Fekete Mária. Matematika II. Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki Kar Matematika Tanszék

Átírás

1 Mtemtik II.

2 Pollck jegzetek

3 Fekete Mári Mtemtik II. Pécsi Tudománegetem Pollck Mihál Műszki Kr Mtemtik Tnszék Pécs, 2007

4 A jegzet PTE PMMK építőmérnök szk PMMANB312, PMMANB926 tntárgkódú Mtemtik II. kurzus segédletének készült. ISBN Gépelés és tördelési munkák: Kozm Beát Szerkesztette és z ábrákt készítette: Pálfi Róbert c Fekete Mári, 2007

5 Részletes tntárgprogrm Hét E./Gk./Lb. Témkör 1. 2/2/0 Kétváltozós függvén értelmezése, pontbeli htárértéke, foltonosság, prciális differenciálhándos értelmezése és kiszámítás. 2. 2/2/0 Kétváltozós függvén grdiensének, iránmenti deriváltjánk értelmezése és kiszámítás. 3. 2/2/0 Kétváltozós függvének szélsőértéke. 4. 2/2/0 Egváltozós függvén primitív függvéne, htároztln integrál. Alpintegrálok. f, f f α lkú függvének integrálás. 5. 2/2/0 Prciális és helettesítéses integrálás. Rcionális törtfüggvének integrálás. 6. Őszi szünet 7. 2/2/0 Trigonometrikus függvének integrálás. 8. 2/2/0 A htározott integrál értelmezése, tuljdonsági. A Newton-Leibnitz tétel. 1. Zártheli dolgozt megírás. 9. 2/2/0 Az integrálszámítás geometrii lklmzási: síkidom területe, forgástest térfogt, görbe ívhossz, forgástest felszíne. Improprius integrál /2/0 Kétváltozós függvén integrálás: trtománon vett- és kettős-integrál /2/0 Szétválszthtó változójú, változóibn homogén elsőrendű differenciálegenletek /2/0 Elsőrendű, lineáris inhomogén differenciálegenletek /2/0 Hiános másodrendű differenciálegenletek. 2. Zártheli dolgozt megírás /2/0 Másodrendű, állndó egütthtós, homogén differenciálegenletek /2/0 Pótlások

6 Trtlomjegzék I. Egváltozós vlós függvének integrálszámítás 9 1. A htároztln integrál A primitív függvén A htároztln integrál Alpintegrálok Integrálási módszerek Elemi függvének integrálás Polinom függvének integrálás Rcionális törtfüggvének integrálás Irrcionális függvének integrálás Trigonometrikus függvének integrálás A htározott integrál A htározott integrál foglm A htározott integrál létezésének feltételei Az Riemnn-szerinti integrálhtóság szükséges feltételei Az Riemnn-szerinti integrálhtóság elégséges feltételei Péld htározott integrál definícióvl történő kiszámításár A htározott integrál tuljdonsági A htározott integrál geometrii jelentése A htározott integrálr vontkozó tételek Az integrálfüggvén és tuljdonsági A differenciál- és integrálszámítás főtétele: Newton Leibniz-tétel A htározott integrál lklmzási Területszámítás Térfogtszámítás Síkgörbe ívhossz Forgástest plástjánk felszíne Numerikus integrálás Tégllp módszer Trpézmódszer Simpson-módszer

7 5. Improprius integrálok Véges sok pontbn nem értelmezett függvén integrálj Integrálás végtelen intervllumon Nem korlátos függvének improprius integrálj II. Kétváltozós vlós függvének A kétváltozós függvének differenciálszámítás A kétváltozós függvén foglm, megdás, ábrázolás A kétváltozós függvének htárértéke, foltonosság A kétváltozós függvének P 0 pontbeli prciális differenciálhándosi A kétváltozós függvének prciális deriváltji A totálisn differenciálhtó függvén foglm Iránmenti derivált A grdiens vektor A felület érintősíkj A teljes differenciál Kétváltozós függvének lokális szélsőértéke Többváltozós vlós függvének integrálszámítás Alpfoglmk Kétváltozós függvén htározott vg trtománi integrálji A trtománr vontkozó integrál kiszámítás III. Differenciálegenletek Alpfoglmk A differenciálegenletek osztálozás A differenciálegenlet megoldási, megoldástípusok Elsőrendű differenciálegenletek Szétválszthtó változójú differenciálegenletek Szétválszthtó változójúr visszvezethető differenciálegenletek H differenciálegenlet H differenciálegenlet Lineáris differenciálegenletek Elsőrendű, homogén differenciálegenlet Elsőrendő, lineáris, inhomogén differenciálegenlet Másodrendű differenciálegenletek Hiános másodrendű differenciálegenletek Tiszt másodrendű differenciálegenletek Az -bn hiános másodrendű differenciálegenletek Az -ben hiános másodrendű differenciálegenletek Másodrendű lineáris differenciálegenletek

8

9 I. rész Egváltozós vlós függvének integrálszámítás 9

10 1. fejezet A htároztln integrál 1.1 A primitív függvén Definíció. Az egváltozós vlós f függvénnek H hlmzon primitív függvéne z F függvén, h f és F H hlmzon értelmezett, H hlmzon F differenciálhtó és F () = f() H esetén teljesül. Tétel. H f-nek H hlmzon primitív függvéne F, kkor bármel G() = F()+c (c tetszőleges vlós szám) lkú függvén is primitív függvéne. Bizonítás: G () = (F()+c) = F () = f() H esetén. Tétel. H z f függvénnek vlmel I intervllumon primitív függvéne z F és G függvén, kkor c R, hog I esetén G() F() = c, zz primitív függvének csk összedndó állndóbn különböznek egmástól. Bizonítás: A feltétel szerint: F ()=G ()=f(), I-re, (G() F()) =G () F ()=f() f() 0 I esetén, zz (G() F()) 0 I-re G() F() = c, hol c lklmsn válsztott vlós konstns. 1.2 A htároztln integrál Definíció. Az f függvén primitív függvéneinek összességét (hlmzát) z f függvén htároztln integráljánk nevezzük. Jelölése: f()d. Megjegzés. f htároztln integrálj eg függvénhlmz, melnek elemei f primitív függvénei. A d zt fejezi ki, hog z integrálás z változór vontkozik. H F f primitív függvéne z I intervllumon, kkor f()d = F()+c, hol c-t integrációs állndónk nevezzük. 10

11 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II Alpintegrálok H eg függvénnek ismerjük deriváltját, kkor z eredeti függvén deriváltfüggvénnek primitív függvéne. Ezen z lpon dódnk következő, úgnevezett lpintegrálok. Az lpintegrálok z elemi lpfüggvének deriváltjink integrálji. A következő képletek oln intervllumokon érvénesek, melek minden pontjábn jobb oldlon álló függvén értelmezett és differenciálhtó. 0 d = c 1 d = +c α d = α+1 +c, h α 1, α R α+1 1 d = ln +c e d = e +c d = ln +c cos d = sin+c sin d = cos +c 1 cos 2 d = (1+tg 2 ) d = tg +c 1 sin 2 d = (1+ctg 2 ) d = ctg +c d = rcsin +c 1 = π 2 rccos +c 1 = rccos +c d = rctg +c 1 = π 2 rcctg +c 1 = rcctg +c 2 sh d = ch +c ch d = sh+c 1 ch 2 d = (1 th 2 ) d = th+c 1 sh 2 d = (1 cth 2 ) d = cth +c

12 12 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II d = rsh+c = ln( )+c d = rch +c = ln(+ 2 1)+c d = { rth+c, h < 1 rcth +c, h > 1 = 1 2 ln c Megjegzés. Az f függvén integrálás oln függvének keresését jelenti, melek deriváltj f függvén. Minden elemi függvén deriváltját képezhetjük deriválási szbálok lklmzásávl. Azonbn léteznek oln elemi függvének, meleknek nincs elemi primitív függvénük. Ilenek pl. e ; sin ; cos ; 1 e 2 ; ln ; 3 +1; stb. Szorzt-, tört-, összetett függvén integrálásár vontkozó szbál nincs. Csk speciális szorztokt, törteket és összetett függvéneket tudunk integrálni. 1.4 Integrálási módszerek Tétel. H f() d és g() d létezik, kkor (f()±g()) d = f() d± g() d, illetve k f() d = k f() d, hol k R tetszőleges. A bizonítás megfelelő deriválási szbálok felhsználásávl történik. Tétel. H F() függvén z f() függvén primitív függvéne, kkor hol,b R, 0. f(+b) d = F(+b) +c, Bizonítás: ( F(+b) +c) = 1 F (+b) = f(+b). Tétel. α R\{ 1} esetén f ()[f()] α d = [f()]α+1 α+1 +c.

13 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 13 Bizonítás: ( (f()) α+1 α+1 ) +c = 1 α+1 (α+1)[f()]α f () = f ()[f()] α. Tétel. f () f() d = ln f() +c Bizonítás: H f() > 0 f() = f() H f() < 0 f() = f() (ln f() +c) = (ln f()+c) = 1 f() f (). (ln f() +c) = (ln ( f())+c) = 1 f() ( f ()) = f () f(). Tétel. H F() függvén z f() függvén primitív függvéne és g() vlmel I intervllumon differenciálhtó, és ezen intervllumon létezik z f(g()) összetett függvén kkor f(g()) g () d = F(g())+c. Bizonítás: (F(g())+c) = F (g()) g () = f(g()) g (). PÉLDA: 1. e 2 d = 1 ( 2)e 2 d = 1 +c 2 2 e 2 2. e cos e d = sin e +c Tétel (Prciális integrálás). Legenek f() és g() vlmel intervllumon differenciálhtó függvének, és ugnezen intervllumon létezzen z f() g () d vg z f () g() d integrál. Ekkor f () g() d = f() g() f() g () d.

14 14 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II Bizonítás: (f() g()) = f () g()+f() g () f () g() = (f() g()) f() g (), honnn mindkét oldlt integrálv f () g() d = f() g() f() g () d. PÉLDA: }{{} cos }{{ 5 } g f d = sin5 5 1 sin 5 d = sin5+ 1 cos 5+c 25 Megjegzés. A prciális integrálást kkor érdemes lklmzni, h z f-nek válsztott ténezőt können tudjuk integrálni, és z f g integrálás is könnebb, mint z f g integrálás. Nég, prciális integrálásr lklms függvéntípus ) Prciális integrálásr lklmsk zok p() t(+b) (,b R; 0) lkú függvének, melekben p(): polinomfüggvén, t: sin, cos, sh, ch függvének vlmelike vg eponenciális függvén p() t(+b) }{{}}{{} g f d válsztássl. b) Ide soroljuk z α ln n lkú függvéneket, h α R; α 1, n N + α }{{} f ln n }{{} g d válsztássl. c) Ide soroljuk h(+b) k(c+d)

15 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 15,b,c,d R; 0, c 0 lkú függvéneket, h h és k: sin, cos, sh, ch, eponenciális függvének vlmelike. Ebben z esetben két prciális integrálás után kpott egenletből tudjuk z integrált kiszámítni. h(+b) k(c+d) d }{{}}{{} f g válsztássl, mindkét prciális integrálás esetén. d) Ide soroljuk p() () lkú függvéneket, h p: polinomfüggvén, : rkusz- vg re függvén. p() () }{{}}{{} f g d válsztássl. Tétel. H létezik z f() függvén primitív függvénre és h g() vlmel intervllumon differenciálhtó függvén, és itt létezik z f(g()) összetett függvén, kkor létezik z f(g()) g () d integrál és f(g()) g () d = f(t) dt, hol t = g(). (Lásd 13. oldlon lévő tételt.) Tétel. H z = g(t) szigorún monoton és differenciálhtó függvén, vlmint létezik z f(g(t)) összetett függvén, és létezik z f(g(t)) g (t) dt integrál, kkor létezik z f() d és f() d = f(g(t)) g (t) dt, hol t = ḡ() = g(t). Megjegzés. Helettesítéses integrálás során tetszőleges függvén integrálját egszerűbb, könnebben integrálhtó függvén integrálásár vezetjük vissz. Helettesítéskor gkorltilg z eredeti változó () vlmel lklmsn megválsztott függvéne (g()) helére z új változót (t), vg z eredeti változó helére z új változó tetszőleges invertálhtó függvénét (g(t)) helettesítjük. Az integrál kiszámítás után vissztérünk z eredeti változór.

16 16 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 1.5 Elemi függvének integrálás Polinom függvének integrálás Polinom függvén (rcionális egész függvén) áltlános lkji: R n () = n n + n 1 n = m k k, hol k R; k = 0,...,n; n 0, n-ed fokú polinom függvén! Tgonként integrálunk! Rcionális törtfüggvének integrálás Definíció. A Pn() Q m() (m 1) lkú függvént, hol P n-ed fokú, Q m-ed fokú polinom, rcionális törtfüggvénnek nevezzük. H m > n, vlódi törtfüggvénről, egébként áltörtfüggvénről beszélünk. k=0 Minden áltörtfüggvén ( számlálót elosztv nevezővel) egértelműen felbonthtó eg polinom függvén és eg vlódi rcionális függvén összegére. Tehát, h m n: P n () Q m () = R n m()+ P() Q m (), hol R n m () eg (n m)-ed fokú polinom függvén, és P() m-nél lcsonbb fokú polinom függvén. PÉLDA: = Integrálás szempontjából vlódi törtfüggvének érdekesek. Vlódi törtfüggvének integrálás A vlódi törtfüggvént zonos átlkításokkl elemi törtfüggvének (prciális törtfüggvének) összegére bontjuk. Elemi törtfüggvének: 1. A (+b) n, hol A,,b R; A 0, 0, n N + 2. A+B ( 2 +b+c) n, hol A,B,,b,c R; A 2 +B 2 0, 0, b 2 4c < 0, n N + Tétel. Minden vlós egütthtós vlódi törtfüggvén előállíthtó elemi törtfüggvének összegeként, mégpedig egértelműen. A vlódi törtfüggvének integrálásánk lépései 1. lépés A tört nevezőjét lehető legegszerűbb ténezők szorztár bontjuk. A szorzttá lkítás elvi lehetőségét mondj ki következő Tétel. Minden vlós egütthtós polinom egértelműen felbonthtó vlós egütthtós első és vlós egütthtós irreducibilis másodfokú polinomok szorztár.

17 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 17 Az 2 +b+c vlós egütthtós irreducibilis másodfokú polinom, h,b,c R; 0; b 2 4c < 0. Megjegzés. Ez szorzttá lkítás nem mindig egszerű! 2. lépés A vlódi törtet úgnevezett elemi törtfüggvének összegére bontjuk. (Az elemi törtek szám megegezik nevező ténezőinek számávl, és minden elemi tört nevezője különböző!) 3. lépés Kiszámítjuk z elemi törtek számlálóibn szereplő prmétereket. (Mi z egenlő egütthtók módszerével htározzuk meg ezen prmétereket.) 4. lépés Integráljuk kpott elemi törtfüggvéneket. Az elemi törtek integrálás: A 1. +b d = A ln +b +c, 0 A 2. (+b) n d = A (+b) n d = A (+b)1 n +c, n N +, n 2, 0 1 n A+B 3. ( 2 +b+c) n d, hol 2 +b+c irreducibilis polinom. Példák rcionális törtfüggvének integrálásár PÉLDA: ( 2 d = ) d = ( ) + 2 }{{} }{{} áltört függvén vlódi törtfüggvén Tehát ( 1)(+2) A fenti egenlőség kkor és csk kkor teljesül, h A 1 + B +2 A(+2)+B( 1) (A+B)+(2A B) ( 1)(+2) ( 1)(+2) 8 5 ( 1)(+2) (A+B)+2A B, A,B R. ( 1)(+2) 8 = A+B 5 = 2A B } zz A = 1, B = 7. ( ) = ( ) +2 d = = ln 1 +7ln +2 +c

18 18 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II PÉLDA: 2+4 ( 1) 2 ( 2 +1) }{{} vlódi törtfüggvén d = ( ( 1) ) d = ( ) 2+4 ( 1) 2 ( 2 +1) }{{} 3 ténező! A 1 + B ( 1) 2 + C+D 2 +1 A( 1)(2 +1)+B( 2 +1)+(C+D)( 1) 2 ( 1) 2 ( 2 +1) 2+4 ( 1) 2 ( 2 +1) A( 1)( 2 +1) +B( 2 +1)+(C+D)( 1) 2 ( 1) 2 ( 2 +1) 2+4 A( 1)( 2 +1)+B( 2 +1)+(C+D)( 1) 2 A két polinom kkor és csk kkor egenlő, h megfelelő htvánink egütthtói két polinombn zonosk, tehát 3-d fokú tg egütthtój: 0 = A + C 2-od fokú tg egütthtój: 0 = A+B 2C +D 1-ső fokú tg egütthtój: 2 = A 2D + C 0-d fokú tg egütthtój: 4 = A + B + D Ez z egenletrendszer A,B,C,D-re lineáris. (Mindig egértelmű megoldás vn!) Azz: A = 2, B = 1, C = 2, D = 1. ( ) = 2ln d = = 2ln ln rctg +c Irrcionális függvének integrálás H nem speciális lkú függvén, gkrn helettesítést lklmzunk vg prciálisn integrálunk Trigonometrikus függvének integrálás sin m cos n lkú függvének integrálás, hol m,n N ) H m és n közül leglább egik pártln, sin 2 +cos 2 = 1 zonosság felhsználásávl z integrndusz átlkíthtó. PÉLDA: sin 5 d = sin(1 cos 2 ) 2 d = sin(1 2cos 2 +cos 4 ) d = = cos +2 cos3 3 cos5 +c 5

19 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 19 b) H m és n páros, kkor sin 2 1 (1 cos 2) 2 cos 2 1 (linerizáló formulák) (1+cos 2) 2 segítségével lkítjuk át z integrnduszt. sin n sin m, sin n cos m, cos n cos m lkú függvének integrálás (m n) A szorztokt megfelelő zonosság felhsználásávl összeggé lkítjuk, mjd tgonként integrálunk. Azonosságok: sin α sin β 1 2 (cos(α+β) cos(α β)) sin α cos β 1 2 (sin(α+β)+sin(α β)) cos α cos β 1 2 (cos(α+β)+cos(α β)) Trigonometrikus függvének rcionális törtfüggvéneinek integrálás Helettesítéssel rcionális törtfüggvének integrálásár vezetjük vissz. A helettesítés: Ugnis: tg 2 = t = 2rctg t d = 2 1+t 2 dt sin = 2t 1+t 2 tg = 2t 1 t 2 cos = 1 t2 1+t 2 ctg = 1 t2 2t sin = 2sin 2 cos 2 = 2sin 2 cos 2 sin 2 2 +cos2 2 cos = cos 2 2 sin2 2 = cos2 2 sin2 2 sin 2 2 +cos2 2 = 2tg 2 1+tg 2 2 = 1 tg2 2 1+tg 2 2 Eponenciális, logritmikus, hiperbolikus függvének integrálás Az eddigiekben ismertetett módszerekkel történik. = 2t 1+t 2 = 1 t2 1+t 2

20 2. fejezet A htározott integrál Az integrálszámítás egik legfontosbb foglm. A területszámítás (görbe vonlkkl htárolt síkidomok területének meghtározás) volt z első oln problém, mel htározott integrál foglmához vezetett. Síkgörbe ívhossz. Térfogtszámítás Stb. szintén htározott integrál foglmához vezet. 2.1 A htározott integrál foglm Definíció. Legen f() függvén z [, b] ( < b) intervllum minden pontjábn értelmezett, korlátos függvén. Az f függvén htározott integráljánk (Riemnn-integráljánk) z lábbi eljárás eredméneként kpott vlós számot nevezzük. 1. Az [,b] intervllumot z = 0 < 1 < 2 < < n 1 < n = b bszcisszájú pontokkl n számú tetszőleges részintervllumokr osztjuk. = i 1 i... n 1 n = b 2. Mindegik részintervllumból tetszőlegesen kiválsztunk eg-eg számot. ξ 1 [ 0, 1 ];ξ 2 [ 1, 2 ];...;ξ i [ i 1, i ];...;ξ n [ n 1, n ] = 0 ξ 1 ξ 2 ξ i ξ n i 1 i... n 1 n = b 20

21 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II Képezzük következő n tgú összeget R n = f(ξ 1 )( 1 0 )+f(ξ 2 )( 2 1 )+ +f(ξ i )( i i 1 )+ +f(ξ n )( n n 1 ) R n = n f(ξ i )( i i 1 ) = i=1 n f(ξ i ) i, hol i = i i 1.R n n-edik Riemnn összeg, n-edik Riemnn-féle integrálközelítő összeg. 4. Képezzük Riemnn-összegek htárértékét, midőn felosztások n szám végtelenhez trt, és legngobb részintervllum hossz is nullához trt: lim n m i 0 R n = lim n m i 0 i=1 n f(ξ i ) i. H z összes lehetséges beosztás és tetszőleges ξ i értékek válsztás estén felírt Riemnn-féle integrálközelítő összegeknek hátrértéke ugnz vlós szám, kkor ezt közös htárértéket z f() függvén [, b] intervllumr vontkozó htározott integráljánk nevezzük és z f() függvént z [,b] intervllumbn Riemnn szerint integrálhtónk nevezzük. Tehát: lim n m i 0 R n = lim n m i 0 n f(ξ i ) i = I i=1 i=1 - közös htárérték Jelölés: f() függvén [,b] intervllumr vontkozó htározott integráljánk jelölése. [,b] z integrációs intervllum b f() d, hol: z integrálás lsó htár b z integrálás felső htár f() intergrndusz Megjegzés. (Az b f() d definíciójához.) 1. Az [,b] intervllum n részre történő beosztás tetszőleges, egenlő részekre is oszthtjuk. 2. Az [,b] intervllum felosztását -nál kezdjük, tehát = 0,b = n. 3. Eg dott beosztás finomságán keletkezett leghosszbb intervllum hosszát értjük. 4. Megköveteljük, hogh n, kkor leghosszbb részintervllum hossz is 0-hoz trtson, zz zt mondjuk, hog beosztássorozt minden htáron túl finomodó legen. 5. A Riemnn-összeg (R n ) végtelen sok változtbn elkészíthető. A htározott integrál definíciój lpján körülménes és nehéz nnk eldöntése, hog f() függvén z [, b]-on Riemnn szerint integrálhtó-e, ezért oln feltételeket kell keresnünk, melek segítségével z integrálhtóság können eldönthető.

22 22 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 2.2 A htározott integrál létezésének feltételei Az Riemnn-szerinti integrálhtóság szükséges feltételei Tétel. H z f() függvén z [, b]-on Riemnn-szerint integrálhtó, kkor f() [, b]-n értelmezett és korlátos. (Másképp: b f() d létezéséhez szükséges, hog f() [,b]-n értelmezett korlátos függvén legen.) Az Riemnn-szerinti integrálhtóság elégséges feltételei Tétel. H f() z [,b]-n értelmezett, korlátos és monoton függvén, kkor b f() d létezik. Tétel. H f() z [, b]-n értelmezett, korlátos és véges sok szkdási hellel rendelkező függvén, kkor f() [,b]-n Riemnn-szerint integrálhtó. Tétel. H f() z [,b]-n foltonos függvén, kkor b f() d létezik. 2.3 Péld htározott integrál definícióvl történő kiszámításár 1 0 ( 1) 2 d =? Megoldás. Mivel f() = ( 1) 2 függvén [0,1]-on foltonos 1 0 ( 1)2 d létezik. Ezért ezen z intervllumon bármelik Riemnn-féle integrálközelítő összegét felírv, nnk létezik htárértéke, és htárértéke egenlő htározott integrálll. Tehát írjuk fel lehető legegszerűbb Riemnn-féle integrálközelítő összeget, hog htárértékét können ki tudjuk számítni. A [0,1]-ot n egenlő részre osszuk fel. Ekkor 1 = 2 = = i = = n = 1 n. 1 = ( 1) 2 1 A keletkezett kis részintervllumokból válsszuk z intervllum jobb végpontját, tehát ξ 1 = 1 n,ξ 2 = 2 n,...,ξ i = i n,...,ξ n = n n = 1

23 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 23 Írjuk fel R n -t. ( ) 2 1 f(ξ i ) ξ i = n 1 1 n ( ) 2 2 R n = n + n 1 1 ( ) 2 i + + n n 1 1 i=1 [ ( = 1 ) 2 ( ) ( n ) ( ] n n n n n + 2 n + + n +n = n) = 1 [ n 2 ] n n n 2 2 +n = 1 [ 1 6 n(n+1)(2n+1) 1 n n n 2 2 = 1 [ (n+1)(2n+1) 2 n(n+1) ] +n = 1n n 6n n 2n2 +3n+1 6n 2 6n+6n 2 = 6n = 2n2 3n+1 6n 2 1 ( 1) 2 d = lim R 2n 2 3n+1 n = lim n n 6n 2 = n + + ( n n 1 ) 2 1 n = 2 n(n+1) n ] +n = Megjegzés. Most n esetén i = 1 n 0 (i = 1,2,...,n), mert [0,1]-ot n egenlő részre osztottuk. 2.4 A htározott integrál tuljdonsági Definíció. Minden R szám és minden vlós f() függvén esetén, h D f, kkor f() d=0 Definíció. H b f() d létezik ( < b), kkor z f() d integrált következőképpen definiálhtjuk: b b f() d := f() d. b Tétel. H f() függvén integrálhtó z [, b]-n, kkor z [, b] intervllum bármel [c, d] részintervllumán is integrálhtó. Tétel. H f() függvén integrálhtó [, b]-n és < c < b, kkor b f() d = c f() d+ b c f() d. Tétel. H f() függvén integrálhtó [,b] és [c,b] intervllumokon, kkor [,b]-n is integrálhtó és b f() d = c f() d+ b c f() d.

24 24 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II Tétel. H b f() d létezik, kkor c R esetén b c f() d = c b f() d. Tétel. H f() és g() integrálhtó [, b]-n, kkor b (f()±g()) d = b f() d± b g() d. 2.5 A htározott integrál geometrii jelentése Definíció. H f() függvén z [,b] intervllumon ( < b) integrálhtó és [,b] esetén f() 0, kkor z = f() egenletű görbe; z [,b] intervllum; z = és = b egenletű egenesek áltl htárolt síkidom görbevonlú trpéz területének számértéke z b f() d integrálll egenlő. b T = f() d = f() = f() = f() T T T b b b 2.6 A htározott integrálr vontkozó tételek Tétel. H b f() d létezik és [,b]-re, f() 0, kkor b f() d 0 Tétel. H b f() d létezik, kkor b f() d is létezik és b b f() d f() d.

25 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 25 Tétel. H f() és g() integrálhtó [, b]-n és [, b]-re f() g(), kkor b f() d b g() d. Az integrálszámítás középértéktételei Tétel. H f() függvén z [,b]-n integrálhtó, és m z f() függvén lsó htár, illetve M z f() függvén felső htár [,b]-n, kkor b m(b ) f() d M(b ). Tétel. H f() foltonos [,b]-n, kkor oln ξ [,b], melre b f() d = f(ξ)(b ). 2.7 Az integrálfüggvén és tuljdonsági Definíció. Legen f() z [, b]-n integrálhtó függvén. Értelmezzük z F függvént következő módon: D F := [,b] és [,b]-re F() := f(t) dt. F() függvént z f() függvén integrálfüggvénének nevezzük. Tétel. H f() z [,b]-on integrálhtó, kkor F() integrálfüggvéne foltonos. Tétel. H f függvén [,b]-on foltonos, kkor F integrálfüggvéne ],b[-n differenciálhtó és F ()= = f() ],b[ esetén. Bizonítás: A foltonos f() függvénnek integrálfüggvéne [,b]-n legen F(), zz F() = f(t) dt, hol ],b[. Az F() függvén helhez trtozó differencihándos: F(+h) F() h ( = 1 +h f(t) dt h f(t) dt ) = 1 h +h f(t) dt = ( ). A második egenlőségnél htározott integrál dditivitását hsználtuk fel. Az f függvén [,b]-n foltonos z [,+h]-on is foltonos z integrálszámítás középértéktétele szerint ξ [,+h], hog

26 26 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II = f() f(ξ) h = +h f(t) dt. ξ +h b Ezért ( ) = 1 f(ξ) h = f(ξ). h F() differenciálhándos: F F(+h) F() () = lim = lim f(ξ) = lim f(ξ) = f(). h 0 h h 0 ξ Felhsználtuk, hog h 0 ξ, továbbá f(ξ) f(), mert z f függvén foltonos. Tehát, h ],b[, kkor F () = f(). Megjegzés. A fenti tétel szerint [, b]-n foltonos f függvén integrálfüggvéne [, b]-n primitív függvéne f-nek, hiszen F () = f(). 2.8 A differenciál- és integrálszámítás főtétele: Newton Leibniz-tétel Tétel (Newton Leibniz-tétel). H f() és F() függvének z [,b]-n foltonosk, és F() z f() függvén primitív függvéne, kkor b f() d = F(b) F(). Bizonítás: Mivel f() [,b]-n foltonos b f() d létezik. Mivel f() [,b]-n foltonos G()= = f(t) dt integrálfüggvénre G () = f(). Tehát f() függvénnek primitív függvéne [,b]-n z F() és G() függvén is, íg G() = F() + C [, b]-re. Íg G() = F()+C G() = f(t) dt = 0 C = F()

27 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 27 G(b) = F(b)+C = F(b) F() b G(b) = f(t) dt b f() d = F(b) F() Jelölések: b f() d = [F()] b = F(b) F().

28 3. fejezet A htározott integrál lklmzási 3.1 Területszámítás 1. H f() [, b]-n integrálhtó ( < b), f() 0, kkor: b T = f() d. = f() T b 2. H f() [,b]-n integrálhtó (<b), kkor f() függvén görbéje és z tengel áltl közbezárt síkidom területe b T = f() d. = f() c d b T Az ábrán f() függvén [,b]-on előjelet vált c-nél és d-nél. Ebben z esetben görbe és z tengel közötti síkidom területe: T = b f() d = c f() d d c f() d+ b f() d. 3. H f() és g() [,b]-n integrálhtó (<b) és [,b] esetén f() g(), kkor két függvén görbéje és z = és = b egenesek áltl htárolt síkidom területe: 28

29 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 29 = f() b T = (f() g()) d. T = g() b 4. Prméteres lkbn dott görbék esete. Legen = ϕ(t) = ψ(t) α t β hol ϕ(t), ψ(t) foltonosn differenciálhtók. t B T = ψ(t) ϕ(t) dt t A A B b Prméteres lkbn dott zárt görbék áltl meghtározott síkidom területe = ϕ(t) = ψ(t) α t β hol ϕ(t), ψ(t) foltonosn differenciálhtók. G A P b B A görbe befutási irán legen pozitív, zz G görbe kerületén sétálónk bl kézre vn terület. Miközben t befutj z [α,β]-ot P(ϕ(t),ψ(t)) befutj G zárt görbét (ϕ(α) = ϕ(β),ψ(α) = =ψ(β)), zz α-hoz és β-hoz mint prméterekhez trtozó görbepontok zonosk (ϕ(α), ψ(α)) (ϕ(β),ψ(β)). Ekkor β T = ψ(t) ϕ(t) dt = 1 β (ϕ(t) α 2 ψ(t) ψ(t) ϕ(t)) dt. 3.2 Térfogtszámítás 1. Forgástest térfogt Tétel. Legen f() z [,b]-n foltonos. Az f() függvén görbéjét z tengel körül megforgtv, kpott forgástest térfogt α

30 30 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II = f() b V = π [ ] 2 f() d. b Forgástest térfogt, h körülforgtott görbe prméteres lkbn dott: = ϕ(t) = ψ(t) α t β hol ϕ(t), ψ(t) foltonosn differenciálhtók. A forgástest térfogt, menniben forgtást z illetve z tengelek körül végeztük: tb V = π [ψ(t)] 2 ϕ(t) dt illetve V = π t A tb t A [ϕ(t)] 2 ψ(t) dt 2. Oln testek térfogt, meleket lklmsn térbeli derékszögű koordinát rendszerbe helezve, [,b] esetén ismert z tengelre merőleges sík áltl létesített metszet T() területe, és T() foltonos függvén: V = b T() d. Megjegzés. Ez z áltlánosbb képlet, ennek speciális esete forgástest. 3.3 Síkgörbe ívhossz Definíció. Eg síkgörbe ívhosszánk zt htárértéket nevezzük, melhez beírt törtvonl hossz trt, h oldlink szám minden htáron túl nő, miközben legngobb oldl hossz is 0-hoz trt. L = lim n i=1 n P i 1 P i. A P 0 P 1 P 2 P n B Az oln görbéket, meleknek vn ívhosszuk ( fenti htárérték létezik) rektifikálhtó görbének nevezzük.

31 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 31 Tétel. H z f() függvén z [, b]-n foltonosn differenciálhtó, kkor z =f() függvén görbének z [,b] intervllumhoz trtozó íve rektifikálhtó, és z ív hosszúság: b L = 1+ [ f () ] 2 d. Megjegzés. Az f() függvén [,b]-n foltonosn differenciálhtó, h f () létezik és f () [,b]-n foltonos. Prméteres lkbn dott, hurokmentes görbe ívhossz = ϕ(t) = ψ(t) L = t A t B α t β [ ϕ(t)] 2 +[ ψ(t)] 2 dt. 3.4 Forgástest plástjánk felszíne hol ϕ(t), ψ(t) foltonosn differenciálhtók. (,) = (ϕ(t),ψ(t)) B Tétel. H z [,b]-n f() 0, és f () z [,b]-n foltonos, kkor z f() [,b]-hez trtozó ívének z tengel körüli forgtásávl keletkezett forgásfelület felszíne: b F = 2π A f() 1+ [ f () ] 2 d. b Prméteres lkbn dott, görbe tengel körüli forgtásávl keletkezett forgástest plástjánk felszíne = ϕ(t) α t β hol ϕ(t), ψ(t) foltonosn differenciálhtók. = ψ(t) tb [ ] 2+ [ F = 2π (t) ] 2 ϕ(t) ψ(t) dt. t A

32 4. fejezet Numerikus integrálás H b f() d létezik, még nem biztos, hog pontos értékét ki is tudjuk számítni, ilenkor lklmzhtunk közelítő integrálást. Numerikus vg közelítő integrálást lklmzhtunk következő esetekben: 1. H b f() d létezik, de f() függvénnek primitív függvéne nem létezik, zz f() függvén primitív függvéne nem elemi függvén. Például f() függvén: e ; sin 1 ;e 2 ; ln stb. 2. H b f() d létezik, de f()-nek nem tudjuk meghtározni primitív függvénét. (Túl bonolult z integrál vg nem vgunk elég okosk.) 3. H f függvént csk diszkrét pontokbn ismerjük, zz f függvén csk tábláztosn dott, vg f függvénnek csk grfikonj ismert. Legen f() z [, b]-n értelmezett integrálhtó függvén. Osszuk fel z [, b]-ot n egenlő részre, íg i = b n = h, = 0 < 1 < 2 < < n = b Az 0 = f( 0 ), 1 = f( 1 ), 2 = f( 2 ),..., n = f( n ), függvénértéket tekintsük ismertnek. 4.1 Tégllp módszer Legen t i z i-edik intervllum felezőpontj: t i = i 1+i 2. Az i-edik [ i 1, i ] intervllumon z integrált z f(t i ) h szorzttl közelítjük, íg b f() d h [f(t 1 )+f(t 2 )+ +f(t n )], h = b n. 32

33 P 1 P 2 P 3 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 33 = f() t i = i 1 i n =b 4.2 Trpézmódszer A P i 1 és P i pontokt összekötő görbeívet P i 1 P i húrrl (egenes szksszl) helettesítjük. Ekkor trpézokt kpunk, melek közös mgsság h= b f(i 1)+f(i) n. Az i-edik trpéz előjeles területe: 2 h, ez z előjeles terület f() függvén htározott integráljánk közelítő értéke z [ i 1, i ] intervllumon. = f() = i 1 i n =b P 5 P 6 Tehát Trpéz formul: b f() d f( 0)+f( 1 ) h+ f( 1)+f( 2 ) h+ + f( n 1)+f( n ) h = [ ] f(0 )+f( n ) = h +f( 1 )+f( 2 )+ +f( n i ) = 2 [ ] 0 + n = h n 1 = T n 2 A közelítés hibáj H f() [,b]-n kétszer differenciálhtó, és f () [,b]-n foltonos f () z [,b]-n korlátos, zz K > 0 szám, hog f () K [,b] esetén, kkor b f() d T n K (b )3 12n 2.

34 34 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 4.3 Simpson-módszer H síkbeli derékszögű koordinát-rendszerben tetszőlegesen felveszünk három pontot {P 1,P 2,P 3 }, kkor egértelműen megdhtó oln görbe, mel átmeg mindhárom ponton, és görbe egenlete: = 2 +b+c (h =0, egenes; h 0, prbol). A fentiek mitt most páros számú egenlő részre osztjuk [,b]-t, 2n részre osztunk: h = b 2n. A részintervllumokt párosávl összefogjuk és eg-eg dupl intervllumon z f() függvén grfikonját, megfelelő ponthármson átmenő prbolívekkel vg szkszokkl helettesítjük. Tehát 2i 2i 2 f() d 2i 2i 2 f i () d, hol f() vg elsőfokú vg másodfokú függvén. = f() P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P6 P 7 = A részintervllumokon vett integrálok közelítő értékeinek összességéből dódik Simpson-formul b f()d h 3 = h 3 [ ( ) ( )] f( 0 )+f( 2n )+2 f( 2 )+f( 4 )+ +f( 2n 2 ) +4 f( 1 )+f( 3 )+ +f( 2n 1 ) = [ ) )] 0 + 2n +2 ( n 2 +4 ( n 1 = S 2n A közelítés hibáj H f() [,b]-n négszer differenciálhtó és f (4) () foltonos [,b]-n, kkor K > 0 szám, hog f (4) () K [,b] esetén, ekkor b f() d S 2n K (b )5 2880n 2.

35 5. fejezet Improprius integrálok A htározott integrál értelmezésénél feltettük zt, hog mind z integrálás intervllum, mind z integrndusz korlátos, illetve z integrndusz vizsgált intervllum minden pontjábn értelmezett. Azonbn eges lklmzásoknál kívántos, hog ezeket feltételeket elhgjuk, ezért szükség vn z integrál foglmánk kiterjesztésére. 5.1 Véges sok pontbn nem értelmezett függvén integrálj Definíció. Legen f() függvén z [,b]-bn z 1 < 2 < < n pontok kivételével mindenütt értelmezett és korlátos. Legen ϕ() eg oln korlátos függvén, mel z [, b] intervllum minden pontjábn értelmezett és z i (i = 1,2,...,n) pontok kivételével legen ϕ() = f(). H b ϕ()d htározott integrál létezik, kkor z f() z [, b] intervllumon improprius értelemben integrálhtó és f() improprius integrálj: b b f() d := ϕ() d 5.2 Integrálás végtelen intervllumon Definíció. Legen f() függvén z [, [-on értelmezett és legen z f() függvén Riemnn szerint integrálhtó minden [,β[ intervllumon bármel < β esetén. H lim β f()d véges β htárérték létezik, kkor zt mondjuk, hog létezik z f() függvén [, [-r vontkozó improprius integrálj és f() d := lim β β f() d. = f() 35

36 36 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II Definíció. Legen f() függvén z ],]-on értelmezett és legen z f() függvén Riemnn szerint integrálhtó minden [β,] intervllumon bármel β < esetén. H lim β f()d véges β htárérték létezik, kkor zt mondjuk, hog létezik z f() függvén ], ]-r vontkozó improprius integrálj és f() d := lim β β f() d. = f() Definíció. Legen f() függvénértelmezési trtomán R. H tetszőleges, rögzített érték esetén léteznek f()d és f()d improprius integrálok, kkor f() d := f() d+ f() d. = f() 5.3 Nem korlátos függvének improprius integrálj Definíció. Legen f() függvén z ], b] intervllumon értelmezett, de z hel körnezetében ne legen korlátos. H z f() függvén bármel [ + ε,b] (0 < ε < b ) intervllumon Riemnn b szerint integrálhtó és létezik lim f()d véges htárérték, kkor z f() függvén [,b]-on ε 0+ +ε vett improprius integrálj: b f() d := lim b ε 0+ +ε f() d. = f() b Definíció. Legen f() függvén z ], b] intervllumon értelmezett, de b hel körnezetében ne legen korlátos. H z f() függvén bármel [,b ε] (0 < ε < b ) intervllumon Riemnn szerint b ε integrálhtó és létezik lim f()d véges htárérték, kkor z f() függvén [,b]-on vett ε 0+ improprius integrálj:

37 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 37 b f() d := lim ε 0+ b ε f() d. = f() b Definíció. Legen f() függvén z ], b[ intervllumon értelmezett, de z és b pontok körnezetében nem korlátos. H f() [+ε,b δ] (0<ε<b, 0<δ <b ) intervllumon Riemnn szerint integrálhtó és létezik lim f()d véges htárérték, kkor z f() függvén [,b]-on vett improprius b δ ε 0+ +ε δ 0+ integrálj: b f() d := lim ε 0+ δ 0+ b δ +ε f() d. = f() b

38

39 II. rész Kétváltozós vlós függvének 39

40 1. fejezet A kétváltozós függvének differenciálszámítás 1.1 A kétváltozós függvén foglm, megdás, ábrázolás Definíció. Azt függvént, melnek értelmezési trtomán rendezett vlós számpárok (R 2 ) vlmel nem üres részhlmz, értékkészlete pedig vlós számok vlmel nem üres részhlmz, kétváltozós vlós függvénnek nevezzük. Jelölés: z = f(,); (,) f(,); D f R 2 ; R f R Kétváltozós függvént megdhtunk: táblázttl képlettel (eplicit illetve implicit lkbn), prméteresen. A kétváltozós függvént térbeli derékszögű koordinátrendszerben ábrázoljuk. A gkorltbn előforduló kétváltozós függvének képe felület. 1.2 A kétváltozós függvének htárértéke, foltonosság Kétváltozós esetben: P 0 ( 0, 0 ) pont ε>0 sugrú körnezete R 2 összes oln P(,) pontj, melre ρ(p 1,P 0 ) < ε reláció teljesül. Definíció. A P n ( n, n ) pontsorozt trt P 0 ( 0, 0 ) ponthoz, h ε > 0 számhoz létezik oln N 0 természetes szám, hog h n > N 0, kkor ρ(p n,p 0 ) < ε. (Másképp: P n ( n, n ) P 0 ( 0, 0 ), h P n pontsorozt mjdnem minden eleme beleesik P 0 pont tetszőleges kicsi ε sugrú körnezetébe.) 40

41 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 41 Adott pontbn vett véges htárérték Definíció. Legen z f(,) függvén értelmezett P 0 ( 0, 0 ) pont vlmel körnezetében, kivéve esetleg P 0 pontot. Az f(,) függvénnek P 0 pontbn htárértéke z A vlós szám, h minden oln pontsorozt esetén, hol P n D f, P n P 0 és P n ( n, n ) P 0 ( 0, 0 ), kkor f(p n ) A. Jelölés: Pontbeli foltonosság lim 0 0 f(,) = A Definíció. Az f(,) függvén foltonos P 0 ( 0, 0 ) pontbn, h lim 0 0 f(,) = f( 0, 0 ) = f(p 0 ). 1.3 A kétváltozós függvének P 0 pontbeli prciális differenciálhándosi Definíció. Legen z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn és körnezetében értelmezett. H z rögzítésével ( = 0 ) kpott z = f(, 0 ) egváltozós függvén z 0 helen differenciálhtó, kkor zt mondjuk, hog z = f(,) kétváltozós függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn szerint prciálisn differenciálhtó és f(, 0 ) f( 0, 0 ) f( 0 +, 0 ) f( 0, 0 ) lim lim vlós htárértéket z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) ponthoz trtozó szerinti prciális deriváltjánk nevezzük. Jelölése: f(,) = f(,) P0 = z =0 = 0 = f =0 ( 0, 0 ) = f (P 0 ) = 0 Definíció. Legen z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn és körnezetében értelmezett. H z rögzítésével ( = 0 ) kpott z = f( 0,) egváltozós függvén z 0 helen differenciálhtó, kkor zt mondjuk, hog z = f(,) kétváltozós függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn szerint prciálisn differenciálhtó, és f( 0,) f( 0, 0 ) f( 0, 0 + ) f( 0, 0 ) lim lim vlós htárértéket z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) ponthoz trtozó szerinti prciális deriváltjánk nevezzük. f(,) = f(,) P0 = z =0 = 0 = f =0 (P 0 ) = f ( 0, 0 ) = 0

42 42 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II A P 0 pontbeli prciális deriváltk geometrii jelentése f(,) P0 geometrii jelentése: A z=f(,) felület és z = 0 sík metszésvonlánk Q 0 ( 0, 0,z 0 ) pontjábn húzott érintőjének irántngense, z tengelre vontkozón. f(,) P0 geometrii jelentése: A z=f(,) felület és z = 0 sík metszésvonlánk Q 0 ( 0, 0,z 0 ) pontjábn húzott érintőjének irántngense, z tengelre vontkozón. z 0 = f( 0, 0 ) z Q 0 z = f(,) 0 0 P 0 β α 1.4 A kétváltozós függvének prciális deriváltji Definíció. A kétváltozós z=f(, ) függvén szerinti (illetve szerinti) elsőrendű prciális deriváltj z kétváltozós függvén, melnek értelmezési trtomán zon P D f pontok hlmz, mel P pontokbn z = f(, ) függvén szerint (illetve szerint) prciálisn differenciálhtó, és mel kétváltozós függvén P D f (illetve P D f ) pontbn z f (P) (illetve f (P)) értéket veszik fel. Jelölések: f (,) f(,) = z illetve f (,) f(,) = z. 1.5 A totálisn differenciálhtó függvén foglm Definíció. Legen z = f(,) függvén P 0 (,) pontbn és vlmel körnezetében értelmezett. A z = f(,) függvént P 0 pontbn totálisn differenciálhtónk nevezzük, h P 0 ezen körnezetébe eső P(,) pontbn érvénes következő egenlőség: f(p) f(p 0 ) = A( 0 )+B( 0 )+(P)( 0 )+b(p)( 0 ), hol A és B konstnsok, és lim P P 0 (P) = lim P P 0 b(p) = 0. Tétel. H z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 )-bn totálisn differenciálhtó, kkor foltonos is P 0 -bn.

43 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 43 Tétel. H z z = f(,) függvén P 0 (, 0 )-bn totálisn differenciálhtó, kkor z = f(,) függvénnek léteznek P 0 ( 0, 0 )-bn prciális deriváltji, és f(,) f(,) = A és P0 = B. P0 Tétel. H z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 )-bn és körnezetében mindkét változój szerint prciálisn differenciálhtó, és prciális deriváltk foltonosk P 0 -bn, kkor z f(,) függvén P 0 -bn totálisn differenciálhtó. 1.6 Iránmenti derivált A kétváltozós függvén prciális differenciálhándosi függvén és iránú változását jellemzik. Eg tetszőlegesen megdott iránbn bekövetkező változás jellemzésére vezetjük be z iránmenti differenciálhándos foglmát, mel prciális differenciálhándos áltlánosítás. Legen z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn és körnezetében értelmezett. Vegünk fel z síkbn P 0 pontr illeszkedő, z tengel pozitív felével α szöget bezáró egenest. Legen P(,) ezen egenes P 0 -tól különböző pontj és P 0 P előjeles távolság legen t ( t R\{0}). = cos α = t cos α t = sin α = t sin α t = 0 + t cos α; = 0 + t sin α = 0 + α 0 P 0 0 t α P = 0 + Definíció. Legen z=f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn és körnezetében értelmezett, és legen P(,) ezen körnezet eleme (P P 0 ), és illeszkedjen P z tengellel α szöget bezáró P 0 pontr illeszkedő e egenesre. H f(p) f(p 0 ) f( 0 + t cos α, 0 + t sin α) f( 0, 0 ) lim = lim t 0 t t 0 t htárérték létezik (vlós szám), kkor ezt htárértéket z = f(,) függvén P 0 pontbeli α iránú iránmenti differenciálhándásánk nevezzük. e Jelölése: f α( 0, 0 ); z α. P0 Az iránmenti derivált geometrii jelentése Az f α(p 0 ) jelenti z=f(,) függvén áltl meghtározott felület és P 0 P α iránszögű egenesre illeszkedő z tengellel párhuzmos sík metszésvonlánk Q 0 ( 0, 0,z 0 ) pontjábn húzott érintőegenes irántngensét. f α(p 0 ) = tg δ

44 44 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II z z 0 = f( 0, 0 ) Q 0 z = f(,) α P 0 P δ Tétel. H z=f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn totálisn differenciálhtó, kkor P 0 -bn minden α iránbn is differenciálhtó, és f α(p 0 ) = f (P 0 )cos α+f (P 0 )sin α. 1.7 A grdiens vektor Definíció. H z =f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) D f pontbn mindkét változój szerint prciálisn differenciálhtó, kkor z f(,) függvén P 0 ponthoz trtozó grdiens vektor : grd f(,) = f (P 0 )i+f (P 0 )j = (f (P 0 ),f (P 0 )), P0 grd f P0 = [f (P 0 )] 2 +[f (P 0 )] 2. Tétel. H z =f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn totálisn differenciálhtó, kkor függvén P 0 - beli α iránú iránmenti differenciálhándos z e α = (cos α)i+(sin α)j egségvektor és grdf P0 vektor skláris szorztávl egenlő, zz f α(p 0 ) = e α grd f. P0 Bizonítás: A koordinátákkl dott vektorok skláris szorztát kiszámítv: f α(p 0 ) = f (P 0 )cos α+f (P 0 )sin α.

45 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 45 Tétel. A z = f(,) függvén f α(p 0 ) iránmenti deriváltj oln α esetén legngobb, melre e α párhuzmos grdf P0 vetkorrl. Tehát z = f(,) P 0 pontbeli iránmenti deriváltj kkor mimális értékű, zz z f(,) függvén értékei kkor változnk legngobb mértékben, h szóbn forgó irán éppen grd f P0 vektor irán. A mimális változás mértéke P 0 -bn = grdf P A felület érintősíkj Definíció. Legen z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn és nnk körnezetében foltonos. H felületet P 0 ( 0, 0 ) pontr illeszkedő z tengellel párhuzmos síkokkl metszve, minden kimetszett görbe P 0 -beli érintője eg síkbn fekszik, kkor ezt síkot z=f(,) felület P 0 pontbeli érintősíkjánk nevezzük. Írjuk fel z = f(,) felület P 0 ( 0, 0 ) pontbeli érintősíkjánk egenletét! Legen z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn totálisn differenciálhtó. Ekkor P 0 pontbn függvén bármel iránbn differenciálhtó, tehát f (P 0 ) és f (P 0 ) létezik. A felület Q 0 ( 0, 0,f( 0, 0 )) pontjábn húzott z síkkl párhuzmos, érintőegenes irántngense f (P 0 ), íg ezen érintő iránvektor v =(1,0,f (P 0 )). A Q 0 pontbn húzott z síkkl párhuzmos érintő egenes irántngense f (P 0 ), tehát ezen érintő iránvektor: v = (0,1,f (P 0 )). Az érintősík normálvektor: n = v v = ( f (P 0 ), f (P 0 ),1). Az érintősík egenlete : f (P 0 )( 0 ) f (P 0 )( 0 )+z z 0 = 0. Rendezve: z z 0 = f (P 0 )( 0 )+f (P 0 )( 0 ). 1.9 A teljes differenciál Definíció. Legen z=f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn totálisn differenciálhtó. Ekkor dz= =df =f (P 0 ) d+f (P 0 ) d kifejezést z f(,) függvén P 0 pontbeli teljes differenciáljánk nevezzük. Megjegzés. Mivel d = = 0 és d = = 0, ezért dz = f (P 0 )( 0 )+f (P 0 )( 0 ). A teljes differenciál geometrii jelentése A teljes differenciál felület P 0 -beli érintősíkjánk emelkedésével, zz (z z 0 )-ll egenlő: dz = z z 0 = z f(p 0 ) Tehát, h P pont közel vn P 0 -hoz, zz d,d kicsi, kkor dz differenciál jól közelíti függvén megváltozását. A P 0 pont közelében felület emelkedése z érintősík emelkedésével helettesíthető, zz: f(p) f(p 0 ) dz = f (P 0 ) d+f (P 0 ) d.

46 46 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 1.10 Kétváltozós függvének lokális szélsőértéke Definíció. Az f(,) függvénnek P 0 ( 0, 0 ) pontbn szigorú lokális minimum (mimum) vn, h vn oln δ > 0 szigorú körnezete P 0 -nk, mel körnezetbe eső P P 0 esetén f(p 0 ) < f(p) (f(p) < f(p 0 )). Tétel (Szélsőérték létezésének szükséges feltétele). H z f(,) : R 2 R kétváltozós függvénnek P 0 ( 0, 0 ) pontbn heli szélsőértéke vn, és f(,) totálisn differenciálhtó P 0 -bn, kkor f = f P0 = 0. P0 Megjegzés. 1. Az f(,) függvén értelmezési trtománánk zon P 0 ( 0,) pontjit, melekre f(,) f(,) = 0, P0 = 0 P0 teljesül, z f(,) függvén stcionárius pontjink nevezzük. 2. H megoldjuk f(,) = 0, f(,) egenletrendszert z, változókr, kkor kpott P 0 ( 0, 0 ) stcionárius pontok között kell keresnünk differenciálhtó f(,) függvén szélsőértékheleit. Tétel (A szélsőérték létezésének elegendő feltétele). Tekintsük z f :D f ( R 2 ) R kétszer foltonosn prciálisn differenciálhtó kétváltozós függvént, és legen P 0 ( 0, 0 ) D f pont z f(,) függvén stcionárius pontj, zz és legen f(,) = 0, P0 f(,) = 0 = 0, P0 H = f (P 0 )f (P 0 ) [f (P 0 )] 2. ) H >0 esetén f(,) függvénnek szigorú lokális szélsőértéke vn P 0 -bn. A szélsőérték f (P 0 )>0 esetén minimum lesz, míg f (P 0 ) < 0 esetén mimum. b) H H < 0, kkor f-nek P 0 -bn nincs szélsőértéke. c) H H = 0, kkor f szélsőértékproblémáj P 0 pontbn nem dönthető el másodrendű prciális differenciálhándosi segítségével.

47 2. fejezet Többváltozós vlós függvének integrálszámítás 2.1 Alpfoglmk Legen T R 2, T. T z tengelre nézve normál trtomán. D ϕ1 = D ϕ2 = [,b] ϕ 1 (),ϕ 2 () foltonosk és ϕ 1 () ϕ 2 (). T = ϕ 1 () = ϕ 2 () P(,) b R 2 zon P(,) pontji, meleknek koordinátáir fennáll z b ϕ 1 () ϕ 2 () egenlőtlenségrendszer, tengelre nézve normál trtománt lkotnk. A trtomán lehet több oldlról nílt, h z egenlőtlenségrendszerben z egenlőséget eg vg több esetben kizárjuk. T z tengelre nézve normál trtomán. D ψ1 = D ψ2 = [c,d], ψ 1 (),ψ 2 () foltonosk és ψ 1 () ψ 2 (). d =ψ 1 () c T P(,) = ψ 2 () 47

48 48 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II D ψ1 =D ψ2 =[c,d], ψ 1 (),ψ 2 () foltonosk és ψ 1 () ψ 2 (). R 2 zon P(,) pontji, meleknek koordinátáir fennáll ψ 1 () ψ 2 () c d egenlőtlenségrendszer, tengelre nézve normál trtománt lkotnk. A trtomán lehet több oldlról nílt. H T normál trtomán, kkor vn területe. H T normál trtomán, kkor korlátos. 2.2 Kétváltozós függvén htározott vg trtománi integrálji Definíció. Legen T R 2,T és T véges számú normáltrtománr bonthtó. Legen z =f(,) függvén T trtománon értelmezett korlátos függvén. A z = f(, ) függvén T trtománr vontkozó (vg Riemnn-szerinti) integrálj következő lépésekben értelmezhető: 1. Felosztjuk T trtománt n db T 1,T 2,...,T n részre T 1 T 2... T n =T és T 1 T 2... T n = (nincs közös belső pont). A résztrtománok területe legen T 1, T 2,..., T n. 2. Mindegik résztrtomán belsejében vg htárán válsztunk eg P i (ξ i,η i ) pontot (i=1,...,n). 3. Képezzük következő összeget: S n = f(p 1 ) T 1 +f(p 2 ) T 2 + +f(p n ) T n = n f(ξ i,η i ) T i 4. Képezzük ennek z összegnek htárértékét, midőn n és m T i 0. lim n m T i 0 S n = lim n m T i 0 i=1 n f(ξ i,η i ) T i H ez htárérték létezik, függetlenül T felosztásától és P i pontok válsztásától, kkor zt mondjuk, hog z = f(,) függvén T trtománon Riemnn-szerint integrálhtó és ez véges htárérték z f(,) függvén T trtománon vett Riemnn-integrálj : lim n m T i 0 n i=1 f(ξ i,η i ) T i = T f(,) dt. i=1 (Formális jelölés, számolásr nem lklms.) Tétel. Legen T véges számú normáltrtománr bonthtó (T,T R 2 ). H z =f(,) függvén T trtománon értelmezett foltonos függvén, kkor f(, ) dt létezik. Megjegzés. Kétváltozós függvén trtománi integrálj (Riemnn-integrálj) hsonló tuljdonságokkl rendelkezik, mint z egváltozós függvénre. T

49 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II cf dt = c f dt T T 2. (f +g) dt = f dt + g dt T T T 3. f dt = f dt + f dt T 1 T 2 T 1 T 2 A Riemnn-integrál (trtománi integrál) geometrii jelentése. Legen z = f(,) függvén T trtománon foltonos, és P T esetén f(p) 0. Ekkor f(, ) dt zon test térfogtánk számértéke, melet T trtomán, kerületére illeszkedő z T tengellel párhuzmos lkotójú hengerfelület és z = f(,) áltl meghtározott felület zár közre. 2.3 A trtománr vontkozó integrál kiszámítás Kétváltozós függvén tégllpon vett integrálj. T = {(,) R 2, b, c d} d c T b Tétel. H z = f(, ) függvén T tégllpon foltonos, kkor f(,) dt = d ( ) b f(,) d d = b c c T ( ) d f(,) d d. Megjegzés. A tétel szerint f(, ) függvén T-n vett integrációját z eges változók szerinti egváltozós integrálok egmás utáni kiszámításávl, zz úgnevezett szukcesszív integrálássl kiszámíthtjuk. PÉLDA: Számítsuk ki z= 2 függvén integrálját T ={(,) R 2, 2 5, 1 3} tégllpon. MEGOLDÁS: d c T b

50 50 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II T 2 dt = 3 1 = ( ) 2 d d = [ 2 d = 39 2 ] ( [ 3 3 ] 5 2 ) d = 3 1 ( ) ( 9 = ) = 156 Térfogtot jelent. 2 d = Fordított sorrendben is integrálhtunk. T 2 dt = = ( 3 1 ) 2 d [ 2 3 d = 4 3 d = ] = 156 ( [ ] 3 1 ) d = 5 2 ( ) 2 2 d = Kétváltozós függvén normál trtománon vett integrálj Az tengelre nézve normál trtomán ϕ 1 (),ϕ 2 () foltonosk [,b]-n és ϕ 1 () ϕ 2 (). T = ϕ 1 () = ϕ 2 () b Az tengelre nézve normál trtomán ψ 1 (),ψ 2 () [c,d]-n foltonosk és ψ 1 () ψ 2 (). d =ψ 1 () c T = ψ 2 () Tétel. Legen z = f(,) függvén foltonos T-n, mel T z tengelre nézve normál trtomán. Ekkor ( b ) ϕ2() f(,) dt = f(,) d d. ϕ 1() T

51 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 51 Tétel. Legen z = f(,) függvén foltonos T-n, mel T z tengelre nézve normál trtomán. Ekkor ( d ) ψ2() f(,) dt = f(,) d d. c ψ 1() T PÉLDA: Legen z = f(,) = MEGOLDÁS: f(,) dt =? T ) A T most tengelre nézve normál trtomán, 3 = T = melre ψ 1 () =,ψ 2 () = 2, hol 0 3. ( ) dt = T = 3 ( ) ( ) d d = ( ) d = [ ] 2 d 8 3 d = [ 2 4] 3 = 2 81 = b) Cseréljük fel z integrálás sorrendjét, mjd számítsuk ki újból z integrált. Ekkor z tengelre nézve normál trtománnl (trtománokkl) dolgozunk. Most T-t z = 3 egenessel T 1 -re és T 2 -re bontjuk. 3 = T 1 = 3 T 2 = T 1 és T 2 tengelre nézve normál trtománok.

52 52 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II T ( 3 ) ( ) dt = ( ) dt + ( ) dt = ( ) d T 1 T 2 ( 6 ) 3 3 ] 6 ] 3 + ( ) d d = [ d+ [ = ( ) 6 ) d+ ( d = ( = 24 3 d ) 24 3 d = 43 [ ] 4 3 [ = ( ) = 162 d+ d = 1 2 ] 6 3 =

53 III. rész Differenciálegenletek 53

54 54 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II Sok fiziki, geometrii, műszki problém megoldásához bizonos változó menniségek közötti függvénkpcsoltot kell meghtároznunk. Gkrn problém ismert feltételei lehetővé teszik, hog z ismeretlen függvén, nnk változój és z ismeretlen függvén első, második, stb. differenciálhándos között bizonos összefüggést állpítsunk meg (például egenletet írjunk fel). PÉLDA: Nehézségi erő htásár szbdon eső testekre levegő ellenállás oln fékező erőt fejt ki, mel kis sebesség esetén egenesen rános mozgó test sebességével. Keressük meg zt z s(t) függvént, mel test áltl megtett utt dj meg z idő függvénében. MEGOLDÁS: Newton II. törvéne: F = m = m d2 s dt (*), hol F testre htó erők eredője. 2 Most F = m g k v(t) = m g k ds }{{}}{{} dt. nehézségi erő fékező erő Rendezve: Ellenőrzihető, hog függvén kielégíti fenti egenletet. ( )m g k ds dt }{{} F eredő erő = m d2 s dt 2 }{{} d 2 s dt 2 + k m ds = g s(t) =? dt s(t) = s 1 e k m t + m k gt+s 2

55 1. fejezet Alpfoglmk Definíció. Az oln egenletet, melben z ismeretlen vlmel függvén (vg függvének), és mel egenlet z ismeretlen függvén eg vg több differenciálhándosát trtlmzz, differenciálegenletnek nevezzük. Definíció. H differenciálegenlet csk egváltozós függvén deriváltját vg deriváltjit trtlmzz (zz z ismeretlen függvén egváltozós függvén), kkor közönséges differenciálegenletről beszélünk. H differenciálegenlet prciális deriváltkt is trtlmz, mert z ismeretlen függvén többváltozós függvén, kkor prciális differenciálegenletről beszélünk. Megjegzés. Mi csk közönséges differenciálegenletekkel fogllkozunk és nem fogllkozunk megoldások egzisztenciájánk és unicitásánk vizsgáltávl. 1.1 A differenciálegenletek osztálozás 1. Rendűség szerint: A differenciálegenlet rendje, z egenletben szereplő legmgsbbrendű derivált rendjével egenlő. 2. Lineritás szerint: A differenciálegenlet lineáris, h z ismeretlen függvén és deriváltji z egenletben csk első htvánon fordulnk elő, és z egenletben ezek szorzti nem szerepelnek, ellenkező esetben differenciálegenlet nemlineáris. 3. Homogenitás szerint: Homogén differenciálegenlet, h z egenletben szereplő minden tg trtlmz ismeretlent (zz z ismeretlen függvént vg deriváltját), ellenkező esetben differenciálegenlet inhomogén. 1.2 A differenciálegenlet megoldási, megoldástípusok Megjegzés. A továbbikbn differenciálegenletek megoldását z egváltozós függvének körében keressük. A differenciálegenlet megoldásánk nevezünk minden oln függvént, mel deriváltjivl egütt zonosn kielégíti differenciálegenletet. 55