Varga Zsolt. Numerikus integrálás

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Vrg Zsolt Numerikus integrálás BSc Szkdolgozt Témvezet : Dr. Hvsi Ágnes Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék Budpest, 2017

2 Köszönetnyilvánítás Els sorbn szeretnék köszönetet mondni témvezet mnek, Hvsi Ágnesnek, ki ötleteivel, hsznos tnácsivl és lelkesedésével ngyon sokt segített. Kérdéseimre mindig legngyobb türelemmel és pontossággl válszolt. Ngyon hálás vgyok, hogy bármilyen npszkbn fordulhttm hozzá, mindig készségesen és szinte zonnl segített. Továbbá szeretném megköszönni Mónikánk, csládomnk és brátimnk, kik tnulmányim során folymtosn biztttk és támogttk. 2

3 Trtlomjegyzék 1. A numerikus integrálás lpfeldt 4 2. NewtonCotes-kvdrtúrformulák Zárt NewtonCotes-formulák Nyílt NewtonCotes-formulák Az interpolációs kvdrtúrformulák pontosság Összetett kvdrtúrformulák Összetett trpézformul Összetett érint formul Összetett Simpson-formul Az összetett módszerek konvergenciáj Romberg-módszer Richrdson-extrpoláció Romberg-módszer A Romberg-módszer progrmozás MATLAB-bn Romberg-módszer összetett érint formulávl Összefogllás 31 3

4 1. fejezet A numerikus integrálás lpfeldt H egy [, b] intervllumon z f függvény integrálhtó, és vn ezen z intervllumon primitív függvénye, kkor z integrál értéke NewtonLeibnitz-tétel lpján számolhtó: f(x)dx = F (b) F (). Azonbn el fordulht, hogy fenti képlettel nem tudjuk meghtározni z integrált. Lehetséges, hogy nem tudjuk zárt lkbn el állítni z f függvény primitív függvényét. Ez helyzet például z e x2 függvény esetében. De megtörténhet, hogy z f függvényt sem ismerjük z egész [, b] intervllumon, csk nnk néhány pontjábn, vgy egyszer en csk olcsóbb és htékonybb függvény integrálját közelíteni, mint pontosn kiszámolni. Ekkor hsználhtunk numerikus integrálási módszereket, melyek segítségével közelíthetjük z integrál pontos értékét. Interpolációs típusú integrálási módszernek zokt z eljárásokt nevezzük, melyek során keresett függvénynek el ször el állítjuk z interpolációs polinomját, mjd z így kpott polinom integráljávl közelítjük z eredeti függvény integrálját. A kés bbiekben ezt módszert úgy módosíthtjuk, hogy z eredeti intervllumot részintervllumokr osztjuk, és részintervllumonként végezzük közelítést. Az ilyen típusú módszereket nevezzük kés bbiekben összetett módszereknek. Tegyük fel, hogy egy f függvény értékeit ismerjük egy [, b] intervllum néhány pontjábn. Ezen pontokt lppontoknk nevezzük: x 0 < x 1 < < x n b. 4

5 A függvényértékek pedig legyenek ezekben z lppontokbn következ ek: f 0 = f(x 0 ), f 1 = f(x 1 ),..., f n = f(x n ). Jelölje I(f) z integrál pontos értékét, és induljunk ki Riemnn-integrál de- níciójából, mely szerint I(f) = f(x)dx = lim n n k=1 f(ξ k) x k, hol x k k-dik részintervllumot jelöli, ξ k pedig k-dik részintervllum egy tetsz leges pontj. Mivel ξ k tetsz leges, ezért legyen x k, ekkor z I(f) n f(x k ) x k (1.1) k=1 közelítéshez jutunk. Vegyük észre, hogy z integrál közelítésének ez képlete z f(x k ) értékek lineáris kombinációj x k súlyokkl Deníció. Egy közelít integrálási formulát lineáris kvdrtúrformulánk nevezük, h z f függvény integrálját f dott x 0,..., x n pontbeli értékeinek lineáris kombinációjávl közelíti, vgyis I n (f) = n k f(x k ) (1.2) k=0 lkbn, hol k, k = 1, 2,..., n dott vlós számok. Az (1.2) formul is lineáris kvdrtúrformul, hol speciálisn k = x k. A hibát következ képpen számíthtjuk ki, h ismerjük z eredeti függvény integráljánk z értékét: e n (f) = I(f) I n (f). (1.3) A közelít integráltól elvárjuk, hogy könnyen számolhtó legyen, illetve hib legyen "kicsi". Továbbá szeretnénk biztosítni vlmilyen konvergenciát is: minél s r bben veszünk fel osztópontokt, nnál kisebb legyen hib, illetve megfelel felosztássl dolgozv hib legyen tetsz legesen kicsivé tehet. 5

6 2. fejezet NewtonCotes-kvdrtúrformulák Deníció. Egy kvdrtúrformulát r 1-ed rendben pontosnk nevezünk, h f P r 1 polinomr e n (f) = 0, de f P r, melyre e n (f) Deníció. Az (1.2)-es kvdrtúrformulát interpolációs kvdrtúrformulánk nevezzük, h z f(x) függvény interpolációs polinomjánk integrálásávl állítjuk el Deníció. Az ekvidisztiáns, tehát zonos lépésköz lppontokon értelmezett interpolációs kvdrtúrformulákt NewtonCotes-féle interpolációs kvdrtúrformuláknk nevezzük Deníció. H z (1.2)-es formulábn x 0 = és x n = b, kkor kvdrtúrformulát zártnk nevezzük. Ellenkez esetben nyílt kvdrtúrformuláról beszélünk Zárt NewtonCotes-formulák Az el bb már bevezettük zárt és nyílt NewtonCotes-formulákt, most nézzük meg, hogyn is állíthtók el ezek kvdrtúrképletek. A kvdrtúrformul képlete z lppontokr illesztett interpolációs polinom integráljánk z értékét dj. Legyen L n (x) z interpolációs polinom. Ekkor f(x) L n (x), f(x) I n (f) 6

7 és I n (f) = L n (x)dx = k=0 n f k l k (x)dx = n f k l k (x)dx. (2.1) }{{} k=0 k Tehát z k súlyokt k-dik Lgrnge-féle lppolinom integráljként kphtjuk meg: k = l k (x)dx, k = 0,..., n. (2.2) A (2.2) kifejezésb l következik, hogy (2.1)-es formul jobb oldl egy interpolációs kvdrtúrformul, hiszen z k együtthtókt z f(x) függvény Lgrnge-féle interpolációs polinomjánk z integrálásávl állítjuk el. Most x helyére helyettesítsük be z + t(b ) kifejezést [1], hol t [0, 1]. k = l k (x)dx = (b ) 1 0 l k ( + t(b ))dt =: (b )N n,k zárt. A trpézformul z egyik legegyszer bb módj z integrál becslésének. Nézzük meg fent bevezetett N n,k zárt szimbólum értékét speciálisn, n = 1 esetben. Itt rögtön be is helyettesíthetjük z x 0 = és x 1 = b végpontokt. l k = n j=0 j k x x j x k x j, l 0 = x b b, l 1 = x b N 1,0 zárt = 1 N 1,1 zárt = 0 1 l 0 ( + t(b ))dt = 0 1 l 1 ( + t(b ))dt = + t(b ) b dt = b t(b ) dt = b (1 t)dt = 1 2 = tdt = 1 2 = 1 Tehát közelít integrál z lábbi képlet lpján számolhtó, és ezt nevezzük trpézformulánk: Az N n,k zárt I 1 (f) = (b ) 1 2 f() + (b )1 2 + f(b) f(b) = (b )f(). (2.3) 2 szimbólum n = 2 esetében három lppont segítségével közelíthetjük z integrált, melyek z x 0 =, x 1 = +b 2 és z x 2 = b pontok lesznek. A számolás 7

8 2.1. ábr. A trpézformul és Simpson-szbály szemléltetése z exp( x 2 ) függvény példáján [ 1, 1] intervllumon. A piros terület ngyság módszerek áltl dott 2 közelít integrál. A trpézformul két lppontj: x 0 = 1 2 és x 1 = 1. A Simpsonszbály három lppontj: x 0 = 1 2, x 1 = 1 4 és x 2 = 1. fentihez ngyon hsonló módon történik, végeredményül pedig Simpson-formulát kpjuk: f() + 4f(+b 2 I 2 (f) = (b ) ) + f(b). (2.4) 6 Láthtjuk, hogy z együtthtók csk k és n számoktól függnek, ezért ezeket el re kiszámolhtjuk. Az lábbi tábláztbn z els négy zárt NewtonCotes-formul együtthtói szerepelnek. k = 0 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 Trpéz-módszer n = 1 1 /2 1 /2 Simpson-módszer n = 2 1 /6 4 /6 1 /6 Simpson 3 /8-d módszer n = 3 1 /8 3 /8 3 /8 1 /8 Boole-módszer n = 4 7 /90 32 /90 12 /90 32 /90 7 / táblázt. Az els négy zárt NewtonCotes-formul együtthtói 2.2. Nyílt NewtonCotes-formulák A nyílt NewtonCotes-formulák esetén z [, b] intervllumnk leglább z egyik végpontj nem interpolációs lppont. Ugynkkor szomszédos osztópontok még 8

9 mindig egyenl, h távolságr vnnk egymástól. Tekintsük zt speciális esetet, mikor egy osztópontunk vn, ez pedig szükségszer en z intervllum felez pontj: x 0 = +b 2. f(x)dx f(x 0 ) l 0 (x)dx Az l 0 (x) egy null tényez s szorzt, melynek értéke 1, így z integrál (b )-vl lesz egyenl. Az érint formul ebb l dódón: ( ) + b I 0 (f) = f (b ), 2 mely egy b hosszú és f( +b ) mgs tégllp területét dj meg. Ez pedig megegyezik z (x 0, f 0 ) pontb húzott érint ltti területtel z [, b] intervllumon, 2 ezért is nevezik érint formulánk ábr. Az érint formul szemléltetése z exp( x 2 ) függvény segítségével [ 1 2, 1] intervllumon. A piros terület ngyság módszer áltl dott becslés. A formul lppontj z x 0 = 1 4. A súlyok kiszámolás több lppont esetén is fentihez hsonlón történik. Mivel két végpontot nem trtlmzz formul, ezért n lppont esetén h távolság b n+2 -ként dódik, és hsonlón zárt formulákhoz, itt is z (x i, f i ), i = (0, 1,..., n) pontokr illesztett interpolációs polinom integrálját kell megdnunk. Ehhez továbbá még rr vn szükségünk, hogy végpontokt = x 1 és b = x n+1 módon deniáljuk. Így x i = + (i + 1)h, i = 1,..., n

10 A módszer súlyit több lppont esetén fentihez hsonlón számolhtjuk, zokt 2.2. tábláztbn közöljük [2]. Érint -módszer Nyílt trpéz-módszer Milne-módszer Gillentor szbály Lépésköz Formul h = b (b )f 2 1 h = b (b ) (f f 2 ) h = b (b ) 4 h = b 5 (2f 3 1 f 2 + 2f 3 ) (b ) (11f f 2 + f f 4 ) 2.2. táblázt. Az els négy nyílt NewtonCotes-formul Megjegyzés. A Simpson-formul el állíthtó z érint formul és trpézformul megfelel súlyozásávl: 2 ( ( + b ) ) f (b ) + 1 ( f() + f(b) ) (b ) = = 4 ( ( + b )) (b )f + 1 (f() + (f(b))(b ) = = 1 ( + b ) 6 (b )(f() + 4f + f(b)) Az interpolációs kvdrtúrformulák pontosság Tétel. Egy n+1 pontr támszkodó lineáris kvdrtúrformul kkor és csk kkor pontos legfeljebb n-ed fokú polinomokon, h interpolációs kvdrtúrformul, zz k = l k (x)dx, k = 0, 1,..., n. Bizonyítás. El ször nézzük meg, hogy h interpolációs kvdrtúrformul, bból következik-e, hogy pontos minden legfeljebb n-ed fokú polinomr. Belátndó, hogy f(x)dx = n k=0 kf(x k ), h k = l k(x)dx. Ez pedig nyilván igz, mert egy legfeljebb n-ed fokú polinom n + 1 lppontr támszkodó interpolációs polinomj sját mg. Most tegyük fel, hogy f P n esetén pontos kvdrtúrformul. Belátndó, hogy ekkor k = l j(x)dx. Legyen l j (x) j-edik Lgrnge-interpolációs lppolinom, mely legfeljebb n-ed fokú polinom, tehát kvdrtúrformul pontos lesz rá, 10

11 zz l j (x)dx = n k l j (x k ) = j. k=0 Itt felhsználtuk, hogy l j (x i ) = 0, kivéve, h k = i, mert kkor 1. Tehát súlyok Lgrnge-féle lppolinomok integrálji Következmény. Az n + 1 pontr támszkodó interpolációs kvdrtúrformul pontossági rendje n + 1. Azt már tudjuk, hogy kvdrtúrképleteink pontos integrált dják n + 1 lppont esetén legfeljebb n-ed fokú polinomok körében. Azonbn érdemes zt is megvizsgálni, hogy tetsz leges függvény integráljánk közelítésekor mekkor hib keletkezik. Vegyük például trpézformulát és hibáját. e(f) = e(f) = e(f) = I(f) I T (f) f() + f(b) f(x)dx (b ) 2 f(x) L 1 (x)dx = = f(x) L 1 (x)dx f (ξ x ) (x )(x b)dx 2! Láthtó, hogy Lgrnge-féle interpolációs polinom hibáját kell integrálnunk, hol ξ egy x ponttól függ konstns. Mivel szorzt integráljár nincs áltlános szbály és ebben formábn integrálni sem tudunk, szükségünk vn z lábbi tételre, hogy szorzt els tényez jét z integrál elé vigyük: Tétel. H φ egy [, b]-n integrálhtó el jeltrtó függvény, és g folytonos z [, b] intervllumon, kkor vn olyn η [, b], hogy φ(x)g(x)dx = g(η) φ(x)dx. (2.5) Megfelel helyettesítéssel, tudv, hogy f (ξ x) 2! folytonos, z lábbikt kpjuk: e(f) = f (η) 2! (x )(x b)dx 11

12 (x )(x b)dx = (x 2 ( + b)x + b)dx [ x 3 ] b [ x 2 ] b [ ] b = ( + b) + b x 3 2 = 1 3 (b3 3 ) + b 2 (b2 2 ) + b(b ) = 1 3 (b )(2 + b + b 2 ) 1 2 (b )( + b)2 + b(b ) = 1 6 (b )(22 + 2b + 2b 2 3( + b) 2 + 6b) = 1 6 (b )( 2 + 2b b 2 ) = 1 (b )3 6 Tehát trpézformul hibájár következ képletet nyertük: Érvényes tehát következ tétel: e(f) = f (η) 12 (b )3. (2.6) Tétel. Legyen f C 2 [, b]. Ekkor létezik olyn η [, b] pont, melyre I(f) I T (f) = f (η) 12 (b )3. (2.7) Hsonlón eljárv z érint formul és Simpson-módszer hibájár következ ket kpjuk: Tétel. Az érint formul képlethibáj f C 2 [, b] függvények esetén I(f) I E (f) = f (η) 24 (b )3. (2.8) Tétel. A Simpson-módszer képlethibáj f C 4 [, b] függvények esetén I(f) I S (f) = f (4) (η) 2880 (b )5. (2.9) A fenti tételek ritkán lklmzhtók, hiszen tételekben szerepl η pontról csk nnyit tudunk, hogy z [, b] intervllum vlmely pontj, de nem 12

13 ismeretes, hogy melyik. Így z egyenl ség jobb oldlát nem tudjuk kiértékelni, és hibát csk becsülni tudjuk. Segítségképpen vezessünk be egy új jelölést: tegyük fel, hogy f (x) C[,b] M 2, hol M 2 egy pozitív konstns. Ilyen biztosn létezik, mert f kétszer folytonosn dierenciálhtó, ezért második deriváltj korlátos z [, b] intervllumon. Ennek segítségével következ hibbecslésekhez jutunk: A trpézformul hibbecslése: Az érint formul hibbecslése: Az Simpson-formul hibbecslése: I(f) I T (f) M 2 12 (b )3. (2.10) I(f) I E (f) M 2 24 (b )3. (2.11) I(f) I S (f) M (b )5, (2.12) hol M 4 z f függvény bszolút értékben vett negyedik deriváltjánk egy fels korlátj z [, b] intervllumon. 13

14 3. fejezet Összetett kvdrtúrformulák Azt már láttuk, hogy z lppontok számánk növelésével új közelítéseket kphtunk, melyek közelebb lesznek keresett integrálhoz. Ahhoz, hogy tetsz leges pontosságot elérhessünk, osszuk fel vizsgált intervllumot egyenl részekre, mjd ezen részintervllumokon végezzük el z el bbi közelítéseket. Így kpjuk z ún. összetett formulákt. Ezt témkört Frgó István és Horváth Róbert Numerikus módszerek jegyzete lpján ismertetjük [1] Összetett trpézformul Legyen f egy integrálhtó függvény z [, b] intervllumon. Ezt z intervllumot osszuk fel egyenl részekre, és jelöljük h-vl egy részintervllum hosszát, ekkor h = (b )/n. Az osztópontok legyenek következ ek: = x 0 < x 1 < < x n = b. Az f függvény integráljár ekkor igz következ dditivitási tuljdonság: n xi f(x)dx = f(x)dx. (3.1) x i 1 i=1 A részintervllumokt most közelítsük trpézformul segítségével, így pedig megkpjuk z összetett trpézformulát: I n,t (f) = h 2 f() + h(f f n 1 ) + h 2 f(b) = ( 1 = h 2 f() + f f n ) 2 f(b). (3.2) Az összetett trpézformul hibáját könnyen levezethetjük trpézformul hibájából. Tekintsük (2.6) kifejezést, és számoljunk minden részintervllumr hibát, mjd 14

15 ezeket összegezzük [4]: I(f) I n,t (f) = n i=1 f (η i ) 12 h3 = h3 n 12 1 n n f (η i ), (3.3) i=1 hol η i [x i 1, x i ]. Ekkor láthtó, hogy z 1 n n i=1 f (η i ) kifejezés n drb függvényérték számtni közepe. Tegyük fel, hogy f függvény kétszer folytonosn dierenciálhtó z [, b] intervllumon, ekkor f vlmely η [, b] helyen felveszi ezt számtni közepet, hiszen folytonos függvény lévén minimum és mximum között minden értéket felvesz. Mivel nh = (b ), hib következ képpen dódik: h2 (b ) f (η). (3.4) Tétel. Az összetett trpézformul hibáj f C 2 [, b] függvények esetén hol η [, b]. I(f) I n,t (f) = (b )h2 f (η), (3.5) 12 Jól láthtó, hogy minél s r bben vesszük fel z osztópontokt, nnál "nombb" rácshálónk, így kisebb h értéke, mit l csökken hib. Azonbn pontossági rend itt is 2, hiszen trpézformul pontossági rendje is 2. Mivel η értéket áltlábn nem ismerjük, ezért képlethibár nem tudunk jobbt mondni, mint következ : I(f) I n,t (f) (b )h2 M 2, (3.6) 12 hol M 2 már bevezetett jelölés függvény második deriváltjánk becslésére Deníció. Egy kvdrtúrformulát r 1-ed rendben konvergensnek nevezünk, h e n (f) = O(h r ). A fenti deníció lpján z összetett trpézformul kétszer folytonosn dierenciálhtó f függvényekre másodrendben konvergens Összetett érint formul Az összetett érint formulát z érint formulából hsonlón kphtjuk meg, hogyn z összetett trpézformulát kptuk trpézformulából. Hsználjuk z el bbi f i jelöléseket, és vezessünk be egy újt: f i/2 = f((x i +x i 1 )/2), i = 1, 2,..., n. Alklmzzuk 15

16 z érint formulát [, b] intervllum ekvidisztánsn felosztott h hosszúságú részintervllumin, hogy megkpjuk z összetett érint formulát: I n,e (f) = h(f 1/2 + + f n 1/2 ). (3.7) Az összetett értint formul meg rzi z érint formul nyíltságát és pontossági rendjét is. A konvergencirendje 2, mely hibképletéb l könnyen ellen rizhet Tétel. Az összetett érint formul hibáj f C 2 [, b] függvények esetén hol η [, b]. I(f) I n,e (f) = (b )h2 f (η), (3.8) 24 Mivel η értékét nem ismerjük, ezért gykorltbn csk z lábbi becslés lklmzhtó: (b )h2 I(f) I n,e (f) M 2, (3.9) 24 hol M 2 szokásos fels becslés z f függvény második deriváltjár ábr. Az összetett trpéz- és érint formul szemléltetése cos(x 2 ) függvény segítségével [0, 3] intervllumon. A piros vonlk részintervllumok végpontjit jelölik, zöldek részintervllumok felez i. A piros területek ngyság módszer áltl dott közelítés Összetett Simpson-formul Az összetett Simpson-formul szintén z [, b] intervllum h hosszúságú részintervllumin lklmzott Simpson-formul segítségével kphtó meg: I n,s (f) = h 6 (f 0 + 4f 1/2 + 2f 1 + 4f 3/2 + 2f f n 1/2 + f n ). (3.10) 16

17 Tehát részintervllumok végpontjir és zok felez pontjár illesztett legfeljebb másodfokú polinom integráljávl közelíti z integrált, mjd z összes "részintegrált" összegzi. Mivel Simpson formul pontossági rendje 4, így z összetett Simpson-formul pontossági rendje is 4. A konvergencirendje pedig szintén 4, mi hibképletb l leolvshtó Tétel. Az összetett Simpson-formul hibáj f C 4 [, b] esetén hol η [, b]. I(f) I n,s (f) = (b )h4 f (4) (η), (3.11) 2880 A gykorltbn áltlábn ezt hibképletet sem lehet lklmzni, helyette szokásos becslést hsználjuk: I(f) I n,s (f) (b )h4 M 4. (3.12) ábr. Az összetett Simpson-formul szemléltetése cos(x 2 ) függvény segítségével [0, 3] intervllumon. A piros vonlk részintervllumok végpontjit jelölik. A piros területek ngyság módszer áltl dott közelítés. A rózsszín vonlk z egyes részintervllumokr illesztett legfeljebb másodfokú polinomok dott intervllumon kívüli szkszi. 17

18 n Érint formul Trpézformul Simpson-formul 1 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , táblázt. Az egyes lépésekben számolt bszolút hibák. Az n jelöli, hogy z dott lépésben hány részre osztjuk fel [0, 1] intervllumot Az összetett módszerek konvergenciáj Azt már láttuk, hogy z összetett érint - és trpézformul konvergencirendje 2, Simpson-formuláé pedig 4. A konvergencirendek zt muttják meg, hogy h lépésköz csökkentésével hánydár csökken hib. Egy másodrend módszer esetében, h felezzük z lppontok távolságát, kkor hib jó közelítéssel h második htványávl lesz rányos, tehát hib negyedére csökken. A Simpson-módszernél hib h negyedik htványávl lesz rányos, így felezve lépésközt hibánk tizenhtodár kell csökkennie. Vegyünk egy kell en bonyolult, de lehet leg olyn függvényt, melynek ismert primitív függvénye, így könnyedén kiszámolhtó z integrál pontos értéke, hogy hibákt minél pontosbbn meg tudjuk htározni. Az lábbi polinom éppen ilyen: x x 9 + 9x 8 + 8x 7 + 7x 6 + 6x 5 + 5x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x (3.13) (11x x 9 + 9x 8 + 8x 7 + 7x 6 + 6x 5 + 5x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x)dx = 10. (3.14) Számítsuk ki z integrál közelítését mindhárom összetett módszerrel, mjd vizsgáljuk meg kpott hibákt. A 3.1. tábláztbn láthtó, hogy z érint formulávl számolt értékek ngyjából felét dják trpézformulávl számoltknk, de közel hsonló gyorssággl csök- 18

19 kennek, míg Simpson-formul jóvl pontosbb értéket d. Ez összhngbn vn z összetett módszerek hibáir felírt tételekkel. n Érint formul Trpézformul Simpson-formul 2 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , táblázt. Elért hibrányok z összetett módszerek segítségével. A konvergencirendek kiszámításához z bszolút hibtábláztot hsználjuk. Egy dott cellábn z érték zt muttj, hogy felette lév cellábn számolt értékhez képest hánydár csökkent hib. A pontos konvergencirendeket már megismertük tételekb l, várt hibrányok rendre: 4, 4 és 16, mit 3.2. táblázt jól látámszt ábr. Az egyes felosztásokhoz trtozó bszolút hibák. A 3.3. ábrán jól láthtó, hogy trpéz- és érint módszerek hibái rányikt tekintve hsonlóképpen csökkennek, de köztük lév hib kétszeres, mit és tételekben szerepl, egymáshoz képest kétszeres hibkonstns mgyráz. 19

20 4. fejezet Romberg-módszer 4.1. Richrdson-extrpoláció Az összetett formulák esetében láthttuk, hogy h szomszédos lppontok közötti h távolságot kell en "kicsinek" válsztjuk, kkor tetsz leges pontossággl meghtározhtó z integrál. Azonbn el fordulht, hogy túl sok helyen kell mintvételezni függvényt, mi gykorltbn esetleg nem lehetséges. Most egy olyn módszert muttuk be, melynek segítségével meglév pontokt felhsználv gyorsíthtjuk közelítés konvergenciáját pontos integrálhoz [5]. Tegyük fel, hogy h távolság nem változik, és F (h) jelölje közelítést h távolság esetében. A h = 0 lépésköz esetén legyen F (0) = I, hol I z integrál, továbbá p legyen közelítés rendje. Ekkor hib: F (0) F (h) = Kh p + O(h r ), r > p, hol K egy vlós szám, mely függhet z integrálndó függvényt l és válsztott közelít integrálási formulától, de független h távolságtól. Válsszunk h-nk egy tetsz leges értéket, mjd számoljuk ki F (h) és F ( h ) számokt, q > 0-r. q F (0) = F (h) + Kh p + O(h r ) ( ) ( ) p h h F (0) = F + K + O(h r ) q q A második egyenletet szorozzuk meg q p -nel és vonjuk ki z els egyenletet bel le: ( ) ( ) p h h F (0)(q p 1) = q p F F (h) + q p K Kh p + O(h r ). q q 20

21 Láthtó, hogy h p tg kiejthet, így egy mgsbb rend közelítést kpunk egyszer sítés után, mivel feltettük, hogy r > p: ( ) q p h F F (h) q F (0) = + O(h r ). q p (4.1) Deníció. Azt z extrpolációs módszert, melynek során F (h) és F ( h q ) közelítésekb l mgsbb rendben pproximáljuk F (0)-t, Richrdson-extrpolációnk nevezzük Romberg-módszer A Romberg-módszer Richrdson-extrpoláció többszörös lklmzását jelenti vlmely összetett kvdrtúrformulán. El ször z összetett trpézformulár lklmzott Romberg-módszert ismertetjük. Ehhez vezessük be Bernoulli-számok foglmát, melyeket egy htványsorrl deniálhtunk. Jelöljük ezeket konstnsokt B j -vel [6, 7]: x e x 1 j=0 B j x j. (4.2) j! A deníció lpján z els néhány Bernoulli-szám következ képpen dódik: B 0 = 1, B 1 = 1 /2, B 2 = 1 /6, B 3 = 0, B 4 = 1 /30, B 5 = 0, B 6 = 1 /42 stb. Továbbá szükségünk vn kvdrtúr-formul egy speciális felírásár, hol hibát kizárólg h páros htványink segítségével fejezzük ki [7]: Legyen x i = + ih, x n = b, és legyen I n,t (f) trpézformulávl számolt közelít integrál: I n,t (f) = n i=1 h 2 (f(x i 1) + f(x i )). (4.3) Tétel. (Euler-Mclurin formul) Legyen x i = + ih, x n = b, B j jelölje Bernoulli-számokt, és tegyük fel, hogy f C 2r+2 [,b]. Ekkor I n,t (f) f(x)dx = h2 12 (f (b) f ()) h4 720 (f (b) f ()) B 2rh 2r (2r)! (f 2r 1 (b) f 2r 1 ()) + R 2r+2 (, h, b)(f). (4.4) 21

22 2j B 2 j (2j)! táblázt. Páros index Bernoulli-számokhoz köthet együtthtók A mrdéktg R 2r+2 (, h, b)(f) rendje O(h 2r+2 ). Megjegyezzük, hogy míg kifejezésben kizárólg végpontokbn deriválunk, mrdéktg mitt szükséges, hogy f 2r+2 teljes [, b] intervllumon integrálhtó legyen. Az els néhány Bernoulliszámhoz köthet együtthtót 4.1. táblázt trtlmzz. Legyen h k = b 2 k, hol k nemnegtív egész. Ekkor minden k esetében k 1-szer lklmzzuk Richrdson-extrpolációt, hogy növeljük z el z közelítések rendjét [8]. Hsználjuk tehát el ször z összetett trpézszbályt, és legyenek T 1,1 és T 2,1 zon integrálközelítések, melyeket rendre egy illetve két részintervllum esetén kpunk. T 1,1 = b 2 T 2,1 = b 4 (f() + f(b)) ( ( ) + b f() + 2f 2 ) + f(b) Most tegyük fel, hogy f végtelen sokszor dierenciálhtó, így z összetett trpézformulár tétel értelmében igz következ összefüggés: ( ) b f(x)dx = h n 1 f() + 2 f(x j ) + f(b) + K i h 2i, (4.5) 2 j=1 hol h = b n, x j = + jh, és K i konstnsok csk f deriváltjitól függenek. Tudjuk, hogy z összetett trpézmódszer másodrendben közelít, most lklmzzuk rá Richrdson-extrpolációt, és növeljük rendet: T 1,1 = I(f) + K 1 h 2 + O(h 4 ) T 2,1 = I(f) + K 1 ( h 2 ) 2 + O(h 4 ) i=1 Ezt megtehetjük, hiszen z összetett trpézmódszerben hsznált h épp felére csökkent, (4.1) egyenletbe pedig q = 2-t helyettesítünk. T 2,2 = 4T 2,1 T 1,1 3 + O(h 4 ) 22

23 A fenti képletb l már láthtó, hogy egy pontosbb, negyedrend becslést kptunk. Folytssuk tovább z eljárást, és számítsuk ki T 3,1 közelítést, mely z összetett trpézmódszer eredményét jelenti négy részintervllumr. Ahogy z el bb, hsználjuk fel T 2,1 és T 3,1 áltl dott közelítéseket, így T 3,2 negyedrendben lesz pontos. T 2,2 = I(f) + K 2 h 4 + O(h 6 ) T 3,2 = I(f) + K 2 ( h 2 ) 4 + O(h 6 ) A fentiekre lklmzv Richrdson-extrpolációt, T 3,3 értéket kpjuk, mely már htodrendben pontos: T 3,3 = 16T 3,2 T 2, O(h 6 ) Az lgoritmust tovább folytthtjuk, míg szeretnénk, kpott dtokt pedig egy lsó háromszögmátrixb fogllhtjuk. Az els oszlop i. sorábn 2 i 1 részintervllumr osztott integrál közelítése szerepel, további oszlopokbn pedig Richrdsonextrpoláltk. Az áltlános lépés következ : T i,j = 4j 1 T i,j 1 T i 1,j 1 4 j 1. (4.6) 1 T 1,1 T 2,1 T 2,2 T 3,1 T 3,2 T 3,3 T 4,1 T 4,2 T 4,3 T 4,4 T 5,1 T 5,2 T 5,3 T 5,4 T 5,5 T 6,1 T 6,2 T 6,3 T 6,4 T 6,5 T 6, táblázt. Romberg-tábl. Öt iteráció elvégézéséhez 33 lppontr vn szükségünk A Romberg-módszer progrmozás MATLABbn A Romberg-módszer el nye, hogy nemcsk "gyorsbbn" trt z integrálhoz, mint például trpézmódszer, de könnyen progrmozhtó is mrd. Nézzük meg z l- 23

24 goritmus MATLAB-bn vló kódolását. Bemenet: ˆ fv: egy f függvény, melynek z integrálját keressük ˆ, b: egy [, b] intervllum két végpontj ˆ n: z iterációk szám Kimenet: ˆ R: Romberg-eljárás n n-es lsó háromszögmátrix ˆ E: hibmátrix Az lgoritmus z R mátrix els oszlopáb kiszámolj z integrálközelít értéket összetett trpézmódszer segítségével 1, 2, 4,... drb részintervllumr. Ezután pedig (4.6) szkszbn látott áltlános lépés segítségével kiszámoljuk mátrix többi oszlopát és sorát, mjd egy helyi I változóbn eltároljuk z integrál pontos értékét. Itt fontos megjegyezni, hogy MATLAB integrl függvénye vlójábn egy numerikus megoldás, mi hibákkl terhelt, így z integrál pontos értékének kiszámításhoz nem minden esetben hsználhtó. Végül z E mátrix elemeiben eltároljuk megfelel hibákt. A Romberg-eljárás n 1 iteráció után leáll, legpontosbb értéket z R mátrix n. oszlopánk n. sor dj. 1 function [ R, E ] = romberg ( fv,, b, n ) 2 R=zeros ( n ) ; 3 for i =1:n 4 R( i, 1 )=o s s z e t e t t _ t r p e z _ f v ( fv,, b, 2 ^ ( i 1) ) ; 5 end 6 for j =2:n 7 for i=j : n 8 R( i, j )=R( i, j 1)+(R( i, j 1) R( ( i 1), ( j 1) ) ) /(4^( j 1) 1) ; 9 end 10 end 11 I = \%z i n t e g r á l é r t é k e\% 12 E=zeros ( n ) ; 24

25 13 for i =1:n 14 for j =1:n 15 i f R( i, j )~=0 16 E( i, j )=bs ( I R( i, j ) ) ; 17 else 18 E( i, j ) =0; 19 end 20 end 21 end 22 end Most hsonlítsuk össze z összetett trpéz- és Romberg-módszer pontosságát. Hsználjuk már látott (3.13) polinomot x x 9 + 9x 8 + 8x 7 + 7x 6 + 6x 5 + 5x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x (11x x 9 + 9x 8 + 8x 7 + 7x 6 + 6x 5 + 5x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x)dx = 10. Alklmzzuk Romberg-módszert, és iteráljunk ötször [0, 1] intervllumon. Az lábbi tábláztok trtlmzzák numerikusn számolt értékeket és hibáikt 13 tizedesjegy pontossággl. A trpézmódszer ebben z esetben táblázt utolsó sorábn 33 lpponttl dolgozik, Romberg-módszer közelítése pedig 12-ed rend. k T i,1 T i,2 T i,3 T i,4 T i,5 T i,6 1 32, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , táblázt. A Romberg-módszer segítségével számolt numerikus értékek z integrálr. A 4.4. tábláztbn jól láthtó, hogy z els oszlopbn számolt trpézformul hibájához képest Romberg-eljárássl számolt értékek hibáj lényegesen kisebb. A 4.5. tábláztbn számításokhoz z bszolút hibtábláztot hsználjuk. Az elméleti hibrányok következ ek oszloponként: 4, 16, 64, 256,

26 k T i,1 T i,2 T i,3 T i,4 T i,5 T i,6 1 22, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , táblázt. A Romberg-módszerrel számolt integrál értékeinek bszolút hibáj. k T i,1 T i,2 T i,3 T i,4 T i,5 2 2, , , , , , , , , , , , , , , táblázt. Elért hibrányok Romberg-módszer segítségével ábr. A Romberg-módszer és z összetett trpézformul hibájánk csökkenése z iterációs lépésszám függvényében Romberg-módszer összetett érint formulávl A trpézformul hátrány, hogy h függvény z integrálás intervllumánk vlmelyik végpontjábn végtelenhez trt, kkor numerikus módszer is végtelen értéket d z integrálr. Iterációs eljárás lévén ezt Romberg-módszer is "örökli", így ez sem vezet eredményre. A problémát kiküszöbölhetjük úgy, hogy nem trpézformulát kombináljuk 26

27 k T i,1 T i,2 T i,3 T i,4 T i,5 1 -Inf Inf NN Inf NN NN Inf NN NN NN 0 5 -Inf NN NN NN NN 4.6. táblázt. A Romberg-módszer trpézformulás változtávl kpott eredmény z ln(x) függvényre [0, 1] intervllumon. Az integrál értéke 1. Richrdson-extrpolációvl, hnem z érint formulát. Már csk nnyit kell tudnunk, hogy z összetett érint formulár is érvényes-e egy, (4.5) kifejezéshez hsonló összefüggés. A válsz igen, és ebben segítségünkre lesz következ képlet [7]: I 2n,T (f) = 1 2 (I n,t (f) + I n,e (f)). (4.7) Ezt felhsználv könnyen megkphtó keresett kifejezés: I n,e (f) I n,e (f) = n hf(x i 0.5 ) = 2I 2n,T (f) I n,t (f) (4.8) i=1 f(x)dx = h2 24 (f (b) f ()) + 7h (f (b) f ()) +... ( ) B2r h 2r 2r 1 (2r)! (f 2r 1 (b) f 2r 1 ()) (4.9) Innen már láthtó, hogy z összetett érint formul is felírhtó olyn hibtggl, melyben csk h páros htványink konstnsszorosi szerepelnek, így Richrdsonextrpoláció segítségével itt is kett vel növelhetjük rendet minden lépésben. k T i,1 T i,2 T i,3 T i,4 T i,5 1-0, , , , , , , , , , , , , , , táblázt. A Romberg-módszer értin formulás változtávl kpott eredmények z ln(x) függvény integráljár [0, 1] intervllumon. Az integrál értéke 1. 27

28 k T i,1 T i,2 T i,3 T i,4 T i,5 1 0, , , , , , , , , , , , , , , táblázt. A Romberg-módszer érint formulás változtávl számított értékek hibái z ln(x) függvényre [0, 1] intervllumon. Az eljárás tehát teljesen megegyezik zzl, hogy zt korábbi fejezetben trpézformulánál bemutttuk, nnyi különbséggel, hogy Romberg-mátrix els oszlopábn z érint formulávl kpott közelítések állnk. Mivel z érint - és trpézformul rendje megegyezik, így Romberg-módszer rendje is zonos lesz ugynbbn lépésben. Tekintsük újr (3.13) szerinti polinomot, közelítsük z integrált [0, 1] intervllumon Romberg-módszerrel, és iteráljunk ötször. A kpott közelítéseket és hibáikt tábláztok muttják. k T i,1 T i,2 T i,3 T i,4 T i,5 T i,6 1 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , táblázt. A Romberg-módszer értint formulás változtávl számolt integrálközelítések. k T i,1 T i,2 T i,3 T i,4 T i,5 T i,6 1 7, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , táblázt. A Romberg-módszer értint formulás változtávl számolt integrálközelítések hibáj. 28

29 k T i,1 T i,2 T i,3 T i,4 T i,5 2 2, , , , , , , , , , , , , , , táblázt. Elért hibrányok Romberg-módszer érint formulás változtávl. Az elméleti hibrányok oszloponként következ ek: 4, 16, 64, 256, ábr. A Romberg-módszer és z összetett érint formul hibájánk csökkenése iterációnként illetve újbb lppontokt felvéve. A Romberg-módszer trpéz- és érint formulás változtát egyéb függvényeken is kipróbáltuk. A 4.3. ábr zt muttj, hogy két módszerrel kpott eredmények között ugyn csk lig észrevehet eltérés gyelhet meg, de z érint formulás változttl számolt értékek pontosbbk, mit szintén z egymáshoz képest kétszeres hibkonstnsok mgyráznk. 29

30 4.3. ábr. A Romberg-módszerek összehsonlítás ht függvény segítségével. Az y tengely logritmikusn skálázv. 30

31 5. fejezet Összefogllás Mit tehetünk kkor, h egy függvény integrálját keressük, zonbn ez elemi módszerekkel vgy megoldhttln, vgy túl költséges? Szkdolgoztombn erre tláltunk különböz megoldásokt. Az els fejezetben megtárgyltuk z érint - és trpézformulát, vlmint Simpson-módszert. Ezek els -, illetve másodfokú polinomok segítségével közelítették z integrál értékét. Hsználtuk nem túl nehéz, ugynkkor kiszámított közelítéseik áltlábn nem elég pontosk. A hibákon úgy jvítottunk, hogy vizsgált intervllumot több részre osztottuk, és ezeken egyesével lklmztuk bemuttott módszereket, mjd részintervllumokr számított közelít integrálokt összegeztük. Ezek módszerek voltk z összetett kvdrtúrformulák, melyek segítségével hibát már tetsz legesen kicsire csökkenthettük. Ugynkkor felmerült kérdés, hogy hogyn tehet hib még htékonybbn tetsz legesen kicsivé. A Richrdson-extrpolációt zért vezettük be, hogy z összetett trpéz- és érint formulávl kombinálv gyorsítsuk konvergenciát. Ezt nevezik Romberg-módszernek. A Romberg-módszer el nye, hogy h felezzük z intervllumot, kkor konvergencirendet kett vel tudjuk növelni, továbbá felhsználhtjuk korábbi, kevesebb lppontr végzett számításinkt is. Az lgoritmus m ködését bemutttuk MATLAB progrmml is. A bemuttott módszereket számos függvényen kipróbáltuk, és zt tpsztltuk, hogy Romberg-módszerrel számolt értékek vlóbn pontosbbk, és gyorsbbn trtnk z integrál értékéhez. A továbbikbn érdemes lenne zokt módszereket is megvizsgálni, melyek z lppontok között nem egyenl, hnem változó lépésközöket hsználnk. 31

32 Függelék function f = fuggveny(x) f=11*x.^10+10*x.^9+9*x.^8+8*x.^7+7*x.^6+6*x.^5+5*x.^4+4*x.^3+3*x.^2+2*x; end function f = fuggveny2(x) f = exp(-x.^2); end function f = fuggveny3(x) f = cos(x.^2); end function f = fuggveny4(x) f=sqrt(1+x.^3); end function f = fuggveny5(x) f=log(x); end function [ integrl_kozelitese ] = osszetett_erinto_fv(fv,,b,n) h=(b-)/n; sum=0; for i=1:n c=+h*(i-1)+h/2; sum=sum+h*fv(c); end integrl_kozelitese = sum; end 32

33 function [integrl_kozelitese] = osszetett_trpez_fv(fv,,b,n) h=(b-)/n; sum=0; for i=1:n-1 sum=sum+fv(+(h)*i); end integrl_kozelitese = ((h/2)*(fv()+fv(b)+2*sum)); end function [ integrl_kozelitese ] = osszetett_simpson_fv(fv,,b,n) h=(b-)/n; sumpros=0; for i=1:((n/2)-1) sumpros=sumpros+fv(+(2*i*h)); end sumprtln=0; for i=1:(n/2) sumprtln=sumprtln+fv(+h*(2*i)-h); end integrl_kozelitese = h/3*(fv()+2*sumpros+4*sumprtln+fv(b)); end function [K] = konvergenci_tbl(e) n=size(e); K=zeros(n); for i=2:n for j=1:n if E(i,j)~=0 E(i-1,j); E(i,j); K(i,j)=E(i-1,j)/E(i,j); else K(i,j)=0; end end end 33

34 Irodlomjegyzék [1] Frgó István, Horváth Róbert Numerikus módszerek. Typotex Kidó (2013) [2] [3] Frgó István, Alklmzott Anlízis 1, el dás jegyzet (2015). [4] hgi/segednyg/fejezet1-7.1.pdf, [5] Jim Lmbers, Numericl Anlysis I, Lecture 24 el dás jegyzet (2009). [6] [7] Germund Dhlquist, Ake Björck Numericl Methods in Scientic Computing Volume I. Sim (2008) , [8] Jim Lmbers, Numericl Anlysis I, Lecture 29, el dás jegyzet (2009). 34