Többváltozós függvények integrálása téglákon és szimplexeken

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Többváltozós függvények integrálás téglákon és szimplexeken Szkdolgozt Írt: Horváth Norbert Mtemtik BSc szk Témvezetők: Simon L. Péter, egyetemi docens Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék Eötvös Lornd Tudományegyetem, Természettudományi Kr Horváth Tmás, egyetemi tnársegéd Mtemtik és Számítástudomány Tnszék Széchenyi István Egyetem, Műszki Tudományi Kr Budpest, 21

2 Trtlomjegyzék Köszönetnyilvánítás 1 1. Numerikus integrálás egy dimenzióbn Az numerikus integrálás lpfeldt Konvergencitételek Interpolációs kvdrtúrák Newton-Cotes-formulák Guss kvdrtúr Numerikus integrálás több dimenzióbn Szorztszbály Integrálás szimplexeken Integrációs trtomány trnszformálás Tükrözéses módszer Dunvnt pontok Newton-Cotes-formul két dimenzióbn Három dimenzió Összehsonlítás Peremértékfeldtok gyenge megoldás végeselem módszerrel Az lpproblém és nnk elméleti háttere egy dimenzióbn Megvlósítás Az lpproblém és nnk elméleti háttere két dimenzióbn Megvlósítás ii

3 TARTALOMJEGYZÉK iii Összegzés 43 Irodlomjegyzék 45 Nyiltkozt 46

4 Ábrák jegyzéke 1.1. sin függvény közelítése Kétdimenziós Newton-Cotes-formul lppontji n = 4 és n = 5 esetén Klpfüggvény Bázisfüggvény két dimenzióbn Φ formfüggvény [,1] [,1] trtományon iv

5 Tábláztok jegyzéke 1.1. Néhány lcsony rendű zárt Newton-Cotes-formul sin függvény integráljánk közelítése [, 11π 6 ] intervllumon Guss-Legendre kvdrtúr formul súlyi és lppontji Dunvnt lppontji és súlyi ötödrendig Közelítő integrálás Dunvnt pontokkl Alppontok és súlyok tetréderen történő integrálásnál Alppontok szám különböző pontosság mellett v

6 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témvezetőimnek, Horváth Tmásnk és Simon L. Péternek tém feldolgozás során nyújtott segítséget. A vázltok lpos áttekintésével, számtln hsznos tnáccsl segítették munkám. Köszönetemet szeretném kifejezni még csoporttársimnk, kik z évek során inspiráló közeget biztosítottk mtemtik szerteágzó területeinek megismeréséhez.

7 1. fejezet Numerikus integrálás egy dimenzióbn A terület- és térfogtszámítás, így z integrálás mtemtik legrégebbi lklmzási közé trtozik. Számos lklmzott tudományág igényli integrálok kiszámítását, dolgoztom tárgyát tekintve differenciálegyenletek megoldásink meghtározásábn játszott szerepe emelendő ki. Numerikus integrálás 1 ltt lgoritmusok egy olyn csládját és zok lklmzását értjük, mellyel htározott integrálok numerikus értékét számíthtjuk ki. Számos integrál esetében ez nlitikusn is elvégezhető, zonbn léteznek olyn esetek is, mikor primitív függvény nem írhtó fel elemi függvényekkel 2. Előfordulht z is, hogy ugyn szimbolikusn fel tudjuk írni primitív függvényt, de gykorlti lklmzásokhoz célszerűbb nnk inkább egy numerikus közelítését megdni. Ez helyzet például kkor, h z ntiderivált egy végtelen sor formájábn dott. Numerikus integrálást hsználunk kkor is, h z integrndus csk bizonyos pontokbn ismert (például minták esetén). A következőkben z egydimenziós esetet tekintem át, hiszen később tárgylásr kerülő többdimenziós numerikus integrálás ennek áltlánosításként dódik. 1 Az egydimenziós numerikus integrálásr áltlábn kvdrtúr, kettő vgy több dimenziósr pedig kubtúr illetve kvdrtúr terminusok egyránt hsználtosk. 2 Péld erre z f(x) = e x2 függvény.

8 1.1. Az numerikus integrálás lpfeldt Az numerikus integrálás lpfeldt Az egydimenziós numerikus integrálás lpfeldt z I(f) := f(x) dx (1.1) htározott integrál kiszámítás, hol feltesszük, hogy f C[, b] Definíció (Alppontok). Az F n = {x, x 1,..., x n } hlmz elemeit lppontoknk nevezzük, h minden x i -re (i =,..., n) teljesül, hogy x < x 1 < x 2... < < x n b, hol [, b] fenti zárt intervllum. Tekinthetjük úgy problémát, hogy z lppontokbn mérési eredményekkel rendelkezünk, vgy feltehetjük zt is, hogy függvényértéket tetszőleges helyen meghtározhtjuk, de csk n + 1 drb ilyen kiértékelésünk lehet. A későbbiekben ez utóbbit fogjuk követni. Az integrálás Riemnn-féle értelmezéséből kiindulv fenti lineáris funkcionál f helyen felvett értékét következő lkkl közelíthetjük: Q n (f) := n w i f(x i ), (1.2) hol w i számokt (melyek most nem függnek z x i lppontoktól) súlyoknk, mgát z Q n : C[, b] R funkcionált pedig kvdrtúr képletnek vgy kvdrtúr formulánk nevezzük. Azért célszerű így eljárni, mert z iménti kvdrtúr képlet egy Riemnn-féle integrálközelítő összeg: [, b]-nek z lppontokr tett feltevések mitt vehetjük egy olyn P = {[y, y 1 ), [y 1, y 2 ),..., [y n, y n+1 ]} prtícióját, melyre = y és b = y n+1, vlmint x i [y i, y i+1 ], ekkor w i = y i+1 y i definícióvl Q n vlóbn egy Riemnn-féle integrálközelítő összeg. Az ilyen típusú összeg zonbn z lppontok számánk növelésével tetszőlegesen megközelíti z eredeti integrált, hiszen fennáll hol δ := mx i (w i ). ( n ) f(x) dx = lim w i f(x i ), δ A következő részben olyn tételeket ismertetek, melyekkel ez konvergenci vizsgálhtó és kvdrtúr képlet hibáj becsülhető.

9 1.2. Konvergencitételek Konvergencitételek A következő tétel és nnk következményei dják mjd z később vizsgálndó kvdrtúr képletek konstrukciójánk lpját Tétel. Minden f C[, b] esetén Q n (f) I(f), n, pontosn kkor igz, h következő két feltétel teljesül: 1) Q n (p) I(p) minden p P és n esetén (hol P polinomok osztályát jelöli) 2) Q n normáj egyenletesen korlátos, vgyis létezik C konstns, hogy Q n C minden n-re és f C[, b]-re. Az (1.2)-ben definiált lineáris funkcionál normáj most Q n = n w i, ugynis Q n (f) n w i mx f(x i ) i n w i f, hol például z (x i, sgn(w i )) pontokt interpoláló elsőfokú spline függvényen érvényes z egyenlőség. Ezt felhsználv nézzük Tétel néhány következményét: Tétel (Póly). H Q n egyenletesen korlátos, vgyis Q n = n w(n) i C n N és Q n (p) = I(p) p P n ( P n jelöli legfeljebb n-edfokú polinomok osztályát), kkor Q n I f C[, b]-re Következmény (Sztyeklov). Legyen w (n) i i n-re, és teljesüljön Q n (p) = = I(p) p P n -re. Ekkor Q n I f C[, b]-re. Bizonyítás. Mivel Q n = n w (n) i = n w (n) i = 1 dx = b, hol 3. egyenlőség zért áll fenn, mert Q n pontos p 1 P n polinomon.

