshez jutunk, tehát z [ ] [ ] ( ) f : r, + r b, b + r, f ( ) = b + r és = ±, [ ] [ ] ( ) f : r, + r b r, b, f ( ) = b r. foltonos függvének dják megoldást. Mindkét függvén deriválhtó z ( r, + r) nílt intervllumon, = r és = + r pontokbn nem deriválhtók, mert jobb- illetve bloldli derivált értéke nem véges (vn függőleges érintő ( r) -ben és ( + r) -ben) Az ellipszis Az ellipszis egenlete ( E ) + =, hol, b >. b b =± Az előbbi gondoltmenet lpján, tehát z b f :[, ] [, b], f( ) = és b f :[, ] [ b, ], f( ) =. foltonos függvéneket kell ábrázolni. ( E = G G ). Ezeknek függvéneknek grfikus képe 4. ábrán láthtó: f f b b - O - O -b A hiperbol 4 ábr A hiperbol egenlete ( H ) =, hol, b >. b Kifejezzük z változót függvénében: b =±. Tehát hiperbol következő két foltonos függvén grfikus képének egesítése: f :(, ] [, + ), f( ) = és b f :(, ] [, + ), f( ) =. Tnulmánozzuk z f függvént és ábrázoljuk grfikusn (z f grfikus képe z f grfikus képének z O szerinti szimmetrikus, z ábrán szggtott vonlll jelöltük be). -b b

33 8 Függvének tnulmánozás lim f ( ) =+, lim f ( ) =+, de I. + ( ) b b f ( ) b m = lim = lim = lim =, b b n = lim [ f( ) m] = lim + =, tehát ( ) - ben ferde szimptot egenlete b =. f ( ) b (+ )- ben m = lim =,, íg ferde szimptot egenlete b n = =. + II. b f ( ) =, nem értelmezett z =± pontokbn, negtív h < és pozitív h >. lim f lim ( ( ), f = = ) = = +, tehát - nál + + bloldli derivált f ( ) =, - nál jobboldli derivált f ( + ) = +. III. Az előbbiek lpján z értéktáblázt következő: ////// + f ( ) - - ////// f ( ) + ////// + A 4. ábrán láthtó függvének grfikus képe (tehát hiperbol) 4. ábr O A prbol ( P) = p, tételezzük fel, hog p >. Kifejezzük z változót függvénében: =± p. f :[, + ) [, + ), f( ) = p, f :[, + ) (,], f ( ) = p. Az f függvén változás z lábbi tábláztból olvshtó ki és grfikus kép 44. ábrán láthtó ( szggtott vonl z f grfikus képét ábrázolj): + f + + ( ) f ( ) f + ( )

34 Függvének tnulmánozás ábr O Gkorltok. Bizonítsd be, hog K : + = kör nem lehet egetlen függvénnek sem grfikus képe, de lehet két különböző függvén grfikus képének z egesítése.. Számítsd ki zon háromszög kerületét, melet z = hiperbol két 4 9 szimptotáj = egenessel bezár.. Rjzold meg z lábbi függvének grfikus képét: ) f : D, f( ) = + ; b) f : D, f( ) = ( + )(5 ); c) f : D, f( ) = Az f ( ) = e képlettel értelmezett függvén ( f : ) grfikus képét Guss-féle görbének nevezik. Htározd meg zokt pontokt, melben z O középpontú, egségsugrú kör metszi ezt görbét. Bizonítsd be, hog két görbe O tengelen fekvő közös pontjábn közös z érintőjük. 5. Írd fel részletesebben és ábrázold z 4 9 ponthlmzt. + = egenletet teljesítő (, ) 6. Rjzold meg z f :, f( ) = képlettel értelmezett függvén 4 grfikus képét Egenletek vizsgált A gökök szétválsztás grfikus módszerrel H z f () = lkú egenlet gökeinek (vlós gökök) pontos értékét nem tudjuk meghtározni (nincs módszer vg eljárás), kkor eg fontos lépésnek tekinthető z, hog megmondjuk hán vlós göke vn z egenletnek, és mindegik gökre meghtározunk eg elég kis intervllumot, melben gök tlálhtó. Az ilen jellegű számításokt, gökök szétválsztásánk (szeprálásánk) nevezzük.

35 84 Függvének tnulmánozás Az f () = lkú egenletek esetében, h z f függvén foltonos és deriválhtó, tnulmánozzuk függvént és ábrázoljuk grfikusn. Ahol grfikus kép metszi z O tengelt, ott vnnk z egenlet gökei. A gököket közelítőleg grfikus kép lpján olvshtjuk le, z intervllumokt pedig, melekben gökök vnnk, próbálgtássl (próbszámítás) állpítjuk meg következő példábn bemuttott módszerrel. Példák. Válsszuk szét z ( ) 9 f = + = egenlet vlós gökeit! I. f ( ) = 6 9 (deriváltuk z f () függvént). f ( ) =, h = és =. Vizsgáljuk függvént z elsőrendű derivált segítségével. - + f ( ) f ( ) A tábláztból leolvshtó, hog függvén z = (, ) I intervllumon szigorún növekvő, negtív és pozitív értékeket is felvesz ( f ( ) > és lim f ( ) = ). Íg pontosn eg gök létezik z I intervllumbn. Az I = (, ) intervllumon függvén szigorún csökkenő, f ( ) = 5> és f () = 7 <, tehát (mivel f foltonos) pontosn eg (, )= I létezik úg, hog f ( ) =. Az I = (, ) - bn is f () = 7 <, lim f ( ) =+, + tehát I - bn is pontosn eg gök vn. Tehát z egenletnek három vlós göke vn ( ) ) ( és ezekre, ( ;. Ezt függvén grfikus ;,, + ) képéről is leolvshtjuk, h ezt elkészítjük. H gököket pontosbbn loklizálni szeretnénk, kkor becsléseket végzünk. (, ), mivel f ( ) = 8 >, f ( ) = 7 <. (, ), mivel f () = >, f () = <. ( 4, 5), mivel f(4) = <, f(5) = 5 >. A 45. ábrán függvén grfikus képe láthtó. 45. ábr Hán megoldás vn si n = egenletnek?

36 Függvének tnulmánozás 85 Megoldás. Ábrázoljuk z f és g függvén grfikus képét és megvizsgáljuk, hog két grfikus kép hán pontbn metszi egmást (és milen intervllumb kerülnek metszéspontok bszcisszái). Az ábráról leolvshtjuk, hog g ( ) = egenes három helen metszi z f ( ) = sin grfikus képét: π = és π, π. sin O = / π,, 46. ábr. (Prmétertől függő egenlet tárglás) Tárgljuk P ( ) = egenletet, hol P( ) = +, vlós prméter. (Az egenletet tárglni zt jelenti, hog meghtározni vlós gökök számát, h z prméter változik.) Megoldás. Fejezzük ki z prmétert z egenletből =. (Mivel P () = és P( ) = sem z =, sem z nem göke z eredeti egenletnek egetlen esetén sem). A továbbikbn tnulmánozzuk z f ( ) = függvént és g( ) = állndó függvént: ( ) f ( ) = = =,, = ± ( ) + f ( ) + + f ( ) f() Az =± egenesek függőleges szimptoták, ugnkkor m = lim =, n =, f () tehát z első szögfelező ferde szimptot + felé. Az m = lim =, n = + egenlőségekből következik, hog z = egenletű egenes felé is ferde szimptot. A derivált előjeléből következik, hog M, mimumpont és minimumpont. A 47. ábr grfikus képet muttj. N,

37 86 Függvének tnulmánozás 47. ábr O A grfikus képről leolvshtó, hog z f függvén grfikus képe hán pontbn metszi g( ) = függvén grfikus képét, h z értéke változik. Ezt táblázttl muttjuk be: értékei A gökök szám és elhelezkedése < (, ), (, ), (,) = = =, (,) < < (,) = = = = < < (,) = = =, (, ),,,,, > ( ) ( ) ( ) A gökök szétválsztás Rolle-tétel lpján (A Rolle-sorozt) Az f ( ) = egenlet két egmásután következő göke között z f ( ) = egenletnek vn leglább eg göke. Szimbolikusn, h f ( ) = f ( ) = (hol és két egmás után következő gök), kkor Rolle tétele lpján létezik c (, ) úg, hog f ( c) =. H z f függvén deriválhtó, legen α és β z f ( ) = egenlet két egmásután következő vlós göke. hán göke lehet z eredeti f ( ) = egenletnek α és β között? H z f ( ) = egenletnek α és β

