Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002

Átírás

1 Kódolás, hibajavítás Tervezte és készítette Géczy LászlL szló 2002

2 Jelkapcsolat A jelkapcsolatban van a jelforrás, amely az üzenő, és a jelérzékelő (vevő, fogadó), amely az értesített. Jelforrás üzenet Jelérzékelő Általánosságban az üzenet tartalma tetszőleges lehet, ellenben a tartalmat az adott környezet korlátozhatja, és kereteit megszabhatja a jelkapcsolatban lévők között.

3 Jelkapcsolat Az eredeti közlemény az emberi agyban, mint gondolat áll elő és az ember átalakító képességén keresztül vagy hangokként, vagy leírt szövegként jelentkezik (kódolt közlemény) a jelkapcsolatban. A jelkapcsolat végállomásán a hallott, vagy az olvasott jelekből (vett közlemény) kikerekedik a csaknem eredeti gondolat (dekódolt közlemény). eredeti közlemény kódolt közlemény vett közlemény dekódolt közlemény Jelforrás Jelérzékelő A beszédben az információ hordozó a hang, tehát a jelkapcsolat hangokkal jön létre. Az írásban az információ hordozó a betű és a jelkapcsolat betűk által valósul meg.

4 Az információ (a jel) Általában vizsgálva: a jelforrás jelei lehetnek diszkrétek, vagy folytonosak. A gyakorlatban előforduló információ források mindig véges sebességű jeleket bocsátanak ki. iszkrét jelforrások esetében (emberi kapcsolat) ez azt jelenti, hogy a szolgáltatott jelek száma véges és időbeni egymásutánja (gyakorisága) egy meghatározott értéket nem halad meg. A szempontunkból lényeges diszkrét jelforrások által kibocsájtott véges számú különböző jel közül a különböző jeleket különböző, az azonos jeleket pedig azonos szimbólumokkal jelöljük (hangok, betűk, számok, írásjelek) és ezt a jelteret egy szimbólum készlettel (abc betűi) helyettesítjük.

5 A kódolás alapfogalmai A kód, az információk kifejezésére, közlésére, megjelenítésére szolgáló rendszer. A kód az információt hordozó szimbólumokat, a szimbólumokból felépített szavakat, valamint a szimbólumok és szavak összekapcsolásának szabályait tartalmazza. Az információ-forrás, vagy jelforrás általános esetben az egyes szimbólumokat nem azonos valószínűséggel szolgáltatja. A szimbólum készlethez hozzá rendelhető egy diszkrét (nem folytonos) valószínűségi kép, amely a szimbólum készlettel együtt jellemzője az információ forrásának.

6 A magyar AB kis betűinek használati valószínűsége a beszélt nyelvben Az alfaset betűkészlet a valószínűségi-kép alapja összes betű 1175 átlag 34,56 szórás 23, e t a s l r n i á z é k o m g d y v ó b ö c j ő p f h u ú ü ű x w q betűk

7 Az információ (a jel) Például az információ forrás n db szimbóluma legyen a következő: x 1, x 2, x 3,..., x i,... x n Az n darab szimbólum előfordulásának valószínűsége pedig rendre P(x 1 ) = p 1 ; P(x 2 ) = p 2 ;... ; P(x i ) = p i ;... ; P(x n ) = p n ez a valószínűségi kép akkor teljes, ha egyik szimbólum valószínűsége sem 0, tehát p i 0 (i = 1, 2,..., n) egyik szimbólum valószínűsége sem 100 %-os, tehát p i 1 (i = 1, 2,..., n) biztos eseménynek tekintjük azt az információ szerzést, amely alatt csak az adott szimbólumkészlet kerül közvetítésre, tehát n i= 1 p i = 1

8 Az információ (a jel) A diszkrét információ forrásból szerzett információ mennyiségét információ tartalomnak vagy hírtartalomnak nevezzük. Az információ forrást jól jellemzi a szimbólumok átlagos információ tartalma. Egy szimbólum egyedi információ tartalma: I( x ) = log i a Az egyedi információ tartalom kiterjesztése a jeltér átlagos információ tartalma, entrópiája: 1 p i H ( X ) n = i= 1 p i log p a i

9 Az információ (a jel) Bizonyítható, hogy a jelforrás átlagos hírtartalma akkor a maximális, ha szimbólumkészlete azonos valószínűségű. Az információ tömörsége: µ = H ( X ) H ( X ) max 1 Az információ redundanciája: R H ( X ) max H ( X ) = = 1 µ H ( X ) max Hogy lehet értelmezni a redundanciát? A beszélt nyelv is redundáns. Tapasztaljuk minden nap, hogy egy gondolatot számtalan módon lehet megfogalmazni, és még több képen lehet érteni. Ez természetesen távolabb van attól a kiinduló ponttól ahonnan szemléltük a jelforrást, de minden esetre jellemzi a redundanciát általában.

10 Az információ jellemzésének alapvető fogalmai Szimbólumkészlet: A kódszó: Azoknak a szimbólumoknak az összessége, amelyek az információ szerkesztéséhez szükségesek. A szimbólumkészletből alkotott sorozat, amelynek szerkesztéséhez meg kell adni a szimbólumok összekapcsolásának szabályait, valamint az egyes szavak megkülönböztetésének szabályait. A kódszó-készlet: Az egy rendszeren belül használt kódszavak készlete. Ez feltételezi azt, hogy előfordulhat olyan kódszó-készlet, amely esetében vannak megengedett és tiltott kódszavak. A szóhosszúság: A kódszóban lévő szimbólumok száma. Vannak rendszerek, amelyek rögzített (fix) szóhosszúsággal, vannak olyanok, melyek változó szóhosszúsággal dolgoznak.

11 A kódszó A kódok jellemzőik szerint lehetnek: szimbólum készletük szerint szóhosszúság szerint - bináris -nem bináris - rögzített - változó. A számítástechnika számára a bináris jelkapcsolat alapvetően meghatározó. A berendezések egyszerűsége, megbízhatósága, a jel csatorna fizikai jellemzői miatt a jelkapcsolatok többségénél bináris szimbólumokból álló jel sorozatokkal történik az információ átvitel.

12 A kódszó A numerikus és alfanumerikus kódolás szóhosszát, információ tartalmát, redundanciáját megismerve vizsgáljuk meg a kódszó szerkesztésének lehetőségeit. Numerikus kódolás A numerikus kódolásnak kevesebb a szimbóluma és egyszerűbb a szerkezete: súlyozott a decimális alapú (Pl.:B binárisan kódolt decimális, vagy hexadecimális) kódból, ahol a helyiértékek súlya rendre d = 8 a a a3 + 2 a2 + 1 az Aiken kódból (decimális önkomplementáló kód), ahol a súly d = 4 a a a3 + 2 a a három többletes kód előfeszített súlyozott kód d = 8 a + 4 a3 + 2 a2 + 1 a1 4 3

13 A kódszó Numerikus kódolás nem súlyozott a Gray kód nem súlyozott kód a bináris számból a következő algoritmus szerint állítható elő, ahol a b 4, b 3, b 2, b 1 a bináris kombinációnak megfelelő tetrádok jelölése: Bináris Gray a = a = b a = b 4 b b3 2 3 b2 1 = b2 b1 a Gray Bináris b = b = a b = a b = a 4 a a3 2 4 a3 a2 1 4 a3 a2 a1

14 A kódszó numerikus kódok összehasonlítása Kód B HEXA AIKEN 3 többletes GRAY index Súlyozás nincs A A B B E E F F

15 A kódszó Alfanumerikus kódolás A kódszavak - alfanumerikus kódok esetén használatos a kódszó helyett a karakter megjelölés, különböző jellemző csoportokba rendezettek. X2\X ABEF 0 Í 1 V R K N 2 E Á I A 3 Z S S G 4 É J Y 5 R E B 6 L L E B 7 Ő T E 8 É Ű T 9 J S K Ű A E K B L S E Z K Á E M F X2\X Í 1 V R K N 2 E Á I A 3 Z S S G 4 É J Y 5 R E B 6 L L E B 7 Ő T E 8 É Ű T 9 J S K Ű A E K B L S E Z K Á E M F A 8 bites ASII a 7 bites kód kiegészített változata. A kiegészítés a következőképpen történik - a 7 bites kód legnagyobb helyértékét meg kell ismételni a 2. helyérték után. Például: ,

16 Hibajelzés és hibajavítás Működőképes rendszerekben csak olyan hiba fordulhat elő, amely a jelforrásból érkező kódszó egy vagy több bitjének a továbbításakor ill. megérkezésekor az adott jelkapcsolatban tévesztést okoz. Ez azt jelenti, hogy bitcsere következik be a tévesztés helyén. Kis sebességű rendszerekben egy-egy kódszóban legfeljebb egy bitcsere fordulhat elő, és a hibák egymástól függetlenek. Nagy sebességű információ-továbbítás esetén a zavaró hatás időtartama általában hosszabb egy bit továbbításának idejénél, így előfordulhat több egymás melletti biten hibacsomó. A hibák előfordulását már a kezdeti időkben is észlelték és jelzésére vagy kiküszöbölésére különböző eljárásokat vezettek be, amelyek a redundanciával függenek össze. Ezek alap módszerek és máig használatosak, amelyek két csoportba sorolhatók: A jelkapcsolat többszörözésével többségi logika alkalmazása. (csak hibajavítás) A jelkapcsolatban a szimbólumok redundáns kódolása. (hibajelzés és hibajavítás)

17 A szimbólumok redundáns kódolása A hibajavítás korlátlanul nem használható, mert mint az előző gondolatokból is kiderült jelentős költség növekedést okozhat a túlzott mértékű alkalmazás. Megoldások, amelyek a jelkapcsolatot észszerűen felhasználhatóvá teszik: rendszertechnikai megfontolások - a kialakítási alapokat minél jobban körül kell határolni, a fizikai működést a lehető legbiztonságosabbá kell fejleszteni a technológiák megfelelő megválasztásával. a hibaarányt jelentősen kell csökkenteni viszonylag kevés áramköri eszközzel, illetve egyéb összetett berendezéssel. A redundáns kódolás haszna: hibajelzés, amely lényegesen alacsonyabb értékű módszer, de el kell fogadnunk, hogy ezzel arányosak a ráfordítási igények. (Error tecting ode = E) hibajavítás, olyan kódok szerkesztésének lehetősége, amely a bitcsere helyét megadja, és a szükséges visszaállítást elvégzi. (Error orrecting ode= E)

18 A Shanon tétel Shanon kimutatta, hogy a zajos jelkapcsolatnál tetszőleges kis hibavalószínűséggel megvalósítható a jelkapcsolat, de ekkor a kód entrópiáját - H(X)-t - legalább annyival meg kell növelni, mint amekkora a jelkapcsolat zaj entrópiája. Ennek a magyarázataként, egy gyakran előforduló jelenséget vizsgáljunk meg. A kis iskolásokat kirándulni, orvosi vizsgálatra viszik. Tömegközlekedési eszközzel utaznak. Mielőtt felszálltak volna a kis iskolások, a járművön volt valamilyen alapzaj, és ehhez mérten, megfelelő hangerővel beszélgettek az utasok. A kis iskolások a felszállás után elkezdték, vagy folytatták csevegéseiket. A figyelmes utas, de a figyelmetlen is hamarosan érzékelhette, hogy néhány megálló után a csevegés ricsajjá fokozódott, és kibírhatatlanná vált. Mi a jelenség magyarázata? Nagyon egyszerű, és a Shanon tételének ez az alapja. A beszélgető kis iskolások az általuk, a környezetükben beszélgetésük által zajt keltettek egymás számára. A zaj hatásának csökkentésére növelték a beszélgetésük hang erősségét. Ez ismét zaj növekedést okozott. A zaj hatásának csökkentésére ismét hang erősség növekedés következett be. A pozitív visszacsatolás a végsőkig növeli a zajt.

19 A hibajelzés és a hibajavítás jellemzői A számítástechnika számára a bináris jelkapcsolat alapvetően meghatározó. Erre alapozva továbbiakban a hibajelző és -javító kódolás elmélet leginkább kidolgozott területével a bináris blokk kódokkal foglakozunk. A bináris szimbólum készletű kódok esetén a véletlen 0 1, vagy 1 0 bitcsere valószínűségének azonosságát feltételezzük, azaz a bináris csatornák a továbbiakban szimmetrikusak. A redundáns kódok hibajelző és hibajavító tulajdonságainak vizsgálatához szükséges a kódszó súlya W(x i ), a Hamming távolság a kódszó Hamming súlya W(x i )

20 A hibajelzés és a hibajavítás jellemzői A kódszó súlya W(x i ) Rögzített hosszúságú bináris kód x i kódszavának W(x i ) súlyát a kódszóban lévő 1-es szimbólumok száma adja. Hamming távolság Két kódszó Hamming távolságát úgy lehet kiszámítani, hogy a két kódszó azonos helyen álló elemeit összehasonlítjuk és megszámláljuk, hogy hány helyen áll különböző bit. A bitek összehasonlítására alkalmas a moduló összeadás: xi y i Az X(x 1, x 2,..., x n ) és az Y(y 1, y 2,..., y n ) kódszavak Hamming távolsága Kódszó Hamming súlya ( X, Y ) = n i= 1 ( x i y i A kódszó Hamming súlyának nevezzük azt a távolságot, amelyet a zérus kódszótól ( ) mérve, a nem zérus bitjeinek száma. Ezt a mennyiséget is W(x i )-vel szokás jelölni. A definícióból következik, hogy két kódszó x 1 és x 2 Hamming távolsága a két kódszó moduló összegének súlyával egyezik:, ) ( x1, x2) = W ( x1 x2)

21 A hibajavítás korlátai A kódok hibajelző és hiba javító képességét aszerint kell megállapítani, hogy a jelkapcsolatot megvalósító rendszernek milyen az elemi hiba valószínűsége. A hibajelző és hibajavító kódok alkalmazásakor a jelkapcsolatban az információ maximális valószínűségű (maximum likelihood) dekódolását a gyakorlatban ritkán alkalmazzák. Jelentősége abban van, hogy hozzá hasonlítjuk a gyakorlatban megvalósított összes dekódolást. A hibajavító kódot optimálisan akkor választjuk meg, ha részletesen ismerjük a jelkapcsolat statisztikáját, ami a gyakorlatban többnyire nem áll rendelkezésre. A jelkapcsolat részleges ismerete alapján figyelmünket célszerűbb a tipikus hibák javítása felé fordítani. A tipikus hibák javítása, és ezentúl a véletlen hibák jelzése fontos feladat. Ennek megfelelően a javítandó ill. jelzendő hibák számának megállapítása után meg kell határozni a kódszó hosszát. A kódszó készlet javítási és jelzési feltételeit a hibák számának ismeretében a minimális Hamming távolság segítségével lehet megállapítani. A hibajavítás feltételei a redundancia biztosítására ez az első lépés.

22 A hibajelzés, hibajavítás korlátai Hibajelzéskor bármilyen kombinációjú d, vagy ennél kevesebb számú hiba jelzésének szükséges és elégséges feltétele: min d +1 Hibajavításkor bármilyen kombinációjú maximálisan t számú hiba javíthatóságának feltétele: min 2 t + 1 Hibajelzéskor és hibajavításkor maximálisan d számú hibajelzés és maximálisan t számú hibajavítás esetén a feltétel: min t + d +1 A kódszó hosszát a hibajavítási korlátból lehet származtatni. A korlátot eddig exakt módon nem tudták előállítani, ezért a korlát számítására vonatkozóan több közelítő módszert dolgoztak ki.

23 A hibajavítás korlátai A kódszó készletet eredeti kódszavai k bitből állnak, a hibajavításra alkalmas kódszavak redundánsak és n-k bittel megnövelt a hosszuk. Tehát az eredeti közlemény kódszavainak hossza k, a kódolás utáni kódszavak hossza n. eredeti közlemény k kódolt közlemény n vett közlemény n dekódolt közlemény k Jelforrás Jelérzékelő Jelkapcsolat Zajos környezet

24 A hibajavítás korlátai A hiba korlátok képletei elvileg a redundanciát létrehozó bitek (n-k) számának meghatározását szolgálja. A következőkben bemutatott képletekkel explicit módon, közvetlenül nem lehet kifejezni az n-k -t. Hamming korlát: 2 n k t i= 0 n i Plotkin korlát: n k 10 2 min 2 log min Varsharmov-Gilbert-Socks korlát: 2 n k 2 i= 0 min n 1 i n = i n! i!( n i)!

25 Hamming korlát használata t=1 azaz egy hiba javítása n k 2 n +1 n-k m=k/n n k 2 n-k min /n 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00002 min = 2t + 1 = 3 m=k/n a hiba javítás hatásossága

26 Hamming korlát használata t=2 azaz két hiba javítása 2 n k + 1 n 2 + n + 2 min = 2t + 1 = 5 n-k m=k/n n k 2 n-k min /n 2 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00691 m=k/n a hiba javítás hatásossága

27 Hamming korlát hatásossága min /n 1 0,75 min,t 0,5 0,25 0,25 0,5 0,75 1 k/n

28 A hibajavítás korlátai min /n 1 0,75 Hamming korlát 0,5 Plotkin korlát 0,25 Varsharmov-Gilbert-Sacks korlát 0,25 0,5 0,75 1 k/n

29 Paritás elemes kód VR (Vertical Redundacy ode) d=1 egy hiba jelzése min = d + 1 = 2 k bit eredeti közlemény, n-k=1 bit párosság ellenőrző, vagy paritás bit A kettes (2) Hamming távolságú kód csak páratlan hibák jelzésére alkalmas. A kódolt közlemény n= k+1 hosszú. A jelző rendszer a kódban lévő egyesek párosságát, vagy páratlanságát figyeli. A figyelési eljárás: x 0 x1... xi... xk 1 xk = xk + 1 Ahol x k+1 a paritás bit. Ezt a vonal menti módszert sok helyen alkalmazzák. A mágnes szalagos adat rögzítésnél ezt a formát VR-nek nevezik, mert a szalag élére merőlegesen helyezkedik el a vizsgált kódszó.

30 Paritás elemes kód Alkalmazása (páratlan paritással) Adat bitek VR (Vertical Redundacy ode) paritás-paritása LR (Longitudinal Redundacy ode)

31 Paritás elemes kód Hibajavító képessége (páros paritással) Adat bitek VR (Vertical Redundacy ode) paritás-paritása LR (Longitudinal Redundacy ode) LR VR paritás elemek kódszava A paritás elemek kódszavának súlya W(x i ) = 4 Hamming távolsága min = 4 Hibajavító képessége t=1 Hibajelző képessége d=3 min = 4 2 t + 1 d min +1

32 A hibajavítási módszerek Lineáris hibajavító kódok A kódelméletben azok kódok lineárisak, amelyek lineáris műveletek végrehajtása révén kódolhatók és dekódolhatók: Lineáris hibajavító kódok: Mátrix kódok - esetében a kódoláshoz generátor, a dekódoláshoz paritás mátrixot használnak. Polinom kódok - esetében kódoláshoz generátor, dekódoláshoz paritás polinomot használnak. A mátrix és polinom műveletek a bináris elem készletre értelmezettek. A mátrixok és polinomok bináris mátrixok és bináris polinomok, ezért az alkalmazott műveletek (és, vagy, kizáró vagy) a bináris térre értelmezettek (regiszter szorzás, osztás).

33 A hibajavítási módszerek - mátrix kód Bináris kódszó, mint vektor Bármely n = 4, 7, 8,... többelemű kódszó felfogható vektorként is. ksz 1 ksz 2 ksz 3 ksz v 1 v 2 v 3 v 4 Az n elemű kódszó-készlet egy kódszava n dimenziós vektor, így a kódszó elemeit az n dimenziós vektortér egységvektorainak is tekinthetjük. A kódszó-készlet kódszavai a vektortér vektorai, így a kódszavak és a vektortér között egyértelmű megfeleltetés van.

34 A hibajavítási módszerek - mátrix kód A vektorokkal végezhető műveletek a skalárral való szorzás esetén a vektor (v 1 = ) valamennyi komponensét szorozni kell: a * v 1 = a*0 a*1 a*0 a*0 a*0 a*0 a*0 = 0 a Két vektor összeadásakor a vektor elemeire moduló (átvitel nélküli) összegzést kell alkalmazni. v 1 v v v 2 v 1 v 2 =

35 A hibajavítási módszerek - mátrix kód Lineáris kombinációk és a vektortér A vektorok vektorai v 1, v 2, v 3,. v n A vektorok lineáris kombinációi u = d 1 v 1 d 2 v 2 d 3 v 3. d n v n A lineárisan független vektorok u = d 1 v 1 d 2 v 2 d 3 v 3. d n v n 0 kivétel d 1 = d 2 = d 3 =. = d n =0

36 A hibajavítási módszerek - mátrix kód Lineáris kombinációk és a vektortér A 4 bites kódszavak teljes készlete k = 4 elem 2 k = 16 vektor A k = 4 bázis vektorok lineárisan független v 1 = 0001 v 2 = v 3 = v 4 =

37 A hibajavítási módszerek - mátrix kód A 4 vektor lineáris kombinációjával 16 vektor állítható elő d 1 d 2 d 3 d 4 u kombináció u műveletek kódszavak v 1 0v 2 0v 3 0v v 1 0v 2 0v 3 0v 4 v v 1 1v 2 0v 3 0v 4 v v 1 1v 2 0v 3 0v 4 v 1 v v 1 0v 2 1v 3 0v 4 v v 1 0v 2 1v 3 0v 4 v 1 v v 1 1v 2 1v 3 0v 4 v 2 v v 1 1v 2 1v 3 0v 4 v 1 v 2 v v 1 0v 2 0v 3 1v 4 v v 1 0v 2 0v 3 1v 4 v 1 v v 1 1v 2 0v 3 1v 4 v 2 v v 1 1v 2 0v 3 1v 4 v 1 v 2 v v 1 0v 2 1v 3 1v 4 v 3 v v 1 0v 2 1v 3 1v 4 v 1 v 3 v v 1 1v 2 1v 3 1v 4 v 2 v 3 v v 1 1v 2 1v 3 1v 4 v 1 v 2 v 3 v

38 A mátrix kód - generátormátrix Az n elemű vektorok 2 n sokaságából választható ki az az n lineárisan független vektor, amelyet generátormátrixként lehet használni a hibajavításnál. Lineárisan független bázis vektorok képezik a generátormátrixot (G). v 1 = 0001 v 2 = 0011 v 3 = 0110 v 4 = 1100 G 1 = Más bázis vektor választással a generátormátrix v 1 = 1000 v 2 = 0100 v 3 = 0010 v 4 = 0001 G 2 =

39 A hibajavítási módszerek - a hibajavító elemek A kódszó készletet eredeti kódszavai k bitből állnak, a hibajavításra alkalmas kódszavak redundanciát biztosító kiegészítői n-k bit hosszúak. Az eredeti közlemény kódszavainak hossza k, a kódolás utáni kódszavak hossza n. Hamming korlát szerint t=1 hiba javításához k=4 bit hosszúságú eredeti kódszó esetén n-k=3, tehát n=7. Eredeti kódszavak vektorai k= 4 v 1k = v 2k = v 3k = v 4k = Kódolt kódszavak vektorai n= 7 G 1 = v 1n = v 2n = v 3n = v 4n = Az n elemű vektorok 2 k sokaságából választható ki az az k lineárisan független vektor, amely megfelel hibajavítás feltételének és generátormátrixként lehet használni. v 1n = v 2n = v 3n = v 4n =

40 Az általános generátormátrix Hamming korlát szerint t=1 hiba javításához k=4 bit hosszúságú eredeti kódszó esetén n-k=3, tehát n=7. G = Eredeti kódszavak mátrixa Paritás kódszavak mátrixa G = I k P n-k G = i 11 i 12 i 13.. i 1(k-1) i 1k i 21 i 22 i 23.. i 2(k-1) i 2k i k1 i k2 i k3.. i k(k-1) i kk p 21 p 22.. p 2(n-k) p 11 p 12.. p 1(n-k) p k1 p k2.. p k(n-k)

41 A hiba észlelés Vektoralgebrából ismert, hogy a lineárisan független vektorok ortogonálisak azaz skaláris szorzatuk 0. Például a háromdimenziós térben az i, j, k egységvektorok merőlegesek egymásra. Az n dimenziós terekre is mondhatjuk, hogy a G generátormátrix-szal leírt altér ortogonális a H T paritás-vizsgáló mátrix alterére. G H T = 0 Így a G valamennyi lineáris kombinációja ortogonális a H T valamennyi lineáris kombinációjára, azaz u H T = 0 Amennyiben u H T 0 a vizsgált kódszó nem megengedett kódszó. A továbbiakban u H T = s 0 n-k elemű szindróma vektor.

42 A hibamátrix A generátormátrix ismeretében a H, ill. H T mátrixok előállíthatók. Eredeti kódszavak mátrixa Paritás kódszavak mátrixa G = I k P n-k H T = P T k I n-k p 11 p 12.. p 1k i 11 i 12.. i 1(n-k) H T = p 21 p 22.. p 2k p (n-k)1 p (n-k)2.. p (n-k)k i 21 i 22.. i 2(n-k) i (n-k)1 i (n-k)2.. i (n-k)( n-k)

43 A hibajavító Hamming-kód R. W. Hamming szerkesztette az n elemből álló t=1 hibát javító kód algoritmusát. Jellemzője, hogy a szindróma vektor, mint bináris szám a hibás elem helyére mutat. Hamming mátrixok 11 információ bittel 1 információ bittel 01 H (3,1) = 10 H (7,4) = 11 4 információ bittel H (15,11) =

44 A hibajavító Hamming-kód Az ellenőrző, hibajavító elemek helye (indexe) 2 egész számú hatványa, 2 0, 2 1,.., 2 n-k-1, azaz a H T mátrix olyan oszlopainak felel meg, amelyben csak egy 1-es van. H T (7,4) = u= a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 kódszó vektor és elemei Nem szisztematikus kód, mert a kódszó eredeti bitjei keverednek a hibajavító elemekkel. u= H T (15,11) = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a

45 A hibajavító Hamming-kód Az ellenőrző, hibajavító elemek értékének meghatározása 4 eredeti bit esetére: A G generátormátrix-szal leírt altér ortogonális a H T paritás-vizsgáló mátrix alterére, ezért annak vektorai is ortogonálisak. u H T (7,4) = 0 a 1 a 3 a 5 a 7 = 0 a 2 a 3 a 6 a 7 = 0 a 4 a 5 a 6 a 7 = 0 vektor és mátrix kifejtett szorzata Így a vektor és a mátrix kifejtett szorzatából meghatározhatók az eredeti információ vektorából a hibajavító elemek. a 1 = a 3 a 5 a 7 a 2 = a 3 a 6 a 7 a 4 = a 5 a 6 a 7

46 A hibajavító Hamming-kód Az ellenőrző, hibajavító elemek értékének meghatározása 11 eredeti bit esetére: A G generátormátrix-szal leírt altér ortogonális a H T paritás-vizsgáló mátrix alterére, ezért annak vektorai is ortogonálisak. u H T (15,11) = 0 a 1 a 3 a 5 a 7 a 9 a 11 a 13 a 15 = a0 2 a 3 a 6 a 7 a 10 a 11 a 14 a 15 = 0a 4 a 5 a 6 a 7 a 12 a 13 a 14 a 15 = a0 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 = 0 Így a vektor és a mátrix kifejtett szorzatából meghatározhatók az eredeti információ vektorából a hibajavító elemek. a 1 = a 3 a 5 a 7 a 9 a 11 a 13 a 15 a 2 = a 3 a 6 a 7 a 10 a 11 a 14 a 15 a 4 = a 5 a 6 a 7 a 12 a 13 a 14 a 15 a 8 = a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15

47 A hibajavítás megvalósítása A kódszó készletet eredeti kódszavai k bitből állnak, a hibajavításra alkalmas kódszavak redundánsak és n-k bittel megnövelt a hosszuk. Az eredeti közlemény kódszavainak hossza k, a kódolás utáni kódszavak hossza n. eredeti közlemény k Jelforrás kódolt közlemény ellenőrző elemek számítása Jelkapcsolat Zajos környezet vett közlemény szindróma képzése hibajavítás Jelérzékelő dekódolt közlemény k

48 A hibajavítás megvalósítása A hibajavító elemek értékének meghatározása kódszavanként (7,4) : az eredeti kódszó a 1 = a 3 a 5 a 7 a 2 = a 3 a 6 a 7 a 4 = a 5 a 6 a 7 átviendő kódszó a 1 = = 1 a 2 = = 1 a 4 = = 0 A hibajavító elemek értékének meghatározása kódszavanként: átvitt kódszó a 1 a 3 a 5 a 7 = s a 2 a 3 a 6 a 7 = s a 4 a 5 a 6 a 7 = s = = = A hiba jellemzője a szindróma vektor a 4-es helyre mutat

49 A hibajavítás megvalósítása Kombinációs hálózattal Jelforrás Jelérzékelő U4 a7 a7 a7 U5 a7 a6 a5 U1 a6 a5 a6 INV U7 U6 a6 a3 XOR3 U2 a4 a3 a5 U9 INV U10 U8 a5 XOR3 U3 XOR3 Ellenőrző elemek előállítása a2 a1 a4 a3 a2 XOR4 U12 XOR4 U15 U14 B A Y9 Y8 Y7 Y6 Y5 Y4 Y3 Y2 Y1 Y0 INV U13 INV U11 a3 a1 XOR4 X74_42 Szindróma képzése, hiba javítása

50 A hibajavítási módszerek - ciklikus kód Bináris kódszó, mint polinom Bármely n = 4, 7, 8,... többelemű kódszó felfogható polinomként is. A ciklikus (n, k) kód olyan n hosszúságú k információs szimbólumot tartalmazó lineáris kód, amelyben az elemek (n-1)-ed fokú polinom együtthatói. A kódszó (a 0, a 1, a 2, a 3... a n-2, a n-1 ) leírható a következő polinommal: a n-1 x n-1 +a n-2 x n a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+ a 0 A vektortér bármely v = (a 0, a 1, a 2, a 3... a n-2, a n-1 ) vektorára igaz, hogy a belőle képzett v = (a n-1, a 0, a 1, a 2, a 3... a n-2 ) vektor szintén benne van a vektortérben. A vektortér elemeinek képzése: A vektortér elemeket cilikusan eggyel jobbra toljuk.

51 A hibajavítási módszerek - ciklikus kód A ciklikus kód matematikai alapja a moduló polinom algebra. Az (x n -1) moduló algebrában a polinom szorzása x-szel megfelel egy ciklikus léptetésnek. Egy ciklikus kódot egyértelműen meghatároz egy r-ed fokú g(x) polinom, amely osztja az (x n -1)-et. Az (n, k) kód értelmezhető k = n - r összefüggéssel, ahol k az eredeti kódszó hossza, r a hibajavító elemek száma. Az r-ed fokú g(x) polinommal meghatározott kódtérnek csak akkor eleme az f(x) polinom, ha osztható g(x)-szel. f ( x) g( x) = q( x) f ( x) = q( x) g( x) A különböző f(x) polinomoknak különböző q(x) az eredményük.

52 A generátor polinom kiválasztása Egy (n, k) ciklikus kódot egyértelműen meghatároz egy r-ed fokú g(x) polinom, amely osztja az (x n -1)-et. Minden g(x) polinomhoz különböző kódtér tartozik. Az n=7 esetében a (x n -1) moduló algebrában az (x 7-1) primtényezői: x 7-1 = (1-x) (1+ x+ x 3 ) (1+ x 2 + x 3 ) A primtényezőkből lehet választani generátor polinomot. Példa generátor-polinomok: g(x) = 1+ x+ x 3 Primtényezőkellenőrzése: g(x) = 1+ x 2 +x 3 (1-x) (1+ x + x 3 ) = 1 x x 3 x x 2 x 4 = 1+ x 2 + x 3 + x 4 moduló algebrában ez moduló összegzés moduló algebrában azonos páros elemek összege 0 (1+ x 2 + x 3 + x 4 ) (1+ x 2 +x 3 ) = 1 x 2 x 3 x 4 x 2 x 4 x 5 x 6 x 3 x 5 x 6 x 7 = = x 7-1

53 A generátor polinom felhasználása A g(x) = 1+ x 2 + x 3 (7, 4) r=3-ad fokú polinom egyértelműen meghatározza (x 7-1) ciklikus kódot. A g(x) generátor polinom teljes alakja: g(x) = 1+ x 2 + x 3 g(x) = x 1 + x 2 + x x x x 6 Ennek figyelembevételével g(x) a lineáris vektortér bázis vektorai és generátor mátrixa a következők: 1 g(x) = x g(x) = x 2 g(x) = x 3 g(x) = G = Tekintettel arra, hogy a kód ciklikus és lineáris a bázis vektorok és lineáris kombinációja is kódpolinom. 1 g(x) = f 0 (x) x g(x) = f 1 (x) x 2 g(x) = f 2 (x) x 3 g(x) = f 3 (x)

54 Ellenőrző elemek A g(x) polinommal előállított kódtér kódjai, mint a generátor mátrixból is látszik nem szisztematikus, nem választható információs és hibajavító elemekre. G = A kódolás, dekódolás szempontjából a megvalósítás egyszerűbb a szisztematikus kód használatával. A (k-1)-ed fokú p(x) információ polinomot x n-k -val megszorozva (x n -1) kódtérnek része lesz, azonban ezzel - a g(x) polinommal meghatározott - ciklikus kóddá még nem vált. A p(x) x n-k információ polinomot g(x) polinommal elosztva nagyon valószínű, hogy a q(x) hányados polinom mellett r(x) maradék polinom is képződik. p( x) x g( x) n k = q( x) + r( x)

55 Ellenőrző elemek számítása A p(x) x n-k információ polinom, akkor válik f(x) kódpolinommá, ha : f n k ( x) = p( x) x + r( x) = q( x) g( x) Az r(x) hibajavító polinom - (n-k) = r elem számú - azaz (r-1)-ed fokú. A ciklikus kódok azért is terjedtek el, mert előállításuk egyszerű, viszonylag kevés áramköri elem szükséges felépítésükhöz. A kódolás x n-k p(x) szorzásból, kettes számrendszerben léptetésből, és az r(x) meghatározásából áll. A kódoláshoz szükséges polinom műveletek elvégezhetők visszacsatolt léptető regiszterekkel, mert a bináris szorzás és az osztás alapvetően léptetési algoritmusok. Például: (7,4) választás esetén n-k = 3 g(x) = 1+ x + x 3 x 3 p(x) = x 3 (1+ x) = x 3 + x 4

56 Ellenőrző elemek számítása Például: (7,4) választás esetén n-k = 3 g(x) = 1+ x + x 3 p(x) = 1+ x információ polinom x 3 p(x) = x 3 (1+ x) = x 3 + x 4 A 3-ad fokú p(x) információ polinomot x 3 -nal megszorozva (x 7-1) kódtérnek része lesz. 3 p( x) x = q( x) + r( x) r( x) 0 g( x) Ezzel azonban a g(x) polinommal meghatározott ciklikus kóddá még nem vált. (x 4 + x 3 ) : (x 3 + x + 1) = x 4 + x 2 + x x + 1 Az osztásban a moduló műveleteket kell alkalmazni. x 3 + x 2 + x x 3 + x + 1 x r(x) = x Maradék polinom - a polinom hibjavító része 3 p( x) x + r( x) g( x) = q( x)

57 Hogyan tehető szisztematikussá a ciklikus kód? Az információ polinomok szorzása x n-k -val a ciklikus kódot szisztematikussá tette, mert az x 0 helyértékű elem is x n-k helyértékű lesz és még a maradék polinom n-k-1 helyértékű eleme is hozzá illeszthető. Például: (7,4) választás esetén n-k = 3 g(x) = 1+ x 2 + x 3 Információ kód p(x) x 3 p(x) r(x) f(x)= x 3 p(x)+ r(x) Kódolt információ x 3 x 2 +1 x 3 +x x x 4 x 2 +x+1 x 4 +x 2 +x x+1 x 4 +x 3 x 4 +x 3 +x x 2 x 5 x+1 x 5 +x x 2 +1 x 5 +x 3 x 2 +x x 5 +x 3 +x 2 +x x 2 +x x 5 +x 4 x 2 x 5 +x 4 +x x 2 +x+1 x 5 + x 4 +x 3 1 x 5 + x 4 +x x 3 x 6 x 2 +x x 6 +x 2 +x x 3 +1 x 6 +x 3 x+1 x 6 +x 3 +x x 3 +x x 6 +x 4 1 x 6 +x x 3 + x+1 x 6 + x 4 +x 3 x 2 x 6 + x 4 +x 3 +x x 3 + x 2 x 6 +x 5 x 2 +1 x 6 +x 5 +x x 3 + x 2 +1 x 6 + x 5 +x 3 0 x 6 + x 5 +x x 3 + x 2 +x x 6 + x 5 +x 4 x x 6 + x 5 +x 4 +x x 3 + x 2 +x+1 x 6 + x 5 +x 4 +x 3 x 2 +x+1 x 6 + x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x

58 Ellenőrző elemek áramköri előállítása log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör Az áramkör működésének szimulációja: x 3 p(x) = p(x) = információ polinommal

59 Ellenőrző elemek áramköri előállítása log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör Az áramkör működésének szimulációja: x 3 p(x) = p(x) = információ polinommal

60 Ellenőrző elemek áramköri előállítása log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör Az áramkör működésének szimulációja: x 3 p(x) = p(x) = információ polinommal

61 Ellenőrző elemek áramköri előállítása log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör Az áramkör működésének szimulációja: x 3 p(x) = p(x) = információ polinommal

62 Ellenőrző elemek áramköri előállítása log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör Az áramkör működésének szimulációja: x 3 p(x) = p(x) = információ polinommal

63 Ellenőrző elemek áramköri előállítása log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör Az áramkör működésének szimulációja: x 3 p(x) = p(x) = információ polinommal

64 Ellenőrző elemek áramköri előállítása log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör Az áramkör működésének szimulációja: x 3 p(x) = p(x) = információ polinommal r(x)

65 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = kódolt polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

66 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = kódolt polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

67 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = kódolt polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

68 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = kódolt polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

69 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = kódolt polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

70 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = kódolt polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

71 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamata Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = kódolt polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) = r(x)

72 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = hibás polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

73 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = hibás polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

74 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = hibás polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

75 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = hibás polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

76 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = hibás polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

77 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = hibás polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) =

78 Az áramköri hiba ellenőrzési folyamat Hiba ellenőrzésének szimulációja: f(x) = hibás polinommal log0 g(x) = 1+ x 2 + x 3 1 x2 x3 U1 U2 R_x_0 R_x_1 R_x_2 I_x U5 LR U6 LR U3 U7 LR clock clear F F F A maradék polinom előállítását végző osztó áramkör f(x) = r(x)

79 VXA helikális rögzítési technológiájához kapcsolódó hibajavítás A rögzítés alapja a iscrete Packet Format (PF)

80 Szalag éle Szalag éle Sávok

81 iscrete Packet Format (PF) 387 Packets Sáv

82 A Packet felépítése SYN AR ATA R E Packet

83 Az olvasott Packet elhelyezése a puffer területen SYN SYN SYN ARSYN AR AR AR ATA ATA ATA ATA Buffer Segment R R ER ER E E

84 Az olvasott Packet elhelyezése a puffer területen SYN SYN SYN ARSYN AR AR AR ATA ATA ATA ATA Buffer Segment R R ER ER E E

85 Error orrection ode ATA Y-Axis E X-Axis E iagonal E Buffer Segment X-Y E R