10 1.3. Interpolációs kvdrtúrák Interpolációs kvdrtúrák Az előbbi tételek muttják, miért érdemes polinomokt vizsgálni kvdrtúr formulák esetében: z Tétel mitt h Q n pontos minden legfeljebb n-edfokú polinomr, és h súlyok összegére teljesül n w(n) i C vlmilyen C konstnsr, kkor n növelésével kvdrtúr formulánk konvergál z integrál értékéhez. Az így kpott kvdrtúr képletet nevezzük interpolációs kvdrtúr formulánk. Interpoláljuk tehát f-et vlmilyen p polinomml, melynek integrálját már explicit módon meg tudjuk htározni. Mivel feltevésünk szerint lppontokkl és hozzájuk trtozó függvényértékekkel rendelkezünk, ezért kézenfekvő Lgrnge-féle interpolációs polinomok (L n ) lklmzás: n L n (x i ) = f(x i )l i (x), hol l i (x) = n k= i k x x k x i x k. Erre polinomr nyilvánvlón teljesül, hogy minden x i helyen z dott függvényértéket veszi fel, rádásul ezen feltételekkel ez z egyetlen P n -beli megoldás (lásd Gisbert és Glin (22), Dhlquist és Björck (28)). Ekkor f(x) = L n (x) + R n (x), hol R n mrdéktg. Integrálv [, b]-n z előbbit kpjuk I(f) := = f(x) dx = n f(x i ) l i (x) dx + L n (x) dx + R n (x) dx = R n (x) dx =: n f(x i )w i + E n, (1.3) hol z utolsó egyenlőség első tgj dj megfelelő interpolációs kvdrtúr képletet. Mivel Lgrnge-féle interpolációs polinom hibáját ismerjük, így nnk [, b]-n történő integrálásávl z előbbi kvdrtúr formul pproximációs hibáj is könnyen számíthtó: E n (f) := I(f) Q n (f) = 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ(x)) n (x x k ) dx (1.4) Az integrál tuljdonságit felhsználv ebből z pproximációs hibár E n (f) f (n+1) b n (x x k ) dx (1.5) (n + 1)! k= k=

11 1.3. Interpolációs kvdrtúrák 6 dódik. A kvdrtúr formulák egyik meghtározó jellemzője, hogy legfeljebb hánydfokú polinomokr pontosk. Ezt renddel djuk meg: Definíció (Kvdrtúr formul rendje). Azt mondjuk, hogy egy kvdrtúr képlet rendje d, h Q n (p) = I(p) p P d -re, de létezik olyn d + 1-edfokú polinom, melyre z egyenlőség nem teljesül. Interpolációs kvdrtúr formulák esetén rend és z lppontok szám nem független egymástól, mit következő tétel foglmz meg: Tétel. Legyenek dottk z x, x 1,..., x n lppontok. Ekkor z 1.3-ben megdott interpolációs kvdrtúr formul rendje leglább n. Fordítv is igz, h egy kvdrtúr formul rendje leglább n, kkor z interpolációs Newton-Cotes-formulák H z (1.3)-bn megkonstruált kvdrtúr képletet ekvidisztáns lppontokr lklmzzuk (x i = + i b, i =,..., n), kkor z ún. Newton-Cotes interpolációs n kvdrtúr formuláról beszélünk. A végpontok figyelembevétele lpján két típusát különböztetjük meg: Zárt: z lppontok = x < x 1 < x 2... x n = b, míg lépésköz h = b n Nyílt: = x 1 < x < x 1... x n < x n+1 = b, hol x 1 és x n+1 nem interpolációs lppontok, zonbn lépésközre teljesül, hogy h = x x 1 és h = x n+1 x n, vgyis h = b n+2 Az (1.3)-bn jelzett w i együtthtókt zárt formulák esetén következőképpen írhtjuk fel (i =,..., n): w i = = n = b n (x x )... (x x i 1 )(x x i+1 )... (x x n ) l i (x) dx = (x i x )... (x i x i 1 )(x i x i+1 )... (x i x n ) = (1.6) t(t 1)... (t i + 1)(t i 1)... (t n)h n h dt = (1.7) h(h 1) ( 1)( 2)... ( (n i))hn ( 1) n i n t(t 1)... (t n) dt =: (b )B z i! (n i)! t i i,n, (1.8)

12 1.3. Interpolációs kvdrtúrák 7 hol h = b n dódik: és t = x h b. A nyílt formulákr ugynígy, h = felhsználásávl n+2 w i = l i (x) dx = b ( 1) n i n + 2 i! (n i)! n+2 (t 1)(t 2)... (t n 1) t i 1 dt (1.9) =: (b )B ny i,n. (1.1) Az együtthtók így meghtározott lkji következő, numerikus számításoknál jól hsználhtó tuljdonságokkl bírnk: Állítás. A zárt és nyílt Newton-Cotes formulák együtthtóir igzk következők: 1. n B i,n = 1 2. B i,n = B n i,n Bizonyítás. Felhsználv, hogy kvdrtúr formul pontos z 1 polinomr: b = 1 dx = n w i 1 = n (b )B i,n, honnn b-vel történő leosztás után dódik z állítás első része. A második részt zárt formulák esetére igzolj következő: Bn i,n z ( 1) i n t(t 1)... (t n) = dt = n! (n i)! i! t i = ( 1)i ( 1) n+2 n (τ n)(τ n + 1)... τ n! (n i)! i! τ i dτ = B z k,n, hol τ = n t. Hsonlón dódik nyílt formulákr is. Az előbbi állítás első része numerikus számítások ellenőrzésekor hsznos, második rész szerint pedig elég z együtthtók felét kiszámítni. Vizsgáljuk most meg Newton-Cotes-formulák rendjét és hibáját. A rendre vontkozón igz következő állítás: Állítás. A Newton-Cotes-formulák páros n-re ( n + 1 drb lppontot feltételezve) pontosk legfeljebb n + 1-edfokú, pártln n-re pedig legfeljebb n-edfokú polinomokr.

13 1.3. Interpolációs kvdrtúrák 8 Bizonyítás. A tétel szerint módszer tetszőleges n esetén pontos legfeljebb n- edfokú polinomokr. Legyen n páros. Az ekvidisztáns lppontok feltételezése mitt teljesül, hogy x i + x n i = + b. Legyen g(x) = (x x )(x x 1 )... (x x n ). Ekkor ( ) + b n ( ) + b n ( ) + b g x = x x i = x ( + b x n i ) = n ( = + b ) n ( ) + b x + x n i = ( 1) n+1 + x x n i = 2 2 ( ) + b = g + x, 2 vgyis g pártln z [, b] intervllumon, így g(x) dx = = n w ig(x i ), hiszen g definíciój mitt g(x i ) = (i =,..., n). Mivel z interpolációs formul pontos minden, legfeljebb n-edfokú polinomr, vlmint z előbbi g-re is, így lineritást felhsználv tetszőleges n + 1-edfokú polinomr is teljesül pontosság. A nyílt, illetve zárt Newton-Cotes-formulák hibáját dj meg következő két tétel (A. Qurteroni et l., 2): Tétel. Páros n esetén Newton-Cotes-formul hibáj: E n (f) = M n (n + 2)! hn+3 f (n+2) (η) tetszőleges f C (n+2) [, b]-re és < η < b-r, hol n M n = tπ n+1(t) dt < zárt formulákr n+1 tπ 1 n+1(t) dt > nyílt formulákr és π n+1 (t) = n (t i) Tétel. Pártln n esetén Newton-Cotes-formul hibáj: E n (f) = M n (n + 1)! hn+2 f (n+1) (η) tetszőleges f C (n+1) [, b]-re és < η < b-r, hol n M n = π n+1(t) dt < zárt formulákr n+1 π 1 n+1(t) dt > nyílt formulákr és π n+1 (t) = n (t i).

14 1.3. Interpolációs kvdrtúrák 9 A következő táblázt z együtthtókt, rendet és hibát figyelembe véve fogllj össze legfontosbb példákt ilyen típusú formulákr (z egyszerűség kedvéért f i -vel jelöltem f(x i )-t, hol x i = + i(b )/n) táblázt. Néhány lcsony rendű zárt Newton-Cotes-formul Elnevezés Rend Formul Hib Trpézszbály 1 b 2 (f + f 1 ) (b )3 12 f (2) (ξ) Simpson szbály 2 b 6 (f + 4f 1 + f 2 ) (b )5 288 f (4) (ξ) Simpson 3/8 3 b 8 (f + 3f 1 + 3f 2 + f 3 ) (b )5 648 f (4) (ξ) Boole szbály 4 b 9 (7f + 32f f f 3 + 7f 4 ) (b ) f (6) (ξ) 1.4. Péld. Tekintsük példánk sin függvényt [, 11π ] intervllumon. Elemi úton 6 dódik, hogy ennek z integrálj Az egyes zárt formulákkl következő dódik: 1.2. táblázt. sin függvény integráljánk közelítése [, 11π 6 ] intervllumon Formul Közelítő érték Hib Reltív hib (%) Trpézszbály Simpson szbály Simpson 3/ Boole szbály Elméleti érték A sin függvény különböző kvdrtúr formulák segítségével történő közelítéseit ábrázolj z 1.1 ábr. A sárgávl jelölt terület z pproximáció hibáját jelöli. A tábláztból és z ábrából is nyilvánvló z egyes kvdrtúr formulák pontosság tekintetében tpsztlt jelentős eltérése.

15 1.3. Interpolációs kvdrtúrák Guss kvdrtúr 1.1. ábr. sin függvény közelítése Természetesnek muttkozó igény, hogy rögzített számú lppont esetén minél pontosbb eredményt kpjunk, ezt pedig kellően sim integrndus esetén mgsbbrendű kvdrtúr formulák biztosíthtják. Tudjuk, hogy n+1 lppont esetén súlyok megfelelő megválsztásávl Newton- Cotes-formulák páros és pártln n-re is pontossá tehetők legfeljebb n-edfokú polinomokr. Azonbn, h feloldjuk z ekvidisztáns lppontok feltételezését, kkor újbb n + 1 szbdságfokot nyerünk, mely felhsználhtó rend növelésére. Áltlánosítsuk (1.1)-et egy α : [, b] [, ] súlyfüggvény hozzávételével ( korábbikbn hllgtólgosn zt feltételeztük, hogy α 1), vgyis lpfeldtunk z I(f) := f(x)α(x) dx.

16 1.3. Interpolációs kvdrtúrák 11 integrál közelítése. Az I(f) := f(x)α(x) dx n f(x i ) l i (x)α(x) dx =: n w i f(x i ) =: G n (f) áltl definiált formulát Guss kvdrtúr formulánk nevezzük. A következő tételből megtudhtjuk, hogy bizonyos feltétel mellett ez kvdrtúr formul pontos minden legfeljebb 2n + 1-edfokú polinomr Tétel. Az f(x)α(x) dx = n w i f(x i ) pontos minden f P 2n+1 -re kkor és csk kkor, h = (x x )(x x 1 )... (x x n )p(x)α(x) dx =: s n (x)p(x)α(x) dx minden p P n, zz s n, p α = minden p P n esetén. Bizonyítás. Vegyünk egy tetszőleges p P n -t. Ekkor z integrndusbn lévő s n (x)p(x) P 2n+1. De feltétel mitt kvdrtúr formul erre polinomr pontos lesz, vgyis f(x)α(x) dx = n w i s n (x i )p(x i ) = hol második tg zért, mert s n -nek definíciój mitt minden x i gyöke. A szükségesség belátásához vegyünk egy tetszőleges f P 2n+1 -t. Ekkor léteznek olyn q, r P n, hogy f-et polinomiálisn osztv s n -nel f(x) = s n (x)q(x) + r(x). Ezt z α súlyfüggvénnyel szorozv és [, b]-n integrálv f(x)α(x) dx = s n (x)q(x)α(x) dx + r(x)α(x) dx A jobb oldlon z első tg feltétel mitt. Ekkor n n f(x)α(x) dx = r(x)α(x) dx = w i r(x i ) = w i f(x i ), hol második egyenlőségnél kihsználtuk, hogy kvdrtúr formul pontos minden legfeljebb n-edfokú polinomr (r P n ), hrmdik egyenlőségnél pedig zt, hogy z lppontokbn s n definíciój mitt, és polinomiális osztás mitt ekkor f(x k ) = r(x k ) teljesül. 3 A szkirodlombn gykort ugynezt 2n 1 -re mondják ki, mindez zonbn z lppontok számánk eltéréséből fkd: z eddigiekben végig n + 1 drb lppontot feltéteztem, mit z előbbibe helyettesítve 2(n + 1) 1 = 2n + 1 láthtó z ekvivlenci.

17 1.3. Interpolációs kvdrtúrák táblázt. Guss-Legendre kvdrtúr formul súlyi és lppontji Rend Alppontok Súlyok 3 ± ± ± ± ± ± ± ± ± Vgyis fenti kvdrtúr képlet pontos minden legfeljebb 2n+1-edfokú polinomr. Azonbn h vesszük z f(x) = (p n+1 (x)) 2 függvényt, kkor erre nyilván I(f) > és n w if(x i ) = is teljesül, mi muttj, hogy 2n + 2-edfokú polinomokr már nem pontos kvdrtúr formulánk, vgyis rendje 2n + 1. A fenti tételből látszik, hogy s n (x) fent definiált sklárszorztr nézve ortogonális minden p P n -re, vgyis ezen ortogonális polinomok zérushelyei lkotják mjd megválsztndó lppontokt. Az egyes súlyok meghtározásár α 1 esetben explicit képletünk vn: hol P n w i = 2 (1 x 2 i )(P n(x i )) 2, z n-edfokú Legendre-polinom. A következő táblázt Guss-Legendre kvdrtúr formul (vgyis mikor súlyfüggvény 1) súlyit és lppontjit dj meg [-1,1] intervllumon véve z integrál közelítését:

18 1.3. Interpolációs kvdrtúrák 13 A következő fejezetben ezen kvdrtúr formulák mgsbb dimenziós áltlánosításávl fogllkozom. Látni fogjuk, hogy z integrációs trtomány megváltozás jelentősen befolyásolj formuláink érvényességét.

19 2. fejezet Numerikus integrálás több dimenzióbn A különböző lklmzásokbn megjelenő problémák ngy részében többdimenziós numerikus integrálásr vn szükség, mi zonbn nem pusztán kiterjesztése z egy dimenziós esetnek. Egy dimenzióbn bármely véges intervllum egy ffin trnszformációvl z [ 1,1] intervllumb képezhető. Tehát kvdrtúr formulákt elég ezen intervllumr meghtároznunk. Mivel z ffin trnszformációk nem változttják meg polinomok fokát, ezért kvdrtúr képlet rendje is megőrződik. d dimenzióbn z integrációs trtomány htár d 1 dimenziós. Azonbn bármely d 2 dimenzió esetén végtelen sok olyn összefüggő trtomány létezik R d -ben, mit ffin trnszformációkkl nem lehet egymásr képezni. Így ezeken dimenzió egyezése ellenére kvdrtúr formulák különbözőek lesznek. Másrészt megdott pproximációs rend eléréséhez szükséges kiértékelések szám exponenciálisn növekszik dimenzió ngyságávl: h egy dimenzióbn n pontr vn szükségünk, kkor d dimenzióbn n d drb pont kell. Legyen Ω R d zárt, korlátos trtomány. Ekkor (1.1)-t áltlánosítv mgsbb dimenziós numerikus integrálás lpfeldt z I(f) := f = d d 1 (x d ) 1 (x 2,...,x d ) Ω d d 1 (x d ) 1 (x 2,...,x d ) lineáris funkcionál meghtározás. f(x 1, x 2,..., x d ) dx 1 dx 2... dx d

20 2.1. Szorztszbály Szorztszbály Az egyik lehetőség fenti lpfeldt megoldásár z ún. szorztszbály lklmzás. A jelölések egyszerűsítése érdekében kétdimenziós esetet tekintem, mgsbb dimenziór értelemszerűen áltlánosíthtó. Írjuk át z integrált következő lkr: (x) f dxdy = f(x, y) dydx =: Ω (x) g(x) dx Az így kpott integrált közelítsük z előző fejezetben bemuttott Q m (F ) = m w(m) i F (ξ (m) i ) 1 F (ξ) dξ lkú, m + 1 pontú egydimenziós kvdrtúr képlettel. Felhsználv, hogy x (m) i := (b )ξ(m) i 1 +(+b) g(x) dx b 2 m 2, w (m) i g(x (m) i ) Q m,n (f), (2.1) mjd g közelítésére újr lklmzv kvdrtúr képletünket kpjuk Q m,n (f) := b 2 m w (m) d i c i i 2 n j= w (n) j f(x (m) i, y (n) j ), (2.2) hol c i := c(x (m) i ), d i := d(x (m) ), y (n) tégllp, kkor képletünk i j := (d i c i )ξ (m) i +(c i +d i ) 2. H trtományunk egy Q m,n (f) := A 4 m n j= w (m) i w (n) j f(x (m) i, y (n) j ) lkr egyszerűsödik le, hol A := (b )(d c). Az így kpott formulát nevezzük tenzorszorzt integrációs képletnek. Megjegyzendő, hogy mennyiben [ 1,1] [ 1,1]-en integrálunk, kkor Q m,n -nek z f helyen felvett értéke z egydimenziós esetben már látott formár egyszerűsödik: Q m,n (f) := m n j= w i w j f(x (m) i, y (n) j ) (2.3) A következő tétel szorztszbály pproximációs hibáját jellemzi, következménye pedig formul rendjét htározz meg Tétel (Tenzorszorzt integráció hibáj). Legyenek fenti egydimenziós kvdrtúr képlet súlyi nemnegtívk, rendje leglább 1. Legyen f elegendően sim, hogy

