Logika és számításelmélet. 10. előadás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Logika és számításelmélet. 10. előadás"

Átírás

1 Logika és számításelmélet 10. előadás

2 Rice tétel Rekurzíve felsorolható nyelvek tulajdonságai Tetszőleges P RE halmazt a rekurzívan felsorolható nyelvek egy tulajdonságának nevezzük. P triviális, ha P = vagy P = RE. L P = { M L(M) P}. Rice tétele Ha P RE egy nem triviális tulajdonság, akkor L P R.

3 Rice tétel Bizonyítás Bizonyítás: 1. eset P. Mivel tudjuk, hogy L u R, elég elátni, hogy L u L P. Mivel P nem triviális, ezért létezik L P. (L ). L RE, ezért van olyan M L TG, melyre L(M L ) = L. Egy tetszőleges M, w TG emenet pároshoz elkészítünk egy M (valójáan M M,w ) kétszalagos TG-t, mely egy x emenetén a következőképpen működik: 1. Bemenetétől függetlenül először szimulálja M-et w-n 2. Így, ha M nem áll meg w-n, M se áll meg semelyik inputján L(M ) =. 3. Ha M elutasítja w-t, akkor M q n -e lép és leáll (azaz nem fogadja el x-et L(M ) =. 4. Ha M elfogadja w-t, akkor M szimulálja M L -et x-en (azaz L(M ) = L).

4 Rice tétel Bizonyítás x w M M M L q n q n Összefoglalva M, w L u L(M ) = L L(M ) P M L P. M, w L u L(M ) = L(M ) P M L P. Azaz: M, w L u M L P, tehát L u L P és így L P R.

5 Rice tétel Bizonyítás 2. eset P. Alkalmazhatjuk az 1. eset eredményét P = RE \ P-re, hiszen ekkor P szintén nem triviális és P. Azt kapjuk, hogy L P R. L P R, hiszen ha R-eli lenne akkor a nem TG-kódokat elutasítva L P -t eldöntő TG-t kapnánk. L P R L P R (tétel volt).

6 Rice tétel Alkalmazások Következmények: Eldönthetetlen, hogy egy M TG az üres nyelvet ismeri-e fel. (P = { }) véges nyelvet ismer-e fel (P = {L L véges }) környezetfüggetlen nyelvet ismer-e fel (P = {L L környezetfüggetlen }) elfogadja-e az üres szót (P = {L RE ε L})...

7 Post Megfelelkezési Proléma Legyenek u 1,..., u n, v 1..., v n Σ + (n 1). A D = {d 1,..., d n } halmazt dominókészletnek nevezzük ha d i = u i v i (1 i n). A d i1 d im sorozat (m 1) a D egy megoldása, ha d i j D (1 j m) és u i1 u im = v i1 v im. Példa: Az { ca, a a, ca a, } ac c egy megoldása a ca a ac a ca a a c. Megjegyzés: Tehát a megoldáshoz a dominók töször felhasználhatók és nem kell mindet felhasználni. Post Megfelelkezési Proléma (PMP): L PMP = { D D-nek van megoldása}. Tétel L PMP RE. Bizonyítás: Ha D-t egy áécének tekintjük, akkor éppen a D feletti szavak a potenciális megoldások. Egy TG, mely ezen D feletti szavakat a hosszlexikografikus sorrenden sorra kipróálja és ha megoldást talál -en leáll éppen L PMP -t ismeri fel.

8 Post Megfelelkezési Proléma Tétel L PMP R. Bizonyítás: Definiáljuk a PMP egy módosított változatát, MPMP-t. Az MPMP proléma igen-példányai olyan (D, d) (dominókészlet,dominó) párok, melyre D-nek van d-vel kezdődő megoldása. L MPMP = { D, d d D D-nek van d-vel kezdődő megoldása}. Először megmutatjuk, hogy L MPMP L PMP. Jelölés: ha u = a 1 a n Σ + és Σ akkor legyen alcsillag(u) := a 1 a 2 a n jocsillag(u) := a 1 a 2 a n. mindkétcsillag(u) := a 1 a 2 a n.

9 Post Megfelelkezési Proléma Legyen D = {d 1,..., d n } egy tetszőleges dominókészlet, ahol d i = u i v i (1 i n). D legyen a következő D + 2 méretű készlet: d 0 = alcsillag(u 1) mindkétcsillag(v 1 ), d i = alcsillag(u i) jocsillag(v i ) (1 i n), d n+1 =. Állítás: D, d 1 L MPMP D L PMP. Az állítás izonyítása: ha d i1 d im MPMP egy (D, d 1 ) emenetének egy megoldása, akkor d 0 d i 2 d i m d n+1 megoldása D -nek, mint PMP inputnak. ha d i 1 d i m D -nek, mint PMP inputnak egy megoldása, akkor az első illetve az utolsó etű egyezése miatt ez csak úgy lehetséges, hogy d i 1 = d 0 és d i m = d n+1. Ekkor viszont d i1 d im 1 megoldása a (D, d 1 ) MPMP emenetnek. Ezzel az állítást izonyítottuk. Mivel a megfeleltetés TG-pel kiszámítható, ezért L MPMP L PMP.

10 Post Megfelelkezési Proléma Most megmutatjuk, hogy L u L MPMP. Minden M, w (TG, szó) párhoz megadunk egy D, d (dominókészlet, kezdődominó) párt, úgy hogy w L(M) D-nek van d-vel kezdődő megoldása. Legyen M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, q n ) és w = a 1 a n Σ. (D, d) konstrukciója: d := q 0 a 1 a n (ahol Σ) d : D ha δ(p, a) = (q,, R), akkor pa q : D ha δ(p, a) = (q,, L), akkor ( c Γ :) cpa qc : D ha δ(p, a) = (q,, S ), akkor pa q : D ( a Γ :) a a : D,, ( a Γ :) a, : D. : D a : D

11 Post Megfelelkezési Proléma Példa: Ha M-nek δ(q 0, ) = (q 2, a, R) és δ(q 2, a) = (,, S ) átmenetei, akkor q 0 a aq 2 a a egy a-ot elfogadó konfigurációátmenet. Az M, a -hoz tartozó dominókészlet tartalmazza töek között a q 0 a kezdő-, q 0 aq 2 és q 2a átmenet-, a a,, és valamint a efejezéshez szükséges a, Ekkor egy kirakás ( -al lokkokra osztva): q 0 a q 0 a aq 2 a a a q 2 a a identikus dominókat és dominókat.

12 Post Megfelelkezési Proléma q 0 a q 0 a aq 2 a a a q 2 a a A fenti példán szemléltetjük, hogy w L(M) D-nek van d-vel kezdődő megoldása. Az első lokk csak a d = q 0 a kezdődominóól áll. A következő két lokkan alul és felül is konfigurációk következnek, felül mindig eggyel "lemaradva". A lokkokan a a (és a ) típusú dominókkal egyesével ehozható a felső szó lemaradása, egészen addig, amíg az alsó rész már csak -al hossza. Végül a 7. lokkan csak egy (záró)dominó szerepel, melynek az a szerepe, hogy ehozza a még megmaradt lemaradást.

13 Post Megfelelkezési Proléma A fenti példa alapján meg lehet általános eseten is konstruálni egy megoldást, így w L(M) van D, d -nak megoldása. Másrészt ha van d-vel kezdődő megoldás, akkor ez a dominósorozat két szavának hosszára vonatkozó megfontolások alapján csak -t tartalmazó dominók használatával lehetséges. Meggondolható, hogy minden kirakás gyakorlatilag konfigurációátmenetek sorozata kell legyen az első megjelenéséig, és így a w szóhoz tartozó kezdőkonfigurációól el lehet jutni elfogadó konfigurációa, azaz w L(M). Nyilván D, d M, w -ől TG-pel kiszámítható, így eláttuk, hogy L u L MPMP. Innen a tétel izonyítása: L u L MPMP, L MPMP L PMP és tudjuk már, hogy L u R. Eől a visszavezetés tranzitivitása és korái tételünk alapján L PMP R.

14 CF nyelvtanokkal kapcsolatos eldönthetetlen prolémák Egyértelmű nyelvtan Egy G környezetfüggetlen (CF, 2-es típusú) nyelvtan egyértelmű, ha minden L(G)-eli szónak pontosan egy aloldali levezetése van G-en. (Baloldali levezetés: mindig a legaloldali nemterminálist írjuk át a mondatformáan.) L ECF = { G G egy egyértelmű CF nyelvtan}. Tétel L ECF R Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy L PMP L ECF. Legyen D = { } u 1 v 1,..., u n v n egy tetszőleges dominókészlet. := {a 1,..., a n } úgy, hogy Γ =. P A := {A u 1 Aa 1,..., A u n Aa n, A ε}. P B := {B v 1 Ba 1,..., B v n Ba n, B ε}.

15 CF nyelvtanokkal kapcsolatos eldönthetetlen prolémák Egyértelmű nyelvtan Bizonyítás: (folyt.) G A = A, {A}, Γ, P A. G B = B, {B}, Γ, P B. G D = S, {S, A, B}, Γ, {S A, S B} P A P B. f : D G D visszavezetés, mert: * ha u i 1 v i1 uim v i m megoldása D-nek, akkor u i 1 u im = v i1 v im. De ekkor u i1 u im a im a i1 = v i1 v im a im a i1 kétféleképpen is levezethető, így G D nem egyértelmű. * ha G D nem egyértelmű, akkor van olyan szó, aminek két aloldali levezetése van. De ezek S A-val illetve S B-vel kell kezdődjenek, hiszen G A és G B egyértelmű.a generált szavak xy, x Γ, y alakúak, így ugyanaz a generált Γ feletti prefix is. Így a két levezetés D egy megoldását adja. f nyilván TG-pel kiszámítható. Mivel L PMP R, következik, hogy L ECF R, amiől kapjuk, hogy L ECF R.

16 CF nyelvtanokkal kapcsolatos eldönthetetlen prolémák Közös metszet, ekvivalencia, tartalmazás Tétel Eldönthetetlenek az alái CF nyelvtanokkal kapcsolatos kérdések. Legyen G 1 és G 2 két CF nyelvtan. L(G 1 ) L(G 2 ) L(G 1 ) = Γ valamely Γ-ra L(G 1 ) = L(G 2 ) L(G 1 ) L(G 2 ) Csak az elsőt izonyítjuk. L PMP -t vezethetjük vissza rá. Legyen D = { } u 1 v 1,..., u n v n a dominókészlet. Készítsük el a fenti GA és G B nyelvtanokat. Könnyen látható, hogy D-nek akkor és csak akkor van megoldása, ha L(G A )-nak és L(G B )-nek van nemüres metszete. (A másik 3 állítás: iz. nélkül)

17 Eldönthetetlen prolémák az elsőrendű logikáan Tétel Eldönthetetlen, hogy A elsőrendű logikai formulára (1) A teljesül-e (logikailag igaz-e). (iz. nélkül). L PMP -t lehet visszavezetni rá. Azaz minden D dominókészlethez megadható egy A D elsőrendű formula, melyre van D-nek megoldása A D. (részletek l. pl. Gazdag jegyzet) Következmény Legyen F egy elsőrendű formulahalmaz és A egy elsőrendű formula. Eldönthetetlen, hogy (2) A kielégíthetetlen-e (3) A kielégíthető-e (4) F A teljesül-e Bizonyítás: (2) A A kielégíthetetlen. (3) Eldönthetetlen nyelv komplementere. (4) Kieléghetetlenségre visszavezethető (l. logika rész).

18 Eldönthetetlen prolémák az elsőrendű logikáan Logikáól tanultuk, hogy van olyan algoritmus, ami egy tetszőleges A elsőrendű formulára pontosan akkor áll meg igen válasszal, ha A kielégíthetetlen (például a elsőrendű logika rezolúciós algoritmusa). Ezért a kielégíthetetlenség eldöntése RE-eli proléma. a kielégíthetőség eldöntése nem RE-eli proléma. Mi a helyzet nulladrendű logika esetén? A fenti kérdések mindegyike eldönthető. (ítélettála). Véges sok interpretáció van, elsőrenden végtelen. Nulladrendű logikáan, az a kérdés van-e hatékony megoldás. A továiakan az R nyelvosztályt vizsgáljuk. (Bonyolultságelmélet.)

19 BONYOLULTSÁGELMÉLET Determinisztikus és nemdeterminisztikus időonyolultsági osztályok A továiakan eldönthető prolémákkal foglalkozunk, ilyenkor a kérdés az, hogy milyen hatékonyan dönthető el az adott proléma. TIME ( f (n)) = {L L eldönthető O( f (n)) időigényű determinisztikus TG-pel} NTIME ( f (n)) = {L L eldönthető O( f (n)) időigényű NTG-pel} P= k 1TIME (n k ). NP= k 1NTIME (n k ). Észrevétel: P NP. Sejtés: P NP (sejtjük, hogy igaz, de izonyítani nem tudjuk).

20 NP A P tartalmazza a gyakorlatan is hatékonyan megoldható prolémákat. Milyen prolémákat tartalmaz NP? Egy L NP-eli prolémához definíció szerint létezik őt polinom idően eldöntő NTG ami gyakran a következőképpen működik: a proléma minden I emenetére polinom idően megsejti (azaz nemdeterminisztikusan generálja) I egy lehetséges m megoldását és polinom idően leellenőrzi (determinisztikusan), hogy m alapján I L-e. A következőken a P és NP onyolultsági osztályok közötti kapcsolatot vizsgáljuk.

21 Polinom idejű visszavezetés Polinom idően kiszámítható szófüggvény Az f : Σ szófüggvény polinom idően kiszámítható, ha van olyan Turing-gép, ami polinom idően kiszámítja. Visszavezetés polinom idően L 1 Σ polinom idően visszavezethető L 2 -ra, ha van olyan f : Σ polinom idően kiszámítható szófüggvény, hogy w L 1 f (w) L 2. Jelölés: L 1 p L 2. A polinom idejű visszavezetést Richard Karpról elnevezve Karp-redukciónak is nevezik. Tétel Ha L 1 p L 2 és L 2 P, akkor L 1 P. Ha L 1 p L 2 és L 2 NP, akkor L 1 NP. Az elsőt izonyítjuk, a második analóg.

22 Polinom idejű visszavezetés Bizonyítás: Legyen L 2 P és tegyük fel, hogy L 1 p L 2. Legyen M 2 az L 2 -t eldöntő, míg M a visszavezetést kiszámító TG. Feltehetjük, hogy M p(n) és M 2 p 2 (n) polinom idejű TG-ek. Konstruáljuk meg M 1 -et: w f (w) M 1 M M 2 q n q n M 1 eldönti az L 1 nyelvet ha w n hosszú, akkor f (w) legfelje p(n) hosszú lehet M 1 időigénye p 2 (p(n)), ami szintén polinom

23 Polinom idejű visszavezetés Adott prolémaosztályra nézve nehéz nyelv Legyen C egy prolémaosztály. egy L proléma C-nehéz (a polinom idejű visszavezetésre nézve), ha minden L C esetén L p L. Adott prolémaosztályan teljes nyelv Egy C-nehéz L proléma C-teljes, ha L C. Tétel Legyen L egy NP-teljes proléma. Ha L P, akkor P = NP. Bizonyítás: Elég megmutatni, hogy NP P. Legyen L NP egy tetszőleges proléma. Ekkor L p L, hiszen L NP-teljes. Mivel L P, ezért az előző tétel alapján L P. Ez minden L NP-re elmondható, ezért NP P.

definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.

definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként. Számításelmélet Kiszámítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést, amire számítógéppel szeretnénk megadni a választ. (A matematika nyelvén precízen megfogalmazott

Részletesebben

Turing-gépek. Számításelmélet (7. gyakorlat) Turing-gépek 2009/10 II. félév 1 / 1

Turing-gépek. Számításelmélet (7. gyakorlat) Turing-gépek 2009/10 II. félév 1 / 1 Turing-gépek Logika és számításelmélet, 7. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (7. gyakorlat) Turing-gépek 2009/10 II. félév 1 / 1 A Turing-gép Az algoritmus fogalmának egy intuitív definíciója:

Részletesebben

Deníciók és tételek a beugró vizsgára

Deníciók és tételek a beugró vizsgára Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: 2008. december 2. 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést,

Részletesebben

Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga december 19.

Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga december 19. Név (aláírás): Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga 2017. december 19. A vizsgadolgozat 1. feladatára helyes válaszonként 1-1 pont kapható, a 2-3. feladatok megoldásáért 6-6 pont, a 4. feladatra

Részletesebben

Számításelmélet. Második előadás

Számításelmélet. Második előadás Számításelmélet Második előadás Többszalagos Turing-gép Turing-gép k (konstans) számú szalaggal A szalagok mindegyike rendelkezik egy független író / olvasó fejjel A bemenet az első szalagra kerül, a többi

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 12. előadás

Logika és számításelmélet. 12. előadás Logika és számításelmélet 12. előadás NP lehetséges szerkezete NP-köztes nyelv L NP-köztes, ha L NP, L P és L nem NP-teljes. Ladner tétele Ha P NP, akkor létezik NP-köztes nyelv. (biz. nélkül) NP-köztes

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt rövid kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum

Részletesebben

A digitális számítás elmélete

A digitális számítás elmélete A digitális számítás elmélete 8. előadás ápr. 16. Turing gépek és nyelvtanok A nyelvosztályok áttekintése Turing gépek és a természetes számokon értelmezett függvények Áttekintés Dominó Bizonyítások: L

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 11. előadás

Logika és számításelmélet. 11. előadás Logika és számításelmélet 11. előadás NP-teljesség Emlékeztetőül: NP-teljes nyelv Egy L probléma NP-teljes (a polinom idejű visszavezetésre nézve), ha L NP L NP-nehéz, azaz minden L NP esetén L p L. Azaz

Részletesebben

Logika és számításelmélet

Logika és számításelmélet Logika és számításelmélet 12. előadás Irányítatlan/irányított Hamilton út/kör Hamilton út/kör Adott egy G = (V, E) irányítatlan / irányított gráf ( V = n). Egy P = v i1,..., v in felsorolása a csúcsoknak

Részletesebben

Formális nyelvek - 9.

Formális nyelvek - 9. Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges

Részletesebben

Formális nyelvek - 5.

Formális nyelvek - 5. Formális nyelvek - 5. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Lineáris

Részletesebben

Automaták mint elfogadók (akceptorok)

Automaták mint elfogadók (akceptorok) Automaták mint elfogadók (akceptorok) Ha egy iniciális Moore-automatában a kimenőjelek halmaza csupán kételemű: {elfogadom, nem fogadom el}, és az utolsó kimenőjel dönti el azt a kérdést, hogy elfogadható-e

Részletesebben

Feladatok. 6. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy aabbcc eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek!

Feladatok. 6. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy aabbcc eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek! Feladatok 1. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy cabcab eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C, D, E}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek! P: S AD EB SS A AB a B DD b C CB c D EC a E AD b 2.

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 7. előadás

Logika és számításelmélet. 7. előadás Logika és számításelmélet 7. előadás Elérhetőség, fóliasorok, ajánlott irodalom Előadó: Tichler Krisztián Elérhetőség: 2-708, ktichler@inf.elte.hu Előadások itt lesznek: www.cs.elte.hu/ tichlerk Elérhetőség,

Részletesebben

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 4. gyakorlat Interpretáció A ϱ függvényt az L (0) = LC, Con, Form nulladrendű nyelv egy

Részletesebben

Logika és számításelmélet Készítette: Nagy Krisztián

Logika és számításelmélet Készítette: Nagy Krisztián Logika és számításelmélet Készítette: Nagy Krisztián LOGIKA RÉSZ 1. Gondolkodásforma vagy következtetésforma Egy F = {A 1, A 2,, A n } állításhalmazból és egy A állításból álló (F, A) pár. 2. Helyes következtetésforma

Részletesebben

6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2.

6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2. 6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2. Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom A reguláris nyelvek osztályának jellemzése a körbebizonyítás Láncszabályok A 2. állítás és igazolása Ekvivalens 3-típusú

Részletesebben

A Turing-gép. Formális nyelvek III.

A Turing-gép. Formális nyelvek III. Formális nyelvek III. Általános és környezetfüggő nyelvek Fülöp Zoltán SZTE TTIK Informatikai Intézet Számítástudomány Alapjai Tanszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Definíció. Egy Turing-gép egy M = (Q,Σ,Γ,

Részletesebben

ZH feladatok megoldásai

ZH feladatok megoldásai ZH feladatok megoldásai A CSOPORT 5. Írja le, hogy milyen szabályokat tartalmazhatnak az egyes Chomskynyelvosztályok (03 típusú nyelvek)! (4 pont) 3. típusú, vagy reguláris nyelvek szabályai A ab, A a

Részletesebben

Logika és számításelmélet. 7. előadás

Logika és számításelmélet. 7. előadás Logika és számításelmélet 7. előadás Elérhetőség, fóliasorok, ajánlott irodalom Előadó: Kolonits Gábor Elérhetőség: 2-708, kolomax@inf.elte.hu Előadások innen tölthetők le: www.cs.elte.hu/ tichlerk Ajánlott

Részletesebben

Bevezetés a bonyolultságelméletbe gyakorlatok I. A(0, y) := y + 1 y 0 A(x, 0) := A(x 1, 1) x 1 A(x, y) := A(x 1, A(x, y 1)) x, y 1

Bevezetés a bonyolultságelméletbe gyakorlatok I. A(0, y) := y + 1 y 0 A(x, 0) := A(x 1, 1) x 1 A(x, y) := A(x 1, A(x, y 1)) x, y 1 Bevezetés a bonyolultságelméletbe gyakorlatok I. B. Az Ackermann függvény avagy nem minden olyan egyszerű, mint amilyennek látszik Legyen A(x, y) a következő, rekurzív módon definiált függvény: A(0, y)

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Nyelvek felismerése. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 5. gyakorlat

Házi feladatok megoldása. Nyelvek felismerése. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 5. gyakorlat Házi feladatok megoldása Nyelvek felismerése Formális nyelvek, 5. gyakorlat 1. feladat Adjunk a következő nyelvet generáló 3. típusú nyelvtant! Azon M-áris számrendszerbeli számok, melyek d-vel osztva

Részletesebben

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:50

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:50 Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:50 A kiszámítás modelljei 2 De milyen architektúrán polinom? A kiszámításnak számos (matematikai) modellje létezik: Általános rekurzív függvények λ-kalkulus

Részletesebben

Felismerhető nyelvek zártsági tulajdonságai II... slide #30. Véges nemdeterminisztikus automata... slide #21

Felismerhető nyelvek zártsági tulajdonságai II... slide #30. Véges nemdeterminisztikus automata... slide #21 A számítástudomány alapjai Ésik Zoltán SZTE, Számítástudomány Alapjai Tanszék Bevezetes Bevezetés.................................................... slide #2 Automaták és formális nyelvek Szavak és nyelvek...............................................

Részletesebben

Algoritmuselmélet 12. előadás

Algoritmuselmélet 12. előadás Algoritmuselmélet 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Április 9. ALGORITMUSELMÉLET 12. ELŐADÁS 1 Turing-gépek

Részletesebben

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2011. április 26. 1. Mahaney-tétel bizonyítása Emlékeztető. Mahaney-tétel

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Számításelmélet. Will június 13. A kiszámíthatóság fogalma és a Church-Turing tézis

Számításelmélet. Will június 13. A kiszámíthatóság fogalma és a Church-Turing tézis Számításelmélet Will 2010. június 13. A kiszámíthatóság fogalma és a Church-Turing tézis. A Turing gép, mint algoritmus modell. A rekurzív és a rekurzívan felsorolható nyelvek. Algoritmikusan eldönthet

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

A Számítástudomány alapjai

A Számítástudomány alapjai Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék A Számítástudomány alapjai Szemelvények az Elméleti Számítástudomány területéről Fogalmak: Számítástechnika Realizáció, technológia Elméleti számítástudomány

Részletesebben

6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2.

6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2. 6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2. Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom A reguláris nyelvek osztályának jellemzése a körbebizonyítás Láncszabályok A 2. állítás és igazolása Ekvivalens 3-típusú

Részletesebben

Véges automaták, reguláris nyelvek

Véges automaták, reguláris nyelvek Véges automaták, reguláris nyelvek Kiegészítő anyag az lgoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: lgoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 27. augusztus 3. véges automata

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/formalis.html Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezet ), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Formális nyelvek és gépek (definíciós és tétel lista - 09/10/2)

Formális nyelvek és gépek (definíciós és tétel lista - 09/10/2) Formális nyelvek és gépek (definíciós és tétel lista - 09/10/2) ábécé: Ábécének nevezünk egy tetszőleges véges szimbólumhalmazt. Jelölése: X, Y betű: Az ábécé elemeit betűknek hívjuk. szó: Az X ábécé elemeinek

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat.

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat. Nyelvtani transzformációk Formális nyelvek, 6. gyakorlat a. S (S) SS ε b. S XS ε és X (S) c. S (SS ) Megoldás: Célja: A nyelvtani transzformációk bemutatása Fogalmak: Megszorított típusok, normálformák,

Részletesebben

Bonyolultságelmélet. Thursday 1 st December, 2016, 22:21

Bonyolultságelmélet. Thursday 1 st December, 2016, 22:21 Bonyolultságelmélet Thursday 1 st December, 2016, 22:21 Tárbonyolultság A futásidő mellett a felhasznált tárterület a másik fontos erőforrás. Ismét igaz, hogy egy Ram-program esetében ha csak a használt

Részletesebben

Algoritmusok bonyolultsága

Algoritmusok bonyolultsága Algoritmusok bonyolultsága 11. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm () 1 / 1 NP-telesség Egy L nyelv NP-teles, ha L NP és minden L NP-re L L. Egy Π döntési feladat NP-teles, ha Π NP és

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája?

Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája? ,,Alap kiskérdések Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések 2012. február 19. 1. Hogy hívjuk a 0 aritású függvényjeleket? 2. Definiálja a termek halmazát. 3. Definiálja a formulák halmazát. 4. Definiálja,

Részletesebben

Bonyolultságelmélet. SZTE Informatikai Tanszékcsoport

Bonyolultságelmélet. SZTE Informatikai Tanszékcsoport Bonyolultságelmélet Ésik Zoltán SZTE Informatikai Tanszékcsoport Számítástudomány Alapjai Tanszék A kiszámíthatóság elméletének kialakulása 1900: Hilbert 10. problémája Adott f(x 1,..., x n ) = g(x 1,...

Részletesebben

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája Logika és számításelmélet, 3. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Az elsőrendű logika Elemek egy

Részletesebben

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:28

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:28 Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:28 A kurzus teljesítési követelményei 2 Gyakorlat Három kisdolgozat 6 6 pontért kb. a 4., 7. és 10. gyakorlaton Egy nagydolgozat 28 pontért utolsó héten

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.

Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y. Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33 1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Hatodik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű rezolúciós kalkulus - előkészítő fogalmak Prenex formula, Skolem normálforma 3/33 Eldönthető formulaosztályok keresése

Részletesebben

Formális nyelvek I/2.

Formális nyelvek I/2. Formális nyelvek I/2. Véges utomták minimlizálás Fülöp Zoltán SZTE TTIK Informtiki Intézet Számítástudomány Alpji Tnszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Véges utomták minimlizálás Két utomt ekvivlens, h ugynzt

Részletesebben

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. 1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Bonyolultságelmélet feladatok

Bonyolultságelmélet feladatok Bonyolultságelmélet feladatok Hajgató Tamás Iván Szabolcs Updated: November 26, 2009 1 Függvények nagyságrendje A következő definíciókat használjuk, ahol f, g két N N függvény (mindig fel fogjuk tenni,

Részletesebben

Turing-gépek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT augusztus 16.

Turing-gépek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT augusztus 16. Turing-gépek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 2017. augusztus 16. A veremautomatáknál az, hogy

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás: Hálózatok, P- és N P-teljes problémák Előadó: Hajnal Péter 2015. tavasz 1. Hálózatok és egy P-teljes probléma Emlékeztető.

Részletesebben

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:27. Bonyolultságelmélet

Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:27. Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:27 A kurzus teljesítési követelményei Gyakorlat Három kisdolgozat 6 6 pontért kb. a 4., 7. és 10. gyakorlaton Egy nagydolgozat 28 pontért utolsó héten előadáson Pontszám:

Részletesebben

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,

Részletesebben

Alap fatranszformátorok II

Alap fatranszformátorok II Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden

Részletesebben

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára. 6. Előadás

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára. 6. Előadás ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 6. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2011. március 8. 1. További példák Példa. Legyen L = 3-SZÍNEZHETŐSÉG = { G

Részletesebben

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László

Logika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,

Részletesebben

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra. 1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz

Részletesebben

Formális nyelvek és automaták vizsgához statisztikailag igazolt várható vizsgakérdések

Formális nyelvek és automaták vizsgához statisztikailag igazolt várható vizsgakérdések 1. Feladat Az első feladatban szereplő - kérdések 1 Minden környezet független nyelv felismerhető veremautomatával. Minden környezet független nyelv felismerhető 1 veremmel. Minden 3. típusú nyelv felismerhető

Részletesebben

A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Automaták

A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Automaták A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata Automaták Nyelvek és automaták A nyelvek automatákkal is jellemezhetőek Automaták hierarchiája Chomsky-féle hierarchia Automata: új eszköz a nyelvek komplexitásának

Részletesebben

Turing-gépek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz VIII. Friedl Katalin BME SZIT március 18.

Turing-gépek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz VIII. Friedl Katalin BME SZIT március 18. Turing-gépek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz VIII. (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 2016. március 18. A veremautomatáknál az hogy

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Formulahalmaz kielégíthetősége Ezen az előadáson Γ-val egy elsőrendű logikai nyelv

Részletesebben

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet! 1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +

Részletesebben

Nyelvek és automaták augusztus

Nyelvek és automaták augusztus Nyelvek és automaták Csima Judit Friedl Katalin 2013. augusztus Ez a jegyzet a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem mérnökinformatikus hallgatói számára tartott Nyelvek és Automaták tantárgy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Formális nyelvek elmélete

A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Formális nyelvek elmélete A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata Formális nyelvek elmélete Nyelv Nyelvnek tekintem a mondatok valamely (véges vagy végtelen) halmazát; minden egyes mondat véges hosszúságú, és elemek véges

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

A SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI

A SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI Írta: ÉSIK ZOLTÁN A SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Ésik Zoltán, Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Számítástudomány Alapjai Tanszék

Részletesebben

Turing-gép május 31. Turing-gép 1. 1

Turing-gép május 31. Turing-gép 1. 1 Turing-gép 2007. május 31. Turing-gép 1. 1 Témavázlat Turing-gép Determinisztikus, 1-szalagos Turing-gép A gép leírása, példák k-szalagos Turing-gép Univerzális Turing-gép Egyéb Turing-gépek Nemdeterminisztikus

Részletesebben

LOGIKA ÉS SZÁMÍTÁSELMÉLET KIDOLGOZOTT JEGYZET

LOGIKA ÉS SZÁMÍTÁSELMÉLET KIDOLGOZOTT JEGYZET LOGIKA ÉS SZÁMÍTÁSELMÉLET KIDOLGOZOTT JEGYZET Készítette: Butkay Gábor és Gyenes József A jegyzet a 2013-2014-es tanév 2. felében lévő Logika és számításelmélet előadások alapján született. A jegyzet nem

Részletesebben

Államvizsga kérdések a matematikus szakon, 2001.

Államvizsga kérdések a matematikus szakon, 2001. Államvizsga '01, 12. tétel: Algoritmusok bonyolultsága... 1 Államvizsga kérdések a matematikus szakon, 2001. 10. tétel : Algoritmusok bonyolultsága (Számítási modellek, véges automaták, Turinggépek, eldönthet

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

Nyelv hatványa: Legyen L egy nyelv, nemnegatív egész hatványai,,. (rek. definició) Nyelv lezártja (iteráltja): Legyen L egy nyelv. L nyelv lezártja.

Nyelv hatványa: Legyen L egy nyelv, nemnegatív egész hatványai,,. (rek. definició) Nyelv lezártja (iteráltja): Legyen L egy nyelv. L nyelv lezártja. Univerzális ábécé: Szimbólumok egy megszámlálhatóan végtelen halmazát univerzális ábécének nevezzük Ábécé: Ábécének nevezzük az univerzális ábécé egy tetszőleges véges részhalmazát Betű: Az ábécé elemeit

Részletesebben

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák.

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Nézzük meg a következ két kijelentést: Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett. Bármely

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára. 9. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter április 12.

ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára. 9. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter április 12. ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 9. Előadás Előadó: Hajnal éter Jegyzetelő: Hajnal éter 2010. április 12. Alternáló polinomiális idő Emlékeztető. Σ i, Π i Definíció.

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

NP-teljesség röviden

NP-teljesség röviden NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

ALGEBRAI NYELV- ÉS KÓDELMÉLET. Babcsányi István

ALGEBRAI NYELV- ÉS KÓDELMÉLET. Babcsányi István ALGEBRAI NYELV- ÉS KÓDELMÉLET Babcsányi István 2013 Tartalomjegyzék ELŐSZÓ................................. 5 I. NYELVEK 7 1. Nyelvek algebrája 9 1.1. Műveletek nyelvekkel........................ 9 1.2.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Számítógép és programozás 2

Számítógép és programozás 2 Számítógép és programozás 2 8. Előadás Megoldhatóság, hatékonyság http://digitus.itk.ppke.hu/~flugi/ Elméleti áttekintés a SzámProg 1 tárgyból Algoritmikus eldönthetőség kérdése Bizonyíthatóság kérdése,

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26 1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Negyedik előadás Tartalom 2/26 Az elsőrendű logika szemantikája Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Elsőrendű logikai nyelv interpretációja

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

5. előadás Reguláris kifejezések, a reguláris nyelvek jellemzése 1.

5. előadás Reguláris kifejezések, a reguláris nyelvek jellemzése 1. 5. előadás Reguláris kifejezések, a reguláris nyelvek jellemzése 1. Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Reguláris kifejezések Meghatározás, tulajdonságok Kapcsolat a reguláris nyelvekkel A reguláris

Részletesebben

Matematikai logika és halmazelmélet

Matematikai logika és halmazelmélet Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

1. Logikailag ekvivalens

1. Logikailag ekvivalens Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 4. gyakorlat 1. Logikailag ekvivalens 1. Az alábbi formulák közül melyek logikailag ekvivalensek a ( p p) formulával? A. ((q p) q) B. (q q) C. ( p q) D.

Részletesebben

A logikai következmény

A logikai következmény Logika 3 A logikai következmény A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces 1.Feltétel 2.Feltétel

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben