Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Pere Balázs ALKALMAZOTT MECHANIKA

Átírás

1 Dr Égert János Dr Molnár Zoltán Dr ere Blás ALKALMAZOTT MECHANIKA UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft Gőr, 010

2 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK ALKALMAZOTT MECHANIKA egetemi mesterképésben réstvevő mérnökhllgtók sámár Írt: Dr Égert János Dr Molnár Zoltán - Dr ere Blás Lektorált: Dr Sbó Tmás tsv egetemi docens Miskolci Egetem, Robert Bosch Mechtroniki Tnsék ISBN: UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft, 010 Minden jog fenntrtv, beleértve soksorosítás, mű bővített, illetve rövidített váltot kidásánk jogát is A kidó írásbeli hoájárulás nélkül sem teljes mű, sem nnk rése semmiféle formábn nem soksorosíthtó Kidj UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft Felelős kidó: Kft mindenkori ügveetője Műski serkestő: Ng Zoltán Késült lti Nomd és Kidó Kft nomdájábn Felelős veető Rdek Jósef

3 Trtlomjegék 0 BEVEZETÉS 1 MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 11Vektorok és vektorműveletek 1 Gkorló feldtok vektorműveletekre 13 Mátrilgebri össefoglló 14 Vektorok skláris, kétseres vektoriális és didikus sort 15 Mátri sjátértékei és sjátvektori 16 Tenorok előállítás 17 Gkorló feldtok mátriokr tenorokr ALAFOGALMAK 3 ERŐRENDSZEREK 31 Koncentrált erő megdás 3 Erő nomték 331Erő pontr sámított nomték 33 Erő tengelre sámított nomték 333 Össefüggés két pontr sámított nomték köött 33 Erő nomtéki vektortere 34 Koncentrált erőrendserek 341 Erőpár / koncentrált nomték 34 Áltlános erőrendser 343 Erőrendser eredő / redukált vektorkettőse 35 Erőrendserek egenértékűsége 351 A egenértékűség értelmeése 35 A egenértékűség feltételei (kritériumi) 353A kritériumok bionítás 354 A sttiki egenletek jellege 36 Erőrendser egensúl 361 A egensúl értelmeése 36 A egensúl feltételei (kritériumi) 37 Gkorló feldtok erőrendserekre 4 TÉRBELI STATIKAI FELADATOK 41 Köös ponton támdó erőrendserek 4 Sétsórt erőrendserek 43 Gkorló feldtok térbeli sttiki feldtokr 5 RUDAK IGÉNYBEVÉTELEI, IGÉNYBEVÉTELI ÁBRÁI 51 A igénbevételek értelmeése 5 A igénbevételek meghtároás 53 A igénbevételi ábrák / igénbevételi függvének 531 A megosló terhelés htás 3

4 53 A koncentrált erő htás 533 A koncentrált nomték htás 534 A egensúli egenletek integrál lkj 535 Áltlánosítás térbeli esetre 536 A igénbevételi ábrák megrjolásánk gondoltmenete 54 Gkorló feldtok rudk igénbevételeire és igénbevételi ábráir 6 SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAOTOK 61 Alpfoglmk 6 A elmodulási állpot 63 A lkváltoási állpot 64 A fesültségi állpot 65 Gkorló feldtok silárdságtni állpotokr 7 RUDAK EGYSZERŰ IGÉNYBEVÉTELEI 71 rimtikus rúd húás, ömök rúd nomás 7 Húott-nomott rudk tönkremenetele 73 Kör és körgűrű kerestmetsetű rudk csvrás 74 rimtikus rudk egenes hjlítás 75 Gkorló feldtok rudk egserű igénbevételeire 8 RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI 81 Tönkremeneteli elméletek 8 Húás-nomás és egenes hjlítás 83 Kör és körgűrű kerestmetsetű rudk húás-nomás és csvrás 84 Kör és körgűrű kerestmetsetű rudk hjlítás és csvrás 85 Nírás és hjlítás 86 Gkorló feldtok rudk össetett igénbevételeire 9 RÚDSZERKEZETEK ALAKVÁLTOZÁSA 91 Sttikilg htároott rúdserkeetek elmodulás, sögelfordulás 9 Sttikilg htárotln serkeetek támstóerői 10 RUGALMASSÁGTANI EGYENLETEK 101 Egensúli egenletek 10 Kinemtiki (komptibilitási, geometrii) egenletek 103 Angegenletek áltlános Hooke törvén 104 eremfeltételek 105 A komptibilitási egenletek más lkji 106 Gkorló feldtok ruglmsságtn egenleteire 11 A RUGALMASSÁGTAN D FELADATAI 111 A sík lkváltoás 11 A áltlánosított sík-fesültségi állpot 113 Forgássimmetrikus feldtok 114 Síkfeldtok megoldás fesültség-függvénnel 4

5 1141 A sík-lkváltoás és áltlánosított sík-fesültségi állpot össehsonlítás 114 A Air-féle fesültség-függvén 115 Síkbeli forgássimmetrikus feldtok 1151 Vstg flú csövek 115 Gorsn forgó csőtengelek, tengelek 116 Gkorló feldtok ruglmsságtn D feldtir 1 KINEMATIKA, KINETIKA 11 Angi pont mogás 111 A mogásfüggvén, pálgörbe 11 A sebességfüggvén, sebességvektor 113 A gorsulásfüggvén, gorsulásvektor 114 A mogásjellemők köötti kpcsolt 115 Gkorló feldtok ngi pont mogásár 1 Merev test mogás 11 Alpfoglmk 1 Merev test sebességállpot 13 A elemi síkmogás 14 Merev test gorsulásállpot 15 Gkorló feldtok merev test mogásár 13 Merev test kinetikáj 131 Merev test tömegeloslásánk jellemői 13 Merev test impulus, impulusnomték 133 Merev test kinetiki energiáj 134 Merev testre htó erőrendser teljesítméne 135 Merev testre htó erőrendser munkáj 136 A impulustétel 137 A perdület tétel 138 Energitétel, munktétel 139 Merev test kénsermogás 1310Gkorló feldtok merev test kinetikájár 13 DINAMIKAI FELADATOK 131 Forgó tömegek kiegensúloás 1311 A tömegkiegensúloás célkitűése 131 A tömegkiegensúloás megvlósítás 13 Forgórések meghjtás és üemeltetése 133 Testek ütköése 1331 Feltételeések, foglmk 133 Testek centrikus ütköése 1333 Testek ecentrikus ütköése 14 IRODALOM 5

6 0 BEVEZETÉS A Alklmott Mechnik tárg Sécheni István Egetem Műski Tudománi Krán Mechtroniki mérnöki, Kölekedésmérnöki és Logistiki mérnöki egetemi mesterképési (MSc) sk tntervében sereplő köteleő tntárg A tntárg egetemi lpképés mechnik okttását meghldó sínvonlon, igénes mtemtiki pprátus felhsnálásávl, rendkívül tömören, váltserűen fogllj össe mérnöki munkáho sükséges sttik, silárdságtn, kinemtik és kinetik leglénegesebb foglmit és össefüggéseit Eel lehetőséget teremt egetemi lpképést dott skon folttó hllgtóknk mechniki ismereteik bővített, mgsbb sínvonlú megerősítésére, korábbn kevesebb mechniki ismeretet serett hllgtóknk pedig tudásuk egetemi sintre hoásár A tnng össeállításánál serők rr törekedtek, hog mérnöki mechnikánk fenti MSc skok sámár fontos fejeeteire térjenek ki A elméleti tnngot kidolgoott gkorló feldtok, vlmint további ki nem dolgoott gkorló feldtok egésítik ki, melek önálló gkorlásr is lehetőséget bitosítnk A önálló feldtmegoldásnk elméleti ng megértése és megtnulás, vlmint kidolgoott feldtok gondoltmenetének megértése után célserű neki kedeni A tnng elsjátítás félév során folmtos munkát igénel A visgár történő eredménes felkésüléshe célserű tnnggl heti 3-4 órát inteníven fogllkoni és jegetből 15-0 oldlni ngot feldolgoni A jeget - elődásokon, gkorltokon és konultációkon történő résvételt feltételeve - segítséget sándékonk nújtni nppli tgotos hllgtóknk tntárg elsjátításáho és visgár történő eredménes felkésüléshe Hsnos segédesköök lehetnek onbn leveleő tgotos egetemi mesterképésben réstvevő hllgtók sámár is, kik ngobb rést önállón késülnek fel félévköi hái feldtok megoldásár és visgár A eredménes felkésüléshe hllgtók Alklmott Mechnik Tnsék honlpján címen további okttási segédngokt, kidolgoott elméleti kérdéseket tlálnk A Alklmott Mechnik tntárg ngánk elsjátításáho jeget serői eredménes munkát kívánnk A serők een helen mondnk kösönetet Dr Sbó Tmás tnsékveető egetemi docensnek, jeget lektoránk hsnos és érdemi skmi ésrevételeiért, melek jeget végleges váltotáb beépültek Gőr, 010 március 6

