11.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással

Átírás

1 .o Mozikos könyvvel felkészülési útmuttó pótvizsgár és gykorló feldtsor megoldássl Felkészülési útmuttó: A hetes nyárr szerezzetek mgtok mellé egy mgántnárt. Hetente egyszer kétórás fogllkozás kb forint, egész nyárr = , ezt diákmunkávl te mgd m két hét ltt meg tudod keresni, h nygi gondokkl küszködtök. H tnár segítségével végiggykorlod ezt dokumentumot, kkor z ugusztus végi pótvizsg feldtihoz ngyon hsonló feldtokt csinálsz meg, és biztosn sikerülni fog! De ne felejtsd el: mgántnár csk bbn segít, hogy elmgyrázz dolgokt, hogy megértsed z nygot. A HETI EGY DUPLA MATEKÓRA TANÁRRAL NEM LESZ ELÉG A SIKERES VIZSGÁHOZ!!! MINDEN NAP LEGALÁBB 0 PERCET EGYEDÜL KELL VELE FOGLALKOZNOD, MINDEN NAP TANULNOD KELL ÖNÁLLÓAN, HOGY SIKERÜLJÖN! DE HA EZT MEGTESZED, BIZTOSAN MEGLESZ!!! Hsználti útmuttó ehhez word dokumentumhoz: először könyvből z elméletet - definíciók, tételek tnuld könyvbeli és z itt leírt kidolgozott feldtok segítségével kell megértened témát zután gykorolj itt leírt feldtokból könyvben. A könyv feldtink megoldásit z interneten itt tlálod: Az inernet keresőjébe beírod témkört, és ngyon sok további feldtot tlálsz megoldássl, okttó videókt: egy sok közül digitális tnnygokt is tlálhtsz, ezek közül egy: A pirossl írt tnnygok címei Mozikos könyvekben kidási év dátumától függetlenül ugynzok. A zárójelbe írt oldlszámokt 06-os kidásból írtm ki, másik évben kidott könyvekben ez eltérhet! Kombintorik Könyvben elméletet tnulni: Permutációk, vriációk és Ismétlés nélküli kombinációk (-.o) definíciói és tételei Kidolgozott feldtok könyvben: Permutációk, vriációk nygrésznél (-.o) -6. feldt Ismétlés nélküli kombinációk nygrésznél (0.o), (.o). feldt.) 0 ;;6;7;; 9 számkártyákkl hány htjegyű pártln szám vn, hogy minden kárty csk egyszer hsználhtó? megoldás: (ismétlés nélküli permutáció) külön vesszük z 7 és 9 végződést: végű: ****=96db 7 végű: ****=96db 9 végű: ****=96db összesen: *96 = db.) 0 ;;6;7;; 9 számkártyákkl hány olyn háromjegyű szám vn, hogy kártyák ismétlődhetnek? megoldás: (ismétléses vriáció) *6*6=0db.) Hányféleképpen lehet sorb rkni egy fehér, egy zöld, egy kék, egy piros és egy sárg golyót? megoldás: (ismétlés nélküli permutáció) Az első helyre színből válszthtunk, másodikr mrdék -ből, hrmdikr mrdék -ből stb., zz összesen n!-b behelyettesítve! =0 lehetőség vn..) Hányféleképpen lehet sorb rkni egy fehér, két zöld és három kék golyót? megoldás: (ismétléses permutáció) H mind 6 golyó különböző színű lenne, kkor n! 6! = 6 =70 lehetőségünk voln. A két zöld golyót =, három kéket pedig =6-féleképpen lehet sorb rkni. Mivel z zonos színűeket egyformánk tekintjük, z egymás közötti sorrendjeiket nem különböztetjük meg, tehát 70 lehetőséget -vel, ill. 6-tl el kell osztni, n! 70 zz -b behelyettesítve összesen 60 lehetőség vn. p! p!! 6 p

2 .) Egy csptos lbdrúgótornán hányféle sorrend lkulht ki dobogón? megoldás: (ismétlés nélküli vriáció) Az első helyre csptból bármelyik kerülhet, második helyre mrdék -ből, hrmdikr mrdék 0-ből válszthtunk, zz összesen 0=0-féle sorrend lehetséges. 6.) Egy házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, h -féle festékünk vn? 7.) megoldás: (Egy házhoz csk egyféle festéket hsználunk, festékeket nem lehet keverni.) (ismétléses vriáció) Mind z házhoz hsználhtjuk bármelyiket -féle festék közül, zz összesen =0 lehetőség vn. 0 gyerek közül 7 mehet kirándulni. Hányféleképp válszthtod ki 7 gyereket? (ismétlés nélküli kombináció) megoldás: A kiválsztottk sorrendje nem számít, ezért kombinációvl számolunk: n n! k k! n k! 0 7 -b behelyettesítve 770 Számológéppel: 0 ncr 7.) Egy 0 tgú társságbn mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás történik? megoldás: (ismétlés nélküli kombináció). megoldás: z első ember 9 másikkl fog kezet, második emberrel (z elsővel vló kézfogását z első embernél már beszámítottuk), hrmdik 7 emberrel stb., zz összesen = kézfogás történik.. megoldás: minden ember 9 másikkl fog kezet, ez összesen 9 0=90. Így zonbn minden kézfogást duplán számolunk (mindkét "kézfogónál" beleszámítjuk), tehát kettővel el kell osztni, zz összesen 90/= kézfogás történik.. megoldás: nnyi kézfogás történik, hányféleképpen kiválszthtunk embert 0-ből. Azz 0 0!/(!!)=. megoldás: felrjzolod gráfot, megszámolod z éleit. 9.) Lci, Emőke, Pisti, Év, Ic és Bél versenyeznek. Mennyi vlószínűsége, hogy Pisti nyer, és egy lány lesz hrmdik? megoldás: kedvező esetek szám: 7 6! összes eset szám: 70 kedvező/összes = 7/70 = 0, Hsonló feldtok tnkönyvben: Permutációk, vriációk nygrész után (.o),,,,. feldt Ismétlés nélküli kombinációk nygrész után (6.o),,,6,. feldt Gráfok Könyvben elméletet tnulni: Gráfok pontok, élek, fokszám (0-.o) definíciói és tételei Kidolgozott feldtok könyvben: Gráfok pontok, élek, fokszám nygrésznél (.o). és (0.o). feldt.) Ht tnuló mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Eddig Andi egy mérkőzést játszott, Brnbás és Csb kettőtkettőt, Dni hármt, Enikő és Feri négyet-négyet. Rjzolj le z eddig lejátszott mérkőzések egy lehetséges gráfját! megoldás: A-D-EF-BC.) A városi középiskolás egyéni teniszbjnokság egyik csoportjáb htn kerültek: András, Bél, Csb, Dni, Ede és Feri. A versenykiírás szerint bármely két fiúnk pontosn egyszer kell játszni egymássl. Eddig András már játszott Bélávl, Dnivl és Ferivel. Bél játszott már Edével is. Csb csk Edével játszott, Dni pedig Andráson kívül csk Ferivel. Ede és Feri egyránt két mérkőzésen vn túl. ) Szemléltesse gráffl lejátszott mérkőzéseket! megoldás: b) Hány mérkőzés vn még hátr? megoldás: 6 6 meccs összesen 6 9 meccs vn hátr c) Hány olyn sorrend lkulht ki, hol ht versenyző közül Dni z első két hely vlmelyikén végez? megoldás: H első! 0 féleképp követhetik, h második, kkor is ugynennyi 0 sorrend lehet Hsonló feldtok tnkönyvben: Gráfok pontok, élek, fokszám nygrész után (.o),,. feldt

3 Htvány, gyök Könyvben elméletet tnulni: Htványozás és gyökvonás zonossági (66.o) és Törtkitevőjű htvány (7.o) Kidolgozott feldtok könyvben: Htványozás és gyökvonás nygrésznél (66-69.o) -. feldt Törtkitevőjű htvány nygrésznél (7-7.o) -. feldt.) Hozd egyszerűbb lkr megoldás: törtkitevőjű htvánnyl megoldás: gyökkel Hsonló feldtok tnkönyvben: Htványozás és gyökvonás nygrész után (70.o) -. feldt Törtkitevőjű htvány nygrész után (79.o) -. feldt 7 Logritmus Könyvben elméletet tnulni: A ritmus foglm (9.o) Kidolgozott feldtok könyvben: A ritmus foglm nygrésznél (9-96.o) -. és 0. feldt.) Számítsd ki betűk értékét: A A B B 6 C C A megoldás: ritmus definíciój szerint A zz A A és A A A A B megoldás: ritmus definíciój szerint B B B 6 C megoldás: ritmus definíciój szerint 6 C 6 C 6 6 D megoldás: ritmus definíciój szerint D Hsonló feldtok tnkönyvben: A ritmus foglm nygrész után (97.o) -. feldt D D.) Oldd meg z eponenciális és ritmusos egyenleteket! Kidolgozott feldtok könyvben: Eponenciális egyenletek nygrésznél (.o) és. feldt ) 7,, megoldás: mivel z eponenciális függvény szigorún monoton, z lpot elhgyhtom

4 b) megoldás: 6 mivel z eponenciális függvény szigorún monoton, z lpokt elhgyhtom 6 / ,6 6 Hsonló feldtok tnkönyvben: Eponenciális egyenletek nygrész után (9.o).bcd feldt Kidolgozott feldtok könyvben: Eponenciális egyenletek nygrésznél (7.o). feldt c) megoldás: 9 0 y y, y 9 y y 9 behelyettesítve 0 6 mivel ep fv szig mon 9 9 ellenőrzés: 9 y y y pozitív szám htvány mindig pozitív, ezért nincs megoldás Hsonló feldtok tnkönyvben: Eponenciális egyenletek nygrész után (9.o).j feldt Kidolgozott feldtok könyvben: Eponenciális egyenletek nygrésznél (6.o). feldt d) megoldás: / / 7 kiemelése mivel z eponenciális függvény szigorún monoton nő, z lpot elhgyhtom -t visszhelyettesíve blo=jobbo, ezért jó megoldás ellenőrzés: egyenlet bl oldláb Hsonló feldtok tnkönyvben: Eponenciális egyenletek nygrész után (9.o).ghi feldt

5 Könyvben elméletet tnulni: A ritmus zonossági (0-0.o) Kidolgozott feldtok könyvben: A ritmus zonossági nygrésznél (0.o) és. feldt Logritmikus egyenletek nygrésznél (07.o). feldt e) megoldás: 0 kikötés 76 összevetés kikötéssel: 76 teljesül Ellenőrzés: z egyenlet bl oldláb visszhelyettesítve blo=jobbo, ezért 76 jó megoldás 76 -ot 76 Hsonló feldtok tnkönyvben: A ritmus zonossági nygrész után (06.o). és. feldt Logritmikus egyenletek nygrész után (.o).b feldt Kidolgozott feldtok könyvben: Logritmikus egyenletek nygrésznél (0.o) és. feldt lg lg 6 g, megoldás: kikötés: 0 és 6 0 közös rész lesz kikötés: 0 lg 6 g, f) lg lg 6 lg0lg, lg 0 lg mivel ritmus függvény szigorún monoton nő, z lg-t elhgyhtom ; b 0; c , és, összevetés kikötéssel: nem lehet megoldás megoldás lg lg 6 lg lg lg lg egyenlet jobb oldl lg tehát jó megoldás ellenőrzés: egyenlet bl oldl megoldás: kikötés: 0 és 0, közös rész lesz kikötés:, g) mivel ritmus függvény szigorún monoton, z lg-t elhgyhtom 6 0 ellenőrzés Hsonló feldtok tnkönyvben: Logritmikus egyenletek nygrész után (.o).cdefgh feldt

6 Függvények Eponenciális és ritmus függvények Könyvben elméletet tnulni: Csk z lpok (06.o) első fél oldl z. kidolgozott példáig Kidolgozott feldtok könyvben: Egyenletek és függvények nygrésznél (70.o) és. feldt és (7.o). feldt.) Ábrázold: y y f g Gykorló feldt: ábrázold és jellemezd következő függvényeket f és Trigonometrikus függvények Tnkönyvben ez ngyon nehézkesen vn leírv. Meg lehet nézni kidolgozott feldtokt, de csk függvény ábrázolásától: Kidolgozott feldtok könyvben: Egyenletek és függvények nygrésznél (70.o). feldt f sin ábrázolásától kezdve,. feldt g sin ábrázolásától kezdve, (7.o). feldt, (7.o). feldt sin 6 h ábrázolás Amit én füzetbe leírttm veletek, zokon feldtokon menjetek végig: lépésenként ábrázolni és lépésenként jellemezni, kárcsk hogy lenti két kidolgozott feldtbn.

7 A google-b beírjátok: trigonometrikus függvények ábrázolás és jellemzése és kidob egy csomót Ábrázoljuk és jellemezzük vlós számok hlmzán f : sin függvényt! grfikon felrjzolásánk lépései: - z lpfüggvény (szinuszgörbe) lerjzolás sin grfikon - zárójelen belüli szám z tengelyen vló ellentétes irányú víz- szintes eltolást jelöl: sin itt jobbr -vel.sin(- )grfikon - zárójel előtti számml szorzás grfikon tengelyen levő pontji helyben hgyj, többi z tengelytől lefelé és felfelé nyúlik, - negtív számml szorzásnál grfikon z tengelyre tükröződik, zz fejjel lefelé fordul. sin, itt z tengely metszéspontji helyben mrdnk, többi -szorosár nyúlik lefele és felfele. - zárójelen kívüli szám z y tengelyen vló zonos irányú függőleges eltolást jelent, sin, itt -l felfelé. sin(- sin(- ) grfikon )+ grfikon Teljes függvényvizsgált vgy jellemzés menete:. Értelmezési trtomány (ÉT) megmuttj, hogy mely számokt írhtjuk be z helyére függvénybe.. Érték készlet (ÉK) megmuttj, hogy z értelmezési trtomány -eit beírv milyen függvény értékeket = y - okt kpunk.. Zérushely (zh) megmuttj, hogy függvény grfikonj hol érinti vgy metszi z tengelyt.. Szélsőérték hely és érték (min/m) megmutj függvény legkisebb (minimum) vgy legngyobb (mimum) pontjánk helyét, mi pont első koordinátáj és értékét, mi második y koordinátáj.. Meredekségi viszonyok (monotonitás), mi megmuttj, hogy függvény grfikonjár z -nél felállv blról jobbr irányábn sétálv lefelé hldok (szigorún monoton csökken), vízszintesen megyek (monoton), vgy felfele hldok (szigorún monoton nő). 6. Pritás, periodikusság: Egy függvény páros, h grfikonj z y tengelyre tengelyesen tükrös (h ppírt z y tengelynél félbehjtjuk, kkor grfikon két oldl fedi egymást, ilyen például koszinusz görbe és z bszolútérték függvény V betű lkú grfikonj is). Egy függvény pártln, h grfikonj z origór középpontosn tükrös (h ppírt z origó körül 0 -l elforgtv önmgáb megy át, ilyen például szinusz görbe és z függvény hiperboláj is). Egy függvény periodikus, h grfikonj ismétlődő szkszokból áll (ilyen például szinusz görbe melynek periódus, zz grfikon -nként ismétlődő szkszokból áll ).

8 A f : sin lil függvény jellemzése/teljes függvényvizsgált z előbb leírt szempontok lpján:. ÉT. ÉK y y 0 ; 6 k k Z. zérushely. m hely k min hely k m értéke min értéke y 6 y 0. szig mon nő 0 ; k szig mon csökk ; k 6. periodikus függvény, periódus páros függvény nem pártln függvény Ábrázoljuk és jellemezzük vlós számok hlmzán f : cos függvényt! grfikon cos cos(+ cos(+ cos(+ ) ) )- függvényvizsgált ÉT ÉK y y ; 0 zérushely k k Z m hely k min hely k m értéke y 0 min értéke y szig mon nő ; k szig mon csökk ; k periodikus függvény, periódus, nem páros függvény, nem pártln függvény Gykorló feldt: ábrázold és jellemezd következő függvényeket f cos és g sin

9 Trigonometri Könyvben elméletet tnulni: A szinusztétel (.o) A koszinusztétel (0.o) és. oldlon táblázt Kidolgozott feldtok könyvben: A szinusztétel nygrésznél (.o). (6.o). (7.o). feldt A koszinusztétel nygrésznél (0.o),,. feldt.) Egy háromszögben 60, A háromszög belső szögeinek összege A szinusz tételt felírv sin b sin 0, b 0 cm. Számítsd ki többi oldlt és szöget, és háromszög területét! sin 60 0,66 6,9 7 cm 0 sin 0 0 0,6 behelyettesítve c b cos 0 A koszinusz tételt szokásos jelöléssel felírv behelyettesítve c b cos c ,76 9 7, 9, c 9, 0, 7 cm c b sin 7 0 sin 0 0 0,9 A háromszög területe: T 6,9 cm Hsonló feldtok tnkönyvben: A szinusztétel nygrész után (.o),,,. feldt A koszinusztétel nygrész után (.o). és. feldt Könyvben elméletet tnulni: nincs megfelelően leírv, kidolgozott feldtok megoldásib beillesztettem lényeget. Kidolgozott feldtok könyvben: Trigonometrikus egyenletek nygrésznél (6.o). feldt.) Mekkor vlós szám, h cos 0,? vlós számr ( k vlós számr ( k -re) átszámítás -re) átszámítás 60, 0,0 k 60, 0,0 k.) Mekkor, h sin 0,66 cos, cos k nincs mego k tg ctg,? ctg, tg 60 k0 tg 0,, k0 Hsonló feldtok tnkönyvben: Trigonometrikus egyenletek nygrész után (6.o).bc feldt A könyv ngyon szűkszvú és nehéz feldtokt hoz, mgm írok könnyebbeket: Mekkor vlós szám, h sin 0, 707? Mekkor, h cos 0, 66 sin, 707 tg, ctg.) sin sin 0 egyenletet oldd meg fokbn számolv! új ismeretlen bevezetése: 0 sin 7, 0, sin -b 0, sin sin visszhelyettesítés 0 60 sin k k 60 nincs mego Hsonló feldtok tnkönyvben: Trigonometrikus egyenletek nygrész után (6.o).b feldt

10 Koordinát-geometri A ; 7 Egy háromszög csúcsi B ; C ; Könyvben elméletet tnulni: Szksz osztópontjánk koordinátái (felezőpont (9.o) és hrmdolópont (99.o) A háromszög súlypontjánk koordinátái (0.o) Kidolgozott feldtok könyvben: felezőpont (9.o). feldt, hrmdolópont (99.o). feldt, súlypont (0.o). feldt.) Számold ki AC oldl hrmdolópontjink koordinátáit! A -hoz közelebbi hrmdolópont koordinátái: C -hoz közelebbi hrmdolópont koordinátái: H H A H A c c c ; c ; 7 ; C H C Hsonló feldtok tnkönyvben: Szksz osztópontjánk koordinátái nygrész után (0.o),,,. feldt 7 ; ; ; Könyvben elméletet tnulni: Az egyenest meghtározó dtok (irányvektor (0.o) normálvektor (06.o) iránytngens/meredekség (0.o) Az egyenes normálvektoros egyenlete (.o) Az egyenes irányvektoros egyenlete (.o) Kidolgozott feldtok könyvben: Az egyenest meghtározó dtok nygrésznél (0.o). (07.o). Az egyenes normálvektoros egyenlete nygrésznél (.o),. (.o). feldt Az egyenes irányvektoros egyenlete nygrésznél (.o). feldt.) Írd fel BC oldlegyenes egyenletét! egyenessel párhuzmos BC irányvektor: BC c b ; c b v ; v; 9 v 90 -os elforgtásávl z egyenes normálvektorát kpjuk: n 9;, z egyene s egy pontj B ; BC Az egyenes normálvektoros egyenlete: P0 0 ; y0 z egyenesen rjt levő pont, A B ebbe behelyettesítve n 9; és ; n ; z egyenesre merőleges vektor, z egyenes egyenlete: A By A 0 By0 B koordinátáit BC oldlegyenes egyenlete 9 y 9 Hsonló feldtok tnkönyvben: Az egyenes normálvektoros egyenlete nygrész után (.o) -6. feldt Az egyenes irányvektoros egyenlete nygrésznél (.o),,,6. feldt Könyvben elméletet tnulni: Két pont távolság (9.o) Kidolgozott feldtok könyvben: Két pont távolság nygrésznél (9.o). és. feldt.) Számold ki AC oldl hosszát! AC oldl hossz megegyezik AC vektor hosszávl: AC ; 7 7;, ennek hossz: AC AC AC 7 0 7, 07 Hsonló feldtok tnkönyvben: Két pont távolság nygrész után (97.o),,. feldt Könyvben elméletet tnulni: A kör egyenlete (.o) Kidolgozott feldtok könyvben: A kör egyenlete nygrésznél (.o). (6.o). feldt.) Írd fel AB oldlfelező merőlegesének egyenletét! AB oldlfelező merőleges egyenese átmegy AB felezőpontján: b b 7 F AB ; ; F; rjt vn z egyenesen és merőleges AB oldlr, ezért AB vektor normálvektor lesz z egyenesnek: AB n ; 7 n6 ; A By A 0 By z egyenes egyenlete: 0 ebbe behelyettesítve n6 ; és ; merőleges z egyenesre F koordinátáit AB oldlfelező merőlegesének egyenlete 6 y 0

11 .) Írd fel nnk körnek z egyenletét, melynek középpontj B, sugr egység hosszú! K u; v sugrú kör egyenlete behelyettesítve és -t kör egyenlete: y y 9 középpontú r B ; r u y v r 6.) Írd fel nnk körnek z egyenletét, melynek egyik átmérője z AB szksz! AB átmérő kör sugr z AF felezőpontj kör középpontj K F; szksz hossz, mi z AF vektor ; 7 kör egyenlete: y y hossz Hsonló feldtok tnkönyvben: A kör egyenlete nygrész után (.o). és. feldt r AF Könyvben elméletet tnulni: Két egyenes metszéspontj (9-0.o) Kidolgozott feldtok könyvben: Két egyenes metszéspontj nygrésznél (9.o). feldt 7.) Számítsd ki z e : y és g : y 7 egyenes metszéspontjánk koordinátáit! kétismeretlenes egyenletrendszert írunk fel e és g egyenletével egyenes egyenletéből kifejezzük y g -et behelyettesítés e -et: 7 y 7 y 9y y egyenes egyenletébe zárójel felbontás y M ; Hsonló feldtok tnkönyvben: Két egyenes metszéspontj nygrész után (.o). és. feldt