21 2.1. Szorztszbály 16 érvényes legyen: f(x, y) dx Q mx (y, f) = ɛ mx(y) (b )ɛ m c y d, d f(x, y) dy Q ny (x, f) = ɛ ny(x) (d c)ɛ n y b, c hol Q mx, illetve Q ny z (2.1) első egyenlősége után következő tgot jelöli, vgyis egydimenziós kvdrtúr formulák, ɛ m és ɛ n pedig tetszőleges pozitív vlós számok. Ekkor (2.3)-r teljesül, hogy I(f) Q m,n (f) A (ɛ m + ɛ n ). Bizonyítás. Tudjuk, hogy I(f) Q m,n (f) = I(f) d c f(x, y) dy + (b ) m w (m) i d c f(x (m) i d I(f) I m,n (f) f(x, y) dx Q mx (y, f) dy+ c m d + (b ) w (m) i f(x (m) i, y) dy Q ny (x (m) i, f) d c A ɛ mx (y)dy + (b ) ( ɛ m + ɛ n m c w (m) i ) m w (m) i ɛ ny (x (m) i ) = A (ɛ m + ɛ n ),, y) dy Q m,n (f), (2.4) hol z utolsó egyenlőségnél zt hsználtuk fel, hogy vizsgált egydimenziós kvdrtúr formul rendje leglább 1, vgyis teljesül m w(m) i = Következmény. H Q m, illetve Q n képletek x-ben r-edfokú, y-bn s- edfokú polinomokt integrálnk pontosn, kkor Q m,n kvdrtúr képlet olyn polinomokt integrál pontosn, melyek x-ben mximálisn r, y-bn pedig s-edfokúk. Tudjuk, hogy z ffin trnszformációk nem változttják meg kvdrtúr formul rendjét, így z integrációs trtománynk nem kell feltétlenül tégllpnk lennie, prlelogrmmán ugynolyn rendű pontossággl tudunk pproximálni.

22 2.1. Szorztszbály Péld. Tekintsük következő integrált: x 2 e x y 4 dxdy. Ennek értéke elemi úton meghtározhtó: 64 5 ( 1e 2 + 2e 2 ) Nézzük meg, hogy x és y esetében eltérő számú lppontot hsználv milyen értékek dódnk szorztszbályt lklmzv. A kvdrtúr formul legyen Guss-Legendre típusú, vgyis súlyfüggvény zonosn 1. A kpott értékeket következő táblázt fogllj össze: m \ n Ebben jól látszik kvdrtúr formulák első fejezetben már leírt tuljdonság, miszerint z lppontok számánk növelésével képlet egyre jobbn megközelíti z eredeti értéket Péld. Tekintsük most p(x) = x 8 y 8 polinomot, melyet következmény mitt szorztszbályt Guss kvdrtúr formulávl lklmzv már nem fogunk tudni pontosn kiintegrálni. Elemi úton meghtározv, z integrál értéke közelítőleg: Az előző péld táblázt ekkor következőképpen néz ki: m \ n A tenzorszorzt formulák nem optimálisk bbn z értelemben, hogy nem legkevesebb függvénykiértékelést hsználják dott rend eléréséhez vgyis z lpontok szám viszonylg sok. Például egy ötödfokú polinom esetében következmény lpján tudjuk, hogy leglább 9 pont kell hhoz, hogy szorztszbály pontosn kiértékelje polinomot. Azonbn direkt formulánál (Q = n w if(x i, y i )) már elég

23 2.4. Integrálás szimplexeken 18 7 pont is, hiszen összesen 21 drb monomiált 1 kell kiértékelni, szbd változók szám pedig szintén 21 (w i, x i, y i, hol i = 1,...,7). Nyilván z integrációs trtomány nem feltétlenül egy tégllp. Ekkor úgy járhtunk el, hogy egy tégllpos rácsot borítunk trtományr, és nnk pontjibn integrálunk. Pontosbb eredményt kpunk zonbn, h z Ω trtományt háromszögekkel közelítjük Integrálás szimplexeken A háromszögeken vló integrálás fontosság bból dódik, hogy jól lehet velük közelíteni bonyolultbb felületeket is. Emellett z ilyen lkztokon történő integrálás végeselem módszerek egyik fontos eszköze. Az lklmzott eljárások zonbn bizonyos tekintetben komplikáltbbk, mint zt téglák esetében láttuk. A következő részben ismertetek néhány, háromszögön értelmezett f függvény integráljánk közelítő meghtározásár szolgáló módszert Integrációs trtomány trnszformálás Az első, természetes módon dódó megközelítés, hogy trnszformáljuk át z integrációs trtományt egy tégllppá, min már z előző részben tárgylt módszerek lklmzhtók. Vgyis tekinthetjük z 1 ( x ) 1 1 f(x, y) dy dx = x f(x, tx) dtdx. (2.5) integráltrnszformációt, hol z y = xt helyettesítést hsználtuk. Ez z ún. Duffytrnszformáció (Duffy, 1982). Erre pedig már lklmzhtjuk z előző részben ismertetett szorztszbályt: Q m,n (f) := m n w i w j f(x j, t i x j ) (2.6) j= Az következmény mitt ennek polinomnk rendje külön-külön vett interpolációs kvdrtúr formulák rendjének minimum. Amennyiben z lppontok 1 Monomiál ltt kétváltozós esetben cx y b lkú polinomokt értjük (, b N, c R), fenti példábn + b 5.

24 2.4. Integrálás szimplexeken 19 számát egyenlően válsztjuk meg, vgyis m = n, kkor z ún. Stroud-féle knonikus szorztszbályhoz jutunk: Állítás. H z (2.6) kvdrtúr formulábn m = n, kkor hhoz, hogy kvdrtúr formul d-edrendben pontos legyen, leglább n = (d+1)2 4 lppont kell, h d pártln. Bizonyítás. Nyilván z lppontok szám külön x, illetve y szerint vett lppontok számánk (n 1 és n 2 ) lesz szorzt. A következmény szerint, z előző fejezetben minimálisn szükséges pontok számáról írtk mitt két tengelyen vett lppontok számánk meg kell egyeznie, és d-edrendű pontosság esetén ez d = 2n 1 1 = 2n 2 1. Kifejezve n 1 -et és n 2 -t, kpjuk: ( ) d + 1 n = n 1 n 2 =. 2 Az imént ismertetett metódus háromszögön vló integrálásnk zonbn csk egy közvetett módszere. Tekintsünk egy másik, még mindig szorztszbályt hsználó metódust Tükrözéses módszer Létezik más megoldás is, mellyel továbbr is szorztszbályt lklmzv egy háromszögön értelmezett f függvény integrálját közelíthetjük. Vegyünk egy tetszőleges ilyen lkztot síkon. Tudjuk, hogy bármilyen háromszög egy ffin trnszformációvl tetszőleges másik háromszögbe képezhető úgy, hogy z megőrzi kvdrtúr formul rendjét (Stroud, 1971). Ezt kihsználv tegyük következőt: z előbbi háromszöget képezzük (,), (,1) és (1,) pontokkl dott derékszögű háromszögre. Ezt követően tükrözzük z lkztot z átlór, így egy 1 oldlhosszúságú négyzetet kpunk. A tükrözésnél feldtunk olyn A mátrix és b vektor keresése, mely esetében tükrözött háromszög minden pontjár (y) fennáll, hogy y = Ax + b,

25 2.4. Integrálás szimplexeken 2 hol x z előbb megdott három pontr képezett lkzt tetszőleges koordinátáj. A (,), (,1) és (1,) pontokt z egyenletbe helyettesítve kpjuk, hogy 1 2 = 1, b 1 = b 2 1 Természetesen tükrözéssel függvényértékeket is megfelelő módon hozzárendeltük tükrözött háromszög pontjihoz. Ezt követően ezen négyzeten lklmzzuk z előző részben ismertetett szorztszbály, z így kpott közelítő értéket pedig osszuk le kettővel. Így z eredeti háromszögön vló integrálnk szintén egy közelítését kptuk meg Péld. Vizsgáljuk meg z x 2 y 2 polinomr z iménti szbályt, különböző lppontszámok mellett. Ekkor következőket kpjuk: m \ n Elemi úton meghtározv z integrál értékét t kpunk. Viszonylg ponttln közelítésnek tűnik z eredmény. Ennek ok, hogy és tételek következtében ngyobb lppontszám mitt fellépő konvergenci csk csk polinomok esetében biztosított, zonbn tükrözés eredményeképp csk szkszonkénti polinomokt kpunk Dunvnt pontok Az első fejezetben ismertetett okokból háromszögön vló integrálás is polinomokon vló pproximációhoz köthető. A közelítő formulát ilyen lkztok esetében is z (1.2) képletnek megfelelő lkbn keressük. Az (x i, y i ) pontpárokt és w i súlyokt (i =,..., n) továbbr is úgy válsztjuk meg, hogy formul pontos lesz dott fokszámú polinomokr. H p 1, p 2,..., p M polinomok bázisát lkotják Pd 2-nek (vgyis kétváltozós, legfeljebb d-edfokú polinomok terének), kkor d-edrendű kubtúr formulát egy egyenletrendszer, z ún. momentum egyenletek htározzák

26 2.4. Integrálás szimplexeken 21 meg. Ezekre tehát fennáll: I(p i ) = Q(p i ) := m w j p i (x j, y j ), hol i = 1,..., M, (2.7) j= és M = dim Pd 2 = 1 2 (d2 +3d+2), vgyis legfeljebb d-edfokú kétváltozós monomiálok szám. Itt bl oldlon álló momentumok ismertek, jobb oldlon álló formulábn lévő x i -k, y i -k és w i -k zonbn nem. A fenti M drb egyenletet tekintve két lehetőség vn z integrál közelítő meghtározásár: közvetlenül oldjuk meg ezeket nemlineáris egyenleteket olyn polinomokt keresünk, melyek eltűnnek formul lppontjibn Ez utóbbi eljárás egy dimenzióbn ngyon htásos eljárás volt, viszont háromszögeken ngyon nehéz ilyen polinomokt tlálni. Azonbn mégis ennek megközelítésnek z eredménye következő tétel (Rsputin, 1983 és Stroud, 196): Tétel. Egy d-edrendű kubtúr formulábn z lppontok minimális számár (m) háromszögeken vló integrálás esetén következő teljesül: m = m = (d + 2)(d + 4), h d páros, (2.8) 8 (d + 1)(d + 3) d + 1 +, h d pártln. (2.9) 8 4 A továbbikbn tekintsük momentum egyenletek megoldásánk első megközelítését. Ennek kpcsán kubtúr formulákr háromszög szimmetriájánk kihsználásávl értek el fontos eredményeket ebben témkörben. Ez ugynis lehetővé teszi, hogy momentumok egyenletek szám és így számításigény jelentősen csökkenjen. Egy háromszög szimmetricsoportján ht lineáris trnszformációt értünk, melyek egy meghtározott háromszöget önmgáb képeznek. Az egyenlő oldlú háromszög esetében ezek trnszformációk z ún. diédercsoportot (D 3 ) lkotják, mely ht elemű: z zonos oldlú háromszög esetén z identitásból, három, mgsságvonlr történő tükrözésből és két forgtásból áll, ezek mátrixi:

27 2.4. Integrálás szimplexeken 22 1, cos 2π 3 sin 2π 3 1 sin 2π 3 cos 1, cos 4π 3 sin 4π 3 1 sin 4π 3 cos sin 2π 3 sin 4π 3, cos 2π sin 2π 3 3 sin 2π cos 3 sin 2π 3, cos 4π 3 sin 4π 3 sin 4π 3 cos sin 4π 3,. Vezessük be következő definíciót: Definíció (D 3 -invriáns polinom). Legyen p tetszőleges, egyenlő oldlú háromszögön értelmezett polinom, g pedig D 3 egy eleme. Definiáljuk gp polinomot következőképpen: (gp)(x, y) = p(g 1 (x, y)). Ekkor zt mondjuk, hogy p polinom invriáns D 3 -r nézve, h minden g D 3 esetén (gp)(x, y) = p(x, y). Nyilván z ilyen polinomok hlmz nem üres, hiszen például 1, x 2 + y 2 vgy x 3 3xy 2 rendelkeznek ezzel tuljdonsággl. A momentum egyenletek számánk csökkenését következő két tétel fogj biztosítni Tétel. Legyen p egy tetszőleges polinom z egyenlő oldlú háromszögön. Definiáljuk ˆp-t következőképp: ˆp(x, y) = 1 D 3 g D 3 (gp)(x, y), hol D 3 diédercsoport elemszámát jelöli, vgyis 6. Ekkor p(x, y) dxdy = ˆp(x, y) dxdy. Ez tétel következik bból, hogy minden fenti mátrix determináns Tétel (Wndzur és Xio, (23)). H p tetszőleges, R-en definiált polinom, kkor z előző tételben definiált ˆp polinom D 3 -invriáns. E két tétel következménye, hogy momentum egyenletek megoldás során elég D 3 -invriáns polinomokt tekinteni: p-nek z -n vett integrálj megegyezik

28 2.4. Integrálás szimplexeken 23 megfelelő módon ebből képzett ˆp ugynzon trtományon vett integráljávl, miről zonbn feltételezzük, hogy konstruált kvdrtúr formulánkkl pontos lesz. H háromszög szimmetriáit nem hsználnánk fel, kkor P 2 d bázisként következő monomiálokt kellene néznünk: x i y j, i + j d, Ebben z esetben momentumegyenletek szám 1 2 (d2 + 3d + 2). Ilyenkor zonbn számításigény ngyon ngy, ezért ennél egyszerűbb megoldásr vn szükség. A 6-s években jelentős előrelépéseket értek el szimmetri kihsználásávl. Kiderült, hogy (,), (,1), (1,) pontok áltl meghtározott háromszög esetében h kikötjük, hogy formul invriáns koordináták felcserélésére, kkor momentum egyenletek szám jelentősen csökkenthető, egészen 1 4 (d2 + 4d + 4) -r redukálódik. 2, 3, 4, 5, és 6-odfokú polinomokr léteznek ilyen formulák úgy, hogy (2.8)-ben tett lsó becslések élesek lesznek. Később, Lyness és Jespersen (1975) hsználták ki háromszög teljes szimmetriáját. Ők ( 1,), (1/2, 3/2) és (1/2, 3/2) pontok áltl meghtározott háromszöget tekintették. Nyilván ez invriáns z origó körüli, 2π/3-ml történő elforgtásr és z x-tengelyre vló tükrözésre. Ilyen módon momentum egyenletek számát képesek voltk leredukálni 1 12 (d2 + 6d + 12) -re. Dunvnt (1986) erre vontkozón végzett számításokt és htározott meg lppontokt egészen 2-drendű pontosságot biztosítv (2.1 táblázt) Péld. Vegyük ismét 2.5. példábn már vizsgált x 2 y 2 polinomot. Az elméleti értéke (,), (,1), (1,) pontokkl dott háromszögön integrálv Az eredményeket 2.2 táblázt muttj. Ahogy vártuk, Dunvnt pontokkl már ht kiértékelés segítségével pontos eredményt kptunk.

29 2.4. Integrálás szimplexeken táblázt. Dunvnt lppontji és súlyi ötödrendig Rend Alppontok (x, y) Súlyok n = 2 n = 3 n = 4 n = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , táblázt. Közelítő integrálás Dunvnt pontokkl Rend Alppontok Közelítő érték Abszolút hib Reltív hib (%)

30 2.4. Integrálás szimplexeken Newton-Cotes-formul két dimenzióbn Eljárhtunk következő végeredményét tekintve elsőre nem túl htékonynk tűnő módon is. Vegyük már vizsgált (,), (,1) és (1,) pontok áltl meghtározott háromszöget. Vezessünk be egy új koordinátrendszert, z ezáltl meghtározott tetszőleges pont legyen (L 1, L 2, L 3 ). A hgyományos Descrtes-féle koordinátrendszerhez következőképpen kpcsolódjon: x = L 1 x 1 + L 2 x 2 + L 3 x 3 (2.1) y = L 1 y 1 + L 2 y 2 + L 3 y 3 (2.11) 1 = L 1 + L 2 + L 3, (2.12) hol (x, y) tetszőleges, Descrtes-koordinátrendszerbeli pont, esetünkben pedig (x 1, y 1 ) = (,), (x 2, y 2 ) = (1,) és (x 3, y 3 ) = (,1). Nyilván egy tetszőleges (L 1, L 2, L 3 ) hármshoz egyértelműen hozzárendelhető egy hgyományos koordinátrendszerbeli pont. Oldjuk meg most fenti egyenletrendszerünket: L 1 = 1 + b 1 x + c 1 y, (2.13) 2 L 2 = 2 + b 2 x + c 2 y, (2.14) 2 L 3 = 3 + b 3 x + c 3 y, (2.15) 2 hol = 1 2 vgyis háromszög területe, 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3, 1 = x 2 y 3 x 3 y 2, b 1 = y 2 y 3, c 1 = x 3 x 2 2 = x 1 y 3 x 3 y 1, b 2 = y 3 y 1, c 2 = x 3 x 1 (2.16) 3 = x 2 y 1 x 1 y 2, b 3 = y 2 y 1, c 3 = x 2 x 1. L i x-től és y-tól függ, bricentrikus koordinátánk nevezzük. Tekintsük először zt z esetet, mikor háromszög három csúcspontját hsználjuk lppontnk. Esetünkben = 1, x 2 1 =, x 2 = 1, x 3 =, y 1 =, y 2 = és

31 2.4. Integrálás szimplexeken 26 y 3 = 1. Ekkor fenti képletek lkr egyszerűsödnek le. L 1 = 1 x y, L 2 = x, L 3 = y (2.17) Láthtó, hogy ezek háromszög egyik csúcspontjábn 1-et, többiben nullát vesznek fel. Az ilyen tuljdonságokkl bíró függvényeket formfüggvényeknek nevezzük. Vegyük észre, hogy z f függény pproximálhtó ezek segítségével, hiszen: f(x, y) 3 f(x i, y i )L i (x, y), i=1 mire teljesül, hogy f(x i, y i ) = f(x i, y i ) (i = 1,2,3). Integrálv mindkét oldlt: I(f) 3 i=1 f(x i, y i ) L i (x, y) dx dy =: 3 f(x i, z i )w i kpjuk. Htározzuk most meg z így értelmezett w i súlyokt. Ez zonnl dódik következő formulából (Eisenberg, 1973): L 1L b 2L c! b! c! 3 = ( + b + c + 2)! 2. (2.18) Ezt és (2.17)-t felhsználv kpjuk: w := L 1 = i=1 L 2 = L 3 = 1 6 Ezeket formfüggvényeket súlyokként felhsználv z I(f) 3 i=1 (2.19) wf(x i, y i ) = 1 6 f(,) f(1,) + 1 f(,1) (2.2) 6 módon értelmezett kvdrtúr képlet z dott helyen értelmezve első rendű formul. Nézzük meg gykorlti lklmzásokbn fontos 6 lppontszám esetét is. Ekkor csúcspontok mellett vegyük z oldlfelező pontokt is, összesen 6 pontot. Az előbb formfüggvények mguk bricentrikus koordináták voltk. Most zonbn z oldlfelező pontokr is megkötéseket kell tennünk, így formfüggények (Φ i ) következők ( formfüggvények meghtározásánk áltlánosításáról lásd Zienkiewitz, 2, 181. o.): Φ i = (2L 1 1)L 1 (i = 1,2,3), Φ i = 4L 1 L 2 (i = 4,5,6) (2.21)

32 2.4. Integrálás szimplexeken 27 Hsonlón járunk el mgsbb rendű pproximációnál is. Az lppontok megválsztás következőképpen történik (mely egyben kétdimenziós Newton-Cotesformul lppontjit definiálj): Definíció (Kétdimenziós Newton-Cotes-formul lppontji). n-edrendű pontosságot feltételezve feltételezve Newton-Cotes-formul lppontjink helyzete következő: háromszög csúcspontji 3(n 1) különböző pont háromszög élein 1 (n 2)(n 1) különböző pont háromszög belsejében 2 A háromszög oldlit n növelésével felezzük, hrmdoljuk, stb., belső pontok pedig z egyes oldlkkl párhuzmosn, egymástól egyenlő távolságbn helyezkednek el (lásd ábr) ábr. Kétdimenziós Newton-Cotes-formul lppontji n = 4 és n = 5 esetén Az előbb ht lppont esetét tekintettük, ennyi lpponttl zonbn csk másodrendű pontosság biztosíthtó. Ezt igzolj következő állítás: Állítás. A kétdimenziós Newton-Cotes-formul esetén n-edrendű pontosság eléréséhez (n+1)(n+2) 2 drb lppont szükséges. Bizonyítás. A pontok áltlunk válsztott elhelyezése mitt z összes, P 2 d bázisként dódó monomiálr, vgyis: x i y j, i + j n,

33 2.4. Integrálás szimplexeken 28 lkú polinomokr pontosnk kell lenni formulánknk. Ilyenből pedig pontosn (n+1)(n+2) 2 különböző vn Három dimenzió A gykorltbn kettő mellett háromdimenziós esetek fordulnk elő leggykrbbn. Prlelepipedonok esetében hsználhtjuk már említett szorztszbályt. Háromszor lklmzzuk Q m (F ) = m w(m) i pontú egydimenziós kvdrtúr képletet. Ekkor F (ξ (m) i ) 1 F (ξ) dξ lkú, m Q m,n,o (f) := b 2 m w (m) d i c i i 2 n j= w (n) e j f j j 2 o k= w (o) k f(x(m) i, y (n) j, z (o) k ), (2.22) hol c i := c(x (m) i ), d i := d(x (m) i ), e j := e(x (m) i, y (n) j ), f j := f(x (m) i, y (n) j ), y (n) j := = (d i c i )ξ (m) i +(c i +d i ) és z (n) 2 k := (f j e j )ξ (m) j +(e j +f j ), mennyiben [ 1,1] [ 1,1] 2 [ 1,1]-en integrálunk. Speciális esetben ezen trtományon tégltestet tekintve képletünk már ismert lkr egyszerűsödik: Q m,n,o (f) := m n o j= k= w i w j w o f(x (m) i, y (n), z (o) ). (2.23) j k Tetréderek esetén már említett formfüggvények áltlánosítás útján nyerjük kétdimenziós Newton-Cotes-formul lppontjit. Oldjuk meg tehát következő egyenletrendszert: x = L 1 x 1 + L 2 x 2 + L 3 x 3 + L 4 x 4 (2.24) y = L 1 y 1 + L 2 y 2 + L 3 y 3 + L 4 x 4 (2.25) z = L 1 y 1 + L 2 y 2 + L 3 y 3 + L 4 x 4 (2.26) 1 = L 1 + L 2 + L 3 + L 4. (2.27) Ennek megoldás L i = i + b i x + c i y + d i z, 6V

34 2.7. Összehsonlítás 29 hol 1 x 1 y 1 z 1 1 x 6V = det 2 y 2 z 2, 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 x 2 y 2 z 2 1 y 2 z 2 1 = det x 3 y 3 z 3, b 1 = det 1 y 3 z 3, (2.28) x 4 y 4 z 4 1 y 4 z 4 x 2 1 z 2 x 2 y 2 1 c 1 = det x 3 1 z 3, d 1 = det x 3 y 3 1, (2.29) x 4 1 z 4 x 4 y 4 1 i = 2,3,4-re pedig z indexek megfelelő cseréjével dódnk z együtthtók. Miután tudjuk z egyes L i -ket, Φ i formfüggvények már meghtározhtók. Mjd kétdimenziós esethez hsonlón súlyokként felhsználv ezeket kpjuk: 3 3 I(f) f(x i, y i, z i ) Φ i (x, y, z) dx dy dz =: f(x i, y i, z i )w i i=1 A rendet vizsgálv bn megfoglmzott állítás három dimenziós megfelelője következő: Állítás. Három dimenzióbn Newton-Cotes-formulávl n-edrendű pontosság eléréséhez (n+1)(n2 +5n+6) 6 drb lppont szükséges. A tábláztbn néhány eltérő lppontszám esetére ismertetek súlyokt és lppontokt tetrédereken történő integráláshoz (z lppontok már ismertetett bricentrikus koordinátákkl vnnk megdv). M nnk számát, hogy z dott súlyhoz trtozó koordinát pontjit hányszor kell permutálni kvdrtúr képletben. i= Összehsonlítás A eddig tárgylt szbályokt érdemes egymássl összehsonlítni. A következő táblázt z egyes tárgylt szbályok dott rend eléréséhez minimálisn szükséges pontjink számát trtlmzz (2 dimenziór).

35 2.7. Összehsonlítás 3 Alppontok szám (rend) w i L 1, L 2 L 3, L 4 M n = 1 (1) n = 4 (2) n = 5 (3) n = 11 (4) táblázt. Alppontok és súlyok tetréderen történő integrálásnál Szbály \ rend Elméleti Dunvnt Szorztszbály Newton-Cotes táblázt. Alppontok szám különböző pontosság mellett A Dunvnt pontok tűnnek "leggzdságosbbnk" bbn z értelemben, hogy tetszőleges rend esetén legközelebb vnnk z elméleti értékhez. A kétdimenziós Newton-Cotes-formul lklmzás nem tűnik célszerűnek, hiszen dott rend eléréséhez jóvl több pontr, és zon történő kiértékelésre vn szükség, mint z előbbi esetben. Ennek ellenére h z integrál z így vizsgált pontok jelentős részében eltűnik

36 2.7. Összehsonlítás 31 (köszönhetően pontok elhelyezkedésének), kkor érdemes lehet ilyen pontokt lklmzni. Erre mutt példát következő fejezet.

37 3. fejezet Peremértékfeldtok gyenge megoldás végeselem módszerrel Az előbb leírt módszerek egyik legfontosbb lklmzás peremértékfeldtok gyenge (áltlánosított) megoldásánk végeselem módszerrel történő meghtározás során jelentkezik Az lpproblém és nnk elméleti háttere egy dimenzióbn Tekintsük következő másodrendű közönséges differenciálegyenletet z I = [,1] intervllumon: (pu ) + ku = f, (3.1) hol p p >, k k >, p, k L. Vegyük hozzá ehhez z ún. Dirichletperemfeltételt : u() = és u(1) = b. (3.2) Szűkítsük tovább megoldndó problémát z ún. homogén Dirichlet-feldtr z = b = megkötéssel. Alpfeldtunk tehát következő: (pu ) + ku = f u() = u(1) =. (3.3) 32

38 3.1. Az lpproblém és nnk elméleti háttere egy dimenzióbn 33 Ennek feldtnk klsszikus megoldásán egy u C 2 (,1) függvényt értünk. Gykrn zonbn gyengébb simsági feltételek teljesülnek p és k függvényekre. Vegyük példként következő feldtot I = [,1] intervllumon: u (x) = sgn(x) (3.4) u() = u(1) =. (3.5) Itt jobb oldlon csk szkszonként folytonos függvény áll, így klsszikus megoldás nem létezik. Azonbn z u(x) = x x 1 x olyn bszolút folytonos függvény, mely- 2 2 nek második deriváltj mjdnem mindenütt létezik, teljesíti peremfeltételeket és egyenlő sgn függvénnyel. Célszerű ezért klsszikus megoldásfoglom helyett egy másik gyengébb foglmt bevezetni. Vegyünk egy tetszőleges v H 1 (,1) függvényt, hol H 1 (,1) := {v L 2 [, 1] : v L 2 [,1], v() = v(1) = }. Szorozzuk be ezzel v-vel (3.3) jobb oldlát, mjd integráljunk I = [,1]-en. Ekkor 1 ( (pu ) v) + 1 kuv = 1 bl oldlánk első tgját prciálisn integrálv kpjuk: fv v H 1 (,1), (3.6) 1 (pu v + kuv) = fv }{{} } {{ } (u,v) 1 ϕ(v) v H 1 (,1). (3.7) Definíció (Gyenge megoldás). Az u H 1 (,1) függvényt (3.3) peremértékfeldt gyenge megoldásánk nevezzük, h teljesül minden v H 1 (,1)-re. (u, v) = ϕ(v) A fent definiált H 1 (,1) zárt ltere H 1 (,1) := {v L 2 [, 1] : v L 2 [, 1]}-nek, mely z u, v H 1 (,1) = 1 uv + u v sklárszorzttl ellátv Hilbert-tér. Vezessünk be néhány jelölést: u 2 := u 2 L 2 (Ω) = u 2 1 := u 2 = 1 1 u 2 (x) dx, (u (x)) 2 dx,

39 3.1. Az lpproblém és nnk elméleti háttere egy dimenzióbn 34 u 2 1 := u 2 H 1 (Ω) = u 2 + u 2 1, hol és 1 vlóbn norm, 1 pedig félnorm. Lássuk most be, hogy z így bevezetett 1 félnorm és 1 norm ekvivlensek. Nyilván teljesül, hogy v 2 1 = 1 (v (x)) 2 dx 1 (v (x)) 2 dx + u 2 = v 2 1 Emellett z így bevezetett normákr és félnormár igz következő tétel: Tétel (Poincre-Friedrichs egyenlőtlenség). Létezik olyn c >, hogy minden v H(,1)-r 1 v 2 1 = teljesül. 1 v 2 c 1 v 2 = c v Következmény. H(,1)-en 1 fent definiált félnorm és 1 norm ekvivlens, vgyis létezik olyn c > és C > úgy, hogy u H(,1) 1 esetén c u 1 u 1 C u 1. Vizsgáljuk most meg, mit mondhtunk bn definiált gyenge megoldás egyértelműségéről. Áltlánosítv problémát, legyen (, ) : V V R vgy C szimmetrikus, bilineáris függvény, melyre teljesülnek folytonos, zz (u, v) M u V v V u, v V, koercitív, zz (v, v) m v 2 V v V, tuljdonságok vlmilyen m, M > számokr. Ilyen feltételek mellett z (, ) skláris szorztot definiál V térben, u, v := (u, v), és z ebből szármzttott norm ( u = u, u ) ekvivlens z eredeti skláris szorztból szármzttott normávl, hiszen folytonosság és koercitivitás mitt m v 2 V (v, v) M v 2 V (3.8) Legyen továbbá ϕ : V R dott folytonos, lineáris funkcionál.

40 3.1. Az lpproblém és nnk elméleti háttere egy dimenzióbn Definíció (Absztrkt vriációs feldt). Olyn u V függvény keresése, melyre teljesül (u, v) = ϕ(v) v V -re. (3.9) Tétel. Az így definiált bsztrkt vriációs feldtnk minden ϕ folytonos lineáris funkcionál esetén létezik egyértelmű megoldás. Bizonyítás. ϕ folytonosság mitt lklmzhtó Riesz reprezentációs tétele. Vgyis egyértelműen létezik u V, melyre ϕ(v) = u, v = (u, v). Az egyértelműség belátásához tegyük fel, hogy létezik két megoldás: u 1 és u 2. Ezeket behelyettesítve -b, mjd kihsználv nnk lineritását kpjuk, hogy (u 1 u 2, v) = v V, tehát u 1 u 2 V -re is, vgyis (u 1 u 2, u 1 u 2 ) =. Felhsználv koercitivitását, = (u 1 u 2, u 1 u 2 ) m u 1 u 2 2 V dódik, mi nyilván csk u 1 u 2 =, zz u 1 = u 2 esetén lehetséges. Ellenőrizzük le tétel feltételeit z ben definiált gyenge megoldásr. A folytonosságot igzolndó ϕ(v) = 1 fv 1 f 2 1 v 2 f v f v 1, hol Cuchy-Schwrtz-egyenlőtlenséget, illetve z egyes normák definícióit hsználtuk fel. A lineritás htározott integrál tuljdonságit felhsználv triviálisn dódik. Tehát ϕ tényleg folytonos lineáris funkcionál. Hsonlón dódik -r szimmetri és lineritás. A folytonosság igzolásához hsználjuk fel, hogy p, k L, emitt létezik P, K > úgy, hogy P p(x) és K k(x) mjdnem minden x-re. Ekkor (u, v) = pu v + kuv pu v + kuv [ 1 1 ] mx{p, K} u v + uv M u 2 v 2 + u 2 v 2 = M[b + AB] = = M(, A)(b, B) T M( (, A) T (b, B) T ) M( 2 + A 2 b 2 + B 2 ) = M u H 1 (,1) v H 1 (,1), dódik, vgyis folytonosság is teljesül -r. A koercivitás z (u, u) = 1 p u k u 2 1 p u 2 p u 2 H 1(,1), c