38 Függvének tnulmánozás 87 között lenne leglább két göke, <, kkor Rolle tételét lklmzv z [, ] intervllumon f -re, létezne c (,) úg, hog f () c =, α < c < β és f ( α) = f ( c) = f ( β ). Ez ellentmond nnk, hog α és β z f ( ) = egenlet két egmásután következő göke. Tehát z α és β között z legfeljebb eg göke vn. H f ( ) = egenletnek f( α) f( β)<, kkor pontosn eg gök vn, ellenkező esetben nincs gök. Tehát h z f ( ) = egenlet vlós gökeit ki tudjuk számítni és ezek növekvő sorrendbe rendezve < < <... < n <b, kkor elkészíthetjük következő tábláztot:... n b f ( ) lim f ( ) f ( ) f ( )... f ( n ) lim f ( ) z H z (, ), (, ),...,( b) intervllumok vlmelikének végpontjibn f( ) = 4 n, f függvén értékei különböző előjelűek ( függvénnek előjelváltás vn), kkor z f ( ) = egenletnek vn ebben z intervllumbn eg és cskis eg göke, h pedig függvén értékei zonos előjelűek, kkor z egenletnek nincs göke bbn z intervllumbn. Mivel fenti intervllumok lefedik z f függvén értelmezési trtománát ( f :(, b) ), z f ( ) = egenlet gökeit szétválsztottuk. A táblázt második sorát nevezzük Rolle-soroztnk. Példák. Adott z b 4 + = egenlet. Válsszuk szét z egenlet gökeit! ( ) Megoldás. f () = = =, =, =. A Rolle-sorozt következő: - + f ( ) A (, ) intervllum végpontjibn z f függvén értékei zonos előjelűek, tehát nincs itt göke. (, ) -bn ugnz z eset, (, ) -ben előjelváltás vn, tehát létezik (, ), melre f ( ) =. Hsonlón létezik (, + ) úg, hog f ( ) =. Tehát z egenletnek két vlós göke vn. Mivel f() = <, f() = 7 >, következik, hog (, ) és (, ), tehát z intervllumokt z I = (, ) és I = (, ) intervllumokr szűkítettük le.. (Prméteres egenlet tárglás z vlós prméter szerint.) Tárgljuk z vlós prméter szerint következő egenlet vlós gökeit: 4 f ( ) = 4 + =. Megoldás. Az f ( ) = egenlet gökei =, = és =, Rolle- sorozt következő ( lim f ( ) =+, lim f( ) =+ ): +

39 88 Függvének tnulmánozás - + f ( ) A második sorbn szereplő kifejezések előjele érdekel bennünket. Ezt z lábbi tábláztok dják: és A kifejezések zérushelei =, = 5, =. A következő eseteket kell tárglnunk: <, =, < < 5, = 5, 5 < <, =, >. A tárglást z lábbi tábláztbn foglljuk össze: - + f ( ) Következtetések vlós gökökre < + + (, ), (, ) = + + < < = (, ), = =, 4 (, ) (, ), (,), (, ), 4 (, ) = =, (, ), 4 (, ) 5< < (,), (, ) = = = > nincs vlós gök Gkorltok. Válszd szét z = egenlet vlós gökeit.. Válszd szét következő egenletek vlós gökeit: 5 ) = ; b) = ; c) = 9 ; d) 4 = +.. Tárgld z m vlós prméter szerint következő egenlet vlós gökeit: f ( ) = 9 + m =. 4. A grfikus módszer lklmzásávl válszd szét következő egenletek vlós gökeit: ) = ; b) e = cos ; c) sin = ; d) lg + = ; e) lg = sin ; f) tg + =. 5. Tárgld z prméter szerint következő egenletek vlós gökeit: ) + = ; b) = ; c) e = + ; d) ln = + ; e) sin + cos = ; f) + = ; 4 g) + = ; h) r ctg =.

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

N-ed rendű polinomiális illesztés

N-ed rendű polinomiális illesztés ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat

Többváltozós analízis gyakorlat Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Függvények tanulmányozása 211

Függvények tanulmányozása 211 Függvének tnulmánozás KÚPSZELETEK A KÖR A kör értelmezését mint mértni helet már z áltlános iskoláól ismeritek. A foglmk rögzítése céljáól felelevenítjük ezt z értelmezést: Értelmezés. Az O ponttól r távolságr

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok /0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:

Részletesebben

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26. Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Az integrálszámítás néhány alkalmazása Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK -

KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK - ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK - Trtlomjegyzék 1. Anlitikus mértn síkbn 1.1. Síkbeli egyenesek egyenletei Descrtes-féle koordinát rendszerhez

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

Tehetetlenségi nyomatékok

Tehetetlenségi nyomatékok Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk

Részletesebben

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni Gábor, mérnök tnár) Erők eredője, fölbontás.1. Péld dott eg erő és eg egenes irán-egségvektor:

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Eg kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 1. péld: Számítsk ki súlponti és tengelekre számított másodrendű nomtékokt! Megjegzés:

Részletesebben

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon Pdáni Ktolikus Gkorlóiskol, Veszprém Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Cél: pontos, kitrtó

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

Inverz függvények Inverz függvények / 26

Inverz függvények Inverz függvények / 26 Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás

Részletesebben

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg

Részletesebben

1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK

1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK Gkorlt 08 echnik II. Szilárdságtn 0 08 Segédlet KÜLPONTOS HÚZÁS-NYOÁS Trtlom. ALKALAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK.... GYAKORLATOK PÉLDÁI.... TOVÁBBI FELADATOK..... Külpontos húzás-nomás..... Hjlítás és húzás... 9

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás

Részletesebben

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010. MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Mértani helyek 289. III. Mértani helyek

Mértani helyek 289. III. Mértani helyek értni helek 89 III. értni helek 3.. Lineáris feltételekkel dott mértni helek Gkrn tlálkoztok oln feldttl, melekben eg közös tuljdonsággl rendelkező pontok hlmzát kell meghtározni. ár z áltlános iskolából

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL HAJDER LEVENTE 1. Bevezetés A Lgrnge-féle multiplikátoros eljárást Joseph Louis Lgrnge (1736-1813) olsz csillgász-mtemtikus (eredeti nevén Giuseppe

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

A határozott integrál fogalma és tulajdonságai

A határozott integrál fogalma és tulajdonságai . fejezet Htározott integrál A htározott integrál foglm és tuljdonsági D. Legyen f z [, b] intervllumon legfeljebb véges számú pont kivételével mindenütt értelmezett korlátos vlós függvény, továbbá legyen

Részletesebben

Fekete Mária. Matematika II. Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki Kar Matematika Tanszék

Fekete Mária. Matematika II. Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki Kar Matematika Tanszék Mtemtik II. Pollck jegzetek Fekete Mári Mtemtik II. Pécsi Tudománegetem Pollck Mihál Műszki Kr Mtemtik Tnszék Pécs, 2007 A jegzet PTE PMMK építőmérnök szk PMMANB312, PMMANB926 tntárgkódú Mtemtik II. kurzus

Részletesebben

Megint a szíjhajtásról

Megint a szíjhajtásról Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá. Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek

Részletesebben

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

7. Kétváltozós függvények

7. Kétváltozós függvények Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont 1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza

Részletesebben

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20 COPYRIGHT: 20 206, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév BSc Anlízis II. elődásjegyzet 2009/200. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 20. jnuár 7. ii Trtlomjegyzék Előszó v. Differenciálhtóság.. A derivált foglm és

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása . tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet! HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. LOSONCZI LÁSZLÓ ANYAGAINAK FELHASZNÁLÁSÁVAL. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek,

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Részletesebben

Gyakorló feladatok linearitásra

Gyakorló feladatok linearitásra A Munkponti linerizálás, lineritási hib A Kidolgozott péld Gkorló feldtok lineritásr Az ábrán láthtó tngens mechnizmus tpintóját z lphelzetbıl távolsággl elmozdítv z emeltő szöggel fordul el. k Írj fel

Részletesebben

MATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra

MATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra MATEMATIKA. elődás jegyzet Földtudomány és Környezettn lpszkos hllgtók számár Csomós Petr Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr, Mtemtiki Intézet Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

1.1. Halmazelméleti alapfogalmak

1.1. Halmazelméleti alapfogalmak . Halmazok, relációk, függvének.. Halmazelméleti alapfogalmak... A halmaz fogalma A halmazt a halmazelmélet alapfogalmának tekintjük és ezért nem definiáljuk. Szokás azt mondani, hog a halmaz különböző

Részletesebben

14. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor, mérnöktanár) Érdes testek - súrlódás

14. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor, mérnöktanár) Érdes testek - súrlódás SZÉCHENYI ISTVÁN EYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK 4. MECHNIK-STTIK YKORLT (kidolgozt: Trni ábor, mérnöktnár) Érdes testek - súrlódás 4.. Péld. dott: z ábrán láthtó letőn elhelezett test méretei és terhelése.

Részletesebben

4. előadás: A vetületek általános elmélete

4. előadás: A vetületek általános elmélete 4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1

Részletesebben