Lehetséges vizsgálatok III: Szimmetrikus bolyongás Jobbra => +1; Balra => -1 P(jobbra) = P(balra) = ½

Átírás

1 Véletlen bolyongások (1D 2D 3D) 1 / 35 oldal Definíció: Egy egyenesen (1 dimenziós tér) Jobbra, vagy balra lépünk Minden lépés független a korábbiaktól P(jobbra)=p; P(balra)=q Nincs helyben maradási" lépés, azaz P(jobbra)= 1-P(balra) 2 / 35 oldal Példák: Numerikus közelítés (diszkrét eset) Részecskék mozgásának modellezése (ütközések elég nagy sugarú körön) Szerencsejátékban a pénzmennyiség Választások, szavazatszám Bolha ugrál a számegyenesen matekfeladatok :D 3 / 35 oldal Lehetséges vizsgálatok I: Korlátos bolyongás: Egy vagy mindkét irányba definiálunk egy korlátot, melynek elérése esetén terminál a bolyongás Például szerencsejátékoknál véges a pénzmennyiségünk (nem tudunk 0 alá menni), esetleg a kaszinónak is véges a pénzmennyisége, azaz nem nyerhetünk egy bizonyos összegnél többet 4 / 35 oldal Lehetséges vizsgálatok II: Nem korlátos bolyongás: Nem definiálunk korlátot, azaz akármennyire kicsi, vagy nagy értékeket is elérhet a bolyongás Például szerencsejátékoknál lehet negatív pénzünk (tartozás) Aszimmetrikus bolyongás: P(jobbra) P(balra) Az aszimmetrikus bolyongás nem visszatérő NMB Lehetséges vizsgálatok III: Szimmetrikus bolyongás Jobbra => +1; Balra => -1 P(jobbra) = P(balra) = ½ Feltesszük, hogy a 0-ból indulunk, így: 5 / 35 oldal 6 / 35 oldal 1

2 Szimmetrikus bolyongás Ábrázoljuk értékét n függvényében: Stein tétel Ha P( X >0)>0, akkor minden a<0<b-re: 1 valószínűséggel véges, így minden korlátos intervallumból kilép a bolyongás 7 / 35 oldal 8 / 35 oldal Tükrözési-elv A és B egész koordinátájúak, de mindkettő a pozitív oldalán van az x-tengelynek. Legyen A az A pont tükörképe az x-tengelyre. Ekkor: A-B út : {A-B út x-tengely} Ø = A -B út Biz.: Tükrözzük az első metszéspontig tartó útrészt Visszatérés vizsgálata I Nyilván csak páros lépés után térhet vissza: 9 / 35 oldal 10 / 35 oldal Visszatérés vizsgálata II Soha nem tér vissza a 0-ba (valami nagy n-ig) Visszatérés vizsgálata III Pozitív irányba indulva a 2r-be ér 0-ból, de átmegy hasonlóan: ezeket összerakva és szummázva teleszkópikus összeget kapunk: P(pozitív irányba indul, 2r-be jut) 11 / 35 oldal 12 / 35 oldal 2

3 Visszatérés vizsgálata IV Visszatérés vizsgálata V (2n az első visszatérés) = (2n lépés során valamikor járunk a 0-ban) - (2n-2 lépés során valamikor járunk 0-ban) Ha kihasználjuk azt is, hogy annak a valószínűsége, hogy 2n során valamikor visszatérünk = 1 annak a valószínűsége, hogy 2n alatt egyszer sem térünk vissza, akkor adódik, hogy: Ezeket összerakva már látjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy 2n lépés alatt nem térünk vissza = 2n lépés után értünk vissza, innen: 13 / 35 oldal 14 / 35 oldal Visszatérés vizsgálata VI Generátor függvények Ebből az, hogy valaha visszatér úgy számolható, hogy n szerint szummázzuk, de ekkor megint teleszkópikus összeget kapunk és csak u0 marad, ami 1, így azt kaptuk, hogy 1 dimenzióban a szimmetrikus bolyongás 1 valószínűséggel visszatérő, viszont ennek várható ideje nem véges 15 / 35 oldal 16 / 35 oldal Aszimmetrikus bolyongás I Jobbra => +1; Balra => -1 p=p(jobbra) P(balra)=1-p Nincs helyben maradás (lépni kell) Aszimmetrikus bolyongás II Az aszimmetrikus bolyongás nem visszatérő Nyilván ilyenkor is csak páros lépés után térhet vissza Ilyenkor a visszatérésre: Feltesszük, hogy a 0-ból indulunk, így: 17 / 35 oldal 18 / 35 oldal 3

4 Aszimmetrikus bolyongás III Ennek p = ½ -ben nyilván maximuma van, így ha p ½, akkor a [ ] -ben lévő rész kisebb, mint 1, így az exponenciális alap kisebb 1, vagyis ez a sor konvergens, így a generátorfüggvényeknél látott szumma kisebb 1-nél, mert U(1) nem végtelen, így az aszimmetrikus bolyongás nem visszatérő! 19 / 35 oldal Definíció: Egy síkon (2 dimenziós tér) Jobbra, balra, előre vagy hátra lépünk Minden lépés független a korábbiaktól P(jobbra)=p; P(balra)=q; P(előre)=r; P(hátra)=s Nincs helyben maradás, azaz ezek összege 1 Hasonlóan magasabb dimenziókra 20 / 35 oldal Lehetséges vizsgálatok I: Korlátos bolyongás: néhány irányba definiálunk egy korlátot, melynek elérése esetén terminál a bolyongás Például diffúzióval történő fraktálépítés bizonyos fraktáldimenziók esetén Végtelen bolyongás Például végtelen ellenállásláncok eredő ellenállása stb. 21 / 35 oldal A diffúziólimitált aggregáció fraktáltermészetű növekedési folyamat, mely növekedési magokból indul ki. A növekedési magok -hoz a tér véletlenszerű irányaiból érkeznek szabad diffúzióval részek, melyek a növekedési maghoz, majd egymáshoz tapadva aggregátumot (nanorészecskét) képeznek. A titánoxidok a legjellegzetesebb példa erre (TiOx) 22 / 35 oldal Végtelen bolyongás (bankrabló) I ahol zo egy normálási faktor, r a növekedési magtól mért távolság, p a gáznyomás lref = 3,92 cm és pref = 1 Pa pedig konstansok. CNx film. Jelölje p(a,b) annak a valószínűségét, hogy a bankrabló egy (a,b) koordinátákkal megadható belső* pontból indulva megmenekül*. Az (a,b) pontba a bankrabló valamelyik szomszédos pontból jutott, azaz (a-1,b), (a+1,b), (a,b+1), (a,b-1) pontok valamelyikéből, de mindegyikből ¼ valószínűséggel: 23 / 35 oldal 24 / 35 oldal 4

5 Végtelen bolyongás (bankrabló) II Tekintsünk egy négyzetrács-hálózatot, ahol az élek azonos R ellenállásokból állnak. A (k,l) koordinátájú pontba kívülről befolyó áram I(k,l), a (k,l)-edik csomópont potenciálja Φ(k,l). A csomóponti törvény alapján: Végtelen bolyongás (bankrabló) III 25 / 35 oldal 26 / 35 oldal Végtelen bolyongás (bankrabló) IV Ha a rabló megszökési esélye 0, akkor előbb tér vissza az origóba, mint hogy megszökne. Rayleigh rövidre zárás-törvényét használva, alulról becsülhető Re Végtelen bolyongás (bankrabló) V Igazából ezen ellenállást könnyű számolni egy trükkel (koncentrikus négyzetek) 27 / 35 oldal 28 / 35 oldal Lehetséges vizsgálatok II: Szimmetrikus bolyongások: P(jobbra) = P(balra) = P(előre) = P(hátra) = ¼ Szimmetrikus bolyongások I Feltesszük, hogy a 0-ból indulunk, így: Hasonlóan magasabb dimenziókban 29 / 35 oldal Generátorfüggvényekből már láttuk, hogy ilyenkor visszatérő 30 / 35 oldal 5

6 Szimmetrikus bolyongások II Szimmetrikus bolyongások III Pólya tétel: A szimmetrikus bolyongások 1D-ben és 2D-ben 1 valószínűséggel visszatérők, DE 3 vagy több dimenzióban 1-nél kisebb valószínűséggel térnek vissza. Ez NEM azt jelenti, hogy 1 valószínűséggel ne lenne visszatérő 31 / 35 oldal 32 / 35 oldal Véletlen bolyongások Háromszögrácson Szabályos sokszögrácsokon: Háromszögrács I: Két elemi rácsvektort veszünk a1 és a2, egybeesnek a ráccsal és 120 -os szöget zárnak be; és ezeknek n és m szereseivel jelöljük az elmozdulásokat, figyelve, hogy 6 különböző van: (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1), (1;1), (-1;-1) 33 / 35 oldal Véletlen bolyongások Háromszögrácson Szabályos sokszögrácsokon: Háromszögrács II: Kivételesen nem a fizikai interpretációt fogunk csinálni, a matematikai eredményből, hanem fordítva: Giles Atkinson (1976): legyen cosh(s)=2sec(x)-cos(x) 34 / 35 oldal Véletlen bolyongások Háromszögrácson Szabályos sokszögrácsokon: Háromszögrács III: Most is Rayleigh rövidre zárás-törvényét használva, alulról becsülhető Re (koncentrikus hatszögek): Véletlen bolyongások Köszönöm a megtisztelő figyelmet! Így a véletlen bolyongás háromszögrácson is visszatérő 35 / 35 oldal -Q&A- 6

7 Véletlen bolyongások Tesztkérdés: Hazaérsz-e részegen? És ha te vagy Superman (részegen)? A: igen igen B: igen nem C: nem igen D: nem nem 7