9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással"

Átírás

1 9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással Felkészülési útmutató: A 8 hetes nyárra szerezzetek magatok mellé egy magántanárt. Hetente egyszer kétórás foglalkozás kb forint, egész nyárra 8x = , ezt diákmunkával te magad max két hét alatt meg tudod keresni, ha anyagi gondokkal küszködtök. Ha a tanár segítségével végiggyakorlod ezt a dokumentumot, akkor az augusztus végi pótvizsga feladataihoz nagyon hasonló feladatokat csinálsz meg, és biztosan sikerülni fog! De ne felejtsd el: a magántanár csak abban segít, hogy elmagyarázza a dolgokat, hogy megértsed az anyagot. A HETI EGY DUPLA MATEKÓRA TANÁRRAL NEM LESZ ELÉG A SIKERES VIZSGÁHOZ!!! MINDEN NAP LEGALÁBB 0 PERCET EGYEDÜL KELL VELE FOGLALKOZNOD, MINDEN NAP TANULNOD KELL ÖNÁLLÓAN, HOGY SIKERÜLJÖN! DE HA EZT MEGTESZED, BIZTOSAN MEGLESZ!!! Használati útmutató ehhez a word dokumentumhoz: először a könyvből az elméletet - definíciók, tételek tanuld a könyvbeli és az itt leírt kidolgozott feladatok segítségével kell megértened a témát azután gyakorolj a itt leírt feladatokból a könyvben. A könyv feladatainak megoldásait az interneten itt találod: Az inernet keresőjébe beírod a témakört, és nagyon sok további feladatot találsz megoldással, oktató videókat: egy a sok közül digitális tananyagokat is találhatsz, ezek közül egy: A pirossal írt tananyagok címei a Mozaikos könyvekben a kiadási év dátumától függetlenül ugyanazok. A zárójelben írt oldalszámokat a 0-os kiadásból írtam ki, másik évben kiadott könyvekben ez eltérhet! Halmazok Könyvben elméletet tanulni: Halmazűveletek (-8.o)és Halmazok elemszáma, logikai szita (-4.o) Halmazűveletek anyag első kidolgozott feladata (.o) Halmazok elemszáma, logikai szita anyag első kettő kidolgozott feladata (.o).) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;;;4;;;7;8;9} és B \ A = {;;4;7}. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A halmazos feladatoknál a Vend-diagramnak hívott ábra felrajzolása nagyon sokat segít: A = {; ; ; 8; 9}.) Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az A, B, és A B halmaz elemeit! A = {4; ; ; 7; 8; 9} B = {; ; ; 7; 9; ; ; ; 7; 9} A B = {; 7; 9}.) Egy évfolyam 0 tanulója közül 8-an felvételiznek matekból, -en angolból, 7-en matekból is és angolból is. Hányan nem felvételiznek egyik említett tárgyból sem? csak matek, matek és angol 7, csak angol 8, +7+8= angol vagy matek, 0-=4 sem angol sem matek

2 4.) Egy középiskolába 40 tanuló jár. Az iskola diákbizottsága az iskolanapra három kiadványt jelentetett meg: I. Diákok Hangja II. Iskolaélet III. Miénk a suli! Később felmérték, hogy milyen volt az olvasottság az iskola tanulóinak körében. A Diákok Hangját 0 tanuló, az Iskolaéletet 8, a Miénk a suli! c. kiadványt pedig 89 olvasta. Az első két kiadványt 4, az első és harmadik kiadványt 84, a másodikat és harmadikat 0, mindhármat pedig a tanulók %-a olvasta. a) Hányan olvasták mindhárom kiadványt? 40 0,0 b) Írja be egy halmazábra mindegyik tartományába az oda tartozó tanulók számát! c) Hányan olvasták legalább az egyik kiadványt? A halmazábrában szereplők együtt: = fő olvasta Halmazműveletek anyag végén (0.o),,,7 Halmazok elemszáma, logikai szita anyag végén (4.o) Algebra és számelmélet Hatványozás Könyvben elméletet tanulni: Hatványozás (48-49.o) és Hatványozás egész kitevőre (.o) Hatványozás anyagrész (48-49.o),,,4. Hatványozás egész kitevőre anyagrész (.o),. 7.) Számítsd ki: ) Melyik nagyobb: 7 vagy ? vagy és 7 7 Hatványozás anyagrész végén (.o),,. és Hatványozás egész kitevőre anyagrész végén (4.o),,4 7 4 Nevezetes szorzatok.) Alakítsd összeggé a szorzatokat (a nevezetes szorzatok segítségével tudod ezt megtenni): Könyvben elméletet tanulni: Nevezetes szorzatok Kéttagú összeg négyzete, Különbség négyzete (0.o), Két tag összegének és különbségének szorzata (.o) a Nevezetes szorzatok Kéttagú összeg négyzete, Különbség négyzete (0.o), Két tag összegének és különbségének szorzata (.o) szabály utáni -4 kidolgozott feladat. c a b a ab b " a" c " b " c c c 0c a szükséges nevezetes szorzat a példában szereplő "a" és "b" behelyettesítés a nevezetes szorzatba kiszámolás

