végtelen sok számot?
|
|
|
- Csongor Somogyi
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Hogyan adjunk össze végtelen sok számot? Németh Zoltán, SZTE Bolyai Intézet szeged.hu/~nemeth 2006, 2007.
2 Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan fut, ezért lovagiasságból ad 1 sztadion előnyt. Utoléri e Akhilleusz a teknősbékát, és ha igen, hol?
3 Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan fut, ezért lovagiasságból ad 1 sztadion előnyt. Utoléri e Akhilleusz a teknősbékát, és ha igen, hol? Utoléri, hiszen ha Akhilleusz megtesz mondjuk 2 sztadion utat, ezalatt a teknősbéka az előnyével együtt is csak 1,2 sztadion messzire jut, tehát lemaradt.
4 Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan fut, ezért lovagiasságból ad 1 sztadion előnyt. Utoléri e Akhilleusz a teknősbékát, és ha igen, hol? Utoléri, hiszen ha Akhilleusz megtesz mondjuk 2 sztadion utat, ezalatt a teknősbéka az előnyével együtt is csak 1,2 sztadion messzire jut, tehát lemaradt. Ahhoz, hogy a teknőst utolérje, Akhilleusznak sztadion utat kell megtennie k
5 Gombóc Artúr nagyon szereti a csokoládét. Kedvenc csokija csomagjában van egy szelvény, és 10 szelvényért egy újabb csokit lehet kapni a boltban (persze becsomagolva). Mennyit ér valójában egy csomag csoki?
6 Gombóc Artúr nagyon szereti a csokoládét. Kedvenc csokija csomagjában van egy szelvény, és 10 szelvényért egy újabb csokit lehet kapni a boltban (persze becsomagolva). Mennyit ér valójában egy csomag csoki? Világos, hogy egy tábla csokit és egy szelvényt. De ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor 1 szelvény = 0,1 csomag, és a tized csomaghoz is tartozik egy tized szelvény... Tehát a becsomagolt csoki mindösszesen tábla (meztelen) csokit ér. 10 k
7 Másrészt, ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor 10 szelvény = 1 tábla csoki + 1 szelvény, azaz 9 szelvény = 1 tábla csoki, 1 1 szelvény = tábla csoki, 9
8 Másrészt, ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor 10 szelvény = 1 tábla csoki + 1 szelvény, azaz 9 szelvény = 1 tábla csoki, 1 1 szelvény = tábla csoki, 9 tehát k =1 1 9
9 Másrészt, ha 10 szelvény = 1 csomag, akkor 10 szelvény = 1 tábla csoki + 1 szelvény, azaz 9 szelvény = 1 tábla csoki, 1 1 szelvény = tábla csoki, tehát k =1 1 9 Azaz a becsomagolt csoki 1 tábla csokit ér; Akhilleusz 1 sztadion után éri utol a teknőst; és úgy adhatunk össze végtelen sok számot, hogy az elsőt 1, a másodikat 0,1, a harmadikat 0,01másodperc alatt adjuk a többihez és így tovább ekkor 1 másodperc alatt végzünk
10 Nézzük általánosan: Ha 1 x x 2 x 3 x 4 =S, x x 2 x 3 x 4 =x S, azaz = 1 x S, 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x.
11 Nézzük általánosan: Ha 1 x x 2 x 3 x 4 =S, x x 2 x 3 x 4 =x S, azaz Ha x = 1 10, akkor = 1 x S, 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x k = =1 1 9
12 Ha x = 1, akkor 4 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x k = 1 =
13 Ha x = 1, akkor 4 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x k = 1 =
14 = = = 1 4
15 = = = 1 4
16 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x
17 Ha x = 1, akkor 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x = = 1 2 Egész számok összege tört?
18 Ha x = 1, akkor 1 x x 2 x 3 x 4 = 1 1 x = = 1 2 Egész számok összege tört? Ha x =2, akkor = = 1 Pozitív számok összege negatív?
