7. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémát: y x y = 6x, y(0) =

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "7. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémát: y x y = 6x, y(0) ="

Átírás

1 . feladatsor: szeparábilis és els rend lineáris dierenciálegyenletek x. Mutassuk meg, hogy y = e x e t2 dt + 3e x megoldása az alábbi dierenciálegyenletnek: y y = e x+x2. 2. Adjuk meg az y = e 3x + 2x dierenciálegyenlet általános megoldását. Adjuk meg azt a partikuláris megoldást, amely eleget tesz az y() =, y () = 2 kezdeti feltételeknek. 3. Adjuk meg az y = x y e2x 3y2 (y ) dierenciálegyenlet általános megoldását. 4. Adjuk meg az y = y 2 xy, (x, y ) dierenciálegyenlet általános megoldását. Oldjuk meg az y() = 2, y() = 3, illetve az y( ) = 3 kezdetiérték-problémákat. 5. Oldjuk meg a következ szétválasztható változójú egyenleteket: y = y2 + 4y + 9, (x, x 5) (x )(x + 5) b) y = (3x ) 5 (y 2 4y) c) y = 2y xe 4x2, (y ) y 6. A rádium bomlási sebessége arányos a pillanatnyi rádiummennyiséggel. udjuk, hogy a rádium felezési ideje 6 év. A kiindulási anyag mennyiségének hány százaléka bomlik el év alatt? 7. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémát: y x y = 6x, y() = x Adjuk meg az y 2 y = x dierenciálegyenlet általános megoldását. Oldjuk meg az y() = 3, x illetve az y( e) = 3e 2 kezdetiérték-problémákat. 9. Oldjuk meg az alábbi els rend egyenleteket: y 3x 2 y = 6x 2 b) y + 2 x y =, (x ) + x2 c) y + 5 x y = ex x 4, (x ) d) y + x y = 2 x + 3 2, y() = Szétválasztható változójú a dierenciálegyenlet, ha y = f(x)g(y) alakú. Ha g sehol sem nulla, akkor ekvivalens az g(y) dy = f(x) dx integrálegyenlettel. Lineáris a dierenciálegyenlet, ha y + g(x)y = f(x) alakú. Ennek összes megoldása y iá = y há + y ip alakú, ahol y há az y + g(x)y = homogén egyenlet általános megoldása, y ip pedig az inhomogén egyenletnek egy partikuláris megoldása. y ip -t az állandó variálásával y ip = c(x)ϕ(x) alakban keressük, ahol ϕ az y + g(x)y = homogén egyenlet egy sehol sem nulla megoldása.

2 2. feladatsor: új változó bevezetése, iráymez, izoklínák; vektorterek, lineáris függetlenség. Oldjuk meg új változó bevezetésével az alábbi dierenciálegyenleteket. Az, b), c) esetben alkalmazzuk az u(x) = y(x), a d) esetben pedig az u(x) = x + y(x) helyettesítést: x y = 2y2 + x 2 xy c) xy = y( + ln y ln x) d) y = x + y b) x 2 y + xy = x 2 + y 2, y() = 2 2. Írjuk fel az y = e y+2 x dierenciálegyenlet izoklínáinak egyenletét, és rajzoljunk fel kett t. Van-e lokális széls értéke az P (e, ) ponton áthaladó megoldásnak a P pontban? 3. ekintsük a következ dierenciálegyenletet: y = (y 2 4)x + x. A sík mely pontjaiban párhuzamos az iránymez az y = x egyenessel? Vázoljuk ezeket a pontokat és jelöljünk be néhány vonalelemet! b) Van-e lokális széls értéke vagy inexiós pontja az (, 2) ponton átmen megoldásnak ebben a pontban? (Feltéve, hogy van ilyen megoldás.) 4. Írjuk fel az y = y 3 x 2, y() = Cauchy-feladat megoldásának másodrend aylorpolinomját az a = körül! 5. Valós vektorterek-e a következ halmazok? Ha igen, határozzuk meg a dimenziójukat, adjuk meg egy bázisukat! Adjunk meg néhány alteret bennük! egész számok b) valós számok c) a valós számpárok d) P n = maximum n-edfokú polinomok e) a legalább n-edfokú polinomok f) a folytonos függvények g) a páros függvények h) a felülr l korlátos függvények i ) a korlátos függvények j) (x, y, z) R 3 x = y 6. Lássuk be, hogy R 2 -ben bázist alkot a (2, 3), (, 2) vektorpár. Állítsuk el e két vektor lineáris kombinációjaként a következ vektorokat: (, ) b) (9, 4) c) (, ) 7. Írjuk át a következ vektorokat a [(2,, ), (,, ), (,, 2)] bázisba! (,, ) b) (,, ) c) (3,, 7) 8. Egy vektortérben a, b, c lineárisan független vektorok. Lineárisan független-e az (a + b + c), (a + 2b + 3c), (a + 4b + 5c) rendszer? A sík minden pontjához, amelyen átmegy a dierenciálegyenlet egy megoldása, illesszünk egy kis szakaszt, amely az adott ponton átmen megoldást érinti. Az így kapott R 2 R 2 függvény a d.e. iránymez je. Ha a dierenciálegyenlet y = f(x, y) alakú, akkor az (x, y ) R 2 pontban az iránymez meredeksége f(x, y ). Az izoklína azon pontok halmaza a síkon, melyekben az iránymez azonos irányba mutat. Ha a dierenciálegyenlet y = f(x, y) alakú, akkor az izoklínák egyenlete f(x, y) = K, ahol K R az iránymez kérdéses meredeksége. V altér, ha v, v 2 V esetén (v + v 2 ) V, és v V, α R esetén (αv) V is.

3 3. feladatsor: mátrixok, determináns, mátrixok rangja, Gauss-elimináció. Végezzük el az összes lehetséges szorzást A, B, C, A, B, C között! [ ] A = B = C = [ ] 2. Számoljuk ki a következ mátrixok determinánsát: [ ] 2 2 [ ] 3 b) sin α cos α c) 2 3 cos α sin α 7 8 d) e) Számítsuk ki a következ mátrixok rangját! [ ] A = B = C = D = [ 7 ] E = Számítsuk ki a következ mátrixok determinánsát, rangját, és inverzét! [ ] A = B = C = D = Legyen a = ( 2, 4), b = (4, 3, 2), c = (2, 4, 6, 8). Oldjuk meg az. feladatbeli A, B, C és D mátrixokkal az Ax = a, Bx = b, Cx = c és Dx = c egyenletrendszert. 6. Hány független vektor választható ki közülük? Mennyi a generált altér dimenziója? (2,, 6), (,, 3), (7, 7, 7) b) (, 2,, ), (2,, 2, ), (, 3, 2, ), (, 5, 2, ) Elemi sortranszformációk: ) Egy mátrix sorának beszorzása egy λ skalárral. 2) Egy mátrix egyik sorához egy másik sor λ-szorosának hozzáadása. 3) Két sor felcserélése. Elemi oszloptranszformációk: mint fent, csak oszlopokkal.

4 4. feladatsor: lineáris egyenletrendszerek; sajátérték, sajátvektor. Oldjuk meg az Ax = b egyenletrendszert a Gauss-eliminációval! Rang[A] =? A = 4 5 b = 6 b) A = b = 6 c) A = b = Hogyan kell α, β-t megválasztani, hogy az egyenletrendszernek ne legyen megoldása? Hát hogy végtelen sok megoldása legyen? y + 2z = 3 x + 3y = β 2x + αy + z = 2 5 x 3. Legyen A = 3 2, b = 8, x = x 2. Hogyan válasszuk meg az α és β α 2 β x 3 paraméterek értékét úgy, hogy az Ax = b egyenletnek egyértelm megoldása legyen; végtelen sok megoldása legyen; illetve ne legyen megoldása? 4. Határozzuk meg a sajátértékeket, sajátvektorokat! [ ] b) c) 4 3 d) [ ] 5 5. udjuk, hogy az A = mátrix egyik sajátvektora v a = (, ). Határozzuk meg az a paraméter értékét, a sajátértékeket, és a másik sajátvektort! Elemi sortranszformációk: ) Egy mátrix sorának beszorzása egy λ skalárral. 2) Egy mátrix egyik sorához egy másik sor λ-szorosának hozzáadása. 3) Két sor felcserélése. Elemi oszloptranszformációk: mint fent, csak oszlopokkal. Egy A n n-es mátrixnak λ a sajátértéke, és v a λ-hoz tartozó sajátvektora, ha A(v) = λv.

5 5. feladatsor: Magasabbrend lineáris dierenciálegyenletek. Oldjuk meg a következ homogén lineáris állandó együtthatós egyenleteket! y 8y + 5y = b) y + 2y = c) y 8y + 6y = d) y + 4y + 3y = e) y + 25y = f) y + 2y + y = g) y + 4y + 3y = h) y (4) y = i ) y (4) y (3) = 2. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémákat! y + 2y + 2y =, y() = 2, y () = b) y + 3y 4y =, y() = 3, y () = 4 c) y + y + 25y =, y() =, y () = 7 3. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrend valós konstans együtthatós homogén lineáris dierenciálegyenletet, melynek megoldásai az alábbi függvények! Írjuk fel a dierenciálegyenlet általános megoldását is! 2e 5x e 3x b) 6x 2 + 5e 2x c) 7x, sin 5x d) 3x 2 e 2x, e 3x e) 6 + e 3x sin x 4. Oldjuk meg a következ inhomogén lineáris, állandó együtthatós egyenleteket! y 5y + 6y = 2 sin 2x b) y 5y + 6y = 2xe x c) y 6y + 3y = 39 d) y y 2y = 3e 2x, y() = 3, y () = e) y 3y + 2y = e 3x + 4x 2 6 f) y 3y + 2y = x + e x g) y 2y + y = 6e x h) y + 8y + 25y = e 4x i ) y + 2y = 2x + 3 j) y + y = sin x 5. Oldjuk meg a következ dierenciálegyenleteket! y (4) 8y + 6y = 2x 9 b) y + y = 2 sin x cos x, y() =, y () = c) y 2y y + 2y = 2 e2x + 2 e 2x A másodrend homogén lineáris állandó együtthatós dierenciálegyenlet y +ay +by = alakú (a, b R). Ha ennek egy megoldását e λx alakban keressük, akkor ezt visszaírva az egyenletbe, az egyszer sítések után λ-ra a λ 2 + aλ + b = karakteriszitkus polinom adódik. Legyen ennek két megoldása λ és λ 2. Ekkor az általános megoldások: Ha λ, λ 2 R, λ λ 2 : y(x) = c e λx + c 2 e λ 2x (c, c 2 R). Ha λ, λ 2 R, λ = λ 2 : y(x) = c e λx + c 2 xe λ x (c, c 2 R). Ha λ, λ 2 C, λ = p + qi, λ 2 = p qi: y(x) = c e px cos qx + c 2 e px sin qx (c, c 2 R). Az n-edrendú inhomogén lineáris egyenlet y (n) + a n y (n ) a y = f(x) alakú. Ekkor a megoldások y h + y p alakúak, ahol y h a homogén egyenlet általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. Ha f(x) speciális, akkor y p -t az alábbi alakban keressük (próbafüggvény módszere): f(x) = Ke αx esetén y p = Ae αx alakú, (A R) f(x) = a m x m a x + a esetén y p = B m x m B x + B alakú, (B i R) f(x) = K sin αx vagy f(x) = K cos αx esetén y p = A sin αx + B cos αx alakú. (A, B R). Ha f a fenti típusú függvények összege, szorzata, akkor a kísérletez függvényeket is össze kell adni, szorozni. Ha a kísérletez függvény szerepel a homogén egyenlet megoldásai között is (küls rezonanci, akkor ez nem lesz jó. Ekkor y p -t x els olyan hatványával kell megszorozni, hogy már ne szerepeljen a homogén megoldások között.

6 6. feladatsor: Laplace-transzformáció. A deníció alapján számoljuk ki a következ függvények Laplace-transzformáltját: ha t = a(t) = különben ha t > c) c(t) = ha t 3 ha t [, 2] b) b(t) = különben t ha t > d) d(t) = ha t 2. Keressük meg a következ függvények Laplace-transzformáltját: 7 sin 3t b) 6t 2 + 3t 2 c) t cos 7t d) e 2t sin 3t 3. * Keressük meg a következ függvények Laplace-transzformáltját: te t cos 4t b) t 2 sin 5t 4. Számoljuk ki a következ függvények inverz Laplace-transzformáltját: 3 s + s 5 7 e) 3 s 2 + 4s + 4 s 2 b) f) s s s 2 + 2s c) g) 7 s s 3 + 2s 2 d) s + 4 s Oldjuk meg a következ dierenciálegyenleteket. (Segítség: vegyük mindkét oldal Laplacetranszformáltját, oldjuk meg az így kapott algebrai egyenletet, majd a megoldásnak keressük meg az inverz Laplace-transzformáltját!) y = y, y() = 3 b) y = 7y, y() = c) y = y, y() =, y () = 2 d) y = y, y() =, y () = e) 2y y =, y() = /2 f) y + 7y = 6, y() = g) 2y + y = e 2t, y() = h) y + 3y + 2y = e t, y() =, y () = i) y + 2y + 5y =, y() =, y () = j) y + y = sin 3t, y() = 6. Oldjuk meg Laplace-transzformációval az alábbi kezdetiérték-problémákat: x = x + 4y, y = 2x y, x() = 2, y() = 2 b) x = 2x 3y, y = 3x + 2y, x() =, y() = 4 c) x = 5x y, y = 3x + y, x() =, y() = 2 d) x = 8y, y = 2x, x() =, y() = 2

7 A Laplace-transzformált deníciója Az f(t) függvény Laplace-transzformáltja: F (s) = Lf(t)(s) = e st f(t) dt. étel: Ha f(t) szakaszonként folytonos, és alkalmas M, α R-el f(t) < Me αt, akkor f(t)-nek létezik Laplace-transzformáltja. A Laplace-transzformáció tulajdonságai Jelölje f(t) Laplace-transzformáltját F (s). Ekkor: Laf(t) + bg(t)(s) = af (s) + bg(s) (a, b R) Le at f(t)(s) = F (s Lf(at)(s) = ( s a F a f(t) L (s) = F (r) dr t Lt n f(t)(s) = ( ) n F (n) (s) s ) Lf (t)(s) = sf (s) f() Lf (n) (t)(s) = s n F (s) s n f() s n 2 f ()... f (n ) () Néhány alapfüggvény Laplace-transzformáltja L(s) = Lt n (s) = n! s s n+ Le at (s) = Lt n e at n! (s) = s a (s n+ a s Lsin(at)(s) = Lcos(at)(s) = s 2 + a 2 s 2 + a 2 Lt sin(at)(s) = Le bt sin(at)(s) = Lsh(at)(s) = 2as (s 2 + a 2 ) 2 Lt cos(at)(s) = s2 a 2 (s 2 + a 2 ) 2 a (s b) 2 + a 2 Le bt cos(at)(s) = a s 2 a 2 Lch(at)(s) = (n N, a, b R) s b (s b) 2 + a 2 s s 2 a 2 (shx = ex e x 2 ) chx = ex + e x 2

8 7. feladatsor: numerikus sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, mennyi az összegük? ( n ) ( + n b) c) hf n(n + ) n ) n Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, mennyi az összegük? + n= 2 2n ( 5) n+2 b) + 2 3n+ + ( 5) n d) hf 3 2n+2 e) hf + n=2 + n=2 3 2n+ 2 3n 2 c) ( ) n 3 n+ n=2 3 2n+ f) hf 3. Konvergens? (Használjuk a majoráns, minoráns kritériumokat.) 2n + n 2 b) e) hf n 2 n + 3 2n 5 + 2n n + 2 n 7 c) + + 7n 3 7 n 5 + 2n 4 d) 2 n + 3 n+ 5 n 2 3n 2 n 4 2n 2n 3 n + 3 3n 4 + 2n f) hf 2 n + 3 n+ + 6 n g) hf 3 2n + h) hf n 2n + 4. Konvergens? (Használjuk a hányados- és gyökkritériumot.) d) 7 n 2 (n + )! b) 5 3n 2 2n n 5 2 3n+ e) hf 2 3n n 7 g) hf (n + 2) 4 n (n + 5) n! 5. Igaz? Hamis? h) hf (n + )! n n n 4 c) ( 4n 4n + ) 3n 2 (n + 5) 3 n 3 2n+ f) hf 5 n+ ( ) n 2 3n + 3 i ) hf 3n + a n konvergens lim a n = b) lim a n = a n konvergens c) a n konvergens a 2 n konvergens 6 ḥf Lássuk be, hogy racionális szám, és írjuk fel mint két egész szám hányadosa. Ha (a n ) egy sorozat, akkor a a n neve sor. A sor összege: A geometriai sor összege: aq n = n= aq n = + a n := a, ha q <. q Majoráns kritérium: Ha a n b n, és b n konvergens, akkor a n is. Minoráns kritérium: Ha a n b n, és a n divergens, akkor b n is. ( k lim a i ). k + i= Gyökkritérium: Ha lim n a n <, akkor a n konvergens; ha lim n a n >, akkor divergens. Hányadoskritérium: Ha lim <, akkor an konvergens; ha lim >, akkor div. a n+ a n a n+ a n

9 8. feladatsor: Abszolút és feltételes konvergencia, hatványsorok, aylor-sorok. Konvergens? Abszolút konvergens? ( ) n ( ) n+ b) n n c) n d) hf ( ) n 2 n 3 n + e) hf ( )n 2n + 3n 2 ( )n n + f) hf ( ) n n 2 ( n + n + 5 ) n 2. Határozzuk meg a következ sorok konvergenciatartományát! ( ) n n 2 (x n )n b) ( ) n 2n + (2n)! (x + 7)n c) d) (2x + 4) n n 2 3 n e) n 2 n x3n f) ( 2) n (n + 3) x n n n + (x 2)2n 9n 3. Határozzuk meg a következ sorok konvergenciasugarát! (n + 2) n2 (n + ) n (n + 6) n2 + xn b) n! 4. Adjuk meg az alábbi függvények x bázispontú aylor-sorfejtését és annak konvergenciatartományát! f(x) = x 3, x = ; x = 5 b) f(x) = x + 2, x = 2; x = 5 c) f(x) = x5 x 2, g(x) = + 3 x 2 + 3, x = d) f(x) = 3x4, g(x) = x + 7 x + 7, x = 5. Írjuk fel az alábbi függvények x pontbeli aylor-sorát és annak konvergenciatartományát! f (x) = sin 3x 2 x = b) f 2 (x) = e 4x x = ; x = 3 c) f 3 (x) = sh 2x 4, x = d) f 4 (x) = e 2x ch 5x, x = x n Majoráns kritérium: Ha a n b n, és b n konvergens, akkor a n is. Minoráns kritérium: Ha a n b n, és a n divergens, akkor b n is. Gyökkritérium: Ha lim n a n <, akkor a n konvergens; ha lim n a n >, akkor divergens. Hányadoskritérium: Ha lim <, akkor an konvergens; ha lim >, akkor div. a n+ a n a n+ a n Ha a n mon. csökken, lim a n =, és a n el jele váltakozó, akkor a n Leibniz-sor, ami konv. A c n (x n a körüli hatványsor konvergenciahalmaza egy intervallum, melynek végpontjai ( a r és a + r, ahol r = lim sup n a n ) a konvergenciasugár. r = lim a n, a n+ ha ez létezik. Az f függvény a R pont körüli aylor-sora: n= f (n) ( (x n. n!

10 9. feladatsor: aylor-sorok, binomiális sorfejtés. Adjuk meg az f(x) = 5x 3 e 3x2 függvény x = bázispontú aylor-sorfejtését és annak konvergenciatartományát! Számítsuk ki f () () és f () () értékét! 2. Írjuk fel az f(x) = x + 3 függvény x = bázispontú aylor-sorfejtését, és határozzuk meg a konvergenciasugarat (R -et)! Az f függvény sorfejtésére támaszkodva írjuk fel az alábbi függvények x = bázispontú sorfejtését! g(x) = ln(x + 3), R 2 =? b) h(x) = (x + 3), R 3 3 =? 3. udjuk, hogy ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 ) , R =. Írjuk fel az f(x) = ln ( + x2 függvény x = bázispontú aylor-sorát, és adjuk meg 3 a konvergenciasugarat! ) b) Az f függvény sorfejtését felhasználva adjuk meg az ln ( + x2 dx integrál értékét 3 az f függvény negyedfokú aylor-polinomjának felhasználásával, és becsüljük meg a hibát! 4. Írjuk fel az f(x) = és g(x) = függvények x = bázispontú aylor-sorát 4 x 4 x 2 és a sor konvergenciasugarát! Adjuk meg elemi m veletekkel az a 4 együtthatót! 5. Legyen f(x) = x 2 és x =. Írjuk fel az f függvény x bázispontú aylor-sorát és a sor konvergenciasugarát! b) a 8 =? (Elemi m veletekkel adjuk meg!) c) f (26) () =?, f (25) () =? 6. Írjuk fel a g(x) = 2x x 2 konvergenciasugarát! Számítsuk ki g (2) () és g (3) () értékét! 7. Adjuk meg az /2 függvény x = bázispontú aylor-sorát és a sor dx integrál értékét az integrandus nyolcadfokú aylor- + x 4 polinomjának felhasználásával, és becsüljük meg a hibát! 8. Írjuk fel az f(x) = 4 + 2x 3 függvény x = bázispontú aylor-sorát és a sor konvergenciasugarát! Számítsuk ki f (9) () és f () () értékét! Az f függvény a R pont körüli aylor-sora: At f(x) = ( + x) α R =. n= f (n) ( (x n. n! függvény MacLaurent-sora k= ( α k) x k, melynek konvergenciasugara

11 . feladatsor: R 2 R függvények, határérték, folytonosság. Szemléltessük térbeli koordináta-rendszerben az alábbi felületeket: ax + by + cz = d b) x 2 + y 2 z = c) z = 6 x 2 y 2 d) x 2 y 2 z = e) z = xy f) x 2 + y 2 z 2 = g) x 2 + y 2 + z 2 = 4 h) x 2 + y 2 = 4 2. Számoljuk ki a következ határértékeket: xy + 3 sin x lim x 2 b) lim y + 4 cos y d) sin xy lim e) lim (x,y) (,3) x x 2 + y 2 f) lim g) xy 3xy 3 lim 2x 2 + 2y 2 h) lim j) lim 3. Legyen f(x, y) = 3x2 y 2 3x 2 + 5y 2 2x 2 + y 2 k) lim (x,y) (2, 2) sin(x 2 y) c) lim x 2 cos y 2 2x 2 + 2y 2 i ) lim x 2 + 2xy + y 2 x 2 y 2 l ) lim x y xy 2 2x 2 + 3y 2 x + xy y x + xy + y 4x 4 ha (x, y) (, ), és különben. Mely pontokban folytonos? + 7y4 4. Legyen f(x, y) = arctg x 2 ha (x, y) és legyen f(, ) = c. Adjuk meg c értékét úgy, + y2 hogy f minden pontban folytonos legyen. 5. ovábbi gyakorló feladatok: lim x y x 3 y d) lim (x,y) (,) x y g) lim =? b) lim =? e) lim x 2 sin 2y =? x 2 h) lim + y2 x 2 y(x + y) 4x + 3y 2x + 8y e x2 3y =? c) lim (x,y) (2,) + 2x 2 + 3y =? 2 =? f) lim (3x2 + 4y 2 ) arctg x y =? x 2 sin 2y =? 2x 2 i ) lim + 5y2 x 5 y 3 2x 8 + y 8 =? 6. Legyen f(x, y) = x4 + x 2 y + y 2 x 4 + y 2 ha (x, y) (, ), és különben. Mutassuk meg, hogy az origón átmen bármely egyenes mentén felvéve egy origóhoz tartó pontsorozatot, az ezekhez tartozó függvényértékek sorozatának mindig ugyanaz a határértéke. Vizsgáljuk meg a függvényértékek sorozatának határértékét akkor is, ha az y = x 2 egyenlet parabolán közelítünk az origóhoz. Van-e a függvénynek határértéke az origóban? Egy f : R n R függvénynek a R a határértéke az x R n pontban, ha minden ε > -hoz létezik δ, hogy < x x < δ esetén f(x) a < ε. f : R n R folytonos az x pontban, ha lim x x f(x) = f(x ).

12 . feladatsor: R n R függvények deriválása. Számoljuk ki a következ függvények parciális deriváltjait! f(x, y) = x2 e x+y2 2x ln(x4 + ) + (2y + ) 6 b) f(x, y) = x 3 3xy 2 + 2x 5y + ln 2 2. Legyen f(x, y) = 5(x ) 4 + 4y 2. Írjuk fel az els rend parciális deriváltfüggvényeket! (Az (, ) pontban használjuk a deníciót.) 3. Legyen f(x, y) = (2x y) 4 + 4x 3 8y 2. Számoljuk ki az els és másodrend parciális deriváltakat! Hol deriválható (totálisan) a függvény? Mivel egyenl grad f(, 2)? (x 2)y2 4. Legyen f(x, y) = x 2 + y + 6x + 2 3y, ha (x, y) (, ) és f(, ) =. Mivel egyenl f x(x, y) és f x(x, y)? Hol dierenciálható f? 5. Legyen f(x, y) = sin(y2 + 2x 2 ), ha (x, y) (, ) és f(, ) =. y2 + 2x2 lim f(x, y) =? Folytonos-e f az origóban? b) f x(, ) =? (Használjuk a deníciót!) c) otálisan deriválható-e f az origóban? 6. Adott az f(x, y, z) = x 3 +y 4 +x 2 ye 2z függvény. Mivel egyenl grad f(,, )? Miért létezik? f xxz =? f xzx =? 7. Írjuk fel f(x, y) = (2x y) 2 + 4x 2 8y függvény P (, 2) pontbeli érint síkjának egyenletét! 8. Írjuk fel az f(x, y, z) = x 2 y + yz 5z 2 függvény gradiensét! Miért létezik a gradiens? Számítsuk ki az f függvény P (,, ) pontbeli v = ( 3, 4, ) irányú deriváltját! 9. Adott az f(x, y) = 3y + e xy2 2y arctg x y függvény és a P (, ) pont. f x(x, y) =?; f y(x, y) =?, ha y b) Írjuk fel az f függvény P pontbeli érint síkjának egyenletét! c) Mennyi az f függvény P pontbeli v = (2, 7) irányú deriváltja? d) Adjuk meg az f függvény P pontbeli iránymenti deriváltjának maximumát (minimumát), és adjuk meg a maximumhoz (minimumhoz) tartozó irányt.. Az f(x, y) = y3 e 2x+ képlettel megadott felületre a ( 2, ) pont fölött egy vízcseppet ejtünk. Merre fog elindulni? Mekkora az adott pontban a maximális meredekség?. Legyen f(x, y) = x2 3y 2 2x 2, ha (x, y) (, ) és f(, ) = 3. + y2 lim f(x, y) =? Folytonos-e f az origóban? b) f x(x, y) =? f y(x, y) =? (Az origóban használjuk a deníciót!) c) Mennyi az f függvény (, ) pontbeli v = ( 5, ) irányú deriváltja? d) Adjuk meg az f függvény (, ) pontbeli iránymenti deriváltjának maximumát és minimumát! e) Írjuk fel az f függvény (, ) pontbeli érint síkjának egyenletét!

13 2. feladatsor: széls értékszámítás; kett s integrál téglalap- és normáltartományon. Keressük meg a következ függvények lokális széls értékeit! f(x, y) = (x 3y + 3) 2 + (x y ) 2 b) f(x, y) = (x y + ) 2 (x 2 2) 2 c) f(x, y) = x 3 3x 2 + 2xy + y 2 4 d) f(x, y) = 2 x + 5 y + xy e) f(x, y) = 4xy x 4 y 4 2. Keressük meg az x 2 +y 2 +y függvény maximumát és minimumát az (x, y) x 2 +y 2 halmazon! 3. Legyen f(x, y) = x 3 y 5. Keressük meg f lokális széls értékeit! Keressük meg f minimumát és maximumát a (, ), (, ), (, ) csúcsok által meghatározott háromszöglapon! 4. Géza a pajtája falához egy m 3 térfogatú, felülr l nyitott, téglatest alakú szénatárolót szeretne építeni. A tároló egyik oldalát a pajta fala alkotja, csak a maradék 3 oldalát és az alját kell elkészítenie. Hogyan méretezze a téglatestet, hogy a lehet legkevesebb anyagot kelljen felhasználnia? Oldjuk meg a feladatot úgy is, hogy a tároló alját a föld alkotja! 5. Számoljuk ki: xy d(x, y) =? A = (x, y) x, y A b) x sin xy d(x, y) =? A = (x, y) x 3, y π A 2 c) x d(x, y) =? = (x, y) x 2 y x + 2 x 2 d) d(x, y) =? = (x, y) y2 x y x, x 2 6. Cseréljük fel az integrálás sorrendjét, és számoljuk ki az alábbi integrálokat: c) 2 y 2 y sin x 2 dx dy =? b) y/2 e x2 dx dy =? d) 2 2y cos(x 2 ) dx dy =? 3 x y 4 + dy dx =? Az f : R 2 R kétszer deriválható függvénynek lokális széls értéke x -ban csak úgy lehet, ha x -ban minden parciális deriváltja. Annak [ eldöntésére, hogy] x -ban tényleg széls értéke f van-e, nézzük ezt a determinánst: D(x ) = det xx(x ) f xy(x ) f yx(x ) f yy(x. Ha D(x ) >, akkor x - ) ban lokális széls érték van: ha f xx(x ) > akkor minimum, ha f xx(x ) < akkor maximum. Ha D(x ) <, akkor x -ban nincs lokális széls érték, míg D(x ) = esetén bármi el fordulhat.

14 3. feladatsor: integrálás több dimenzióban. Számoljuk ki: y 2 d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, y x b) x 2 y d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, x, y c) 7xy 4 d =? = (x, y) 4 x 2 + y 2 9, x, y 3x 2. Számítsuk ki az xy x2 + y 2 d integrál értékét, ha az 4 x2 + y 2 25, x, y egyenl tlenségekkel adott tartomány. 3. Számítsuk ki az xy 2 z 3 dv integrál értékét, ha az els térnyolcadba es V korlátos V térrész határai a z = xy egyenlet felület, valamint a z =, x =, y =, y = x egyenlet síkok. 4. Számoljuk ki az x 2 + y 2 = egyenlet henger és a z =, valamint a z = 2 x y egyenlet síkok által határolt térrész térfogatát! 5. A V korlátos térrész határai a z = x 2 + y 2, illetve a z = egyenlet felületek. Számítsuk ki az x2 + y 2 dv integrál értékét! V 6. Számoljuk ki a z = x 2 + y 2 és a z = 6 x 2 y 2 egyenlet felületek által határolt korlátos térrész térfogatát! 7. Számítsuk ki az xyz dv integrál értékét, ahol a V korlátos térrész az x 2 + y 2 + z 2 V gömb belsejének az x, y, z térnyolcadba es része. 8. Számoljuk ki az x 2 + y 2 + z 2 és a x 2 + y 2 z 3 x 2 + y 2 egyenl tlenségekkel adott térrész térfogatát! Integráltranszformáció: Legyen A, B R n, f : A R, ϕ = (ϕ,... ϕ n ) : B A deriválható, kölcsönösen egyértelm függvény. Ekkor ϕ (x) egy olyan n n-es mátrix, amelynek (i, j) eleme (ϕ j ) i(x). Igaz a következ : A f(x) da = B (f ϕ)(y) det ϕ (y) db. Egy gyakori integráltranszformáció a ϕ : R + [, 2π] R 2 polártranszformáció. Ekkor ϕ(r, α) = (r cos α, r sin α), és det ϕ(r, α) = r. Azaz, ha A R 2 egy R sugarú körlap, akkor R 2π f(x, y) d(x, y) = f(r cos α, r sin α) r dα dr. A A henger-koordinátarendszer R 3 -ban: (r, ϕ, z) (r cos ϕ, r sin ϕ, z). A hengerkoordinátákra való áttérés Jacobi-determinánsa: det J = r.

15 gyakorló feladatok. Határozzuk meg az alábbi függvények lokális széls értékeit! f(x, y) = x 3 9x + y 2 6y b) f(x, y) = 2x + y + 4 xy c) f(x, y) = x + 3 y3 3y x e) f(x, y) = xy + 8y x d) f(x, y) = y 3 2y + 2(x + y) 2 8(x + y) f) f(x, y) = x2 + y 2 + 4xy + 9y 2. Határozzuk meg a z = 4 x 2 y 2 egyenlet felület z része és az xy sík által határolt térrészbe írható maximális térfogatú téglatest oldalait, ha a téglatest lapjai a koordinátasíkokkal párhuzamosak. 3. Egy téglatest egy pontban összefutó éleinek összege 6 cm. Mekkorák az élek, ha a téglatest térfogata maximális? 4. Számítsuk ki az 2yx 4 d integrál értékét, ha az A(, ), B(2, ), C(2, 6) és a D(, 8) pontok által meghatározott trapéz. 5. Cseréljük fel az integrálás sorrendjét: e 2x e x f(x, y) dy dx b) 6. * Legyen = (x, y) x 2 4x + y 2, y. Mennyi 2 x x f(x, y) dy dx f(x, y) d(x, y) értéke, ha f(x, y) = y(x 2 + y 2 ) 3, b) f(x, y) = (x 2 4x + y 2 ) Számítsuk ki az x 2 d integrál értékét, ha = (x, y) x 2 + y 2 4, x, y b) = (x, y) x 2 + y 2 4, x 8. Számoljuk ki: (x 2 + y 2 4) 5 d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, y b) ( + 2x 2 + 2y 2 ) d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, x 5 c) ln(x 2 + y 2 ) d =? = (x, y) x 2 + y 2 d) e 3x 5y d =? = (x, y) x, y 9. Számítsuk ki az és a z 2 egyenl tlenségekkel adott.. Számoljuk ki az R sugarú gömb térfogatát. V 2z dv integrál értékét, ahol a V korlátos térrész az z 3 x 2 + y 2

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához

Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)

Részletesebben

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

2.7. Fourier-sor Gyakorló feladatok... 84

2.7. Fourier-sor Gyakorló feladatok... 84 Tartalomjegyzék. Közönséges differenciálegyenletek 3.. Bevezető.................................... 3.. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek.............. 4... Gyakorló feladatok..........................

Részletesebben

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j) Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Gyakorlatok. Tartalomjegyzék tavasz

Gyakorlatok. Tartalomjegyzék tavasz Gyakorlatok Tartalomjegyzék. tavasz. Közönséges dierenciálegyenletek.. Bevezet......................................... Szétválasztható változójú differenciálegyenletek................. 3.3. Lineáris els

Részletesebben

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()

Részletesebben

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E

Részletesebben

6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)

6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,

Részletesebben

Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag

Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

11. gyakorlat megoldásai

11. gyakorlat megoldásai 11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y

Részletesebben

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0, Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ

Részletesebben

11. gyakorlat megoldásai

11. gyakorlat megoldásai 11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

Analízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor

Analízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor Analízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor Bodrogné Réffy Júlia, Horváth Róbert 2018/19. II. félévtől Tantárgykód: BMETE90AX20 Félév: 2018/19. tavasz Nyelv: magyar

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1 Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

Definíció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.

Definíció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény. 8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az

Részletesebben

Matematika elméleti összefoglaló

Matematika elméleti összefoglaló 1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /

Részletesebben

differenciálegyenletek

differenciálegyenletek Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y

Részletesebben

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30.

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30. Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 006. máj. 0.. Legyen f : [0, [ R, f (x)= x x +. a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! f (x)= x (x + ). x=0 0

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

Feladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán

Feladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán Feladatgyûjtemény Analízis III. Sáfár Zoltán NyME-SEK 20 Tartalomjegyzék. Számsorozatok számsorok 2. Differenciálszámítás 5 2.. L Hospital-szabály............................... 7 3. Függvénysorok Taylor-polinom

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben