azaz együtthatója. Összességében tehát a feladat megoldása:. azaz együtthatója.

Átírás

1 A BINOMIÁLIS TÉTEL 1 Feladat Mennyi -nél az -es tag együtthatója? A megoldás során felhasználjuk hogy Így megállapíthatjuk hogy és esetén kapjuk meg az együtthatóját a fenti képlet segítségével továbbá az is leolvasható hogy de ezt a fenti két adatból persze ki is számíthatnánk Meg van tehát minden adatunk így nincs más dolgunk mint a legelső képletbe visszahelyettesíteni és -et így a keresett együttható 2 Feladat Mennyi -nél az -es tag együtthatója? A megoldás során felhasználjuk hogy Így megállapíthatjuk hogy esetén kapjuk majd meg az együtthatóját a fenti képlet segítségével A képletből leolvasható az is hogy innen pedig kiszámíthatjuk hogy a most kitevője lesz Meg van tehát minden adatunk így nincs más dolgunk mint egyrészt a legelső képletbe visszahelyettesíteni és -et így az együttható egyik tényezője De! Nem szabad megfeledkeznünk arról sem hogy az még meg van szorozva -nel is ami -t helyettesítve

2 3 Feladat Mennyi -nál az -os tag együtthatója? A megoldás során felhasználjuk hogy Helyettesítsünk a feladatnak megfelelően és -at Így megállapíthatjuk hogy esetén kapjuk majd meg az együtthatóját a fenti képlet segítségével A képletből leolvasható az is hogy innen pedig kiszámíthatjuk hogy a most kitevője lesz Meg van tehát minden adatunk így nincs más dolgunk mint egyrészt a legelső képletbe visszahelyettesíteni és -at így az együttható egyik tényezője De! Nem szabad megfeledkeznünk arról sem hogy az még meg van szorozva -nel is ami -at helyettesítve 4 Feladat Mennyi -nél az első 3 tag együtthatójának összege? A megoldás során felhasználjuk hogy Helyettesítsünk a feladatnak megfelelően és -et Ez most jelenleg csak abból a szempontból fontos nekünk hogy észrevegyük azt hogy így az első 3 tag (igazából az összes) együtthatója csak a binomiális együtthatótól fog függni Ebből az is leolvasható hogy az első három tagot sorban a kapjuk meg helyettesítésekkel

3 Az első tag együtthatója a képletünk alapján a másodiké a harmadiké pedig Így ezek összegét keressük ami 5 Feladat Mennyi -nél az -es tag együtthatója? A megoldás során felhasználjuk hogy Helyettesítsünk a feladatnak megfelelően és -at Így megállapíthatjuk hogy esetén kapjuk majd meg az együtthatóját a fenti képlet segítségével viszont most vigyázzunk hogy lesz azaz nem szabad elfelejtenünk hogy a keresett együtthatót -vel is meg kell majd szoroznunk A képletből leolvasható az is hogy kitevője lesz innen pedig kiszámíthatjuk hogy a most Meg van tehát minden adatunk így nincs más dolgunk mint egyrészt a képletünkbe visszahelyettesíteni és -et így az együtthatónk egyik tényezője De! Nem szabad megfeledkeznünk arról sem hogy az még meg van szorozva -nel is ami -at helyettesítve

4 6 Feladat Mennyi -nál az -as tag együtthatója? A megoldás során felhasználjuk hogy Helyettesítsünk a feladatnak megfelelően és -t Így megállapíthatjuk hogy és esetén kapjuk majd meg az együtthatóját a fenti képlet segítségével A képletből leolvasható továbbá az is hogy Meg van tehát minden adatunk így nincs más dolgunk mint egyrészt a legelső képletbe visszahelyettesíteni és -at így az együttható egyik tényezője De! Nem szabad megfeledkeznünk arról sem hogy volt ahonnét így a még kiemelendő emiatt -al még meg kell szoroznunk az együtthatót 7 Feladat Mennyi -nél az -as tag együtthatója? A megoldás során felhasználjuk hogy Helyettesítsünk a feladatnak megfelelően és -t Így megállapíthatjuk hogy és esetén kapjuk majd meg az együtthatóját a fenti képlet segítségével A képletből leolvasható továbbá az is hogy Meg van tehát minden adatunk így nincs más dolgunk mint egyrészt a legelső képletbe visszahelyettesíteni és -at így az együttható egyik tényezője

5 De! Nem szabad megfeledkeznünk arról sem hogy volt ahonnét így a még kiemelendő emiatt -al még meg kell szoroznunk az együtthatót 8 Feladat Mennyi -nél az -es tag együtthatója? A megoldás során felhasználjuk hogy Helyettesítsünk a feladatnak megfelelően és -t Így megállapíthatjuk hogy esetén kapjuk majd meg az együtthatóját a fenti képlet segítségével A képletből leolvasható az is hogy innen pedig kiszámíthatjuk hogy a most kitevője lesz Meg van tehát minden adatunk így nincs más dolgunk mint egyrészt a legelső képletbe visszahelyettesíteni és -et így az együttható egyik tényezője De! Nem szabad megfeledkeznünk arról sem hogy az még meg van szorozva -nal is ami -t helyettesítve 9 Feladat Mennyi -nál az -es tag együtthatója? A megoldás során felhasználjuk hogy Helyettesítsünk a feladatnak megfelelően és -et és mivel most a keresett tag mind -ban mind -ben bizonyos alakban előfordul vizsgálnunk kell hogyan állhat is elő az -es tag

6 Könnyen belátható hogy csak esetén lesz az kitevője hiszen k növelésével szigorúan monoton csökkeni fog a kitevő A képletből leolvasható az is hogy esetén kapjuk majd meg az így megállapíthatjuk tehát hogy csak együtthatóját a fenti képlet segítségével Meg van tehát minden adatunk így nincs más dolgunk mint egyrészt a legelső képletbe visszahelyettesíteni és -at így az együttható egyik tényezője 10 Feladat Mennyi ha esetén az első 3 tag együtthatójának összege 92? A megoldás során felhasználjuk hogy Helyettesítsünk a feladatnak megfelelően és -et Ez most jelenleg csak abból a szempontból fontos nekünk hogy észrevegyük azt hogy így az első 3 tag (igazából az összes) együtthatója csak a binomiális együtthatótól fog függni Ebből az is leolvasható hogy az első három tagot sorban a kapjuk meg helyettesítésekkel Az első tag együtthatója a képletünk alapján a másodiké a harmadiké pedig Ezek alapján a következő egyenletet készíthetjük el Alakítsuk át az összeg tagjait a következőképp

7 Így a következőképp egyszerűsödik az egyenletünk Szorozzunk 2-vel hogy ne maradjon tört Végül végezzük el a zárójelfelbontást és vonjuk össze az azonos tagokat Ez egy másodfokú egyenlet alkalmazzuk a megoldóképletet Azaz illetve Mivel pozitív egész kell hogy legyen így ezek közül csak az lehet jó megoldás 11 Feladat Mennyi ha esetén az első három tag együtthatójának összege? A megoldás során felhasználjuk hogy Helyettesítsünk a feladatnak megfelelően és -at és vizsgáljuk hogyan alakulnak az együtthatók

8 Ebből az is leolvasható hogy az első három tagot sorban a kapjuk meg helyettesítésekkel Az első tag együtthatója a képletünk alapján: A második tag együtthatója: A harmadik tag együtthatója pedig Ezek alapján a következő egyenletet készíthetjük el Szorozzuk meg 2-vel az egyenletünket hogy ne maradjon tört Végül végezzük el a zárójelfelbontást és vonjuk össze az azonos tagokat Ez egy másodfokú egyenlet alkalmazzuk a megoldóképletet Azaz illetve Mivel pozitív egész kell hogy legyen így ezek közül csak az lehet jó megoldás