3 4x a a b a ab b a szükséges nevezetes szorzat " a" 4x a példában szereplő " b" a "a" és 4x 4xa a x 40xa a "b" behelyettesítés a nevezetes szorzatba kiszámolás a 7b a 7b a ba b a b " a" a " b" 7b a szükséges nevezetes szorzat a példában szereplő " a Nevezetes szorzatok anyagrész végén (4-.o), 4, b,e. "a és " a 7b 4 9 a 49 "b behelyettesítés a nevezetes szorzatba kiszámolás.) Alakítsd szorzattá az összegeket: Könyvben elméletet tanulni: A szorzattá alakítás módszerei (.o) A szorzattá alakítás módszerei (.o) anyagrészben minden módszer után több kidolgozott feladat található a 9b a b a ba b a b " a" a a szükséges nevezetes szorzat összeg átalakítása a példában szereplő " b" b "a" és a b a b "b" behelyettesítés a szorzatba 49a 84a a ab b a b 7a 7a " a" 7a " b " 7a a szükséges nevezetes szorzat összeg átalakítása a példában szereplő "a" és "b" behelyettesítés a szorzatba 7 7c 7 7c 7 c a b a ba b c " a " " b" c szorzattá alakítás kiemeléssel a szükséges nevezetes szorzat összeg átalakítása a példában szereplő c c 7 behelyettesítés a szorzatba A szorzattá alakítás módszerei anyagrész végén (7.o),..) Végezd el a műveleteket (alakíts szorzattá, majd egyszerűsíts): Könyvben elméletet tanulni: Műveletek algebrai törtekkel (8-7.o) Műveletek algebrai törtekkel Algebrai törtek egyszerűsítése anyagrész. és. feladata (8.o) ab ab ab b a a 9 a a ab a ab a b b a Műveletek algebrai törtekkel anyagrész után (7.o). feladat a 9 a "a" és a a a "b" 4 b

4 Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Könyvben elméletet tanulni: Oszthatóság anyagrésznél a,,4,,,8,9-el való oszthatósági szabályok (7.o) prímszám, összetett szám definíciója (77.o) Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös (80-8.o) Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös anyagrésznél (80-8.o) az összes,,,4. feladat.) Számold ki és 40 legnagyobb közös osztóját! 40 7;40 8.) Számold ki 7 és 40 7 ; ) Egyszerűsítsd: 40 7 legkisebb közös többszörösét! ) Mindenhol írd le az oszthatósági szabályt, majd szövegesen indokold meg, hogy osztható-e vagy sem! 94 NEM, 4 9 IGEN, 94 NEM, 94 4 IGEN, 9 IGEN Oszthatóság anyagrész után (79.o) 4. feladat Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös anyagrész után (8.o) az összes,,,8. feladat Függvények A lineáris függvény Könyvben elméletet tanulni: Lineáris függvények (9.o) Lineáris függvények anyagrésznél (9.o). feladat és (94.o) 4. feladat.) Rajzold meg a négyzetrácsos lapon az x x 4 f függvény grafikonját: f x mxb a lineáris függvény általános alakja. b az a pont, ahol az egyenes metszi az y tengelyt. m az egyenes meredeksége. a grafikon megrajzolása: f x x 4 b 4 B 0; 4 -nél metszi az y tengelyt. m az y tengely metszéspontjából 0 ; 4 Lineáris függvények anyagrész után (9.o). és. feladat - a nevezőben levő számmal () mindig jobbra lépünk - a számláló, ha pozitív (+) akkor felfele, ha negatív pontba jutunk. akkor lefele lépünk, A ; Az A ; és 0 ; 4 B tengelymetszet f x x függvény grafikonja. pontokat összekötő egyenes lesz a 4

5 Az abszolútérték függvény Könyvben elméletet tanulni: Az abszolútérték-függvény (9.o) Az abszolútérték-függvény anyagrésznél (9.o),,. feladat.) Ábrázold, majd csinálj függvényvizsgálatot: y x grafikon Teljes függvényvizsgálat vagy jellemzés menete:. Értelmezési tartomány (ÉT) megmutatja, hogy mely számokat írhatjuk be az x helyére a függvénybe.. Érték készlet (ÉK) megmutatja, hogy az értelmezési tartomány x-eit beírva milyen függvény értékeket = y - okat kapunk. Könyvben (9.o). Zérushely (zh) megmutatja, hogy a függvény grafikonja hol érinti vagy metszi az x tengelyt. Könyvben (9.o) 4. Szélsőérték hely és érték (min/max) megmutaja a függvény legkisebb (minimum) vagy legnagyobb (maximum) pontjának helyét, ami a pont első x koordinátája és értékét, ami a második y koordinátája. Könyvben (98.o). Meredekségi viszonyok (monotonitás), ami megmutatja, hogy a függvény grafikonjára az x -nél felállva balról jobbra irányában sétálva lefelé haladok (szigorúan monoton csökken), vízszintesen megyek (monoton), vagy felfele haladok (szigorúan monoton nő).. Paritás, periodikusság: Egy függvény páros, ha grafikonja az y tengelyre tengelyesen tükrös (ha a papírt az y tengelynél félbehajtjuk, akkor a grafikon két oldala fedi egymást, ilyen például az abszolútérték függvény x V betű alakú grafikonja). Könyvben (0.o) Egy függvény páratlan, ha grafikonja az origóra középpontosan tükrös (ha a papírt az origó körül 80 -al elforgatva önmagába megy át, ilyen például az x függvény hiperbolája). Könyvben (0.o) Egy függvény periodikus, ha grafikonja ismétlődő szakaszokból áll (ilyen például a szinusz görbe). A y x piros függvény jellemzése/teljes függvényvizsgálata az előbb leírt szempontok alapján:. ÉT x. ÉK y y 0;. zérushely x 4. minimumának helye x maximuma nincs minimumának értéke y 0. Szigorúan monoton csökkenő az x ; intervallumon szigorúan monoton növekvő az x ; intervallumon. nem páros függvény (mert nem szimmetrikus az y tengelyre) nem páratlan függvény (mert nem szimmetrikus az origóra) Az abszolútérték-függvény anyagrész után (0.o). feladat Könyvben tanulni: A függvénytranszformációk rendszerezése (4.o) - alap függvény x V betű lerajzolása zöld grafikon - Könyv (.o alul) a zárójelen belüli szám az x tengelyen való ellentétes irányú vízszintes eltolást jelöl x itt jobbra -vel. kék grafikon (-Könyv (4.o () felül) a zárójelen kívüli szám az y tengelyen való azonos irányú függőleges eltolást jelent, x ilyen szám nincs.) - Könyv (.o () felül) a zárójel előtti számmal szorzás a grafikon x tengelyen levő pontjai helyben hagyja, a többi az x tengelytől lefelé és felfelé nyúlik, - Könyv (4.o () alul) negatív számmal szorzásnál a grafikon az x tengelyre tükröződik, azaz fejjel lefelé fordul. x itt a talppont helyben marad, a többi -szorosára nyúlik. piros

