Tekintsük az I (I R) intervallumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben a

Átírás

1 .

2 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj. Egyváltozós függvények htároztln integrálj PAP MARGIT. A primitív függvény foglm Tekintsük z I (I R) intervllumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben prgrfusbn következő kérdésekre keressük válszt: A) Milyen feltételek mellett vn olyn F : I R függvény, melynek deriváltj z I intervllumon z előre dott f függvény? B) Hogyn htározhtó meg egy ilyen tuljdonságú F függvény, h ismerjük z f-et? Ezzel kpcsoltos z lábbi foglom. Definíció. Legyen f : I R. Az F : I R függvényt z f primitív függvényének vgy ntideriváltjánk nevezzük, h ) F deriválhtó z I intervllumon (F D(I)) és ) F () = f() ( I). Nyilvánvló, hogy h F z f-nek primitív függvénye és c bármely z I intervllumon értelmezett konstns függvény, kkor (F + c) = F = f lpján F + c is primitív függvénye f-nek. Megfordítv, h F és F f függvény primitív függvénye z I intervllumon, kkor (F F ) = F F = f f = figyelembevételével zt kpjuk, hogy F F állndó. Következésképpen f primitiv függvényeinek összessége vlmely F primitív függvényéből kiindulv lkbn dhtó meg. {F + c : c R}

3 . A primitív függvény foglm Definíció. Legyen f : I R olyn függvény, melynek vn primitív függvénye. Az f függvény primitív függvényeinek hlmzát z f függvény htároztln integráljánk nevezzük, és z f()d vgy f szimbólumml jelöljük. Az szimbólum z integrál jel. Az integrál jel ltt szereplő f függvényt integrndusnk is nevezzük. H ismert f egy F primitív függvénye, kkor f htároztln integrálj: f()d = {F () + c, c R}. A gykorltbn htároztln integrál felíráskor hlmz jelölésére hsznált kpcsos zárójelek kiírásától el szoktk tekinteni. Adott függvény primitív függvényeinek megkeresését integrálásnk nevezzük. Az lábbikbn néhány gykrn előforduló függvény primitív függvényét djuk meg.

4 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj 3 I. Alpintegrálok f : I R F : I R, (c R) I z ért.trt. ssz. integrndus f primitív függvénye részintervllum (F () = f(), I) f() = F () = + c I R f() = n, n N F () = n+ n + + c I R, 3 f() = α, α R \ { } F () = α+ α + + c I (; + ) 4 f() = n, n N \ {} F () = + c I R \ {} (n ) n 5 f() = F () = + c I (; ) 6 f() = e F () = e + c I R 7 f() =, >, F () = ln + c I R 8 f() = F () = ln + c I R \ {} 9 f() = sin F () = cos + c I R f() = cos F () = sin + c I R f() = cos = + tg F () = tg + c I R\ {(k + ) π } k Z f() = sin = + ctg F () = ctg + c I R\ {kπ k Z} 3 f() =, F () = ln + + c I R\ { ; } 4 f() = +, F () = rctg + c I R 5 f() =, F () = rcsin + c I (, ) 6 f() = +, F () = ln( + + ) + c I R 7 f() =, F () = ln + + c I 8 f() = cosh = e + e F () = sinh = e e 9 f() = sinh = e e F () = cosh = e e (, ) (, + ) I = R I = R

5 4. Műveletek primitív függvényekkel A tábláztbn feltüntetett F primitív függvényeket, h deriváljuk visszkpjuk megfelelő f-et. Például z f() = sin függvény primitív függvénye F () = cos. Vlóbn, h kiszámítjuk z F deriváltját, kkor következőt kpjuk: Tehát sin d = cos + c, (c R). F () = ( cos ) = ( sin ) = sin.. Tétel Bármely intervllumon folytonos függvénynek vn primitív függvénye.. Műveletek primitív függvényekkel A differenciálási szbályok felhsználásávl egyszerűen igzolhtók z lábbi, htároztln integrálok meghtározásár vontkozó műveleti szbályok:. Tétel. H z f, g : I R függvényeknek vn primitív függvénye és λ vlós szám, kkor z f + g és λf függvényeknek is vn primitív függvénye és (f() + g())d = f()d + g()d, λf()d = λ f()d. Bizonyítás. Legyen f()d = F () + c, (c R) és g()d = G() + c, (c R), kkor z F és G deriválhtók I-n és F = f G = g. Innen következik, hogy F + G és λf deriválhtók I-n és (F + G) = F + G = f + g (λf ) = λf = λf. vgyis F + G primitív függvénye f + g-nek, és λf primitív függvénye λf-nek. Tehát (f() + g())d = {F () + G() + c, (c R)}, zz (f() + g())d = f()d + g()d és λf()d = {λf () + c, c R} = λ f()d..3 Gykorltok Htározzuk meg következő függvények primitív függvényét (z f értelmezési trtomány z legbővebb R-beli hlmz, melyen kijelölt műveleteknek értelme vn):

6 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj 5 ) f() = ) f() = ) f() = + 4) f() = 5) f() = 3 ( ) 6) f() = ( + )3 7) f() = 8) f() = 9) f() = sin + b cos ) f() = e ) f() = + 3 3) f() = 4 5) f() = 7) f() = ) f() = ) f() = 6) f() = 8) f() = ) f() = 5 + ) f() = ) f() = 5 ) f() = 5 4 3) f() = sin 4) f() = cos + cos.4. Integrálási eljárások. Az lpintegrálok és htároztln integrálokr vontkozó műveleti szbályok mellett htároztln integrálok kiszámításkor még két másik integrálási szbályt szoktunk lklmzni. Ezek z ú.n. prciális integrálás szbályi és z integrálás helyettesítéssel..4.. Prciális integrálás szbály. A szorztfüggvény deriválási szbályából következik 3. Tétel (Prciális integrálás szbály.) Legyen f, g két deriválhtó függvény z I intervllumon (f, g D(I)). H z f g függvénynek vn primitív függvénye, kkor g f-nek is vn primitív függvénye, és fg = fg f g. Bizonyítás. Mivel f, g deriválhtók, és (fg) = f g +fg, ezért fg = (fg) f g. Tehát z fg függvény felírhtó két olyn függvény különbségeként, melyeknek vn primitív

7 6.4. Integrálási eljárások. függvénye, következésképpen fg -nek is vn primitív függvénye, és fg = (fg) f g = fg f g. Ezzel tétellel z fg függvény primitív függvényének meghtározását z f g primitív függvényének meghtározásár vezettük vissz. Ez módszer kkor htékony, h f g egyszerűbb mint fg. Az lábbikbn bemuttunk néhány fontos esetet, mikor primitív függvény meghtározhtó prciális integrálássl.. Típus P ()e d,, hol P () egy polinom. Ebben z esetben z f() = P (), g () = e szereposztássl célrvezető prciális integrálás. A következő feldttl szemléltetjük z eljárást. ) Htározzuk meg z e d htároztln integrált. Az f() =, g () = e ( R) válsztás esetén f =, g() = e, és így: e d = fg = fg f g = e e d = e e + c, (c R). H z integrndusbn z e mellett szereplő polinom n-ed fokú, kkor prciális integrálást egymásután n-szer lklmzv jutunk eredményhez. b) Például: e d = (e ) d = e = e (e ( ) e d = e (e ) d = () e d = e e + e + c, c R.. Típus P () ln d, hol P() egy polinom. Ebben z esetben z g () = P (), f() = ln szereposztássl célrvezető prciális integrálás. ) Htározzuk meg z n ln d htároztln integrált. Legyen f() = ln, g () = n ( > ) és tegyük fel, hogy n. Ekkor g() = n d = n+, > és prciális integrálássl következőt kpjuk: n + n ln d = fg = fg = n+ n + ln f g = n+ n+ n + ln n + d = n n+ d = n + n + ln H n =, kkor g() = ln, >, ebben z esetben ln ln d = ln d. n+ + c, (c R). (n + )

8 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj 7 A fenti összefüggés keresett ln d függvényre egy egyenlet. Ezt megoldv ln d = ln + c, (c R). b) Htározzuk meg z ln d-et. Legyen g () =, f() = ln, >. Ekkor g() =, f () = /. ln d = ln d = ln + c, (c R). 3. Típus e sin bd vgy e cos bd. A fenti integrálok esetében h szorzt bármely tgját jelöljük f-el másikt meg g -tl z eljárás célrvezető lesz. A következő feldttl szemléltetjük z eljárást. Htározzuk meg z e sin d htároztln integrált. Legyen f() = sin, g () = e, R. Ekkor f () = cos, g() = e. e sin d = e sin e cos d. Az e cos d meghtározás érdekében, lklmzzuk még egyszer prciális integrálás szbályát z f () = cos, g () = e szereposztássl. Ekkor f () = sin, g() = e továbbá e sin d = e sin e cos d = = e sin [e cos ( sin )e d] = = e sin e cos sin e d. Tehát: e sin d = e sin e cos sin e d Ahonnn: e sin d = (e sin e cos ) + c, c R..4. Feldtok Prciális integrálássl htározzuk meg z lábbi integrálokt: ) ln d ) ln d 3) 3 ln d 4) e d

9 8.4. Integrálási eljárások. 5) ( 3 + )e d 6) ( )ch d 7) cos d 8) sin d 9) sin n d ) cos d ) cos n d ) n e α d 3) e sin d 4) e α cos β d 5) e (sin cos ) d 6) rcsin d 7) rctg d 8) rccos d.4.3 Integrálás helyettesítéssel A közvetett függvény deriválási szbályából dódik következő tétel. 4. Tétel. (Integrálás helyettesítéssel) Legyenek I és J intervllumok és tekintsük z ϕ : I J f : J R függvényeket, melyek következő tuljdonságokkl rendelkeznek: ) ϕ deriválhtó z I intervllumon, b) legyen F f primitív függvénye, ekkor z (f ϕ)ϕ függvénynek z F ϕ függvény primitív függvénye, következésképpen (f ϕ)ϕ = F ϕ + c, (c R). Ugynezen összefüggést más jelölésmóddl felírv (f(ϕ(t))) ϕ (t) = F (ϕ(t)) + c, (c R, t I). Bizonyítás. Mivel f-nek z F primitív függvénye J intervllumon ezért F deriválhtó és F () = f(), J. Figyelembe véve, hogy ϕ deriválhtó I-n, ezért F ϕ is deriválhtó I-n és függvények kompoziciójár vontkozó deriválási szbály lpján (F ϕ) (t) = F (ϕ(t)) ϕ (t) = f(ϕ(t)) ϕ (t), t I. Tehát z F ϕ függvény z (f ϕ)ϕ primitív függvénye, zz (f ϕ)ϕ = F ϕ+c, (c R). A következőkben néhány példán keresztül bemuttjuk helyettesítő módszer lklmzását.

10 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj Példák ) Htározzuk meg z (t + b) n dt,, n. integrált. Legyen ϕ(t) := t + b, f() = n. Ekkor ϕ (t) = és z integráljel ltti kifejezés felírhtó (t + b) n dt = f(ϕ(t))ϕ (t)dt lkbn. Mivel z f() = n függvénynek F () = n+ primitív függvénye, ezért z n + előbbi tétel lpján (t + b) n dt = F (ϕ(t)) + c = (t + b)n+ + c, (c R). n + ) Htározzuk meg tg t dt t ( π, π ) integrál. A tg t = sin t cos t lkot írv, legyen cos t = ϕ(t), ekkor ϕ (t) = sin t és legyen f() = /. Tehát z integráljel ltti kifejezés felírhtó sin t cos t dt = ϕ (t) ϕ(t) dt = f(ϕ(t))ϕ (t)dt lkbn. Mivel z f függvénynek F () = ln egy primitív függvénye, ezért tg t dt = F (ϕ(t)) + c = ln cos t + c, (c R). 3) Htározzuk meg sin t dt t (, π). integr lt.. Módszer. Azért, hogy z integrál ltti kifejezést f(ϕ(t))ϕ (t) lkú függvényként írjuk fel, következő átlkítást végezzük sin t = sin t sin t = sin t cos t. Jelöljük ϕ := cos t, ϕ (t) = sin t, legyen f =, melynek F () = ln + egy primitív függvénye. Ekkor sin t dt = ϕ (t) ϕ (t) dt = f(ϕ(t))ϕ (t) = = F (ϕ(t)) + c = ln cos cos + + c, (c R).

11 4) Htározzuk meg + tg t dt, t ( π/, π/),.4. Integrálási eljárások.. Módszer A következő átlkításokt is végezhettük voln sin t = tg (t/) + tg (t/) = (tg (t/)) tg (t/). H ϕ(t) = tg t, f() = jelölés hsználjuk, kkor F () = ln, és helyettesítési módszer lpján dt = ln sin t tg t + c, (c R). Megjegyzés A különböző módszerek lkmzás során kpott eredmények látszólg különbözőek, zonbn megfelelő átlkításokkl ki lehet muttni, hogy kpott eredmények egymástól legfeljebb egy konstnsbn térnek el. integrált. A következő átlktást célszerű végezni: + tg t dt = + tg t + tg t dt. Legyen ϕ : ( π, π ) R, ϕ(t) = tg t, ϕ (t) = + tg t, f : R R, f() =. + Ekkor F () = ln( + + ) z f primitív függvénye és + tg tdt = ϕ (t) + ϕ (t) dt = f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ( = F (ϕ(t)) + c = ln tg t + ) + tg t + c, (c R). Az 4. Tétel néhány speciális esetét f konkrét megválsztásávl prgrfus végén tábláztbn foglljuk össze. Példák ) Számítsuk ki következő függvények primitív függvényeit: e + e d. Az f : R R, f() = e + e folytonos függvény. Legyen e = t, innen = ln t. Legyen ϕ : (, + ) R, ϕ(t) = ln t. Ez függvény bijektív, z inverz függvénye

12 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj ϕ : R (, ) t = ϕ () = e, deriválhtó: ϕ (t) =, t (, ) és deriváltjánk t nincs gyöke. Megkeressük z f(ϕ(t)) ϕ (t) = t + t t = t + t függvény egy primitív függvényét, melyet H-vl jelölünk: f(ϕ(t)) ϕ t t + (t)dt = + t dt = t + dt t + dt = Innen 6. Tétel lpján e = t ln( + t) + c = H(t), c R. + e d = H ϕ () = e ln( + e ) + c, c R. Röviden: e = t = ln t, d = dt, tehát t e + e d = t + t dt = t ln( + t) + c t = e ln( + e ) + + c, c R. ) ( + ln d, >. ) Röviden: t = ln = e t, d = e t dt. ( + ln ) d = e t ( + t ) et dt = + t dt = = rctg t + c = rctg(ln ) + c, c R. 3), ( (, ), pozitív. Legyen ϕ : π, π ) (, ) ϕ(t) = sin t, >, ϕ bijektív, deriválhtó és ( ϕ (t), t π, π ) ; ϕ () = rcsin ; g(t) = ϕ(ϕ(t))ϕ (t)dt = sin t cos t = g(t)dt = = = cos t, + cos t f(ϕ(t))ϕ (t)dt = cos t dt = dt = (t + sin t cos t) + c = G(), c R ( f()d = G(ϕ ()) = rcsin + ) + c, c R. Röviden: = sin t t = rcsin, d = cos t dt d = sin t cos t dt = cos t dt = + cos t = = (t + sin t cos t) + c = ( = rcsin + ) + c, c R.

13 .4. Integrálási eljárások. Htároztln integrálok táblázt ϕ : I R folytonosn deriválhtó függvény, c R () ϕ n ()ϕ ()d = ϕn+ () n + + c, n N () ϕ ()ϕ ()d = ϕ+ () + + c, R \ { }, ϕ(i) (, ) (3) ϕ() ϕ ()d = ϕ() ln + c, R + \ {}. (4) ϕ () d = ln ϕ() + c, ϕ() ϕ(), I (5) ϕ () ϕ () d = ln ϕ() ϕ() + +, ϕ() ±, I, (6) ϕ () ϕ () + d = rctg ϕ() (7) ϕ () sin ϕ()d = cos ϕ() + c (8) ϕ () cos ϕ()d = sin ϕ() + c + C, (9) ϕ () {(k cos ϕ() d = tg ϕ() + c, ϕ() / + ) π } k Z, I () ϕ () sin d = ctg ϕ() + c, ϕ() ϕ() / {kπ k Z}, I () { ϕ () tg(ϕ())d = ln cos ϕ() + c, ϕ() / (k + ) π } k Z, I () ϕ () ctg(ϕ())d = ln sin ϕ() + c, ϕ() / {kπ k Z}, I (3) ϕ () ϕ () + d = ln[ϕ() + ϕ () + ] + c, (4) ϕ () ϕ () d = ln ϕ() + ϕ () + c, ϕ(i) (, ) vgy ϕ(i) (, ), > (5) ϕ () ϕ() d = rcsin + c, >, ϕ(i) (, ) ϕ ()

14 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj Gykorltok A helyettesítési módszert lklmzv htározzuk meg következő függvények primitív függvényeit: ) cos(3t )dt ) t (t 3 + ) 5 dt 3) d 4) d 5) sin + cos d 6) cos 7) + tg d tg 9) d ln 8) e 3 d ) ln d. sin( + )d. sin cos d 3. sin 3 cos d 4. sin 3 d 5. sin + cos sin cos 6. (tg + tg 3 )d 7. sin sin + 4 d 8. sin cos4 d 9. d 4

15 4.4. Integrálási eljárások A rcionális függvények integrálás. Elemi törtfüggvények Definíció. Elemi törtfüggvénynek nevezzük z. f() := n n + n n + + +, R; A. f() := ( ) n (n N+ ), ; A + B 3. f() := ( + b + c) n n N+, (b 4c < ), R lkú függvényeket. Tétel. Bármely rcionális függvény felbonthtó véges számú elemi törtfüggvény összegére, vgyis, h f : I R, f() := P () Q() (Q(), I) rcionális függvény, hol P és Q reltív prím polinomok, és Q vlós együtthtós irreducibilis tényezőkre bontás Q() =( ) α... ( m ) αm ( + p + q ) β... ( + p n + q n ) βn kkor f() = L() + + ( + p i + q i = -nk nincs vlós gyöke, i =, n), [ m i= A (i) ( i ) + A (i) αi ( i ) A(i) α + + i αi i n B(j) + C(j) ( + p j + q j ) β + B (j) + C(j) j ( + p j + q j ) β j + + B (j) β j + C (j) β j + p j + q j j= (L polinom, A (i) k, B(j) h, C(j) h, p j, q j R, p j 4q j < ). A következőben néhány példán keresztől bemuttjuk, hogy hogyn végezzük el gykorltbn rcionális törtfúggvény elemi törtekre bontását. Bontsuk elemi törtfüggvények összegére z f : I R rcionális függvényeket: ) f() := Megoldás. H számláló fokszám kisebb mint nevező fokszám, kkor L() =. Először nevezőt vlós együtthtós irreducibilis tényezők szorztár bontjuk = ( + ) ( 3), így ] ( + ) ( 3) = A ( + ) + B + + C 3.

16 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj 5 Az A, B, C vlós állndókt htároztln együtthtók módszerével számítjuk ki: honnn ( + ) ( 3) A( 3) + B( + )( 3) + C( + ) = ( + ) ; ( 3) ( + ) ( 3) = (B + C) + (A B + 4C) + ( 3A 6B + 4C) ( + ), ( 3) B + C = A B + 4C = 7 3A 6B + 4C = 4 egyenletrendszert kpjuk, melynek megoldás: A =, B =, C =. Tehát f() = ) f() := ( + ). (3 ) Megoldás ( + ) (3 ) ( + ) A htároztln együtthtók módszerével zt kpjuk, hogy = A + B ( + ) + C + D + + E 3. A =, B =, C =, D = 4, E =, tehát f() = ( + ) ) f() := ( + ) 3. Megoldás. H számláló fokszám ngyobb mint nevező fokszám, kkor először elosztjuk számlálót nevezővel. A mrdékos osztás tétele lpján P () = L() Q() + P (), hol gr P < gr Q. Ekkor f() = L() Q() + P () Q() = L() + P () Q(). A fenti kifejezésben P () tört számlálójánk fokszám kisebb mint nevező fokszám, Q() ezért felbontás z előző példákhoz hsonlón történik. A számlálót nevezővel osztv, zt kpjuk: A 3 + ( + ) 3 elemi törtekre bontás: f() = ( + ) A ( + ) 3 = ( + ) 3 + B ( + ) + C +.

17 6.4. Integrálási eljárások. A htároztln együtthtók módszerével számolv A = 6, B = 8, C = 3, tehát 6 f() = + ( + ) ( + ) Az elemi törtfüggvények integrálás I. Az f : I R, n n + n n polinomfüggvényt tgonként integráljuk. Péld ( )d = c = c, c R. II. Az f : I R, A ( ) n (n N, I (, ) vgy I (, + )) függvény integrálás: ) H n =, kkor A d = A ln + c, c R. b) H n, kkor A ( ) n d = A n Megjegyzés H f() = A (m + p) n Példák: A (m + p) n (m ) lkú, kkor f() = A m n + c, c R. ( ) n rcionális függvény integrálás visszvezethető z előbbi esetre. ( ) n, hol p =. Tehát z f() = m Számítsuk ki következő függvények htároztln integrálját: ) f() :=, (3, + ). ( 3) 4 Megoldás. Legyen ϕ() = 3, ϕ () =. f()d = ϕ 4 ()ϕ ()d = 3 ϕ 3 () + c = 3 + c, c R. ( 3) 3 ( 7 ) f() := ( + 5) 3,, 5 ). Megoldás. Legyen ϕ() = + 5, ϕ () =. f()d = 7 ϕ 3 ()ϕ ()d = 7 ϕ () + c = c, c R. ( + 5) A + B III. Az f : I R, f() = ( + b + c) n, (n N, = b 4c < ) függvény [ ( integráláskor először z + b + c = + b ) ] 4 átlkítást végezzük

18 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj 7 el. A t = + b változócserével z lábbi típusú integrálokr vezetjük vissz függvény integrálását: ) + d b) + d c) ( + ) n d d) ( + d, n. ) n Az ) integrál z lpintegrál szerint: + d = rctg + c, c R. A b) és c) integrálokt helyettesítéssel számítjuk ki. ϕ () =, ( + ) n d = Legyen ϕ() = +, ekkor + d = ϕ () ϕ() d = ln( + ) + c, c R. ϕ () ϕ n ()d = (n ) ( + + c, (n ). ) n A d) típusú integrált egy rekurziós összefüggés segítségével htározzuk meg. A rekurziós összefüggéshez prciális integrálássl jutunk. I n = ( + ) n d = I n ( + ) n d = + ( + ) n d = d ( + ) n. A prciális integrálás lpján ez utóbbi integrál következő lkr hozhtó (f() =, g () = /( + ) n jelöléssel) következésképpen d ( + ) n = ( n)( + ) n n = ( n)( + ) n I n n, I n = d ( + ) n = n (n ) ( + + ) n (n ) I n, n =, 3,.... Mivel I -et már kiszámítottunk, fenti rekurzió segítségével I n kiszámolhtó bármely n =, 3,... értékére. A J n = A + B ( + b + c) n d, (n >, = b 4c < ) integrál kiszámítás visszvezethető z I n -re következő átlkításokkl: J n = A + B A ( + b + c) n d = A B + b + A b ( + b + c) n d =

19 8.4. Integrálási eljárások. A ( + b + c) ba ( d + (B + b + c) n ) Az utóbbi integrálbn z y = + b J n = eredményre jutunk. Példák: d n [( + b ) + 4 ]n. vátozócserét elvégezve z A ba ( n)( + (B + b + c) n )I n( + b ) Számítsuk ki következő függvények htároztln integrálját:. f() := ( + ) 3, R. Megoldás. Felhsználjuk 3. b) pontbn felírt rekurziós összefüggést: I = d = rctg + c, c R; + I = ( + ) d = ( ) + + I = ( ) + + rctg + c, c R; I 3 = ( + ) 3 d = [ ] 4 ( + ) + 3I = = [ 4 ( + ) + 3 ( )] + + rctg + c, c R. Tehát f()d = I 3 = 4 ( + ) rctg + c, c R. 8. f() = , R. Megoldás. A nevező diszkrimináns = 9 6 = 7, tehát f() = ( + 3 ) elvégezve t = + 3, dt = d helyettesítést z f függvény integrálját következő integrálr vezetjük vissz: t + ( )dt = rctg 7t + c, c R 7 tehát f()d = ( ) 7 7 rctg 7 + c = 7 7( + 3) 7 rctg + c, c R f() := , R.

20 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj 9 Megoldás. A nevező diszkrimináns: = 36 4 = 4, nevező deriváltj: ( ) = ( f()d = ) d = I = = d d ϕ d = () ϕ() = ln ϕ() + c = ln( ) + c, c R. I = ϕ() = , ϕ () = = ( + 3 ) + ( ) d = = ( rctg + 3 ) + c = rctg( + 3) + c, c R. Tehát f()d = 3 4 I 9 I = 3 4 ln( ) 9 rctg( + 3) + c, c R..4.7 Trigonometrikus függvények rcionális kifejezéseinek integrálás. Egyszerűbb típusok. ) sin n+ cos k lkú kifejezések integráláskor következő átlkításokt végezzük: sin n+ cos k = sin sin n cos k = sin ( cos ) n cos k. A htványozás és szorzás műveleteket elvégezve, z f() = cos, f () = sin jelölést hsználv, z összeg minden egyes tgj λf n ()f () típusú lesz, tehát z integrálás tgonként elvégezhető lesz. Példák:. )-hoz. sin 5 d = sin sin 4 d = sin ( cos ) d = sin d sin cos d + sin cos 4 d = cos + f ()f ()d f ()f 4 ()d = cos + 3 f 3 () 5 f 5 () + c = cos + 3 cos3 5 cos5 + c, c R.. sin 3 cos d = sin sin cos d = sin ( cos ) cos d = sin cos d sin cos 3 d = f ()f()d + f ()f 3 ()d = f () + 4 f 4 () + c = cos + 4 cos4 + c, c R.

21 .4. Integrálási eljárások.. b) cos n+ sin k lkú kifejezések integráláskor következő átlkítást végezzük cos n+ sin k = cos cos n sin k = cos ( sin ) n sin k. A kijelölt műveleteket elvégezve, z f() = sin, f () = cos jelölést hsználv, z összeg minden egyes tgj λf n ()f () típusú lesz, tehát z integrálás tgonként elvégezhető lesz. Példák. b)-hez:. cos 3 d = cos cos d = cos ( sin )d = = cos d cos sin d = sin 3 sin3 + c, c R.. cos 5 sin d = cos cos 4 sin d = cos ( sin ) sin d = = cos sin d cos sin 4 d + cos sin 6 d = = 3 sin3 5 sin5 + 7 sin7 + c, c R.. c) H z integrndusbn szinusz és coszinusz is páros htványon szerepelnek, zz sin n cos m kifejezést krjuk integrálni, kkor kétszeres szögfüggvényeire tnult zonosságokt hsználjuk z integrndus átlkításár, zz z sin cos = sin sin cos = cos + cos =. összefüggéseket. Az sin n cos m d integrálbn elvégezve fenti összefüggések lpján z átlkításokt z.) vgy.b) típusú integrálok kiszámítás lesz feldt. Példák. c)-hez:. sin d = cos. cos 4 d = ( + cos 4 sin + 4 d = cos d = sin + c, c R. ) 4 d = ( 4 + cos + ) 4 cos d = cos 4 d = sin sin 4 + c, c R sin cos 4 d = (sin cos ) cos d = sin cos d = 4 = cos 4 + cos d = ( + cos cos 4 cos cos 4) d = 4( sin 4 sin 4 ) cos 6 + cos d = ( + 6 sin sin 4 4 sin 6 + ) sin + c, c R. 4 A fenti példábn tlálkoztunk z cos cos bd típusú integrálll és láttuk, hogy kiszámításkor koszinuszok szorztát kifejeztük koszinuszok összegével. Az eljárás áltlábn is lklmzhtó. Az cos cos bd, cos sin bd, sin sin bd

22 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj integrálokt úgy számítjuk ki, hogy először z integrndus ltti kifejezéseket átlkítjuk következő trigonometrikus zonosságok segítségével mjd tgonként elvégezzük z integrálást. cos cos b = (cos( + b) + cos( b)) sin sin b = (cos( + b) cos( b)) cos sin b = (sin( + b) sin( b)),. Az R(sin, cos, tg, ctg) (hol R egy rcionális kifejezés) lkú integrálok kiszámításkor mindig célrvezető t = tg, d = t t t dt, sin =, cos =, tgt = + t + t + t t, ctgt = t t helyettesítés. Példák:. Számítsuk ki z + cos (, sin d π ) integrált. Elvégezve fent leírt változó cserét következőt kpjuk: + cos + t sin d = + t t + t + t dt = ( t) + t dt. Az integrndus t-ben rcionális törtfüggvény, mit prciális törtekre bontunk. ( t) + t = A (t ) + B (t ) + Ct + D t + ; 4 = A(t + ) + B(t )(t + ) + (Ct + D)(t ) ; 4 = (B + C)t 3 + (A B C + D)t + (B + C D)t + (A B + D). Az együtthtók egyenlőségéből következő egyenletrendszert kpjuk: B + C = A B C + D = B + C D = A B + D = 4, melynek megoldás A = C =, B =, D =. Behelyettesítve z együtthtókt ( ( t) + t dt = (t ) (t ) + t t + ) dt = ( + t ) ln t + t ( + t ) dt = t ln t + ln( + t ) + c, c R.

23 .4.8. Irrcionális függvények integrálj Tehát + cos sin d = tg ln tg + ln( + tg ) + c, c R.. Számítsuk ki z I() = sin ( sin + cos d, π 4, π ). Hsonlón mint z előző feldt esetén, elvégezve változócserét 4 tdt (t + )(t t ) integrálhoz jutunk, mely elemi törtekre bontássl egyszerűen kiszámíthtunk. Azonbn fel szeretnénk hívni figyelmet rr, hogy ezt z integrált még két másik eljárássl is meg lehet htározni. H z integrndus ltti rcionális kifejezére teljesül z R(sin, cos ) = R( sin, cos ) egyenlőség, kkor t = tg, d = helyettesítés egyszerűbb + t rcionális integrálndó függvényhez vezet, mint t = tg helyettesítés. Az előző feldt megoldás ezzel helyettesítéssel következő lesz: I() = ( sin sin + cos d = t + + t + t + tg tg + d = t (t + )(t + ) dt = ) dt = ( ln t + + ln t + + rctgt ) ( ln tg + + ln tg c. Egy hrmdik megoldási eljárás következő: Tekintsük J() = integrált. Vegyük észre, hogy I() + J() = sin + cos sin + cos d = + c I() J() = sin cos sin + cos d = (sin + cos ) sin + cos ) + c = cos sin + cos d d = ln sin + cos + c. Innen I() = (ln sin + cos ) + ) + c, c R. Az eredmények látszólg különböznek egymástól, de zonos átlkításokt végezve igzolhtók, hogy legfeljebb egy konstnsbn különböznek. (Ennek ellenőrzését z olvsór bízzuk.).4.8. Irrcionális függvények integrálj Az irrcionális függvények áltlábn csk kkor integrálhtók elemien, h felírhtók megfelelően válsztott új változónk rcionális függvényeként. A következőkben néhány ilyen esetet tárgylunk.. Az ( ) + b R, n d, n természetes szám, R rcionális kétváltozós c + d vlós függvény. Ekkor + b c + d = tn,

24 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj 3 változó cserével t változóbn rcionális integrálhoz jutunk. Azz tekintjük z = ϕ(t) = dtn b ct n helyettesítést z R függvény értelmezési trtományánk egy I intervllumából. Ekkor ϕ : I I deriváltj folytonos, ϕ, ϕ rcionális függvények, tehát R(ϕ(t), t)ϕ (t) rcionális függvényt értelmez és htároztln integrálj létezik és tnult eljárásokkl kiszámíthtó. Példák: Számítsuk ki következő htároztln integrálokt:. ( + ) 3 + d. Jelöljük t = 3 +, ekkor = ϕ(t) = t 3, ϕ : R R, ϕ (t) = 3t. Alklmzv fenti helyettesítést következőt kpjuk: ( + ) 3 + d = (t 3 + )3t 3 dt = 3 7 t t4 + c = = 3 7 ( 3 + ) ( 3 + ) 4 + c, c R.. d (, ). + Jelöljük t = t, = ϕ(t) = + + t ϕ : (, + ) (, ), ϕ (t) = 4t (t + ). A fenti helyettesítés lklmzásávl következőt kpjuk: t + d = + t t 4t (t + ) dt = 4 t ( t )( + t ) dt = ( = 4 ) ( t dt = 4 rctg t + + t t + ) + t dt = = 6 rctg t + ln t t + + c = 6 rctg + + ln + + c, c R Az R(, ), (, ), >, lkú integrálok, hol R kétváltozós vlós rcionális függvény. H z integrndus független változónk, z vlmint -nek rcionális függvénye, kkor z = sin t, >, t ( π/, π/), d = cos tdt, = ( sin t) = cos t

25 Irrcionális függvények integrálj helyettesítéssel trigonometrikus integrállá lkíthtó. Péld: Számítsuk ki következő htároztln integrált:. 4 d, (, ). Az = sin t, t ( π/, π/), d = cos t, helyettesítést lklmzv következőt kpjuk: 4 d = 4 sin t 4 4 sin t cos tdt = 6 sin t cos tdt = = 4 sin tdt = ( cos 4t)dt = t sin 4t + c = ) = rcsin 4 ( + c, c R. 3. Az R(, + ) lkú integrálok, hol R kétváltozós vlós rcionális függvény. H z integrndus független változónk, z, vlmint + -nek rcionális függvénye, kkor z = sinh t, t R, d = cosh tdt, helyettesítéssel gyöktényező kiküszöbölhető. + = ( + sinh t) = cosh t Példák: Alklmzv z előző helyettesítést, számítsuk ki következő integrálokt:. + d Az = sinh t, t R, d = cosh tdt, + = ( + sinh t) = cosh t helyettesítéssel + d = sinh t cosh tdt integrálhoz jutunk. Mivel sinh t = (cosh t )/, cosh t = (cosh t + )/, ezért + d = (cosh t )(cosh t + )dt = (cosh t )dt = cosh 4t + dt t 4 = sinh 4t 3 + t 8 t + c, c R. 4

26 . ( ) 3 d,.. Egyváltozós függvények htároztln integrálj 5 Mivel = sinh t és sinh 4t = sinh t cosh t = 4 sinh t cosh t(sinh t + cosh t) = 4 sinh t + sinh t(sinh t + + sinh t) = 4 + ( + ), ezért + d = 8 + ( + ) rsinh + c, c R d. Először nevezőből kiemelünk 5-öt nevezőből: 3 d = ( ) d. + 5 H = 5 sinh t, kkor gyök ltti mennyiség ( 5 cosh tdt, d = sinh3 t 5 cosh t sinh t(cosh t )dt = cosh tdt = 65 sinh t cosh tdt 8 65 ) + = cosh t és d = 5 sinh 3 tdt = sinh tdt = cosh3 t 8 65 cosh t + c = ( ) ) 3 ( ( ) c, c R. 4. Az R(, ) lkú integrálok, hol R kétváltozós vlós rcionális függvény. H z integrndus független változónk, -nek, vlmint -nek rcionális függvénye, kkor z = cosh t, t [, ), d = sinh tdt, helyettesítéssel gyöktényező kiküszöbölhető. = (cosh t ) = sinh t Példák:

27 Irrcionális függvények integrálj Jelöljük = cosh t, t, kkor d = sinh tdt, = sinh t és ( ( ) cosh t ) 3 d = sinh 3 t sinh tdt = sinh 4 tdt = dt = = cosh tdt cosh tdt t = cosh 4t + dt 4 4 sinh t + 4 t = = 3 sinh 4t 4 sinh t t + c = 8 ( ) rcosh + c, c R Tekintsük z R(, + b + c)d, integrált hol R kétváltozós vlós rcionális függvény. Az R értelmezési trtomány függ másodfokú trinom előjelétől és z R függvény nevezőjétől. Az integrált mindig z értelmezési trtomány egy I R intervllumán vesszük. H z integrndus független változónk, -nek, vlmint + b + c-nek rcionális függvénye, kkor prméterek természetétől függően következő módon lkítjuk át z irrcionális kifejezést: I. Módszer. I. ) H >, kkor -t, h <, kkor -t emelünk ki gyökjel elé. I. b) Legyen >, kkor kiemelés elvégzése után gyök ltti mennyiséget felírjuk két négyzet összegeként vgy különbségeként (zz másodfokú kifejezést knonikus lkr hozzuk): + b + c = ( + b + c = + b ) ( ) c + b 4. Jelöljük = b 4c-vel másodfokú kifejezés diszkriminánsát és végezzük el z y = + b, d = dy vátozócserét, így z R(, + b + c)d = = ( R y b, ) y 4 dy = ) R (y, y 4 dy, hol R szintén egy kétváltozós rcionális kifejezés. H >, kkor z utóbbi integrált 3.-bn tárgyltk lpján z y = cosh t, t [, ), dy = sinh tdt, változó csere lklmzásávl számítjuk ki. H < kkor.-bn tárgyltk lpján z = sinh t, t R, d = cosh tdt

28 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj 7 változócserével vezetjük vissz rcionális tört integráljához. I. c) H z <, kkor -t emelünk ki z integrál jel lól és knonikus lkr hozzuk gyök ltti másodfokú kifejezést: + b + c = = b c = ( + b ) + 4. ( + b ) + b 4 c = H <, kkor gyök ltti mennyiség bármely értékére negtív, tehát z integrndus vlós számok hlmzán nem értelmezett és így feldt nem oldhtó meg. H >, kkor először z y = + b, d = dy vátozócserével ( R, ) + b + c d = = ( R y b, ) y + 4 dy = ) R (y, y + 4 dy, mjd z. lpján z y = sin t, t ( π/, π/), dy = cos tdt változócserével vezetjük vissz rcionális tört integráljár. II. Módszer. Az Euler féle helyettesítések. II.) H z > kkor z + b + c = + t, = t c t + b = ϕ(t), ϕ : I I d = ϕ (t)dt változócserét végezzük el. Mivel ϕ folytonos, ϕ és ϕ rcionális függvények ezért vátozócsere lklmzás során R(, + b + c)d = R(ϕ(t), ϕ(t) + t)ϕ (t)dt. Ez utóbbi integrálbn z integrndus t-nek rcionális függvénye, tehát kiszámíthtó. Péld: Az előbbi módszer lklmzásávl számítsuk ki következő integrált: d + + +, (, + ).

29 Irrcionális függvények integrálj A következő helyettesítést végezzük: + + = + t. Az egyenlőség mindkét oldlát négyzetre emeljük, mjd kifejezzük -et és zt kpjuk, hogy = t t = ϕ(t), ϕ : (, ) (, + ) továbbá ϕ (t) = (t t ) ( t). Elvégezve helyettesítést következőt kpjuk: d = = ( t t + t 3t + (t )( t) )dt = t (t t ) ( t) dt = t dt (t t ) (t )( t) dt = t dt = = t ln t 7 6 ln t + c = ln ln ( + + ) + c, c R. II.b) H c > kkor lklmzhtjuk következő helyettesítést. + b + c = c + t. Mindkét oldl négyzetre emelése után szbdtgok kiesnek, mjd h mindkét oldlt elosztjuk -szel és kifejezzük -et következőt kpjuk: = b ct t = ϕ(t), d = ϕ (t)dt. Elvégezve z előbb bemuttottk lpján helyettesítést ismét rcionális törtfüggvény integráljához jutunk. Péld: Alklmzv z előbb bemuttott eljárást számítsuk ki: d, > Jelöljük = + t-el. Az utóbbi egyenlőségből kifejezve -et = 3 t t = ϕ(t), d = t 6t + (t ) dt kpjuk. Elvégezve változócserét következőt kpjuk: ( 3 t d = t + t 3 t ) t 6t + t (t ) dt = 3 t (t ) dt

30 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj 9 t (t ) dt 6 (t ) (t + ) dt = (t ) = (t ) dt 6 ( 4 = t 3 ( ln t + ln t + t (t ) (t ) + (t + ) + t + (t + ) ) + c = = ( ) ln + ln ) dt = c, c R. + II.c) H z + b + c = másodfokú egyenletnek z, vlós gyökei, kkor z új ismeretlent következőképpen is bevezethetjük: + b + c = t( ). Az -et ismét könnyen ki tudjuk fejezni t segítségével. Figyelembe véve, hogy z, gyökök ezért + b + c = ( )( ), négyzetre emelve fenti egyenlőséget következőt kpjuk: honnn ( )( ) = t ( ), = t t = ϕ(t). Elvégezve z = ϕ(t) helyettesítést z eredeti integrált rcionális tört integráljár vezetjük vissz. Péld. Alklmzv z előbb bemuttott eljárást számítsuk ki: + d, >. 3 + Az 3 + = egyenlet gyökei z =, =. Jelöljük 3 + = t( ). Innen ( )( ) = t ( ), egyszerűsítve ( )-gyel ( mivel > ) zt kpjuk, hogy = t t, d = t (t dt. Elvégezve vátozócserét következőt ) kpjuk: d = t t ( t ) t + t t (t ) dt = t t = (t t ) (t ) dt = t (t + ) (t )(t ) dt.

31 3.5. Összefoglló feldtok A fenti rcionális tört integrálásához először törtet elemi törtekre bontjuk t (t + ) (t )(t ) = A (t + ) + B t + + Az együtthtók egyenlővé tételéből zt kpjuk, hogy B + C + D = A + B + C + 4D = A B C + 3D = A B C + D =, C t + D t. honnn A = 3 5, B =, C =, D =. + A d = + B ln t + + C ln t + D ln t + c = 3 + t + A = + B ln C ln + D ln + c, c R..5. Összefoglló feldtok Htározzuk meg, hogy melyik hlmzon létezik primitív függvénye z lábbi függvényeknek, és htározzuk meg primitív függvényeiket! I. ) f() = ln( + ) ) f() = ( + + 3)e 3) f() = ( )e 4) f() = cos 5) f() = 3 sin 3 6) f() = e sin 7) f() = e cos 8) f() = sin(ln ) 9) f() = sinh ) f() = rccos(4 + ) ) f() = rctg ) f() = rctg 3) f() = cos e 4) f() = ln + 5) f() = e rccos 6) f() = e rcsin 7. f() = ln( + + ) 8) f() = ln 3 II. ) f() = 3) f() = 3 + ) f() = 4 4) f() = 5 3 4

32 . Egyváltozós függvények htároztln integrálj 3 5) f() = 3 7) f() = 4 + 9) f() = ) f() = 6) f() = ( + ) 8) f() = ( )( + 4) ) f() = + ( + ) ) f() = 7 + ( ) 3 III. ) f() = ) f() = sin3 cos cos 3) f() = sin 4) f() = cos 4 5) f() = sin 3 6) f() = sin cos 3 7) f() = sin 3 cos 8) f() = sin 4 cos 9) f() = ) f() = sin cos sin cos + 5 ) f() = ) f() = sin 3 + tg + cos 3) f() = tg sin 5) f() = + sin 4) f() = sin cos sin + cos 6) f() = cos 4 sin IV. ) f() = e + e ) f() = e3 e + e e 3) f() = e 4) f() = + e e + 5) f() = e + e 6) f() = + e 7) f() = sh 3 8) sh ch 9) f() = ch 4 ) f() = sh ch V. ) f() = ( + 3) + ) f() = 3 + 3) f() = + + 4) f() = ) f() = + 6) f() = 3 7) f() = 8) f() = 4 9) f() = ) f() = 3 4 ) f() = ( + 3) ( ) 3 ) f() = + 3) f() = + 9 4) f() = 3

33 3.5. Összefoglló feldtok 5) f() = + 9 7) f() = ) f() = ) f() = ) f() = ) f() = ( + ) + ) f() = 3 +

34 . Htározott integrál 33. Htározott integrál.. Görbék áltl htárolt síkidomok területe Archimédesz módszere prbol ltti terület kiszámításár Feldt. Htározzuk meg z f() = függvény grfikus képe, z O tengely z =, = egyenesek áltl htárolt síkidom területét. A terület meghtározás érdekében osszuk fel [, ] intervllumot n egyenlő részre. A kpott osztópontok hlmzát jelöljük τ-vl: 3 τ = { =, = n,..., k = k n,..., n = n n = }. 4 PSfrg replcements O y y = f() = n n k n k n n n = n n (. ábr) A megdott osztópontokhoz trtozó,,f grfikonjáb beírt tégllpok területének

35 34.. Görbék áltl htárolt síkidomok területe... összege: s n (f, τ) = n k= n.( k n k n ) = n 3 = n 3 k= = n 3 (n )n(n ) 6 = n k = k= (n )(n ) 6n = 6 növekszik z osztópontok n számánk növelésével. Az f grfikonj,,köré írt tégllpok területének összege: S n (f, τ) = n k= n ( ) k = n n k= = n 3 n(n + )(n + ) 6 k n 3 = n 3 = n k = k= (n + )(n + ) 6n = 6 ( ) ( ), n n ( + ) ( + ), n n csökken z osztópontok n számánk növelésével. H ngyon sok osztópontot tekintünk, kkor,,beírt és,,köré írt tégllpok területének összege ngyon jól megközelíti (hiánnyl, illetve többlettel) kiszámítndó területet. Vgyis felvetett problémár válszt kpunk, h kiszámítjuk z s n vgy z S n kifejezéseinek htárértékét midőn z n trt végtelenbe. T = lim s (n )(n ) n(f, τ) = lim n n 6n = lim n (n + )(n + ) 6n = 3 = lim n S n(f, τ) =. Kérdés. Lehet-e módszert áltlánosítni bármely függvényre? Bizonyos függvényosztályok esetén elméletben jó módszer, de gykorltbn nem mindig sikerül s n és S n összegeket olyn (zárt) lkr hozni mely lehetővé teszi htárértékük kiszámítását. Például z f() = sin, [, ] esetén S n = n k= n sin k felsö közelítö n összeg htárértékének meghtározás nem egyszerű. Észrevétel. A f() = függvénynek F = 3 függvény primitív függvénye 3 (F () = f() [, ]). Vegyük észre zt z érdekes tényt, hogy F () F () = /3 = T. Ennek lpján felmerül z sejtés, hogy primitív függvény,,megváltozás megdj görbe ltti síkrész területét bizonyos függvényosztályok esetén.. Kérdés. Milyen függvényosztályok esetén igz z, hogy primitív függvény,,megváltozás megdj görbe ltti síkrész területét? A következökben fent megfoglmzott kérdésekre djuk meg válszt. Megmuttjuk, hogy z f : [, b] R korlátos függvények esetén bemuttott eljárás áltlánosítás htározott integrál definíciójához vezet. Az áltlánosítás érdekében z [, b] intervllumot n nem feltétlenül egyenlö részre osztjuk. Az így kpott osztópontok segítségével vezetjük be z [, b] intervllum felosztásánk foglmát. Az dott felosztáshoz trtozó,,beírt és,,körülírt tégllpok területeinek összegével definiáljuk z s n és S n lsó ill. felsö közelítö összegeket. Megmuttjuk, hogy h z f korlátos z [, b]- n kkor bármely lehetséges módon felírt lsó közelítö összegek hlmzánk vn

36 . Htározott integrál 35 véges szuprémum és z összes lehetséges módon felírt felsö közelítö összegek hlmzánk vn véges infimum. Az olyn függvényeket, melyekre igz z, hogy z lsó közelítö összegek szuprémum egyenlö felsö közelítö összegek infimumávl, z [, b]-n htározott integrálll rendelkezö függvényeknek, vgy egyszerűbben [, b]-n integrálhtó függvényeknek fogjuk nevezni. A késöbbiekben második kérdésre is fogunk válszolni. Nevezetesen, megmuttjuk, hogy zokr függvényekre, melyek egyidöben integrálhtók z [, b]-n és vn primitív függvényük igz z, hogy z [, b]-n vett htározott integráljuk éppen primitív függvényük [, b]-n vett megváltozásávl lesz egyenlö. Ezt ngyon fontos eredményt Newton-Leibniz tételnek nevezzük és gykorltbn ezt hsználjuk, h vlhányszor ki krunk számítni egy htározott integrált. S most térjünk rá htározott integrál precíz definíciójár.. A htározott integrál foglm. Definíció Legyen I = [, b] egy zárt, véges intervllum. Az I intervllum és b végpontjit trtlmzó véges részhlmzit z I intervllum felosztásink nevezzük, melyet áltlábn lkbn írunk. τ = { = < <... n < n = b} Az I felosztásink hlmzát F(I)-vel jelöljük. Nyílvánvló, hogy bármely két τ, τ F(I) felosztásr τ τ F(I), τ τ F(I).. Definíció Legyen f : I R egy korlátos függvény és τ := {,,... n } F(I) z I intervllum egy felosztás. Jelöljük Az ill. z m i = inf{f() : i i } M i = sup{f() : i i } S(f, τ) := s(f, τ) := n ( i i )M i, i= n ( i i )m i, i= számot z f-nek τ felosztáshoz trtozó felső, ill. lsó közelítő összegének nevezzük.

37 36. A htározott integrál foglm 3 PSfrg replcements 4 O y y = f() = k k n n = b (. ábr) Az f függvény korlátosságából következik, hogy m i, M i, (i =, n) véges számok. Következésképpen S(f, τ) és s(f, τ) is véges számok H f() >, I, kkor S(f, τ) z,,f grfikonj köré írt {(, y) R : i i, y M i } tégllpok területének összegét jelenti. A s(f, τ) z,,f grfikonjáb beírt {(, y) R : i i, y m i } tégllpok területének összegével egyenlő. H z f függvény negtív értéket is felvesz, kkor z m i és M i számok között lesznek negtív számok is. Ebben z esetben z s(f, τ) és S(f, τ) beírt és körülírt tégllpok egyesítésével dódó hlmz előjeles területének nevezzük. Nyilvánvló, hogy m i = inf{f() : i i } sup{f() : i i } = M i (i =,,... n), következésképpen bármely τ felosztás esetén: () s(f, τ) := n ( i i )m i i= n ( i i )M i =: S(f, τ). Azz bármely τ felosztáshoz trtozó lsó közelítö összeg kisebb vgy egyenlö mint τ felosztásához trtozó felsö közelítö összeg. i=. Tétel. ) H τ, τ F(I) és τ τ, kkor s(f, τ ) s(f, τ ), S(f, τ ) S(f, τ ), b) Bármely két τ, τ F(I) felosztásr s(f, τ ) S(f, τ ).

38 . Htározott integrál 37 H τ τ, kkor τ több osztópontot trtlmz. Ilyenkor zt mondjuk, hogy τ felosztás τ felosztás finomítás. A tételt elsö részét úgy is megfoglmzhtjuk, hogy felosztás finomításávl z lsó közelítö összegek nem csökkenek, felsö közelítö összegek pedig nem nönek, második részét pedig úgy, hogy bármely lsó közelítö összeg kisebb vgy egyenlö, mint bármely felsö közelítö összeg. Bizonyítás. Az ) állítás igzolásához tegyük fel elöször, hogy τ csk eggyel több pontot trtlmz mint τ, zz legyen τ := τ { }, hol τ = { = < < < i < i <... n < n = b} és i < < i. Ekkor s(f, τ )-ből z s(f, τ ) úgy dódik hogy z m i ( i i ) tg helyett z m ( i ) + m ( i ) összeget írjuk,hol és m := inf{f() : i } m = inf{f() : i }. Mivel m, m inf{f() : i i } = m i, ezért m i ( i i ) = m i ( i ) + m i ( i ) m ( i ) + m ( i ) s így vlóbn s(f, τ ) s(f, τ ). Felhsználv M := sup{f() : i }, M = sup{f() : i } M i egyenlőtlenséget hsonlón dódik, hogy S(f, τ ) S(f, τ ). Az áltlános esetben τ -hez τ -nek egy-egy (τ -ben nem szereplő) pontját véve véges sok lépésben megkpjuk τ felosztást. Mivel most igzoltk lpján minden egyes lépésben s(f, τ ) nem csökken, S(f, τ ) pedig nem nő, ezért vlóbn fennállnk bizonyítndó s(f, τ ) S(f, τ ), S(f, τ ) S(f, τ ) egyenlőtlenségek. A b) állítást felhsználv most igzolt állítást és z () egyenlőtlenséget, következőképpen bizonyíthtó: () s(f, τ ) s(f, τ τ ) S(f, τ τ ) S(f, τ ) A () egyenlőtlenség lpján nyilvánvló, hogy bármely korlátos f : I R függvényre {s(f, τ) : τ F(I)} számhlmz felülről, {S(f, τ) : τ F(I)} számhlmz pedig lulról korlátos, tehát sup{s(f, τ), τ F(I)} és inf{s(f, τ), τ F(I)} léteznek és végesek.

39 38. A htározott integrál foglm 3. Definíció. Az I (f) := sup{s(f, τ) : τ F(I)} számot z f (Drbou féle) lsó integráljánk, z I (f) := inf{s(f, τ) : τ F(I)} számot z f Drbou-féle felső integráljánk nevezzük. Azt mondjuk, hogy z f : I R korlátos függvény (Riemnn- )integrálhtó (létezik z [, b]-n htározott integrálj), h I (f) = I (f). A közös I (f) = I (f) számot z f függvény Riemnnintegráljánk (röviden integráljánk) nevezzük, és z lábbi szimbólumok vlmelyikével jelöljük: I(f), b f, b f()d. Az [, b] intervllumon Riemnn-integrálhtó függvények hlmzát R[, b]-vel jelöljük. A fenti értelmezésből ()-es lpján következik, hogy: I (f) I (f). Figyelembe véve S(f, τ) és s(f, τ) geometrii jelentését kézenfekvő z llábbi: 4. Definíció. Azt mondjuk, hogy z F : [, b] R + függvény esetén H := {(, y) R : b, y f()} hlmznk ( z f : [, b] R függvény grfikonj ltti trtománynk vgy szubgrfikonjánk) vn területe, h f integrálhtó és kkor z b f számot H hlmz területének nevezzük: T (H) := b f()d. Az f : [, b] R függvény esetén K := {(, y) R : b, f() y } hlmznk kkor vn területe, h f integrálhtó és T (K) := b f()d. A következökben kiszámítjuk definíció lpján néhány egyszerű függvény [, b]-n vett htározott integrálját, h létezik.

40 . Htározott integrál PSfrg 8 replcements O y y = f() H b T (H) = b f()d (.3 ábr).3. Műveletek integrálhtó függvényekkel Két függvény összegének és egy függvény számszorosánk integrálhtóságár vontkozik z lábbi tétel. 4. Tétel. Tegyük fel, hogy z f, g : [, b] R, függvények integrálhtók és legyen λ R. Ekkor f + g és λf is integrálhtó és b (f + g) = b f + b g, b (λf) = λ b f. 6. Tétel. (Intervllum szerinti dditivitás.) Legyen < b < c és f : [, c] R egy korlátos függvény. Az f függvény kkor és csk kkor integrálhtó, [, c]-n h f-nek z f := f [,b], f := f [b,c] leszűkítései integrálhtók és c f = b f + c b f. A tétel bizonyítását lásd []-ben.

41 4.3. Műveletek integrálhtó függvényekkel 3 4 PSfrg replcements O y y = f() 8 9 b c T = b f()d T = c b f()d T = T + T c f()d = b f()d + c b f()d (.6 ábr) A továbbikbn z [, c] intervllumon integrálhtó függvények hlmzát jelöljük R[, c]-vel, z f R[, c] függvény vlmely [α, β] [, c] intervllumr vontkozó f [α,β] leszűkítésének integrálj legyen z β α f. Az b f jelölés hsználtánál eddig feltettük, hogy < b. Az b f szimbolumnk = b és > b esetén is célszerű értelmet tuljdonítni. Erre vontkozik z lábbi 8. Definíció. Legyen f := és, h f R[b, ] b f := b f, > b. 7. Tétel. Legyen < b és f, g R[, b]. H f() g(), [, b], kkor b f b g. Mivel tetszőleges f R[, b] függvényre f() f() f(), ezért most bizonyított egyenlőtlenség lpján kpjuk, hogy b f() d b f()d b f() d, h < b. Innen dódik z lábbi Következmény. Tetszőleges f R[, b] függvényre ( < b esetén) b f b f.

42 . Htározott integrál PSfrg replcements O 9 y y = f() b c M f(ξ) m T = b f()d = f(ξ)(b ), m(b ) b f()d M(b ) (.7 ábr) 4. Következmény Legyen f C[, b] és m = min{f() : [, b]}, M = m{f() : [, b]} és < b, kkor ) m(b ) b f()d (b )M, b) vlmint létezik olyn ξ [, b] úgy, hogy b f()d = f(ξ) (b ).4. Integrálhtó függvények 9. Tétel H f : [, b] R folytonos függvény, kkor integrálhtó.. Tétel. H f : [, b] R monoton, kkor integrálhtó..5. Newton-Leibniz-formul Az előző prgrfusbn bemuttott két péld jól muttj, hogy közvetlenül definíció

43 4.5. Newton-Leibniz-formul lpján z integrál kiszámítás legegyszerűbb függvények esetén is hosszdlms és bonyolult feldt. Az lábbi tétel lpján, ismerve z integrálhtó függvény egy primitív függvényét, z integrál egyszerűen meghtározhtó. Tétel. (Newton-Leibniz-formul): H z f[, b] R függvény integrálhtó és f-nek létezik F primitív függvénye, kkor b f = F (b) F (). Bizonyítás. Legyen τ = {,,..., n } z [, b] intervllum egy felosztás. A Lgrnge-féle középértéktétel szerint vn olyn ξ i ( i, i ) pont, hogy F ( i ) F ( i ) = F (ξ i )( i i ) = f(ξ i )( i i ) (i =,,..., n). Innen z F (b) F () számr következőt kpjuk: F (b) F () = n (F ( i ) F ( i )) = i= n f(ξ i )( i i ). Mivel inf{f() : [ i, i ]} f(ξ i ) sup{f() : [ i, i ]}, ezért i= s(f, τ) F (b) F () S(f, τ). Felhsználv ez utóbbi egyenlőtlenséget, és zt tényt, hogy f integrálhtó [, b]-n I(f) = sup{s(f, τ) : τ F[, b]} F (b) F () inf{s(f, τ) : τ F[, b]} = I(f) zz vlóbn b f = F (b) F (). Ezzel z állításunkt igzoltuk. A továbbikbn többször hsználni fogjuk [F ()] b := F (b) F () jelölést. A Newton-Leibniz-féle formulából egyszerűen következik htározott integrálr vontkozó ún. prciális integrálási szbály.. Következmény:(Prciális integrálás) H z f : [, b] R, g : [, b] R függvények differenciálhtók és f, g R[, b], kkor (6) b fg = f(b)g(b) f()g() b f g. Bizonyítás. Mivel (fg) = f g + fg és feltételek lpján f g + fg R[, b], ezért z f g függvényre lklmzhtó Newton-Leibniz-féle formul, következésképpen f(b)g(b) f()g() = b (fg) = b (f g + fg ) = b f g + b fg.

44 . Htározott integrál 43 Innen zonnl dódik (6) egyenlőség. Az előző tétel lpján egyszerűen dódik htározott integrálr vontkozó ún. helyettesítési tétel: 4. Tétel. (Helyettesítési tétel) Legyen f C[, b] és ϕ : [α, β] [, b] egy folytonosn differenciálhtó függvény. Ekkor ϕ(β) ϕ(α) f = β α (f ϕ)ϕ Bizonyítás. F () := Mivel f, (f ϕ)ϕ folytonos függvények, 3. Tétel lpján z ϕ(α) f(y)dy, (, b) G(t) := t utsítássl értelmezett függvények differenciálhtók és (7) F = f, G = (f ϕ)ϕ. α ((f ϕ)(y))ϕ (y)dy t [α, β] Megmuttjuk,hogy F (ϕ(t)) = G(t) t [α, β], honnn t = β esetén bizonyítndó állítást kpjuk. A közvetett függvény differenciálási szbályát felhsználv (7) lpján nyilvánvló, hogy (F ϕ) = (F ϕ)ϕ = (f ϕ)ϕ = G Következésképpen F ϕ G állndó. Mivel z F és G értelmezése szerint F (ϕ(α)) = ϕ(α) ϕ(α) f = = α α (f ϕ)ϕ = G(α), ezért vlóbn F ϕ G =. A helyettesítési tételből következik következő két állítás.. Következmény: Legyen f : [, ] R páros, integrálhtó függvény z [, ] intervllumon. Ekkor f()d = f()d. 3 4 PSfrg replcements O y f( ) = f():, [, ] 6 f()d = f()d f()d = f()d

45 44.5. Newton-Leibniz-formul (.9 ábr) Bizonyítás. Az f()d integrált z = ϕ(t) = t, t [, ] változócserével lkítjuk át. Figyelembe véve, hogy f( t) = f(t), mjd z integrálási htárok felcserélésével kpjuk, hogy f()d = f( t)( )dt = f(t)dt = Felhsználv z integrál intervllum szerinti dditivitását f()d. f()d = f()d + f()d = f()d.. Következmény: Legyen f : [, ] R pártln integrálhtó függvény z [, ] intervllumon, kkor f()d =. y int T (. ábr) T PSfrg replcements y int T T T = T = f()d f()d Bizonyítás. Az f()d integrált z = ϕ(t) = t, t [, ] változócserével lkítjuk át, figyelembe véve, hogy f( t) = f(t), mjd z integrálási htárok

46 . Htározott integrál 45 felcserélésével kpjuk, hogy f()d = f( t)( )dt = f(t)dt = Felhsználv z integrál intervllum szerinti dditivitását f()d = f()d + f()d = f()d + f()d. f()d =..6. Megoldott feledtok.6.. Egyszerű feldtok Newton Leibniz formul lklmzásár Számítsuk ki következő htározott integrálokt:. 5 [ ] 3 5 d = = = d = d = [ 3 3 ] 7 8 = [9 4] = π 3 π 4 3 d = [ln 3 ] = ln ln 3 = ln 3. π 3 π 3 sin tgd = π cos d = π 4 4 = ln ln = ln. (cos ) cos π d = [ln cos ] 3 = π Prciális integrálássl kiszámíthtó htározott integrálok H f, g : [, b] R differenciálhtók és f, g R[, b] kkor b fg = f(b)g(b) f()g() b f g.

47 Htározott integrál kiszámítás helyettesítéssel.. e d = e 3 ln d = (e ) d = [e ] e d = e [e ] = e e + = e e ( ) 4 [ 4 ln d = 4 4 ln = e4 4 e = 3e ] e e 4 [ e4 4 d = ] e = 3. rctg d Mivel z integráljel ltt bszolútérték vn, ezért először felbontjuk z bszolút értéket. Felhsználv z integrál intervllum szerinti dditivítását következőt kpjuk: = rctg d = () rctgd + rctg d + () rctgd = rctg d = = [rctg] + + d + [rctg] = rctg( ) + = π + [ ln( + ) ] ( + ) + d + rctg [ ] ln( + ) = π ln + d = ( + ) + d = 4. π cos d π Mivel z integrndus páros függvény és [ π, π]-n integrálunk, ezért π π cos d = π cos d = = [ sin ] π 4 = 4[ cos ] π 4 π π π (sin ) d = sin d = 4 π (cos ) d = cos = 4π 4[sin ] π = 4π 5. π 4 sin d π Mivel z integrndus pártln függvény és [ π, π]-n integrálunk, ezért nélkül, hogy prciális integrálást egymás után négyszer lklmznánk,. következmény lpján következik, hogy z integrál értéke.

48 . Htározott integrál Htározott integrál kiszámítás helyettesítéssel Amikor htároztln integrálbn nem z lpintegrálok vlmelyike szerepel z egyik leghtékonybb módszer z integrál kiszámításár z integrálás helyettesítéssel. Gykrn bonyolult integrndust lkbn lehet felírni. integrál: β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt H z f és ϕ eleget tesz Tétel 4 feltételeinek, kkor fenti ϕ(β) ϕ(α) f()d. Formálisn: jelöljük = ϕ(t)-vel, d = ϕ (t)dt, z új htárok pedig ϕ(α) és ϕ(β) lesznek. Megtehetjük zt is, hogy htárok figyelembevétele nélkül helyettesítéssel kiszámítjuk z integrndus htároztln integrálját, mjd z eredményt visszlkítjuk z eredeti változó függvényévé és z eredeti htárokt helyettesítjük be. Azonbn ez utóbbi eljárás hosszdlmsbb. Példák:. Számítsuk ki z e dt integrált. e t ln t Tekintsük ϕ(t) = ln t, ϕ : [e, e ] [, ], folytonosn differenciálhtó függvényt. Kiszámítv deriváltját ϕ (t) =. Észrevesszük, hogy z integráljel ltti kifejezés t ϕ(t) ϕ (t) lkb írhtó. [ ] H tekintjük z f : [, ],, f() = kkor, z integráljel ltti kifejezés z f (t) ϕ(t) = ϕ (t)f(ϕ(t)) lkr hozhtó. Mivel z f folytonos, ϕ folytonosn differenciálhtó, tehát, ezért e e e t ln t dt = = e. Számítsuk ki π sin t + sin t dt. Tekintsük ϕ(t) = + sin t, ϕ : ϕ (t)f(ϕ(t))dt = d = [ln ] = ln. integráljel ltti kifejezést következő lkbn írhtjuk ϕ(e ) ϕ(e) f()d = [, π ] [, ], ϕ (t) = sin t cos t = sin t. Igy z sin t + sin t = ϕ (t) ϕ(t) = ϕ ϕ (t) ϕ(t). Legyen f() =, [, ].

49 Síkidomok területe Mivel ϕ és f függvények eleget tesznek 4-es Tétel követelményeinek, ezért π sin t + sin t dt = π ϕ( π = f() ϕ (t) ϕ(t) dt = ) f()d = π ϕ (t)f(ϕ(t))dt = d = [ln ] = ln. 5. Számítsuk ki 4 + d. Legyen f() = +, [, 4] és tekintsük ϕ : [, ] [, 4], ϕ (t) = t, folytonosn differenciálhtó függvényt. Ekkor 4 + ϕ () d = f()d = f(ϕ (t))ϕ (t)dt = = ϕ () + t tdt. Ez utóbbi integrál kiszámítás egyszerűbb, h z + t = u, ϕ : [, 3] [, ], ϕ (u) = u = t, ϕ (u) = helyettesítést lklmzzuk ϕ (3) 3 + t tdt = + t tdt = u (u )du = = ϕ () [ 5 u 5 3 u 3 ] 3 = 8 5 (6 3 ). Ngyon sok esetben csk formálisn írjuk le változócsere lépéseit, például z előző integrál esetében ez így nézne ki: Jelöljük = t, h [, 4] kkor t [, ], = t, kkor d = t dt, így 4 + d = + t tdt. Jelöljük + t = u, h t [, ] kkor u [, 3], t = u, dt = du 3 + t tdt = u (u )du. A két egymásutáni változó cserét egy lépésben is elvégezhettük voln z y = + helyettesítéssel. Ennek elvégzését z olvsór bízzuk. 3. Az integrálszámítás lklmzási 3.. Síkidomok területe