5. modul Hatványozás, oszthatóság, normálalak

Átírás

1 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym. modul Htványozás, oszthtóság, normállk Készítette: Csákvári Ágnes

2 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym. modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó A modul célj A htványozás foglmánk kiterjesztése. Értelmezzük htványozást tetszőleges (vlós) lp esetén 0, pozitív és negtív egész kitevőre. Megmuttjuk, hogy kiterjesztést úgy végezzük, hogy tnult műveleti tuljdonságok megmrdjnk. Htványozás zonosságink megmuttás. Műveletek ngyon kicsi és ngyon ngy mennyiségek normállkbn megdott mérőszámivl. Számok normállkbn történő felírás, műveletek végzése normállkbn dott számokkl. Összetett számok törzstényezőre bontás, törzstényezők htványlkbn történő felírás. Időkeret Ajánlott órszám 8, modulbn kidolgozott órák szám 9. Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok 0. évf. Tágbb környezetben: Fizik, kémi, csillgászt, szkmi számítások. Szűkebb környezetben: Geometrii számítások. Kombintorik. Ajánlott megelőző tevékenységek: Htványozás pozitív egész kitevőre. Műveletek rcionális számokkl. Mrdékos osztás, oszthtósági szbályok. Összegek, különbségek szorzt, nevezetes zonosságok. Ajánlott követő tevékenységek: Számításos térgeometrii feldtok. Számsoroztok. Kombintorik, vlószínűség, sttisztik.

3 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym. modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó A képességfejlesztés fókuszi Számolás, számlálás, számítás: Htványkitevő megállpítás szorztlkból. Számok htványink kiszámítás. Htványozás zonosságink lklmzás. Osztó, többszörös meghtározás. Műveletek rcionális számokkl. Normállk felírás, 0 htványkitevőjének meghtározás. Rendszerezés, kombintív gondolkodás: Új ismeretek beillesztése már meglévő tnnygtrtlomb. Htványok felírás különböző lkbn z zonosságok felhsználásávl. Anlóg gondolkodás. Induktív, deduktív következtetés: Permnenci-elv megismerése. Htványozás kiterjesztése. Azonosságok lklmzás. Konkrét példákon keresztül áltlános szbályok felismerése, mjd szbályok lklmzás. TÁMOGATÓ RENDSZER Számológép,..6. kártykészletek. A TANANYAG JAVASOLT ÓRABEOSZTÁSA:. ór: Pozitív egész kitevőjű htvány (ismétlés). ór: Negtív egész és null kitevőjű htvány. ór: A htványozás zonosságink kiterjesztése. ór: Gykorlás. ór: Oszthtóság, számok törzstényezőkre bontás 6. ór: Közös osztó, közös többszörös. ór: Gykorlás 8. ór: Számok normállkj 9. ór: Műveletek normállkbn megdott számokkl Mivel z nygrészre 8 ór áll rendelkezésre, z órbeosztáson z igények szerint változtssunk!

4 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym. modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjtemény I. Pozitív egész kitevőjű htvány (ismétlés). Htványozás definíciójánk átismétlése (csoportlkítás) számlálás. kártykészlet. Azonosságok átismétlése számlálás, induktív következtetés. kártykészlet. mintpéld. Htványozás számológéppel, gykorlás csoportmunkábn számlálás, számolás, deduktív következtetés. kártykészlet. feldtok II. Negtív egész és null kitevőjű htvány. Definíció felfedezése és lklmzás rendszerezés, induktív- és deduktív következtetés,.,. mintpéld kombintív gondolkodás. Gykorlás feldtküldéssel mjd önállón deduktív következtetés, számolás, kombintív 8. feldtok. Az zonosságok kiterjesztése gondolkodás. mintpéld. Gykorlás csoportmunkábn ( htványlp konkrét szám) deduktív következtetés, számolás 9. feldt. Gykorlás csoportmunkábn (feldrbolt négyzetek módszere induktív-, deduktív következtetés, számolás, számítás 0. feldt.. kártykészlet htványlp betű) 6. Mtemtiki TOTÓ ( htványlp betű) számítás, deduktív következtetés. feldt

5 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym. modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó III. Oszthtóság. Oszthtóság, osztó, többszörös, prímszámok szövegértés, induktív következtetés, számolás rendszerezés, kombintív gondol-. kártykészlet., 6. mintpéld Mintpéldák és definíciók megbeszélése után gykorlás csoportmunkábn, szkértői mozikkl. Oszthtósági szbályok felfedezésekodás. feldtok. Prímtényezőkre bontás számolás. mintpéld. Közös osztó, legngyobb közös osztó Mintpéldák és definíciók megbeszélése után gykorlás csoportmunkábn, szkértői mozikkl.. Közös többszörös, legkisebb közös többszörös Mintpéldák és definíciók megbeszélése után gykorlás csoportmunkábn, szkértői mozikkl.., 6. feldt 8., 9. mintpéld.6. kártykészlet 0. feldtok induktív-, deduktív következtetés, számolás rendszerezés, kombintív gondolkodás 0.,. mintpéld.6. kártykészlet. feldtok IV. Pozitív számok normállkj. Normállk definíciój A normállk felfedezése után csoportmunkábn vgy önállón gykorlás.. Műveletek normállkú számokkl A mintpéldák megbeszélése után önálló gykorlás. szövegértés, számlálás, számolás, induktív következtetés, rendszerezés számlálás, számolás, rendszerezés, kombintív gondolkodás.,. mintpéld 9. feldtok.,. mintpéld 0. feldt

6 6 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó I. Pozitív egész kitevőjű htvány (Ismétlő nyg) Korábbn már tlálkoztunk htványozás műveletével, például Pitgorsz-tétel kpcsán, vgy négyzet területének, kock felszínének, térfogtánk kiszámításkor. Elevenítsük fel ismereteinket! Htványozáskor egy tetszőleges számot szorzunk meg önmgávl.. kártykészlet lklmzás Módszertni jánlás: Csoportlkítás z.. kártykészlettel. A tnár kiteszi z sztlokr z első oldlon tlálhtó kártyákt,.,. és. oldlon lévőket pedig szétosztj tnulók között. Azok tnulók kerülnek egy csoportb, kiknek szám ugynzon htványon szerepel. Ahhoz z sztlhoz ülnek, melyen megfelelő htványlkot tlálják. Miután mindenki megtlált helyét, felelevenítjük htványozás definícióját.

7 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó Egy cm oldlú négyzet területe: (cm ). Egy cm élű kock térfogt: (cm ) A megoldást mindkét esetben zonos tényezőkből álló szorzt dj. Ezt műveletet htványozásnk nevezzük, z zonos tényezőkből álló szorzt htvány. Az zonos tényező (z, illetve ) htvány lpj. A tényezők szám kitevő (itt, illetve ). Az és lkbn felírt szorzt htvány. Áltlánosn megfoglmzv: n (hol tetszőleges vlós szám és n pozitív egész) olyn n tényezős szorztot jelent, melynek minden tényezője. n -t htványnk nevezzük, melyben htványlp és n htványkitevő. A műveletet htványozásnk nevezzük. Minden szám első htvány önmg, zz (z kitevőt nem szoktuk kiírni). kártykészlet lklmzás Módszertni megjegyzés: A tnár minden csoportnk oddj.. kártykészletet. A csoportok feldt szétválogtni z egyes zonosságoknk megfelelően ők próbálnk meg visszemlékezni, illetve kártyák lpján kikövetkeztetni z zonosságokt kártyákt, mjd z egyes zonosságokon belül sorrendbe tenni úgy, hogy zok műveleti sorrendnek megfelelően kövessék egymást. (Először htvány definícióját, mjd szorzás tuljdonságit lklmzzuk.) H készen vnnk, írják le z zonosságokt áltlánosn!

8 8 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó Szorzt htványozás: () 8. 6 Hánydos htványozás: 0,8 0, 6 0, 6. Azonos lpú htványok szorzt: 9 +. Azonos lpú htványok hánydos: 6,. Htvány htvány: ( ) Áltlánosn megfoglmzv: A htványozás zonossági Az lp minden esetben tetszőleges vlós szám, kitevők pozitív egész számok.. (b) n n b n n n., b 0 n b b. n m n+m n nm., 0 és n > m m n nk. ( ) k FONTOS! Összeget és különbséget úgy htványozunk, hogy htvány definíciój lpján szorzótényezőkre bontjuk htványt, mjd minden tgot minden tggl megszorzunk. Például ( b) ( + b)( + b) + b + b +. Mintpéld Alklmzzuk htványozás zonosságit, illetve definícióját! ) (8) b) 8 c) 8 d) e) ( ) f) ( + ) g) +.

9 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó 9 ) (8) 8 b) 8 8 c) + d) e) ( ) f) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) g) ( + ) +.. kártykészlet lklmzás Módszertni megjegyzés: A tnulók legfeljebb négyfős csoportokbn dolgoznk. Egy csoporton belül minden tnuló kp egy sorszámot. A sorszámnk megfelelő feldtból válogtott példákt oldják meg. H készen vnnk, megbeszélik megoldásokt. A tnár felszólít feldtonként egy tnulót, ki táblánál megoldj példát. A sorszámok z.. kártykészletben tlálhtók. Az első feldt megoldás előtt osztályszinten megbeszélik, hogyn lehet mgsbb htványokt számolni számológéppel. Htványozás számológéppel Mielőtt rátérünk feldtok megoldásár megnézzük, hogyn tudunk mgsbb htványokt számolni számológéppel. Megjegyzés: Érdemes megnézni és gykorolni z egyes gépeken htványozást. Például htványozás jele szokott lenni zsebszámológép gombján ez felfelé muttó ék-form: ^. A következő leírás legtöbb számológépre érvényes, de előfordulht, hogy műveleti sorrend eltér, vgy nincs külön x y htvány gomb, hnem nd vgy SHIFT funkcióvl érhetjük el

10 0 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó úgy, hogy először megnyomjuk nd vgy SHIFT gombot, és után zt gombot, melyik felett tlálhtó x y. Számoljuk ki htvány értékét! Begépeljük -et, mjd lenyomjuk 89 gombot. A kijelzőn megjelenik z eredmény: Most számoljuk ki értékét! Először megdjuk htványlpot, mi most, mjd lenyomjuk gombot. Végül megdjuk htványkitevőt, mi most. A kijelzőn megjelenik z eredmény:. Feldtok. Számítsd ki számológép segítségével következő htványok értékét! ) b) c) 0 d) e) 00 f) 0, g) ( ) h) ( ) i) ( ) j) ( ) k), l) 0,. ) b) 8 c) d) e) f) 0, 0,00 g) ( ) h) ( ) i) ( ) 8 j) ( ) 6 k), 0,96 l) 0, 0,0.. A htványozás zonosságink segítségével bontsd fel zárójelet, mjd számold ki számológép segítségével kifejezések értékét! ) () b) () c) ( ) d) ( 9) e) f) 0 g) h) ) () 69 b) ()

11 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó c) ( ) ( ) 99 d) ( 9) ( ) 9 ( 8)9 8 e),9, 6 f) 0, g) ( ) 9 h) ( ) 0,6 0,.. Alklmzd htványozás zonosságit, mjd számold ki számológép segítségével kifejezések értékét! ) b) c) ( ) ( ) d) ( ) e) f) 0 ( ) (0) g) h). ( 6) ) () 6 6 b) () 0 00 c) ( ) ( ) [( )( ) ] 6 6 d) ( ) [ ( ) ] ( 0) 00 e),, 6 f) 0, 0, ( ) ( 0) 0 g) 0, 0, h) ( ). ( 6) 6. Alklmzd htványozás zonosságit, mjd számold ki számológép segítségével kifejezések értékét! ) b) 0 0 c) ( 0,), ( 0,) d), 0 e) 8 f) ( ) g) [( ) ] h) 0 0 ) + b) c) ( 0,) ( 0,) ( 0,) + ( 0,) 0,008, d),, 0, e) , 0 6 f) ( ) 6 g) ( ) 6 6 h) 0, 0, [ ] ( ) ( ) 6.

12 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó II. Negtív egész és null kitevőjű htvány Null és negtív egész kitevőjű htvány definíciój Bizonyos gykorlti problémák szükségessé teszik, hogy htványozás foglmát kiterjesszük negtív egész és null htványkitevőre is. Kiterjesztés közben fontos, hogy tnult zonosságok érvényben mrdjnk. Ez permnenci-elv. Például tizedestörtek hsznált is igényli htványozás kiterjesztését. Mintpéld Helyezzük el 9,6 számot helyiérték-tábláztbn! Helyiérték A szám: 9 6 Htvány ????? Htványkitevő????? Százezertől tízig htványkitevők folymtosn csökkennek. H következetesen szeretnénk táblázt. és. soránk többi oszlopát is kitölteni, kkor folytssuk ezt csökkenő soroztot. Így z helyi értékhez tíz 0 kitevőjű htványát rendeljük, 0 -hez kitevőjű htványt, -hoz kitevőjű htványt, és így tovább: 00 Helyiérték A szám: 9 6 Htvány Htványkitevő 0 Itt már htvány eddig megismert definíciójánk nincs értelme, ezért null és negtív egész kitevő értelmezéséhez htványozás tuljdonságit hívhtjuk segítségül.

13 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó Ahhoz, hogy tuljdonságok érvényben mrdjnk, null és negtív egész kitevőjű htványt következőképpen definiáljuk: Bármely, nullától különböző szám nulldik htvány, vgyis 0, és 0 (0 0 -t nem értelmezzük). Bármely, nullától különböző szám negtív egész kitevőjű htvány egyenlő ugynezen lp pozitív kitevőjű htványánk reciprokávl, vgyis n, hol 0. n Mintpéld Írjuk fel következő htványokt negtív kitevő hsznált nélkül! ) b) c) d) e) ) f) b) g) 0 h) 0,6 0. c) d) () 8 e) f) g) 0 h) 0,6 0. Megjegyzés: A c), d), e) és f) feldtok zt muttják, hogy tetszőleges, 0-tól különböző lpot úgy is emelhetünk negtív egész htványkitevőre, hogy vesszük z lp reciprokát, és reciprokot emeljük megfelelő pozitív htványkitevőre. Feldtküldés módszer lklmzás Módszertni megjegyzés: A tnulók továbbr is z eddig kilkított csoportokbn dolgoznk. Egy írólpr (vgy ppírlpr) összeírnk feldtot mintpéld lpján, mjd két-két

14 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó csoport kicseréli feldtsorát. Megoldják, visszcserélik és ellenőrzik feldtsorokt. Végül megbeszélik jvítást. Ezek után önállón gykorolnk. Feldtok. Írd fel következő htványokt negtív kitevő hsznált nélkül! ) 6 b) c) d) e) f) g) 0, h) ( 6) 0 i), k. k + ) b) c) d) e) f) 6 g) 0, h) i) (k + ). 6. Írd fel következő htványokt negtív kitevő hsznált nélkül! ) b) c) d) ( ) 8, e), 0 f) (m + ) g),( b 0) b h),( c ) i) c ) b) c) d) e), f) ( ) m + g) b h) (c ) i).. Írd fel törtmentes lkbn következő htványokt! ) b) c) d) ) b) c) d) e) f) e) f) b. b.

15 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó 8. Melyik z szám, melynek 9 ). htvány (négyzete)? b). htvány (négyzete)? c). htvány (köbe) 8? d). htvány? e). htvány? f). htvány? g). htvány? h). htvány? 6 i). htvány (köbe)? j). htvány? 8 k) 0. htvány? l). htvány (négyzete)? m). htvány 0? ) vgy b) vgy c) d) e) f) g) vgy h) vgy i) l) nincs ilyen vlós szám m) 0. j) k) bármely 0-tól különböző vlós szám A htványozás zonossági Mintpéld Alklmzzuk htványozás zonosságit, mjd htározzuk meg htványok értékét! ) b) c) ( ) ( ) d) ( ) 6 e) :.

16 6 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó ) ( ) + ( ) 8 + b) 6 ( ) 8 + c) ( ) ( )( ) 9 ( ) ( )( ) 9 d) ( ) e) 6 9 : :. Kiegészítő nyg Megmuttjuk, hogy z zonosságok vlóbn érvényesek mrdnk. Végezzük el következő műveleteket!. A negtív egész kitevőjű htvány definíciój szerint és, zz +. H z m n m n + zonosságot lklmzzuk, kkor következőt kpjuk: ( ) +. A két eredmény megegyezik, ez z zonosság érvényes mrd.. A negtív egész kitevőjű htvány definíciój szerint és, zz 8 :. H z m n m n zonosságot lklmzzuk, kkor következőt kpjuk:

17 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó ( ) 8 +. A két eredmény megegyezik, ez z zonosság érvényes mrd. Feldtok Módszertni jánlás: A mintpéldák megoldás után tnulók legfeljebb négyfős csoportokbn megoldják 9. feldtbn szereplő példákt. Felosztják egymás között példákt, mindenkinek feldt jut. Után megbeszélik megoldásokt. Végül osztályszinten is megbeszélik megoldásokt. 9. Alklmzd htványozás zonosságit, mjd htározd meg htványok értékét! Végül rkd növekvő sorrendbe kifejezéseket! ) b) ( ) c) 0 d) : e) ( ) f) : g) ( ) 0 h). ) 6, A htványozás zonossági Az lp tetszőleges vlós szám, kitevő egész szám.. ( b) n n b n. n n n b b, b 0. n m n + m. m n m n, 0. ( ) k n k n

18 8 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó b) ( ) + c) d) : + e) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 f) 8 : : : g) ( ) 0, vgy 0 0 h) 0 0, Növekvő sorrend: ( ) < : < ( ) < < ( ) 0 < : < < < 0 A továbbikbn megpróbáljuk eddigi tpsztltinkt olyn kifejezések esetén lklmzni, melyekben nem számok, hnem betűk szerepelnek.. kártykészlet lklmzás Módszertni jvslt: Feldrbolt négyzetek módszere. A tnulók legfeljebb négy fős csoportokt lkotnk. A tnár minden csoportnk oddj z.. kártykészletet. A tnulók feldt megtlálni zt z összetrtozó kártyát, melyen ugynz htványérték szerepel. A gyűjtögetés közben csoporttgok egymássl nem beszélhetnek, egymáshoz nem nyúlhtnk át. A felesleges kártyát z sztl közepére tehetik, és hiányzó drbokt onnét vehetik el. A kártykészletben tlálhtó kifejezések megtlálhtók 0. feldtbn is.

19 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó 9 0. Végezd el következő műveleteket! Az eredményt egyetlen htványként írd fel! ) f) b) c) g) 6 h) ( ) d) ( ) e) i) j) 0 k) l) ( ) m) 0 n) o) 8 p) ( ) 6. ), b), c) és d) értéke e), f), g) és h) értéke 6 i), j), k) és l) értéke m), n), o) és p) értéke. Mtemtiki TOTÓ lklmzás Módszertni jvslt: Minden tnuló egyedül dolgozik feldtokon. H letelt z idő, vgy elkészültek tnulók, kkor mindenki átdj pdtársánk füzetét, ki feldtok közös megbeszélése lpján kijvítj TOTÓ-t. A hibátln kitöltőket megjutlmzhtjuk.. Töltsd ki következő TOTÓ szelvényt!

20 0 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó Htványok A B C x x x x 6 x x x b b b b b b c c c d d e c c d e e c d e 8 6 k k k 8 k k g g g 9 g 9 g 6 m m m m ( x y) x y x y x y 8 v v v v v 9 ( ) z z z z 0 i h h i h i ( ) h i q 0, q 0 0 q q q q q s r s r s r r s 0 b c + b c c c b c b B A A C B 6 C A 8 C 9 C 0 B B A C + A. b

21 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó III. Oszthtóság Oszthtóság, osztó, többszörös, prímszámok Mintpéld Vn forintom. Hány drb forintos cukrot tudok venni belőle, és mennyi pénzem mrd? :, és mrd. db cukrot tudok vásárolni, és forintom mrd. Korábbn számtln ehhez hsonló feldttl tlálkoztunk. A megoldás során mrdékos osztást végeztünk. A fenti példábn -et osztndónk nevezzük, -t osztónk, hánydos és mrdék. Mintpéld 6 Vn 6 forintom. Legfeljebb hány drb forintos tojást tudok venni belőle, és mennyi pénzem mrd? 6 : 9, és nem mrd semmi. Legfeljebb 9 db tojást tudok vásárolni, és ekkor nem mrd pénzem. Ezúttl z osztás eredményeképpen mrdék 0. Ilyenkor zt mondjuk, hogy 6 oszthtó -gyel, vgy fordítv, -nek többszöröse 6. Az is igz, hogy 6-nk osztój 9, vgy 9-nek többszöröse 6. Legyenek és b pozitív egész számok. Az számnk osztój b szám, h b mrdék nélkül megvn -bn. Ekkor zt is mondhtjuk, hogy z többszöröse b-nek. Azokt számokt, melyeknek pontosn osztójuk vn, prímszámoknk nevezzük. H egy számnk kettőnél több osztój vn, kkor zt összetett számnk nevezzük.

22 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó A prímszámokt törzsszámoknk is nevezzük. A prímszámok két osztój és önmguk. Másképp foglmzv: egy -nél ngyobb pozitív egészszámot prímszámnk nevezünk, h -en és önmgán kívül más pozitív egész osztój nincsen. Példák:. osztói:,,,, 6, 8,,. A -nek 8 db osztój vn.. többszörösei:, 8,, 6, 0, stb.. Prímszámok:,,,,,,, 9,, 9,, stb. Megjegyzés:. Az minden számnk osztój.. A 0 minden számnk többszöröse, mivel bármely számot 0-vl szorozv 0-t kpunk.. Egy számnk végtelen sok többszöröse vn.. Az nem prímszám, mivel csk egyetlen osztój vn.. Az osztó és többszörös foglm tetszőleges egész szám esetén értelmezhető, kivéve 0-vl vló osztást. 6. Ebben fejezetben csk pozitív egész számokkl fogllkozunk.. kártykészlet lklmzás Módszertni megjegyzés: A tnulók legfeljebb négyfős csoportokt lkotnk. A tnár oddj minden csoportnk z.. kártykészletet. A tnulók feldt csoportosítni kártyákon szereplő számokt szerint, hogy z prímszám, összetett szám vgy egyik sem. Ezek után tnár 8 részre osztj táblát. Az egyik részbe -vel, másik részbe -ml, hrmdik részbe -gyel, mjd z -tel, 6-tl, 8-cl(!), 9-cel illetve 0-zel oszthtó számok kerülnek. A tnulók kórusbn diktálják, hogy kártykészletben szereplő számok közül melyik hov trtozik. Egy szám több helyen is megjelenhet. Végül megbeszélik fenti számok oszthtósági szbályit, és ezek lpján diktálnk még néhány számot táblár.

23 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó Feldtok. Csoportosítsd következő számokt szerint, hogy z prímszám, összetett szám vgy egyik sem! Prímszámok: 6 6. Összetett számok: Nem prím és nem összetett szám:.. Csoportosítsd fenti számokt következők lpján, mjd egészítsd ki még - számml! -vel oszthtó számok -ml oszthtó számok -gyel oszthtó számok -tel oszthtó számok 6-tl oszthtó számok 8-cl oszthtó számok 9-cel oszthtó számok 0-zel oszthtó számok. -vel oszthtó számok: ml oszthtó számok: gyel oszthtó számok: tel oszthtó számok: tl oszthtó számok: 6. 8-cl oszthtó számok: cel oszthtó számok: zel oszthtó számok: 0 0.

24 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó Ismételjük át z oszthtósági szbályokt! Megjegyzés: Ezeket korábbn, törtekkel vló műveletek kpcsán vettük. Oszthtósági szbályok: Egy szám oszthtó -vel, h 0-r, -re, -re, 6-r vgy 8-r végződik. Egy szám oszthtó -ml, h számjegyeinek összege oszthtó -ml. Egy szám oszthtó -gyel, h utolsó két számjegye oszthtó -gyel. Egy szám oszthtó -tel, h 0-r vgy -re végződik. Egy szám oszthtó 6-tl, h -vel is és -ml is oszthtó. Egy szám oszthtó 8-cl, h utolsó jegye oszthtó 8-cl. Egy szám oszthtó 9-cel, h számjegyeinek összege oszthtó 9-cel. Egy szám oszthtó 0-zel, h 0-r végződik. Módszertni megjegyzés: A következő feldtok megoldását csoportmunkábn jvsoljuk.. Keresd meg következő számok összes, -től és önmgától különböző osztóját! osztói: 6 osztói: 8 osztói: osztói: 6 osztói: osztói: 6 osztói: osztói: 9 osztói: osztói: osztói: 9 00 osztói: osztói: osztói: 9 6. Egy szám egytől és önmgától különböző osztóit vlódi osztóknk nevezzük. A prímszám definíciój másképp: olyn szám, melynek nincs vlódi osztój.

25 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó Prímtényezőkre bontás. Az előző feldtbn szereplő számok osztói közül válogsd ki prímszámokt! prímosztói: 6 prímosztói: 8 prímosztói: prímosztói: prímosztói: prímosztói: 6 prímosztói: prímosztói: prímosztói: 60 prímosztói: 8 prímosztói: 00 prímosztói: prímosztói: 9 prímosztói:. Megjegyzés: Összehsonlítv. és. feldtok megoldásit láthtó, hogy minden osztó előáll prímosztók szorztként vgy htványként. Minden szám felírhtó ezen törzsszámok htványink szorztként. A felírási módszert ksztófánk is szokták nevezni. A lényege, hogy szám jobb oldlár húzunk egy egyenes vonlt. A vonltól jobbr zokt prímszámokt írjuk, melyekkel osztunk, bl oldlr következő sorb pedig hánydost. Addig osztunk, míg bl oldlon -et nem kpunk. Célszerű lehető legkisebb prímszámml kezdeni z osztást, és ddig nem átváltni következőre, míg hánydos oszthtó z ktuális prímszámml. Megszámoljuk, hogy z egyes prímszámokkl hányszor osztottunk. Ezek drbszámok lesznek prímek htványkitevői. Végül felírjuk számot e htványok szorztként. Mintpéld Bontsuk fel prímtényezők szorztár 60-t!

26 6 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó Megjegyzés: 60 osztóit következőképpen írhtjuk fel: Minden prímtényezőt leírunk egyszer:. Vesszük tényezők összes lehetséges kombinációját: és. Feldtok 6. Bontsuk fel prímtényezők szorztár következő számokt! Közös osztó, legngyobb közös osztó Mintpéld 8 6 Egyszerűsítsük törtet! 0 Bontsuk fel prímtényezők szorztár mindkét számot! Felírjuk számokt prímszámok szorztként, mjd megfelelő szorzótényezőkkel egyszerűsítünk: Megjegyzés: Írjuk fel fenti szorztot htványok segítségével!

27 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó Egyszerűsítéskor közös tényezők esetén ngyobb htványkitevőből vonjuk ki kisebbet, többi tényezőt pedig változtlnul írjuk le:. Egyszerűsítéskor olyn htványokt keresünk, melyek mindkét szorztbn megtlálhtók, vgyis mindkét számnk osztói. Ezek tényezők két szám közös osztói. Két szám közös osztój z szám, mely mindkét számnk osztój. Két számnk több közös osztój is lehet. A közös osztók közül legngyobbt legngyobb közös osztónk nevezzük. H két szám és b, kkor legngyobb közös osztójuk jelölése: ( b). H két számnk -en kívül más közös osztój nincs, kkor két szám reltív prím. Megjegyzés: Két szám közös osztói egyúttl legngyobb közös osztónk is osztói. (Egy szám osztóink meghtározásávl már tlálkoztunk. mintpéldánál.) Most muttunk egy másik módszert legngyobb közös osztó megkeresésére és tört egyszerűsítésére. Mintpéld 9 ) Keressük meg 88 és z 86 legngyobb közös osztóját: (88 86)? 88 b) Egyszerűsítsük törtet! 86 ) Törzstényezőkre bontjuk két számot:

28 8 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó A legngyobb közös osztó olyn szorzt, melynek tényezői közös prímtényezők, z előforduló legkisebb htványkitevőn. (88 86). A és mindkét felbontásbn zonos htványkitevőn szerepel, ezért változtlnul leírjunk. A is szerepel mindkét felbontásbn, de z egyikben első, másikbn. htványkitevőn. A szorztb -t írunk, mert -nk z. htványávl oszthtó mindkét szám. b) A számláló is és nevező is oszthtó -gyel, és ennél ngyobb számml nem. A htványozás zonosságit lklmzv elvégezzük z osztásokt: 88, 86 A tört egyszerűsítés után 6. lesz. 6 Megjegyzés: H legngyobb közös osztó, kkor tört nem egyszerűsíthető..6 kártykészlet lklmzás Módszertni megjegyzés: A mintpéldák megbeszélése után ismét legfeljebb négyfős csoportokt lkítsunk ki. Minden csoportbn mindenki kpjon egy-egy kártyát z.6. kártykészletből. A kártyákon z A, B, C, D betűk szerepelnek. Ezután egy munkcsoportot lkotnk zok tnulók, kik zonos betűt húztk. A betűk feldtok nehézségi fokát jelentik: A legkönnyebb, D pedig legnehezebb. A munkcsoportok megoldják kpott feldtot, mjd visszmennek z eredeti csoportjukhoz. A csoportokbn megbeszélik mind négy feldt megoldását. Ezután tnár tetszőlegesen kiválszt négy tnulót, és mindegyiküktől egy feldt ismertetését kéri táblánál.

29 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó 9 Feldtok A jelűek feldt:. Keresd meg következő számok -től különböző közös osztóit! ) 9 és 8 b) és c) 6 és d) 8 és 6 e) 0 és 60. ) 9 b) c) d) 6 9 e) 0. B jelűek feldt: 8. Keresd meg következő számok legngyobb közös osztóját! ) és 0 b) 6 és 0 c) 6 és d) és 8 e) 0 és f) és 8. ) b) c) d) 6 e) f). C jelűek feldt: 9. Egyszerűsítsd következő törteket! ) b) c) d) e) f). ) b) c) d) e) f). D jelűek feldt: 0. Hozd lehető legegyszerűbb lkr következő törteket! ) b) c) d) e) f) ) b) c) d) e) f). 9

30 0 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó Közös többszörös, legkisebb közös többszörös Mintpéld 0 Végezzük el következő műveletet: 6 9 +! 08. megoldás: Hozzunk közös nevezőre! Közös nevező lehet például Bővítsük z összedndó törteket úgy, hogy nevezőjük 6 legyen! illetve Végezzük el z összedást! Egyszerűsítsük végeredményt tnult módon! A számláló prímtényezős felbontás: 9. A nevező prímtényezős felbontás: A két tört összege. 08 A közös nevezőt úgy htároztuk meg, hogy két nevezőt összeszoroztuk. Ezzel z eljárássl z problém, hogy ngyon ngy számokkl kellett dolgoznunk. Lehet-e kisebb szám közös nevező? Végezzük el még egyszer feldtot, csk ezúttl másképp htározzuk meg közös nevezőt.. megoldás: Bontsuk fel prímtényezők szorztár mindkét nevezőt!

31 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó 08 Keressük zt legkisebb számot, melynek mindkét nevező osztój. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, keresett szám prímtényezős felbontásábn szerepelnie kell. és. htványánk, illetve. és. htványánk. többszöröse -nk, ezért közös nevezőben lesz (ekkor oszthtó -nl is). Vgyis keresett szám egyik szorzótényezője. Hsonlón másik szorzótényező. A közös nevező illetve Végezzük el z összedást! Ugynzt z eredményt kptuk, csk lényegesen kisebb számokkl számoltunk. A közös nevező megállpításkor olyn számokt keresünk, melyek mindkét nevezőnek többszörösei. Végtelen sok ilyen szám létezik, ezért célszerű közöttük megkeresni legkisebbet. Két szám közös többszöröse z szám, melynek mindkét szám osztój. A közös többszörösök közül legkisebbet legkisebb közös többszörösnek nevezzük. H két szám és b, kkor legkisebb közös többszörösük jelölése: [ b]. Két szám legkisebb közös többszörösét megkpjuk, h vesszük törzstényezős felbontásokbn szereplő összes prímszámot legngyobb htványkitevőn, és ezeket htványokt összeszorozzuk. Megjegyzés: Két szám közös többszörösei oszthtók legkisebb közös többszörössel.

32 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó Mintpéld Számítsuk ki 96 és 980 legkisebb közös többszörösét! Törzstényezőkre bontjuk két számot A legkisebb közös többszöröst úgy állpítjuk meg, hogy vesszük z összes prímtényezőt, mégpedig legngyobb htványon: [96 980] A két szám legkisebb közös többszöröse kártykészlet lklmzás Módszertni jánlás: A mintpéldák megbeszélése után ismét legfeljebb négyfős csoportokt lkítsunk ki. Minden csoportbn mindenki kpjon egy-egy kártyát z.6 kártykészletből. A kártyákon z A, B, C, D betűk szerepelnek. Ezután egy munkcsoportot lkotnk zok tnulók, kik zonos betűt húztk. A betűk feldtok nehézségi fokát jelentik: A legkönnyebb, D pedig legnehezebb. A munkcsoportok megoldják kpott feldtot, mjd visszmennek z eredeti csoportjukhoz. A csoportokbn megbeszélik mind négy feldt megoldását. Ezután tnár tetszőlegesen kiválszt négy tnulót, és mindegyiküktől egy feldt ismertetését kéri táblánál. Feldtok A jelűek feldt:. Írd fel következő számpárok db közös többszörösét! ) és b) és c) 6 és 9 d) 6 és e) és.

33 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó ) 8 6 b) c) d) e) B jelűek feldt:. Keresd meg következő számok legkisebb közös többszörösét! ) és 0 b) 6 és 0 c) 6 és d) és 8 e) 0 és f) és 8. ) 0 b) 0 c) 0 d) 6 e) 90 f) 0. Megjegyzés:. és. feldtbn lehetőleg legkisebb közös többszörössel számolj! C jelűek feldt:. Hozd közös nevezőre törteket, mjd állpítsd meg, hogy melyik ngyobb! ) és 9 b) és c) 6 és d) 9 8 és e) ) < b) < c) d) > e) > és D jelűek feldt:. Közös nevezőre hozás után végezd el kijelölt műveleteket! Egyszerűsítsd z eredményt! ) b) + c) + d) e) ) b) + c) d) 8 6 e)

34 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó IV. Pozitív számok normállkj Fizikábn, kémiábn, csillgásztbn tlálkozhtunk olyn ngy vgy olyn kicsi számokkl, melyek kiírás rendkívül helyigényes. Például: A csillgásztbn fény terjedési sebessége km/h. A fény egy év ltt kb km-t tesz meg. A Np Föld távolság km. A Np egy km átmérőjű, kg tömegű törpecsillg. A kémiábn z tomi tömegegység 0, kg. Egy mol mennyiségű nyg db elemi egységet (tomot, iont, molekulát stb.) trtlmz. Ezeket mennyiségeket rövidebben is felírhtjuk következőképpen: km/h 0 km/h km 9,0 km km,960 8 km km,0 6 km kg 0 0 kg 0, kg,660-6 kg db 60 db. H egy pozitív számot egy és 0 közé eső szám és 0 megfelelő egész kitevős htványként írunk fel, kkor ezt z írásmódot szám normállkjánk nevezzük. Mintpéld Írjuk fel következő számok normállkját: ) 6 8 b) 0,0096. A hngsúly zon vn, hogy 0-nek hánydik htványávl szorozzuk meg z egy és 0 közé eső számot. Készítsünk számokhoz helyiérték-tábláztot!

35 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó ) (0000) (000) (00) (0) () (0,) (0,0) (0,00) (0,000) 6 8 A táblázt második sorát úgy kptuk, hogy z eredeti számot z -es helyiértéknél kezdtük felírni. A tábláztbn dupl vonl tizedesvessző helyét jelzi. A második sorbn lévő számot 0 -nel, zz tízezerrel kell megszorozni hhoz, hogy megkpjuk z eredeti számot: 68 6,80 A szám normállkj: 6,80. Megjegyzés: A normállkot úgy is megkpjuk, h számot ddig osztjuk 0-zel, míg hánydos egészrésze és 0 közé esik: 68 6,8 0 6,80 6,80 6, b) 0, A második sorbn lévő számot úgy kptuk, hogy blról indulv megkerestük z első nullától különböző számjegyet, mit z -es helyiértékhez írtunk, mjd többi számjegyet változtln sorrendben után írtuk. A második sorbn lévő számot 0 -nl, vgyis ezerrel kell osztni hhoz, hogy megkpjuk z eredeti számot: 0,00906,906:0, Felhsználv z n n A szám normállkj:,9060. zonosságot kpjuk, hogy 0,00906,9060. Megjegyzés: A normállkot úgy is megkpjuk, h számot ddig szorozzuk 0-zel, míg szorzt egészrésze és 0 közé esik.

36 6 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó 0, , ,0906 0, ,906 0, ,906 Azz 0, ,906 :000,906, Röviden ismételjük át néhány helyiérték elnevezését! Helyiérték Elnevezés Helyiérték Elnevezés 0 billió (ezermilliárd) 0 tíz 0 százmilliárd 0 0 egy 0 0 tízmilliárd 0 tized 0 9 milliárd (ezermillió) 0 százd 0 8 százmillió 0 ezred 0 tízmillió 0 tízezred 0 6 millió 0 százezred 0 százezer 0 6 milliomod 0 tízezer 0 tízmilliomod 0 ezer 0 8 százmilliomod 0 száz A mintpéldábn bemuttott tábláztos felírásnk megfelel következő form: 0-nél ngyobb számok esetén tizedesvessző blr vándorol, zz 0 megfelelő htványávl szorzunk. A kitevőbe z szám kerül, hány helyiértéket vándorol tizedesvessző. -nél kisebb, pozitív szám esetén tizedesvessző jobbr vándorol. Ez 0 megfelelő htványávl vló osztást jelent. A kitevőbe z szám kerül negtív előjellel, hány helyiértéket vándorol tizedesvessző. (0-zel, 00-zl, 000-rel stb. történő osztás ugynz, mint 0 -nl vló szorzás.) nel, 0 0 -nel, 00

37 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó Mintpéld Írjuk fel következő szorztok számértékét: ),90 8 b),90. ), b),90 0, Feldtküldéses módszer lklmzás A tnulók továbbr is z eddig kilkított csoportokbn dolgoznk. Egy írólpr (vgy ppírlpr) összeírnk feldtot mintpéld lpján, vlmint példát, melyben normállk z dott. Mjd két-két csoport kicseréli feldtsorát. Megoldják, visszcserélik és ellenőrzik feldtsorokt. Végül megbeszélik jvítást. Feldtok. Írd be helyiérték-tábláztb z lábbi számokt: 6 0, 80,6 0,00 00, Írd fel következő számok normállkját! ) b) c) 6 d) 0 e) 6, f) 6,0 g),8 h) 0, i) 0,00 j) 0,6 k) 0,800 l) 0, ) 90 6 b),890 c),60 d) 0 e),60 f),600 g),8 h) 0 i),0 j) 6,0 k) 8,000 l) 6, Írd fel következő szorztok számértékét! ) 0 b) 0 c),0 d) 6,90 e),60 f),080 g) 9,60. ) 000 b) 0,0 c), d) 0,69 e) 600 f) 08 g) 0,0096.

38 8 Mtemtik A 0. szkiskoli évfolym Tnári útmuttó 8. Melyik ngyobb? ) 98 vgy 9,80 b),980 vgy 0,00098 c) 6, vgy,60. ) 98 > 9,80 b),980 < 0,00098 d) 6,, Csoportosítsd ngyságrendek (0 htványi) szerint normállkbn megdott számokt, mjd állítsd növekvő sorrendbe!, 0 6,80 6,8 0,0 9 0, 0 0,9 0, 0,80 0 8, 0. 6,8 0, 0 6,80, 0 0 8, 0 0,0,80,9 0, Műveletek normállkbn megdott számokkl Mintpéld Hány kilométer távolságr vn Földtől, fényévre lévő bolygó? ( fényév 9,60 km), fényév,9,60 km,80 km,80 0 km,80 km A bolygó,80 km távolságr vn Földtől.,8 Mintpéld Végezzük el következő műveleteket, és djuk meg végeredményt normállkbn! ),0 6,0,6 0 b) 9 0 c) 9,0 +8,0. ),0 6,0,6,0 0 8,0 8,0 b),6 0, , 0 0, ,.

39 . modul: Htványozás, oszthtóság, normállk Tnári útmuttó 9 c) 9,0 + 8, ,00 6. Műveletek normállkben megdott számokkl: I. Szorzás és osztás: A műveleteket külön végezzük z és 0 közé eső számokkl és 0 htványivl. Ez utóbbinál lklmzzuk htványozás zonosságit. Az eredményül kpott szorztot továbblkítjuk normállkká. II. Összedás és kivonás: A műveletet nem célszerű normállkbn elvégezni. A normállkokt számmá lkítjuk, elvégezzük műveletet, mjd z eredményt felírjuk normállkbn. Feldtok 0. Végezd el kijelölt műveleteket, és dd meg normállkbn z eredményeket, mjd állítsd csökkenő sorrendbe z eredeti mennyiségeket! ) , 0 b) c) 0 0 d),, 0 0 e), 0 +, 0 f) ) c) e) f) 8 6 0, 0 9 0, b) d), , , ,08 0,00 0,06, , 0 0, Csökkenő sorrend: 0, 0 +, 0 8, 0 0, , 0 (b > c > > e > f > d).