7. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémát: y x y = 6x, y(0) =
|
|
- Zsombor Kozma
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 . feladatsor: szeparábilis és els rend lineáris dierenciálegyenletek x. Mutassuk meg, hogy y = e x e t2 dt + 3e x megoldása az alábbi dierenciálegyenletnek: y y = e x+x2. 2. Adjuk meg az y = e 3x + 2x dierenciálegyenlet általános megoldását. Adjuk meg azt a partikuláris megoldást, amely eleget tesz az y() =, y () = 2 kezdeti feltételeknek. 3. Adjuk meg az y = x y e2x 3y2 (y ) dierenciálegyenlet általános megoldását. 4. Adjuk meg az y = y 2 xy, (x, y ) dierenciálegyenlet általános megoldását. Oldjuk meg az y() = 2, y() = 3, illetve az y( ) = 3 kezdetiérték-problémákat. 5. Oldjuk meg a következ szétválasztható változójú egyenleteket: y = y2 + 4y + 9, (x, x 5) (x )(x + 5) b) y = (3x ) 5 (y 2 4y) c) y = 2y xe 4x2, (y ) y 6. A rádium bomlási sebessége arányos a pillanatnyi rádiummennyiséggel. udjuk, hogy a rádium felezési ideje 6 év. A kiindulási anyag mennyiségének hány százaléka bomlik el év alatt? 7. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémát: y x y = 6x, y() = x Adjuk meg az y 2 y = x dierenciálegyenlet általános megoldását. Oldjuk meg az y() = 3, x illetve az y( e) = 3e 2 kezdetiérték-problémákat. 9. Oldjuk meg az alábbi els rend egyenleteket: y 3x 2 y = 6x 2 b) y + 2 x y =, (x ) + x2 c) y + 5 x y = ex x 4, (x ) d) y + x y = 2 x + 3 2, y() = Szétválasztható változójú a dierenciálegyenlet, ha y = f(x)g(y) alakú. Ha g sehol sem nulla, akkor ekvivalens az g(y) dy = f(x) dx integrálegyenlettel. Lineáris a dierenciálegyenlet, ha y + g(x)y = f(x) alakú. Ennek összes megoldása y iá = y há + y ip alakú, ahol y há az y + g(x)y = homogén egyenlet általános megoldása, y ip pedig az inhomogén egyenletnek egy partikuláris megoldása. y ip -t az állandó variálásával y ip = c(x)ϕ(x) alakban keressük, ahol ϕ az y + g(x)y = homogén egyenlet egy sehol sem nulla megoldása.
2 2. feladatsor: új változó bevezetése, iráymez, izoklínák; vektorterek, lineáris függetlenség. Oldjuk meg új változó bevezetésével az alábbi dierenciálegyenleteket. Az, b), c) esetben alkalmazzuk az u(x) = y(x), a d) esetben pedig az u(x) = x + y(x) helyettesítést: x y = 2y2 + x 2 xy c) xy = y( + ln y ln x) d) y = x + y b) x 2 y + xy = x 2 + y 2, y() = 2 2. Írjuk fel az y = e y+2 x dierenciálegyenlet izoklínáinak egyenletét, és rajzoljunk fel kett t. Van-e lokális széls értéke az P (e, ) ponton áthaladó megoldásnak a P pontban? 3. ekintsük a következ dierenciálegyenletet: y = (y 2 4)x + x. A sík mely pontjaiban párhuzamos az iránymez az y = x egyenessel? Vázoljuk ezeket a pontokat és jelöljünk be néhány vonalelemet! b) Van-e lokális széls értéke vagy inexiós pontja az (, 2) ponton átmen megoldásnak ebben a pontban? (Feltéve, hogy van ilyen megoldás.) 4. Írjuk fel az y = y 3 x 2, y() = Cauchy-feladat megoldásának másodrend aylorpolinomját az a = körül! 5. Valós vektorterek-e a következ halmazok? Ha igen, határozzuk meg a dimenziójukat, adjuk meg egy bázisukat! Adjunk meg néhány alteret bennük! egész számok b) valós számok c) a valós számpárok d) P n = maximum n-edfokú polinomok e) a legalább n-edfokú polinomok f) a folytonos függvények g) a páros függvények h) a felülr l korlátos függvények i ) a korlátos függvények j) (x, y, z) R 3 x = y 6. Lássuk be, hogy R 2 -ben bázist alkot a (2, 3), (, 2) vektorpár. Állítsuk el e két vektor lineáris kombinációjaként a következ vektorokat: (, ) b) (9, 4) c) (, ) 7. Írjuk át a következ vektorokat a [(2,, ), (,, ), (,, 2)] bázisba! (,, ) b) (,, ) c) (3,, 7) 8. Egy vektortérben a, b, c lineárisan független vektorok. Lineárisan független-e az (a + b + c), (a + 2b + 3c), (a + 4b + 5c) rendszer? A sík minden pontjához, amelyen átmegy a dierenciálegyenlet egy megoldása, illesszünk egy kis szakaszt, amely az adott ponton átmen megoldást érinti. Az így kapott R 2 R 2 függvény a d.e. iránymez je. Ha a dierenciálegyenlet y = f(x, y) alakú, akkor az (x, y ) R 2 pontban az iránymez meredeksége f(x, y ). Az izoklína azon pontok halmaza a síkon, melyekben az iránymez azonos irányba mutat. Ha a dierenciálegyenlet y = f(x, y) alakú, akkor az izoklínák egyenlete f(x, y) = K, ahol K R az iránymez kérdéses meredeksége. V altér, ha v, v 2 V esetén (v + v 2 ) V, és v V, α R esetén (αv) V is.
3 3. feladatsor: mátrixok, determináns, mátrixok rangja, Gauss-elimináció. Végezzük el az összes lehetséges szorzást A, B, C, A, B, C között! [ ] A = B = C = [ ] 2. Számoljuk ki a következ mátrixok determinánsát: [ ] 2 2 [ ] 3 b) sin α cos α c) 2 3 cos α sin α 7 8 d) e) Számítsuk ki a következ mátrixok rangját! [ ] A = B = C = D = [ 7 ] E = Számítsuk ki a következ mátrixok determinánsát, rangját, és inverzét! [ ] A = B = C = D = Legyen a = ( 2, 4), b = (4, 3, 2), c = (2, 4, 6, 8). Oldjuk meg az. feladatbeli A, B, C és D mátrixokkal az Ax = a, Bx = b, Cx = c és Dx = c egyenletrendszert. 6. Hány független vektor választható ki közülük? Mennyi a generált altér dimenziója? (2,, 6), (,, 3), (7, 7, 7) b) (, 2,, ), (2,, 2, ), (, 3, 2, ), (, 5, 2, ) Elemi sortranszformációk: ) Egy mátrix sorának beszorzása egy λ skalárral. 2) Egy mátrix egyik sorához egy másik sor λ-szorosának hozzáadása. 3) Két sor felcserélése. Elemi oszloptranszformációk: mint fent, csak oszlopokkal.
4 4. feladatsor: lineáris egyenletrendszerek; sajátérték, sajátvektor. Oldjuk meg az Ax = b egyenletrendszert a Gauss-eliminációval! Rang[A] =? A = 4 5 b = 6 b) A = b = 6 c) A = b = Hogyan kell α, β-t megválasztani, hogy az egyenletrendszernek ne legyen megoldása? Hát hogy végtelen sok megoldása legyen? y + 2z = 3 x + 3y = β 2x + αy + z = 2 5 x 3. Legyen A = 3 2, b = 8, x = x 2. Hogyan válasszuk meg az α és β α 2 β x 3 paraméterek értékét úgy, hogy az Ax = b egyenletnek egyértelm megoldása legyen; végtelen sok megoldása legyen; illetve ne legyen megoldása? 4. Határozzuk meg a sajátértékeket, sajátvektorokat! [ ] b) c) 4 3 d) [ ] 5 5. udjuk, hogy az A = mátrix egyik sajátvektora v a = (, ). Határozzuk meg az a paraméter értékét, a sajátértékeket, és a másik sajátvektort! Elemi sortranszformációk: ) Egy mátrix sorának beszorzása egy λ skalárral. 2) Egy mátrix egyik sorához egy másik sor λ-szorosának hozzáadása. 3) Két sor felcserélése. Elemi oszloptranszformációk: mint fent, csak oszlopokkal. Egy A n n-es mátrixnak λ a sajátértéke, és v a λ-hoz tartozó sajátvektora, ha A(v) = λv.
5 5. feladatsor: Magasabbrend lineáris dierenciálegyenletek. Oldjuk meg a következ homogén lineáris állandó együtthatós egyenleteket! y 8y + 5y = b) y + 2y = c) y 8y + 6y = d) y + 4y + 3y = e) y + 25y = f) y + 2y + y = g) y + 4y + 3y = h) y (4) y = i ) y (4) y (3) = 2. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémákat! y + 2y + 2y =, y() = 2, y () = b) y + 3y 4y =, y() = 3, y () = 4 c) y + y + 25y =, y() =, y () = 7 3. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrend valós konstans együtthatós homogén lineáris dierenciálegyenletet, melynek megoldásai az alábbi függvények! Írjuk fel a dierenciálegyenlet általános megoldását is! 2e 5x e 3x b) 6x 2 + 5e 2x c) 7x, sin 5x d) 3x 2 e 2x, e 3x e) 6 + e 3x sin x 4. Oldjuk meg a következ inhomogén lineáris, állandó együtthatós egyenleteket! y 5y + 6y = 2 sin 2x b) y 5y + 6y = 2xe x c) y 6y + 3y = 39 d) y y 2y = 3e 2x, y() = 3, y () = e) y 3y + 2y = e 3x + 4x 2 6 f) y 3y + 2y = x + e x g) y 2y + y = 6e x h) y + 8y + 25y = e 4x i ) y + 2y = 2x + 3 j) y + y = sin x 5. Oldjuk meg a következ dierenciálegyenleteket! y (4) 8y + 6y = 2x 9 b) y + y = 2 sin x cos x, y() =, y () = c) y 2y y + 2y = 2 e2x + 2 e 2x A másodrend homogén lineáris állandó együtthatós dierenciálegyenlet y +ay +by = alakú (a, b R). Ha ennek egy megoldását e λx alakban keressük, akkor ezt visszaírva az egyenletbe, az egyszer sítések után λ-ra a λ 2 + aλ + b = karakteriszitkus polinom adódik. Legyen ennek két megoldása λ és λ 2. Ekkor az általános megoldások: Ha λ, λ 2 R, λ λ 2 : y(x) = c e λx + c 2 e λ 2x (c, c 2 R). Ha λ, λ 2 R, λ = λ 2 : y(x) = c e λx + c 2 xe λ x (c, c 2 R). Ha λ, λ 2 C, λ = p + qi, λ 2 = p qi: y(x) = c e px cos qx + c 2 e px sin qx (c, c 2 R). Az n-edrendú inhomogén lineáris egyenlet y (n) + a n y (n ) a y = f(x) alakú. Ekkor a megoldások y h + y p alakúak, ahol y h a homogén egyenlet általános megoldása, y p pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. Ha f(x) speciális, akkor y p -t az alábbi alakban keressük (próbafüggvény módszere): f(x) = Ke αx esetén y p = Ae αx alakú, (A R) f(x) = a m x m a x + a esetén y p = B m x m B x + B alakú, (B i R) f(x) = K sin αx vagy f(x) = K cos αx esetén y p = A sin αx + B cos αx alakú. (A, B R). Ha f a fenti típusú függvények összege, szorzata, akkor a kísérletez függvényeket is össze kell adni, szorozni. Ha a kísérletez függvény szerepel a homogén egyenlet megoldásai között is (küls rezonanci, akkor ez nem lesz jó. Ekkor y p -t x els olyan hatványával kell megszorozni, hogy már ne szerepeljen a homogén megoldások között.
6 6. feladatsor: Laplace-transzformáció. A deníció alapján számoljuk ki a következ függvények Laplace-transzformáltját: ha t = a(t) = különben ha t > c) c(t) = ha t 3 ha t [, 2] b) b(t) = különben t ha t > d) d(t) = ha t 2. Keressük meg a következ függvények Laplace-transzformáltját: 7 sin 3t b) 6t 2 + 3t 2 c) t cos 7t d) e 2t sin 3t 3. * Keressük meg a következ függvények Laplace-transzformáltját: te t cos 4t b) t 2 sin 5t 4. Számoljuk ki a következ függvények inverz Laplace-transzformáltját: 3 s + s 5 7 e) 3 s 2 + 4s + 4 s 2 b) f) s s s 2 + 2s c) g) 7 s s 3 + 2s 2 d) s + 4 s Oldjuk meg a következ dierenciálegyenleteket. (Segítség: vegyük mindkét oldal Laplacetranszformáltját, oldjuk meg az így kapott algebrai egyenletet, majd a megoldásnak keressük meg az inverz Laplace-transzformáltját!) y = y, y() = 3 b) y = 7y, y() = c) y = y, y() =, y () = 2 d) y = y, y() =, y () = e) 2y y =, y() = /2 f) y + 7y = 6, y() = g) 2y + y = e 2t, y() = h) y + 3y + 2y = e t, y() =, y () = i) y + 2y + 5y =, y() =, y () = j) y + y = sin 3t, y() = 6. Oldjuk meg Laplace-transzformációval az alábbi kezdetiérték-problémákat: x = x + 4y, y = 2x y, x() = 2, y() = 2 b) x = 2x 3y, y = 3x + 2y, x() =, y() = 4 c) x = 5x y, y = 3x + y, x() =, y() = 2 d) x = 8y, y = 2x, x() =, y() = 2
7 A Laplace-transzformált deníciója Az f(t) függvény Laplace-transzformáltja: F (s) = Lf(t)(s) = e st f(t) dt. étel: Ha f(t) szakaszonként folytonos, és alkalmas M, α R-el f(t) < Me αt, akkor f(t)-nek létezik Laplace-transzformáltja. A Laplace-transzformáció tulajdonságai Jelölje f(t) Laplace-transzformáltját F (s). Ekkor: Laf(t) + bg(t)(s) = af (s) + bg(s) (a, b R) Le at f(t)(s) = F (s Lf(at)(s) = ( s a F a f(t) L (s) = F (r) dr t Lt n f(t)(s) = ( ) n F (n) (s) s ) Lf (t)(s) = sf (s) f() Lf (n) (t)(s) = s n F (s) s n f() s n 2 f ()... f (n ) () Néhány alapfüggvény Laplace-transzformáltja L(s) = Lt n (s) = n! s s n+ Le at (s) = Lt n e at n! (s) = s a (s n+ a s Lsin(at)(s) = Lcos(at)(s) = s 2 + a 2 s 2 + a 2 Lt sin(at)(s) = Le bt sin(at)(s) = Lsh(at)(s) = 2as (s 2 + a 2 ) 2 Lt cos(at)(s) = s2 a 2 (s 2 + a 2 ) 2 a (s b) 2 + a 2 Le bt cos(at)(s) = a s 2 a 2 Lch(at)(s) = (n N, a, b R) s b (s b) 2 + a 2 s s 2 a 2 (shx = ex e x 2 ) chx = ex + e x 2
8 7. feladatsor: numerikus sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, mennyi az összegük? ( n ) ( + n b) c) hf n(n + ) n ) n Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, mennyi az összegük? + n= 2 2n ( 5) n+2 b) + 2 3n+ + ( 5) n d) hf 3 2n+2 e) hf + n=2 + n=2 3 2n+ 2 3n 2 c) ( ) n 3 n+ n=2 3 2n+ f) hf 3. Konvergens? (Használjuk a majoráns, minoráns kritériumokat.) 2n + n 2 b) e) hf n 2 n + 3 2n 5 + 2n n + 2 n 7 c) + + 7n 3 7 n 5 + 2n 4 d) 2 n + 3 n+ 5 n 2 3n 2 n 4 2n 2n 3 n + 3 3n 4 + 2n f) hf 2 n + 3 n+ + 6 n g) hf 3 2n + h) hf n 2n + 4. Konvergens? (Használjuk a hányados- és gyökkritériumot.) d) 7 n 2 (n + )! b) 5 3n 2 2n n 5 2 3n+ e) hf 2 3n n 7 g) hf (n + 2) 4 n (n + 5) n! 5. Igaz? Hamis? h) hf (n + )! n n n 4 c) ( 4n 4n + ) 3n 2 (n + 5) 3 n 3 2n+ f) hf 5 n+ ( ) n 2 3n + 3 i ) hf 3n + a n konvergens lim a n = b) lim a n = a n konvergens c) a n konvergens a 2 n konvergens 6 ḥf Lássuk be, hogy racionális szám, és írjuk fel mint két egész szám hányadosa. Ha (a n ) egy sorozat, akkor a a n neve sor. A sor összege: A geometriai sor összege: aq n = n= aq n = + a n := a, ha q <. q Majoráns kritérium: Ha a n b n, és b n konvergens, akkor a n is. Minoráns kritérium: Ha a n b n, és a n divergens, akkor b n is. ( k lim a i ). k + i= Gyökkritérium: Ha lim n a n <, akkor a n konvergens; ha lim n a n >, akkor divergens. Hányadoskritérium: Ha lim <, akkor an konvergens; ha lim >, akkor div. a n+ a n a n+ a n
9 8. feladatsor: Abszolút és feltételes konvergencia, hatványsorok, aylor-sorok. Konvergens? Abszolút konvergens? ( ) n ( ) n+ b) n n c) n d) hf ( ) n 2 n 3 n + e) hf ( )n 2n + 3n 2 ( )n n + f) hf ( ) n n 2 ( n + n + 5 ) n 2. Határozzuk meg a következ sorok konvergenciatartományát! ( ) n n 2 (x n )n b) ( ) n 2n + (2n)! (x + 7)n c) d) (2x + 4) n n 2 3 n e) n 2 n x3n f) ( 2) n (n + 3) x n n n + (x 2)2n 9n 3. Határozzuk meg a következ sorok konvergenciasugarát! (n + 2) n2 (n + ) n (n + 6) n2 + xn b) n! 4. Adjuk meg az alábbi függvények x bázispontú aylor-sorfejtését és annak konvergenciatartományát! f(x) = x 3, x = ; x = 5 b) f(x) = x + 2, x = 2; x = 5 c) f(x) = x5 x 2, g(x) = + 3 x 2 + 3, x = d) f(x) = 3x4, g(x) = x + 7 x + 7, x = 5. Írjuk fel az alábbi függvények x pontbeli aylor-sorát és annak konvergenciatartományát! f (x) = sin 3x 2 x = b) f 2 (x) = e 4x x = ; x = 3 c) f 3 (x) = sh 2x 4, x = d) f 4 (x) = e 2x ch 5x, x = x n Majoráns kritérium: Ha a n b n, és b n konvergens, akkor a n is. Minoráns kritérium: Ha a n b n, és a n divergens, akkor b n is. Gyökkritérium: Ha lim n a n <, akkor a n konvergens; ha lim n a n >, akkor divergens. Hányadoskritérium: Ha lim <, akkor an konvergens; ha lim >, akkor div. a n+ a n a n+ a n Ha a n mon. csökken, lim a n =, és a n el jele váltakozó, akkor a n Leibniz-sor, ami konv. A c n (x n a körüli hatványsor konvergenciahalmaza egy intervallum, melynek végpontjai ( a r és a + r, ahol r = lim sup n a n ) a konvergenciasugár. r = lim a n, a n+ ha ez létezik. Az f függvény a R pont körüli aylor-sora: n= f (n) ( (x n. n!
10 9. feladatsor: aylor-sorok, binomiális sorfejtés. Adjuk meg az f(x) = 5x 3 e 3x2 függvény x = bázispontú aylor-sorfejtését és annak konvergenciatartományát! Számítsuk ki f () () és f () () értékét! 2. Írjuk fel az f(x) = x + 3 függvény x = bázispontú aylor-sorfejtését, és határozzuk meg a konvergenciasugarat (R -et)! Az f függvény sorfejtésére támaszkodva írjuk fel az alábbi függvények x = bázispontú sorfejtését! g(x) = ln(x + 3), R 2 =? b) h(x) = (x + 3), R 3 3 =? 3. udjuk, hogy ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 ) , R =. Írjuk fel az f(x) = ln ( + x2 függvény x = bázispontú aylor-sorát, és adjuk meg 3 a konvergenciasugarat! ) b) Az f függvény sorfejtését felhasználva adjuk meg az ln ( + x2 dx integrál értékét 3 az f függvény negyedfokú aylor-polinomjának felhasználásával, és becsüljük meg a hibát! 4. Írjuk fel az f(x) = és g(x) = függvények x = bázispontú aylor-sorát 4 x 4 x 2 és a sor konvergenciasugarát! Adjuk meg elemi m veletekkel az a 4 együtthatót! 5. Legyen f(x) = x 2 és x =. Írjuk fel az f függvény x bázispontú aylor-sorát és a sor konvergenciasugarát! b) a 8 =? (Elemi m veletekkel adjuk meg!) c) f (26) () =?, f (25) () =? 6. Írjuk fel a g(x) = 2x x 2 konvergenciasugarát! Számítsuk ki g (2) () és g (3) () értékét! 7. Adjuk meg az /2 függvény x = bázispontú aylor-sorát és a sor dx integrál értékét az integrandus nyolcadfokú aylor- + x 4 polinomjának felhasználásával, és becsüljük meg a hibát! 8. Írjuk fel az f(x) = 4 + 2x 3 függvény x = bázispontú aylor-sorát és a sor konvergenciasugarát! Számítsuk ki f (9) () és f () () értékét! Az f függvény a R pont körüli aylor-sora: At f(x) = ( + x) α R =. n= f (n) ( (x n. n! függvény MacLaurent-sora k= ( α k) x k, melynek konvergenciasugara
11 . feladatsor: R 2 R függvények, határérték, folytonosság. Szemléltessük térbeli koordináta-rendszerben az alábbi felületeket: ax + by + cz = d b) x 2 + y 2 z = c) z = 6 x 2 y 2 d) x 2 y 2 z = e) z = xy f) x 2 + y 2 z 2 = g) x 2 + y 2 + z 2 = 4 h) x 2 + y 2 = 4 2. Számoljuk ki a következ határértékeket: xy + 3 sin x lim x 2 b) lim y + 4 cos y d) sin xy lim e) lim (x,y) (,3) x x 2 + y 2 f) lim g) xy 3xy 3 lim 2x 2 + 2y 2 h) lim j) lim 3. Legyen f(x, y) = 3x2 y 2 3x 2 + 5y 2 2x 2 + y 2 k) lim (x,y) (2, 2) sin(x 2 y) c) lim x 2 cos y 2 2x 2 + 2y 2 i ) lim x 2 + 2xy + y 2 x 2 y 2 l ) lim x y xy 2 2x 2 + 3y 2 x + xy y x + xy + y 4x 4 ha (x, y) (, ), és különben. Mely pontokban folytonos? + 7y4 4. Legyen f(x, y) = arctg x 2 ha (x, y) és legyen f(, ) = c. Adjuk meg c értékét úgy, + y2 hogy f minden pontban folytonos legyen. 5. ovábbi gyakorló feladatok: lim x y x 3 y d) lim (x,y) (,) x y g) lim =? b) lim =? e) lim x 2 sin 2y =? x 2 h) lim + y2 x 2 y(x + y) 4x + 3y 2x + 8y e x2 3y =? c) lim (x,y) (2,) + 2x 2 + 3y =? 2 =? f) lim (3x2 + 4y 2 ) arctg x y =? x 2 sin 2y =? 2x 2 i ) lim + 5y2 x 5 y 3 2x 8 + y 8 =? 6. Legyen f(x, y) = x4 + x 2 y + y 2 x 4 + y 2 ha (x, y) (, ), és különben. Mutassuk meg, hogy az origón átmen bármely egyenes mentén felvéve egy origóhoz tartó pontsorozatot, az ezekhez tartozó függvényértékek sorozatának mindig ugyanaz a határértéke. Vizsgáljuk meg a függvényértékek sorozatának határértékét akkor is, ha az y = x 2 egyenlet parabolán közelítünk az origóhoz. Van-e a függvénynek határértéke az origóban? Egy f : R n R függvénynek a R a határértéke az x R n pontban, ha minden ε > -hoz létezik δ, hogy < x x < δ esetén f(x) a < ε. f : R n R folytonos az x pontban, ha lim x x f(x) = f(x ).
12 . feladatsor: R n R függvények deriválása. Számoljuk ki a következ függvények parciális deriváltjait! f(x, y) = x2 e x+y2 2x ln(x4 + ) + (2y + ) 6 b) f(x, y) = x 3 3xy 2 + 2x 5y + ln 2 2. Legyen f(x, y) = 5(x ) 4 + 4y 2. Írjuk fel az els rend parciális deriváltfüggvényeket! (Az (, ) pontban használjuk a deníciót.) 3. Legyen f(x, y) = (2x y) 4 + 4x 3 8y 2. Számoljuk ki az els és másodrend parciális deriváltakat! Hol deriválható (totálisan) a függvény? Mivel egyenl grad f(, 2)? (x 2)y2 4. Legyen f(x, y) = x 2 + y + 6x + 2 3y, ha (x, y) (, ) és f(, ) =. Mivel egyenl f x(x, y) és f x(x, y)? Hol dierenciálható f? 5. Legyen f(x, y) = sin(y2 + 2x 2 ), ha (x, y) (, ) és f(, ) =. y2 + 2x2 lim f(x, y) =? Folytonos-e f az origóban? b) f x(, ) =? (Használjuk a deníciót!) c) otálisan deriválható-e f az origóban? 6. Adott az f(x, y, z) = x 3 +y 4 +x 2 ye 2z függvény. Mivel egyenl grad f(,, )? Miért létezik? f xxz =? f xzx =? 7. Írjuk fel f(x, y) = (2x y) 2 + 4x 2 8y függvény P (, 2) pontbeli érint síkjának egyenletét! 8. Írjuk fel az f(x, y, z) = x 2 y + yz 5z 2 függvény gradiensét! Miért létezik a gradiens? Számítsuk ki az f függvény P (,, ) pontbeli v = ( 3, 4, ) irányú deriváltját! 9. Adott az f(x, y) = 3y + e xy2 2y arctg x y függvény és a P (, ) pont. f x(x, y) =?; f y(x, y) =?, ha y b) Írjuk fel az f függvény P pontbeli érint síkjának egyenletét! c) Mennyi az f függvény P pontbeli v = (2, 7) irányú deriváltja? d) Adjuk meg az f függvény P pontbeli iránymenti deriváltjának maximumát (minimumát), és adjuk meg a maximumhoz (minimumhoz) tartozó irányt.. Az f(x, y) = y3 e 2x+ képlettel megadott felületre a ( 2, ) pont fölött egy vízcseppet ejtünk. Merre fog elindulni? Mekkora az adott pontban a maximális meredekség?. Legyen f(x, y) = x2 3y 2 2x 2, ha (x, y) (, ) és f(, ) = 3. + y2 lim f(x, y) =? Folytonos-e f az origóban? b) f x(x, y) =? f y(x, y) =? (Az origóban használjuk a deníciót!) c) Mennyi az f függvény (, ) pontbeli v = ( 5, ) irányú deriváltja? d) Adjuk meg az f függvény (, ) pontbeli iránymenti deriváltjának maximumát és minimumát! e) Írjuk fel az f függvény (, ) pontbeli érint síkjának egyenletét!
13 2. feladatsor: széls értékszámítás; kett s integrál téglalap- és normáltartományon. Keressük meg a következ függvények lokális széls értékeit! f(x, y) = (x 3y + 3) 2 + (x y ) 2 b) f(x, y) = (x y + ) 2 (x 2 2) 2 c) f(x, y) = x 3 3x 2 + 2xy + y 2 4 d) f(x, y) = 2 x + 5 y + xy e) f(x, y) = 4xy x 4 y 4 2. Keressük meg az x 2 +y 2 +y függvény maximumát és minimumát az (x, y) x 2 +y 2 halmazon! 3. Legyen f(x, y) = x 3 y 5. Keressük meg f lokális széls értékeit! Keressük meg f minimumát és maximumát a (, ), (, ), (, ) csúcsok által meghatározott háromszöglapon! 4. Géza a pajtája falához egy m 3 térfogatú, felülr l nyitott, téglatest alakú szénatárolót szeretne építeni. A tároló egyik oldalát a pajta fala alkotja, csak a maradék 3 oldalát és az alját kell elkészítenie. Hogyan méretezze a téglatestet, hogy a lehet legkevesebb anyagot kelljen felhasználnia? Oldjuk meg a feladatot úgy is, hogy a tároló alját a föld alkotja! 5. Számoljuk ki: xy d(x, y) =? A = (x, y) x, y A b) x sin xy d(x, y) =? A = (x, y) x 3, y π A 2 c) x d(x, y) =? = (x, y) x 2 y x + 2 x 2 d) d(x, y) =? = (x, y) y2 x y x, x 2 6. Cseréljük fel az integrálás sorrendjét, és számoljuk ki az alábbi integrálokat: c) 2 y 2 y sin x 2 dx dy =? b) y/2 e x2 dx dy =? d) 2 2y cos(x 2 ) dx dy =? 3 x y 4 + dy dx =? Az f : R 2 R kétszer deriválható függvénynek lokális széls értéke x -ban csak úgy lehet, ha x -ban minden parciális deriváltja. Annak [ eldöntésére, hogy] x -ban tényleg széls értéke f van-e, nézzük ezt a determinánst: D(x ) = det xx(x ) f xy(x ) f yx(x ) f yy(x. Ha D(x ) >, akkor x - ) ban lokális széls érték van: ha f xx(x ) > akkor minimum, ha f xx(x ) < akkor maximum. Ha D(x ) <, akkor x -ban nincs lokális széls érték, míg D(x ) = esetén bármi el fordulhat.
14 3. feladatsor: integrálás több dimenzióban. Számoljuk ki: y 2 d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, y x b) x 2 y d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, x, y c) 7xy 4 d =? = (x, y) 4 x 2 + y 2 9, x, y 3x 2. Számítsuk ki az xy x2 + y 2 d integrál értékét, ha az 4 x2 + y 2 25, x, y egyenl tlenségekkel adott tartomány. 3. Számítsuk ki az xy 2 z 3 dv integrál értékét, ha az els térnyolcadba es V korlátos V térrész határai a z = xy egyenlet felület, valamint a z =, x =, y =, y = x egyenlet síkok. 4. Számoljuk ki az x 2 + y 2 = egyenlet henger és a z =, valamint a z = 2 x y egyenlet síkok által határolt térrész térfogatát! 5. A V korlátos térrész határai a z = x 2 + y 2, illetve a z = egyenlet felületek. Számítsuk ki az x2 + y 2 dv integrál értékét! V 6. Számoljuk ki a z = x 2 + y 2 és a z = 6 x 2 y 2 egyenlet felületek által határolt korlátos térrész térfogatát! 7. Számítsuk ki az xyz dv integrál értékét, ahol a V korlátos térrész az x 2 + y 2 + z 2 V gömb belsejének az x, y, z térnyolcadba es része. 8. Számoljuk ki az x 2 + y 2 + z 2 és a x 2 + y 2 z 3 x 2 + y 2 egyenl tlenségekkel adott térrész térfogatát! Integráltranszformáció: Legyen A, B R n, f : A R, ϕ = (ϕ,... ϕ n ) : B A deriválható, kölcsönösen egyértelm függvény. Ekkor ϕ (x) egy olyan n n-es mátrix, amelynek (i, j) eleme (ϕ j ) i(x). Igaz a következ : A f(x) da = B (f ϕ)(y) det ϕ (y) db. Egy gyakori integráltranszformáció a ϕ : R + [, 2π] R 2 polártranszformáció. Ekkor ϕ(r, α) = (r cos α, r sin α), és det ϕ(r, α) = r. Azaz, ha A R 2 egy R sugarú körlap, akkor R 2π f(x, y) d(x, y) = f(r cos α, r sin α) r dα dr. A A henger-koordinátarendszer R 3 -ban: (r, ϕ, z) (r cos ϕ, r sin ϕ, z). A hengerkoordinátákra való áttérés Jacobi-determinánsa: det J = r.
15 gyakorló feladatok. Határozzuk meg az alábbi függvények lokális széls értékeit! f(x, y) = x 3 9x + y 2 6y b) f(x, y) = 2x + y + 4 xy c) f(x, y) = x + 3 y3 3y x e) f(x, y) = xy + 8y x d) f(x, y) = y 3 2y + 2(x + y) 2 8(x + y) f) f(x, y) = x2 + y 2 + 4xy + 9y 2. Határozzuk meg a z = 4 x 2 y 2 egyenlet felület z része és az xy sík által határolt térrészbe írható maximális térfogatú téglatest oldalait, ha a téglatest lapjai a koordinátasíkokkal párhuzamosak. 3. Egy téglatest egy pontban összefutó éleinek összege 6 cm. Mekkorák az élek, ha a téglatest térfogata maximális? 4. Számítsuk ki az 2yx 4 d integrál értékét, ha az A(, ), B(2, ), C(2, 6) és a D(, 8) pontok által meghatározott trapéz. 5. Cseréljük fel az integrálás sorrendjét: e 2x e x f(x, y) dy dx b) 6. * Legyen = (x, y) x 2 4x + y 2, y. Mennyi 2 x x f(x, y) dy dx f(x, y) d(x, y) értéke, ha f(x, y) = y(x 2 + y 2 ) 3, b) f(x, y) = (x 2 4x + y 2 ) Számítsuk ki az x 2 d integrál értékét, ha = (x, y) x 2 + y 2 4, x, y b) = (x, y) x 2 + y 2 4, x 8. Számoljuk ki: (x 2 + y 2 4) 5 d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, y b) ( + 2x 2 + 2y 2 ) d =? = (x, y) x 2 + y 2 4, x 5 c) ln(x 2 + y 2 ) d =? = (x, y) x 2 + y 2 d) e 3x 5y d =? = (x, y) x, y 9. Számítsuk ki az és a z 2 egyenl tlenségekkel adott.. Számoljuk ki az R sugarú gömb térfogatát. V 2z dv integrál értékét, ahol a V korlátos térrész az z 3 x 2 + y 2
1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Részletesebben9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
Részletesebben2.7. Fourier-sor Gyakorló feladatok... 84
Tartalomjegyzék. Közönséges differenciálegyenletek 3.. Bevezető.................................... 3.. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek.............. 4... Gyakorló feladatok..........................
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenGyakorlatok. Tartalomjegyzék tavasz
Gyakorlatok Tartalomjegyzék. tavasz. Közönséges dierenciálegyenletek.. Bevezet......................................... Szétválasztható változójú differenciálegyenletek................. 3.3. Lineáris els
RészletesebbenVIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
Részletesebben2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.
. Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenAnalízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor
Analízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor Bodrogné Réffy Júlia, Horváth Róbert 2018/19. II. félévtől Tantárgykód: BMETE90AX20 Félév: 2018/19. tavasz Nyelv: magyar
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenVizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,
RészletesebbenDefiníció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.
8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenMatematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30.
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 006. máj. 0.. Legyen f : [0, [ R, f (x)= x x +. a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! f (x)= x (x + ). x=0 0
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenFeladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán
Feladatgyûjtemény Analízis III. Sáfár Zoltán NyME-SEK 20 Tartalomjegyzék. Számsorozatok számsorok 2. Differenciálszámítás 5 2.. L Hospital-szabály............................... 7 3. Függvénysorok Taylor-polinom
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
Részletesebben