19 Ideje pontos definíciót adni. Az a 1 a 2 a 3 a 4 a k = k =1 formális összegnek (végtelen sornak, numerikus sornak) képezzük a részletösszegeit a következő módon: a k s 1 =a 1, s 2 =a 1 a 2, s 3 =a 1 a 2 a 3, s 4 =a 1 a 2 a 3 a 4, s n =a 1 a 2 a 3 a n,
20 Ideje pontos definíciót adni. Az a 1 a 2 a 3 a 4 a k = k =1 formális összegnek (végtelen sornak, numerikus sornak) képezzük a részletösszegeit a következő módon: a k s 1 =a 1, s 2 =a 1 a 2, s 3 =a 1 a 2 a 3, s 4 =a 1 a 2 a 3 a 4, s n =a 1 a 2 a 3 a n, Ha van olyan s szám, amit a részletösszegek minden határon túl megközelítenek, azt mondjuk, hogy a sor konvergens és összege s. Ha nincs ilyen szám, az összeget nem értelmezzük, a sor divergens.
21 Számoljuk ki az sor részletösszegeit: 1 x x 2 x 3 x k s n =1 x x 2 x n = 1 x n 1 x x 1
22 Számoljuk ki az sor részletösszegeit: 1 x x 2 x 3 x k s n =1 x x 2 x n = 1 x n 1 x Legyen x < 1. Ha n elég nagy, x n 0, s n 1 1 x, s n 1 1 x x 1
23 Számoljuk ki az sor részletösszegeit: 1 x x 2 x 3 x k s n =1 x x 2 x n = 1 x n 1 x Legyen x < 1. Ha n elég nagy, x n 0, s n 1 1 x, s n 1 1 x 1 Tehát fenti sorunk összege. 1 x x 1 Ha x 1, a részletösszegek minden határon túl növekszenek (abszolút értékben); ha x = 1, a 0 és az 1 között ugrálnak; a sor összege definíciónk szerint ekkor nem értelmezett.
24 Ha a sor tagjai mind pozitívak, a részletösszegek monoton növekszenek. A helyzet egyszerű: Ha a részletösszegek minden határon túl növekszenek, a sor divergens.
25 Ha a sor tagjai mind pozitívak, a részletösszegek monoton növekszenek. A helyzet egyszerű: Ha a részletösszegek minden határon túl növekszenek, a sor divergens. Ha a részletösszegek korlátosak, a sor konvergens.
26 Példa: k
27 Példa: k s 2 n= n
28 Példa: k s 2 n= n n n A részletösszegek nem korlátosak, ezért a fenti, ún. harmonikus sor divergens, azaz nincs összege.
29 Példa: k 2
30 Példa: k 2 s n = n n 1 n
31 Példa: k 2 s n = n n 1 n tudjuk, hogy 1 k 1 k = 1 k 1 1 k n 1 1 n
32 Példa: k 2 s n = n n 1 n tudjuk, hogy 1 k 1 k = 1 k 1 1 k n 1 1 n 2 1 n 2
33 Mivel a részletösszegek (növekedőek és) korlátosak, a sornak van összege, nem tudjuk, mennyi, de legfeljebb 2. Belátható, hogy k k = 2 6
34 Példa: k 1 1 k
35 Példa: k 1 1 k A sor tagjai egyre kisebbek és váltakozó előjelűek. Az ilyen sorok mindig konvergensek, mert a részletösszegek egy számra húzódnak rá. Tehát a fenti sornak van összege.
36 Egy háromszög minden oldalára tegyünk egy harmadakkora háromszöget, majd ezt folytassuk. A határalakzat az ún. Koch féle hópehely.
37 Az eredeti háromszög oldala legyen 1. Minden lépésben az oldalak száma megnégyszereződik, hosszuk pedig harmadolódik.
38 Az eredeti háromszög oldala legyen 1. Minden lépésben az oldalak száma megnégyszereződik, hosszuk pedig harmadolódik. 3 Az n edik alakzat kerülete tehát 4 n. 3
39 Az eredeti háromszög oldala legyen 1. Minden lépésben az oldalak száma megnégyszereződik, hosszuk pedig harmadolódik. 3 Az n edik alakzat kerülete tehát 4 n. 3 Ez a sorozat minden határon túl nő, tehát a Koch hópehely kerülete végtelen nagy! Akkor igencsak kanyargós lehet...
40 Az n edik lépésben a hozzáragasztott kis háromszögek területe: 3 4 n n 3 4 = n 1, 4 9
41 Az n edik lépésben a hozzáragasztott kis háromszögek területe: 3 4 n n 3 4 = n 1, 4 9 tehát a hópehely területe = =
42 Az n edik lépésben a hozzáragasztott kis háromszögek területe: 3 4 n n 3 4 = n 1, 4 9 tehát a hópehely területe = = tehát a végtelen hosszú görbe véges területet határol! (Azért a kerület és terület fogalma igazából tisztázandó.)
43 Egy apa elhatározza, hogy gyermekének minden születésnapjára annyiszor 1000 Ft ot ajándékoz, ahány éves (a gyerek). Mennyi pénzt tegyen a bankba évi 6 % os kamatra, hogy ezt akármeddig folytathassa? Ahhoz, hogy n év múlva n 1000 forintunk legyen, most n 1000 q n Ft ot kell a bankba rakni (ahol q =1,06 ). A keresett összeg tehát q 2 q 2 3 q 3 4 q 4 5 q 5
44 1 q 1 1 q 2 q 1 3 q 1 4 q 5 1 q 2 1 q 3 1 q 4 1 q q 3 q 1 4 q q 4 q 5
45 1 q 1 1 q 2 q 1 3 q 1 4 q 5 1 q 2 1 q 3 1 q 4 1 q q 3 q 1 4 q q 4 q 5 1 q 2 3 q 2 q 4 3 q 5 4 q 5
46 1 q 1 1 q 2 q 1 3 q 1 4 q = 1 5 q q q 2 q 3 q 4 q 5 = 1 q 1 q q 3 q 1 4 q 5 = 1 1 q 2 q q 4 q = q 3 q 1 = 1 q 1 1 q 2 3 q 2 q 4 3 q 5 4 q = q 1 q 1 q q 3 q 1 4 q 5
47 1 q 1 1 q 2 q 1 3 q 1 4 q = 1 5 q q q 2 q 3 q 4 q 5 = 1 q 1 q q 3 q 1 4 q 5 = 1 1 q 2 q q 4 q = q 3 q 1 = 1 q 1 1 q 2 3 q 2 q 4 3 q 5 4 q = q 1 q 1 q q 3 q 1 4 q = 5 A feladat számaival ez kb. 277 ezer Ft. 1 2 q 1
48 Egy 10 m hosszú gumikötél egyik vége rögzített, a másik végétől egy csiga mászik a fal felé, 1 cm/s sebességgel. Igen ám, de a kötelet egy gonosz manó közben nyújtja, 10 m/s sebességgel. Eléri e a csiga a falat? 1 s múlva a csiga megtett legalább 1 cm t, a kötél 2000 cm. 2 s múlva a csiga megtett legalább 1,5 + 1 cm t, a kötél 3000 cm. Ez nem hangzik valami jól...
49 Egy 10 m hosszú gumikötél egyik vége rögzített, a másik végétől egy csiga mászik a fal felé, 1 cm/s sebességgel. Igen ám, de a kötelet egy gonosz manó közben nyújtja, 10 m/s sebességgel. Eléri e a csiga a falat? 1 s múlva a csiga megtett legalább 1 cm t, a kötél 2000 cm, tehát megtette az út legalább részét. 2 s múlva a csiga megtett legalább 1,5 +1 cm t, a kötél 3000 cm, tehát megtette az út legalább Ez az! részét.
50 Tehát n s múlva a csiga megtette az út legalább n részét. Mivel a zárójelben levő összeg minden határon túl nő. eléri az 1000 értéket is, és akkor a csiga célba ért. (A feladat adatait komolyan véve, mintegy év alatt, a Föld kora mintegy 10 9 év )
51 Az ábrán látható négyzetrácsban hány pont látszik a bal alsó sarokból? Az ábrán például a zöld pontok látszanak, a pirosak nem. Bebizonyítható, hogy N növelésével a látható és az összes pontok számának aránya egy állandó K értékhez közelít. Mekkora ez a K állandó? (Úgy is fogalmazhattuk volna a kérdést, hogy milyen gyakoriak a relatív prím számpárok.)
52 A nem látható pontokat (mint a és b ), nyilván látható pontok takarják el (mint A és B ). Az a pontot feleúton takarja el a A pont, az ilyen takarópontok láthatóak az N/2 oldalú négyzetben. A b pontot harmadúton takarja el a B, az ilyen takarópontok láthatóak az N/3 oldalú négyzetben...
