Analízis. Szász Róbert

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis. Szász Róbert"

Átírás

1 Anlízis Szász Róbert

2

3 . fejezet Improprius integrálok.. Improprius integrálok... Értelmezés. Legyen < b. Adott z f : [, b) R függvény. H bármely u (, b) esetén létezik z véges lim u b u u f()d htározott integrál és létezik és f()d = l htárérték, kkor ezt htárértéket z f függvény improprius integráljánk nevezzük z [, b) intervllumon és l = kifejezéssel jelöljük. (A b = eset is elfogdott.) Ebben z esetben zt mondjuk, hogy z konvergens. végtelen, kkor z H lim u b u... Péld. f : [, ) R, f() = Tehát u lim u f()d f()d improprius integrál f()d htárérték nem létezik, vgy létezik de f()d improprius integrál divergens. d = u d =. ( ) u (, ). u = u d = lim u ( u) =. 3

4 ..3. Péld. f : [, + ) R, f() = ( ) u (, + ) + u Konvergencikritérium + d = rctg u = rctgu u d = lim + u d = lim + rctgu = π u...4. Tétel. (Cuchy) Adott z f : [, b) R függvény. Legyen F (u) = u f()d. Az improprius integrál kkor és csk kkor konvergens, h bármely ε > esetén létezik egy c(ε) (, b) úgy, hogy bármely u, u (c(ε), b) esetén: F (u ) F (u ) < ε...5. Tétel. (Weierstrss) H z f, g : [, b) R függvénynek bármely u (, b) esetén integrálhtók z [, u] intervllumon, z integrál konvergens és f() g(), ( ) [, b), kkor z integrál is konvergens. g()d improprius f()d..6. Tétel. Adott z f : [, + ) [, + ) függvény. H vn olyn α vlós szám, hogy lim α f() = l htárérték véges, kkor α > esetén z + + f()d improprius integrál konvergens. H α < és l kkor z f()d improprius integrál divergens...7. Tétel. Legyen, b R, < b. Adott z f : [, b) [, + ) függvény. Tegyük fel, hogy létezik α R úgy, hogy htárérték létezik és véges. H α <, kkor z és l, kkor z lim (b b )α f() = l f()d improprius integál konvergens. H α > f()d improprius integrál divergens.

5 ..8. Tétel. (Dirichlet) Legyen f, g : [, b) R két vlós függvény. H F (u) = u g monoton és lim f() =, kkor z b konvergens. f(t)dt függvény létezik, bármely u (, b) és korlátos, f()g()d improprius integrál Megoldott feldtok. Igzoljuk, hogy z integrál konvergens. (4 + ) d Megoldás függvény esetén f() = (4 + ), f : [, ) R lim ( ) f() = 5 Az..7 Tételt α = megválsztássl lklmzzuk és következik konvergenci.. Igzoljuk, hogy z Megoldás e d improprius integrál konvergens. Ismert, hogy e t > + t, ( ) t R. A t = helyettesítéssel következik, hogy + e >. Az..5. Tételt lklmzzuk f() = e, g() = + függvé- + d = π nyek esetén f() g(), ( ) [, + ). Mivel konvergens, következik, hogy e d szintén konvergens. 3. Igzoljuk, hogy z Megoldás f()d = sin d improprius integrál konvergens.

6 F (u) = u sin d függvény korlátos z [, + ) intervllumon. A g() = függvény szigorún csökkenő és lim g() =. Az..8. Tétel lpján z improprius integrál konvergens. Kitűzött feldtok Vizsgáljuk meg következő integrálok konvergenciáját d 3 + p e d, p > ln q d rctg n d, ln( + ) n d 6. ds π 9. H z.. sin d sin(see?? )d cos(e )d f()d konvergens következik-e, hogy lim f() =. Igzoljuk, hogy következő integrálok konvergensek és számítsuk ki zokt: ln ( + ) 3 d d (ln ) 3 d

7 . π sin d π ln(sin ) d ( + ) 4 d ( + ) 4 d Tnulmányozzuk konverginciáját következő integráloknk: π cos d sin d + d ln sin k d, k <. Igzoljuk, hogy konvergens ( + )... ( + n) d ( n n + ) d, n 3... Prméteres integrálok... Értelmezés. Legyen f : [, b] [c, d] R egy -szerint integrálhtó függvény z [, b] intervllumon, bármely y [c, d] esetén. f(, y)d, F : [c, d] R függvényt prméteres integrálnk ne- F (y) = vezzük.... Tétel. H z f : [, b] [c, d] R függvény folytonos, kkor z F ; [c, d] R, F (y) = f(, y) d Az

8 prméteres integrál minden y [c, d] esetén létezik és z F : [c, d] R függvény folytonos...3. Tétel. H z f, f : [, b] [c, d] R függvények folytonosk, kkor y z F : [c, d] R, F (y) = f(, y) d függvény deriválhtó és F (y) = f (, y)d, ( ) y [c, d]. y..4. Tétel. H z f, f y : [, b] [c, d] R függvények folytonosk, z u, v : [c, d] [, b] deriválhtók, kkor z F : [c, d] R F (y) = függvény deriválhtó és v(y) u(y) f(, y)d F (y) = v(y) u(y) f y (, y)d + v (y)f(v(y), y) u (y)f(u(u), y)...5. Tétel. H z f : [, b] [c, d] R függvény folytonos, kkor z F : [c, d] R, F (y) = ( d c f(, y)d függvény integrálhtó és ) f(, y)dy d = d c ( ) f(, y)d dy. Megoldott feldtok. Számítsuk ki z integrált Megoldás Legyen F (y) = ln( + y) + d. ln( + ) + d.

9 F (y) = = = F () = ( + )( + y) d = y + y + y d + + y ln( + y) + y F (y) = y ln + ln( + y) + y dy + + y dy + ln + π 4 = F () + π 8 ln + π 8 ln F () = π 8 + d + y + y + d y π + y 4 y + y dy ln.. Legyen b > >. Számítsuk ki z Megoldás b ln d integrált. b ln d = = = ( ( + t ) t dt d = ) t d dt = dt = ln ( b + + ( t+ ) t + dt = ). 3. Számítsuk ki htárértéket: lim > = lim > = lim > ln( + y) dy y = y y( + y) dy + ln( + ) ln( + 3 ) ln( + y) + ln( + ) ln( + 3 ) = =

10 ..6. Tétel. Legyen f : [, b) [c, d] R egy folytonos függvény. z H z F (y) = f(, y)d improprius integrál konvergens, ( ) y [c, d] és f (, y)d egyenletesen konvergens [c, d] intervllumon, kkor z y f (, y)d. y f(, y)d F : [c, d] R függvény deriválhtó és F (y) =..7. Tétel. Legyen f : [, b) [c, d] R egy folytonos függvény. H z intervllumon, kkor f(, y)d improprius integrál egyenletesen konvergens [c, d] ( d c ) f(, y)dy d = d c ( ) f(, y)d dy. Megoldott feldtok. Az F (β) = számítsuk ki z Megoldás β sin α e sin α d, F : [, + ) R függvény segítségével d integrált. F (β) = e β sin αd = α α + β F (β) = rctg β α + c } π F ( ) = + c = c = π Tehát F (β) = π rctgβ α és sin α d = F () = π. Számítsuk ki z integrált: I = e e b d.

11 Megoldás Az..5 Tételt lklmzzuk: ( ) I = e t dt d = = (Felhsználtuk z Kitűzött feldtok π t dt = π Számítsuk ki z integrálokt: I (m) =. I (m) = e e b d ( ) p + qe ln p + qe b d cos cos b cos cos b e e b e e b e e b ln( + ) b + ln( ) π π d d d d e d = sin m d d d ln(cos + m sin )d ( b ). ( π képletet). ( ) + m sin ln d, m < m sin sin ) e t d dt =

12 π. I 3 (m) = 3. I 4 (m) = 4. I 5 (m) = 5. I(, b) = π π π ln( + m cos ) cos rctg(m tg ) tg rctg( sin ) sin d d d, m < ( sin + b cos ) 3 d 6. ln d.3. Dupl és tripl integrálok kiszámítás, terület és térfogtszámítás.3.. Tétel. Adott z f : [, b] [c, d] R függvény. H f integrálhtó z [, b] [c, d] hlmzon és bármely [, b] esetén létezik z F () integrál, kkor F integrálhtó z [, b] intervllumon és d c f(, y)ddy = ( d c ) f(, y)dy d. d c f(, y)dy =.3.. Következmények. H z f : [, b] [c, d] R függvény folytonos, kkor létezik z f(, y)ddy integrál, hol D = [, b] [c, d] és D D f(, y)ddy = ( d c ) f(, y)dy d = d c ( ) f(, )d dy Tétel. Legyen ϕ, ϕ : [, b] R két folytonos függvény, ϕ () ϕ (), ( ) [, b]. A D trtomány következőképpen dott: D = {(, y) R ϕ () y ϕ (), [, b]}. H f : D R egy folytonos függvény, kkor ( b ) ϕ () f(, y)ddy = f(, y)dy d. D ϕ ()

13 .3.4. Tétel. Legyen D R egy korlátos mérhető hlmz és ϕ, ϕ : D R két folytonos függvény úgy, hogy ϕ (, y) ϕ (, y), ( ) (, y) D. Legyen A = {(, y, z) ϕ (, y) z ϕ (, y), (, y) D}. H f : A R egy integrálhtó függvény, kkor ( ) ϕ (,y) f(, y, z)ddydz = f(, y, z) ddy. A.3.5. Tétel. (A helyettesítés módszere) D ϕ (,y) Legyen E R n egy nyílt hlmz és g : E R n egy olyn folytonos differenciálhtó, injektív függvény, hogy det(g ()), bármely E. H A E egy mérhető kompkt hlmz és f : g(a) R integrálhtó függvény, kkor f(g()) det g () függvény is integrálhtó z A hlmzon és f(g()) det g () d = f(y)dy. A.3.6. Péld. Legyen D = {(, y) R, y, + y r }. Számítsuk ki ( + y)ddy. D I. Megoldás D II. Megoldás ( + y)ddy = = Áttérünk polárkoordinátákr r r g(a) ( ) r ( + y)dy d = = (r ) 3 3 [ r + (r ) r + = r3 3 + r3 3 = r3 3 ] d = ) (r 3 r = 3 = ρ cos θ y = ρ sin θ [ (ρ, θ) [, r], π ] = D

14 Feldtok D (y)ddy = = r = r3 3 D (ρ cos θ + ρ sin θ)ρdρdθ = ρ dρ π (sin θ cos θ) (cos θ + sin θ)dθ = π = r3 3. A D trtományt z y = és y = + 3 görbék zárják közre. Számítsuk ki z yddy integrált. A. A D trtományt z =, y =, y =, y = egyenesek zárják közre. Számítsuk ki: + y ddy. D Számítsuk ki z integrálokt megdott trtományon. 3. D 3 = {(, y) R + (y ), y, } D 3 ( y)ddy. 4. D 4 = {(, y) R + y, y } D 4 rcsin + yddy. 5. D 5 = {(, y) R + y,, y }, D 5 p y q ddy. 6. D 6 = [, π] [, π], D 6 sin( + y) ddy 7. D 7 = {(, y) R + y, y }, D 7 ( + y ) 3 ddy. 8. D = {(, y) R + y e }, ln( + y ) D 8 + y ddy.

15 9. D 9 = {(, y) R π ( ) + (y ) 4π } D 9 ( ) + (y ) ddy.. D = {(, y, z) R 3 + y + z R }, D [( y) + z ]ddydz.. D = {(, y, z) R 3 + y z, + y + z }. D = {(, y, z) R 3 3( + y ) + z 3 } D ( + Y + z )ddydz. 3. D 3 = {(, y, z) R 3 z y, y,, z }, D 3 y z 3 ddydz. Számítsuk ki következő görbék áltl közrezárt területet: 4. y = 3, y = 8(6 ) 3 5. ( + y ) = y 6. = cos 3 t, y = sin 3 t Számítsuk ki következő felületek áltl közrezárt területet: 7. z = 4 y, z = + + y 8. + y = z, + y = z, z = 9. + y + z, y z, + y k z..4. Görbeív hossz, első- és másodfjú görbe menti integrálok.4.. Értelmezés. Egy Γ : [, b] R n folytonos leképezés képét görbének nevezzük. H Γ görbébe beírt töröttvonlk hosszi egy korlátos A hlmzt képeznek, kkor Γ görbe rektifikálhtó és Γ görbe hossz: L Γ = sup A.

16 A Γ(t) = ( (t), (t),..., n (t)) görbét simánk nevezzük, h z,,..., n függvények deriválhtók, deriváltjik folytonosk és ( (t)) + ( (t)) + + ( n(t))..4.. Tétel. H Γ : [, b] R n görbe sim, kkor hossz: L Γ = ( (y)) + ( (y)) ( n(y)) dy.4.3. Értelmezés. Legyen Γ : [, b] R n egy sim görbe, L Γ (t) = t ( (y)) + ( (y)) ( n(y)) dy, D R n egy olyn nyílt hlmz, hogy Γ([, b]) D és F : D R egy folytonos függvény. Az I = F ( (t), (t),..., n (t))dl Γ (t) Stieltjes integrált Γ görbe mentén számolt elsőfjú görbe menti integrálnk nevezzük és szimbólumml jelöljük Tétel. A sim görbék esetén: Γ F ()ds = =.4.5. Megjegyzés. n = esetén Γ f(, y)ds = F ( (t), (t),..., n (t))dl Γ (t) = F ( (t), (t),..., n (t)) ( (t) ( n(t)) dt. f((t), y(t)) ( (t)) + (y (t)) dt H Γ görbe z y = f(), [, b] egyenlettel dott, kkor: Γ f(, y)ds = f(, f()) + (f ()) d Értelmezés. Legyen D R n egy nyílt hlmz, Γ : [, b] D, Γ(t) = ( (t),..., n (t)) egy rektifikálhtó görbe D-ben és F : D R n F = (F, F,..., F n ) egy folytonos leképezés.

17 H z F k ( (t), (t),..., n (t))d k (t) Stiltjes integrálok léteznek minden k {,,..., n} esetén, kkor I = n n= F k ( (t), (t),..., n (t))d k (t) összeget z F függvény másodfjú inegráljánk nevezzük Γ görbén. A másodfjú görbe menti integrál jelölésére < F (), d > szimbólumot is hsználjuk Tétel. Legyen F : D R n egy folytonos függvény. Annk szükséges és elégséges feltétele, hogy z < F (), d > integrál értéke független legyen z úttól (csk Γ görbe kezdőpontjától és végpontjától függ), z hogy z < F (), d >= Γ n F k ()d k k= kifejezés, vlmely φ : D R függvény differenciálj legyen Tétel. Legyen D R n egy nyílt hlmz és F : R n egy olyn leképezés, mely komponenseinek léteznek prciális deriváltji és folytonosk. Az Γ < F (), d > másodfjú görbe menti integrál, kkor és csk kkor független z úttól, h F k p = F p k bármely k, p {,,..., n} Tétel. Legyen D egy egyszerű zárt trtomány, D Ω R, Ω nyílt, D = Γ rektifikálhtó. H P, Q : Ω R folytonos függvények, P -nek y- szerinti és Q-nk, -szerinti prciális deriváltj létezik és folytonos Ω-án, kkor igz következő egyenlőség: P (, y)d + Q(, y)dy = Γ D Γ ( Q P ) ddy. y

18 .4.. Péld.. Számítsuk ki z I = köríven. Γ = cos t yds integrált Γ : y = sin t, t [, π ] Megoldás I = = 3 π π. Számítsuk ki z Γ + t, t [, ] görbe. Megoldás sin t cos t sin t + cos tdt = sin tdt = 3. d + e dy integrált, hol Γ : = ln( + t), y = Γ Feldtok d + e ln( + t) dy = + t = ln ( + t) + dt + ( + t) 3 3 Számítsuk ki z elsőfjú görbe menti integrálokt. y ds, Γ : = cos 3 t, y = sin 3 t, Γ t + t dt = = (ln ) + 3 ( 8 ). t [, π] Γ ( + y ) ln zds, Γ : = e t cos t, y = e t sin t, z = e t t [, ] Γ 3 y ds, Γ 3 : = cos t, y = sin t, >, b >, E : 3 7 E : + e3 7 t [, 4π] E : 8b(3 b 3 ) 3( b )

19 4. ( + y + z )ds, Γ 4 : = cos t, y = sin t, z = bt Γ 4 5. Γ 5 zds, Γ 5 : = t cos t, y = t sin t, z = t Γ t t [, π] t [, π]. Számítsuk ki következő másodfjú görbe menti integrálokt: 6. ( y)d + (y y)dy, Γ 6 : y =,. Γ 6 + y 7. + y d y + y dy, Γ 7 : + y = R. Ellenőrizzük, hogy következő másodfjú görbe menti integrálok függetlenek z úttól és számítsuk ki. 8. (,3) (,) dy + yd 9... (,3) (,) (,) (,) (,3, 4) (,,) ( + y)d + ( y)dy yd dy d + y dy z 3 dz. (,,) (,,3) yzd + zdy + ydz Számítsuk ki következő másodfjú görbe menti integrálokt: 3. (y z )d + yzdy dz, Γ 3 Γ 3 : = t, y = t, z = t 3, t [, ]. 4. yd + zdy + dz Γ 4 Γ 4 : = cos t y = sin t, z = bt, t [, π]. A Green-képlet lklmzásávl számítsuk ki

20 5. y dy yd, Γ 5 : + y = R Γ 5 6. Γ6 ( + y)d ( y)dy, Γ 6 : + y b =. Számítsuk ki következő másodfjú görbe menti integrálokt: 7. y = ( + y)d ydy, Γ : y =, Γ y =. 8. = (t sin t) ( y)d + dy, Γ : Γ y = ( cos t) t [, π] Γ 3 y d dy, Γ 3 : + y =, y. Γ dy, Γ 4 : z 9 + y = ellipszis A(3, ), B(, ) pontok 4 közötti része. Γ 5 (e cos y + y )d (e sin y + y)dy D = {(ρ, θ) : ρ cos θ, θ π 4 }, Γ 5 = D Γ 6 3 dy y 3 d y 5 3, Γ 6 : 3 + y 3 = 3,, y. (y +z )d+(z + )dy+( +y + y + z = 4 )dz, Γ 7 : Γ 7 + y =, z y d + z dy + + y + z = d, Γ 8 : Γ 8 + y =

21 .5. Felületdrb területe, felületi integrálok.5.. Értelmezés. Legyen D R, D kompkt és mérhető. Az = (u, v) S : y = y(u, v), (u, v) D, (.) z = z(u, v) egyenletekkel értelmezett felületet simánk nevezzük, h z, y, z függvények egy olyn G nyílt hlmzon értelmezettek, hogy D G, z, y, z függvényeknek léteznek z u és v szerinti prciális deriváltjuk, zok folytonosk és u v y y rng =. u v z z u v.5.. Tétel. H z (.) összefüggéssel értelmezett S felület sim, kkor Ter(S) = EG F dudv, hol D ( ) E = + u F = u u + y ( ) ( y G = + v v ( ) y + u u y ( ) z, u u z v v + z ) ( z + v.5.3. Megjegyzés. H z S felület z = f(z, y), (, y) D egyenlettel dott, kkor: Ter(S) = D ( f + (, y) ) ( f + = (u, v).5.4. Értelmezés. Adott z S : y = y(u, v), z = z(u, v) ). (, y) y ) ddy. (u, v) D sim felület.

22 Legyen F : G R egy folytonos függvény, hol G R 3 egy olyn nyílt hlmz, mely trtlmzz z S felületet. Az I = F ((u, v), y(u, v), z(u, v)) EG F dudv integrált elsőfjú D felületi integrálnk nevezzük és I = szimbólumml jelöljük Péld. Számítsuk ki z y b + z c = ellipszoid. Megoldás Felírjuk S prmetrikus lkját: S S F (, y, z)dσ 4 + y b 4 + z dσ integrált hol S : c4 + = sin θ cos ϕ S : y = b sin θ sin ϕ θ [, π], ϕ [, π]. z = c cos θ sin θ cos dσ = bc ϕ + sin θ sin ϕ b + cos θ c 4 + y b 4 + z sin c 4 = θ cos ϕ + sin θ sin ϕ b pi ( sin θ cos ϕ I = bc + sin θ sin ϕ b + cos θ c = 4 3 πbc ( + b + c ). sin θdθdϕ + cos θ c qés ) sin θdθdϕ = r u r v r u r v r(u, v) = i(u, v) + jy(u, v) + kz(u, v) Legyen n = és V = P i+q j +R k, hol P, Q, R : G R, G R 3, G nyílt, G trtlmzz z S felületet Értelmezés. Az I = ( V u)dσ = S S ( V, r u, r v r u r v ) dσ

23 elsőfjú felületi integrált, V függvény, S felületen számolt másodfjú felületi integráljánk nevezzük és I = szimbólumml jelöljük Megjegyzés. Fenáll z I = ( v u)dσ = egyenlőség Péld. Számítsuk ki z y + z = R gömb külső felületén. A gömb prméteres egyenlete Feldtok S S P dydz + dzd + Rddy S D P Q R y z u u u dudv y z v v v dydz + ydzd + zddy integrált z + = R sin θ cos ϕ, y = R sin θ sin ϕ, z = R cos θ θ [, π], ϕ [, π] u = i + y j + z k R + y + z I = dσ S R I = R dσ = R4πR = 4πR 3. S. Htározzuk meg z = y felület + y = henger belsejébe eső területét.. Htározzuk meg z + y + z = R gömbfelület z + y = R henger belsejébe eső részének területét. 3. Számítsuk ki z + y = z felületből z + y = henger áltl kimetszett rész területét.

24 4. Számítsuk ki z ( + y + z ) = ( + y ) felület területét. 5. Számítsuk ki z ( + y + z )( + y ) = 4 y felület területét. S Számítsuk ki következő elsőfjú integrálokt: 6. ( + y )dσ z + y = z prbolóidból z = sík áltl kimetszett korlátos rész. 7. I = + y + (R z) dσ S S = {(, y, z) R 3 + y + z = R,, y, z }. 8. I = + y + 4z dσ S S = {(, y, z) R 3 + y + z = R, z }. z 9. I = + y + dσ S S = {(, y, z) R 3 + y = z, h z } >, h >.. Számítsuk ki S = {(, y, z) R 3 + y6 = z, z } felület tömegét, h ρ(, y, z) = z. Számítsuk ki következő másodfjú felületi integrálokt.. dydz+y dzd+z ddy, hol S z ( ) +(y b) +(z c) = R S gömb külső felülete.. S dydz + by dzd+ ddy, hol S z cz + y b + z c = ellipszoid külső felülete. 3. ( + y )ddy, S z + y = z prboloid + y = hengerbe S eső részének felső felülete. 4. (y z)dydz + (z )dzd + ( y)ddy S S = {(, y, z) R 3 + y = z, z h}.

25 .6. Guss-Osztrogrdszkij képlet és Stoks képlet Tegyük fel, hogy P, Q, R : D R folytonosn differenciálhtó függvények. Legyen D R 3 egy nyílt hlmz. S D, S kétoldlú sim felület drb, melyet Γ zárt görbe htárol. Ilyen feltételek mellett igz következő összefüggés cos α cos β cos γ P d + Qdy + Rdz = dσ, Gmm S y z P Q R hol n(cos α, cos β, cos γ) z S felület normális, felületnek rr z oldlár mutt, honnn nézve Γ görbe körüljárás pozitív. Feldtok A Stoks formulávl számítsuk ki:. yd+zdy+d, Γ = {(, y, z) R 3 +y +z =, +y+z = } Γ. ( yz)d + (y z)dy + (z y)dz Γ = cos ϕ Γ : y = sin ϕ, ϕ [, π] z = h π 3. (y + z)d + (z + )dy + ( + y)dz Γ 3 Γ 3 : = sin t, y = sin t cos t, z = cos t, t [, π]. 4. (y z)d + (z )dy + ( y)dz Γ 4 Γ 4 := {(, y, z) R 3 + y =, + y } h = Γ 4 olyn bejárássl vesszük, mely pozitív z O tengely felől nézve

26 5. (y + 6)d + (z + )dy + ( + y )dz Γ 5 Γ 5 = {(, y, z) R 3 + y + z = R, + y = r} < r < R, z > 6. A Γ 5 görbét olyn bejárássl vesszük, hogy gömbfelületből kivágott kisebbik trtomány külső oldl blr esik. y z d + z dy + y dz Γ 6 Γ 6 : = cos t, y = cos t, z = cos 3t, t [, π ]..6.. Tétel. (Guss-Ostrogrdszkij) Legyen egy D R 3 hlmz. Tegyük fel, hogy P, Q, R : D R folytonosn differenciálhtó függvények és S egy sim, zárt, egyszerű felület (nincs dupl pontj) D-ben, mely V térbeli trtományt zárj közre. Ebben z esetben (P cos α + Q cos β + R cos γ)dσ = S ( P = + Q y + R ) ddydz. z Feldtok V Számítsuk ki:. dydz + y dzd + z ddy, hol S [, ] [, ] [, ] kock S külső oldl.. 3 dydz + y63dzd + z 3 ddy, hol S z + y6 + z6 = R gömb S külső oldl. 3. Számítsuk ki z S ( cos α + y cos β + z cos γ)dσ integrált, hol S z +y = z kúpfelület z h egyenlőtlenségnek megfelelő drbj.

27 4. Bizonyítsuk be, hogy z S egyszerű, zárt felülettel htárolt test térfogt: V = 3 S ( cos α + y sin β + z cos γ)dσ. 5. Jelölje S z + y b + z = külső felületét. Számítsuk ki z c yzdydz + z dzd + yz ddy integrált. S.7. Fourier sorok.7.. Értelmezés. Legyen H egy hilbert tér, jelölje (, y) z, y H elemek skláris szorztát és = (, ) z vektor normáját. A {ϕ k k N} vektorrendszert ortonormáltnk nevezzük, h (ϕ k, ϕ l ) =, h k l és ϕ k = (ϕ k, ϕ k ) =, ( ) k N..7.. Értelmezés. A {ϕ k k N} ortonormált vektorrendszer teljes, H hilbert térben h bármely H és bármely ε > esetén létezik c, c,..., c n R úgy, hogy n k= c kϕ k < ε Tétel. A H hilbert térben következő állítások ekvivlensek: () H hilbert térben {ϕ k k N} vektorrendszer teljes; (b) bármely H esetén = (, ϕ k )ϕ k k= (c) bármely H esetén igz Prsevl képlet: = (d) h (, ϕ k ) =, bármely k N, kkor =. (, ϕ k ) Legyen [, b] egy kompkt intervllum. Legyen I [, b] zon függvények hlmz melyekre létezik és véges z k= f ()d integrál, nevezzük ezt hlmzt négyzetesen integrálhtó függvények hlmzánk z [, b] intervllumon.

28 H f, g I ([, b]), kkor λf + µg I ([, b]) tehát I ([, b]) z összedássl és sklárissl vló szorzássl egy vektorteret képez. Az f() g() [f () + g ()] egyenlőtlenségből következik, hogy z f() g()d integrál is létezik. Az (f, g) = f()g()d összefüggéssel értelmezett művelet teljesíti skláris szorzt tuljdonságit egy kivételével. A továbbikbn z I ([ e, e]) esettel fogllkozunk Tétel. Az I ([ e, e]) vektortérben z { } { cos nπ l l l n N } { sin nπ l l n N } vektorrendszer egy teljes ortonormált rendszer Tétel. H f I ([ l, l]) és kkor f() = + n cos nπ l + b n sin nπ, (.) l n= n = l b n = l l l l l n= f() cos nπ d és l f() sin nπ l d. { } { }.7.6. Tétel. Az I [, e] függvénytérben z cos nπ l n N és l e/ { } sin nπ l n N függvényrendszerek rendre teljes ortonormált rendszerek. e/ l H f I ([, l]) és f() = + n cos nπ l, kkor n = l f() cos nπ l d. H f() = b n sin nπ l, kkor b n = l n= l n= f() cos nπ l d.

29 Az (.) összefüggésben szereplő függvénysort z f függvény Fourier soránk nevezzük. Természetesen feltevődik kérdés, hogy z egyenlőség igz-e bármely [ l, l] esetén. H nem igz mindenütt, kkor milyen [ l, l] esetén igz. Erre kérdésre következő tétel d részleges válszt Tétel. (Jordn) H z f I [ l, l] függvény korlátos változású, kkor z f függvény, Fourier sor minden ( l, l) pontbn konvergens z [f(+ ) + f( )] értékhez. A konvergenci egyenletes minden olyn zárt intervllumon, hol f folytonos. Feldtok Fejtsük Fourier sorb következő függvényeket, megdott intervllumokon:. f() =, ( π, π). f() =, ( π, π) 3. f() = e α, ( l, l), 4. f() = sin α, ( π, π), (α Z), 5. f() = sgn(cos ), ( π, π), 6. f() = rcsin(cos ), ( π, π), 7. f() = (), ( π, π) () z pont és hozzá legközelebb eső egész szám közötti távolságot jelöli., h < α 8. f() =, h α < π Írjuk fel Prsevl képletet z f függvényre.

30 9. Számítsuk ki n= sin n n összeget. Fejtsük -szerint Fourier sorb következő függvényeket:. f() = r cos, r <, R. r cos + r. f() = ln( r cos + r ). f() = rctg r sin r cos 3. Igzoljuk, hogy α (, π ) esetén n= sin n sin nα n sor összege állndó (, α) intervllumon és (α, π) intervllumon zéró. 4. Legyen δ (, π). Az f függvényt következőképpen értelmezzük:, δ f() = és, δ < π f( + π) = f(), ( ) R. ) Írjuk fel f Fourier sorát. b) Igzoljuk, hogy n= sin(nδ) n = π δ. c) Vezessük le Prsevl tételből, hogy: n= sin (nδ) n δ = π δ d) Igzoljuk, hogy 5. Fejtsük Fourier sorb f() = ( sin ) d π. ln ctg t dt, [ π, π]

31 6. Htározzuk meg sorok összegét. n= cos n, n! n= sin n n! 7. ) Htározzuk meg z f() = π cos α, α Z, [, π] f( + π) = f(), ( ) R függvény Fourier sorát. b) Bizonyítsuk be, hogy: π cos πα = α + k= α α k és π sin απ = α + ( ) k α α k. 8. Fejtsük következő függvényeket sinusz sorb [, π] intervllumon. [ ],, ]pi ) f() =, ( π, π] b) f() = (π ) c) f() = sin. 9. Fejtsük következő függvényeket cos sorb [, π] intervllumon:, [, h] ) f() =, (h, π] b) f() = cos, [, π] c) f() = sin, [, π]. k=.8. Differenciálegyenletek.8.. Értelmezés. Legyen f : [, n] R, g : [c, d] R két dott folytonos függvény. Az y = f() g(y) (.3)

32 differenciálegyenlet szétválszthtó változójú (szeprábilis) differenciálegyenletnek nevezzük. H létezik olyn y : [, b] [c, d] deriválhtó függvény, mely teljesíti z (.3) egyenletet, kkor zt mondjuk, hogy y megoldás (.3)- nek..8.. Péld. y = y y, y() = H ezt z egyenletet z (.3) egyenlettel nlóg lkr krjuk írni, kkor z f() =, g(y) = y y egyenlőségeket kell felírjuk. meghtározásához z y lkb írjuk. Innen z következik, hogy: A jelen esetben: = f()g(y) egyenletet z y() y() y() ln y( ) t t g(t) dt = f(t) dt. t t dt = y() = ln ln y() + y() t dt y g(y) = ln y() = +. Az y függvény = f() ekvivlens Feldtok. y = ( + y ) ln, y() =. ( )y + y =, y() = 3. y = (y + y), y( 3) = 4. ( + e )y y = e 5. y sin = y ln y

33 .8.3. Tétel. (Változóbn homogén differenciálegyenletek) Legyen f : [c, d] R dott folytonos függvény. Az y : [, b] R olyn, hogy [, b], y deriválhtó [, b]-n és y()/ [c, d]. Az y függvény kkor és csk kkor megoldás z egyenletnek, h z megoldás [, b] n z ( y y = f ) u : [, b] R, u() = y() u = f(u) u szétválászthtó változójú differenciálegyenletnek Péld. y = y + e y Az y = u helyettesítést lklmzzunk: y = u y = u + u Az egyenletünk így lkul: u + u = u + e u u = e u du e u = t dt e u() e u() = ln e u() + ln = e u() ( ) u() = ln e u() + ln Feldtok. y = y + cos y. y = y

34 3. y = y ln y 4. y = y + ( y ) + 5. y = y + y Homogén egyenletre visszvezethető ( ) y + b y + c = f + b y + c lkú differenciálegyenletek. (.4) Két esetet különböztetünk meg: b ) b, kkor u =, v = y y változócserét lklmzunk, hol (, y ) z + b y + c = egyenletrendszer megoldás. + b y + c = Ezzel helyettesítéssel (.4) egyenlet ( ) ( v ) dv du = f u + b v + b u = f v u + b v + b u egyenletté lkul, melyik u és v-ben homogén. b b) b = = b = k és (.3) egyenlet következő lkb b írhtó: ( ) y k( + b y) + c = f = g( + b y) + b y + c és z u = + b y helyettesítést lklmzzuk Péld. Megoldás y = + y + y + 4 = =.

35 + y = Az + y + 4 = u = + v = y 3 egyenletrendszer megoldás: =, y = 3. helyettesítéssel egyenlethez jutunk. A v u = z helyettesítést lklmzunk v = uz v = uz + z és következő egyenlethez jutunk: uz + z z = z z + z z dz = u du u ( + z z ) = c ( + ) + ( + )(y 3) (y 3) = c. (.5) Feldtok. y = + y. y = 3y y 3 3. y = + y y + 4. y 8 + 4y + = 4 + y + 5. y = + y + y.8.. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek Legyen P, Q : I R két folytonos függvény. Az y = P ()y + Q() egyenletet elsőrendű lineáris inhomogán differenciálegyenletnek nevezzük. Az y = P ()y

36 egyenlet, elsőrendű, lineáris, homogén differenciálegyenlet. A homogén egyenlet következő szétválszthtó változójú differenciálegyenletté lkíthtó: Integrálássl ln y = dy y = P ()d. egyenlethez jutunk, mely ekvivlens z P (t)dt + ln c y = ce P (t)dt egyenlettel, mi homogén egyenlet megoldás. Az inhomogén egyenlet egy megoldását konstns változttásánk módszerével htározzuk meg: y = c() e P (t)dt. Ezt helyettesítve z inhomogén egyenletbe c ()e P (t)dt + c()p ()e P (t)dt = P ()c()ee P (t)dt + Q() összefüggéshez jutunk. Innen következik, hogy: c () = Q() e P (t)dt s P (t)dt ds c() = D + Q(s)e Y = De P (t)dt + Q(s)e és s P (t)dt ds. H z y( ) = y kezdeti értékű Cuchy feldtot kell megoldni, kkor következik, hogy: D = y és y() = y e P (t)dt + Q(s)e P (t)dt ds.

37 .8.6. Péld. Oldjuk meg z y = yctg + sin differenciálegyenletet. Megoldás Először megoldjuk homogén egyenletet Ez homogén egyenlet megoldás. y = yctg dy y = cos sin d ln y = ln sin + ln c y h = c sin Az inhomogén egyenlet megoldását } y() = c() sin lkbn keressük y = yctg + sin c () sin + c() cos = c() sin ctg + sin c () = c() = + D y = sin + D sin, z inhomogén egyenlet megoldás..8.. Bernoulli típusú differenciálegyenletek Az áltlános lk: y = P ()y + Q()y α, (.6) hol P, Q : I R folytonos függvények és α R \ {, }. Egyszerű belátni, hogy z u() = (y()) α helyettesítéssel z (.6) egyenlet következő lineáris, inhomogén elsőrendű differenciálegyenletté lkul: u = ( α)[p ()u + Q()], mit z előbb ismertetett módon oldunk meg Péld. y = y + 3 y Megoldás α = és z u = y változócserét lklmzunk: = u = u + 3. A lineáris egyenlet megoldás: u = ce +

38 és z eredeti egyenlet megoldás: ( y = ce ) A Riccti típusú egyenletek A Riccti típusú differenciálegyenlet áltlános lkj: y = P ()y + Q()y + R(), hol P, Q, R : I R folytonos függvények és y C [I]. H ismert Rictti egyenlet egy y C [I] megoldás, kkor z y = z + y helyettesítéssel Riccti egyenlet egy elsőrendű, lineáris inhomogén egyenletbe trnszformálódik Péld. Az y = y + y + egyenlet egy megoldás y = djuk meg z áltlános megoldását. Megoldás Az y = z + helyettesítést lklmzzuk és z = 3z + egyenlethez jutunk. Ennek z egyenletnek megoldás: Innen következik, hogy: z = ce 3 (3 + ). 9 y = + ce 3 (3+). 9 Feldtok Oldjuk meg következő elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket:. y y = 4

39 . y + ytg = 4 + y 3. y + y + = 4. y + ( + )y = 3 e 5. y y = 3 Oldjuk meg következő Bernoulli egyenleteket: 6. y + y = 3 y y y = y ( + 3 ) sin, y() =. 8. y + y = y ln 9. y + ytg = y. y + y = y Oldjuk meg következő Riccti egyenleteket, h ismert egy megoldásuk:. y y + e y = e + e, y = e. y e + y ye = e, y = e 3. y + y y sin + sin cos =, y = sin 4. y = y + y +, y = Egzkt differenciálegyenletek Legyen D R egy trtomány és P, Q : D R dott folytonos függvények. A P d + Qdy = (.7) egyenletet egzktnk nevezzük, h létezik egy olyn F : D R differenciálhtó függvény, hogy df = P d + Qdy.

40 Az y : I R függvény kkor megoldás (.7) differenciálegyenletnek, h létezik c R úgy, hogy: F (, y()) = C, ( ) I Tétel. Legyen P, Q : D R folytonos prciális deriváltkkl rendelkező két függvény. A P d + Qdy = egyenlet kkor és csk kkor egzkt, h P y = Q..8.. Megjegyzés. H P d+qdy = differenciálegyenlet egzkt, kkor: F (, y) = P (t, y)dt + y y Q(, s)d..8.. Értelmezés. H µ : D R, µ egy olyn függvény, hogy egzkt egyenlet, kkor µ függvényt µp d + µqd = P d + Qdy = egyenlet integráló szorzójánk nevezzük..8.. Megjegyzés. µ kkor és csk kkor integráló szorzó, h Feldtok y (µp ) = (µq). Oldjuk meg következő egzkt differenciálegyenleteket:. ( + y)d + ( y)dy =. yd + ( y )dy = 3. y d + (y3 + ln )dy = Htározzuk meg z egyenletek integráló szorzóját és oldjuk meg: 4. ( y)d + (y )dy = µ = µ()

41 5. ( + sin + sin y)d + cos ydy = µ = µ() 6. ( y)d + (y + )dy = µ = µ( + y ) 7. ( + y )d ydy = µ = µ(y ).9. Lineáris differenciálegyenletek Adott z L differenciáloperátor: L : C (n) ([, b]) C([, b]) L(y) = y (n) + y (n ) + y (n ) n y, hol i : [, b] R folytonos függvények. Az n-ed rendű, lineáris differenciálegyenlet áltlános lkj: y (n) + y (n ) n y = f, (.8) hol f : [, b] R egy folytonos függvény. Az (.8) egyenlet z L(y) = f egyenlettel ekvivlens..9.. Tétel. (z (.8) egyenlet megoldáshlmzánk szerkezete) H y p z (.8) egyenlet egy sjátos megoldás, kkor z (.8) egyenlet bármely megoldás felírhtó y = y p + y h lkb, hol y h z L(y) = homogén egyenlet megoldás..9.. Tétel. Az L operátor egy lineáris leképezés z L(y) = homogén egyenlet megoldáshlmz z L operátor mgtere, mely C (n) ([, b]) vektortér egy n dimenziós ltere.

42 .9.3. Értelmezés. Legyen y i C (n) ([, b]). A W (y,..., y n ) = y y... y n y y... y n y n (n ) y (n ) y (n ) determinánst z y,..., y n függvények Wronski determinánsánk nevezzük Tétel. H y,..., y n C (n) ([, b]) függvények megoldási z L(y) = egyenletnek, kkor következő két állítás ekvivlens: ) z y,..., y n függvények C (n) ([, b]) vektortérben lineárisn függetlenek b) W (y,..., y n ).9.5. Következmények. H y,..., y n C (n) ([, b])) megoldási z L(y) = egyenletnek és W (y,..., y n ), kkor z L(y) = egyenlet bármely y megoldás felírhtó y = c y c n y n lkb, hol c,..., c n R. Az {y,..., y n } függvényrendszert lpmegoldásnk nevezzük Értelmezés. H z L operátor értelmezésében szereplő k () függvények állndók, zz k () = k R, k =, n, kkor n y (n) + k y (n k) = (.9) k= egyenletet n-ed rendű állndó együtthtós, lineáris, homogén differenciálegyenletnek nevezzük. n A λ n + k λ n k = egyenletet (.9) differenciálegyenlet krkte- k= risztikus egyenletének nevezzük.

43 .9.7. Tétel. H λ, λ,..., λ k R krkterisztikus egyenlet p,..., p k N szeres gyökei p + p p k = n, kkor z e λ, e λ,..., p e λ e λ k, e λ k,..., p k e λ k függvényrendszer lpmegoldás (.9) egyenletnek. H λ = α + iβ, λ = α iβ komple számok p = p = p szeres gyökei krkterisztikus egyenletnek, kkor z lpmegoldás első két sor helyett z függvények szerepelnek. e α cos β, e α cos β,..., p e α cos β e α sin β, e α sin β,..., p e α sin β.9.8. Tétel. ( konstns változttás módszere) H y,..., y n C (n) lpmegoldás (.9) egyenletnek és C k : [, b] R deriválhtó függvények kielégítik egyenletrendszert, kkor megoldás z inhomogén egyenletnek. n k= n k= C k ()y(j) k () =, j =, n C k ()y(n ) k () = f() y p () = y (n) + n C k ()y k () k= n k y (n k) = f() k=.9.9. Megjegyzés. Néhány esetben z L(y) = f() (L(y) = y (n) + y (n ) n y) inhomogén egyenlet y s sjátos megoldását egyszerűbben is meg lehet htározni.

44 . h f() = λ m λ m + λ m és n, kkor y s () = µ m + µ m µ m + µ m. Ezt behelyettesítve z L(y) = f() egyenletbe z n µ = λ n µ + m n µ = λ egyenletekhez jutunk miből kiszámíthtó µ, µ,... stb.. h n = n =... = n p+ = és n p, kkor y s = p (µ m + µ m µ m ) 3. h f() = e α (λ m + λ m λ m ) és α nem gyöke krkterisztikus egyenletnek, kkor y p = e α (µ m + µ m µ m ) 4. h f() = e α (λ m λ m ) és α q-szoros gyöke krkterisztikus egyenletnek, kkor y p = e α q (µ m µ m ) 5. h f() = e α P () cos β + e α P () sin β és α + iβ q-szoros gyöke krkterisztikus egyenletnek (hol q lehet zéró is), kkor y p () = e α q (Q () cos β + Q ( sin β) és gr(q ) = grq = m{gr(p ), gr(p )}. Feldtok Oldjuk meg következő differenciálegyenleteket:. y y y = 4 e,. y + y + y = ( + )e, 3. y 4y + 5y = + 8 cos + e, 4. y y y = 4,

45 5. y (4) + 4y = 8e, 6. y + 4y = cos, 7. y + y = tg, 8. y y = e +, 9. y y + y = e +. Oldjuk meg következő Chuchy feldtokt:. y 5y + 4y =, y() = 5, y () = 8. y + 3y + y =, y() =, y () =.. y 4y + 5y = e, y() =, y () = y y =, y() =, y () =, y () =. 4. y + 4y = sin, y() = y () =. Oldjuk meg és htározzuk meg z dott feltételt teljesítő megoldást: 5. y y 5y =, lim y = y + 4y + 4y = e (sin + 7 cos ), lim y() =. Az + b = e t lkú helyettesítéssel vezessük vissz konstns együtthtós egyenletekre és oldjuk meg következő egyenleteket: 7. y + y + y = (6 ln ), 8. y y + y = +, 9. ( + ) 3 y + 3( + ) y + ( + )y = 6 ln( + ),. ( ) y 3( )y + 4y =.

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26. Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat

Többváltozós analízis gyakorlat Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Az integrálszámítás néhány alkalmazása Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Tehetetlenségi nyomatékok

Tehetetlenségi nyomatékok Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

A határozott integrál fogalma és tulajdonságai

A határozott integrál fogalma és tulajdonságai . fejezet Htározott integrál A htározott integrál foglm és tuljdonsági D. Legyen f z [, b] intervllumon legfeljebb véges számú pont kivételével mindenütt értelmezett korlátos vlós függvény, továbbá legyen

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,

Részletesebben

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22 Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez,

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:

2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert: . Guss elimináció.1 Oldjuk meg Guss-Jordn eliminációvl következő egyenletrendszert: x - x + x + x5 = -5 x1-7x + 8x - 5x = 9 x1-9x + 1x - 9x = 15. A t prméter mely értékeire nincs z egyenletrendszernek

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

2010/2011 es tanév II. féléves tematika 2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási

Részletesebben

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()

Részletesebben

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:

Részletesebben

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok

7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok 7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7. efiníió és lpintegrálok efiníió. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differeniálhtó I-n,

Részletesebben

5.1. A határozatlan integrál fogalma

5.1. A határozatlan integrál fogalma 9 5. Egyváltozós vlós függvények integrálszámítás 5.. A htároztln integrál foglm Az eddigiekben megismertük differenciálás műveletét, melynek lpfeldt: dott f függvényhez megkeresni z f derivált függvényt.

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Tekintsük az I (I R) intervallumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben a

Tekintsük az I (I R) intervallumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben a . . Egyváltozós függvények htároztln integrálj. Egyváltozós függvények htároztln integrálj PAP MARGIT. A primitív függvény foglm Tekintsük z I (I R) intervllumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben prgrfusbn

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.

T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19. Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat! . Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk

Részletesebben

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik

Részletesebben

differenciálegyenletek

differenciálegyenletek Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

Gazdasági matematika I. tanmenet

Gazdasági matematika I. tanmenet Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 17.

FELVÉTELI VIZSGA, július 17. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá. Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben