Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter

Átírás

1 Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus II. példatár Gselmann Eszter Debrecen, 203

2 Tartalomjegyzék. Határozatlan integrál Elméleti áttekintés Alapintegrálok Feladatok Riemann-integrál 23 Elméleti áttekintés Feladatok Többváltozós függvények 46 Elméleti áttekintés Többváltozós függvények folytonossága Többváltozós függvények határértéke Feladatok Többváltozós függvények differenciálszámítása 5 Elméleti áttekintés Fréchet-differenciálhatóság Iránymenti és parciális differenciálhatóság Lokális szélsőértékszámítás Feladatok Riemann-integrál R n -ben 65 Elméleti áttekintés

3 Feladatok Differenciálegyenletek 76 Elméleti áttekintés y = f (x) alakú differenciálegyenletek Szeparábilis differenciálegyenletek Homogén differenciálegyenletek y = f (ax + by + c) alakú differenciálegyenletek Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek Egzakt differenciálegyenletek Konstansegyütthatós lineáris differenciálegyenletek Feladatok

4 . fejezet Határozatlan integrál Elméleti áttekintés.. Definíció. Legyen ]a, b[ R nemüres, nyílt intervallum, f :]a, b[ R függvény. Az F :]a, b[ R függvényt az f függvény primitív függvényének vagy határozatlan integráljának nevezzük, ha F (x) = f (x) teljesül minden x ]a, b[ esetén. Az F függvényre a továbbiakban az f vagy az f (x)dx jelölést használjuk... Tétel. Ha f, F :]a, b[ R és F = f, akkor G :]a, b[ R pontosan akkor primitív függvénye f -nek, ha létezik olyan C R, hogy F(x) = G(x) + C (x ]a, b[).2. Tétel (A határozatlan integrál linearitása). Legyenek f, g :]a, b[ R olyan függvények, melyekre létezik f és g, legyenek továbbá α, β R tetszőleges konstansok. Ekkor létezik α f + β g is, és létezik olyan C R, hogy α f (x) + β g(x)dx = α f (x)dx + β g(x)dx + C.

5 .3. Tétel (A parciális integrálás tétele). Ha az f, g :]a, b[ R függvények differenciálhatóak ]a, b[-n, és létezik f g, akkor létezik f g is, és létezik olyan C R konstans, hogy f (x) g (x)dx = f (x) g(x) f (x) g(x)dx + C. (x ]a, b[).4. Tétel (A helyettesítéses integrálás tétele). Ha f :]a, b[ R, g :]c, d[ R olyan függvények, melyek esetén létezik g :]c, d[ ]a, b[ és létezik f is, akkor létezik ( f g) g is, és van olyan C R, hogy (( f (g(x)) g (x)dx = ) ) f g (x) + C = f (t)dt + C. t=g(x) (x ]c, d[).5. Tétel. Legyen f :]a, b[ R differenciálható ]a, b[-n, α R \ { }, ekkor f α f függvénynek létezik a primitív függvénye ]a, b[-n és teljesül valamely C R konstanssal. f α (x) f (x)dx = f α+ (x) α + + C,.6. Tétel. Ha f : [a, b] R folytonos [a, b]-n, f (x) 0 (x [a, b]), f differenciálható ]a, b[-n, akkor az f függvénynek létezik a primitív függvénye, és létezik f olyan C R, hogy f (x) dx = ln ( f (x) ) + C. f (x).7. Tétel. Legyen f : R R függvény, α, β R, α 0 tetszőlegesek. Ha létezik f, akkor létezik f (αx + β) dx is, és létezik olyan C R konstans, hogy f (αx + β) dx = F (αx + β) α ahol F jelöli az f függvény primitív függvényét. + C, (x R) 2

6 Alapintegrálok. e x dx = e x a x dx = ln a ax ln(x) dx = x ln(x) x log a (x) dx = (x ln(x) x) ln a x α dx = α+ xα+ ha α, ln x ha α =, cos(x) dx = sin(x) sin(x) dx = cos(x) tg(x) dx = ln cos(x) ctg(x) dx = ln sin(x) 0. arccos(x) dx = xarccos(x) x 2 3

7 . arcsin(x) dx = xarcsin(x) + x arctg(x) dx = xarctg(x) 2 ln( + x2 ) arcctg(x) dx = xarcctg(x) + 2 ln( + x2 ) cosh(x) dx = sinh(x) sinh(x) dx = cosh(x) tanh(x) dx = ln cosh(x) coth(x) dx = ln sinh(x) 8. arcosh(x) dx = x arcosh(x) x arsinh(x) dx = x arsinh(x) x artanh(x) dx = x artanh(x) + 2 ln x2 4

8 2. arcoth(x) dx = x arcoth(x) + 2 ln x2 22. dx cos 2 x = tg(x) dx sin 2 x = ctg(x) dx = arcsin(x) x dx = arccos(x) x dx + x 2 = arctg(x) 27. dx + x 2 = arcctg(x) dx cosh 2 x = tanh(x) dx sinh 2 x = coth(x) dx x 2 + = arsinh(x) 5

9 dx x 2 = arcosh(x) dx x 2 = artanh(x) dx x 2 = arcoth(x) Feladatok. Határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényét. (a) x 5 dx (g) x 3 x dx, x 3 dx, (h) x 5 x 4 dx, (c) xdx, (i) x 3 xdx, 3 x 2 dx, (j) (3 x 2 ) 3 dx, (e) 4 x dx (k) x 2 (5 x 4 )dx, (f) x 3 xdx, (l) ( x)( 2x)( 3x)dx, 6

10 (m) ( ) 2 x dx, x (q) x 2 + x 2 dx x 4 (n) (o) x + x dx, x 2 + x 2 dx, (r) (s) x 4 5 x 6 dx, x 3x x 5 dx, (p) x 2 x 2 dx, (t) x 4 4x x 5 dx x 4 2. Számítsuk ki a következő függvények határozatlan integráljait. (a) 5 x dx, (e) tg 2 (x)dx, (c) 2e x dx, 6 sin(x) + 5 cos(x)dx, 2 5 x + 4 sin(x) 3 cos(x)dx, (f) (g) (h) (i) ctg 2 (x)dx, cos(x) cos(2x) dx, + cos(2x) cos(x) 2 dx, 5 cos(2x) sin(x) + cos(x) dx 7

11 3. A parciális integrálás tételének segítségével határozzuk meg a következő függvények primitív függvényeit. (a) ln(x)dx, (j) x 3 e x2 dx, x n ln(x)dx, (n ) (k) (l) x cos(x)dx, x 2 sin(2x)dx, (e) (f) (c) x ln 2 (x)dx, xe x dx, x 2 e 2x dx, (x 2 + 2) ln(x)dx, (m) (n) (o) (p) x sinh(x)dx, x 3 cosh(3x)dx, e x dx, x sin( x)dx, (g) (h) (i) (x )e x dx, (x 2 + x + )e x dx, x 2 e x+ dx, (q) (r) (s) x cos 2 (x) dx, xe x (x + ) 2 dx, e x cos(x)dx, 8

12 (t) e 2x sin(3x)dx, (v) (e x cos(x) )2 dx, (u) e 2x sin 2 (x)dx, 4. Határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit. (i) (ii) (iii) cos 2 (x) 5 + cos (2x) dx, + cos (2x) cos 2 (x) dx, 2 cos (2x) sin(x) + cos(x) dx, (vi) (vii) (viii) 5 sinh 2 (x) dx, 5 tanh 2 (x)dx, coth 2 (x)dx, (iv) (v) 3 cos 2 (x) 7 5 sin 2 (x) dx, 4 sinh(x) + 2 cosh(x)dx (ix) (x) cosh 2 (x) 2 cosh (2x) + dx, sinh(x) cosh(x) dx 5. Az.7. Tétel segítségével határozzuk meg a következő függvények primitív függvényeit. (a) (3x + 2) 3 dx, (5x 4) 5 dx, 9

13 (c) (e) 4 7x 6dx, ( 3x + 4) 4 dx (2x 3) 0 dx, (j) 2 3 e3x 2 dx, (k) (l) 3 4x 7 dx, 5 2 3x dx, (f) 3 3xdx, (m) sin (6x + 4) dx, (g) 2 5x dx, (n) cos ( 4 5x) dx, (h) dx (5x 2) 2 5 (o) sin 2 (3x + 2) dx, (i) e 5x+4 dx, (p) sinh (2 7x) dx 6. Az.7. Tétel segítségével számítsuk ki az alábbi függvények határozatlan integráljait. (a) x 2 (2x 3 + 4) 2 dx, (c) ln(x) x dx, sin(x) cos(x)dx, (2x 3 + 4) 5 x 2 dx 0

14 (e) x 2 6x 3 + dx, (i) x x 2 dx, (f) x x 2 + dx, (j) x x 2 dx, (g) 5x 2 3 3x dx, (k) x 3 2x 2 dx, (h) e x e x dx (l) x ( + x 2 ) 2 dx 7. Az.6. Tétel felhasználásával határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit. (a) (c) (e) xe x2 e x2 + dx, e x e x + 2 dx, ln 5 (x) dx, x x ln(x) ln (ln(x)) dx, sin 5 (x) cos(x)dx, (f) sin(x) cos 3 (x) dx, (g) sinh(x) cosh 2 (x) dx, (h) (i) (j) sin 2 (x) 4 ctg(x) dx 2x x dx 5x 2 x dx,

15 (k) 4 sin(x) 5 cos(x) + 4 dx, (o) sin 2 (x)ctg(x) dx, (l) 5 sin (2x) sin 2 (x) + 2π dx, (p) tg(x)dx (m) sin (2x) 5 + cos 2 (x) dx (q) x ln(x) dx, (n) cos 2 (x)tg(x) dx, (r) e 2x e 2x + 3 dx 8. A parciális törtekre bontás tételének felhasználásával határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit. (a) (c) A dx, (A, α 0) αx + β A dx, (A, α 0, n ) (αx + β) n Ax dx, (A, α 0) (αx + β) n (e) (f) (g) (h) 5 2 3x dx, 5 (2x 4) 6 dx, 4 (6 4x) 7 dx, x (2x + 3) 4 dx, 4 3x 5 dx, (i) 5x (3x 4) 6 dx 2

16 (j) 2 x + 3 dx, (s) 2x + 3 (x 2)(x + 5) dx, (k) (l) (m) 5 (x + ) 2 dx, x 2 x + dx, x + x 2 + x + dx, (n) x + 2 x 2 dx, (o) 3x 4 x 2 x 6 dx, (t) (u) (v) (w) x (x + )(x + 2)(x + 3) dx, x 2 x + 2 dx, (x 2)(x + 4) dx, 4 (x 3)(x + 2)(x 4) dx, (p) x 2 (x 3)(x + 2) 2 dx, (x) 5x 3 (x )(x 3) 2 dx, (q) (r) x 2 dx (α 0) + α2 α 2 + β 2 dx, (αβ 0) x2 (y) (z) 5 x(x 2 + 4) dx, 2x 2 x 4 dx 9. Határozzuk meg az alábbi függvények határozatlan integrálját a helyettesítéses integrálás tételének segítségével. 3

17 (a) (c) (e) (f) (g) (h) (i) x + a dx (2x 3) 0 dx 3 3xdx 2 5x dx dx (5x 2) x + x 2 dx x e x + e 2x dx (x + 4) 202 dx cos(2x + 7)dx (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) 2 2x dx (2x ) 7 dx sin(7x 3)dx (9 + x 2 ) 2 dx 3x + 2dx sin( 2x + 8)dx e πx 3 dx 2 3x 5 dx (j) e 8x 3 dx (s) ( x) 200 dx 0. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki a következő 4

18 függvények primitív függvényeit. (a) cos( x)dx e 3x dx (k) (l) sin(x) (3 + cos(x)) 2 dx sin(x) cos 3 (x) dx (c) 2x + dx (e) (f) (g) (h) x + 3xdx x 2 x + dx x 2 3x dx sin 3 (x)dx x 3 x dx (i) cos(x) sin 3 (x) dx (j) cos(2x) 4 sin(2x)dx (m) (n) (o) (p) sin( x + ) dx x + x κ sin(x κ )dx x 5 x 6 dx x 4 + xdx (q) (x 2 + ) 3 dx (r) (s) x 2 3 (8x ) 2 dx sin(x) + cos(x) 3 sin(x) cos(x) dx 5

19 . A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki a következő függvények primitív függvényeit. (a) e sin(x) cos(x)dx, (3x 2 + 2) sin(x 2 + 2x 4)dx, (e) (f) ( ) x 2 sin dx, x x(x + ) dx, (c) e 2x + e x dx, x 2 dx, (α 0) + α2 (g) (h) e x dx, + e x + e 2x dx, 2. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki a következő függvények primitív függvényeit. (a) α 2 β 2 x 2 dx, (e) x 2 dx, α 2 + β 2 x 2 dx, (f) 4x 2 4 dx (c) β 2 x 2 α 2 dx (g) x 2 dx, 9 6x 2 dx, (h) + x 2 dx, 6

20 (i) x 2 dx (m) 36 49x 2 dx, (j) α 2 β 2 x 2 dx, (k) α 2 + β 2 x 2 dx, (l) β 2 x 2 α 2 dx (n) (o) + 9x 2 dx, 69x 2 4dx 3. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki a következő függvények primitív függvényeit. (a) (7x + 5) 0 dx e 4x 9 dx (g) (h) ( 2x + 8) 7 dx e 3x+7 dx (c) 0x 4 dx cos(8x + 7)dx (i) (j) (8x 3) 3 dx (x 2) 0 dx (e) (f) dx ( 0x + 7) 0 5x 7 dx (k) (l) (x + 5) 3 dx (2x ) 7 dx 7

21 (m) sin(7x 3)dx (r) x cos(x 2 )dx (n) (o) (p) (q) e 3x 2 dx cos( x)dx 7x + 5 dx 2x + x 2 dx (s) (t) (u) 4x 2x 2 + dx sin( x) dx x 2xe x2 5 dx 4. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki a következő függvények primitív függvényeit. (a) 2x sin( x 2 )dx (f) x 3 3 x dx (c) (e) cos(x) + sin(x) dx 5x x 2 dx x 3 x dx x( + x) dx (g) (h) (i) ( + sin(x)) 7 cos(x)dx sin(ln(x)) dx x e 2x e 2x + dx 8

22 (j) xe x2 dx (r) (3x + 2) 4x + dx (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) x sin(x 2 3)dx x 3 x 4 + dx 5x 3 x 3 dx cos(x) (5 + sin(x)) 2 dx x 4 ( + x 5 ) 3 dx x + x ln 2 (x) dx e x cos(e x )dx (s) (t) (u) (v) (w) (x) 2x 5 3x + dx sin ( 5x + 3 ) dx 7 x + x 2 dx 2e 2x + 3e x e 2x + dx 5e 2x 8e x 2e 2x + 9e x 5 dx cosh( x) dx x 5. Határozzuk meg az alábbi függvények primitív függvényeit, a helyettesítéses integrálás tételének segítségével. (a) e 2x 4 dx e x 9 dx ex+3 9

23 (c) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) x 3 x 2 + dx x 2 x 2 dx 2x x 2 x 7 dx x x 2 2x + 7 dx 4x 2 x 3 dx 3x 2 x 3 6 dx 8x x 2 4 dx x 2 x dx sinh(x) cosh(x) dx sinh(x) cosh(x)dx sin(2x) cos(2x)dx (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) (w) sinh(3x) cosh(3x)dx sin 4 (x) cos(x)dx sinh 3 (x) cosh(x)dx x 3 x 4 + dx x( + x) 2 dx 5x x 2 dx x 3 x dx 5x 2 x 3 dx cos(x) (5 + sin(x)) 2 dx (x 2 + 2x)(x 3 + 3x 2 4) 4 dx 20

24 6. A helyettesítéses integrálás tételének segítségével határozzuk meg a következő függvények primitív függvényeit. (a) (x 3 + 2) cos(x 4 + 8x)dx (i) 27x 2 cos(9x 3 + 2)dx 2 sin(x) sin(cos(x))dx (j) x 2x + 2 dx (c) (e) (f) ( 6x 3 6) sin(2x 4 +4x 2 )dx 9 2 x2 sin( 3x 3 9)dx 3 cos(x) cos(sin(x))dx ( x 4 2x 3 ) 7 ( 4x 3 6x 2 )dx (k) (l) (m) (n) (o) x 2x + 3dx x 4x + dx x 2 3 2x 2dx x 2 3 3x 2dx x 0x 0dx (g) 6x(8x 2 + 4)dx (p) x 5x + 2dx (h) 28x 3 cos(7x 4 + 5)dx (q) x 3 (x 2 + ) 99 dx 2

25 (r) (s) (t) x 3 ( 2x 2 5)dx x ( x 2 3) 2 dx x 5 (x 2 5) 45 dx (u) (v) x 3 ( 2x 2 dx ) 3 x 3 dx (3 3x) 40 22

26 2. fejezet Riemann-integrál Elméleti áttekintés Legyen [a, b] R egy zárt intervallum és f : [a, b] R egy korlátos függvény. 2.. Definíció. Legyen n N. A P = {x i a = x 0 < x <... < x i <... < x n = b} halmazt az [a, b] intervallum egy felosztásának nevezzük. Az x i pontokat a P felosztás osztópontjainak hívjuk, míg az [x i, x i ], i =,..., n intervallumokat a felosztás részintervallumainak mondjuk. Továbbá, a x i = x i x i (i =,..., n) jelölés bevezetése mellett a P = sup { x i i =,..., n} számot a felosztás finomságának nevezzük Definíció. Felosztások egy (P k ) k N sorozatát normális felosztásszorozatnak mondjuk, hogy lim k P k = 0. 23

27 2.3. Definíció. Legyen P, illetve P 2 az [a, b] intervallum felosztásai. Abban az esetben, ha P P 2 teljesül, azt mondjuk, hogy a P 2 felosztás finomítása a P felosztásnak Definíció. Legyen P az [a, b] intervallum egy felosztása és M i = sup f (x) és M i = inf f (x) (i =,..., n). x [x i,x i ] x [x i,x i ] 2.. Megjegyzés. Az f függvény korlátossága miatt minden i =,..., n esetén léteznek és végesek Definíció. A fenti jelölések megtartása mellett legyenek σ( f, P) = n m i i Σ( f, P) = i= n M i i és O( f, P) = i= n (M i m i ) i. Ezeket a mennyiségeket rendre az f függvény P felosztásához tartozó alsó, felső, illetve oszcillációs összegének nevezzük Definíció. Továbbá, ha minden i =,..., n esetén ξ i [x i, x i ], akkor az I( f, P) = n f (ξ i ) x i i= számot az f függvény P felosztásához és a ξ,..., ξ n pontokhoz tartozó integrálközelítő összegének mondjuk Definíció. Legyen f : [a, b] R egy korlátos függvény. Ekkor az illetve az I( f ) = sup {σ( f, P) P az [a, b] felosztása}, I( f ) = inf {σ( f, P) P az [a, b] felosztása}, számokat az f függvény [a, b] intervallum feletti alsó, illetve felső Darboux-integráljának nevezzük. 24 i=

28 2.8. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : [a, b] R függvény Riemann-integrálható, ha I( f ) = I( f ) teljesül. Ezt a közös értéket az f függvény [a, b] intervallum feletti Riemannintegráljának mondjuk és rá az b a f (x)dx jelölést használjuk Megjegyzés (A Riemann-integrál geometriai jelentése). Az b a f (x)dx Riemann-integrál annak a tartománynak az előjeles területe, melyet az y = f (x) görbe, az x-tengely, valamint az x = a és y = b egyenletű egyenes határol. f a b 2.. Tétel (Riemann-integrál és műveletek). Legyenek f, g: [a, b] R Riemann-integrálható függvények, λ R. Ekkor az f + g függvény is Riemann-integrálható és b b ( f + g)(x)dx = a a b f (x)dx + a g(x)dx; 25

29 a λ f függvény is Riemann-integrálható és b a b (λ f )(x)dx = λ a f (x)dx; ha minden x [a, b] esetén f (x) g(x) teljesül, akkor b a b f (x)dx g(x)dx; a ha [c, d] [a, b], akkor az f függvény Riemann-integrálható a [c, d] intervallumon is; ha c ]a, b[, akkor b ha K 0 olyan, hogy a f (x)dx = c a b f (x)dx + c f (x)dx; f (x) K (x [a, b]), akkor b a f (x)dx K(b a) Tétel (Newton Leibniz). Legyen f : [a, b] R egy folytonos függvény és jelölje F : [a, b] R az f függvény egy primitív függvényét. Ekkor b a f (x)dx = [F(x)] b a = F F(a). 26

30 2.3. Tétel (Helyettesítéses integrálás tétele). Legyen ϕ: [a, b] [A, B] egy o- lyan szigorúan monoton növekedő, folytonosan differenciálható függvény, melyre ϕ(a) = A és ϕ = B. Ha az f : [ϕ(a), ϕ] R függvény folytonos, akkor ϕ ϕ(a) f (x)dx = b a f (ϕ(t)) ϕ (t)dt Tétel (Parciális integrálás tétele). Legyenek f, g: [a, b] R olyan differenciálható függvények, melyek deriváltjai Riemann-integrálhatóak. Ekkor b a f (x)g (x)dx = [ f (x)g(x) ] b b a a f (x)g(x)dx. Legyenek ϕ, ψ: [a, b] R olyan folytonos függvények, melyekre ϕ(x) ψ(x) (x [a, b]) teljesül és jelölje S annak a síkidomnak a területét, melyet az y = ϕ(x), y = ψ(x) görbék valamint az x = a és x = b egyenesek határolnak. ψ ϕ a b Legyen ϕ: [a, b] R egy folytonosan differenciálható függvény, ekkor a ϕ függvény által meghatározott görbedarab ívhossza, b L(ϕ) = + (ϕ (x)) 2 dx. a 27

31 ϕ a b Legyen ϕ: [a, b] R egy folytonos függvény és forgassuk meg az x tengely körül az a x b 0 y ϕ(x) tartományt. A forgás során súrolt pontok egy S forgástestet alkotnak, melynek térfogata V(S ) = π b a ϕ 2 (x)dx. ϕ a b 2.9. Definíció. Legyen a valós, b pedig bővített valós szám, úgy, hogy a < b teljesül. Legyen továbbá f : [a, b[ R egy olyan függvény, mely minden x [a, b[ 28

32 esetén Riemann-integrálható az [a, x] intervallumon. Értelmezzük az F : [a, b[ R függvényt az F(x) = x a f (t)dt (x [a, b[) formulával. Ha az F függvénynek a b pontban létezik és véges a baloldali határértéke, akkor azt mondjuk, hogy az esetben b a f (x)dx improprius integrál konvergens és ebben az b a f (x)dx = lim x b F(x) Definíció. Legyen a bővített valós, b pedig valós szám, úgy, hogy a < b teljesül. Legyen továbbá f : ]a, b] R egy olyan függvény, mely minden x ]a, b] esetén Riemann-integrálható az [x, b] intervallumon. Értelmezzük az F : ]a, b] R függvényt az formulával. F(x) = b x f (t)dt (x ]a, b]) Ha az F függvénynek az a pontban létezik és véges a jobboldali határértéke, akkor azt mondjuk, hogy az f (x)dx improprius integrál konvergens és ebben az esetben b a b a f (x)dx = lim x a+ F(x). 2.. Definíció. Legyenek a, b bővített valós számok úgy, hogy a < b. Legyen továbbá f : ]a, b[ R egy olyan függvény, mely az ]a, b[ intervallum minden zárt részintervallumán Riemann-integrálható. Tegyük fel, hogy van olyan c ]a, b[, mely esetén az c a f (x)dx és az 29 b c f (x)dx

33 improprius integrálok konvergensek. b a f (x)dx improprius integrál is konvergens és Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az b a f (x)dx = c a b f (x)dx + c f (x)dx. Feladatok Riemann-integrál. A Newton Leibniz-formula felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemannintegrálokat. (a) 4 2 x 3 dx, (e) x dx, 7 2 xdx, (f) x dx, (c) 2 4 x 2 dx, (g) x 3 dx, x dx, (h) 2 2 x 3 dx, 30

34 2. A Newton Leibniz-formula felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemannintegrálokat. (a) (c) π/4 0 2π 0 π/3 0 sin(x)dx, cos(x)dx, sin(3x)dx, (e) 2 sin 2 (x) dx, 4 2 e x dx 3. A Newton Leibniz-formula felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemannintegrálokat. (a) 6 3 x dx, (c) 4 sinh(x)dx, x 2 dx, 3 2 cosh(x) dx, 2 4. A parciális integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemannintegrálokat. 3

35 (a) (g) 2 xe x dx, π 3 x 2 cos(x)dx, 0 e 2x cos(x)dx, 0 π 3 (e) (h) 3 2 x 2 e 2x dx, e2 e x 2 ln(x)dx 4 2 x sinh(x)dx, (c) (f) (i) π 4 π 4 x sin(x)dx, 2 e x sin(x)dx, 0 x 2 cosh(x)dx, 5. A helyettesítéses integrálás tételének felhasználásával számítsuk ki az alábbi Riemann-integrálokat. (a) 2 (3x + 4) 3 dx, 2 e 3x e 3x + dx, 3 2 (2x + ) 4 dx, (e) 0 3 dx, ex+ (c) 3 x 2 x 3 2 dx, (f) 4 x 5x 4 dx, 2 32

36 (g) 2 2x 2 + x 2 dx, (h) 4 3x 2 x 2 dx, Számítsuk ki az alábbi Riemann-integrálokat. (a) 3 0 sign(x x 3 )dx 2 0 e [x] dx (e) π 0 0 xsign(cos(x))dx sign (sin(ln(x))) dx (c) 6 0 [x] sin ( πx ) dx 6 (f) n+ ln ([x]) dx ahol n N, n > rögzített és [x] jelöli az x valós szám egészrészét. 7. Legyen f : R R egy olyan folytonos függvény, melyre minden x R esetén x 0 f (t)dt = 2 + x2 + x sin(2x) + 2 cos(2x) teljesül. Határozzuk meg az f ( ) ( π 4 és az f π 4) értékeket. 8. Legyen f : R R egy folytonos függvény, melyre x c f (t)dt = cos(x) 2 (x R). Határozzuk meg a c konstans értékét és az f függvényt. 33

37 9. Legyen f : R R egy folytonos függvény, melyre x 0 f (t)dt = x t 2 f (t)dt + x6 8 + x8 + c (x R). 9 Határozzuk meg a c konstans értékét és az f függvényt. 0. Definiáljuk az f : R R függvényt az f (x) = 3 + képlettel, legyen továbbá x 0 + sin(t) 2 + t 2 dt (x R) p(x) = a + bx + cx 2. Határozzuk meg az a, b, c konstansokat, ha tudjuk, hogy p(0) = f (0) p (0) = f (0) p (0) = f (0).. Számítsuk ki az f (2) értéket, ha (a) x 0 x 2 0 f (t)dt = x 2 ( + x) f (t)dt = x 2 ( + x) (c) f (x) 0 x 2 (+x) 0 t 2 dt = x 2 ( + x) f (t)dt = x 2. Magyarázzuk meg, hogy az alábbi integrálok esetében az x változó megadott helyettesítése miért vezet hamis eredményre. 34

38 (a) dx t = x 2 3 (c) π 0 + sin 2 dx t = tg(x) (x) + x 2 dx x = t 3 0 x 3 x 2 dx x = sin(t) 3. Számítsuk ki az alábbi integrálokat. (a) 2 0 x 2 ha x [0, ] f (x)dx ahol f (x) = 2 x ha x ]0, 2] x ha x [0, t] f (x)dx ahol f (x) = t( x) 0 ha x ]t, ] t és t ]0, [ rögzített. 4. Számítsuk ki az alábbi, paramétertől függő integrálokat és ábrázoljuk az I(α) függvény, ha (a) I(α) = I(α) = π 0 0 x x α dx sin 2 (x) + 2α cos(x) + α 2 dx 5. Legyen a ]0, + [ rögzített és f : [ a, a] R egy folytonos függvény. Igazoljuk, hogy ha az f függvény páros, akkor a a f (x)dx = 2 35 a 0 f (x)dx,

39 ha az f függvény páratlan, akkor pedig a a f (x)dx = 0 teljesül. Adjunk geometriai magyarázatot ezekre az eredményekre. 6. Legyen f : [0, + [ R egy pozitív, folytonos függvény és Φ(x) = x 0 x 0 t f (t)dt f (t)dt (x ]0, + [). Igazoljuk, hogy az így megadott Φ: ]0, + [ R függvény monoton növekedő. 7. Legyen f : [a, b] R egy olyan függvény, melyre az f függvény Riemannintegrálható az [a, b] intervallumon. Igaz-e, hogy ekkor az f függvény is Riemann-integrálható az [a, b] intervallumon? Improprius integrálok. Vizsgáljuk meg, hogy konvergensek-e az alábbi improprius integrálok. (a) (c) x 2 dx, x dx, + x 2 dx, (e) (f) x 2 dx, x 2 dx, 3 x 4 dx, 36

40 (g) (h) (i) (j) (k) (l) x 3 dx, (x 2) 3 dx, 2 (x 3)(x + 4) dx, 5 (x )(x + 5) dx, (x + )(x 3) dx, + e x dx, (m) (n) (o) (p) (q) e 2x dx, e x dx, e x e 2x + dx, xe x dx, x ln(x) dx 2. Vizsgáljuk meg, hogy konvergensek-e az alábbi improprius integrálok. (a) x 2 dx, x 2 dx, 37

41 (c) 0 3 x dx, x dx, (e) x dx 2 3. Vizsgáljuk meg, hogy konvergensek-e az alábbi improprius integrálok. (a) x dx, (c) 2x x 2 dx, x dx, ln(x)dx, Döntsük el, hogy az alábbi improprius integrálok közül melyek konvergensek. (a) + 2 sin(x)dx (c) + 3 x + e x dx + 2 cos 2 (x) x 2 dx + 3 x e x dx 38

42 (e) + e x x dx (g) + 0 x 2 2 x dx (f) + e x2 dx (h) + e x x n dx (n N) 0 39

43 Területszámítás. Határozzuk meg az y = x függvény és az x-tengely által határolt területet az a = 0-tól a b = 6 abszcisszájú pontig. 2. Határozzuk meg az y = függvény görbéje, az x-tengely és az a = 0, x2 b = 0, 5 abszcisszájú pontokhoz tartozó ordinátatengelyek által meghatározott síkrész területét. 3. Határozzuk meg az y = függvény görbéje és az x-tengely közé eső x területet a következő intervallumok felett: (a) [0, a], ahol a > 0 adott; [a, + [, ahol a > 0 adott; (c) [3, 0] [ 2, ]. 40

44 4. Határozzuk meg az y = x 2 függvény görbéje és az y = x + 2 egyenes által határolt területrészt. 5. Határozzuk meg az y = sin(x) függvény görbéje és az x-tengely által határolt területet a (a) [0, π]; [0, 2π]; intervallumok felett. 4

45 6. Határozzuk meg az y = x 2 és az y 2 = x görbék által határolt területet. 7. Számítsuk ki az origó középpontú r > 0 sugarú körlap területét. 42

46 8. Legyenek a, b > 0 adottak. Határozzuk meg az a kistengelyű és b nagytengelyű ellpiszis területét. 9. Legyen a > 0 adott. Határozzuk meg az x 3 + y 3 3axy = 0 egyenletű, ún. Descartes-féle levél által határolt korlátos tartomány területét. 0. Határozzuk meg az x = egyenletű egyenes és az 2 x 3 + (x )y 2 = 0 egyenletű cisszoid által határolt korlátos tartomány területét. 43

47 . Határozzuk meg az alábbi görbékkel határolt síkidom területét. (a) (c) (e) x = 2x x 2, x + y = 0 y = 2 x, y = 2, x = 0 (f) y = ln(x), y = 0, x = 0, x = 0 y = x, y = x+sin 2 (x) y = a 3 a 2 + x 2, y = 0 (x [0, π]) y = (x + ) 2, x = sin(πy), y = 0 (g) y 2 = x 2 ( a 2 x 2) 2. Számítsuk ki az alábbi görbék ívhosszát. (a) (c) y = x 3 (x [0, 4]) ( x y = a cosh a) (x [0, a]) y 2 = 2px (x [0, x 0 ]) y = e x (x [0, x 0 ]) 44

48 (e) (f) x = y2 4 ln(y) 2 ( a 2 ) y = a ln a 2 x 2 (y [, e]) (x [0, a/2]) (g) y = ln (cos(x)) ( [ x 0, π ]) 4 45

49 3. fejezet Többváltozós függvények Elméleti áttekintés Többváltozós függvények folytonossága 3.. Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres halmaz, f : D R m függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény folytonos az x 0 D pontban, ha bármely ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x D olyan, hogy x x 0 R n < δ, akkor f (x) f (x 0 ) R m < ε. Ha az f függvény a D halmaz minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény folytonos a D halmazon. 3.. Tétel (Átviteli elv). Legyenek n, m N, D R n nemüres halmaz, f : D R m. Az f függvény akkor és csakis akkor folytonos az x 0 D pontban, ha tetszőleges (x n ) n N D halmazbeli elemekből álló, x 0 -hoz konvergáló sorozat esetén az ( f (x n )) n N sorozat f (x 0 )-hoz konvergál. 3.. Megjegyzés. Legyen D R n nemüres halmaz, f : D R m. Az f függvény akkor és csakis akkor nem folytonos az x 0 D pontban, ha van olyan (x n ) n N D halmazbeli elemekből álló, x 0 -hoz konvergáló sorozat, melyre az ( f (x n )) n N sorozat nem f (x 0 )-hoz konvergál. 46

50 3.2. Tétel. Legyenek n, m N, D R n nemüres halmaz. Ha az f, g : D R m függvények folytonosak az x 0 D pontban, akkor (i) az f + g függvény is folytonos az x 0 pontban; (ii) tetszőleges λ R esetén a λ f függvény is folytonos az x 0 pontban; 3.3. Tétel (Az összetett függvény folytonossága). Legyenek n, m, k N, D R n nemüres halmaz és legyenek f : D R m és g : f (D) R m R k adott függvények. Ha az f függvény folytonos az x 0 D pontban, a g pedig az f (x 0 ) f (D) pontban, akkor a g f : D R k függvény folytonos az x 0 pontban. Többváltozós függvények határértéke 3.2. Definíció. Legyenek n, m N, D R n, f : D R m, x 0 D és α R m. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 pontban a határértéke α, ha tetszőleges ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x D és x x 0 R n < δ, akkor f (x) α R m < ε. Erre a lim x x0 f (x) = α jelölést alkalmazzuk Tétel (Átviteli elv). Legyenek n, m N, D R n, f : D R m, illetve x 0 D és α R m. Ekkor lim x x0 f (x) = α pontosan akkor teljesül, ha tetszőleges (x n ) n N D beli, x 0 hoz konvergáló sorozat esetén lim n f (x n ) = α teljesül Tétel (Határérték és műveletek). Legyenek n, m N, D R n, x 0 D f, g : D R m, illetve α, β R m. Ha az f és g függvényeknek létezik a határértéke az x 0 pontban és lim f (x) = α és lim g(x) = β, x x 0 x x0 akkor (i) az f + g függvénynek is létezik az x 0 pontban a határértéke lim ( f (x) + g(x)) = α + β; x x 0 (ii) tetszőleges λ R esetén a λ f függvénynek is létezik az x 0 pontban a határértéke és lim x x 0 λ f (x) = λ α. 47

51 3.6. Tétel (Határérték és folytonosság). Legyenek n, m N, D R n, f : D R m és x 0 D. Ekkor az f függvény pontosan akkor folytonos az x 0 pontban, ha létezik a lim x x0 f (x) határérték, és Feladatok lim f (x) = f (x 0 ). x x 0. Vizsgáljuk meg az alábbi függvényeket folytonosság szempontjából. (a) f (x, y) = x 2 + y 2 ( (x, y) R 2 ) f (x, y) = x 2 y 2 ( (x, y) R 2 ) (c) f (x, y) = xy (x, y [0, + [) (e) (f) ( ) (x 2 + y 2 ) sin ((x, y) (0, 0)) f (x, y) = x 2 +y 2 0 ((x, y) = (0, 0)) x sin ( ( f (x, y) = y) + y sin x), (x, y) R 2, xy 0 0, xy = 0 y x f (x, y) = 0 y < x (g) f (x, y) = sign(x 2 + y 2 ) ( (x, y) R 2 ) 48

52 (h) (i) f (x, y, z) = x + 2y + z f (x, y) = x 2 e (x2 y) ( (x, y, z) R 3 ) ( (x, y) R 2 ) (j) (k) sin ( ) xy xy 0 f (x, y) = 0 xy = 0 f (x, y) = ln ( x 2 y 2) ( (x, y) R 2, x 2 + y 2 < ) (l) f (x, y) = xy (x, y [0, + [) (m) (n) (o) (p) xy (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 2 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) x 2 y (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 4 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) xy x2 y 2 (x, y) 0 f (x, y) = x 2 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) xyz (x, y, z) (0, 0, 0) f (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 0 (x, y, z) = (0, 0, 0) 2. Vizsgáljuk meg, hogy léteznek-e a következő határértékek, amennyiben igen, számítsuk ki őket. 49

53 (a) (c) (e) (f) lim (x,y) (5,) xy x 2 + y 2 lim (x,y,z) (2,, ) 3x2 z+xy cos(πx πz) lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) xy 2 x 2 + y 4 xy x + y ( ) lim (x,y) (0,0) (x2 + y 2 ) cos x 2 + y 2 lim x 2 + y 2 sin (x,y) (0,0) x 2 + y 2 (g) (h) (i) (j) (k) (l) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 x 2 y 2 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 sin(xy) lim (x,y) (0,α) x lim x + y + lim x + y + lim x + y + ( ) πx sin 2x + y x 2 + y 2 x 4 + y 4 x + y x 2 xy + y 2 50

54 4. fejezet Többváltozós függvények differenciálszámítása Elméleti áttekintés Fréchet-differenciálhatóság 4.. Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény Fréchet-differenciálható az x 0 D pontban, ha létezik egy olyan A L(R n, R m ) lineáris leképezés, hogy f (x) f (x 0 ) A(x x 0 ) lim R m x x 0 x x 0 R n teljesül. Ebben az esetben az A lineáris leképezést az f függvény x 0 pontbeli differeciálhányadosának nevezzük és rá a továbbiakban az f (x 0 ) jelölést használjuk. 4.. Tétel (Differenciálhatóság = folytonosság). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Ha az f függvény Fréchet-differenciálható az x 0 D pontban, akkor f folytonos az x 0 D pontban. = 0 5

55 4.. Megjegyzés. Az előző tétel megfordítása nem igaz, hiszen az xy, ha (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 2 + y2 0, ha (x, y) = (0, 0) módon megadott f : R 2 R függvény folytonos a (0, 0) pontban, azonban ebben a pontban nem differenciálható. Iránymenti és parciális differenciálhatóság 4.2. Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, x 0 D f : D R m függvény és v R n. Ha létezik a f (x 0 + tv) f (x 0 ) lim t 0 t határérték, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x 0 pontban a v irány mentén differenciálható. Ebben az esetben a fenti határértékre a D v f (x 0 ) jelölést alkalmazzuk Tétel (Differenciálhatóság = iránymenti differenciálhatóság). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Ha az f függvény az x 0 pontban (totálisan) differenciálható, akkor ebben a pontban tetszőleges v R n irány mentén is differenciálható és teljesül. D v f (x 0 ) = f (x 0 ) v 4.3. Definíció. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Legyen továbbá minden i =,..., n esetén e i = (0,..., 0, i, 0,..., 0). Ha létezik a D ei f (x 0 ) iránymenti derivált, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x 0 pontban az i-edik változója szerint parciálisan differenciálható az x 0 D pontban. Ebben az esetben a D ei f (x 0 ) jelölés helyett általában a f x i (x 0 ) jelölést fogjuk használni. 52

56 4.3. Tétel (Fréchet-differenciálhatóság = parciális differenciálhatóság). Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Ha az f függvény az x 0 D pontban (totálisan) differenciálható, akkor az f függvény ebben a pontban mindegyik változója szerint parciálisan is differenciálható és f (x 0 ) = f f (x 0 )... (x 0 ) x x n..... f m f m (x 0 )... (x 0 ) x x n 4.4. Tétel. Legyenek n, m N, D R n nemüres, nyílt halmaz, f : D R m függvény. Ha az f függvény az x 0 D pont egy környezetében mindegyik változója szerint parciálisan differenciálható és ezek a parciális deriváltak folytonosak az x 0 D pontban, akkor az f függvény az x 0 D pontban differenciálható Tétel (Differenciálhatóság és műveletek). Legyenek n, m N, λ R D R n nemüres, nyílt halmaz, x 0 D. Ha az f, g: D R m függvények differenciálhatóak az x 0 D pontban, akkor az f + g függvény is differenciálható az x 0 pontban és ( f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ); a λ f függvény is differenciálható az x 0 pontban és (λ f ) (x 0 ) = λ f (x 0 ) Tétel (Az összetett függvény differenciálási szabálya). Legyenek n, m, k N, D R n nemüres, nyílt halmaz, x 0 D, f : D R m és g: f (D) R k függvények. Ha az f függvény differenciálható az x 0 D pontban, a g függvény pedig az f (x 0 ) f (D) pontban, akkor a g f függvény differenciálható az x 0 pontban és (g f ) (x 0 ) = g ( f (x 0 )) f (x 0 ).. 53

57 Lokális szélsőértékszámítás 4.4. Definíció. Legyen D R n egy halmaz, x 0 a D halmaz egy pontja, f : D R pedig egy függvény. Akkor mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 pontban lokális minimuma (maximuma) van, ha van az x 0 -nak olyan környezete, melynek D-beli x pontjaiban f (x) f (x 0 ) ( f (x) f (x 0 )) teljesül. Más szóval, létezik olyan δ > 0, hogy ha x a D halmaz olyan pontja, melyre fennáll az x x 0 < δ egyenlőtlenség, akkor f (x) f (x 0 ), illetve f (x) f (x 0 ) teljesül. Ha itt x x 0 esetén szigorú egyenlőtlenség teljesül, akkor szigorú minimumról, illetve szigorú maximumról beszélünk. A lokális jelzőt globális váltja fel, ha ezek a feltételek bármely δ > 0 esetén, azaz, a D halmaz minden x pontjában teljesülnek. A lokális (globális) minimumhelyet és maximumhelyet közösen szélsőértékhelynek nevezzük, magát az f (x 0 ) függvényértéket pedig a megfelelő szélsőérték értékének mondjuk Tétel. Legyen D R n egy halmaz, x 0 a D halmaz egy belső pontja, f : D R pedig egy x 0 -ban parciálisan differenciálható függvény. Ha az f függvénynek az x 0 pontban lokális szélsőértéke van, akkor f (x 0 ) = Definíció. Legyen D R n egy halmaz, x 0 a D halmaz egy belső pontja, f : D R pedig egy x 0 -ban parciálisan differenciálható függvény. Ha az x 0 pontban az f függvény összes parciális deriváltja nulla, akkor az x 0 pontot az f függvény stacionárius pontjának nevezzük Megjegyzés. A fenti tétel feltételei mellett tehát az f függvénynek csak stacionárius pontokban lehet lokális szélsőértéke Tétel. Legyen D R n nyílt halmaz, f : D R egy C 2 (D)-osztályú függvény, s a D-beli x 0 pont legyen az f stacionárius pontja. Ha az 2 f 2 f x 2 (x 0 )... x f x n (x 0 ) = f 2 f... x n x 54 x 2 n

58 mátrix pozitív definit, akkor az f függvénynek az x 0 pontban lokális minimuma van; negatív definit, akkor az f függvénynek az x 0 pontban lokális maximuma van; indefinit, akkor az f függvénynek az x 0 pontban nincs lokális szélsőértéke. 55

59 Feladatok. Számítsuk ki a következő függvények elsőrendű parciális deriváltjait. (a) (c) (e) (f) (g) (h) (i) (j) f (x, y) = x 3 2x 2 y 2 + 4xy 3 + y f (x, y) = x y 0 f (x, y, z) = x 2 y 0y 2 z x 7tg(4y) f (x, y) = x 7 ln(y 2 ) + 9 y x f (x, y) = (x 2 + y 2 )e xy f (x, y, z) = x yz f (x, y) = e xy ln( + y) f (x, y, z) = e x+yz f (x, y) = ln(xy 2 ) f (x, y) = tg 2 (x + y) (k) f (x, y) = x 2 + ln(5x 3y 2 ) 56

60 (l) (m) (n) (o) (p) (q) f (x, y) = cos(x 2 + 2xy) + sin(y 2 4x + y) f (x, y) = ln( + y) + xy f (x, y) = + xy f (x, y) = x x 2 + y 2 f (x, y, z) = z 3 + 5xyz 2xy 2xz f (x, y) = x 2 e y + y 2 e x + e xy (r) (s) f (x, y) = 9x x 3 + 5y f (x, y, z) = x sin(y) z 2 2. Számítsuk ki az alábbi függvények másodrendű parciális deriváltjait. (a) (c) f (x, y) = xe x2 y 2 f (x, y) = a+bx+cy+dx 2 +exy+ f y 2 (e) (f) f (x, y, z) = z 3 +5xyz 2xy 2x 2 z 3 + f (x, y) = cos(2x) x 2 e 5y + 3y 2 f (x, y, z) = z 3 y 2 ln(x) f (x, y, z) = e xy+z 57

61 (g) (h) f (x, y) = cos ( ) x y f (x, y, z) = e x+y+z (i) (j) f (x, y, z) = e xyz f (x, y) = ln(xy) 3. Állítsuk elő a megadott parciális deriváltakat. (a) 4 f (x, y), x4 4 f x 2 y 2 (x, y), 4 f y 4 (x, y), ha f (x, y) = x y + x 2 + 2xy + y 2 + x 3 3x 2 y y 3 + x 4 4x 2 y 2 + y 4 (c) (e) (f) 3 f x 2 (x, y) ha f (x, y) = x ln(xy) y 6 f x 3 y 3 (x, y) ha f (x, y) = x3 sin(y) + y 3 sin(x) 3 ( ) f x + y + z xyz (x, y, z) ha f (x, y, z) = arctg x y z xy xz yz 3 f (x, y, z) ha f (x, y, z) = exyz x y z 4 f (x, y, ξ, η) ha f (x, y, ξ, η) = ln x y ξ η (x ξ) 2 + (y η) 2 58

62 (g) (h) (i) (j) (k) m+n f x m y n (x, y) ha f (x, y) = (x x 0) m (y y 0 ) n m+n f x y x m (x, y) ha f (x, y) = yn x + y m+n f x m y n (x, y) ha f (x, y) = (x2 + y 2 )e x+y m+n+k f x m y n (x, y, z) ha f (x, y, z) = xyzex+y+z zk 3 f (x, y, z) ha f (x, y, z) = xyz x y z (l) 6 f x 3 y 3 (x, y), 6 f (x, y), x y5 6 f x 5 (x, y), y 6 f x 2 (x, y) y4 ha f (x, y) = cos(x) cosh(y) (m) n+m+k f x m y n (x, y, z) ha f (x, y, z) = eαx+βy+γz zk 4. Határozzuk meg az f függvény x 0 pontbeli v iránymenti deriváltját, ha (a) f (x, y) = x + y, x 0 = (0, 0), v = (, 0) f (x, y) = x + y, x 0 = (0, 0), v = (0, ) 59

63 (c) f (x, y) = xy, x 0 = (0, 0), v = (, 0) f (x, y) = x 3 y 5, x 0 = (0, 0), v = (0, ) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) f (x, y) = 3 xy, x 0 = (0, 0), v = (, 0) f (x, y) = 3 xy, x 0 = (0, 0), v = (0, ) f (x, y) = x cos(y), x 0 R 2 tetszőleges, v = (2, ) f (x, y, z) = x 2 + z + y 3 z 2 xyz, x 0 R 3 tetszőleges, v = (, 0, 3) f (x, y) = xe xy + y, x 0 = (2, 0), v = 3 2, 2 ( ) f (x, y) = x 2 y 2, x 0 = (, 2), v = 2, 2 f (x, y, z) = sin(x ( 2 ) + ze y, x 0 ) = (0, 0, ), v =, 6 2, 6 6 f (x, y, z) = ( e x yz, x 0 = (, ), ), v =, 3,

64 5. Mutassuk meg, hogy az u(x, t) = (x t) 2 2a πt e 4a 2 t (x R, t ]0, + [) módon megadott függvényre minden (x, t) R ]0, + [ esetén teljesül. u t (x, t) = a2 2 u (x, t) x2 6. Legyenek α, β, γ R és u(x, y, z) = (x α) 2 + (y β) 2 + (z γ) 2 ( (x, y, z) R 3 \ {(α, β, γ)} ). Mutassuk meg, hogy ekkor minden (x, y, z) (α, β, γ) esetén teljesül. 2 u x 2 (x, y, z) + 2 u y 2 (x, y, z) + 2 u (x, y, z) = 0 z2 7. Határozzuk meg a következő függvények stacionárius pontjait és osztályozzuk azokat. (a) f (x, y) = x 2 + (y ) 2 f (x, y) = x 2 xy + y 2 2x + y (e) f (x, y) = (x y + ) 2 f (x, y) = 2x 2 +y 2 2xy+4x 2y+5 (c) (f) f (x, y) = x 2 (y ) 2 f (x, y) = (x 2 6x)(y 2 4y) 6

65 (g) (h) (i) f (x, y) = (y 2 x 2 )(y 2 2x 2 ) f (x, y) = x(2y 3) (o) (p) (q) f (x, y) = x 2 + y 2 f (x, y) = xy ln(x 2 + y 2 ) f (x, y) = e x2 +y 2 (j) (k) f (x, y) = x 2 +2y 2 3x+0y+00 f (x, y) = x 3 + y 3 f (x, y) = x 3 + y 3 3xy (r) (s) f (x, y) = + x 2 + y 2 f (x, y) = (x 2 + y 2 )e (x2 +y 2 ) (l) (t) f (x, y) = x 3 3xy 2 3x 2 +3y 2 +4x+y f (x, y) = (x 2 + y 2 )e x2 y 2 (m) (u) f (x, y) = 2x 4 + y 4 x 2 2y 2 f (x, y) = ln(9 + x 2 + y 2 ) (n) (v) f (x, y) = x 4 +y 4 2x 2 y 2 26x 2 0y 2 f (x, y) = x + y + sin(x) + sin(y) 8. Határozzuk meg az alábbi függvények feltételes szélsőértékeit a megadott feltételek mellett. (a) f (x, y) = 5x 3y x 2 + y 2 = 36 62

66 (c) (e) (f) f (x, y) = xy x + y = f (x, y, z) = xyz x + y + z = f (x, y) = x 2 y 2 (x, y) { (u, v) [0, + [ u 2 + v 2 } f (x, y, z) = sin(x) sin(y) sin(z) x + y + z = π f (x, y, z) = 4xyz x 2 + 2y 2 + z 4 = 0 9. Határozzuk meg a z 2 xy = egyenletű felület azon pontját, mely a legközelebb van az origóhoz. 0. Határozzuk meg az y 2 = 4x görbe azon pontjait, melyek a legközelebb vannak a (0, ) koordinátájú ponthoz.. Legyen a R és n N. Bontsuk fel az a valós számot n tag szorzatára úgy, hogy a tagok reciprokösszege minimális legyen. 2. Legyen a R és n N. Bontsuk fel az a valós számot n tag összegére úgy, hogy a tagok négyzetösszege minimális legyen. 3. Legyen K > 0 adott. Határozzuk meg a K kerületű téglalapok közül azt, amely a legnagyobb területet határolja. 4. Egy felül nyitott téglatest alakú kád térfogata V > 0. Milyen méretek mellett lesz a kád felszíne minimális? 63

67 5. Egy félhenger alakú, felül nyitott kád felszíne S > 0. Milyen méretek mellett lesz a kád térfogata maximális? 6. Melyik az a téglalap, melynek kerülete K > 0 és amelyet valamelyik oldala mentén megforgatva a legnagyobb térfogatú fogástest keletkezik? 64

68 5. fejezet Riemann-integrál R n -ben Elméleti áttekintés Alapfogalmak 5.. Definíció. Legyen n N, ekkor a Q = [a, b ] [a n, b n ] R n halmazt n dimenziós téglának nevezzük. Ennek a téglának a mértékén a n V(Q) = (b i a i ) mennyiséget értjük. i= 5.2. Definíció. Legyen Q = [a, b ] [a n, b n ] egy tégla R n -ben. Azt mondjuk, hogy P = P P n felosztása a Q téglának, ha bármely j =,..., n esetén P j felosztása az [a j, b j ] intervallumnak. Ha rögzített j =,..., n esetén ( ) I ji = [x j,i, x j,i ] i =,..., k j jelöli az [a j, b j ] intervallumnak a P j felosztás által meghatározott részintervallumait, akkor a T i,...,i n = I, j I n, jn (i ν =,..., k ν, ν =,..., n) 65

69 téglákat a Q tégla P felosztás által meghatározott résztégláinak nevezzük, míg a P = sup diam ( ) T i,...,i n i,...,i n mennyiséget a P felosztás finomságának hívjuk Definíció. A fenti jelölések megtartása mellett legyenek P és R a Q tégla felosztásai. Azt mondjuk, hogy R finomítása P-nak, ha P Q teljesül. A P R halmazt pedig a P és R felosztások egyesítésének mondjuk. Ha (P k ) k N a Q tégla felosztásainak egy sorozata, akkor azt mondjuk, hogy ez a felosztássorozat normális, ha lim k P k = 0 teljesül Definíció. Legyen Q R n tégla, f : Q R korlátos függvény, P a Q tégla egy felosztása, míg T i,...,i n ezen felosztás résztéglái. Legyenek ebben az esetben M i,...,i n = sup { f (x) x T i,...,i n } és m i,...,i n = inf { f (x) x T i,...,i n } 5.5. Definíció. Az előző definíció feltételei és jelölései mellet a σ( f, P) = m i,...,i n V ( ) T i,...,i n, illetve Σ( f, P) = M i,...,i n V ( T i,...,i n ), ( f, P) = Σ( f, P) σ( f, P) mennyiségeket rendre az f függvény P felosztásához tartozó alsó, felső, illetve oszcillációs összegének nevezzük Definíció. Továbbá, ha ξ i,...,i n T i,...,i n, akkor az n I( f, P) = f (ξ i,...,i n )V ( ) T i,...,i n i= számot az f függvény P felosztásához és a ξ i,...,i n (i ν =,..., k ν, ν =,..., n) pontokhoz tartozó integrálközelítő összegének mondjuk. 66

70 5.7. Definíció. Legyen Q R n tégla és f : Q R egy korlátos függvény. Ekkor az I( f ) = sup {σ( f, P) P a Q tégla felosztása}, illetve az I( f ) = sup {σ( f, P) P a Q felosztása}, számokat az f függvény Q tégla feletti alsó, illetve felső Darboux-integráljának nevezzük Definíció. Legyen Q R n tégla, f : Q R korlátos függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény Riemann-integrálható, ha I( f ) = I( f ) teljesül. Ezt a közös értéket az f függvény Q tégla feletti Riemann-integráljának mondjuk és rá az f (x)dx jelölést használjuk. Riemann-integrál és műveletek Q 5.. Tétel (Riemann-integrál és műveletek). Legyen Q R n tégla és legyenek f, g: [a, b] R Riemann-integrálható függvények, λ R. Ekkor az f + g függvény is Riemann-integrálható és ( f + g)(x)dx = f (x)dx + Q a λ f függvény is Riemann-integrálható és (λ f )(x)dx = λ Q Q Q Q f (x)dx; g(x)dx; 67

71 ha minden x Q esetén f (x) g(x) teljesül, akkor f (x)dx g(x)dx; Q ha Q és Q 2 a Q tégla olyan résztéglái, melyekre Q Q 2 = Q és Q Q 2 =, akkor az f függvény Riemann-integrálható a Q és a Q 2 téglákon is és f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx; Q Q Q Tétel (Szukcesszív integrálás). Legyen n N, n 2, Q = n i= [a i, b i ] f : Q R egy Riemann-integrálható függvény, valamint tételezzük fel azt is, hogy az x n f (x, x 2,..., x n, x n ) függvény minden rögzített Q R n -beli (x, x 2,..., x n ) esetén Riemann-integrálható. Ekkor az Q f n (x, x 2,..., x n ) = bn a n f (x, x 2,..., x n, x n ) dx n módon megadott f n : R n R függvény Riemann-integrálható a Q n = n i= [a i, b i ] n -dimenziós téglán, és f n (x, x 2,..., x n )d(x, x 2,..., x n ) Q n = f (x, x 2,..., x n )d(x, x 2,..., x n ) Tétel (Fubini). Legyenek n, m N és A R n és B R m téglák, valamint Q = A B. Ha f : Q R Riemann-integrálható függvény, és az x f (x, y) függvény minden rögzített B-beli y mellett, valamint az y f (x, y) függvény minden rögzített A-beli x mellett Riemann-integrálható, akkor [ ] [ ] f (x, y)d(x, y) = f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx. Q B A Q A B 68

72 5.9. Definíció. Legyen K R n kompakt, Jordan-mérhető halmaz, Φ, Ψ: K R pedig olyan folytonos függvények, hogy Φ(x) Ψ(x) teljesül minden x K esetén. Ekkor a S = { (x, y) R n x K és Φ(x) y Ψ(x) } halmazt egyszerű tartománynak nevezzük Tétel (Fubini-tétel egyszerű tartománya). Legyen S R n egyszerű tartomány, f : S R pedig egy olyan függvény, mely Riemann-integrálható S -en, ekkor ( y=ψ(x) ) f (x, y)d(x, y) = f (x, y)dy dx S x K y=φ(x) 5.5. Tétel (Integráltranszformáció). Legyen f : R n R Riemann-integrálható függvény, E egy Jordan-mérhető tartomány az R n térben, Φ : E R n pedig olyan folytonosan differenciálható függvény, mely E belsejében kölcsönösen egyértelmű, s melynek J Φ = det(g ) Jacobi-determinánsa az E belsejében sehol sem nulla. Ekkor f (x)dx = ( f Φ)(t) J Φ (t) dt. Φ(E) E 5.0. Definíció. Legyen H R n korlátos halmaz. Ha az f (x) = (x R n ) függvény Riemann-integrálható a H halmazon, akkor azt mondjuk, hogy a H halmaz Jordan-mérhető, és ebben az esetben a µ J (H) = dx mennyiséget a H halmaz Jordan-mértékének nevezzük. H Feladatok. Számítsuk ki az alábbi tégla feletti integrálokat. 69

73 (a) (c) (e) (f) [,2] [,4] [0,] [0,] [0,ln(2)] [0,ln(3)] [0,α] [0,α] [0, π 2] [0, π 2] [0,] [0,] (3x + 5x 2 y)dxdy x 2 + ydxdy e 3x+4y dxdy e x y dxdy sin(x + y)dxdy x ydxdy (g) (h) (i) (j) (k) [0,] [0,2] [,2] [0,π/2] [0,] [0,] [0,] [0,π/4] [0,] [0,] [,0] (5x 2 z + yz 2 )dxdydz y cos(xy)dxdy xye x2 +y 2 dxdy xe xy dxdy y cos 2 (x)dxdy 2. Számítsuk ki a következő egyszerű tartományok feletti integrálokat. (a) 2xydxdy, S ahol S = { y = x 2, y = x } (3x 4 + 2y)dxdy, S ahol S = { y = x 2, y = 2x } 70

74 (c) (e) (f) (g) (h) (i) x 2 + y 2 dxdy, S ahol S = {y = x, y = x +, y = 0, y = 3} x 3 cos(xy)dxdy, S ahol S = { (x, y) x [0, 2], 0 y x 2} 2y cos(x)dxdy, S ahol S = { (x, y) y 3, π/6 x y 2} S 2y x + dxdy, ahol S = { (x, y) R 2 x 2, 0 y x e x2 dxdy, S ahol S = {y = x, y = 0, y = } e y x dxdy, S ahol S = {y = 2x, y = x, y = 4} x ydxdy, S ahol S = { y 2 = 3x, y 2 = 4 x, y = 0 } } 7

75 (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) sin(y) dxdy, S y ahol S = { (x, y) R 2 0 x, x y } S x sin(y)dxdy ahol S = { (x, y) R 2 x [0, π], 0 y x } S ex+y dxdy ahol S = { (x, y) R 2 x [, ln(8)], 0 y ln(x) } S dxdy ahol S = { (x, y) R 2 x [0, 2], 0 y e x} S dxdy ahol S = { (x, y) R 2 y [0, ], y x } S x y + dxdy ahol S = { (x, y) R 2 x [0, /2], /2 x y } S ydxdy ahol S = { (x, y) R 2 x [0, π], 0 y sin(x) } S xydxdy ahol S = { y = x 2 + 4, x = 3 (x), y = 0 } S x2 ydxdy ahol S = { y 2 = x, y = x 2} 72

76 (s) (t) (u) (v) (w) (x) x 2 S y 2 dxdy ahol S = {y = x }, y = x, x = 2 S dxdy ahol S = { y = x 2, y = 4 x 2} S 2xdxdy ahol S = { y 2 = x + 2, y = x, x = 2 } S 2xydxdy ahol S = { y = x 2, y = 2 + x } (x + 2y)dxdy S ahol S = { y = x, y = 2 x, x =, x = 4 } S x2 ydxdy ahol S = {y = x, y = x }, x =, x = 2 3. Határozzuk meg az alábbi görbékkel határolt tartomány Jordan-mértékét. (a) 2y = 6 x 2 x + 2y = 4 xy = x + y =

77 (c) (e) (f) (g) (h) (i) y = x y = 3x 8 y = 0 y 2 = 2x + y 2 = 4x + 4 x = y 3 x + y = 2 y = 0 y = sin(x) y = ( x π 2 ) 2 y = x y = 2 x xy = xy = 2 y 2 = 2px + p 2 y 2 = 2qx + q 2 x + y = x + y = 2 y = x 2 y = 3x 2 (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) x + y = x + y = 2 x 2 + y 2 = r 2 4x 2 + 9y 2 = 25, y = x 2 y = x = 0, y = 0, x + y = x = 0, y =, 2x + y = 5 y = 0, y = x 2, x = 2 y = x + 2, y = x 2 y =, y = e x, x = 74

78 ahol p, q és r adott pozitív valós számok. 75

79 6. fejezet Differenciálegyenletek Elméleti áttekintés y = f (x) alakú differenciálegyenletek 6.. Tétel. Legyen I R intervallum, f : I R folytonos függvény, ξ I, η R. Ekkor az { y = f (x) y(ξ) = η Cauchy feladat bármely ϕ : J R megoldása az y(x) = η + x ξ f (t)dt (x I) módon megadott y függvény leszűkítése, ha J I és ξ I. Szeparábilis differenciálegyenletek Legyenek I, J R valódi intervallumok, f : I R, g : J R folytonos függvények úgy, hogy g(x) 0 minden x J esetén. Az y = f (x)g(y) egyenletet szeparábilis differenciálegyenletnek nevezzük. 76

80 6.2. Tétel. Legyenek I, J R valódi intervallumok, ξ I, η J, f : I R, g : J R folytonos függvények úgy, hogy g(x) 0 minden x J esetén. A ϕ : H R függvény akkor és csakis akkor megoldása az (5) Cauchy feladatnak, ha { y = f (x)g(y) y(ξ) = η (6) ϕ(x) η x g(t) dt = f (s)ds (x H) ξ teljesül, feltéve, hogy ξ H I. Homogén differenciálegyenletek Legyen I R intervallum, f : I R, ekkor az ( y y = f x) differenciálegyenletet homogén differenciálegyenletnek nevezzük Tétel. Legyen I R intervallum, f : I R, ekkor a ϕ : I R függvény pontosan akkor megoldása az ( y y = f x) differenciálegyenletnek, ha az u(x) = ϕ(x) x módon definiált u függvény megoldása az szeparábilis differenciálegyenletnek. u = f (u) u x 77

81 y = f (ax + by + c) alakú differenciálegyenletek Legyenek a, b, c R, b 0 és tekintsük az differenciálegyenletet. Legyen Ekkor y = f (ax + by + c) u = ax + by + c. u = a + by, továbbá a fenti egyenlet az b u a b = f (u) alakra hozható, ami már egy szeparábilis differenciálegyenlet. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek Legyen I R intervallum, f, g : I R folytonos függvények. Ekkor az () y + f (x)y = g(x) egyenletet elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletnek nevezzük, ha g 0. Abban az esetben, amikor g 0, elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletről beszélünk Tétel (A homogén egyenlet megoldásai). Legyen I R intervallum, f : I R folytonos függvény. Ekkor a (2) y + f (x)y = 0 differenciálegyenlet bármely megoldása a ϕ(x) = c e F(x) (x I) 78

82 módon értelmezett ϕ : I R függvény leszűkítése, ahol c R egy tetszőleges konstans és F jelöli az f függvény egy primitív függvényét. Továbbá, ha ξ I és η R, akkor a ( x ) ψ(x) = η exp f (t)dt (x I) ξ módon megadott ψ : I R függvény az { y + f (x)y = 0 y(ξ) = η Cauchy feladatnak az egyértelmű, I n értelmezett megoldása Tétel (Az inhomogén egyenlet megoldásai). Legyen I R intervallum, f, g : I R folytonos függvények. Ekkor a (3) y + f (x)y = g(x) elsőrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenletnek az összes megoldása előáll ) ψ(x) = e (c F(x) + g(x)e F(x) dx alakban, ahol c R tetszőleges konstans és F jelöli az f függvény valamely primitív függvényét. Egzakt differenciálegyenletek Legyen D R 2 nemüres, nyílt, M, N : D R. Az (5) M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 differenciálegyenletet egzakt differenciálegyenletnek nevezzük, ha M(x, y) y = N(x, y) x ((x, y) D) teljesül. 79

83 Ha a differenciálegyenlet egzakt, akkor létezik olyan F : D R folytonosan differenciálható függvény melyet az M és N függvények közös potenciálfüggvényének szokás nevezni úgy, hogy F(x, y) x = M(x, y) és F(x, y) y = N(x, y) teljesül minden (x, y) D esetén. Ekkor a differenciálegyenlet általános megoldása F(x, y) = c, valamely c R esetén. Így, az egyenlet megoldásához elegendő meghatározni az F függvényt. Mivel F(x, y) = N(x, y), y ezért F(x, y) = N(x, y)dy + f (x), ahol f egy egyelőre ismeretlen (csak x től függő) függvény. Mivel ezért amiből Így F(x, y) = [ x f (x) = F(x, y) x = M(x, y), ] N(x, y)dy + f (x) = M(x, y), [ ( )] N(x, y) M(x, y) dy dx x [ ( )] N(x, y) N(x, y)dy + M(x, y) dy dx x 80

84 Konstansegyütthatós lineáris differenciálegyenletek 6.. Definíció. Legyen n N és a 0, a,..., a n R, ekkor a (K) y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = 0 egyenletet n edrendű konstansegyütthatós lineáris homogén differenciálegyenletnek nevezzük. A P(λ) = λ n + a n λ n + + a λ + a 0 (λ C) módon megadott polinomot a (K) egyenlet karakterisztikus polinomjának hívjuk Tétel. Legyen n N és a 0, a,..., a n R és jelölje P a (K) egyenlet karakterisztikus polinomját. Ha α,..., α k mult(α i ) = n i, i =,..., k a P páronként különböző valós, míg β + iγ,..., β m + iγ m mult(β j + iγ j ) = l j, j =,..., m a P páronként különböző komplex gyökei, akkor az e α x, xe α x,..., x n e α x e α 2x, xe α 2x,..., x n 2 e α 2x. e α k x, xe α k x,..., x n k e α k x e β x cos(γ x), e β x sin(γ x),... x l e β x cos(γ x), x l e β x sin(γ x) e β 2x cos(γ 2 x), e β 2x sin(γ 2 x),... x l 2 e β 2x cos(γ 2 x), x l 2 e β 2x sin(γ 2 x). e β mx cos(γ m x), e β mx sin(γ m x),..., x l m e β mx cos(γ m x), x l m e β mx sin(γ m x) függvények a (K) egyenlet alaprendszerét alkotják. 8

85 Feladatok Az y = f (x) alakú differenciálegyenletek. Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenletek, illetve Cauchy-feladatok megoldásait. (a) y = e 2x x; (c) y = 2 sin(x); y = 2x, y() = 4; y =, y() =. x + Szeparábilis differenciálegyenletek. Oldjuk meg a következő szeparábilis differenciálegyenleteket. (a) x 3 dx + (y + ) 2 dy = 0 (g) x(x )y + y(y ) = 0 4xy 2 dy 3y 3 dx = xy 3 dx + 2xdy (h) (c) (e) y ( 9 + 4x 2) y = y = 4y x(y 3) x 2 (y + )dx + y 2 (x )dy = 0 (i) (j) ( + x 3 )dy x 2 ydx = 0 e y x dx + e x y dy = 0 y( + x 2 )y + x y 2 = 0 (f) (k) ( + 2y)dx + (4 x 2 )dy = 0 2r cos(ϕ)dr tg(ϕ)dϕ = 0 82