53 A nem látható pontokat (mint a és b ), nyilván látható pontok takarják el (mint A és B ). Az a pontot feleúton takarja el a A pont, az ilyen takarópontok láthatóak az N/2 oldalú négyzetben. A b pontot harmadúton takarja el a B, az ilyen takarópontok láthatóak az N/3 oldalú négyzetben... A látható pontok száma K N 2 =N 2 K N 2 2 K N 3 2 K N 4 2,
54 A nem látható pontokat (mint a és b ), nyilván látható pontok takarják el (mint A és B ). Az a pontot feleúton takarja el a A pont, az ilyen takarópontok láthatóak az N/2 oldalú négyzetben. A b pontot harmadúton takarja el a B, az ilyen takarópontok láthatóak az N/3 oldalú négyzetben... A látható pontok száma K N 2 =N 2 K N 2 2 K N 3 2 K N 4 2, = K = 6 2 2
55 Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0, =
56 Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0, = = = hiszen a mértani sort már ismerjük = ,
57 Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0, = = = hiszen a mértani sort már ismerjük. Hasonlóan = , 0,9999 = =
58 Egy igazi alkalmazás: a tizedes törtek 0, = = = hiszen a mértani sort már ismerjük. Hasonlóan = , 0,9999 = = = = 9 9 =1
59 0,9999 =1 Ez elég meglepő, nézzük más úton is! ,9 1
60 0,9999 =1 Ez elég meglepő, nézzük más úton is! ,9 1 0, ,999 1
61 0,9999 =1 Ez elég meglepő, nézzük más úton is! ,9 1 0, ,999 1 Ez az úgynevezett rendőr elv. 1 1
62 Belátjuk, hogy minden tizedes törtnek van értelme. 1 egy végtelen összeg. 0,abcdef = a 10 b 10 2 c 10 3 d 10 4
63 Belátjuk, hogy minden tizedes törtnek van értelme. 1 egy végtelen összeg. 0,abcdef = a 10 b 10 2 c 10 3 d 10 4 Részletösszegei monoton nőnek, tehát elég a korlátosságot igazolni.
64 Belátjuk, hogy minden tizedes törtnek van értelme. 1 egy végtelen összeg. 0,abcdef = a 10 b 10 2 c 10 3 d 10 4 Részletösszegei monoton nőnek, tehát elég a korlátosságot igazolni. a 10 b c d =1.
65 Még egy igazi alkalmazás: a közelítése Definíció. 2 arctan x 2, tan arctan x =x arctan 1 3 = 6, arctan1= 4
66 Még egy igazi alkalmazás: a közelítése Definíció. 2 arctan x 2, tan arctan x =x Belátható, hogy arctan 1 3 = 6, arctan1= 4 arctanx =x x 3 3 x 5 5 x 7 1 x 1 7
67 Még egy igazi alkalmazás: a közelítése Definíció. 2 arctan x 2, tan arctan x =x Belátható, hogy ebből arctan 1 3 = 6, arctan1= 4 arctanx =x x 3 3 x 5 5 x = 4 1 x 1
68 Igen ám, de milyen gyors a közelítés? A hiba az utolsó hozzáadott taggal becsülhető
69 Igen ám, de milyen gyors a közelítés? A hiba az utolsó hozzáadott taggal becsülhető Ha 100 tagot adunk össze: hiba
70 Gyorsabban is közelíthetünk: az ábra szerint 4 =arctan 1 2 arctan 1 3
71 Gyorsabban is közelíthetünk: az ábra szerint ezt használva 4 =arctan 1 2 arctan =
72 Gyorsabban is közelíthetünk: az ábra szerint ezt használva 4 =arctan 1 2 arctan = most a hiba (ismét 100 tagot adva össze) hiba , ez 30 pontos tizedesjegy!
73 Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik: =s.
74 Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik: =s =s
75 Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik: =s =s = 1 2 s
76 Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik: =s =s = 1 2 s = 3 2 s
77 Tudjuk, hogy az alábbi összeg létezik: =s =s = 1 2 s = 3 2 s = 3 2 s Ezek szerint az (1) összeg megváltozhat, ha a tagokat más sorrendben adjuk össze!?
78 A végtelen összegek érdekesek!
végtelen sok számot?
Hogyan adjunk össze végtelen sok számot? Németh Zoltán, SZTE Bolyai Intézet www.math.u szeged.hu/~nemeth 2006. Akhilleusz, a görög hős és a teknősbéka versenyt futnak. Akhilleusz tízszer olyan gyorsan
Sorozatok határértéke VÉGTELEN SOROK
Sorozatok határértéke VÉGTELEN SOROK Végtelen valós számsor: Definíció: Az a n sorozat tagjaiból képzett a 1 + a 2 + + a n + végtelen összeget végtelen valós számsornak, röviden sornak nevezzük. Sor részletösszegei:
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
Analízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok
SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Add meg az alábbi sorozatok következő három tagját! a) ; 7; ; b) 2; 5; 2; c) 25; 2; ; 2. Egészítsd ki a következő sorozatokat! a) 7; ; 9; ; b) 8; ; ; 9; c) ; ; ;
SZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:
SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:
1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4
. Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
4,5 1,5 cm. Ezek alapján 8 és 1,5 cm lesz.
1. Tekintse az oldalsó ábrát! a. Mekkora lesz a 4. sor téglalap mérete? b. Számítsa ki az ábrán látható három téglalap területösszegét! c. Mekkora lesz a 018. sorban a téglalap oldalai? d. Hány téglalapot
FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK
3. osztály Hány olyan háromjegyű szám létezik, amelyben a számjegyek összege 5? 15 darab ilyen szám van. 5 = 5+0+0 = 4+1+0 = 3+2+0 = 3+1+1=2+2+1 A keresett számok: 500, 401, 410, 104, 140, 302, 320,203,
Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93
. Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan
Sorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
Sorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Érdekes összegek. Szakdolgozat. Matematika BSc Tanár
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Érdekes összegek Szakdolgozat Készítette: Pressing Dániel Matematika BSc Tanár Témavezető: dr Besenyei Ádám Adjunktus Budapest, 4 Tartalomjegyzék Bevezetés
Analízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
Gyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
SOROZATOK- MÉRTANI SOROZAT
SOROZATOK- MÉRTANI SOROZAT Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 1 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 2005. május 10. 8. feladat (2 pont) Egy mértani sorozat első tagja 3, a hányadosa 2. Adja
2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
I. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Akkor én most bölcsész vagyok?! Avagy: híd, amit matematikának hívunk
Akkor én most bölcsész vagyok?! Avagy: híd, amit matematikának hívunk Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi tavasz Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20.
PISA2000. Nyilvánosságra hozott feladatok matematikából
PISA2000 Nyilvánosságra hozott feladatok matematikából Tartalom Tartalom 3 Almafák 8 Földrész területe 12 Háromszögek 14 Házak 16 Versenyautó sebessége Almafák M136 ALMAFÁK Egy gazda kertjében négyzetrács
Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Kisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2014 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 7.
1. Falióránk három mutatója közül az egyik az órát, a másik a percet, harmadik a másodpercet mutatja. Egy bolha ráugrik déli órakor a másodpercmutatóra és megkezdi egy órás körutazását. Ha fedésbe kerül
48. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló HETEDIK OSZTÁLY MEGOLDÁSOK = = 2019.
8. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló HETEDIK OSZTÁLY MEGOLDÁSOK 1. Bizonyítsd be, hogy 019 db egymást követő pozitív egész szám közül mindig kiválasztható 19 db úgy, hogy az összegük
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?
Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.
Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.
Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
5 labda ára 5x. Ez 1000 Ft-tal kevesebb, mint a nyeremény 1p. 7 labda ára 7x. Ez 2200Ft-tal több, mint a nyeremény 1p 5 x x 2200
2014. november 28. 7. osztály Pontozási útmutató 1. Egy iskola kosárlabda csapata egy tornán sportszervásárlási utalványt nyert. A csapat edzője szeretne néhány kosárlabdát vásárolni az iskola számára.
A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x
10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 1 1 számtani közép efiníció 1. (Két nemnegatív szám számtani közepe) Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét
Nagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. május. EMELT SZINT I. ) Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű számjegy
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21
NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Vác, Németh László u : /fax:
5. OSZTÁLY 1.) Apám 20 lépésének a hossza 18 méter, az én 10 lépésemé pedig 8 méter. Hány centiméterrel rövidebb az én lépésem az édesapáménál? 18m = 1800cm, így apám egy lépésének hossza 1800:20 = 90cm.
835 + 835 + 835 + 835 + 835 5
Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 20/20 II. forduló. A macska és az egér jobbra indulnak el. Ha az egér négyzetet ugrik, akkor a macska 2 négyzetet lép előre. Melyik négyzetnél éri utol a macska az
Háromszögek fedése két körrel
SZTE Bolyai Intézet, Geometria Tanszék 2010. április 24. Motiváció Jól ismert a kerületi szögek tétele, vagy más megfogalmazásban a látókörív tétel. Motiváció A tételből a következő állítás adódik: Motiváció
1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
Dr. Enyedy Andor Református Általános Iskola, Óvoda és Bölcsőde 3450 Mezőcsát Szent István út 1-2.
5. osztály 1. feladat: Éva egy füzet oldalainak számozásához 31 számjegyet használt fel. Hány lapja van a füzetnek, ha az oldalak számozását a legelső oldalon egyessel kezdte? 2. feladat: Janó néhány helység
Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ;
. A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza A) Ábrázold számegyenesen az alábbi számokat! 8 + + 0 + 7 0 7 7 0 0. 0 Válogasd szét a számokat aszerint, hogy pozitív: pozitív is, negatív is: negatív: sem
BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2008. NOVEMBER 22.) 3. osztály
3. osztály Hány olyan háromjegyű szám létezik, amelyben a számjegyek összege 5? Gyöngyi gyöngyszemeket fűz egy zsinegre. Először 1 pirosat, utána 2 sárgát, aztán 3 zöldet, majd újra 1 piros, 2 sárga és
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 1 = 7. 5 Ezt rendezve
Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek
2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
Lehetséges vizsgálatok III: Szimmetrikus bolyongás Jobbra => +1; Balra => -1 P(jobbra) = P(balra) = ½
Véletlen bolyongások (1D 2D 3D) 1 / 35 oldal Definíció: Egy egyenesen (1 dimenziós tér) Jobbra, vagy balra lépünk Minden lépés független a korábbiaktól P(jobbra)=p; P(balra)=q Nincs helyben maradási" lépés,
1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Mozgással kapcsolatos feladatok
Mozgással kapcsolatos feladatok Olyan feladatok, amelyekben az út, id és a sebesség szerepel. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén jelölje s= a megtett utat, v= a sebességet, t= az id t. Ekkor érvényesek
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál
Próba érettségi feladatsor április 09. I. RÉSZ. 1. Hány fokos az a konkáv szög, amelyiknek koszinusza: 2
Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 010 április 09 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti fehér hátterű
Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.
Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:
A végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet.
A végtelen a matematikában Radnóti Gimnázium 203. 04. 23. Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj 2 Pólya György: Ha a tudomány
Valószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
1. Határozd meg az a, b és c értékét, és az eredményeket közönséges tört alakban írd a megfelelő helyre!
1. Határozd meg az a, b és c értékét, és az eredményeket közönséges tört alakban írd a megfelelő helyre! a) a = 9 4 8 3 = 27 12 32 12 = 5 12 a = 5 12. a) b = 1 2 + 14 5 5 21 = 1 2 + 2 1 1 3 = 1 2 + 2 3
11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,
BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2011. NOVEMBER 26.) 3. osztály
3. osztály Egy fa tövétől a fára mászik fel egy csiga. Nappalonként 3 métert mászik felfelé, de éjszakánként 2 métert visszacsúszik. Az indulástól számított 10. nap délutánjáig felér a csúcsra. Milyen
8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
Hatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100
0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői
V.9. NÉGYZET, VÁGOD? Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Geometriai megközelítésen keresztül a mértani sorozat tulajdonságaival, első n tagjának összegképletével való ismerkedés. Előzmények Téglalap területe,
3. A megoldóképletből a gyökök: x 1 = 7 és x 2 = Egy óra 30, így a mutatók szöge: 150º. 3 pont. Az éves kamat: 6,5%-os. Összesen: 2 pont.
. 3650 =,065 0000 Az éves kamat: 6,5%-os I.. D C b A a B AC = a + b BD = b a 3. A megoldóképletből a gyökök: x = 7 és x = 5. Ellenőrzés 4. Egy óra 30, így a mutatók szöge: 50º. írásbeli vizsga 05 3 / 007.
MATEMATIKA VERSENY
Eötvös Károly Közös Fenntartású Óvoda, Általános Iskola 2012. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 8314 Vonyarcvashegy, Fő u. 84/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,
ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.
ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása
3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2