MATEMATIKA A 11. évfolyam

Átírás

1 MATEMATIKA A. évfolym A ritmus. modul Készítette: Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes

2 Mtemtik A. évfolym. modul: A ritmus Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A ritmus foglmánk mint htványozás inverz műveletének kilkítás. A ritmusfüggvény grfikonjánk ábrázolás, kpcsolt z eponenciális függvénnyel. A függvény tuljdonságink megállpítás, függvénytuljdonságok segítségével egyenletek, egyenlőtlenségek megoldás. A vlós életben végbemenő eponenciális és ritmikus folymtok leírás, problémák megoldás. ór. osztály Tágbb környezetben: környezeti, fiziki, kémii, biológii, közgzdsági folymtok modellezése. Szűkebb környezetben: htványfüggvény rcionális kitevőre, eponenciális függvény, nlízis elemei. Geometrii trnszformációk, vektorok. Soroztok, kmtoskmt számítás. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek grfikus és lgebri megoldás. Ajánlott megelőző tevékenységek: Htvány- és gyökfüggvény, eponenciális függvény, függvénytrnsz formációk, függvények jellemzése. Geometrii trnszformációk, vektorok. Első és másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldás. Htványozás egész, illetve rcionális kitevőre. Htványozás zonossági. Ajánlott követő tevékenységek: Soroztok, kmtoskmt számítás. Anlízis elemei. Térbeli geometrii trnszformációk.

3 Mtemtik A. évfolym. modul: A ritmus Tnári útmuttó A képességfejlesztés fókuszi Számolás, számlálás, számítás: A ritmus értékének, lpjánk, htványértéknek vlmint ritmusfüggvény értékének kiszámítás. Pontok ábrázolás koordinát-rendszerben. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldás. Becslés, mérés, vlószínűségi szemlélet: Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási számánk meghtározás. Logritmusértékek összehsonlítás z érték kiszámítás nélkül, függvénytuljdonság felhsználásávl. Szöveges feldtok, metkogníció: Mtemtiki modelllkotás kémii, biológii, közgzdsági folymtokbn, leírás segítségével. Rendszerezés, kombintív gondolkodás: Függvények grfikonjánk ábrázolás függvénytrnszformációkkl. Logritmus értékének meghtározás htványozás zonosságink felhsználásávl. Egyenletek, egyenlőtlenségek grfikus megoldás. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldás függvény tuljdonságink ismeretében. Induktív, deduktív következtetés: Az eponenciális függvény grfikonjánk ábrázolás és jellemzése konkrét esetben, mjd prméter megdásávl. A prméteres lk segítségével függvénytuljdonság megállpítás mjd egyenlőtlenség megoldás. TÁMOGATÓ RENDSZER. kártykészlet ( htványozás ismétléséhez). blk ( htványozás ismétléséhez). triminó (ritmusértékek kiszámításához). kártykészlet (inverz függvénypárok keresése). dominó (ritmusértékek ismétléséhez).6 kártykészlet (eponenciális és ritmikus folymtok elemzéséhez) Ezeken kívül modul végén tlálhtó feldtgyűjtemény is.

4 Mtemtik A. évfolym. modul: A ritmus Tnári útmuttó JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS. ór A ritmus definíciój. ór A ritmusfüggvény definíciój. ór A ritmusfüggvény grfikonjánk ábrázolás függvénytrnszformációkkl. ór Függvényábrázolássl megoldhtó egyenletek, egyenlőtlenségek 6. ór A ritmus zonossági 7 0. ór Logritmikus egyenletek. ór Eponenciális és ritmikus folymtok természetben ( ór) ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Definiálj és hsználj feldtok megoldásábn ritmus foglmát, vlmint ritmus zonosságit. Tudjon áttérni más lpú ritmusr. Tudjon definíciók és zonosságok közvetlen lklmzását igénylő feldtokt megoldni. Ismerje és lklmzz függvényeket gykorlti problémák megoldásánál. Az inverzfüggvény szemléletes értelmezése. Tudjon értéktáblázt és képlet lpján függvényt ábrázolni, illetve dtokt leolvsni grfikonról. Ismerje, tudj ábrázolni és jellemezni z f() és g() függvényeket! Tudjon néhány lépéses trnszformációt igénylő függvényeket függvénytrnszformációk segítségével ábrázolni [ f ( ) + c; f ( + c); c f ( ) f ( c ) ; ]. Függvények jellemzése értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, pritás szempontjából. Emelt szint Bizonyíts ritmus zonosságit. Tudjon egyszerű eponenciális és ritmikus egyenlőtlenségeket megoldni. Értelmezési trto- mány, illetve értékkészlet vizsgálttl, vlmint szorzttá lkítássl megoldhtó egyenletek. Tudj ábrázolni z ( ) f ( ) függvény trnszformáltjink grfikonját [ c f ( + b) + d]. Ismerje és lklmzz függvény leszűkítésének és kiterjesztésének foglmát. f és

5 Mtemtik A. évfolym. modul: A ritmus Tnári útmuttó MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjtemény I. ritmus definíciój ( ór). A htványozás ismétlése: A tnulók fős csoportokbn dolgoznk. A tnár minden csoportbn kiosztj z első blkot, és számokt trtlmzó kártyákt. A csoport minden tgj húz kártyát, és rjt tlálhtó számot beírj z blk megfelelő rubrikájáb. H csoportok elkészültek, közösen ellenőriznek.. A ritmus definíciójánk lklmzás: Szkértői mozik: A ritmus definiálás után tnulók ismét négy fős csoportokbn dolgoznk. A tnár kidj z első négy mintpéldát csoportoknk. Akik ugynzt mintpéldát kpták, z eredeti csoportjukból kiválv összeülnek, közösen megértik, mjd visszmennek csoportjukhoz, és elmgyrázzák többieknek. rendszerezés, számolás számolás, kombintív gondolkodás. kártykészlet. blk. feldt. mintpéldák. feldtok közül vátv szkértői mozik. trimino

6 Mtemtik A. évfolym. modul: A ritmus Tnári útmuttó 6 II. A ritmusfüggvény ( ór). Eponenciális és ritmusfüggvény kpcsolt: csoportmunk. kombintív gondolkodás, számítás, becslés. A ritmusfüggvény definíciój. induktív gondolkodás, rendszerezés, számítás, vlószínűségi szemlélet, metkogníció. Értelmezési trtomány vizsgált: differenciált fogllkozás fős homogén csoportokbn. kombintív gondolkodás, számítás. A ritmusfüggvény ábrázolás kombintív gondolkodás, számlálás, számolás, deduktív gondolkodás függvénytrnszformációkkl: szkértői mozik után differenciált gykorlás.. A grfikon felhsználásávl megoldhtó egyenletek, egyenlőtlenségek. Szkértői mozikkl mintpéldák feldolgozás, mjd fős csoportokbn gykorlás (egy kombintív gondolkodás, számlálás, becslés csoporton belül tnulók megoldnk - példát, mjd kicserélik és kijvítják egymásét).. mintpéld,. feldt 6 8. feldtokból vátv 6. mintpéld 7 8. mintpéldák 9. feldtokból vátv 9. mintpéldák. feldtokból vátv. kártykészlet. mintpéldák 7. feldtokból vátv III. A ritmus zonossági ( ór). Dominó játék. A ritmus definíciójánk felelevenítésére,. dominó elmélyítésére.. A ritmus zonosságink megismerése (szorzt ritmus, rendszerezés, kombintív gondolkodás 6. mintpéld hánydos ritmus, htvány ritmus). Áttérés más lpú ritmusr.. A ritmus zonosságink gykorlás. kombintív gondolkodás, számítás 8. feldtokból vátv

7 Mtemtik A. évfolym. modul: A ritmus Tnári útmuttó 7 IV. Logritmikus egyenletek ( ór). Egyszerűbb ritmikus egyenletek megoldás. kombintív gondolkodás, számítás 7. mintpéld 7. feldtokból vátv. A ritmus zonosságink felhsználásávl megoldhtó rendszerezés, kombintív gondolkodás, szá- 8. mintpéld egyenletek. mítás. A tnulók differenciált fős csoportokbn dolgoznk. A csoport mindegyik tgj más-más feldtot kp, melyet önállón old meg. Az önálló feldtmegoldás után 8 9. feldtok csoport megismerkedik minden feldttl. A tnulók kombintív gondolkodás, számítás ismertetik sját megoldásukt csoporton belül, ezt közösen megvittják.. A ritmikus egyenletek gykorlás. 0. feldtokból vátv. Másodfokúr visszvezethető ritmikus egyenletek. 9. mintpéld 6. Eponenciális egyenletek rendszerezés, kombintív gondolkodás, számítás 0. mintpéld 7. Összetettebb ritmikus, eponenciális gyenletek. feldtokból vátv megoldás. V. Eponenciális és ritmusos folymtok természetben ( ór). A természetben lezjló eponenciális és ritmusos folymtok feldolgozás projekt módszerrel.. Gykorlás. szövegértés, metkogníció, számolás, számítás, vlószínűségi szemlélet.6 kártykészlet. mintpéldák 7. feldtokból vátv

8 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 8 I. A ritmus Eddigi tnulmányink során htványozáskor először olyn esetekkel fogllkoztunk, mikor ismertük htványlpot és kitevőt. Ekkor htványértéket htároztuk meg. 0 Például: 8; ; 7. H htványértéket és kitevőt ismertük, kkor z lpot kerestük. Például: 8 esetén htvány lpj. H, kkor htványlp és is lehetne. Ilyenkor gyökvonás segítségével hmr megkptuk keresett értéket. Most megnézzük, hogyn számíthtó ki kitevő htványérték és z lp ismeretében. A ritmus rr kérdésre d válszt, hánydik htványr kell emelni z lpot, hogy megdott értéket kpjuk: 8? y y? 7 z z? A ritmus foglm. kártykészlet A tnulók fős csoportokbn dolgoznk. A tnár minden csoportbn kiosztj z első blkot, és számokt trtlmzó első kártykészletet. A csoport minden tgj húz - kártyát, és rjt tlálhtó számot beírj z blk megfelelő rubrikájáb. H csoportok elkészültek, közösen ellenőriznek. (. feldt)

9 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 9. blk Feldtok. Írd föl megdott számokt htvány lkbn! Csoportosítsd kpott értékeket,, és 7 lp htványként! Számok: ; ; ; 0,; ; 9; ; 0,; ; 9 ; htványi: 0 ; 0, ; ;. 0 htványi: ; ; 9 ; htványi: 0 ; 0, ; ; 0 htványi: ; ; 7

10 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 0 Ezekben feldtokbn egyszerűen meg tudtuk állpítni htványkitevőt. Hogyn tudjuk kiszámítni kevésbé egyszerű esetekben? Például 8. Most csk zt tudjuk, hogy < <. Ez problém z b ( > 0) típusú eponenciális egyenletek megoldásához vezet. Olyn htványkitevőt keresünk, melyre t emelve b t kpunk. H b 0, kkor ilyen htványkitevő nincs. H b > 0, kkor z f () ( > 0; ) eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt egyértelműen létezik ilyen htványkitevő. Ezt műveletet nevezzük ritmuskeresésnek. A b pozitív szám lpú ( > 0 és ) ritmusánk nevezzük zt kitevőt, melyre -t emelve b -t kpunk. Jelölés: b (kiolvsv: lpú ritmus b) Speciális jelölések: 0 b lgb (de tlálkozhtunk b jelöléssel is) b lnb (e lpú ritmus b, természetes lpú ritmus b) e Mtemtiki jelölésekkel ritmus definíciój: b b, hol b > 0; > 0 és Az b és z b egyenletek ekvivlensek, hiszen mindkettőben htványlp, kitevő és b htványérték. Speciális esetek: 0, mert 0, mert n n, mert n n A ritmus definiálás után tnulók ismét négy fős csoportokbn dolgoznk. A tnár kidj z első négy mintpéldát csoportoknk. Akik ugynzt mintpéldát kpták eredeti csoportjukból kiválv, közösen megértik, mjd visszmennek csoportjukhoz, és elmgyrázzák többieknek. A mintpéldák z első szkértői mozikbn is megtlálhtók.

11 . modul: A ritmus Tnári útmuttó A ritmus definíciójánk lklmzás Mintpéld Számítsuk ki következő ritmusértékeket! ) lg 0, 00 b) 7 c) d) e) f) ( 6) g) 0, 0 ) lg 0,00, mert 0 0,00 b) 7 6, mert 6 7 c), mert d), mert e) értelmetlen, mert nek mindegyik htvány. f) ( 6) értelmetlen, mert nek egyik htvány sem lehet negtív. g) 0, 0 értelmetlen, mert 0, minden htvány pozitív Mintpéld Htározzuk meg következő htványértékeket! ) lg b) k c) e) 8 z 0 f) 0 7 ) lg 0 00 d) 0, d b) k k c) d) 0, d d 0, e) 8 z 0 z 8 0 f) 0 7 : értelmetlen mert ritmus lpj nem lehet 0.

12 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó Mintpéld Htározzuk meg ritmus lpját! ) 8 b) c) c d) k e) b f) k 0 A ritmus lpj -től különböző pozitív szám, melyre következő összefüggések igzk: ) 8 8 b) c) c d) k k k b c c 6 e) b b 8 f) k 0 értelmetlen, mert nincs olyn szám, melynek 0. htvány., mert > 0 Mintpéld Számítsuk ki következő htványokt! ) b) lg8 c) 0 d) ( ) e) 7 7 f) 9 g) 00 0 A ritmus definícióját hsználjuk fel: b b, > 0; ; b > 0. ) b) c) 0 lg 8 8 d) A ritmust csk pozitív számokr értelmeztük, ezért htványkitevőnek nincs értelme. e) A htványozás zonosságát felhsználv lkítsuk át kitevőt: 7 ( 7 ) 7 7. f) A 9 et írjuk fel htványként: 9 ( ) ( ) 6.

13 . modul: A ritmus Tnári útmuttó g) 0 et írjuk fel 00 htványként:. trimino 00 ( 00 ) Módszertni megjegyzés: Triminó játék! Alkítsunk ki csoportokt z osztálybn. Minden csoport kp 9 db szbályos háromszöget. A kis háromszögek oldlit összeillesztve minden csoport elkészít egy ngy háromszöget. Úgy kell z oldlkt összeilleszteni, hogy z élek mentén egy ritmusos kifejezés és nnk értéke álljon.. Természetesen ki nem krj triminót hsználni, z többek között következő módszert is lklmzhtj: Az zonos tudásszintű tnulók párokbn dolgoznk. A mintpéldákból láthtó feldttípusból sját szintüknek megfelelően megoldnk egyet-egyet. H elkészültek, ellenőrzik egymás számításit. A megmrdtk házi feldtokként kitűzhetők. Ajánlás: lpszint egyik tnuló: /b; /b; 8/b; / másik tnuló: /c; /; 8/; /c középszint egyik tnuló: /; 6/c; 9/b; /c másik tnuló: /c; 6/b; 9/; /b emelt szint: egyik tnuló: /; 7/b; 0/b; /b másik tnuló: /c; 7/; 0/; /

14 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó Feldtok A megoldásoknál sok esetben csk z eredményt djuk meg. Természetesen tnulóktól kívánjuk meg z egyenletek megoldáskor z ellenőrzést vgy z ekvivlenciár hivtkozást. Így eponenciális, illetve ritmikus egyenleteknél hivtkozzunk szigorú monotonitásr.. Számold ki következő ritmus értékeket! ) 8 b) c) d) 9 ) ; b) ; c) 0,; d).. Számold ki következő ritmus értékeket! ) lg b) 0 7 c) ) ; b) 0; c) 9. Számold ki következő ritmus értékeket! ) b) 8 c) 8 ) b) 8 8 c) 8 8. Htározd meg betűkifejezések számértékét! ) b) lg b c) c

15 . modul: A ritmus Tnári útmuttó ) ; b) b 0 ; c) c 6. Htározd meg betűkifejezések számértékét! ) v b) ) v ; b) ; c) y 9 c) y 7. Htározd meg betűkifejezések számértékét! ) 0, p b) r c) s 6 ) p (0,) b) r 6 6 c) s s s 8 8. Htározd meg következő ritmusok lpjit! ) 8 b) b 0 6 c) c 9 ) ; b) kifejezés nincs értelmezve; c) c. 9. Htározd meg következő ritmusok lpjit! 6 ) u 9 b) v c) 0,

16 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 6 ) u 9 u 9 9 b) 6 v v 6 v v 6 6 0, c) 8 0. Htározd meg következő ritmusok lpjit! ) p 7 b) c) q r r 8 8 ) p 7 7 p p 7 7 b) q q q c) r ± ) 8 8 r r r 8 ) 8 r r r 8 (A ritmus lpj nem lehet negtív.). Htározd meg következő kifejezések pontos értékét! lg ) 0 b) c) ( ) ) ; b) ; c) nincs értelmezve.. Htározd meg következő kifejezések pontos értékét! ) 9 b) 6 c) +

17 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 7 ) 6 b) 6 c) 00. Htározd meg következő kifejezések pontos értékét! ) 7 b) lg 0,00 lg c) 6 ) ( ) 7 7 b) ( lglg) 6lg+ lg c) mivel 0, nincs megoldás, ugynis 0 nem értelmezett.. Melyik ngyobb? ) vgy 7 b) lg 0 6 vgy 6 7 c) 0, 0 vgy ) < 7 7 b) lg c) 0, 0 0 <

18 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 8 II. A ritmusfüggvény A ritmusfüggvény definíciój, grfikonj, jellemzői Vizsgáljuk z zonos lpú eponenciális és ritmusos kifejezések közötti kpcsoltot! Mintpéld Töltsük ki z lábbi értéktábláztokt, mjd z értéktábláztok oszlopiból képzett értékpárokt ábrázoljuk feldtonként közös koordinát-rendszerben! , 0 0, 0, 0, 0, 0, , 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8 0

19 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 9 Az eponenciális függvény esetében rögzítettünk egy -től különböző pozitív vlós számot, és tetszőleges vlós értékekhez ezen számnk htványit, -et rendeltük hozzá. Ennek z inverze függvény. Az f (), > 0; ; > 0 hozzárendelési utsítássl megdott függvényt ritmusfüggvénynek nevezzük. A tnulók fős csoportokbn dolgoznk. Ketten z ) részt, ketten b) részt oldják meg, mjd közösen megbeszélik tpsztltokt. Feldtok ). Töltsd ki z lábbi értéktábláztokt, mjd z értéktábláztok oszlopiból képzett értékpárokt ábrázold feldtonként közös koordinát-rendszerben! , 0 0, 0, 8 9 9

20 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 0 b) , 0 0, 0, ) 0, 0 0, 0, b) 0, 0 0, 0,

21 . modul: A ritmus Tnári útmuttó A tnulók z ór folymán djnk válszt következő kérdésekre, mjd tnár irányításávl beszéljék meg válszokt. 6. Válszolj következő kérdésekre! ) Milyen kpcsolt vn z eponenciális függvény értékkészlete és ritmus függvény értelmezési trtomány között? ) Vn-e kpcsolt vn z eponenciális, illetve ritmusfüggvény grfikonj pontjink koordinátái között? ) Milyen trnszformációvl tudnád átvinni z eponenciális függvény grfikonját ritmusfüggvény grfikonjáb, h zonos z lpjuk? ) A grfikonoknk hol vn metszéspontjuk tengelyekkel? ) Mi állpíthtó meg ritmusfüggvény monotonitásáról, h lpj, illetve? 6) Melyik egyenest közelíti meg z eponenciális, illetve ritmusfüggvény grfikonj? 7) Vn-e ritmusfüggvényeknek szélsőértéke?. Megegyeznek.. Áltlábn nincs, de h zonos z lp, kkor vn.. Tükrözéssel z f ( ) függvény grfikonjár ( -os egyenes).. Az eponenciális függvény grfikonj z y tengelyt (0; ), ritmusfüggvény grfikonj z tengelyt z (; 0) pontbn metszi.. H z lp, kkor függvény szigorún monoton csökkenő. H z lp, kkor függvény szigorún monoton növő. 6. Az eponenciális függvény grfikonj z tengelyt, ritmus függvény grfikonj z y tengelyt közelíti meg tetszőleges pontossággl (szomptoták). 7. A ritmusfüggvényeknek nincs szélsőértéke. Beláthtó, hogy minden pozitív -re lehet értelmezni ritmust, nemcsk pozitív rcionális számokr.

22 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 7. Ábrázold közös koordinát-rendszerben pozitív vlós számok hlmzán értelmezett következő függvények grfikonjit! ) f () g() h() lg b) () b() c() ) b) 0, 8. Válszolj következő kérdésekre! ) Mi állpíthtó meg grfikonok növekedésének / csökkenésének üteméből z ), illetve b) esetben? ) Melyik z pont, melyik rjt vn mindegyik grfikonon? ) -nél ngyobb lp esetében minél ngyobb, 0 és közötti lp esetén minél kisebb ritmus lpj, ritmus függvény grfikonj nnál jobbn hozzásimul z tengelyhez. ) Az (; 0) pont, melyikre mindegyik görbe illeszkedik. Mintpéld 6 Az eddigi tpsztltokt áltlánosítv rjzoljuk meg ritmusfüggvény grfikonját, h ritmus lpj 0 és között vn, illetve, h ngyobb -nél! Jellemezzük is függvényeket!

23 . modul: A ritmus Tnári útmuttó Grfikon f () 0 < < g () < Jellemzés:. É. T. R + R +. É. K. R R. Zérushely. Monotonitás szigorún monoton csökkenő szigorún monoton növekvő. Szélsőérték nincs nincs 6. Pritás nem páros, nem pártln nem páros, nem pártln 7. Invertálhtóság invertálhtó invertálhtó A tnulók - fős homogén csoportokbn dolgozhtnk. A 7. mintpéld feldolgozását gyengébb, 8. mintpéldáét z átlgos képességűek számár jánljuk. Mintpéld 7 Htározzuk meg következő függvények értelmezési trtományát! ) f ( ) ( + ) b) g ( ) lg c) h ( ) 0, + d) k( ) 7 ) A ritmus definíciój szerint: + > 0 >,. Az értelmezési trtomány: ],; + [ b) A ritmus definíciój szerint: > 0 > 0 >. Az értelmezési trtomány: ] ; + [ c) A ritmus definíciój szerint: + > 0, és mivel + 0. Az értelmezési trtomány: R \

24 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó d) A ritmus definíciój szerint > 0 7 Az értelmezési trtomány: 7 < 0 7 < 0 >. 7 7 ; + Mintpéld 8 Htározzuk meg következő függvények értelmezési trtományát! f lg( + 6) ) () b) g ( ) c) + 8 ) A ritmus definíciój szerint: h( ) lg + 6 > 0 < vgy >. Az értelmezési trtomány: ] ; [ ] ; [ b) A ritmus definíciój szerint 8 > 0 I) > 0 és + 8 > 0 < < + 8 Az értelmezési trtomány: 8 ; II) < 0 és + 8 < 0 nincs megoldás c) A nevező mitt: lg 0, ezért. A ritmus értelmezési trtomány mitt: > 0 Az értelmezési trtomány: R + \ {}

25 . modul: A ritmus Tnári útmuttó Jvsoljuk, hogy mintpéldák megbeszélése után fős, szintén homogén csoportokbn dolgozznk tovább. Oldjnk meg - feldtot sját szintjüknek megfelelően, mjd kijvítják egymás megoldását. Ajánlás: lpszint: egyik tnuló: 9 / b,d másik tnuló: 9 / e,f középszint: egyik tnuló: 0 / c, b másik tnuló: 0 / e, d emelt szint: egyik tnuló: /,d másik tnuló: / b,c Feldtok 9. Mely -ekre értelmezhetők z lábbi függvények? ) ( ) lg( ) b) ( ) b( ) c) c( ) ( ) d) d() ( + 7) e) e() 7 f) f (), 6 9 ) < 0; b) ; c) < ; d) > 7; e) 7; f) > ; 0. Mely -ekre értelmezhetők z lábbi függvények? ) ) ( ) b) b() 7 ( ) ( 0, 7 + d) d() ( ) e) e() c) c() ( )( ) f) f ( ) ( + ) ) R; b) > vgy < ; c) > vgy > ; d) < < ; e) < < ; f) > vgy <.. Mely -ekre értelmezhetők z lábbi függvények? ) ( ) ( + )( + ) m b) n ( ) lg + c) q( ) lg d) lg r( ) +

26 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 6 ) > és 0; b) < < vgy > ; c) > ; d) > és 0. A ritmusfüggvény grfikonjánk ábrázolás függvénytrnszformációkkl Az előzőekben megismerkedtünk ritmusfüggvénnyel. A továbbikbn z ( ) ; > 0; ; > 0 f függvényt z lpú ritmus lpfüggvényének nevezzük. Nézzük meg ennek függvénynek néhány trnszformáltját! Módszertni megjegyzés: A tnulók fős csoportokt lkítnk ki. Az egyik tnuló 9., másik tnuló 0., hrmdik tnuló., negyedik pedig. mintpéldát dolgozz fel. Miután megértették, egymás után elmgyrázzák csoporton belül többieknek. Megállpodás, hogy h nem djuk meg z értelmezési trtományt, kkor z vlós számok legbővebb hlmz, melyen függvény értelmezhető. Mintpéld 9 Ábrázoljuk koordinát-rendszerben és jellemezzük pozitív vlós számok hlmzán értelmezett következő függvényeket! ) f () + b) g() ) Trnszformációs lépések:. () z lpfüggvény ábrázolás. f () + grfikonjánk eltolás v(0; ) vektorrl Jellemzés:. ÉT: R +. ÉK: R. Zérushely: + 0, A ritmus definíciój lpján

27 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 7 b). Monotonitás: szigorún monoton növő. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó Trnszformációs lépések:. () z lpfüggvény ábrázolás. g() grfikonjánk eltolás v (0; ) vektorrl Jellemzés:. ÉT: R +. ÉK: R. Zérushely: 0, A ritmus definíciój szerint. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó 8 Mintpéld 0 Ábrázoljuk koordinát-rendszerben és jellemezzük következő függvényeket! ) f () ( + ), h > b) g () ( ), h > ) Trnszformációs lépések:. () z lpfüggvény ábrázolás. f () ( + ) grfikonjánk eltolás v( ; 0 ) vektorrl

28 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 8 b) Jellemzés:. ÉT: ] ; [. ÉK: R. Zérushely: ( + ) 0 A ritmus definícióját lklmzv +,. Monotonitás: szigorún monoton növő. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó Trnszformációs lépések:. ( ) z lpfüggvény ábrázolás. ( ) ( ) g grfikonjánk eltolás v( ; 0) vektorrl Jellemzés:. ÉT: ] ; [. ÉK: R. Zérushely: ( ) 0 A ritmus definíciój lpján,. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó Mintpéld Ábrázoljuk koordinát-rendszerben és jellemezzük következő függvényeket, h pozitív vlós szám! ) f () b) g ()

29 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 9 ) Trnszformációs lépések:. () z lpfüggvény ábrázolás. b() grfikonjánk -szeres Jellemzés:. ÉT: R +. ÉK: R nyújtás / zsugorítás z y tengely mentén. f () b grfikonjánk tükrözése z tengelyre. Zérushely: 0, 0 A ritmus definícióját lklmzv. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó b) Trnszformációs lépések:. () z lpfüggvény ábrázolás. g () grfikonjánk kétszeres nyújtás z y tengely mentén Jellemzés:. ÉT: R +. ÉK: R. Zérushely: 0, 0

30 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 0 A ritmus definíciój szerint. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó Mintpéld Ábrázoljuk koordinát-rendszerben és jellemezzük következő függvényeket megfelelő értelmezési trtományokon! ) f () b) g () ( ) ) Trnszformációs lépések:. () z lpfüggvény ábrázolás. b () grfikonjánk kétszeres nyújtás z tengely mentén. f () b grfikonjánk tükrözése z y tengelyre Jellemzés:. ÉT: R. ÉK: R. Zérushely: 0 A ritmus definíciój lpján. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó,

31 . modul: A ritmus Tnári útmuttó b) Trnszformációs lépések:. () z lpfüggvény ábrázolás. g () ( ) grfikonjánk -szeres zsugorítás z tengely mentén Jellemzés:. ÉT: R +. ÉK: R. Zérushely: ( ) 0 A ritmus definícióját lklmzv,. Monotonitás: szigorún monoton csökkenő. Szélsőérték: nincs 6. nem páros, nem pártln 7. invertálhtó A mintpéldák feldolgozás után tnulók két fős homogén csoportokbn dolgozhtnk. Az lcsonybb szintű feldtokból fejenként hármt, mgsbb szintű feldtokból fejenként kettőt oldjnk meg, mjd beszéljék meg megoldásokt. Ajánlás: lcsonybb szint egyik tnuló: /, c, e másik tnuló: /b, d, f mgsbb szint egyik tnuló: /b, e másik tnuló: /c, d Feldtok. Készítsd el következő függvények grfikonját, mjd jellemezd függvényeket! Először z értelmezési trtományukt htározd meg! ) e ( ) b) f ( ) + c) g ( ) ( + ) d) h ( ) ( ) e) i( ) f) j( ) lg

32 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó Megoldási útmuttó: Ezek függvények elemi függvénytrnszformációkkl ábrázolhtók.. Ábrázold és jellemezd következő függvényeket! A c) feldtnál megdtuk z értelmezési trtományt, többi függvény esetében először zt htározd meg! ) m( ) b) n ) ( ) ( c) p ( ) ; ] 0; ] d) q ( ) lg + e) r ( ) ( ) Megoldási útmuttó: Ezek függvények elemi függvénytrnszformációkkl ábrázolhtók.. kártykészlet A következő feldt kártyákkl is játszhtó (. kártykészlet): A tnulók vgy fős csoportokbn játsznk. Összekeverik mjd mrdéktlnul szétosztják egymás között kártyákt, melyekben egymás inverzeként állnk z eponenciális, illetve ritmusfüggvények. A feldt: összepárosítni megfelelő függvényeket. H vlkinek nem kell egy kárty, kkor zt odcsúszttj mellette ülőnek, és így tovább. Az győz, kinek legelőször összegyűlik fő esetén kártypár, fő esetén kártypár.

33 . modul: A ritmus Tnári útmuttó. Az lábbi ritmusfüggvényeknek melyik eponenciális függvény z inverze? ( ) b( ) c( ) d( ) e( ) g( ) h( ) k( ) l( ) m( ) f ( ) n( ) -l; b-h; c-m; d-g; e-n; f-k. A grfikon felhsználásávl megoldhtó egyenletek, egyenlőtlenségek Már tlálkoztunk olyn eponenciális egyenletekkel, egyenlőtlenségekkel, melyek lgebri módszerekkel nem, csk z eponenciális függvény tuljdonságit felhsználv, grfikonjánk pontos ismeretével oldhtók meg. Most olyn egyenleteket és egyenlőtlenségeket oldunk meg, melyekben ritmikus kifejezés is szerepel. Mintpéld Oldjuk meg grfikusn következő egyenleteket vlós számok hlmzán! ) b) 9

34 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó ) Az egyenlet bl oldlából képezzük z (), jobb oldlából b() függvényt. Készítsük el függvények grfikonját közös koordinát-rendszerben! Az ábráról leolvshtó megoldás: ;, más megoldás nincs. b) Az ) részhez hsonlón járunk el: (), b() 9 Az ábráról leolvshtó megoldás:, más megoldás nincs. Mintpéld Oldjuk meg grfikusn következő egyenlőtlenségeket pozitív vlós számok hlmzán! ) b) < ) b) Az egyenlőtlenség sehol sem teljesül. < minden -re teljesül.

35 . modul: A ritmus Tnári útmuttó Mintpéld A ritmusfüggvény monotonitását felhsználv állpítsuk meg, melyik szám ngyobb! ) 7 vgy 8 7 ; b) 0, vgy, 6 0. ) A ritmus lpj ngyobb -nél, tehát függvény szigorún monoton növekvő. Ezért 7 < 8 7. b) A ritmus lpj 0 és között vn, tehát függvény szigorún monoton csökkenő. Ezért, 0 >, 6 0. Feldtok. A ritmus függvény monotonitását felhsználv állpítsd meg, melyik szám ngyobb! ) 6 vgy ; b) c) vgy vgy 7 7 ; d) vgy 6 ; e) vgy A megoldásokbn hivtkozunk z dott lpú ritmus függvény monotonitásár. ) <; b) <; c) >; d) <; e) < ; 6. Oldd meg grfikusn következő egyenleteket! ) 0, b) +

36 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 6 ) b) 0, 7. Mely értékekre teljesülnek z lábbi egyenlőtlenségek? ) < b) ( ) > c) + ) b) c) 0, < < 0 < < 0, 0 <

37 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 7 III. A ritmus zonossági. dominó Módszertni megjegyzés: Dominó játék. (A ritmus definíciójánk felelevenítésére, elmélyítésére.) Minden csoportnk djunk 6 drb kártyát. Feldtuk felfelé fordítv kirkni dominókt úgy, hogy minden kifejezéshez megtlálják hozzátrtozó értéket., , Ismerkedjünk meg zokkl z zonosságokkl, melyek segítik ritmusos kifejezésekkel vló számolást. Természetesen, ezek htványozás zonosságink ritmusos megfelelői. Szorzt ritmus egyenlő tényezők ritmusánk összegével. Képletben: ( y) + y, > 0,, > 0, y > 0. A ritmus definíciój lpján: y, y. Azonos lpú htványokt szorzásár tnult összefüggés lpján: y y + y. A ritmus definíciójából következik: y ( y ). A két egyenlőséget összevetve: + y ( y ). Azonos lpú htványok kkor egyenlők egymássl, h kitevőik megegyeznek: + y y. y + y Hánydos ritmus egyenlő számláló ritmusánk és nevező ritmusánk különbségével.

38 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 8 Képletben: y, > 0,, > 0, y > 0 y. A ritmus definíciój lpján: y, y. Azonos lpú htványok osztásár tnult összefüggés lpján: y y. y A ritmus definíciójából következik: y y. A két egyenlőséget összevetve: y y. Azonos lpú htványok kkor egyenlők egymássl, h kitevőik megegyeznek: y. y y y Htvány ritmus egyenlő kitevőnek és z lp ritmusánk szorztávl. Képletben: k k, > 0,, > 0 k R., A ritmus definíciój lpján:. k k Htvány htványozásár tnult zonosság lpján: ( ) k A ritmus definíciójából következik: k k. A két egyenlőséget összevetve: k k. Azonos lpú htványok kkor egyenlők egymássl, h kitevőik k megegyeznek: k. k k Áttérés más lpú ritmusr A ritmus definíciój lpján:, > 0,, > 0. y Vegyük mindkét oldl y lpú ritmusát:, y > 0, y y y A htvány ritmusár vontkozó zonosság lpján: y y Ebből: y y

39 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 9 y y Mintpéld 6 Számítsuk ki következő kifejezések pontos értékét! ) + b) 7 9 c) d) lg sin 0 + lg cos 60 + lg 0 Alklmzzuk htványozás és ritmus zonosságit! + ) b) 9 ( ) c) d) lg sin 0 + lg cos 60 + lg 0 lg + lg + lg 0 lg 0 lg0 Feldtok 8. Keresd meg párját! ) A) 96 b) B) lg 80 + lg lg + lg lg + lg 0 c) 60 C) d) lg0 + D) 0 e) E) f) 79 F) g) G) lg + lg lg 7 + lg lg 6 h) tg 0 + sin 60 H) 0 ) H) 8 8

40 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 0 b), E) c) A) vgy G) d) 8 C) e) 6 F) f) B) g) G) vgy A) h) - D) 9. Számítsd ki következő kifejezések pontos értékét! ) + b) c) + d) + e) 6 f) g) 8 h) 6 i) ) 8 b) c) 000 d) 6 e), f) g) h) 8 i) 8 0. Mennyivel egyenlő lg 00, h b lg? lg 00 lg( 00 ) lg00 + lg + b. Mennyivel egyenlő 08, h? ( 7 ) Mennyivel egyenlő, h c 9? c ( )

41 . modul: A ritmus Tnári útmuttó. Az lg 0, 00 és lg 7 0, 8 felhsználásávl htározd meg következő kifejezések értékét! ) lg, b) lg c) lg 9 d) lg 7 ) lg, lg lg 7 lg 0,8 0,00 0, lg + + b) lg( 7) lg lg 7 0,00 0,8, 6 c) lg9 lg7 lg7 0,8, 690 d) lg lg lg 0,00 0, 0

42 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó IV. Logritmikus egyenletek A ritmusfüggvény ismeretében megoldhtó egyenletek A ritmusos egyenleteknek nevezzük zokt z egyenleteket, melyekben z ismeretlent trtlmzó kifejezés ritmus szerepel. Az ilyen típusú egyenletek egy részénél mindössze ritmus definícióját kell lklmzni. Logritmusos egyenletek megoldását áltlábn z értelmezési trtomány vizsgáltávl kezdjük. A ritmus rgumentumábn csk pozitív értékű kifejezés állht, ritmus lpj is pozitív kifejezés kell, hogy legyen, mi nem lehet. H vizsgált túl bonyolult, hosszdlms folymt lenne, kkor kiválthtjuk kpott gyök (gyökök) ellenőrzésével. H z egyenlet megoldáskor nem ekvivlens lépéseket lklmzunk, kkor z ellenőrzés nem hgyhtó el. Mintpéld 7 Oldjuk meg következő egyenleteket! ) ( + ) 8 b) 8 0 ) A ritmus rgumentumábn csk pozitív értékű kifejezés állht, ezért ( + ) > 0. A kifejezés értelmezési trtományáb kivételével z összes vlós szám beletrtozik. A ritmusfüggvény szigorú monotonitás mitt: ( +) 8. Megoldjuk z egyenletet: + 9 8; 0. Mindkét gyök beletrtozik z egyenlet értelmezési trtományáb, így mindkettő megoldás z egyenletnek. b) Az értelmezési trtomány meghtározás hosszdlms lenne, ezért mjd kpott gyököket ellenőrizzük. A ritmus definíciój szerint, zz. 0 8 Ismét ritmus definícióját lklmzv:, vgyis. Innen:. Ellenőrzés: Az egyenlet bl oldl: mi vlóbn megegyezik z egyenlet jobb oldlávl. Tehát z vlóbn gyöke z

43 . modul: A ritmus Tnári útmuttó egyenletnek. Mivel megoldás során csk ekvivlens lépéseket lklmztunk, z egyenletnek nincs más megoldás. Feldtok. Htározd meg kifejezésekben előforduló változók értékét! ) b) b c) 8 c d) d e) e 6 f) f 7 ) 8 b) b 9 c) c d) d e) e f) f. Oldd meg következő egyenleteket! ) lg lg b) d) lg lg6 c) ( + ) ( ) e) ( 0 ) f) ( + ) ( ) + A feldtok megoldás előtt bennük szereplő kifejezések értelmezési trtományát meg kell htározni! ) 0 <, b) 0 <, c) <, d) 0, e) >,, ; 6 f) > ; 6. Oldd meg következő egyenleteket! ) 9 0 b) c) 6 ) 9 b) d) [ ( )] 6 c) 6 d) 8

44 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 7. Fejtsd meg keresztrejtvényt! Vízszintes. A ( ) egyenlet megoldás.. A ( + + 0) egyenlet megoldási növekvő sorrendben.. A ( ) egyenlet megoldási csökkenő sorrendben. Függőleges. A + egyenlet megoldás.. A ( + ) kifejezés értelmezési trtományábn előforduló egészek növekvő sorrendben.. A egyenlet megoldás. 7 A ritmus zonosságivl megoldhtó egyenletek A ritmusos egyenletek egy másik típusábn ritmus zonosságit lklmzzuk. Célunk ilyenkor z, hogy z egyenlet két oldlán zonos lpú ritmus szerepeljen. Ekkor ritmusfüggvények kölcsönös egyértelműségére (vgy szigorú monotonitásár) hivtkozv, z rgumentumok egyenlőségére következtetünk. Mintpéld 8 Oldjuk meg következő egyenleteket! ) lg( + 0) lg( ) lg b) lg( ) lg ( 0) lg0

45 . modul: A ritmus Tnári útmuttó ) Htározzuk meg z egyenlet értelmezési trtományát: + 0 > 0, > 0, zz <. Az értelmezési trtomány: ] ; + [. I) Az egyenlet mindkét oldlán lklmzzuk ritmus zonosságit, vlmint írjuk ( + 0) 00 át -t lg 00 lkb: lg lg. ( ) + 0 A ritmusfüggvény szigorú monotonitás mitt:. Ebből + 0 ( ) 0. Ez eleme z egyenlet értelmezési trtományánk és visszhelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy vlóbn megoldás z egyenletnek. II) Az egyenletet átírv: lg ( + 0) lg( ) + lg ( + 0) Az zonosságokt lklmzv: lg ( + ) A ritmus definíciój lpján , innen Az ellenőrzést természetesen ennél második megoldásnál is elvégezzük. 0 b) Az egyenlet értelmezési trtomány: > 0, 0 > 0, zz <, vgyis 0 ; +. Alklmzzuk ritmus zonosságit, vlmint írjuk át -t lg 00 lkb: lg ( ) lg 0 lg00 lg0 ( ) lg 0 00 lg 0 A ritmusfüggvény szigorú monotonitás mitt: H >, kkor z egyenlet mindkét oldlán álló kifejezések pozitívk, ezért négyzetre emelés után z előzővel ekvivlens egyenletet kpunk: ( ) ( 0) ; 8

46 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 6 Mindkét megoldás hozzátrtozik z egyenlet értelmezési trtományához, és mindkettő megoldás. Megjegyzés: Az ( ) ( 0) egyenlethez másképp is eljuthtunk, h z zonosságokon kívül csk ritmus definícióját lklmzzuk: ( ) lg( 0) lg0 lg A definíció szerint ( ) Így ( ) ( 0) 0000 lg ( ) 0 0 Feldtok Módszertni megjegyzés: A tnulók fős csoportokbn dolgoznk. Kiosztjuk feldtokt, differenciálv tnulók képességei szerint. A csoport mindegyik tgj más-más feldtot kp 8.. feldtok közül, melyet önállón old meg. A csoportok munkáját kísérjük figyelemmel, nyújtsunk segítséget z elkdóknk. Az önálló feldtmegoldás után csoport megismerkedik minden kitűzött feldttl. Minden tnuló ismerteti sját megoldását csoporton belül, ezt közösen megvittják. Húzzunk egy feldtszámot és egy csoportjelet. A feldt megoldását z ismerteti táblánál, kinek csoport jelét és feldtszámát kihúzz tnár. A többi csoport véleményezi, hogy jó megoldást hllottk-e. Hozzáfűzhetik, h ők esetleg másképpen gondolkodtk, megbeszélhetik, melyik megoldás z egyszerűbb. A végeredmény ellenőrzésére minden lklomml hívjuk fel figyelmet! 8. Oldd meg következő egyenleteket! ) 0 b) d) ( ) ( ) c) lg lg lg e) lg + + ) 8 b) 6 c) 0 d) 6 e) 6

47 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 7 9. Oldd meg következő egyenleteket! lg ) lg ( + ) + lg( + ) lg( + ) ( + ) b) lg( ) c) ( + 6) + d) ( ) ( ) ) ( + )( + ) lg( + ) + 0,; lg Mivel feldt lpján <, ezért z egyenlet megoldás:,. b) ( + ) lg( ) + 0 ; lg Mivel feldt lpján <,, ezért z egyenlet megoldás:. c) ( + 6) ; 9 d) Mivel feldt lpján 0 <, ezért z egyenlet megoldás:. ( ) ( ) ; 6 Mivel feldt lpján <, ezért z egyenlet megoldás: Oldd meg következő egyenleteket! ) + 8 b) ) > 0 esetén b) > 0 esetén Oldd meg következő egyenleteket! ) ( ) ( ) b) ( + ) ( ) c) + ( ) d) lg( ) lg( 9) lg00 lg0

48 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 8 ) ( ) ( ) megoldás, hmis gyök, mert >. b) ( + ) ( ) megoldás, hmis gyök, mert >. c) ( ) d) 9 megoldás, 9 hmis gyök, hiszen >. lg ( ) ( 9) 00 lg megoldás, 0 hmis gyök, hiszen >. További ritmikus és eponenciális egyenletek A ritmikus egyenleteknek sok fjtáját ismerjük, megoldásukhoz áltlános útmuttást nem tudunk dni. A megoldás során igyekszünk z egyenleteket úgy átlkítni, hogy minél egyszerűbb, z eredetivel ekvivlens egyenleteket kpjunk. Mintpéld 9 Oldjuk meg következő egyenleteket! ) ( ) b) lg + lg lg + ) Htározzuk meg z egyenlet értelmezési trtományát: > 0, zz 0 <. Ez -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be z y új ismeretlent, ek- kor z egyenlet: y 0y + 9 0, megoldási: y ; y. H y 9, kkor 9, innen H y, kkor, innen 9 Az egyenlet megoldási: ;

49 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 9 b) Az egyenlet értelmezési trtomány: > 0. Alklmzzuk htvány ritmusár vontkozó zonosságot: lg + lg lg + Vezessük be z y lg új ismeretlent, ekkor egyenletünk: y y 0, megoldási: y ; y. H y, kkor lg, innen 00. H y, kkor lg, innen Az egyenlet megoldási:. 0 00;. 0 Mintpéld 0 Oldjuk meg következő egyenleteket! ) b) c) 79, > 0 ) Ez -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be z y új ismeretlent, ekkor y, ezzel z egyenlet: y + 0 y, megoldási: y ; y. 9 y, kkor 9 H 9, innen. H y, kkor lg, innen, 6. lg Az egyenlet megoldási ;. b) Észrevehetjük 9 ( + )( ) nevezetes zonosságot, így kitevőt szorzttá lkíthtjuk: ( )( ) +, mjd lklmzzuk htványozás zonosságit: ( + ) ( ). Egy htvány két esetben lehet :. eset: A kitevő null, és htványlp nem null: 0. eset: A htványlp : ( ) + + Mivel mindkét oldl pozitív, tehát vehetjük z oldlk 0-es lpú ritmusát: lg + lg

50 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 0 Alklmzzuk htvány ritmusár vontkozó zonosságot: lg lg ( + ) lg lg, 686 lg Az egyenlet megoldási ;. lg c) Az egyenlet értelmezési trtomány: R +. Vegyük mindkét oldl -s lpú ritmusát: 79 Alklmzzuk htvány ritmusár vontkozó zonosságot: ( ) 6 Rendezzük z egyenletet: 6 0 Vezessük be z y új ismeretlent, ekkor z egyenlet: y y 6 0, melynek megoldási y ; y. Innen 7, vgy Az egyenlet megoldási 7; Feldtok. Oldd meg következő egyenleteket! ) 7 d) 7 lg ) 0, 87 lg7 b) e) c) f) lg b), 69 lg lg c), 066 lg lg, + 7 lg d), 070 e) y y + y 0 y ; y 7 7

51 . modul: A ritmus Tnári útmuttó A 7 7 lg egyenletnek nincs megoldás. 7 0, 6. lg7 f) y 8y 8 y + 0 y ; y, H, kkor lg,, h,, kkor 0, 80. lg. Oldd meg következő egyenleteket! ) ( + + ) 7 + ( + ) + b) lg + lg( ) 7 lg c) lg 9 0 0, > ) ( ) ( ) y 8y 8y + 0 y ; y H, kkor, lg,, h,, kkor 0, 80. lg b) lg + 7 ( ) lg Legyen y y y 0 y 8; y H 8, kkor, h, kkor nincs megoldás. lg 9 0 lg 9 0 c) 0 lg lg0 ( lg 9) lg 0 lg 9lg 0 0. Legyen lg y y H 9y 0 0 y 0; y 0 lg 0 0, h lg 0, így

52 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó V. Eponenciális és ritmikus folymtok A hétköznpi életben számtln folymttl tlálkozhtunk, melyek eponenciális vgy ritmikus összefüggésekkel modellezhetők. Ilyen folymtok például: tőke növekedése, termelés növekedése, pici folymtok, kmtos kmt; élőlények szporodás; rdioktív nyg bomltln tomjink szám z eltelt idő függvényében; légnyomás csökkenése mgsság függvényében. Az eponenciális és ritmus függvényekkel kpcsoltbn már tlálkoztunk néhány konkrét modellel, most nézzük meg ezeket közelebbről!.6 kártykészlet Módszertni megjegyzés: A tnulók lkossnk csoportokt következő témák szerint: tőkenövekedés (. mintpéld), rdioktív nygok bomlás (. mintpéld), népességnövekedés (. mintpéld), légnyomás változás (. mintpéld). Ezek témák megtlálhtók. kártykészletben. Minden tnuló húz egy kártyát. Az zonos témák szerint lkotnk csoportokt. A feldolgozást segítendő, minden témához trtozik egy kidolgozott mintpéld. A csoportoknk z feldtuk, hogy további példákt keresnek képekkel, digrmokkl illusztrálv. Készítsenek egy rövid bemuttót konkrét feldtmegoldássl is z dott témából, mit csoport válsztott képviselője következő órán d elő z osztály előtt. Mintpéld Zsuzsi le krj cserélni tévéjét egy újr, mi Ft-b kerül. Már vn Ft-j. H ezt z összeget befektetné évi 6%-os kmtr, kkor mennyi idő múlv vehetné meg tévét, feltéve, hogy nnk ár nem változik?

53 . modul: A ritmus Tnári útmuttó Zsuzsi pénze év ltt éri el Ft-ot. év ltt,06-szeresére nő. év ltt:,06,06 szeresére változik. év ltt:,06 -szerese lesz , , 8000,0, Mivel mindkét oldl pozitív, vegyük mindkét oldl 0-es lpú ritmusát, és jobb oldlr lklmzzuk ritmus zonosságát: lg,0 lg,. Ebből 0,. 0, év 0,,6 hónp. Zsuzsi kb. fél év múlv megveheti tévét. Mintpéld A következő témávl már z eponenciális egyenleteknél is tlálkoztunk. Itt ritmus ismeretében további kérdésekre is válszt tudunk dni. A 6-os tömegszámú rádium (R) eredetileg N 0 számú, t év elteltével N számú bomltln 600 rdioktív rádiumtomot trtlmz, hol N N0. ) Mennyi idő ltt bomlik el rádiumtomok fele? (Mennyi rádiumtomok felezési ideje?) b) A rádiumtomok hány százlék bomlik el évente? c) Hány év ltt bomlik el rdioktív tomok 0%-? ) H t idő elteltével rdioktív rádiumtomok fele elbomlik, kkor fele mrd t bomltln, vgyis N N 0. Ezt visszhelyettesítve fenti egyenletbe, N 0 -ll egysze- t 600 rűsíthetünk. Kpjuk:. Mivel z eponenciális függvény szigorún monoton, ezért htványkitevők is megegyeznek, zz, ebből t 600 év. t 600

54 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó b) A képletből közvetlenül z számíthtó ki, hogy rdioktív rádiumtomok hány százlék nem bomlik el egy év ltt! N N Ebből z N N0 hánydos értéke dj meg keresett rányt. 600 N t N 0, ,97 % N0 Tehát egy év ltt z tomok 0,0 %- bomlik el. c) t év ltt bomlik el rdioktív tomok 0%-, zz t év múlv z tomok 80 %- m- 600 rd bomltln. Ez éppen zt jelenti, hogy 0,8 0, 8 N0 Mivel keresett érték htványkitevőben vn, vlmint mindkét oldl pozitív, vegyük mindkét oldlnk 0-es lpú ritmusát, és bl oldlr lklmzzuk ritmus zonosságát. Ekkor kpjuk: t lg 600 lg 0,8. Ebből t év. t Mintpéld A 80 -ben Föld népessége kb. 67 millió fő volt. Megállpították, hogy évente átlgosn 0,% növekedés. Ennek lpján hány ember élt Földön 00 évvel később, és mennyire becsülnéd változtln növekedési ütem mellett létszámot 00-r? Az első év végére z fős népesség ,00-szorosár nőtt. A második év végére népesség ,00 fő lett. A. év végére ,00, stb. 00 év múlv pedig: , fő lett. Ettől z időtől számítv 00-ig 0 év telik el. Ekkorr népesség szám z dott növekedési ütem mellett , főre becsülhető. Megjegyzés: Kiderült, hogy sttisztikusok igen rosszul állpították meg növekedési ütemet, hiszen világ népessége már 980-bn kb., milliárd fő volt!

55 . modul: A ritmus Tnári útmuttó Mintpéld 0,7h A kilométerben megdott h mgsságbn urlkodó p nyomás p p e képlettel számíthtó ki, hol p 0 Földön lévő légnyomás, és e,78, ez természetes lpú ritmus lpszám. ) Mekkor mgsságb kell emelkedni Földtől, hogy légnyomás tengerszinten mért légnyomás felére csökkenjen? b) Mekkor mgsságb kell emelkedni Földtől, hogy légnyomás tengerszinten mért légnyomáshoz képest 0%-kl csökkenjen? 0 ) Tudjuk, hogy keresett mgsságbn légnyomás felére csökken, zz p p 0. Ezt behelyettesítve megdott egyenletbe kpjuk: p0 0, 7h p0, 78 0,7h Egyszerűsítés után:,78 Mivel mindkét oldl pozitív, vehetjük z egyenlet 0-es lpú ritmusát és lklmzzuk ritmus zonosságit: lg 0, 0,7 h lg,78; ebből h,. A nyomás kb., km mgsságbn fele tengerszinten mért nyomásnk. b) H keresett mgsságbn p nyomás tengerszinten mért nyomásnál 0%-kl kevesebb, kkor p 0,9 p 0 0,7h Behelyettesítve megdott egyenletbe kpjuk: 0,9 p 0 p 0 e Egyszerűsítés és ritmus definíciójánk lklmzás után kpjuk: lg 0,9 0,7h lg,78; ebből h 0,8. A nyomás kb. 80 m mgsságbn 90%- tengerszinten mért nyomásnk. Feldtok. Egy szkszervezet zt követeli, hogy bérek évi 8% -kl növekedjenek. ) H ezt elérik, kkor mennyire nő meg év ltt mi Ft-os fizetés? b) Ilyen növekedés mellett mikorr lenne dolgozók fizetése leglább másfélszerese mink?

56 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 6 ) év múlv bér 7 000, Ft. b) t idő elteltével dolgozók fizetése 7 000, 000 Ft lesz 000 lg ,08 t 000 t, lg,08 év múlv még nem, de 6 év múlv már meghldj dolgozók fizetése mostni másfélszeresét.. A Föld népessége évente 0,7%-kl növekszik, 006-bn 6, milliárd ember élt Földön. Változtln szporodási ütem mellett melyik évben érné el z össznépesség szám 9 milliárdot? A népesség t év múlv éri el 9 milliárdot: 6,,007 t 9 9 lg Ebből: t 6,,. A népesség. évben, 00-ben éri el 9 milliárd főt lg,007 ilyen szporodási ütem mellett. 6. Mennyi felezési ideje nnk rdioktív izotópnk, melynek z ktivitás kezdetben 6 0 Bq, de hét múlv már csk,78 0 t Bq? A rdioktív nygok bom- T lását C C0 egyenlet írj le, hol C pillntnyi ktivitás, C 0 kezdeti ktivitás, t z eltelt idő, T pedig z nyg felezési ideje; Bq, zz becquerel, z ktivitás mértékegysége. A feldt szövege szerint C,78 0 Bq; C Bq; t hét és T? (hét). Ezeket behelyettesítve fenti képletbe,78 T Rendezzük át, és vegyük mindkét oldl 0-es lpú ritmusát ( számológéppel történő számolás mitt):,78 lg 6 lg T lg Alklmzv ritmus zonosságát T-re rendezünk: T 6,.,78 lg A rdioktív nyg felezési ideje kb. 6 hét. 6

57 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 7 κ p 7. A gázok dibtikus (hőcsere nélküli) állpotváltozását állndó egyenlet írj κ T le, hol p gáz nyomás, T hőmérséklete, κ (kpp) pedig egy, gáz fjtájár jellemző rányszám. Mekkor ez z rányszám z oigén esetén, h nyomást 00- szorosár, hőmérsékletet -szeresére növeljük? Bárhogy változttjuk nyomást és hőmérsékletet, ugynzt z állndót kpjuk, mint kiindulási állpotbn. Ezért p T κ κ (00 p) (T ) A htványozás zonosságánk lklmzás után egyszerűsíthetünk: 00 κ κ κ 00 κ κ κ Vegyük mindkét oldl 0-es lpú ritmusát, mjd z egyenletet rendezzünk κ-r: κ lg ( κ ). κ lg,. Ez keresett rányszám.

58 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 8 Vegyes feldtok 8. Számold ki következő ritmus értékeket! ) b) c) 6 9 ) ; b) ; c). 9. Htározd meg betűkifejezések számértékét! ) 7 b) b 0 c) u d) z ) 7; b) b ; c) u 9 ; d) nincs értelmezve. 0. Htározd meg következő ritmusok lpjit! 7 ) b) b c) c ( ) d) d 00 ) ; b) b 7 ; c) nincs értelmezve; d) d 00 d Htározd meg következő kifejezések pontos értékét! ) 9 b) 7 7 c) ( ) ( ) d) 0 e) 9 7 f) 9 g) h) ) 9; b) ; c) nincs értelmezve; d) nincs értelmezve; e) 7 9 ; f) ( ) g) ( ) 9 ; 7 h)

59 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 9. Mely -ekre értelmezhetők z lábbi függvények? ) ( ) b) b ( ) 0, ( + ) c) c() ( ) d) d(),7 e) e() lg f) f () lg ) < 0; b) > ; c) < ; d) 0; e) ; f) <.. Mely -ekre értelmezhetők z lábbi függvények? ) ( ) 0, ( 6 ) b) b ( ), ( 9) c) c ( ) ( + 8 ) d) d( ) lg lg( ) e) e( ) 8 f) f ( ) ( ) ) 6 < < 6; b) < vgy > ; c) < < ; d) <, de mitt ; e) < ; f) >.. Készítsd el következő függvények grfikonját, mjd jellemezd függvényeket! ) ( ) ; ]0; ] b) b( ) ; Z c) c( ) lg ; [; 0[ d) d( ) lg ( ) ; ] ; 0 [ 0 Megoldási útmuttó: Ezek függvények elemi függvénytrnszformációkkl ábrázolhtók.. Ábrázold és jellemezd következő függvényeket! Az ) feldtnál megdtuk z értelmezési trtományt, többi függvény esetében először zt htározd meg! ) ( ) lg ; [ 0; 0] \ {0} b) b ( ) lg + c) c ( ) ( + ) Megoldási útmuttó: Ezek függvények elemi függvénytrnszformációkkl ábrázolhtók. 6. Oldd meg következő egyenleteket!

60 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó 60 ) { 7 [ ( + ) + ] } b) [ + ] 6 ) ; b) Oldd meg következő egyenleteket! b) lg( ) lg 0 ) lg + lg ) 0 b). 8. Oldd meg következő egyenleteket! ) lg ( + ) lg ( + ) c) ( ) ( 7) b) + ( + ) ) ( + ) lg( + ) + 0 ; 6 lg Mivel feldt lpján <, ezért z egyenlet megoldás:. b) ( + ) + 0 ; c) Mivel feldt lpján 0 <, ezért z egyenlet megoldás:. ( ) ( 7) + 0 ; 8 Mivel feldt lpján, <, ezért z egyenlet megoldási: ; Oldd meg következő egyenleteket! ) lg( ) + lg lg( 9) b) ( + 8) ) lg( ) lg( 9) megoldás, 7 hmis gyök b) ( + 8) megoldás, 0 hmis gyök 60. Oldd meg következő egyenleteket!

61 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 6 ) lg ) 0, 07 lg + b) c) lg,8 9 lg b) +, 80 c) ( )( ) + ( ) + ( ) + H kitevő null, és htvány lp nem null: + 0 H htványlp : ( ) lg lg lg lg ( ) lg lg +, Oldd meg következő egyenleteket! + ) + b) ( ) + ( ) + 7 c) 6, > 0 ) y y 8 0 y ; y 6 y H kkor,, h 6, kkor nincs megoldás. b) ( 6 + ) ( ) Legyen H y y y 0 y ; y lg kkor,, 60, h, kkor nincs megoldás. lg c) ( )

62 Mtemtik A. évfolym Tnári útmuttó Legyen y y + 7y 0 y ; y H, kkor, h, kkor. 6

63 . modul: A ritmus Tnári útmuttó 6 Kisleikon Logritmus: A b pozitív szám lpú ( > 0 és ) ritmusánk nevezzük zt kitevőt, melyre t emelve b t kpunk. Jelölés: b (kiolvsv: lpú ritmus b). Mtemtiki jelölésekkel ritmus definíciój: b b, hol b > 0; > 0 és Logritmusfüggvénynek nevezzük z ( ) ; > 0; ; > 0 f hozzárendelési utsítássl megdott függvényt. A ritmus zonossági: + y y Áttérés más lpú ritmusr: y k y y k y