7 1 MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 11 Vektorok és vektorműveletek Skláris menniség: oln geometrii, vg fiiki menniség, melet ngság, (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii, vg fiiki menniség, melet ngság (előjel), irán és mértékegség jelleme ) Vektor megdás: e O α e e Egségvektorok: e, e A egségvektorok hoss egségni: e e 1 Eg tetsőleges vektor megdás egségvektorokkl: e + e H ismert vektor hoss és tengellel beárt söge, kkor előő össefüggésből: cosα e + sin αe (cosαe + sin αe ) e A vektor hossát ithgors-tétel segítségével sámíthtjuk ki: + Können beláthtó is, hog e vektor egségvektor: e cos α + sin α 1 A vektorok köötti műveletek vektorok támdáspontho, vg htásvonlho kötöttségétől függetlenül érvénesek b) Vektorok össedás: Legen dott két vektor: e + e, b b e + b e A két vektor össegének kisámítás: + b ( e + e) + ( be + be) ( + b) e + ( + b) e c c c A két vektor össegének megserkestése: b c c Háromsög sbál b rlelogrmm sbál 7

8 c) Vektorok kivonás: Legen dott két vektor: e + e, b b e + b e A két vektor különbségének kisámítás: b ( e + e) ( be + be) ( b) e + ( b) e d d d Két vektor különbségének megserkestése: b b d + ( b) d b b d d d) Vektorok skláris sorás ( eredmén skláris menniség): A skláris sorás értelmeése: b b cosα A skláris sorás kisámítás: b b + b + b A b jelölés kiejtése (kiolvsás): á sklárisn sorov bével Egségvektorok skláris sort: e e 1, e e 1, e e 1, e e 0, e e 0, e e 0 A eredmén áltlánosítás: és b 0 b A b jelölés kiejtése (kiolvsás): á merőleges bére e) Vektorok vektoriális sort ( eredmén vektor): A vektoriális sorás értelmeése: A eredménvektor ngság: b b sinα prlelogrmm mgsság b b α b sin α A eredménvektor iránát ún jobbké sbálll kpjuk meg: h jobb kéel vektort b vektorb forgtjuk, kkor jobb ké hüvelkujj dj meg eredménvektor iránát A eredménvektor merőleges sorásbn sereplő mindkét vektorr 8

9 A vektoriális sorás kisámítás: e e e b e( b b) e( b b) + e( b b) b b b Egségvektorok e e 0, e e 0, e e 0, vektoriális sort: e e e, e e e, e e e, e e e e e e, e e e, e e e Sbál: - H két egségvektort ábrán láthtó nílll megegeő sorrendben sorunk össe vektoriálisn, kkor poitív előjellel kpjuk hrmdik egségvektort - H két egségvektort ábrán láthtó nílll ellentétes sorrendben sorunk össe vektoriálisn, kkor negtív előjellel kpjuk hrmdik egségvektort A eredmén áltlánosítás: b 0 b f) Vektorok kétseres vektoriális sort ( eredmén vektor): ( b) c, vg ( b c ) Kisámítás kétféle úton lehetséges: - két vektoriális sorásnk kijelölt sorrendben történő elvégésével, - kifejtési sbálll: ( b) c b( c ) ( b c ), ill ( b c ) b ( c ) c ( b ) 1 Gkorló feldtok vektorműveletekre 11 feldt: Helvektorok felírás, össegése, bsolút értékének meghtároás Adott: eg hsáb, vlmint H pont hele: e AB 8m, BE 3m, H G AD 6m, FH 0,5BF F D Feldt: ) A H pont r H helvektoránk meghtároás C O b) A H-ból B pontb muttó r E HB helvektor meghtároás A B Kidolgoás: ) A H pont r H helvektoránk meghtároás: r H r OF + r FH r r (8e + 6 e ) m, OF F 9

10 rbf 1 e ( 3 e + 6 e ) m, r BF ( 3e + 6 e ) m, rbf 45 rbf BF + BF m, r 05, 45 m, FH 45 1 rfh r FH e ( 3 e + 6 e ) ( 15, e + 3 e ) m, 45 r H (8e + 6 e ) + ( 15, e + 3 e ) ( 1,5e + 8e + 9 e ) m b) A H-ból B pontb muttó r HB helvektor meghtároás rhb r BF e 45 ( 3e + 6 e ) m, r HB (4,5e 9 e )m 45 1 feldt: Vektorok össege, különbsége, egmássl beárt söge F F α F Adott: F1 (40e + 50 e) N, 50 F ( 0e + 4 e) N 40 Feldt: F 30 0 F 1 ) A két erő F0 F1 + F össegvektoránk 0 10 F meghtároás b) A két erő F* F1 F különbségvektoránk meghtároás F c) A két erővektor áltl beárt α 1 sög meghtároás Kidolgoás: ) A két erő F0 F1 + F össegvektoránk meghtároás: F0 F1 + F (40e + 50 e) + ( 0e + 4 e) (0e + 54 e) N b) A két erő F* F1 F különbségvektoránk meghtároás: F* F1 F (40e + 50 e) ( 0e + 4 e) (60e 46 e) N c) A két erővektor áltl beárt α 1 sög meghtároás: F1 F F1 F F1 F cosα cosα F1 F F1 F 40( 0) N, F1 F1 + F , 03 N, 600 F F + F , 40 N, cosα 0, 45934, 64, 03 0, 40 α rccos( 0, 45934) 117, 34 10

11 13 feldt: Vektor koordinátái és össetevői Adott: Feldt: (10e + 5 e ) m ) A vektor és iránú skláris koordinátáink meghtároás b) A vektor és iránú össetevőinek meghtároás Kidolgoás: ) A vektor koordináttengel iránú koordinátáink meghtároás (skláris menniségek): β α A skláris sorás értelmeéséből: e e cosα cosα, e e cos β cos β A skláris koordináták kisámítás: e (10e + 5 e) e 10e e + 5e e 10 m, e (10e + 5 e ) e 10e e + 5e e 5 m b) A vektor koordináttengel iránú össetevői (vektor menniségek): e (10 e ) m, e (5 e ) m 14 feldt: Vektor koordinátái és össetevői Adott: b (6e + 6 e) m, (1e + 4 e ) m Kidolgoás: Feldt: ) A b vektor iránú b és iránr merőleges b skláris koordinátáink meghtároás b) A b vektor iránú b és iránr merőleges b össetevőinek meghtároás ) Adott iránú koordináták meghtároás: A b vektor iránú koordinátáj ( iránr eső vetülete): b b b cosα b b cosα b b b b m, b , 65 m, 96 b 7,59 m 1, 65 A b vektor iránr merőleges koordinátáj ( iránr merőleges vetülete): b b b sinα b b sinα b 11

12 e e e b e (7 4) (48 e ) m, b b 48 3,79 m 1, 65 b) Adott iránú össetevők meghtároás: b 48m, 1,65 m A b vektor iránú össetevője: 1 e (1e + 4 e) (0, 9486e + 0, 316 e), 1, 65 b b e 7, 59(0, 9486e + 0, 316 e ) (7,e +,4 e ) m A b vektor iránr merőleges össetevője: b b ( b) b b sinα b sinα b b sinα b e 3 ( b) (48 e) (1e + 4 e) ( 19e e) m, 19e + 576e b ( 1,e + 3,6 e)m 160 Ellenőrés: b b + b (7, e +, 4 e ) + ( 1, e + 3, 6 e ) (6e + 6 e )m 15 feldt: Vektorok skláris sort Adott: F1 (40e + 18e 6 e) kn, F ( e + e + 3 e) kn, F ( F e ) 3 3 Kérdés: Mekkor legen 3 merőleges legen F -re? Kidolgoás: H b, kkor b 0 b cos α 0 o 90 Eért teljesülnie kell ( F1+ F3) F 0 össefüggésnek ( F1+ F3) F 40 e + (18 + F3) e 6 e ( e + e + 3 e) 0, 40 + ( ) 6 3 0, , 3 F F 1 F 3 61kN F F, h t krjuk, hog ( F1+ F3) 1

13 16 feldt: Vektor koordinátái és össetevői Adott: (3 e + e) N, b (4e + e) N b Feldt: ) A vektor b iránú és b iránr merőleges skláris koordinátáink meghtároás b) A vektor b iránú és b iránr merőleges össetevőinek meghtároás Megoldás: ) A vektor b iránú és b iránr merőleges skláris koordinátái:,35 N,,35 N b) A vektor b iránú és b iránr merőleges össetevői: ( e + e ) N, ( e e ) N 13 Mátrilgebri össefoglló ) Mátri értelmeése, jelölése: Mátri: Skláris menniségeknek, sámoknk megdott sbál serint táblátb rendeett hlm Mátri jelölése: A 1 3 A mátriokt kétser láhúott betűvel, mátriok elemeit (koordinátáit) lsó indees betűvel jelöljük l A, és 13, stb A 13 mátrielem A mátri első sorábn és hrmdik oslopábn vn Mátri mérete: éldául fenti (3)-s méretű A mátrink két sor és három oslop vn A 13 mátri elem jelölés kiejtése (kiolvsás): á eg három 1 Oslopmátri: T, sormátri: [ 1 3] 3 A oslopmátrink eg oslop, sormátrink eg sor vn A sormátri ugnnnk oslopmátrink trnsponáltj A sormátriot mátri betűjelének felső indeébe írt T betű jelöli b) Mátriműveletek: A műveleteket ( ) -es, (1)-es és (1)-es mátriokr muttjuk be - Mátri trnsponáltj (tükröés főátlór): A mátri főátlóját onos indeű elemek lkotják 13

14 A ( ) T 11 1 A 1 ( ) A trnsponálási művelet jele: T ( mátri felső indeében) A trnsponálás oslopmátriból sormátriot, sormátriból pedig oslopmátriot ho létre T A A jelölés kiejtése (kiolvsás): á trnsponált - Mátriok össedás, kivonás: Csk onos méretű mátriok dhtók össe, vonhtók ki egmásból A± B C, 11 1 b11 b1 ( 11 ± b11) ( 1± b1) c11 c1 ± 1 b1 b ( 1± b1) ( ± b) c1 c ( ) ( ) ( ) ( ) - Mátri sorás (sor-oslop kombináció): Csk oln mátriok sorohtók össe, melek teljesítik t feltételt, hog első soróténeő oslopink sám megegeik második soróténeő sorink sámávl AB C, 11 1 b11 b1 ( 11 b b1) ( 11 b1+ 1 b ) 1 b1 b ( 1 b11+ b1) ( 1 b1+ b) ( ) ( ) ( ) Ab c, 11 1 b1 ( 11 b1 + 1 b ) c1 1 b ( 1 b1 + b ) c ( ) ( 1) ( 1) ( 1) T T B d, b b ( 1 b11+ b1) ( 1b1+ b) d1 d b1 b (1 ) (1 ) (1 ) ( ) c) Különleges mátriok: Egségmátri: E 0 1 Tuljdonság: E A AE A A egségmátri főátlójábn 1-es koordinátákt, főátlóján kívül 0 elemeket trtlm A egségmátrisl történő sorás nem váltottj meg megsorott mátriot - Simmetrikus mátri: T A A A mátri elemei megegenek főátlór vett tükörképükkel 14

15 1 éldául A 9 simmetrikus mátri T - Ferdesimmetrikus mátri: A A A mátri bármelik eleme megegeik főátlór vett tükörképének mínus egseresével Ebből követkeik, hog főátlóbn csk érus elemek lehetnek 0 3 éldául A 3 0 ferdesimmetrikus mátri 14 Vektorok skláris, kétseres vektoriális és didikus sort Eges vektor sorások mátriok sortként is elvégehetők ) Vektorok skláris sort: A skláris sorás értelmeése: b b cosα (α vektorok köött beárt sög, α π ) A skláris sorás kisámítás mátrisorássl: b b b b + b + b b A első soró téneő koordinátáit sormátrib, második soró téneő koordinátáit oslopmátrib rendeük és sorást mátrisorás sbáli serint (sor-oslop kombináció) végeük el A sorás eredméne eg skláris menniség b) Vektorok didikus sort: Legen dott, b és c tetsőleges vektor Két vektor didikus sortánk jelölése: b, elneveése: diád A b jelölés kiejtése (kiolvsás): á diád bé Két vektor didikus sortát sorás tuljdonságink megdásávl értelmeük: - didikus sorás és skláris sorás ssocitív (csoportosíthtó, sorások elvégésének sorrendje felcserélhető): ( b) c ( b c), - diád skláris sorás sempontjából nem kommuttív (nem mindeg, hog eg diádot jobbról, vg blról sorunk meg sklárisn eg vektorrl, mert más eredmént kpunk): c ( b) ( b) c H sorás fenti össefüggéseket kielégíti, kkor sorás didikus Két vektor didikus sortánk kisámítás jobbsodrású, deréksögű koordinátrendserben: b b b b b b b b b b b b b 15

16 A első soró téneő koordinátáit oslopmátrib, második soró téneő koordinátáit sormátrib rendeük és sorást mátri sorás sbáli serint (sor-oslop kombináció) végeük el A sorás eredméne eg kilenc skláris menniséget trtlmó mátri Egségvektorok didikus sort: [ e e] 0 [ ] 0 0 0, e e 1 [ ] 0 1 0, [ e e ] 0 [ 0 0 1] 0 0 0, e e [ ] , [ e e ] 0 [ 0 0 1] 0 0 0, e e [ ] e , , e 1 [ 1 0 0] 1 0 0,[ e e ] [ ] e e 0 [ ] A sklár sámml történő sorás mindig didikus, vg más sóhsnálttl áltlános sorás 15 Mátri sjátértékei és sjátvektori ) A sjátérték feldt kitűése: Léteik-e oln n oslopmátri, mellel A négetes mátriot megsorov, n oslopmátri vlhánsorosát kpjuk: An λ n, hol λ skláris menniség? H léteik ilen n oslopmátri, kkor et A négetes mátri sjátvektoránk, λ skláris menniséget pedig A mátri sjátértékének neveük b) A sjátérték feldt megoldás: A sjátérték feldt megoldását eg ()-es mátrion muttjuk be A előő egenletet résletesen kiírv és bl oldlr rendeve: 11 1 n n 11 1 n n 0 λ n 1, n λ n 1 n 0, és sorásokt elvégeve, n, n ismeretlenre homogén lineáris lgebri egenletrendsert kpunk: 16

17 ( 11 λ) n + 1 n 0, n + ( λ) n A egenletrendser nem triviális (nullától különböő) megoldásánk feltétele, hog rendser mátriából képeett determinánsnk el kell tűnnie: ( 11 λ) 1 0 ( λ) 1 11 A determinánst kifejtve kpjuk krkteristikus egenletet: λ ( 11 + ) λ + ( 11 11) 0 A krkteristikus egenlet megoldási mátri sjátértékei: ( 11 + ) ± ( 11 + ) λ1, A homogén lineáris lgebri egenletrendsernek csk λ λ1 és λ λ esetén vn nemtriviális megoldás A mátri sjátértékeit növekvő sorrendben sokás sorsámoni H eges λ i (i1,) sjátértékeket behelettesítjük homogén lineáris lgebri egenletrendserbe, kkor egenletrendser megoldhtó ni, n i ismeretlenre: ( 11 λi) ni + 1 ni 0 ni 1 ni + ( 11 λi ) ni 0 ni, hol i1, A λ i (i1,) sjátértékek behelettesítése esetén onbn egenletrendser egenletei egmástól nem lineárisn függetlenek, eért egik egenletet el kell hgni és másik egenletből csk n / n, vg n / n (i1,) hándos htárohtó meg i i i i n n sjátvektorok- A n i és n i értékét kkor kpjuk meg egértelműen, h tól megköveteljük, hog egségvektorok legenek: n + n 1, i1, i i n T i i i 16 Tenorok előállítás ) Tenor értelmeése és tuljdonsági: Tenor: Homogén lineáris vektor-vektor függvén áltl megvlósított leképeés (hoárendelés) w f( v ) T v v hoárendelés w O v O w A T tenor tetsőleges v vektorho w képvektort rendeli hoá 17

18 A vektor-vektor függvén oln függvénkpcsolt, melnek v értelmeési trtomán és w értékkéslete is vektor menniség A tenor tuljdonsági: Homogén lineáris: H eg vektort két másik vektor lineáris kombinációjként állítunk elő, kkor vektor képvektor egenlő lineáris kombinációbn sereplő vektorok képvektorink lineáris kombinációjávl: H v λ1v 1+ λv és w f( v ), w f( v ), kkor 1 1 w f( v ) f( λ1v 1+ λv ) λ1f( v 1) + λf( v ) λ1w 1+ λw A össefüggésekben λ 1 és λ tetsőleges skláris egütthtók Követkemén: A érus vektorho érus vektort rendel hoá: 0 f (0) A tenor koordinát-rendsertől független fiiki (geometrii, mechniki) menniség b) Tenor előállítás jobbsodrtú, deréksögű descrtesi koordinát-rendserben: - Tenor megdás: - tenor koordinátáivl (mátiávl) és - koordinát-rendserrel történik - Tenor koordinátáink jelölése mátrib rendeve: T T T T11 T1 T13 T T T T T1 T T3 T T T T 31 T3 T 33 - Tenor előállítás deréksögű descrtesi KR-ben: 1 Tétel: - Térbeli esetben minden tenor egértelműen megdhtó három egmásr merőleges egségvektor és eek képvektori (három értékpár) ismeretében - Síkbeli esetben minden tenor egértelműen megdhtó két egmásr merőleges egségvektor és eek képvektori (két értékpár) ismeretében Tétel: - Térbeli esetben minden tenor előállíthtó három diád össegeként - Síkbeli esetben minden tenor előállíthtó két diád össegeként Legen ismert három értékpár: e f( e ), e + e + e, e b f( e), b be + be + be, e c f( e ), c ce + ce + ce A tenor didikus előállítás: T ( e + be + c e ) A tenor mátri: b c T b c b c A tenor mátriát didikus előállításbn kijelölt didikus sorások és össedások elvégésével kpjuk 18

19 A tenor mátriánk oslopi, b, c képvektorok koordinátáit trtlmák A mátri első sorábn képvektorok koordinátái, második sorbn képvektorok koordinátái, hrmdik sorbn képvektorok koordinátái állnk 17 Gkorló feldtok mátriokr, tenorokr 171 feldt: Mátri műveletek Adott: A 7 3, B 6 3 Feldt: T T ) A A és B trnsponált mátriok meghtároás b) A A+ B össegmátri és A B különbségmátri meghtároás c) A AB sortmátri meghtároás Kidolgoás: T T ) A A és B trnsponált mátriok meghtároás: T A 7 4 3, T B b) A A+ B össegmátri és A B különbségmátri meghtároás: A+ B , A B c) A AB sortmátri meghtároás ( 1) + ( 4)( 6) 4 + ( 4)3 AB ( 1) + 3( 6) feldt: Skláris, didikus és mátri sorás gkorlás Adott: (4 e + 6 e e ) m, Feldt: b ( 3 e + e e ) m, ) A b és b sortok meghtároás c ( e 6e b) A ( b) c és c ( b) ) sort meghtároás m Kidolgoás: ) A b és b sortok meghtároás: 19

20 3 b [ ] 1 4( 3) ( 1)( 1) 5m, 1 b ( 4e + 6e e) ( 3e + e e) ( 1 e 18e + 3e) e + ( 4 e + 6e e) e + + ( 4e 6e + e) e m A sögletes árójelben lévő diádok első soró téneőinek koordinátái tenor mátriánk oslopibn jelennek meg: b 6 [ ] m b) A ( b) c és c ( b) sort meghtároás: - A értelmeés lpján: ( b) c ( b c) ( 4e + 6e e) ( 3e + e e) ( e 5e) ( 4e + 6e e ) [ + 5] ( 1e + 18e 3e ) m 3, - Mátrisorássl: ( b) [ c] m A kétféleképp előállított eredmén termésetesen megegeik - A értelmeés lpján: c ( b) ( c ) b ( e 5e) ( 4e 6e e) + ( 3e + e e) [ 1 + 5] ( 3 e + e e ) (1e 7e + 7 e ) - Mátrisorássl: [ c] ( b) [ 0 5 ] [ ] [ ] 3 (36 15) ( 1 5) (1 5) m + A kétféleképp előállított eredmén termésetesen megegeik 0

21 173 feldt: Vektor dott iránr merőleges össetevőjének meghtároás Adott: b (0e + 40e 30 e) m, e (0,8e 0,6 e ), O b b b e Feldt: ) A b vektor e egségvektorrl párhumos b össetevőjének meghtároás b) A b vektor e egségvektorr merőleges b össetevőjének meghtároás kétseres vektoriális sorássl c) A b vektor e egségvektorr merőleges b össetevőjének meghtároás kifejtési sbálll Kidolgoás: ) A b párhumos össetevő meghtároás: 0 b ( e b) e [ 0 0,8 0,6 ] 40 e (3 + 18) e 50 e 30 b 50 e 50(0,8e 0,6 e) (4e 30 e) m b) A b merőleges össetevő meghtároás kétseres vektoriális sorássl: b ( e b) e e e e ( e b) 0 0,8 0,6 e( 4 + 4) e(1) + e( 16), e e e ( e b) e e(7, + 1,8) e(0) + e(0) 0 0,8 0,6 b ( e b) e (0 e) m c) A b össetevő meghtároás kifejtési sbálll: b ( e b) e b( e e) e( b e) b b b b b (0e + 40e 30 e ) (40e 30 e ) (0 e ) m 1

22 174 feldt: Tenor előállítás Adott: r (4e + e ) m O r A r A Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás, mel sík helvektoriból helvektoroknk koordinát-rendser O kedőpontjár tükröött vektorit állítj elő b) Meghtároni t r A vektort, mel r vektor origór vett tükörképe Kidolgoás: ) A tenor előállítás: Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e e, e b e A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) 1 0 A tenor mátri: T 0 1 b) A origór tükröött r A képvektor meghtároás: ra T r r ( 4e e ) m A 175 feldt: Tenor előállítás Adott: r (4e + 3 e ) m O r r A A Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás, mel sík helvektoriból helvektoroknk koordinát-rendser tengelére tükröött vektorit állítj elő b) Meghtároni t r A vektort, mel r vektor tengelre vett tükörképe Kidolgoás: ) A tenor előállítás:

23 Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e e, e b e A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) 1 0 A tenor mátri: T 0 1 b) A tengelre tükröött r A képvektor meghtároás: ra T r r (4e 3 e ) m A 176 feldt: Tenor előállítás o Adott: ϕ 30, r (4 e + e ) m A Feldt: r ) Annk T tenor mátriánk előállítás, mel A sík helvektoriból helvektorok tengel körül ϕ ϕ r söggel elforgtott vektorit állítj elő b) Meghtároni t r A vektort, melet r vektor ϕ söggel történő elforgtásávl kpunk Kidolgoás: ) A tenor előállítás: b e ϕ ϕ e Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e (cosϕ e + sin ϕ e ), e b ( sinϕe + cos ϕe ) A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) A diádok kisámítás: 0 cosϕ 0 [ e ] [ 1 0] 0 sinϕ 0, b 0 b 0 sinϕ b e [ 0 1] b 0 b 0 cosϕ cosϕ sinϕ 0,866 0,5 A tenor mátri: T sinϕ cosϕ 0,5 0,866 b) A elforgtott r A vektor meghtároás: 3

24 cosϕ sinϕ 0,866 0,5 4,964 ra T r sinϕ cosϕ 0,5 0,866 1,866 r (,964e +,866 e ) m A 177 feldt: Tenor előállítás Adott: o ϕ 45, r (5e + e ) m r A ϕ r A u Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás, mel sík helvektoriho helvektorok tengel körül ϕ söggel történő elforgtáskor helvektorok végpontjink elmodulás vektorit rendeli hoá b) Meghtároni r vektor végpontjánk u elmodulás vektorát ϕ söggel történő elforgtásnál Kidolgoás: ) A T tenor előállítás: b e ϕ ϕ e A tenor mátri: (cosϕ 1) sinϕ 0,93 0,707 T sin ϕ (cosϕ 1) 0,707 0,93 b) A u elmodulásvektor meghtároás: 0,93 0,707 5,879 u T r 0,707 0,93,949 u (,879e +,949 e ) m Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e (1 cos ϕ) e + sinϕ e, e b sin ϕ e (1 cos ϕ) e A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) 4

25 r r A A n 178 feldt: Tenor előállítás 1 1 Adott: n ( e + e ), r (5e + e + 10 e ) m Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás, mel tér minden helvektoráho helvektoroknk n normálisú S síkb eső vetületvektorát rendeli hoá b) Meghtároni r S síkb eső r A vetületvektorát vektornk dott n normálisú S A vetületvektort úg kpjuk, hog r vektor végpontját merőlegesen vetítjük S síkr Kidolgoás: ) A T tenor előállítás: A tetsőleges v vektor S síkb eső w vetületvektor: w n ( v n) v( n n) n( n v) v n( n v) 1 Térbeli esetben tenort három értékpárj htáro meg: e e n( n e) e, 0 e n b e n( n e) e e e e + e + e, 1 e n c e n( n e) e e e e + + e + e 1 A három értékpárból tenor: T ( e + be + c e ) A tenor mátri: T 0 0,5 0,5 0 0,5 0,5 b) A r vektornk dott n normálisú síkb eső r A vetületvektoránk meghtároás: 5

26 ra T r 0 0,5 0, ,5 0, r (5e + 6e + 6 e ) m A m 179 feldt: Tenor előállítás Adott: r (3 e + 4e + 6 e ) m r Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás, mel tér O minden helvektoráho helvektoroknk síkr r D vett tükörkép-vektorát rendeli hoá A b) Meghtároni r vektornk síkr vett r A tükörképvektorát A A tükörkép-vektort követkeőképpen kpjuk: A r vektor végpontját merőlegesen vetítjük síkr A D pont vetítő egenes döféspontj síkon Megoldás: ) A hoárendelést megvlósító tenor mátri: T b) A r A tükörkép-vektor: r A (3e + 4e 6 e ) m 1710 feldt: Tenor előállítás Adott: r (4e + 4e + 8 e ) m r Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás, mel tér O r A D A minden helvektoráho helvektoroknk síkb eső vetületvektorát rendeli hoá b) Meghtároni r vektornk síkb eső r A vetületvektorát A vetületvektort úg kpjuk, hog r vektor végpontját merőlegesen vetítjük síkr A D pont vetítő egenes döféspontj síkon A vetületvektor D pontb muttó vektor Megoldás: ) A hoárendelést megvlósító tenor mátri: T b) A r A vetületvektor: r A (4e + 4 e ) m 6