6 A másodfokú függvény Könyvben elméletet tanulni: A másodfokú függvény (0.o) A másodfokú függvény anyagrésznél (0.o),. feladat.) Ábrázold, majd csinálj függvényvizsgálatot: x x - alap függvény x parabola lerajzolása zöld grafikon (- a zárójelen belüli szám az x tengelyen való ellentétes irányú x vízszintes eltolást jelöl, itt ilyen szám nincs.) - a zárójel előtti számmal szorzás a grafikon x tengelyen levő pontjait helyben hagyja, a többi az x tengelytől lefelé és felfelé nyúlik, - negatív számmal szorzásnál a grafikon az x tengelyre tükröződik, azaz fejjel lefelé fordul. kék grafikon - a zárójelen kívüli szám az y tengelyen való azonos irányú függőleges eltolást jelent, itt piros grafikon x x felfele -el Az x x piros függvény jellemzése/teljes függvényvizsgálata az előbb leírt szempontok alapján: ÉT. ÉK y y ;. x. zérushely x x 4. max hely 0 x, max értéke. szig mon nő ;0 y minimuma nincs x szig mon csökk x 0;. páros függvény, és nem páratlan függvény A másodfokú függvény anyagrész után (0.o),. feladat Háromszögek, négyszögek, sokszögek Könyvben elméletet tanulni: Ebben a oldalban sok kis definíció, tétel szerepel, ideírom oldalszám szerint a legfontosabbakat: Forgásszög, Szögfajták (9.o) Nevezetes szögpárok, Távolság (0.o) A háromszögek szögei, A háromszög-egyenlőtlenség, Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között, Öszefüggés a derékszögű háromszög oldalai között = Pitagorasz tétel (-.o) A négyszögekről (9-40.o) A sokszögekről (4.o) Szakaszfelező merőleges, Szögfelező, Körös definíciók (4-47.o) A háromszög beírt köre (49.o) A háromszög köré írt kör (.o) Thálesz tétel (-4.o) Öszefüggés a derékszögű háromszög oldalai között = Pitagorasz tétel anyagrész. példa (7.o) A négyszögekről anyagrész,,. példa (40-4.o) A sokszögekről anyagrész,. példa (4.o) Thálesz tétel anyagrész.példa (4.o) ) Hány fokos a tompaszög?.) Mondd ki a háromszög-egyenlőtlenség tételét: Bármely háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál..) Mit értünk két párhuzamos egyenes távolságán? (rajz vagy szöveg): Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes bármely pontjának a másik egyenestől mért távolsága, vagy az egyeneseket összekötő rájuk merőleges szakasz hossza.

7 4.) Folytasd a tétel kimondását: A háromszög külső szögeinek összege.) Mondd ki a Pitagorasz-tételt (szövegesen): Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzet összege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével. Öszefüggés a derékszögű háromszög oldalai között = Pitagorasz tétel anyagrész után (8.o),,7..) Rajzold le a rombuszok, trapézok és paralelogrammák halmazát egy közös halmazábrában úgy, hogy mindegyikben legyen pontos szemléltető rajzocska (szögek nagysága, oldalak hossza)! 7.) Rajzold le a téglalapok és paralelogrammák halmazát egy közös halmazábrában úgy, hogy mindegyikben legyen pontos szemléltető rajzocska (szögek nagysága, oldalak hossza)! 0..) feladat ábrája 7.) feladat ábrája 84 és. c 8.) Egy háromszög három oldalára teljesül, hogy a b c, két belső szögének nagysága pedig a, b, közül melyik oldal fekszik a harmadik belső szöggel szemben? Készíts rajzot a szögek és oldalak beírásával, válaszodat indokold meg a tanult tételek, definíciók leírásával! Megoldás indoklással: A háromszög belső szögeinek összege Bármely háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb belső szög áll ha a b c rendre 0 84 a harmadik 0 belső szöggel szemben b oldal fekszik. a harmadik szög 0. a velük szemben levő belső szögek 9.) Mekkorák a trapéz belső és külső szögei, ha belső szögeinek aránya : 4:: 8? Készíts rajzot a szögek beírásával, válaszaidat minden esetben indokold meg a tanult tételek, definíciók leírásával! 0 0 e 4e e 8e, e 8 Megoldás indoklással: Bármely négyszög belső szögeinek összege A trapéz belső szögei, 7, 08, 44, az ezekhez tartozó külső szögek rendre 44, 08, 7,. A trapéz azonos száron fekvő szögei kiegészítő szögek a helyes belső szögsorrend a rajzon pozitív irányban, 7, 08, 44. A négyszögekről anyagrész után (4.o) 4,,7,9. A sokszögekről anyagrész után (44.o),,4,. A háromszög beírt köre anyagrész után (0.o). A háromszög köré írt kör anyagrész után (.o). Thálesz tétel (.o),8.

8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Az egyenlet, azonosság fogalma Könyvben elméletet tanulni: Az egyenlet, azonosság fogalma anyagrész (0-.o közepe) az egyenletek fogalma már nem kell! Kidolgozott feladat a könyvben: Az egyenlet, azonosság fogalma anyagrésznél (.o). feladat Egyenlet megoldása szorzattá alakítással Kidolgozott feladat a könyvben: Egyenlet megoldása szorzattá alakítással anyagrésznél (9.o). feladat.) Oldd meg:, x x x 0 x x 0 x 0 x x x xn 0 DE összevetve az alaphalmazzal x x, x nem természetes szám, összevetve az alaphalmazzal összevetve az alaphalmazzal x természetes szám ezért a nem megoldás nem természetes szám, ezért a megoldás ezért a nem megoldás Egyenlet megoldása szorzattá alakítással anyagrész után (7.o),abcd x, Megoldás lebontogatással, mérlegelvvel Kidolgozott feladat a könyvben: Megoldás lebontogatással, mérlegelvvel anyagrésznél (74.o),. feladat.) Oldd meg, majd ellenőrizz: ellenőrzés: x x R,0,, x 4x x x x x zárójel felbontása 7x 7 x 7 összevonás 0 4x x-ek és számok egy oldalra rendezése 0 x 4-el leosztás,0 0 x R része az alaphalmaznak, ezért x 8x összevetés az alaphalmazzal 0 megoldás lehet 0 x behelyettesítése az egyenlet bal oldalába: x behelyettesítése az egyenlet jobb oldalába: balo = jobbo, ezért 0 x jó megoldás 7 Megoldás lebontogatással, mérlegelvvel anyagrész után (7.o). Egyenlőtlenségek Könyvben elméletet tanulni: Egyenlőtlenség (78.o alul) két zöld keretes szabály Az egyenlőtlenség megoldásánál, ha mindkét oldalt negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor a relációs jel megfordul. Kidolgozott feladat a könyvben: Egyenlőtlenségek anyagrésznél (78.o). feladat x x x.) Oldd meg, majd számegyenesen ábrázold a megoldást: x R, x 0 x x közös nevezőre hozás x 0 x 0x zárójel felbontása 8x 4 x 0 összevonás x 84 x-ek és számok egy oldalra rendezése 84 x,4 -al leosztás 84 összevetés az alaphalmazzal x R, ezért x, 4 megoldás lehet Egyenlőtlenségek anyagrész után (8.o),. feladat

9 Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek Kidolgozott feladat a könyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrésznél (8.o). feladat 4.).) x xn ) ellenőrizz! x ) x x x összevetés az alaphalmazzal összevetés az alaphalmazzal, ezért megoldás lehet x N nem lehet megoldás x N ellenőrzés xr 4 ) x x 4 a megoldásokat ábrázold közös számegyenesen! x összevetés az alaphalmazzal és ) xr x 4 x 7, ezért megoldások lehetnek.) xr ) x 4 x 4 a megoldásokat ábrázold közös számegyenesen! x 9 összevetés az alaphalmazzal és ) x 4 x x R, ezért megoldások lehetnek Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrész után (87.o). feladat 7.) Írd le az abszolútérték definícióját: a, ha a 0 a a, ha a 0 Kidolgozott feladat a könyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrésznél (8.o).a) feladat 8.) x R, x x ellenőrizz! rendezve úgy, hogy az egyik oldalon csak az abszolútérték álljon x x ) ha x 0, akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlet x x kikötés x megoldás x megoldás összevetése a kikötéssel: ) ha 0 x nem teljesül x nem lehet megoldás x, akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlet x x kikötés x zárójel felbontás x x rendezés x megoldás x megoldás összevetése a kikötéssel: x teljesül x megoldás lehet ellenőrzés: visszahelyettesítés az eredeti egyenlet bal oldalába x visszahelyettesítés az eredeti egyenlet jobb oldalába 7 osztás 7 x balo = jobbo x Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrész után (87.o). feladat 7 9 jó megoldás

10 Kidolgozott feladat a könyvben: Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrésznél (8.o).b) feladat 9.), x x xr rendezve úgy, hogy az egyik oldalon csak az abszolútérték álljon x x ) ha x 0 x x, akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlőtlenség kikötés x megoldás x megoldás összevetése a kikötéssel lesz a x ) ha x 0 x x, akkor az abszolútérték jel elhagyása után az egyenlőtlenség kikötés x x x zárójel felbontás rendezés megoldás x x osztás összevetés a kikötéssel a x Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek anyagrész után (87.o). feladat Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Könyvben elméletet tanulni: Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek (00.o) A behelyettesítő módszer zöld keretes szabálya Kidolgozott feladat a könyvben: A behelyettesítő módszer anyagrész (99.o közepétől). feladat 0.) Oldd meg behelyettesítős módszerrel az egyenletrendszert: a b a, b ha az egyik egyenletből az egyik ismeretlen előtt álló szám vagy -, akkor ez az ismeretlen 4a b 7 könnyen kifejezhető belőle, ekkor a behelyettesítős módszert alkalmazzuk. Íme, a módszer alkalmazásának leírása: ) az első egyenletből könnyen kifejezhető a b ) a b 4 b b 48 4b b 7 b b, b -t visszahelyettesítjük az első egyenletből kifejezett a b -t behelyettesítjük a másik egyenletbe 7 ) a megkapott, -ba a, a 4) ellenőrzés: mindig mindkettő eredeti egyenlet bal és jobb oldalába visszahelyettesítve kell első egyenlet bal oldala, jobb oldala balo = jobbo és, jó megoldások második egyenlet bal oldala 4, 7 jobb oldala 7 balo = jobbo és, jó megoldások A behelyettesítő módszert alkalmazva (0.o),,. feladat Könyvben tanulni: Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek (0.o) Az egyenlő együtthatók módszerének zöld keretes szabálya Kidolgozott feladat a könyvben: Az egyenlő együtthatók módszere anyagrész (0.o) 4. feladat, (0.o). feladat.) Oldd meg az egyenlő együtthatók módszerével az egyenletrendszert: Az egyenlő együtthatók módszerének leírása: I x 4y 4 x, y R II x y 8 ) a két egyenletet mindkét oldalát úgy szorozzuk meg, hogy az egyik ismeretlen előtti szám a szorzások után előjeltől függetlenül megegyezzen, ekkor I x 8y 8 x 8 y II 4

11 ) a két egyenlet összeadjuk vagy kivonjuk, ezzel az egyenlő együtthatós ismeretlen kiesik, a másikat kiszámoljuk I II x 8y x 8y 84 y y ) a megkapott eredményt bármelyik egyenletbe visszahelyettesítve kiszámoljuk a másik ismeretlent. beírom y et I be x 4 4 x 8 x 4) ellenőrzés: mindig mindkettő eredeti egyenlet bal és jobb oldalába visszahelyettesítve kell Ell: Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazva (0.o),,. feladat I : 8 4 II :

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára

TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 9. a, b osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján

Részletesebben

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal: Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A

Részletesebben

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz Halmazok 1. Feladat. Adott négy halmaz: az alaphalmaz, melynek részhalmazai az A, a B és a C halmaz: U {1, 2,,..., 20}, az A elemei a páros számok, a B elemei a hárommal oszthatók, a C halmaz elemei pedig

Részletesebben

Szé12/1/N és Szé12/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára

Szé12/1/N és Szé12/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára Szé1/1/N és Szé1/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára Halmazelmélet Halmaz, részhalmaz, végtelen halmaz, üres halmaz, halmaz megadása, halmazműveletek (metszet, unió, különbség, komplementer),

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika

Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok halmaz halmaz megadása, jelölésmód üres halmaz véges halmaz végtelen halmaz halmazok egyenlısége részhalmaz, valódi részhalmaz halmazok uniója

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3

c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3 1. Az alái feladatok egyszerűek, akár fejen is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonan erre a papírra írja! a.) Írja fel egy olyan egész együtthatós másodfokú egyenlet

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek

Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek 1. Hatványozás 2. Normálalak. Mértékegységek. Műveletek racionális számokkal (tört, tizedes tört) 5. Középpontos tükrözés 6.

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg

Részletesebben

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra 9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

9. évfolyam Javítóvizsga szóbeli. 1. Mit ért két halmaz unióján? 2. Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán!

9. évfolyam Javítóvizsga szóbeli. 1. Mit ért két halmaz unióján? 2. Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán! 9. évfolyam Javítóvizsga szóbeli 1. tétel 1. Mit ért két halmaz unióján? 2. Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán! 3. Írja fel a és b hatványaiként a következő kifejezést! 4.

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2.

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI ELŐKÉSZTŐ 11. évfolyam Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, 1. Év eleji szervezési feladatok 2. A hatványozásról tanultak ismétlése, feladatok az n- edik gyök fogalmára, azonosságaira

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.

Részletesebben

2018/2019. Matematika 10.K

2018/2019. Matematika 10.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Követelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete, eszköz jellegű

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben