INTEGRÁLSZÁMÍTÁS A GYAKORLATBAN. Készítette: Varga Viktor Témavezet : Sikolya Eszter

Átírás

1 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS A GYAKORLATBAN Készítette: Vrg Viktor Témvezet : Sikoly Eszter ELTE-TTK, Mtemtik Bsc Budpest,

2 . fejezet Bevezetés Diplommunkám során z integrálszámítás gykorlti módszereibe szeretnék betekintést nyújtni. A témám kiválsztását z motivált, hogy mtemtikábn (pl: dierenciálegyenletek, vlószín ségszámítás) és mtemtikát hsználó tudományokon (különösen zikán) belül számos területen el fordulnk konkrét integrálok, melyeket ki kell számolnunk. Ám z nlízissel vló megismerkedés után rá kell döbbennünk, hogy míg deriválni pár egyszer szbály megtnulás után már könnyedén tudunk, és lényegében kármilyen bonyolult kifejezéssel elboldogulunk, ddig z integrálásnál ez koránt sincs így, s t kár már egyszer nek t n kifejezésekkel is könnyen meggy lhet bjunk. Áltlános elvek nincsenek, zonbn vnnk módszerek, melyekkel könnyen célt érhetünk kezdetben bonyolultnk t n esetekben is. F célom, hogy áttekintést nyújtsk leggykrbbn hsznált és bevált módszerekr l, és összefoglljm zokt z eljárásokt, melyekkel kiszámolhtjuk számunkr szükséges integrálokt. Az elméletet f ként módszerek megismeréséhez szükséges foglmkon át ismertetem. Ngy szerepet szánok módszerek bemuttásábn példáknk, hiszen így érthetjük meg z eljárások lényegét. Továbbá z lklmzásokt is fontosnk trtom, melyeknél kiderül: sok-sok számolgtás nem öncélú, hnem gykorlti hszn is vn. Persze mondhtjuk, hogy számítógépek és mi mtemtiki progrmcsomgok (Mple, Mthemtic) könnyedén megbirkóznk ezekkel feldtokkl, ugynkkor z integrálszámítás gykorlti módszereinek elsjátítás fontos feldt.

3 . fejezet Integrálási módszerek.. Htároztln integrál Az integrálást lényegében deriválás inverz m veleteként értelmezhetjük: egy dott függvény htároztln integrálj minden olyn függvény, melynek deriváltj z dott függvény. Mtemtikilg megfoglmzv: z F függvényt z f függvény primitív függvényének nevezzük egy dott I korlátos, vgy nem korlátos nyílt intervllumbn, h deriváltj z intervllum minden pontjábn f(x). A primitív függvények összességét f htároztln integráljánk nevezzük. Mi többnyire olyn f függvényekkel fogllkozunk, melyek egy dott intervllumon folytonosk, ekkor pedig f-nek létezik primitív függvénye. Fontos megjegyeznünk, hogy mivel konstns függvény deriváltj, ezért h F primitív függvény, kkor F + c is z, hol c konstns függvényt jelöli. Így most és kés bbiekben is jelölje f primitív függvényeinek egyikét f vgy f(x)dx. Tehát: f = F, h F = f, f neve ilyenkor: integrndus. A htároztln integrál két lpvet tuljdonság:. Összeget és különbséget lehet tgonként integrálni, tehát: f = F, g = G [f ± g] = F + G. A konstnsszorzó z intergáljál elé kiemelhet, zz tetsz leges c esetén: cf = c f

4 ... Alpintegrálok Azokt z integrálokt, melyek vlmilyen elemi függvény deriválásánk megfordításkor keletkeznek, elemi integráloknk nevezzük. Például következ k: x n dx = xn+ n+, hol n, speciálisn: dx = x xdx=ln x x dx = x ln, hol >,, speciálisn: e x dx = e x sin xdx = cos x cos dx = sin x cos xdx = tn x dx = cot x sin x cosh xdx = sinh x sinh xdx = cosh x dx = tnh x cosh x dx = coth x sinh x... Módszerek Az lábbikbn bemuttjuk legismertebb integrálási módszereket. Mint láthtjuk, ezek tárház igen b séges: vlmelyik módszer sokszor lklmzhtó, vn melyik pedig csk bizonyos esetekben.... Egyszer bb típusok Az lábbi lkú integrálok el fordulás esetén igen könnyen célt érhetünk (esetleg minimális átlkítássl): f(x + b) lkú integrndus: f(x + b)dx = hol F egy primitív függvénye f-nek. F (x + b), Pl: sin(3x 4)dx = cos(3x 4) 3 3

5 f n (x)f (x) lkú integrndus: (n ) f n (x)f (x)dx = f n+ (x) n + Pl: (x + 5) 5 4xdx = (x + 5) 6 6 f (x) f(x) lkú integrndus: f (x) f(x) dx = ln f(x) : I {x : f(x) > } ln( f(x)) : J {x : f(x) < } Megjegyzés: Itt I és J intervllum, továbbikbn fenti értelemben hsználjuk z f (x) f(x) dx = ln f(x) jelölést. Pl:... Prciális integrálás x x 3 dx = ln ln x 3 A prciális integrálás egy igen fontos módszer, mert segítségével szorzt lkbn megdott (vgy olynná lkíthtó) integrndusok ngy részét kiszámíthtjuk. Mg módszer szorztfüggvény deriválási szbályából dódik: fg = fg Az ötlet tehát, hogy szorzt lkbn megdott függvény egyik tényez jét f-nek, másik tényez jét g -nek válsztv átírjuk z integrált. A megfelel megválsztás lpj, hogy f g-t könnyebben lehet integrálni mint fg -t. f g Alpvet en 3 típust különböztetünk meg z integrndus lpján: Htványfüggvénnyel szorzott exponenciális, trigonometrikus, hiperbolikus függvények Ekkor mindig htványfüggvényt érdemes f-nek, másik szorzótényez t pedig g -nek elnevezni. Pl: 4

6 5x sinh xdx = 5x cosh x 5 cosh x dx = 5x cosh x 5 sinh x 4 Megjegyzés: H htványfüggvény -nél mgsbb fokú, kkor többször egymás után kell lklmznunk módszert. Logrimus-, re-, rcusfüggvények és ezekkel szorzott htványfüggvények Ekkor mindig logritmusfüggvényt érdemes f-nek és másik szorzótényez t g -nek elnevezni. Pl: x ln xdx = x ln x x x dx = x ln x + x Exponenciális függvény és trigonometrikus ill. szorzt hiperbolikus függvények Ekkor válsztásunk tetsz leges, minden esetben célhoz érünk, h módszert kétszer egymás után lklmzzuk, mjd kiindulást kpott eredménnyel összehsonlítjuk. Pl: e x sin xdx = e x cos x+ e x cos xdx = e x cos x+e x sin x e x sin xdx e x sin xdx = ex cos x + e x sin x Megjegyzés: Szögfüggvények szorztát is lehet prciálisn integrálni, ám ekkor sokszor szorzt megfelel átlkítások után összeggé lkíthtó, így sokszor zt célszer bb integrálni Helyettesítéses integrálás A helyettesítéses integrálás módszere ngyon sokszor segítségünkre lehet legkülönfélébb estekben is. Lényege, hogy z integrndusbn vlmilyen kifejezést helyettesítünk egy új változóvl, ezáltl egy könnyebben integrálhtó kifejezést kpunk, mit kiintegrálunk, mjd végén visszhelyettesítjük z eredeti kifejezést. Sokszor nem látszik közvetlenül, hogy módszer mikor és hogyn lklmzhtó, vnnk zonbn olyn esetek, mikor megfelel helyettesítéssel mindig célhoz érhetünk, ezeket z dott helyeken be is muttjuk. 5

7 Az eljárás lényege tehát következ : Legyen u(x) = t, ekkor u (x) = dt dx, és ezért u (x)dx = dt, vgyis: f (u (x)) u (x)dx = f(t)dt = F (t) = F (u (x)) Pl: 3 cos (x 3) dx = 3 dt cos t = 3 tn t = 3 tn(x 3) A továbbikbn ismertetjük zokt helyettesítési módszereket, melyek dott esetben mindig célrvezet ek. Exponenciális függvények rcionális kifejezései H z integrndus e x -nek rcionális kifejezése, kkor t = e x helyettesítéssel (hol x = ln t, dx = dt t ) átírhtjuk t rcionális törtfüggvényévé, így mint rcionális törtfüggvényt integráljuk. Pl: e x + e x dx = t dt + t t = t + t dt = ( )dt = t ln + t + t = e x ln( + e x ) Trigonometrikus függvények rcionális kifejezései A trigonometrikus függvények rcionális kifejezései esetében t = tn x helyettesítés mindig célrvezet, mert ennek segítségével rcionális törtfüggvényé lkul z integrndus. Ekkor: dx = t t dt, sin x =, cos x = + t + t + t, tn x = t t, cot x =, t t így könnyen számolhtunk ezek megfelel helyettesítésével. Pl: + sin x dx = + t t t + + dt = = t + = tn x + t + + t dt = (t + ) dt 6

8 Gyökös rcionális kifejezések Az ilyen esetekben z dott kifejezést l függ en gyökeresen eltér helyettesítéseket kell lklmznunk: z els két esetben rcionális törtfüggvényre, z zt követ három esteben pedig trigonometrikus, illetve hiperbolikus függvényre vezetjük vissz z integrndust. R(x, n x + b) lkú integrndus Helyettesítés: t = n x + b, zz x = tn b, így dx = n tn dt R(x, n x+b cx+d ) lkú integrndus (d bc) Helyettesítés: t = n x+b b dun n(d bc) cx+d, zz x = cu n, így dx = (cu n ) u n du R(x, x ) lkú integrndus A kifejezésünket átlkítjuk: x = ( x ) Helyettesítés: (vgy esetleg: x x R(x, + x ) lkú integrndus = sin t, zz x = sin t, így dx = cos tdt, = cos t, zz x = cos t, így dx = sin tdt) A kifejezésünket átlkítjuk: + x = + ( x ) Helyettesítés: x = sinh t, zz x = sinh t, így dx = cosh tdt R(x, x ) lkú integrndus A kifejezésünket átlkítjuk: x = ( x ) Helyettesítés: x = cosh t, zz x = cosh t, így dx = sinh tdt R(x, x + bx + c) lkú integrndus Itt el jelét l függ en -t ( > ), illetve -t ( < ) emelünk ki gyökjel elé. Ezután gyökjel ltt teljes négyzetté lkítunk, mjd ismét kiemelünk gyökjel elé úgy, hogy teljes négyzet mrdéktgj ± legyen. A helyettesítést z dönti el, hogy milyen volt el jele, illetve, hogy, vgy - teljes négyzet mrdéktgj. Bevezetve következ jelöléseket: p = b, q = c,±d = q p 4 függ en), 4 eset tehát: >, teljes négyzet mrdéktgj: (q p 4 el jelét l Ekkor helyettesítés: sinh t = x+p d, zz x = d sinh t p, így dx = d cosh tdt, ezzel x + bx + c = d cosh t >, teljes négyzet mrdéktgj: - Ekkor helyettesítés: cosh t = x+p d, zz x = d cosh t p, így dx = d sinh tdt, ezzel x + bx + c = d sinh t 7

9 <, teljes négyzet mrdéktgj: Ekkor helyettesítés: sin t = x p d, zz x = d sin t + p, így dx = d cos tdt, ezzel x + bx + c = d cos t (vgy esetleg: cos t = x p d, zz x = d cos t + p, így dx = d sin tdt, ezzel x + bx + c = d sin t) <, teljes négyzet mrdéktgj: - Ekkor z x + bx + c kifejezés kármilyen x értékre negtív, így vlós számokr nem értelmezett z integrndus. x +bx+c lkú integrndus A nevez t z el z pontbn leírtknk megfelel en átlkítjuk z lábbi típusok vlmelyikére: u, így ekkor: +u, így ekkor u, így ekkor u du = rcsin u + c +u du = rsinh u + c u du = rcosh u + c u, így ekkor gyök ltt negtív mennyiség áll, így vlós számokr nem értelmezett z integrndus Trigonometrikus és hiperbolikus függvények Az el z ekben már említettük, hogy trigonometrikus függvények rcionális törtkifejezései esetében hogyn járunk el, zonbn bizonyos esetekben ennél egyszer bb módszer is vn. Azért tárgyljuk egy címszó ltt hiperbolikus függvényeket is trigonomertikus függvényekkel, mert mg z eljárás mindkét esetben teljesen ugynz. sin n+ x cos k x, illetve cos n+ x sin k x lkú integrndus Ekkor: sin n+ x cos k x = sin x( cos x) n cos k x A kijelölt m veleteket elvégezve z összeg minden tgj (legfeljebb egy kivétellel, mi lpintegrál) f n (x)f (x) lkú, így tgonként integrálunk. Az eljárás ugynígy megy, h z integrndus cos n+ x sin k x lkú. H pedig mindkét szögfüggvényben pártln kitev, kkor teljesen mindegy, hogy melyiket lkítjuk át. 8

10 sin n x cos k x lkú integrndus Ekkor felhsználjuk kétszeres szögfüggvényekre vontkozó zonosságokt: sin x cos x = sin x, sin x = cos x, cos x = + cos x Ezek segítségével lkítjuk z integrndust úgy, hogy trigonometrikus fokszámok csökkenjenek egészen ddig, míg ismert, vgy könnyen kiszámolhtó integrált nem kpunk (linerizáló módszer ). sinh n+ x cosh k x, illetve cos n+ x sinh k x lkú integrndus Az els ponthoz teljesen hsonló módon lkítunk, zzl különbséggel, hogy cosh x sinh x = zonosságot hsználjuk. sinh n x cosh k x lkú integrndus Itt z lábbi zonosságokt célszer hsználni z átlkításhoz: sinh = cosh x, cosh cosh x + = H ezek sem vezetnek célr, vgy pusztán hosszdlms lenne számolás, kkor hsználhtjuk z exponenciális lkot is, vgyis sinh és cosh függvények eredeti denícióit: sinh x = ex e x, illetve cosh x = ex +e x Pl: sin sin x cos x xdx = dx = 4 4 = 4 ( ) x sin 4x = x sin 4x ( ) cos 4x dx...5. Rcionális törtfüggvények Sokszor kerülhetünk bb helyzetbe, hogy rcionális törtfüggvényt kelljen integrálnunk. Jó pár esetben (mint hogy pl. trigonometrikus vgy gyökös kifejezéseknél) erre vezettük vissz megfelel helyettesítésünk és átlkításunk során nyert integrndust, így fontos, hogy ezekkel is könnyedén el tudjunk bánni. Ehhez el bb néhány egyszer bb esetet vizsgálunk, mjd z összetettebb típusokt ezekre fogjuk visszvezetni. 9

11 Alptípusok. Az integrndus számlálój konstns, nevez je els fokú Átlkítv z integrndust: A x + b dx = A x + b dx = A ln x + b Az integrndus számlálój konstns, nevez je egy els fokú függvény n-edik (n ) htvány Ekkor z integrndust f n (x)f (x) lkr hozzuk: A (x + b) n dx = A (x+b) n dx = A (x + b) n n A = ( n) (x + b) n Az integrndus számlálój els fokú, nevez je egy els fokú függvény n-edik (n ) htvány Elég csk z Ax n (x+b) dx esettel fogllkozni, mert h számláló Ax + b lkú, kkor szétbontjuk két részre, hol második rész éppen z el bb tárgylt eset. Ekkor pedig következ átlkítást végezzük: Ax (x + b) n dx = A x + b b (x + b) n dx = A (x + b) n dx A b (x + b) n dx Ezzel pedig (n-t l függ en) z els két pont vlmelyikére visszvezettük problémát. Az integrndus számlálój konstns, nevez je másodfokú polinom A nevez f együtthtóját kiemeljük, mjd teljes négyzetté lkítunk, ezután kiemeljük teljes négyzet mrdéktgját (±B ). Ekkor z x+ b B = t helyettesítéssel ( teljes négyzet mrdéktgjánk el jelét l függ en) z integrndus t + (B esetén), illetve t ( B esetén) lkú, így z integrál rctn t, illetve rtnh t lkú lesz. Az integrndus számlálój els fokú, nevez je másodfokú polinom Ebben z esetben számlálót két részre bontjuk, z els részben létrehozzuk nevez deriváltját, így z intergndusnk ez része f (x) f(x) lkú, másik rész pedig konstns lesz, így z el bb tárgylt eset áll fenn.

12 Prciális törtekre bontás. Legyen f(x) = p(x) q(x) lkú, hol p(x) egy m- edfokú, q(x) pedig n-edfokú polinom. Feltehetjük, hogy m < n, továbbá, hogy p(x) q(x) tovább nem egyszer síthet, illetve, hogy nevez f együtthtój. f(x)- nek mindig létezik zárt lkbn megdhtó integrálj, ennek kiszámolásához zonbn ismerni kell nevez gyökeit. Az lábbikbn tehát különböz eseteket visszvezetjük prciális törtekre bontás segítségével fent tárgylt lptípusok vlmelyikére. A nevez nek csk egyszeres, vlós gyökei vnnk Ekkor q(x)-et felírjuk gyöktényez s lkbn, ezzel pedig p(x) q(x) következ lkúvá bonthtó: p(x) q(x) = p(x) (x x )(x x )...(x x n ) = A + A A n x x x x x x n Itt z A, A,..., A n számok meghtározásár 3 módszer is lehetséges: együtthtók egyeztetése Ez legszélesebb körben elterjedt módszer, mivel minden esetben lklmzhtó, tehát kkor is, h nevez nek többszörös vlós, vgy komplex gyökei vnnk. Egyetlen hátrány, hogy áltlábn sok számolássl jár. Lényege, hogy p(x) (x x )(x x )...(x x n ) = A x x + A x x A n x x n zonosságbn jobboldlt közös nevez re hozzuk, mjd z így kpott számláló együtthtóit összevetjük p(x) megfelel együtthtóivl, így egy egyenletrendszert kpunk A i -kre, melyet megoldv megkpjuk kívánt együtthtókt. gyökhelyettesítési módszer Ez egy jóvl kevesebb számolássl járó eljárás, ám csk kkor érdemes lklmzni, h nevez nek kizárólg egyszeres vlós gyökei vnnk. Lényege, hogy z el bbi eljáráshoz hsonlón közös nevez re hozunk jobb oldlon, mjd pedig számlálókt úgy hsonlítjuk össze, hogy z zonosságbn x helyére sorr nevez gyökeit helyettesítjük be. Ez zért m ködik, mert ekkor bl oldlon egy szám, jobb oldlon pedig csk z egyik együtthtó kifejezése szerepel, mert többi elt nik gyökhelyettesítés mitt.

13 dierenciálási módszer Ez szintén f ként egyszeres vlós gyökök esetén lklmzhtó, de áltlánosítni lehet többszörös vlós gyök esetére is, ám ekkor már jóvl összetettebb számolást igényel, ezért ezzel nem fogllkozunk. Lényege ngyon egyszer : p(x) q(x) = p(x) (x x )(x x )...(x x n ) = A + A x x x x esetén könnyen igzolhtó, hogy: A = p(x ) q (x ), A = p(x ) q (x ),..., A n = p(x n) q (x n ) A n x x n nevez nek csk vlós gyöke vn, de többszörös gyökök is el fordulnk Ekkor: hol p(x) q(x) = p(x) (x x ) α (x x ) α...(x x r ), αr r α i = n. Tehát résztörtekre bontás következ lkú: i= [ p(x) q(x) = p(x) (x x ) α...(x x r ) = A αr x x [ A x x A α (x x ) α nevez nek nem minden gyöke vlós ] [ Ar x x r A α (x x ) α A rαr (x x r ) αr ] + Algebri ismereteink lpján megállpíthtjuk, hogy h nevez nek vn komplex gyöke, kkor nnk konjugáltj is gyöke, így komplex gyököket trtlmzó gyöktényez ket párosávl kiemeljük, mjd összeszorozzuk párokt, így vlós együtthtós másodfokú kifejezések szorztát kpjuk, melyeknek már nincs vlós gyöke. A megmrdó gyöktényez k pedig z el z pontbn tárgylt módon emelhet k ki nevez b l. A nevez lkj tehát: q(x) = [(x x ) α...(x x r ) αr ] [ (x + b x + c ) β...(x + b s x + c s ) βs] ]

14 Így p(x) q(x) [ α A i (x x ) i i= törtekre bontásánk áltlános lkj ebben z esetben: αr A rj (x x r) j j= ] [ β B + k x+c k (x +b x+c ) βs k k= B sl x+c sl (x +b sx+c s) l l= ] Pl: 4 dx =? (x 3)(x + )(x 4) A nevez már gyöktényez s lkbn dott, így: 4 (x 3)(x + )(x 4) = A x 3 + B x + + C x 4 Innen: 4 = A(x + )(x 4) + B(x 3)(x 4) + C(x + )(x 3), most hsználhtjuk mind 3 módszert. Az együtthtók egyeztetését hsználv kpjuk, hogy: A + B + C =, A 7B C =, 8A + B 6C = 4. Ezt z egyenletrendszert megoldv megkpjuk kívát együtthtókt. H gyökhelyettesítéses módszerrel dolgozunk, kkor: x = 3 esetén: 4 = A 5( ), x = esetén: 4 = B( 5)( 6), x = 4 esetén: 4 = C 6 Innen jóvl egyszer bb tehát meghtározni z együtthtókt. H dierenciálási módszert hsználjuk, kkor: p(x) = 4, q(x) = (x 3)(x + )(x 4), q (x) = (x + )(x 4) + (x 3)(x 4) + (x 3)(x + ) Így: A = p(3) q (3) = 4 5, B = p( ) q ( ) = 7 5, C = p(4) q (4) = 7 3, mely eredményeket z el z két módszerrel is megkphtunk. Ezzel tehát: 4 (x 3)(x + )(x 4) dx = 4 5 dx x dx x dx x 4 = ln x ln x ln x 4 3 3

15 ...6. Egyéb speciális integráltípusok Rekurzív integrálok Legyen I n = f(x, n)dx (n Z), hol f(x, n) dott lkú, egy prmétert trtlmzó függvény. Tegyük fel, hogy z integrálás során I n - re olyn kifejezést kptunk, melyben z integrndus f(x, n + m) lkú (m Z, m ). Így I n = g(x) + h(n)i n+m, vgyis I n -re kptunk egy rekurziót, mellyel (esetleg többszöri egymásutáni lklmzássl) kifejezhet z eredeti integrál. Pl: I n = sin n xdx (n Z, n > ). Prciális integrálássl beláthtjuk, hogy: I n = cos x sinn x n + n n I n. Mivel sin x integrálját könnyen kiszámolhtjuk, így fenti rekurziós formulávl I n könnyen megkphtó. Hsonlón, legyen I n = (x + ) dx (n Z). Szintén prciális integrálás segítségével beláthtó, n hogy: Mivel x + integrálj könnyen számolhtó, így z I n -lkú integrndusokt is kiszámolhtjuk. Binom integrálok I n+ = x n (x + ) n + n n I n. Egy integrált binom integrálnk nevezünk, h z integrndus x m (+bx n ) p lkú, hol, b R és m, n, p Q. Ekkor z integrál nem mindig fejezhet ki elemi függvényekkel, csk és kizárólg következ esetekben: p Z, ekkor binomiális tétel segítségével kifejtve z integrndust cx k lkú tgok összegét kell integrálnunk, melyet könnyedén végezhetünk. m+ n m+ n Z, ekkor t = r + bx n (r p tört nevez je) helyettesítéssel z integrndust rcionális törtfüggvényre vezetjük vissz. + p Z, ekkor t = r +bx n x n ismét rcionális törtfüggvényre vezetjük vissz. helyettesítéssel zt integrndust 4

16 Elliptikus integrálok Elliptikus integrálnk nevezzük z R(x, f)dx lkú integrálokt, hol f hrmd- vgy negyedfokú polinom. H f fok négynél ngyobb, kkor hiperelliptikus integrálokról beszélünk. Az elnevezést z motivált, hogy z ellipszis kerületének kiszámításkor kell ilyen lkú integrálokt számolnunk. Sjnos áltlábn ezek nem fejezhet k ki elemi integrálll, ezért részletesen nem fogllkozunk velük, ám említést mindenképpen érdemelnek, mert különböz lklmzások során gykrn el fordulnk. A fenti, elemi módon nem integrálhtó elliptikus integrálok átlkítások soroztávl z lábbi három lk vlmelyikére hozhtók (k (, )): ( t )( k t ) dt, k t ( t )( k t ) dt, ( + nt ) ( t )( k t ) dt A t = sin ϕ (<ϕ< π ) helyettesítéssel fenti három integrál z lábbi, ún. Legendre-lkr hozhtók, melyek sorbn z els -, másod-, hrmdfjú elliptikus integrálok :.. Riemnn-integrál dϕ, ( k sin ϕ)dϕ, ( k sin ϕ) dϕ ( + n sin ϕ) ( k sin ϕ) A gykorlti életben, mikor konkrét integrálok kiszámításár vn szükségünk, f ként htározott integrálokt számolunk. A htározott integrál értelmezése következ : Legyen dott egy z [, b] intervllumbn mindenütt értelmezett f korlátos függvény. Ekkor f-nek z -tól b-ig vett Riemnn-integrálját egy htárérték segítségével deniáljuk: 5

17 b f := lim n mx x i n f(ξ i ) x i, hol x i z [, b] intervllum i-edik részintervllumánk hossz, f(ξ i ) pedig z i-edik részintervllum tetsz leges pontjához trtozó függvényérték. H tehát ez htárérték létezik és véges, kkor zt mondjuk, hogy f integrálhtó [, b]-ben. Ezen foglom bevezetése látszólg csk távolról kpcsolódik z eddig megismertekhez, zonbn vlójábn ez koránt sincs így, htározott és htároztln integrál kpcsoltát Newton-Leibniz formul dj meg, h f-nek létezik F primitív függvénye: b. i= f(x)dx = F (b) F () Jelölés: F (b) F () = [F (x)] b Így tehát htározott integrál kiszámolásához is lényegében primitív függvényt kell keresnünk, ezért htároztln integrál esetében látott szbályok és módszerek itt is érvényben mrdnk. Néhány egyéb tuljdonság htározott integrálnk: b f(x)dx = f(x)dx, tehát htárok felcserélésével el jelváltás történik. b b f(x)dx = c f(x)dx + b f(x)dx, tehát z integrálási intervllum részekre bontásávl z eredeti integrál részeken vett integrálok c összegével egyezik meg. H minden x [, b]-re f(x), kkor b f(x)dx H z integrálási intervllum fels htár nem állndó, kkor htározott integrál fels htár függvénye, vgyis: G(x) = x f(t)dt = F (x) F () H f(t) integrálhtó [, b]-n, és x [, b], kkor G(x) folytonos [, b]-n. Továbbá h f folytonos x-ben, kkor G deriválhtó ebben pontbn, és G (x) = f(x). 6

18 ... A Riemnn-integrál kiszámítás A htározott integrál kiszámítás tehát lényegében: primitívfüggvény keresése, mjd után Newton-Leibniz formul lklmzás. Most megvizsgálunk két esetet, hol nem teljesen mgától értet d módszer hsznált. Prciális integrálás esetén már ismert szbályt értelemszer en lklmzzuk htározott integrál esetére: b b f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b f (x)g(x)dx Helyettesítéses integrálás esetében zonbn körültekint bbnek kell lennünk, hiszen z integrndus módosulásávl htárokt is módosítnunk kell: h b f(x)dx kiszámítás során x = ϕ(t), vgyis t = ϕ (x), zz dx = ϕ (t)dt helyettesítést lklmzunk, kkor z új htárok: x = helyett: t = ϕ (), x = b helyett: t = ϕ (b) Megjegyzés: természetesen megtehetjük zt is, hogy htárok gyelembevétele nélkül kiszámoljuk z integrndus htároztln integrálját helyettesítéssel, mjd pedig z eredményben visszhelyettesítjük z eredeti változót, és bb helyettesítjük be z eredeti htárokt.... Improprius integrál Az improprius integrálás elméletének kidolgozását lényegében két különböz jelleg problém ihlette.. El fordulht, hogy z integrálási intervllumunk nem korlátos.. Az is lehetséges, hogy bár korlátos intervllumon integrálunk, ugynkkor z integrndus nem korlátos z dott intervllumbn. Mindkét esetben ( szemléletünknek megfelel en) egy htárérték-képzéssel oldjuk meg felmerül problémát. H htárérték ±, kkor zt mondjuk, hogy z improprius integrál divergens.. Tegyük fel, hogy z f függvény minden B > esetén z [, B] intervllumbn integrálhtó. Ekkor: f(x)dx := lim B B f(x)dx, feltéve, hogy ez htárérték létezik. improprius integrál is. Pl: Hsonlón értelmezhet b f(x)dx 7

19 B dx = lim dx = lim + x A,B A + x [rctn A,B x]b A = lim A,B (rctn B rctn A)= π + π =π Megjegyzés: Itt A és B egymástól függetlenül trt -hez, illetve -hez.. Legyen z f függvény minden c < b-re z [, c] intervllumbn integrálhtó. Ekkor: b f(x)dx := c lim c b f(x)dx, feltéve, hogy ez htárérték létezik. Hsonlón értelmezhet z b f(x)dx improprius intergrál bbn z esetben, mikor f integrálhtó [c, b] intervllumbn minden < c b esetén. Pl: 3 x dx = lim c + c [ ] x dx = lim x = lim( 3 c c c 3 3 c ) = Prméteres integrál Az F (y) = b f(x, y)dx lkú htározott integrált, mely tehát z y változó függvénye, prméteres integrálnk nevezzük, esetünkben y prméterrel. H f(x, y) z [, b] [c, d] négyszög lkú trtományon folytonos, kkor F is folytonos [c, d] intervllumon, és ekkor: d c F (y)dy = d c ( ) b f(x, y)dx dy = vgyis z integrálások sorrendje felcserélhet. b ( ) d f(x, y)dy dx, H f y létezik és folytonos z [, b] [c, d] négyszög lkú trtományon, kkor z F (y) prméteres integrál dierenciálhtó, így: F (y) = d dy b f(x, y)dx = b c f y(x, y)dx, vgyis dierenciálás és z integrálás sorrendje felcserélhet. 8

20 Ez két tétel felhsználhtó bizonyos egyváltozós integrálok kiszámolásár. Pl: Legyen f(x, y) = x y, x [, ], y [, b]. Ekkor fenti két tétel lklmzhtó, így: b ( ) x y dx dy = Külön-külön kiszámoljuk bl és jobb oldlt: b ( ) x y dx dy = b [ x y+ y + ] ( ) b x y dy dx dy = b + b dy = ln + y +, illetve: ( ) b x y dy dx = [ x y ln x ] b dx = x b x ln x dx Így tehát ln +b + = x b x ln x dx, mi zért hsznos, mert itt jobb oldlt ligh tudtuk voln elemi módszerekkel kiszámolni. 9

21 3. fejezet Komplex integrálok A komplex függvénytn mtemtik egy önálló ág, mi itt nem is fogllkozunk részletesen vele, pusztán csk nnyir, mennyiben segítségünkre lehet bizonyos típusú vlós intergálok kiszámolásához. Ezért röviden átfutjuk legfontosbb tudnivlókt, mjd pedig lényegesebb részekre, f ként reziduum-tétel lklmzásir koncentrálunk. 3.. Bevezetés Reguláris függvények lpvet tuljdonságát fejezi ki Cuchy-féle lptétel : h f z egyszeresen összefügg nyílt T hlmzon reguláris függvény, kkor bármely T -ben hldó zárt rektikálhtó γ görbére: f(z)dz =. γ Ismeretes továbbá, hogy h egy komplex f függvénynek z pont izolált szingulritás, kkor f Lurent-sorb fejthet körül. A Lurent-sor. tgjánk f együttht ját, c -et z f függvény z = ponthoz trtozó reziduumánk nevezzük, és Res(f, )-vl jelöljük. H izolált szingulritás f-nek, kkor -hez trtozó reziduumot következ képpen értelmezzük: Res(f, ) = c. Alpvet szerepe vn reziduum-tételnek, mely szerint: h f reguláris függvény γ zárt görbén és nnk belsejében, kivéve esetleg belül véges sok k szinguláris pontot, kkor: n f(z)dz = πi Res(f, k ). γ k=

22 A reziduumok kiszámolásánk nyilvánvló módj tehát Lurent-sor, illetve c együtthtó meghtározás. érhetünk: Sok esetben zonbn könnyebben is célhoz H z pont megszüntethet szingulritás, kkor Res(f, ) =. H z pont n-edrend pólus, kkor: Res(f, ) = 3.. Integrálok kiszámolás (n )! lim z [(z )n f(z)] (n ) A komplex függvénytn lehet séget d bizonyos típusú vlós integrálok viszonylg egyszer kiszámításár Egyszer integrálok Legyen I = π R(cos x, sin x)dx, vgyis z integrndus sin x-nek és cos x-nek rcionális törtfüggvénye. Ilyenekkel már fogllkoztunk, zonbn most egy új módszert muttunk: áttérünk komplex z változór z = e ix denícióvl. Ekkor x [, π] esetén z befutj z egységkört, tehát áttérhetünk z egységkörön vett intergálásr. A iz helyettesítésnél következ ket lklmzzuk: cos x = z + z, sin x = z iz,dx = dz. Ekkor tehát reziduum-tételt z R függvény egységkörön belül elhelyezked szingulritásir kell kiterjeszteni. Pl: I = π 6+5 cos x dx, elvégezve z = eix helyettesítést: γ z + z iz dz = γ i 5z + z + 5, hol γ komplex sík z = egyenlet köríve, pozitív irányítássl. Az integrndus szinguláris helyei nevez gyökei: z = , z = Mivel z γ-n belül, z γ-n kívül helyezkedik el, így reziduumtétel szerint: I = πi Res(z ). z nevez nek egyszeres gyöke, így els rend pólus, ezért Res(z ) = i 44, ezzel pedig I = πi i 44 = π

23 3... Improprius integrálok 3... (, ) intervllumr vontkozó integrálok A vlós számegyenesen értelmezett f függvényt terjesszük ki z Iz fels félsíkr regulárisn, mjd vlós számegyenes [ R, R] intervllumát egészítsük ki lklms módon (pl: z = R,Iz félkörívvel) komplex síkon egy zárt görbévé. Ekkor feldtunk, hogy R esetén félkörre vontkozó integrál htárértékét kiszámítsuk. H f reguláris fels félsíkon, vgy pedig vnnk szinguláris pontji, de mind fels félsíkbn, kkor lklmzhtjuk reziduumtételt. H f-nek vlós számegyenesen vnnk szinguláris pontji, kkor z el bbiekben vázolt görbét úgy módosítjuk, hogy vlós tengelyen lév szinguláris pontokt kikerüljük egy ε > sugrú félkörívvel, mjd ezen félkörívekre vett integrálok htárértékét számítjuk ε esetén. Tipikus lklmzás, h f(z) = P (z) Q(z), hol grp (z) + grq(z). Ekkor ugynis lklms c konstnssl f úgy viselkedik -ben, mint c z +α (α > ), tehát z R sugrú félkörre vontkozó integrál bszolút értéke: c R +α Rπ (R esetén), vgyis z integrál elt nik, így h vlós tengelyen nincs szinguláris pont, kkor: P (x) Q(x) dx = πi ( ) P (z) Res Q(z), z k. k Iz> Megjegyzés: H rádásul f(x) = P (x) Q(x) páros függvény, kkor ebb l -vel vló osztássl megkpjuk (, )-re vontkozó integrált is. H vlós tengelyen szinguláris pontok is vnnk, kkor: f(x)dx = πi I k > hol γ i jelöli z ε sugrú félköríveket. osztássl kpjuk (, )-re vontkozó integrált. Pl: I = Res(f, k ) + lim f(z)dz, εi γ i 3x x 4 +3x +36dx esetén mivel I páros, ezért: I = H f páros, kkor szintén -vel 3x x 4 + 3x + 36 dx

24 A komplex síkr vló kiterjesztéssel: f(z) = 3z (z i)(z + i)(z 3i)(z + 3i), így fels félsíkbn két els rend pólus vn: i, 3i. A reziduumokt kiszámolv: reziduum-tétel szerint: Res(f, i) = 6i 9 i,res(f, 3i) = i, így γ ( 6 f(z)dz = πi i + 9 ) = 3π i 5 Az áltlános eljárásbn ismertetettek szerint tehát: I = f(x)dx = γ f(z)dz I = 3π Hsonlón fontos jelent ség Jordn-lemm, mely szerint h z f komplex függvény reguláris z Iz fels félsíkon, véges sok szingulritástól eltekintve, és z esetén f egyenletesen, kkor tetsz leges α > - r: hol γ z = R,Iz > félkörív. lim f(z)e iαz dz =, R γ Ennek lklmzásávl pl. vlószín ségszámításbn sokszor hsznált krkterisztikus függvény kiszámítás során fellép f(x)eiαx dx lkú integrálokt is kiszámolhtjuk fent leírt módon. Továbbá fontos példként kiszámolunk egy nevezetes integrált: I = Az integrndus páros függvény, így: I = sin x dx =? x sin x x dx = cos z+i sin z Tekintsük következ komplex függvényt: f(z) = eiz z z, ekkor f vlós tengelyre vló lesz kítésének képzetes része z integrndus. f- nek vlós tengely z = pontjábn els rend pólus vn, ezért 3

25 pontot kikerüljük egy origó közep, ε sugrú félkörívvel, legyen ez γ. Ehhez cstlkozzon vlós tengely [ R, ε] és [ε, R] intervllum, ezekhez pedig z = R,Iz félkörív, így dódik Γ zárt görbe, ez legyen z integrációs út. f egyetlen szinguláris pontj z origó, mely Γ-n kívül esik, így Cuchy-lptétel szerint: ε R e ix x γ dx + e iz R z dz + e ix ε x γ dx + e iz dz =. z Az egyenlet átrendezése, mjd pedig R, ε után dódik, hogy: I = ( I e lim R γ iz e dz lim z ε γ iz ) z dz. A Jordn-lemm mitt γ -re vontkozó integrál -hoz trt R esetén. Az e iz függvény Tylor-soránk felhsználásávl kpjuk, hogy f körüli Lurent-sor: e iz z = z +g(z) lkú, hol g reguláris, ezért z origó környezetében korlátos. Mivel γ ívhossz -hoz trt, ezért g integrálj elt nik. γ negtív irányítású, így: dz = iπ felhsználásávl zt kpjuk, hogy: γ z I = I( ( iπ)) = π 3... (, )-re vontkozó integrálok H z integrndus nem páros függvény, és mégis (, )-en szeretnénk integrálni, kkor új módszert kell lklmznunk. Legyen ismét f(z) = P (z) Q(z), hol grp (z) + grq(z). H függvénynek pozitív vlós féltengelyen és -bn nincs pólus, kkor: P (x) Q(x) dx = ( Res ln( z) P (z) ), Q(z) hol z összegzés z ln( z) P (z) Q(z) függvény összes szinguláris pontjár kiterjesztend. Ebben z esetben z integrációs út z = R körív, vlós tengely ltti [R, ε] szksz, z = ε körív, és vlós tengely feletti [ε, R] szksz áltl lkotott zárt görbe. A fenti képlet komplex logritmusfüggvény tuljdonságin, és reziduum-tételen lpul. Pl: 4

26 I = x dx =? + 5x + 4 Az integrndus komplex síkr vló kiterjesztésével: f(z) = z + 5z + 4 = (z + )(z + 4), hol f vlós tengelyen egybeeseik z dott vlós integrndussl. f-nek két els rend pólus vn: -,-4, mindkett negtív vlós féltengelyen, így lklmzhtó fenti formul. Mivel: Res(ln( z) f(z), ) =, Res(ln( z) f(z), 4) = ln 4 3, így z integrál értéke: I = ( ln 4 3 ) = ln 4 3 5

27 4. fejezet Alklmzások Az integrálszámításnk kkor érezzük igzán jelent ségét, h gykorltbn tudjuk lklmzni. Ezért muttjuk be z lábbi módszereket. A fejezet végén pedig mtemtik különféle területein fellelhet, nevezetes integrálokról dunk áttekintést. 4.. Terület H egy [, b]-n értelmezett Riemnn-integrálhtó függvény görbéje, z és b htárpontokhoz trtozó ordinátszkszok, továbbá z x-tengely áltl htárolt (el jeles) területet szeretnénk meghtározni, kkor ez megtehet egy Riemnnintegrálás segítségével, ugynis: T = b f(x)dx. El jeles terület ltt zt értjük, hogy z x-tengely feletti részt pozitív el jellel, z x-tengely ltti részt pedig negtív el jellel vesszük. H görbe prméteres lkbn dott, vgyis x = x(t) és y = y(t), kkor t és t prméterértékhez trtozó P (t ) = P [x(t ), y(t )] és P (t ) = P [x(t ), y(t )] pontok áltl htárolt görbeszksz, z x(t ) és x(t ) egyenesek, továbbá z x-tengely közötti területet z lábbi formul dj meg: T = t t y(t) x(t)dt, 6

28 hol x(t) z x(t) függvény t szerinti deriváltj: x(t) = dx dt. H szektorterületet szeretnénk meghtározni, és síkgörbénk polárkoordinátás lkbn dott, kkor z lábbi formulát hsználhtjuk: 4.. Ívhossz T = ϕ ϕ r dϕ Egy görbe rektikálhtó, h ívhossz, vgyis beírt poligonok hossziból álló hlmz fels htár véges. H egy y = f(x) függvény [, b]-n dierenciálhtó, és deriváltj korlátos, kkor rektikálhtó, és ekkor z és b bszcisszák áltl htárolt vonldrb ívhossz: l = b + (f (x)) dx. H görbe prméteres egyenletrendszerrel dott, kkor t és t prméterértékeknek megfelel pontok közé es görbedrb ívhossz: l = t t ( x) + ( y) dt. H görbe egyenlete polárkoordinátákkl dott, kkor (ϕ, r ) és (ϕ, r ) pontok közé es görbedrb ívhossz: 4.3. Felszín l = ϕ ϕ r + ( r) dϕ. Az lábbikbn csk forgástestek felszínével fogllkozunk, ezeket pedig következ képpen kphtjuk meg: egy folytonos, rektikálhtó y = f(x) görbét z x-tengely körül (vgy pedig egy folytonos, rektikálhtó x = g(y) görbét z y-tengely körül) megforgtunk. Az így el álló forgásfelületnek, zz forgástest plástjánk felszíne meghtározhtó. Az y = f(x) függvény görbéjének z x-tengely körüli megforgtásávl keletkez forgástest plástjánk felszíne (z, b htárok között): F x (, b) = π b 7 y + y dx.

29 H pedig forgástengely z y-tengely, és szksz végpontji: y = A és y = B, kkor plást felszíne: F y (A, B) = π B A x + x dy. Itt x z y = f(x) függvény inverze, zz x = f (y) = g(y), így x = dx dy H függvény prméteres lkbn dott, kkor t és t prmétereknek megfelel pontok áltl htárolt görbe x-tengely körüli forgtásából dódó forgástest plástjánk felszíne: 4.4. Térfogt t F x (t, t ) = π y(t) x (t) + y (t)dt. t H egy test x-tengelyre mer leges metszetének területe z x bszcissz függvényeként T (x), kkor test [, b]-be es drbjánk térfogt: V (, b) = b T (x)dx. Speciálisn: h test egy y = f(x) görbe x és x bszcisszák áltl htárolt ívének x-tengely körüli forgtás révén keletkezik, tehát forgástest, kkor testnek z x-tengelyre mer leges síkokkl vló metszete minden x-re f(x) sugrú kör, így: x V x = π f (x)dx. x H z y = f(x) függvény görbéjét z y-tengely körül forgtjuk meg, kkor z így keletkez forgástest y és y ordinátájú pontok áltl htárolt részének térfogt: y V y = π x (y)dy, y hol x = x(y) z y = f(x) függvény inverze. H függvény z x = x(t), y = y(t) prméteres lkbn dott, kkor t és t prméterértékek áltl htárolt görbeszksz x-tengely körüli forgtásávl keletkez forgástest térfogt: V x = π π y (t) x(t)dt. 8

30 4.5. Súlypont Az y = f(x) egyenlettel megdhtó görbe és b bszcisszájú pontok áltl htárolt ívének súlypontját S(x s, y s )-sel jelölve: x s = b x + y dx + y dx, y s = b b y + y dx + y dx. H egy sík lemezt htároló vonlk: z y = f(x) függvény görbéje, z és b bszcisszájú pontokhoz trtozó ordináták, vlmint z x-tengely, kkor lemez S súlypontjánk koordinátái: x s = b xydx b ydx, y s = b b y dx b ydx. H z y = f(x) függvény görbéjét z x-tengely körül megforgtjuk, kkor egy olyn forgásfelületet kpunk, mely áltl htárolt forgástest súlypontj szimmetri mitt z x-tengelyre esik, így megfelel koordináták: x s = 4.6. Nevezetes integrálok b xy dx b y dx, y s = A mtemtik különböz területein el fordulnk olyn nevezetes intergálok, melyeket elemi függvényekkel nem tudunk kifejezni, ám mégis szükséges kiszámolásuk. Ilyenkor, h z f integrndus egyenletesen konvergens sorb fejthet egy [, b] intervllumbn, kkor tgonkénti integrálássl z x f(t)dt integrálr kphtunk htározott integráloknk egyenletesen konvergens sorát. Más esetben egyéb módszerrel, vgy esetleg vlmilyen numerikus integrálási módszert felhsználv kphtjuk meg kívánt eredményt. Integrálszinusz: Si(x) = x sin t dt = π t x sin t dt = x x3 t 3 3! ( )n x n+ (n + )(n + )! +... Itt felhsználtuk z el z fejezetben bebizonyítottkt, miszerint: sin t dt = π t. 9

31 Integrálkoszinusz ( < x < ): Ci(x) = x cos t x dt = C + ln x t cos t dt t = C + ln x x! ( )n x n +... n(n)! Itt C = e t ln tdt, 577, ez z ún. Euler-konstns. Integrállogritmus ( < x <, x ): Li(x) = x (ln x) (ln x)n dt = C + ln ln x + ln x ln t! n n! Megjegyzés: számelméletben π(x)-el jelölve [, x]-ben tlálhtó prímek számát, igzolhtó, hogy: vgyis Li(x) igen jól becsüli π(x)-et. ( ) x π(x) Li(x) = o ln k, x Integrálexponenciális függvény ( < x <, x ): Ei(x) = x Megjegyzés: Ei(ln x) = Li(x) Guss-integrál: e t (x) (x)n dt = C + ln x + x t! n n! +... I = e t dt ( I = e dt) t = e t dt e u du = e (t +u ) dtdu 3

32 Polárkoordinátákr áttérve (vgyis többváltozós helyettesítéses integrálást lklmzv): I = π re r dϕdr = πre r dr = π [e r] = π I = π Megjegyzés: Φ(x)-el jelölve stndrd normális eloszlásfüggvényt: Φ(x) = π x e t dt Mivel I = π, ezért lim Φ(x) =, mib l vlóbn következik, hogy Φ(x) eloszlásfüggvény. x Gmm-integrál (x > ): Igzolhtó, hogy: Γ(x) = e t t x dt n x n! Γ(x) = lim n x(x + )...(x + n) Megjegyzés: Γ(x) tuljdonságink segítségével fktoriális foglmát áltlánosíthtjuk tetsz leges vlós számr: x! = Γ(x ). Ennek segítségével pedig z ún. Bét-integrálokt is kiszámíthtjuk ( < x < ): B(u, v) = x u ( x) v dx = Γ(u)Γ(v) Γ(u + v) A Gmm- és Bét-integrálok fontos szerepet játsznk vlószín ségszámításbn. A Gmm-eloszlás s r ségfüggvénye: f α,λ (x) = Γ(α) λα x α e λx Itt x >, továbbá: α > rend, λ > prméter. A Bét-eloszlás s r ségfüggvénye ( < x <, α >, β > ): f α,β (x) = B(α, β) xα ( x) β 3

33 5. fejezet Összefogllás Munkám során számos integrálási módszert bemutttm, ugynkkor fontosnk trtom megjegyezni, hogy z integrálás tudomány szinte kimeríthetetlen: egyegy dott integrál kiszámolásához sokszor sblonoktól eltér, egyedi, ötletes megoldás szükséges. Éppen ezért minden integrált kiszámoló rutin módszer nem létezik, ugynkkor elég ngy eszköztárunk vn bizonyos típusú integrálok meghtározásához. Ahol pedig semmilyen eljárás nem t nik kézenfekv nek, bbn z esetben numerikus integrálást végezhetünk. Zárszóul elmondhtjuk tehát, hogy megfelel ismeretek elsjátítás után z integrálás nem is okoz olyn nehézséget, mint hogy zt eredetileg gondolhttuk voln. Köszönetnyilvánítás. Ezúton szeretném megköszönni Sikoly Eszternek, z ELTE-TTK Alklmzott Anlízis Tnszék djunktusánk rendkívül segít kész és lelkiismeretes támogtását és jvsltit, melyek ngybn hozzájárultk munkám sikerességéhez. 3

34 Trtlomjegyzék. Bevezetés. Integrálási módszerek.. Htároztln integrál Riemnn-integrál Komplex integrálok 3.. Bevezetés Integrálok kiszámolás Alklmzások Terület Ívhossz Felszín Térfogt Súlypont Nevezetes integrálok Összefogllás 3 33

35 Irodlomjegyzék [] Bárczy Brnbás: Integrálszámítás (Bolyi-sorozt), M szki Könyvkidó, 5 [] Fekete Zoltán - Zly Miklós: Többváltozós függvények nlízise (Bolyisorozt), M szki Könyvkidó, 6 [3] Hnk László - Zly Miklós: Komplex függvénytn (Bolyi-sorozt), M - szki Könyvkidó, 3 [4] I.N.Bronstejn - K.A.Szemengyjev - D.Musiol - H.Mühlig: Mtemtiki kézikönyv, TypoTEX Kidó, [5] Lczkovich Miklós - T. Sós Ver: Anlízis II., Nemzeti Tnkönyvkidó, 7 [6] Obádovics J. Gyul - Szrk Zoltán: Fels bb mtemtik, Scolr Kidó,