41 3.2. Megvlósítás 36 egyenlőtlenségből dódik, hol felhsználtuk, hogy u 2 H 1 (,1) = 1 ( u 2 + u 2 ) (1 + 1 c ) 1 u 2, hol z egyenlőtlenség Poincré-Friedrichs egyenlőtlenségből következik Következmény. Az (3.7) vriációs feldtnk mindig létezik egyértelmű megoldás Megvlósítás Felmerül kérdés, hogyn keressük meg ezt megoldást. Ehhez diszkretizáljuk problémát. Tekintsük V h H 1 keresése, melyre véges dimenziós lteret. Feldtunk olyn u h (u h, v h ) = ϕ(v h ) v h V h. (3.1) -t és ϕ-t pedig szűkítsük le úgy V h -r, hogy továbbr is eleget tegyenek tétel feltételeinek. Ekkor igz következő tétel: Tétel. Az így definiált diszkrét problémánk mindig létezik egyértelmű megoldás. Kérdés: hogyn válsszuk meg V h teret úgy, hogy z u megoldást könnyen meg tudjuk htározni. Ehhez először prtícionáljuk z integrációs trtományt, vgyis [,1] intervllumot N részre: = x < x 1 <... < x N = 1, és vezessük be h i := x i x i 1, (i = 1,..., N) jelölést. Definiáljuk ezen Φ i függvényeket (i = 1,..., N 1) következőképpen: x x i 1 x i x i 1 x [x i 1, x i ], Φ i (x) := x i+1 x x i+1 x i x [x i, x i+1 ], egyébként, vgyis Φ i z x i pontbn 1-et vesz fel, két szomszédos trtományon egy elsőfokú polinom, egyébként pedig null (3.1 ábr). Az ilyen függényeket klpfüggvényeknek nevezzük. Legyen V h z ilyen függvények áltl kifeszített tér: V h := spn{φ 1,..., Φ N 1 }. Ekkor keressük megoldást u h (x) := N 1 i=1 c iφ i (x) lkbn, vgyis keressük meg

42 3.2. Megvlósítás ábr. Klpfüggvény zokt c i együtthtókt, melyekre teljesül (3.17). Az így definiált u h -t és egy tetszőleges Φ j -t (j = 1,..., N 1) (3.17)-b helyettesítve, vlmint kihsználv bilineritását egy lineáris egyenletrendszert kpunk: ( N 1 ) N 1 ϕ(φ j ) = (u h, Φ j ) = c i Φ i, Φ j = c i (Φ i, Φ j ), (j = 1,..., N 1). i=1 Mátrixos lkbn felírv: (Φ 1, Φ 1 ) (Φ 1, Φ 2 )... (Φ 1, Φ N 1 ) (Φ 2, Φ 1 ) (Φ 2, Φ 2 )... (Φ 2, Φ N 1 ) (Φ N 1, Φ 1 ) (Φ N 1, Φ 2 )... (Φ N 1, Φ N 1 ) i=1 c 1 c 2. c N 1 ϕ(φ 1 ) ϕ(φ = 2 ).. ϕ(φ N 1 ) A bl oldli együtthtómátrix jelentősen leegyszerűsödik, h észrevesszük, hogy i j > 1 esetén (Φ i, Φ j ) =, hiszen z definíciójábn szereplő integrndus mindkét tgj null lesz. Így egy tridigonális mátrixot kpunk, melynek nemnull elemei Φ i függények speciális megválsztás mitt elemi úton könnyen meghtározhtók: p h i + kh i, j = i 1 6 ( ) ( ) 1 p h ((Φ i, Φ j )) i,j := i + 1 h h i+1 + k i + h i+1, j = i 3 3 (3.11) p h i+1 + kh i+1, j = i egyébként

43 3.4. Az lpproblém és nnk elméleti háttere két dimenzióbn 38 A jobb oldl egyes komponenseinek meghtározás elemi úton áltlábn nem lehetséges. Ekkor lklmzhtjuk z első fejezetben ismertetett numerikus módszereket. Vgyis célunk ϕ(φ i ) = 1 fφ i meghtározás. Vegyük észre, hogy Φ i definíciój mitt [,1] helyett elég egy kisebb trtományon, [x i 1, x i+1 ]-n integrálni. Az imént ismertetett módszer konvergenciáját jellemzi következő tétel: Tétel. u u h 1 Ch u, hol u vriációs feldt pontos megoldás, u h pedig diszkrét vriációs feldt megoldás Péld. Vegyük következő feldtot: u (x) + u(x) = e x2 (3.12) u() = u(1) =. (3.13) Az egyszerűség kedvéért osszuk csk négy egyenlő részre z I = [,1] intervllumot. Ekkor (3.14)-be helyettesítve kpjuk: 97, j = i ((Φ i, Φ j )) i,j :=, j = i 6 97, j = i egyébként (3.14) Az 1 e x2 Φ i (x) dx tgokt z első fejezetben leírt módzserrel számítottm ki (ezt kifejteni). Ekkor következő dódik: c 1 c 2 c = Az egyenletrendszert megoldv kpjuk: c 1 =.169, c 2 =.94 és c 3 =.387, vgyis u h =.169Φ Φ 2.387Φ 3 lkbn dódik Az lpproblém és nnk elméleti háttere két dimenzióbn Tekintsük most z (3.3)-ben megfoglmzott lpfeldtot két dimenzióbn. A továbbikbn jelölések egyszerűsítése végett tegyük fel, hogy Ω = [,1] 2. Legyen

44 3.5. Megvlósítás 39 p p >, p L (Ω), k, k L (Ω), Γ = (Ω). Ekkor div (p u) + ku = f Ω n, (3.15) hol u = grd u = ( 1 u, 2 u). Az ehhez trtozó Dirichlet peremfeltétel: u Γ =. Az így definiált egyenlet peremfeltétellel együtt egy elliptikus prciális differenciálegyenlet. Az előző részben leírtkhoz hsonlón vegyünk egy elég sim v H 1 (Ω) függvényt, mire teljesül v Γ =. Szorozzuk be ezzel (3.15) mindkét oldlát, mjd integráljunk Ω-n. Felhsználv, hogy v peremen null, Guss tételéből következik z ( div (p u))v dω = p u vdω egyenlőség. Ezt z előbbi integrálb helyet- Ω Ω tesítve kpjuk: Ω p u v dω + Vezessük be következő jelöléseket: (u, v) := p u v dω + Ω Ω kuv dω = Ω Ω fv dω. kuv dω, ϕ := Ω fv dω. Az egydimenziós esethez hsonlón beláthtó, hogy z így értelmezett folytonos, lineáris és koercitív, ϕ pedig folytonos. Ezen tuljndonságok fennállás esetén beláthtó megoldás egyértelműsége is. Célunk tehát ismét olyn u függvény keresése, melyre teljesül (u, v) = ϕ(v) v V -re. (3.16) 3.5. Megvlósítás Az egydimenziós esethez hsonlón megoldást ismét diszkretizálás útján nyerjük. Tekintsük V h H 1 véges dimenziós lteret. Feldtunk ismét olyn u h keresése, melyre (u h, v h ) = ϕ(v h ) v h V h. (3.17) -t és ϕ-t szűkítsük le úgy V h -r, hogy továbbr is eleget tegyenek tétel feltételeinek. Ekkor igz következő tétel: Tétel. Az így definiált diszkrét problémánk mindig létezik egyértelmű megoldás.